38 Κ Χριστοδολίδης: Μαθηµατικό Σµπλήρµα για τα Εισαγγικά Μαθήµατα Φσικής 8 Λύση απλών διαφορικών εξισώσεν εξισώσεν κίνησης 8 Εξισώσεις κίνησης πο οδηγούν σε διαφορικές εξισώσεις χριζόµενν µεταβλητών Η διατύπση τν νόµν της Φσικής στη διαφορική τος µορφή µάς δηµιοργεί την ανάγκη να µπορούµε να βρίσκοµε λύσεις εξισώσεν στις οποίες πεισέρχονται παράγγοι τν φσικών µεγεθών Η λύση τν εξισώσεν ατών, οι οποίες ονοµάζονται διαφορικές εξισώσεις, αποτελεί έναν από τος κεντρικούς σκοπούς της Μαθηµατικής Φσικής Στη Μηχανική, διαφορικές εξισώσεις προκύπτον κρίς ς εφαρµογές το δεύτερο νόµο το Νεύτνα Έτσι, αν πάν σε ένα σώµα µάζας ασκείται η δύναµη F, η εξίσση κίνησης το σώµατος είναι µια διαφορική εξίσση της µορφής d( ) d F, ή F, ή F (8) Η πολπλοκότητα της εξίσσης εξαρτάται κρίς από τη µορφή πο έχει η δύναµη F, η οποία, γενικά, µπορεί να είναι σνάρτηση της θέσης, το χρόνο, ή της ταχύτητας το σώµατος Eνδέχεται επίσης η µάζα το σώµατος να είναι µεταβλητή Στο στάδιο ατό, θα εξετάσοµε τη λύση τν απλούστερν εξισώσεν ατού το είδος, οι οποίες λύνονται απεθείας, µέσ ολοκλήρσης Μια διαφορική εξίσση η οποία µπορεί να αναχθεί στη διαφορική µορφή g ( ) f ( ) d, (8) ονοµάζεται διαφορική εξίσση χριζόµενν µεταβλητών µπορεί να λθεί µε απλή ολοκλήρση τν δύο µελών: g ( ) f ( ) d + c, (83) όπο c µια κοινή σταθερά ολοκλήρσης Παρατήρηση: Η φράση ολοκλήρση τν δύο µελών ίσς χρειάζεται κάποια αιτιολόγηση Αν δούµε τα δύο µέλη της διαφορικής εξίσσης g ( ) f ( ) d ς ίσα προς τα διαφορικά τν P () Q() αντίστοιχα, έχοµε τις εξισώσεις: Με ολοκλήρση τν εξισώσεν ατών έχοµε dp g( ), dq f ( ) d, dp dq (84) P ( ) g( ), P( ) f ( ) d, P( ) Q( ) + c (85) Από ατές τις εξισώσεις έχοµε την Εξ (83) Μπορούµε επίσης να ολοκληρώσοµε τα δύο µέλη της (8) µεταξύ σγκεκριµένν ( αντίστοιχν µεταξύ τν) ορίν να έχοµε τη λύση µέσ ορισµένν ολοκληρµάτν: g( ) f ( ) d (86) Η απόδειξη της (86) είναι απλή: από την τελεταία Εξ (85), για τα ζεύγη τν τιµών (, ) (, ) έχοµε P ) Q( ) + c P ( ) Q( ) + Αφαιρώντας βρίσκοµε ( c P ) P( ) Q( ) Q( ), ( η οποία, σε σνδασµό µε τις δύο πρώτες Εξ (85) δίνει την Εξ (86) Το παράδειγµα πο ακολοθεί δείχνει τις δύο διαδικασίες
Κ Χριστοδολίδης: Μαθηµατικό Σµπλήρµα για τα Εισαγγικά Μαθήµατα Φσικής 39 Παράδειγµα Να βρεθεί η λύση της διαφορικής εξίσσης, µε αρχικές σνθήκες, d Χρίζοµε τις µεταβλητές: d Θα λύσοµε την εξίσση µε τις δύο µεθόδος πο αναφέρθηκαν: µε αόριστα µε ορισµένα ολοκληρώµατα Με αόριστα ολοκληρώµατα Με ορισµένα ολοκληρώµατα Ολοκληρώνοµε τα δύο µέλη της εξίσσης: d + c Αντικαθιστώντας,, βρίσκοµε: + c, c Εποµένς Ατή είναι η λύση το προβλήµατος, (, ) d Ολοκληρώνοµε τα δύο µέλη της εξίσσης ανάµεσα στις τιµές στα αριστερά, τις αντίστοιχες τιµές στα δεξιά: d + Σνεχίζοµε µε απλά παραδείγµατα από τη Μηχανική, στα οποία η έκφραση στο αριστερό µέλος της Εξ (8) είναι απλώς το διαφορικό το ζητούµενο µεγέθος Τα προβλήµατα λύνονται είτε µε αόριστα είτε µε ορισµένα ολοκληρώµατα, ή µε τις δύο µεθόδος Παράδειγµα Ένα σώµα κινείται πάν στον άξονα τν, µε σταθερή επιτάχνση Να βρεθούν, σναρτήσει το χρόνο, η ταχύτητά το ( η θέση το (, αν αρχικά το σώµα βρισκόταν στο σηµείο Το σώµα έχει σταθερή επιτάχνση Η λύση ατής της εξίσσης είναι: είχε ταχύτητα d ( ή ( ) + c Ποια είναι η φσική σηµασία της σταθεράς c; Αν αντικαταστήσοµε στη σνάρτηση (, βρίσκοµε ότι () c, ή ότι η σταθερά ολοκλήρσης c είναι, στην περίπτση ατή, η αρχική ταχύτητα το σώµατος, έστ Έχοµε εποµένς τη λύση ( ) + στο σγκεκριµένο πρόβληµα Η σνθήκη όταν, ονοµάζεται αρχική σνθήκη το προβλήµατος
4 Κ Χριστοδολίδης: Μαθηµατικό Σµπλήρµα για τα Εισαγγικά Μαθήµατα Φσικής Για να βρούµε τη θέση ( το σώµατος σναρτήσει το χρόνο, γράφοµε τη στιγµιαία ταχύτητα, δηλαδή το ρθµό µεταβολής το ς προς, ς λύσοµε την εξίσση Η λύση είναι: d + ( ) ( + + + c d εποµένς έχοµε να Προφανώς ) c είναι η αρχική θέση το σώµατος, έστ, εποµένς, τελικά, ( ( + + d είναι η λύση της εξίσσης κίνησης µε αρχικές σνθήκες ( ) ( ) Ελέγχοµε ότι πράγµατι οι ( ( ικανοποιούν τις αρχικές σνθήκες, ότι µε παραγώγιση ς προς η ( δίνει την ( η παραγώγιση της ( ς προς µας δίνει την αρχική εξίσση κίνησης Ατός ο έλεγχος είναι καλό να γίνεται στο τέλος Παράδειγµα 3 Ένα σώµα µάζας, κινούµενο πάν στον άξονα τν, φίσταται µια δύναµη στην κατεύθνση το άξονα ίση µε F (, όπο είναι µια σταθερά ο χρόνος Να βρεθεί η ταχύτητα ( η θέση ( το σώµατος σναρτήσει το χρόνο, αν οι αρχικές σνθήκες το προβλήµατος είναι ( ), () Από τον δεύτερο νόµο το Νεύτνα, η εξίσση κίνησης το σώµατος είναι: Ατή είναι µια εξίσση χριζόµενν µεταβλητών, η οποία γράφεται ς, ολοκληρώνεται για να δώσει:, + c, c σταθ Από την αρχική σνθήκη ( ), βρίσκοµε ότι c εποµένς ( Για να βρούµε το (, χρησιµοποιούµε τη σχέση d d, η οποία επίσης είναι εξίσση χριζόµενν µεταβλητών δίνει: d Ολοκληρώνοντας, 3 + c 6 Επειδή ( ), βρίσκοµε ότι c, εποµένς 3 ( 6 Στη λύση τέτοιν προβληµάτν, ένα σνηθισµένο λάθος είναι ότι παραλείπεται η σταθερά ολοκλήρσης, πράγµα πο οδηγεί σε λανθασµένα αποτελέσµατα Ένας εναλλακτικός αλλά ισοδύναµος τρόπος λύσης κάνει χρήση ορισµένν ολοκληρµάτν Έτσι, για το ίδιο πρόβληµα, έχοµε την εξίσση, τα δύο µέλη της οποίας ολοκληρώνοµε, αντίστοιχα, µεταξύ τν κάτ ορίν, τν γενικών άν ορίν ( Έχοµε, Το αποτέλεσµα είναι
Κ Χριστοδολίδης: Μαθηµατικό Σµπλήρµα για τα Εισαγγικά Μαθήµατα Φσικής 4 [ ] [ ] ή ( ), Σνεχίζοντας τη διαδικασία για το (, 3 3 d, [] [ ], ( 6 6 Χρησιµοποιώντας ορισµένα ολοκληρώµατα, βρίσκοµε τη λύση µε πιο σύντοµο σµπαγή τρόπο αποφεύγοµε το ενδεχόµενο να ξεχάσοµε τη σταθερά ολοκλήρσης Θα πρέπει όµς να είµαστε προσεκτικοί στα όρια, δηλαδή το κάτ όριο της µιας µεταβλητής να αντιστοιχεί στο κάτ όριο της άλλης µεταβλητής, το ίδιο να ισχύει για τα άν όρια Παράδειγµα 4 Έστ ότι ένα σώµα µάζας έχει φορτίο q βρίσκεται µέσα σε ένα µεταβαλλόµενο ηλεκτρικό πεδίο έντασης E( E sin πο έχει κατεύθνση ατήν το άξονα τν Οι αρχικές σνθήκες το προβλήµατος είναι ( ), () Να εξετασθεί η κίνηση το σώµατος Η εξίσση κίνησης το σώµατος είναι qe( qe sin ή sin, όπο Χρίζοµε τις µεταβλητές: d sin qe Με αόριστα ολοκληρώµατα Με ορισµένα ολοκληρώµατα Εποµένς είναι: Ολοκληρώνοµε µεταξύ τν ορίν,, τν γενικών ορίν (: ( sin cos + c ( ) sin, Η αρχική σνθήκη ( ) µάς δίνει: ( [ ] ) [ ] cos ( ) + c ή c, έτσι, ( ( cos d Σνεχίζοντας, επειδή d, έχοµε την εξίσση ( cos ) Χρίζοµε τις µεταβλητές: d ( cos Ατή ολοκληρώνεται ς εξής: ( ( cos sin + c Η αρχική σνθήκη ( ) µας δίνει: Ολοκληρώνοµε µεταξύ τν ορίν,, τν γενικών ορίν ( : ( [] d ( ( cos sin,
4 Κ Χριστοδολίδης: Μαθηµατικό Σµπλήρµα για τα Εισαγγικά Μαθήµατα Φσικής ( + c ή c, εποµένς εποµένς ( ( sin Έτσι, η πλήρης λύση το προβλήµατος sin, ( ), (), είναι: Επαλήθεση ( ( sin ( ( cos Με αντικατάσταση το µπορούµε να επιβεβαιώσοµε ότι οι αρχικές σνθήκες ικανοποιούνται: () [( ) sin( ) ] ( ) [ cos ( )] Επίσης, παραγγίζοντας το d ( ς προς βρίσκοµε την (, d ( ( sin ( cos ( cos ( ) παραγγίζοντας την ( ς προς βρίσκοµε την εξίσση κίνησης: d d ( ( cos sin Ακολοθεί ένα κάπς πιο σύνθετο παράδειγµα από τη Μηχανική Παράδειγµα 5 Ένα σώµα µάζας κινείται πάν στον άξονα τν Πάν στο σώµα ασκείται µόνο µια δύναµη τριβής η οποία είναι ανάλογη της ταχύτητάς το, F b Να βρεθούν, σναρτήσει το χρόνο, η ταχύτητα το σώµατος ( η θέση το (, αν ατό αρχικά βρισκόταν στο σηµείο ( ) είχε ταχύτητα ( ) Η εξίσση κίνησης το σώµατος είναι Χρίζοντας τις µεταβλητές έχοµε b b, ή, γράφοντας ς τ / b τη σταθερά χρόνο πο εµφανίζεται στο πρόβληµα, τ Ολοκληρώνοντας στα αριστερά από την αρχική τιµή της ταχύτητας µέχρι τη γενική τιµή (, στα δεξιά από την αρχική τιµή το χρόνο µέχρι τη γενική τιµή, έχοµε: Εποµένς, τ
Κ Χριστοδολίδης: Μαθηµατικό Σµπλήρµα για τα Εισαγγικά Μαθήµατα Φσικής 43 [ ln ] [], τ ln ( ln, τ ( ln, τ ( e, τελικά ( e Επειδή είναι d (, έχοµε d e, ή d e Ολοκληρώνοντας ανάµεσα στα κατάλληλα όρια, d e, ή ( [] τ [ e ], ( τ ( e ) τελικά ( τ ( e ) ( 8 Η χρήση της παραγώγο ς νέας µεταβλητής Μερικές φορές είναι δύσκολο ή αδύνατο να ολοκληρώσοµε µια εξίσση της µορφής d F( ) για να βρούµε την () Χρησιµοποιούµε τότε την παράγγο u ς νέα d d µεταβλητή, τη σχέση d d du du du d( u ) u (87) d d d d d για να απαλείψοµε τη µεταβλητή Αποκτούµε έτσι την εξίσση d( u ) F( ), d( u ) F( ) (88) η οποία είναι εξίσση χριζόµενν µεταβλητών, την οποία ίσς µπορούµε να ολοκληρώσοµε για τη λύση u() Ένα παράδειγµα θα επιδείξει τη µέθοδο: Παράδειγµα 6 Ένα σώµα µάζας, αρχικά ακίνητο, πέφτει ακτινικά προς µια ακίνητη σηµειακή µάζα M κάτ από την επίδραση της µεταξύ τος βαρτικής έλξης Η αρχική απόσταση τν δύο µαζών ήταν Να µελετηθεί η κίνηση το σώµατος Η ελκτική δύναµη πο ασκεί η µάζα M πάν στη µάζα όταν η µεταξύ τος απόσταση είναι, είναι, σύµφνα µε τον νόµο της βαρύτητας το Νεύτνα, M F( ) G (αρνητική γιατί έχει κατεύθνση προς ατήν της µείσης το ) Η ακτινική επιτάχνση της δίνεται από τον δεύτερο νόµο το Νεύτνα για την κίνηση: d d M F( ), G Η εξίσση ατή δεν µπορεί να λθεί για το σναρτήσει το χρόνο Μπορούµε όµς, ς πρώτο βήµα, να βρούµε την () Απαλείφοµε τον χρόνο, χρησιµοποιώντας την παράγγο d d d (ταχύτητα εδώ) ς µεταβλητή, τη σχέση d d d GM Έτσι, d Ατή τώρα είναι µια εξίσση χριζόµενν µεταβλητών, από την οποία βρίσκοµε ότι
44 Κ Χριστοδολίδης: Μαθηµατικό Σµπλήρµα για τα Εισαγγικά Μαθήµατα Φσικής d GM, ( ) GM d, [ ] ( ) GM, GM, ( ) GM, όπο πήραµε το αρνητικό πρόσηµο για πτώση προς το κέντρο Η σχέση ατή εκφράζει τη διατήρηση της ενέργειας d Επειδή, έχοµε Χρίζοντας τις µεταβλητές, GM Ολοκληρώνοντας: ή d d GM δ d όπο δ d, GM δ [] ( ) + sin δ π ( ) sin + δ Η εξίσση ατή δεν µπορεί να λθεί για την ( Αντί ατού, έχοµε τη σνάρτηση () Προβλήµατα Ένα σώµα έχει µάζα, βρίσκεται αρχικά ακίνητο στη θέση αρχίζει να πέφτει κατακόρφα (κατά µήκος το άξονα τν, η θετική κατεύθνση το οποίο είναι προς τα πάν) Η δύναµη της τριβής το αέρα είναι ίση µε b, όπο η ταχύτητα το σώµατος b µια θετική σταθερά (α) Να βρεθεί η ταχύτητα το σώµατος ς σνάρτηση το χρόνο (β) είξτε ότι το σώµα τείνει να αποκτήσει µια ορική ταχύτητα βρείτε την τιµή της (γ) Να βρεθεί η θέση το σώµατος,, ς σνάρτηση το χρόνο (δ) Αναπτύξτε τις απαντήσεις για τα ( ( σε σειρές δνάµεν το χρόνο, για να βρείτε σχέσεις πο ισχύον για µικρές τιµές το Σώµα µάζας εκτοξεύεται κατακόρφα προς τα πάν µε αρχική ταχύτητα V ( V > ) κατά µήκος το άξονα τν, η θετική κατεύθνση το οποίο είναι προς τα πάν Η αρχική θέση το σώµατος είναι Πάν στο σώµα δρα, εκτός το βάρος το, δύναµη τριβής από τον αέρα ίση µε k, όπο η ταχύτητα το σώµατος k µια θετική σταθερά (α) Να διατπθεί η εξίσση κίνησης της µάζας (β) Χρησιµοποιήστε τη σχέση για να δείξετε ότι η το ικανοποιούν τη σχέση
Κ Χριστοδολίδης: Μαθηµατικό Σµπλήρµα για τα Εισαγγικά Μαθήµατα Φσικής 45 V g kv k ln + ln + (γ) Να βρείτε το µέγιστο ύψος H στο οποίο θα k k g g φθάσει το σώµα (δ) Αν U είναι η ταχύτητα µε την οποία το σώµα επιστρέφει στο σηµείο k, δείξτε ότι: g ku ( g + kv ) ep ( V + U ) g 3 Σµατίδιο µάζας κινείται στο επίπεδο Τη χρονική στιγµή βρίσκεται στο σηµείο (, ) έχει ταχύτητα η οποία σχηµατίζει γνία 45 o µε τον άξονα Το επίπεδο είναι οριζόντια λεία επιφάνεια Η µόνη δύναµη πο δρα στο σµατίδιο είναι µία δύναµη τριβής, k, στην κατεύθνση µόνο, η οποία είναι ανάλογη της σνιστώσας της ταχύτητάς το, όπο k είναι ένας σταθερός θετικός σντελεστής (α) Ποια είναι η εξίσση κίνησης το σµατιδίο; (β) Να βρεθεί η ταχύτητά το ς σνάρτηση το χρόνο Μετά πόσο χρόνο η κατακόρφη σνιστώσα της γίνεται / ; (γ) Ποια είναι η εξίσση της τροχιάς πο διαγράφει το σµατίδιο στο επίπεδο ; (δ) Ποια είναι η µέγιστη τιµή το στην τροχιά; Βιβλιογραφία C Kiel, W D Knigh, M A Ruden, A C Helholz B J Moe, Μηχανική Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις ΕΜΠ, Αθήνα, 998 Κεφ 3 M R Spiegel, Θερητική Μηχανική Εκδόσεις ΕΣΠΙ, Αθήνα, 985 Κεφ,, 3 Ι S Sokolnikoff R M Redheffe, Μαθηµατικά για Φσικούς Μηχανικούς Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις ΕΜΠ, Αθήνα, Κεφ, 3 W E Boce R C DiPi, Στοιχειώδεις ιαφορικές Εξισώσεις Προβλήµατα Σνοριακών Τιµών Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις ΕΜΠ, Αθήνα, 999 Κεφ