Univerza v Ljubljani Pedagoška fakulteta Oddelek za matematiko in računalništvo Katedra za algebro in analizo. Marko Razpet LOKSODROMA

Univerza v Ljubljani Pedagoška fakulteta Oddelek za matematiko in računalništvo Katedra za algebro in analizo Marko Razpet LOKSODROMA Študijsko gradivo Zgodovina matematike Ljubljana, junij 2013

Kazalo Predgovor 3 1 Prostorski koordinatni sistem 6 2 Krivulje v prostoru 10 3 Ukrivljenosti, Frenetova baza 14 4 Primer parametrizacije krivulje 26 5 Loksodroma 33 Za konec 41 Literatura in spletni viri 42 2

Predgovor Glavna beseda v naslovu pričujočega študijskega gradiva je loksodroma, ki je nastala iz besed λοξός, kar pomeni v klasični grščini poševen, poprečen, proč obrnjen, nevoščljiv, zaviden, in δρόμος, kar pa pomeni tek, dirka, dirkališče. V matematiki je loksodroma krivulja, ki leži na sferi in seka pod istim kotom vse njene poldnevnike, potem ko smo na njej vpeljali sferni koordinatni sistem. Besedi sistem in sfera prav tako prihajata iz grščine: σύστημα pomeni združitev, celota, truma, drhal, društvo, zbor, oddelek, sestav, beseda σφαῖρα pa obla, krogla, žoga. Krogla in sfera sta bili že od nekdaj priljubljena in občudovanja vredna geometrijska objekta. Imeli so ju za simbola popolnosti. Opazovanje neba in predstave o nebesni sferi so nam dale astronomijo, sferno geometrijo in sferno trigonometrijo. Beseda ἀστήρ pomeni zvezda, νόμος pa običaj, šega, navada, red, pravica, načelo, pravilo, predpis, odredba, zakon, postava. Besed geometrija in trigonometrija ni treba posebej razlagati. Navedimo še eno zanimivost. Iz besed καλός, lep, dober, in δρόμος so Srbi in Makedonci dobili besedo kaldrma, Bolgari pa kalъdrъm, kar pomeni s kamenjem tlakovana pot ali cesta. Take kaldrme iz turških časov še vedno obstajajo po Balkanu. Hrvati pa se ponašajo celo z vasjo Kaldrma v občini Gračac ob meji z Bosno in Hercegovino. Da pa branje v nadaljevanju ne bo zastalo pri grških besedah, ki jih bomo uporabili zaradi pojasnjevanja nekaterih matematičnih, morda tudi drugih pojmov, najprej zapišimo klasični grški alfabet, ki ima le 24 črk (γράμματα). Dodana so tudi grška imena črk. Α α alfa - ἄλφα Ι ι jota - ἰῶτα Ρ ρ ro - ῥῶ Β β beta - βῆτα Κ κ kapa - κάππα Σ σ ς sigma - σῖγμα Γ γ gama - γάμμα Λ λ lambda - λάμβδα Τ τ tav - ταῦ Δ δ delta - δέλτα Μ μ mi - μῦ Υ υ ipsilon - ὖ ψιλόν Ε ε epsilon - ἔ ψιλόν Ν ν ni - νῦ Φ φ fi - φῖ Ζ ζ zeta - ζῆτα Ξ ξ ksi - ξῖ Χ χ hi - χῖ Η η eta - ἦτα Ο ο omikron - ὄ μικρόν Ψ ψ psi - ψῖ Θ θ theta - θῆτα Π π pi - πῖ Ω ω omega - ὦ μέγα Gradivo je nastajalo postopoma, se počasi oplajalo in zorelo v okviru rednih predmetov Analiza II in Funkcij več spremenljivk ter splošnega izbirnega 3

predmeta Zgodovina matematike, ki se je v zimskem semestru akademskega leta 2012/2013 prvič izvajal na Pedagoški fakulteti Univerze v Ljubljani. Med slušatelji slednjega predmeta, odprt za vsakogar na Univerzi v Lhubljani, so bili matematiki, kar se samo po sebi razume, pa tudi socialni in specialni ter rehabilitacijski pedagogi, bodoči učitelji razrednega pouka, bodoči predšolski vzgojitelji in morda še kdo, skratka zelo pisana druščina. Podali smo izčrpen pregled razvoja matematike skozi zgodovino, slušatelji pa so obdelali vsak svojo temo, jo napisali v obliki seminarske naloge, jo predstavili pred kolegi, na koncu pa je vsak opravljal še ustni izpit. Med predavanji pa so izdelovali še domače naloge, navadno v zvezi s kakšnim starinskim računanjem, na primer z egipčanskim množenjem števil in korenjenjem z metodo zaporednih približkov. Sicer se je predmet Zgodovina matematike kot navadni izbirni izvajal že prej, pa tudi pri drugih predmetih tu in tam študentje slišijo kakšno zgodovinsko. Z loksodromo se je prvi ukvarjal, kolikor nam je znano, portugalski matematik, izumitelj, zdravnik, astronom, pedagog in kozmograf Pedro Nunes (1502 1578), latinsko Petrus Nonius. Njemu v čast se imenuje neka merilna naprava nonij. Kasneje je njegovo delo nadaljeval angleški matematik, astronom, etnograf in prevajalec Thomas Harriot (1560 1621). V dobi velikih geografskih odkritij se je namreč čedalje bolj izkazovala potreba po natančnih zemljevidih, še posebej pomorskih. Tisti iz antičnih časov so bili zelo približni. Glavni problem je nastal, kako ukrivljeno zemeljsko površino in podrobnosti na njej upodobiti na ravni ploskvi. Ljudje so zato izumljali različne geografske projekcije. Mednje sodita tudi Mercatorjeva in stereografska projekcija. Najbolj verna podoba Zemlje je seveda globus, ki pa je v primerjavi s papirnatimi kartami neroden pripomoček. Pri vsaki projekciji Zemlje na ravno ploskev nekaj pridobimo in nekaj izgubimo. Enkrat se ne ohranjajo razmerja med razdaljami, drugič ne koti med smermi, pa spet ne razmerja med površinami likov in podobno. Pri Mercatorjevi projekciji se poldnevniki in vzporedniki preslikajo v med seboj vzporedne črte, loksodroma pa v ravno črto, ki seka poldnevnike pod stalnim kotom. Slika kontinentov je zelo popačena, oba pola pa zbežita v neskončnost. Nič posebnega! Zato bomo nazadnje loksodromo stereografsko projicirali na ekvatorialno ravnino. Prvi del besede stereografsko pride iz 4

grške στερεός, kar pomeni odrevenel, otrpel, trden, trd, močen, čvrst, krepek, drugi del pa iz γράφω, kar pa pomeni včrtam, vrežem, vdolbem, slikam, rišem, vrežem v vosek ali kamen, pišem. Beseda γράφω je pogost sestavni del marsikatere tujke, tudi omenjene kozmografije. Prvi del te besede izhaja iz κόσμος, kar pomeni med drugim ureditev, vrsta, red, uredba, ustava države, dostojnost. Flamski kartograf, filozof in matematik Gerardus Mercator (1512 1594) pa je posodil ime drugi omenjeni projekciji. Karte sveta so postajale vedno boljše in se postopoma približevale takim, kot jih poznamo danes. Prvi del besede kartografija je grškega izvora. Beseda χάρτης pomeni list papirja, papir. V razpravi bomo nekaj več besed posvetili osnovam diferencialne geometrije krivulj. Uvedli bomo Frenetovo bazo in obe ukrivljenosti krivulj. Pri tem bomo uporabljali vektorski račun. Ljubljana, oktober 2013 Dr. Marko Razpet 5

1 Prostorski koordinatni sistem Da bi lahko prostorske objekte, to se pravi točke, premice, ravnine, krivulje in ploskve, obravnavali algebrsko, kar pomeni z enačbami in vektorji, ponovimo najnujnejše. V prostoru si izberimo točko O, skoznjo pa položimo tri med seboj pravokotne premice, ki jih orientiramo ali usmerimo tako, kot kaže slika 1. Od točke O v smeri puščic je orientacija pozitivna, v nasprotni smeri negativna. Izberemo še enoto, s katero bomo merili razdalje. Enoto 1 odmerimo od točke O v vseh treh pozitivnih smereh. S tem smo dobili pravokotni kartezični koordinatni sistem v prostoru. Točko O imenujemo izhodišče koordinatnega sistema, osi pa označimo z x, y, z. Po vrsti jim pravimo abscisna, ordinatna, aplikatna os. Ko smo natančni, moramo vedno povedati, da gre za pravokotni kartezični koordinatni sistem Oxyz, ker je takih sistemov v prostoru nešteto. Po dve in dve koordinatni osi v sistemu Slika 1: Prostorski koordinatni sistem. Oxyz določata ravninske koordinatne sisteme Oxy, Oyz, Ozx, ki jim pogosto pravimo kar koordinatne ravnine Oxy, Oyz, Ozx. Te ravnine prostor razdelijo na osem oktantov. Položaj točke T v prostoru, kamor smo postavili koordinatni sistem Oxyz, opišemo s tremi realnimi števili x, y, z, koordinatami točke T. Običajno zapišemo točko T kar s koordinatami: T (x, y, z). Pri tem pomenijo x, y, z po vrsti oddaljenosti od ravnin Oyz, Ozx, Oxy. 6

Predznak koordinat določimo glede na orientacijo koordinatnih osi x, y, z. Na koordinatnih ravninah je povsod po ena koordinata enaka 0: na ravnini Oxy je z = 0, na Oyz je x = 0, na Ozx pa je y = 0. Zato so enačbe koordinatnih ravnin v tem vrstnem redu: z = 0, x = 0, y = 0. Vektor r = OT imenujemo krajevni vektor točke T (x, y, z). Tak vektor zapišemo preprosto kot r = (x, y, z). Predpostavljamo, da so osnove vektorskega računa bralcu znane. Skalarni produkt vektorjev a in b bomo označevali z a b, vektorskega pa z a b. Standardno urejeno ortonormirano bazo v prostoru, opremljenim s pravokotnim kartezičnim koordinatnem Oxyz, sestavljajo enotski vektorji v smeri koordinatnih osi: i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1). Slika 2: Smerni koti. Urejena baza { i, j, k} je torej ortonormirana, kar pomeni, da imajo vektorji i, j, k dolžino enako 1 in da so pravokotni eden na drugega, pri čemer pa še zahtevamo, da je njihov mešani produkt ( i, j, k) = ( i j) k = 1. Vektor r = (x, y, z) lahko na en sam način zapišemo kot r = x i + y j + z k. 7

Njegova dolžina je r = r r = x 2 + y 2 + z 2. Vsi vektorji r sestavljajo realen trirazsežen vektorski prostor R 3. Vsak neničelni vektor r določa neko smer v prostoru (slika 2). S pozitivnimi polovicami koordinatnih osi x, y, z po vrsti oklepa smerne kote α, β, γ, po velikosti med vključno 0 in π, ki določajo smerne kosinuse: cos α = i r/ r, cos β = j r/ r, cos γ = k r/ r. Povezava med smernimi kosinusi je preprosta: cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1. V koordinatnem sistemu Oxyz zlahka predstavimo objekte, ki so zapisani z algebrskimi relacijami. Za primer vzemimo ravnino z enačbo x 3 + y 4 + z 2 = 1, ki preseka koordinatne osi v točkah A(3, 0, 0), B(0, 4, 0), C(0, 0, 2). Na sliki 3 je posebej poudarjen trikotnik ABC, ki je del te ravnine. Enačba ravnine Slika 3: Ravnina v prostoru. je oblike ax + by + cz = d, 8

pri čemer ne smejo biti hkrati vsi koeficienti a, b, c enaki 0. Normalni vektor na to ravnino je ν = (a, b, c). Ko je d = 0, poteka ravnina skozi koordinatno izhodišče O. Pogosto normalni vektor normiramo, kar pomeni, da enačbo ravnine prepišemo v ekvivalentno obliko ax + by + cz d a2 + b 2 + c 2 = 0. Ravnina je najpogosteje podana s tremi točkami ali s svojo normalo in eno točko. Sfera ali obla s središčem v koordinatnem izhodišču O in s polmerom R ima enačbo x 2 + y 2 + z 2 = R 2. Ko je R = 1, govorimo o enotski sferi. Enotska sfera ima enačbo x 2 + y 2 + z 2 = 1. Običajno rečemo točki N(0, 0, 1) na njej severni pol, točki S(0, 0, 1) pa južni pol sfere. Presek enotske sfere z ravnino z = 0 je ekvator sfere (slika 4). Presek enotske sfere z ravnino, ki poteka skozi koordinatno izhodišče O, je krožnica, glavna krožnica (slika 5). Tako kot v geografiji vpeljemo na sferi poldnevniške ali meridianske kro- Slika 4: Sfera z ekvatorjem. žnice, ki so pravzaprav glavne krožnice, dobimo pa jih kot preseke sfere z ravninami, ki potekajo skozi oba pola. Vzporedniki niso glavne krožnice na sferi razen ekvatorja. Vzporednike ali paralele dobimo kot preseke sfere z ravninami, ki so pravokotne na premico skozi pola sfere. Z mrežo poldnevnikov in vzporednikov sestavimo krivočrtni koordinatni sistem na sferi. 9

Slika 5: Sfera z glavno krožnico in ekvatorjem. 2 Krivulje v prostoru Krivuljo K v prostoru, v katerega smo vpeljali kartezični koordinatni sistem Oxyz, analitično zapišemo v parametrični vektorski obliki r (t) = (x(t), y(t), z(t)), kjer je t parameter iz nekega intervala [a, b], kjer je a < b, in so koordinatne funkcije t x(t), t y(t), t z(t) definirane na [a, b]. Funkcija t r(t) ima limito A = (A x, A y, A z ) R 3 v točki t 0 [a, b], če za vsak ε > 0 obstaja tak δ > 0, da velja: čim je 0 < t t 0 < δ, je r (t) A < ε. Tedaj pišemo: A = lim t t0 r (t). Če slednje velja le ta t > t 0, je A desna limita, če pa velja le za t < t 0, pa leva limita funkcije t r(t) v točki t 0. Funkcija ima v točki t 0 limito A = (A x, A y, A z ) natanko takrat, ko imajo koordinatne funkcije limite: A x = lim t t0 x(t), A y = lim t t0 y(t), A z = lim t t0 z(t). 10

Funkcija t r(t) je zvezna v točki t 0 [a, b], če je definirana v neki okolici točke t 0 in ima v t 0 limito, ki je enaka r (t 0 ). V smislu leve in desne limite govorimo ustrezno tudi o zveznosti z leve oziroma z desne funkcije t r (t). Funkcija t r(t) je zvezna v točki t 0 natanko tedaj, ko so v t 0 zvezne njene koordinatne funkcije. Pravimo, da je funkcija zvezna na intervalu, če je zvezna v vsaki točki tega intervala. Odvod r (t 0 ) definiramo na običajni način: r (t 0 ) = lim t t0 r (t) r (t 0 ) t t 0. Če odvod obstaja, rečemo, da je funkcija t r (t) odvedljiva v točki t 0. Tako kot levo in desno limito funkcije vpeljemo tudi njen levi in desni odvod. Funkcija je na intervalu odvedljiva, če je odvedljiva v vsaki točki tega intervala. Analogno definiramo tudi odvode višjega reda. Odvod r (t 0 ) 0 je vektor, ki v točki r (t 0 ) kaže v smeri tangente na krivuljo K. Nastane kot limitni primer sekante skozi točki r (t 0 ) in r (t), ko t t 0 (slika 6). Slika 6: Sekanta in tangenta. Funkcija t r (t) odvedljiva v točki t 0 natanko tedaj, ko so v t 0 odvedljive 11

njene koordinatne funkcije. Tedaj velja: r (t 0 ) = (ẋ(t 0 ), ẏ(t 0 ), ż(t 0 )). Odvod pišemo tudi v obliki diferencialnega kvocienta: r (t) = d r ( ) dx dt (t) = dy dz (t), (t), dt dt dt (t). Če zapis parametra t ni pomemben, pišemo preprosteje: r = r(t), r = (ẋ, ẏ, ż),.. r = (.. x,.. y,.. z),... r = (... x,... y,... z ). Diferencial d r vpeljemo na običajni način: Zato lahko zapišemo: d r = r dt = (ẋ dt, ẏ dt, ż dt). d r = d(x, y, z) = (dx, dy, dz). Za koordinatne funkcije x, y, z : [a, b] R 3, s katerimi opišemo krivuljo K, bomo v nadaljevanju predpostavili, da so vsaj dvakrat zvezno odvedljive, kajti natanko takrat je tudi vektorska funkcija r : [a, b] R 3 vsaj dvakrat zvezno odvedljiva. Predpostavimo tudi, da odvod r (t) ni identično enak nič. Parametrizacija krivulje ni samo ena. Dolžino krivulje K izrazimo s formulo s(k) = b a r (t) dt. Če vzamemo poljuben t [a, b], potem z integralom s(t) = s [a,t] = t a r (τ) dτ izračunamo dolžino tistega dela krivulje, ki ustreza parametrom od a do t. Očitno je s(a) = s [a,a] = 0 in s(b) = s [a,b] = s(k). Funkcija t s(t) je naraščajoča in odvedljiva ter nam definira tako imenovani naravni parameter s krivulje K po formuli s(t) = t a 12 r (τ) dτ.

Očitno je ṡ(t) = r ds (t), dt = r, ds = r dt. Ugodno je vpeljati hitrost v s formulo v = r, s čimer dobijo prejšnje formule enostavnejšo obliko: ṡ(t) = v(t), ds dt = v, ds = v dt, ds = d r. Funkcija t s(t) je za dano krivuljo K povratno enolična, zato obstaja funkcija s t(s) iz [0, s(k)] na [a, b] in krivuljo lahko preparametriziramo, namesto r (t(s)) pa pišemo kar r (s). Krivuljo zapišemo z naravnim parametrom s, odvode pa označimo s črtico namesto s piko: r = r (s), r = (x, y, z ), r = (x, y, z ), r = (x, y, z ). Odvode po parametru t in po naravnem parametru s so povezani. Najlaže gre s prvim odvodom: Z drugim je že nekoliko teže: r = d r dt = d r ds ds dt = v r... r = d r dt = d dt (v r ) = v r + v 2 r. Tretji odvod zahteva le malo več potrpljenja:... r = d.. r dt = d dt ( v r + v 2 r ) = v.. r + 3v v r + v 3 r. Izračunajmo še vektorski produkt r r.... in mešani produkt ( r, r,... r ): r.. r = (v r ) ( v r + v 2 r ) = v 3 r r,.. ( r, r,... r ) = ( r r)..... r = (v 3 r r ) ( v.. r + 3v v r + v 3 r ) = v 6 ( r, r, r ). Upoštevali smo distributivnostni zakon za skalarni produkt in pravilo, ki pravi, da je mešani produkt treh vektorjev enak nič, kakor hitro sta v njem dva faktorja kolinearna. Tako smo pridelali formuli: r r.. = v 3 r r.., ( r, r,... r ) = v 6 ( r, r, r ). 13

3 Ukrivljenosti, Frenetova baza Krivulji K, parametrizirani z naravnim parametrom s, to je r = r (s), bomo sedaj v njenih točkah priredili urejeno ortonormirano bazo { T (s), N (s), B (s)}, imenovano Frenetova baza, osnovni trieder ali osnovni trirob krivulje. V primeru naravnega parametra je iz česar sledi z odvajanjem s = s 0 r (σ) dσ, 1 = ds ds = r (s). Vektor T (s) = r (s) je torej enotski vektor, imenujemo ga vektor tangente dane krivulje. Ker je T (s) T (s) = 1, dobimo z odvajanjem T (s) T (s) + T (s) T (s) = 2 T (s) T (s) = 0, kar pomeni T (s) T (s) = 0, z drugimi besedami, če je vektor T (s) 0, je pravokoten na T (s). Enotski vektor N (s) v smeri vektorja T (s) je tedaj definiran z 1 N (s) = T T (s) (s) in mu pravimo vektor glavne normale. Velja torej relacija T (s) N (s) = 0. Skalarni izraz k(s) = T (s) = r (s) 0 imenujemo prva ali fleksijska ukrivljenost ali upognjenost krivulje. Formuli, ki izhaja iz definicije vektorja glavne normale, to je T (s) = k(s) N (s), pravimo prva Frenetova formula. 14

Slika 7: Frenetova baza krivulje. Tretji vektor Frenetove baze je vektor binormale B (s), ki je hkrati pravokoten na T (s) in N (s), kar pomeni, da ga lahko izrazimo z vektorskim produktom: B (s) = T (s) N (s). Tudi B (s) je enotski vektor. Vsi trije vektorji, T (s), N (s), B (s), sestavljajo desno orientirano bazo, Frenetovo bazo krivulje. To pomeni: T (s) T (s) = N (s) N (s) = B (s) B (s) = 1 in T (s) N (s) = N (s) B (s) = B (s) T (s) = 0. Vzdolž krivulje se smeri vseh teh treh vektorjev spreminjajo, njihova medsebojna lega in dolžine pa se ohranjajo (slika 7). Dva vektorja Frenetove baze preostalega natančno določata: T (s) = N (s) B (s), N (s) = B (s) T (s), B (s) = T (s) N (s). Njihov mešani produkt je enak 1: ( T (s), N (s), B (s)) = 1. 15

Ker je B (s) B (s) = 1, dobimo prav tako z odvajanjem relacijo B (s) B (s) = 0, z drugimi besedami, če je vektor B (s) 0, je pravokoten na B (s). Z odvajanjem dobimo še B (s) = T (s) N (s) + T (s) N (s) = = k(s) N (s) N (s) + T (s) N (s) = = T (s) N (s), kar pomeni, da je vektor B (s) pravokoten še na vektor T (s). Zato je vektor B (s) kolinearen z vektorjem B (s) T (s) = N (s). Zapišemo torej lahko tretjo Frenetovo formulo: B (s) = κ(s) N (s). Skalar κ(s) imenujemo druga ali torzijska ukrivljenost, tudi zvitost krivulje. Je realno število, lahko pozitivno, negativno ali nič. Drugo Frenetovo formulo (ker ustreza odvodu drugega vektorja Frenetove baze) dobimo iz N (s) = ( B (s) T (s)) = B (s) T (s) + B (s) T (s) = = κ(s) N (s) T (s) + k(s) B (s) N (s) = = k(s) T (s) + κ(s) B (s). Zberimo in zapišimo skupaj formule po vrsti v skrajšani obliki: T = k N, N = k T + κ B, B = κ N. Imenujemo jih Frenet Serretove formule, pogosto samo Frenetove formule. Jean Frédéric Frenet (1816 1900) in Joseph Alfred Serret (1819 1885) sta bila francoska matematika. V simbolični matrični obliki lahko isto zapišemo kot T N B = 0 k 0 k 0 κ 0 κ 0 = T N B. 16

Z vpeljavo Darbouxovega vektorja D = κ T + k B lahko izrazimo Frenetove formule v enotni obliki: T = D T, N = D N, B = D B. Jean-Gaston Darboux (1842 1917) je bil francoski matematik, najbolj dejaven pa je bil v diferencialni geometriji in matematični analizi. Po njem se imenuje Darbouxov integral. Absolutna vrednost Darbouxovega vektorja D = k 2 + κ 2 = N predstavlja tretjo ukrivljenost krivulje, ki pa ni samostojna, saj se izraža s prvima dvema. Obe ukrivljenosti bomo sedaj zapisali v obeh primerih: ko je krivulja K dana z naravnim parametrom s in ko je dana s splošnim parametrom t, torej v oblikah r = r (s) in r = r (t). V prvem primeru že imamo izraz: k = T = r. Ker je velja r.. r = v 3 r r = v 3 T T = kv 3 T N = kv 3 B, r.. r = kv 3 = k r 3. Nazadnje lahko zapišemo obe obliki za fleksijsko ukrivljenost: k = r = r r.. r. 3 Da bi dobili izraz za torzijsko ukrivljenost, ko k 0, pomnožimo obe strani tretje Frenetove formule z vektorjem N in dobimo: κ = N B = 1 k T ( T N) = 1 k T ( T N) 1 k T ( T N ). 17

Prvi skalarni produkt je enak nič, drugega pa izrazimo kot mešan produkt: κ = 1 k ( T, T, (k 1 T ) ) = 1 k ( T, T, (k 1 ) T + k 1 T )) = 1 k 2 ( T, T, T ). Nazadnje dobimo izraz za torzijsko ukrivljenost: κ = ( r, r, r ) r 2. V primeru splošnega parametra izrazimo κ = ( r, r, r ) k 2 =.. ( r, r,... r ) r 6 v 6 r r.. = ( r,.. r,... r ) 2 r r... 2 Nazadnje imamo obe obliki za torzijsko ukrivljenost: κ = ( r, r, r ) r 2 = ( r,.. r,... r ) r r... 2 Vektorje Frenetove baze pri splošnem parametru dobimo zelo preprosto. Spoznali smo že, da je vektor T kolinearen v isto smer z vektorjem r, vektor B pa z vektorjem r r... Z normiranjem dobimo: T = 1 r r, B = 1 r.. r r.. r, N = B T. Katere krivulje imajo fleksijsko ukrivljenost enako nič? Postavimo enačbo k(s) = 0. Za iskano krivuljo mora po prvi Frenetovi formuli veljati enačba T (s) = r = 0, kar pomeni, da je vektor T (s) = r (s) konstanten: r (s) = T 0. To pa pomeni, da je r(s) = s T 0 + C, kjer je C konstanten vektor. Iskane krivulje so torej premice. Katere krivulje pa imajo torzijsko ukrivljenost enako nič? Postavimo enačbo κ(s) = 0. Iz tretje Frenetove formule dobimo B (s) = 0, kar pomeni, da je vektor binormale konstanten: B (s) = B0. Seveda pa velja T (s) B 0 = r (s) B 0 = ( r (s) B 0 ) = 0, 18

kar pomeni, da je sedaj r (s) B 0 = c 0, kjer je c 0 konstanta. Krivulja torej leži v ravnini r B 0 = c 0. Normala te ravnine je ravno vektor B 0. Sklenemo lahko, da imajo samo ravninske krivulje torzijsko ukrivljenost enako nič. Dovolj lepa prostorska krivulja v vsaki svoji točki M določa po tri premice in po tri ravnine. Premica skozi M v smeri tangentnega vektorja T je tangenta, v smeri vektorja glavne normale N je glavna normala, v smeri vektorja binormale B pa binormala krivulje. Enačbe teh premic so po vrsti: r = r (s) + λ T (s), r = r (s) + µ N (s), r = r (s) + ν B (s). Pri tem so λ, µ in ν realni parametri. Ravnina skozi točko M, ki je pravokotna na vektor T in vsebuje vektorja N in B, je normalna ravnina krivulje. Ravnina skozi točko M, ki je pravokotna na vektor N in vsebuje vektorja B in T, je rektifikacijska ravnina krivulje. Ravnina skozi točko M, ki je pravokotna na vektor B in vsebuje vektorja T in N, je pritisnjena ali oskulacijska ravnina krivulje. Enačbe teh ravnin so po vrsti: ( r r(s)) T (s) = 0, ( r r(s)) N (s) = 0, ( r r(s)) B (s) = 0. Če krivulja leži v ravnini Π, je le-ta njena oskulacijska ravnina. Izračunajmo fleksijsko ukrivljenost krožnice s polmerom a. Brez škode za splošnost lahko krožnica leži v ravnini z = 0 in ima središče v koordinatnem izhodišču. Njena enačba v parametrični obliki je Za odvoda dobimo Brez težav poiščemo še r (t) = a(cos t, sin t, 0). r (t) = a( sin t, cos t, 0),.. r (t) = a( cos t, sin t, 0). r (t) = a, r (t).. r (t) = a 2 (0, 0, 1), r (t).. r (t) = a 2. Torej je k = 1/a. Fleksijska ukrivljenost krožnice je konstantna, enaka je obratni vrednosti njenega polmera. 19

Slika 8: Pritisnjena krožnica krivulje. To nas napelje na misel, da vsaki točki dovolj lepe krivulje priredimo krožnico, ki ima polmer R(s) = 1/k(s), se krivulje dotika in leži v njeni pritisnjeni ravnini. Taka krožnica ima središče v točki S s krajevnim vektorjem σ (s) = r (s) + R(s) N (s). Imenujemo jo pritisnjena krožnica krivulje v točki, ki ustreza parametru s (slika 8). Vijačnica ali heliks je prostorska krivulja, ki jo v koordinatnem sistemu Oxyz zapišemo kot r (t) = (a cos t, a sin t, bt). Pri tem sta a in b pozitivni konstanti. To je desnosučna vijačnica. Pri levosučni vijačnici zamenjamo prvi dve koordinati. Tudi v tehniki poznamo desni in levi vijak. Navoji ravno ustrezajo vijačnici kot matematični krivulji. Obravnavali bomo prvi primer. Točka, ki enakomerno kroži po krožnici s polmerom a, hkrati pa središče enakomerno drsi po osi z, pri čemer je ravnina krožnice ves čas pravokotna na to os, opisuje vijačnico H (slika 9). Za vijačnico dobimo: r (t) = ( a sin t, a cos t, b),.. r (t) = ( a cos t, a sin t, 0). 20

Slika 9: Desna vijačnica. Brez težav poiščemo še r (t) = a 2 + b 2, r (t).. r (t) = a(b sin t, b cos t, a), r (t).. r (t) = a a 2 + b 2, s tretjim odvodom pa izrazimo še... r (t) = a(sin t, cos t, 0).. ( r, r,... r ) = ( r r.. )... r = a 2 b. Končno dobimo a k = a 2 + b, κ = b 2 a 2 + b. 2 Pri levosučni vijačnici je razlika le v predznaku pri torzijski ukrivljenosti. Dolžina vijačnice, ki ustreza parametrom τ na intervalu [0, t] je s(t) = t 0 r (τ) dτ = t a 2 + b 2 dτ = a 2 + b 2 t. Vijačnico lahko preparametriziramo z naravnim parametrom tako, da vstavimo v njeno vektorsko obliko t = s/c, kjer je c = a 2 + b 2 : r (s) = (a cos(s/c), a sin(s/c), bs/c). 0 21

Vzdolž krivulje vektor tangente in binormale v splošnem spreminjata smer. Denimo, da je pri parametru s vektor tangente T, pri s + s pa T + T in vzemimo, da se je pri tem njegova smer spremenila za kot α. Prav tako naj bo pri parametru s vektor binormale B, pri s + s pa B + B in predpostavimo, da se je pri tem njegova smer spremenila za kot β. Iz relacij T T = 1, ( T + T ) ( T + T ) = 1, T ( T + T ) = cos α takoj dobimo Iz tega sledi 2 T T = 4 sin 2 ( α/2) = T 2. T s = 2 sin( α/2) s = sin( α/2) α/2 α s. Sedaj naredimo limitni prehod s 0, kar ima za posledico α 0, in dobimo: k = T = α (s). Po istem postopku dobimo tudi κ = B = β (s). Ugotovitvi lahko opišemo z besedami. Fleksijska ukrivljenost je naglica spreminjanja smeri vektorja tangente vzdolž krivulje, torzijska ukrivljenost pa naglica spreminjanja smeri vektorja binormale vzdolž krivulje. Poglejmo si še, kako se prostorska krivulja s r (s) obnaša v okolici svoje točke M 0, ki ji pripada krajevni vektor r 0 = r (s 0 ). Elemente Frenetove baze, ukrivljenosti k in njenega odvoda k ter ukrivljenosti κ v tej točki opremimo z indeksom 0. Za s, ki se malo razlikuje od s 0, zapišimo Taylorjevo vrsto: r (s) = r 0 + r (s 0 )(s s 0 ) + 1 2! r (s 0 )(s s 0 ) 2 + 1 3! r (s 0 )(s s 0 ) 3 +... Označimo σ = s s 0, ϱ (σ) = r (s) r 0 in uporabimo Frenetove formule v točki s 0 : ϱ (σ) = T 0 σ + 1 2 k 0 N 0 σ 2 + 1 6 ( k2 0 T 0 + k 0 N 0 + k 0 κ 0 B0 )σ 3 +... 22

Uredimo po Frenetovi bazi: ( ) ϱ (σ) = σ k2 0 6 σ3 T 0 + ( k0 2 σ2 + k 0 6 σ3 ) N 0 + k 0κ 0 6 σ3 B0 +... Pravokotna projekcija krivulje na pritisnjeno ravnino, v katero postavimo pravokotni koordinatni sistem M 0 ξη z vektorskima enotama T 0 v smeri osi ξ in N 0 v smeri osi η je: ξ(σ) = σ k2 0 6 σ3, η(σ) = k 0 2 σ2 + k 0 6 σ3. Zanemarimo σ 3 v primeravi s σ in σ 2 : ξ(σ) = σ, η(σ) = k 0 2 σ2. Odvisnost η od ξ je kvadratna: η = k 0 ξ 2 /2. Projekcija se obnaša kot parabola. Uporabimo sliko 7. Pogled v smeri vektorja B 0 kaže slika 10. Slika 10: Pogled na krivuljo v smeri binormale. Pravokotna projekcija krivulje na normalno ravnino, v katero postavimo pravokotni koordinatni sistem M 0 ηζ z vektorskima enotama N 0 v smeri osi η in B 0 v smeri osi ζ, je: η(σ) = k 0 2 σ2 + k 0 6 σ3, ζ(σ) = k 0κ 0 6 σ3. 23

Zanemarimo σ 3 v primeravi s σ 2 pri η: η(σ) = k 0 2 σ2, ζ(σ) = k 0κ 0 6 σ3. Povezava med η od ζ je: 2κ 0 η 3 = 9k 0 ζ 2. Projekcija se obnaša kot polkubična parabola. Uporabimo spet sliko 7. Pogled v smeri vektorja T 0 kaže slika 11. Slika 11: Pogled na krivuljo v smeri tangente. Nazadnje je pravokotna projekcija krivulje na rektifikacijsko ravnino, v katero postavimo pravokotni koordinatni sistem M 0 ζξ z vektorskima enotama B 0 v smeri osi ζ in T 0 v smeri osi ξ: ζ(σ) = k 0κ 0 6 σ3, ξ(σ) = σ k2 0 6 σ3. Zanemarimo σ 3 v primerjavi s σ pri ξ: ζ(σ) = k 0κ 0 6 σ3, ξ(σ) = σ. Povezava med ζ in ξ je kubična: ζ = k 0 κ 0 ξ 3 /6. Projekcija se obnaša kot kubična parabola. Uporabimo spet sliko 7. Pogled v smeri vektorja N 0 kaže slika 12. 24

Slika 12: Pogled na krivuljo v smeri glavne normale. Za vajo izrazimo mešani produkt ( T, T, T ) z ukrivljenostma k in κ. Uporabimo prvo in drugo Frenetovo formulo: T = kn, T = (kn) = k N + kn = k N + k( kt + κb). Uredimo po Frenetovi bazi: T = k 2 T + k N + kκb. Nato nadaljujemo: T = 2kk T k 2 T + k N + k N + (kκ) B + kκb. Uporabimo vse tri Frenetove formule: T = 2kk T k 3 N + k N + k ( kt + κb) + (kκ) B kκ 2 N. Uredimo po Frenetovi bazi: T = 3kk T + (k k 3 kκ 2 ) N + (2k κ + kκ ) B. Očitno je T T = k 3 N T + k 2 κn B = k 2 κt + k 3 B, 25

s tem pa tudi ( T, T, T ) = ( T T ) T = k 2 κ( 3kk )+k 3 (2k κ+kκ ) = k 4 κ k 3 k κ. Nazadnje lahko zapišemo v zgoščeni obliki: ( T, T, T ( ) κ ) = k 5. k S podobnim računom dobimo tudi ( ) ( B, B, B k ) = κ 5. κ Kdor pa ima voljo, naj poskusi izračunati še ( N, N, N ). 4 Primer parametrizacije krivulje Pogosto je krivulja opredeljena kot presek dveh ploskev. Stožnice so že tak primer: so preseki stožca z ravnino. Prav tako Perzejeve krivulje, ki so preseki torusa z ravnino, ki je vzporedna njegovi osi. Presek valja in sfere, pri čemer se valj od znotraj dotika sfere, je krivulja, ki ji pravimo Evdoksova hipopeda. Stožec, valj in torus so tukaj ploskve, ne telesa. Poglejmo si poseben primer Evdoksove hipopede, Vivianijevo krivuljo V. To je osmici podobna krivulja na sferi. V koordinatnem sistemu Oxyz nastane kot presek sfere x 2 +y 2 +z 2 = a 2 in valja x 2 +y 2 = ax. Pri tem je a pozitivna konstanta, polmer sfere. Valj se od znotraj v točki A(a, 0, 0) dotika sfere, na nasprotni strani pa valj poteka skozi središče O sfere (skika 13). Pravokotna projekcija krivulje V na ravnino z = 0 je krožnica x 2 + y 2 = ax, ki jo prepišemo v obliko (x a/2) 2 + y 2 = (a/2) 2. Njena preprosta parametrizacija je x = a 2 (1 + cos t) = a cos2 (t/2), y = a sin t = a sin(t/2) cos(t/2), 0 t 2π. 2 Projekcijo dvignemo na sfero. Izrazimo z 2 = a 2 a2 4 (1 + cos t)2 a2 4 sin2 t = a 2 sin 2 (t/2). 26

Slika 13: Nastanek Vivianijeve krivulje. Če vpeljemo nov parameter τ = t/2, imamo parametrizacijo krivulje V: r (τ) = a(cos 2 τ, sin τ cos τ, sin τ), τ π. Ko parameter τ narašča od 0 proti π, krivulja štarta v točki A(a, 0, 0), pri τ = π/4 gre skozi točko (a/2, a/2, a 2/2), kjer se najbolj oddalji od ravnine Ozx. Pri τ = π/2 doseže točko N(0, 0, a), ki je najbolj oddaljena od ravnine Oxy. Pri τ = 3π/4 dobimo točko (a/2, a/2, a 2/2) in pri τ = π spet točko A(a, 0, 0). Podobno opišemo potek krivulje na južni polobli. Parametru τ = π/4 ustreza točka (a/2, a/2, a 2/2), parametru τ = π/2 točka (0, 0, a), parametru τ = 3π/4 točka (a/2, a/2, a 2/2) in nazadnje parametru τ = π spet točka A(a, 0, 0), kjer krivulja preseka sama sebe pod pravim kotom. Slednje potrjuje račun: r (0) = a(0, 1, 1), r (π) = a(0, 1, 1), r (0) r (π) = 0. Pravokotna projekcija krivulje V na ravnino Oxy je seveda krožnica x 2 + y 2 = ax. Kaj pa sta pravokotni projekciji na preostali koordinatni ravnini? Projekcija na koordinatno ravnino Ozx ima parametrično obliko x = a cos 2 τ, z = a sin τ. 27

Z izločitvijo parametra τ dobimo ax = a 2 z 2. To je enačba parabole. V poštev pride le tisti del, kjer je z a, 0 x a (slika 14). Slika 14: Pravokotna projekcija Vivianijeve krivulje na ravnino Ozx. Pravokotna projekcija na koordinatno ravnino Oyz ima parametrično obliko y = a sin τ cos τ, z = a sin τ. Z izločitvijo parametra τ dobimo a 2 y 2 = z 2 (a 2 z 2 ). To je enačba Geronove lemniskate, tudi Huygensove lemniskate ali preprosto kar osmice (slika 15). Oglejmo si še dolžino Vivianijeve krivulje na odseku, ki ustreza parametrom τ na intervalu [0, t]. Tako kot pri vijačnici imamo s(t) = le integrand ni tako preprost, ker je t 0 r (τ) dτ, r (τ) = a( 2 cos τ sin τ, cos 2 τ sin 2 τ, cos τ) = = a( sin 2τ, cos 2τ, cos τ), r (τ) = a 1 + cos 2 τ = a 2 1 sin 2 τ/2. Z eliptičnim integralom druge vrste v Legendrovi obliki ϕ E(ϕ, k) = 1 k 2 sin 2 u du 0 28

Slika 15: Pravokotna projekcija Vivianijeve krivulje na ravnino Oyz. lahko zapišemo: s(t) = a 2E(t, 2/2). Adrien-Marie Legendre (1752 1833) je bil francoski matematik, znan na primer še po Legendrovem simbolu v teoriji števil, Legendrovih polinomih in Legendrovih funkcijah v teoriji potenciala in Legendrovi formuli za funkcijo Γ. Omenjamo ga zato, ker so dolgo imeli za njegovo podobo, tudi po matematično zgodovinskih knjigah, portret napačnega človeka, in sicer politika Louisa Legendra (1752 1797). Na portretu ni zapisano njegovo polno ime, ampak le Legendre, kar je zavedlo zgodovinarje. Matematik Legendre se očitno ni dal portretirati, obstaja samo neka karikatura iz leta 1820, kjer je upodobljen skupaj z matematikom Fourierom. Slika 16: Politik Legendre (levo), matematik Legendre (desno). Nekaj podobnega se je zgodilo z Arhimedom. Doprsni kip spartanskega kralja 29

Arhidama III so dolgo imeli za Arhimedovega. Na podlagi tega kipa so dajali v zgodovinske knjige ter na znamke in kovance napačno Arhimedovo podobo. Poglejmo si še stereografsko projekcijo Vivianijeve krivulje na ekvatorialno ravnino sfere, na kateri leži. Iz severnega pola N sfere skozi točko P N na sferi konstruiramo poltrak. Njegovo presečišče P je stereografska projekcija točke P (slika 17). Če ima točka P koordinate (X, Y, Z), ima P koordinati (x, y, 0). Povezavi v eno smer pri pogoju X 2 + Y 2 + Z 2 = a 2 sta naslednji: x = Povezave v nasprotni smeri pa so: X = 2a 2 x x 2 + y 2 + a 2, Y = ax a Z, y = ay a Z. 2a 2 y x 2 + y 2 + a, Z = a(x2 + y 2 a 2 ). 2 x 2 + y 2 + a 2 Točke na ekvatorju sfere so negibne ta stereografsko projekcijo. Če se točka P bliža severnemu polu N, beži točka P v neskončnost. Vivianijeva krivulja Slika 17: Stereografska projekcija. se s stereografsko projekcijo preslika v krivuljo x = a(1 + sin τ), y = a sin τ cos τ 1 sin τ. 30

Njeno implicitno obliko pa dobimo z upoštevanjem, da koordinati X in Y zadoščata enačbi valja X 2 + Y 2 = ax. Veljati mora torej Po poenostavitvi dobimo 4a 4 x 2 (x 2 + y 2 + a 2 ) 2 + 4a 4 y 2 (x 2 + y 2 + a 2 ) 2 = 2a 3 x x 2 + y 2 + a 2. 2a(x 2 + y 2 ) = x(x 2 + y 2 + a 2 ). To je implicitna enačba iskane krivulje. Izrazimo y 2 = x(x a)2 2a x. To je enačba strofoide v koordinatnem sistemu Oxy. Stereografska projekcija Slika 18: Strofoida kot stereografska projekcija Vivianijeve krivulje. Vivianijeve krivulje je torej strofoida. Strofoida ima presečišči z osjo x v točkah O(0, 0) in A(a, 0), premica x = 2a pa je njena navpična asimptota. Strofoida je simetrična glede na os x. Med točkama O in A opiše zanko. Poljuben poltrak s krajiščem v točki O skozi točko M z neničelno ordinato na asimptoti preseka strofoido še v točkah A in B (slika 19), premico x = a pa v točki S. Ne glede na izbiro točke M ležijo točke A, B in C na krožnici s središčem v točki S. To je določilna lastnost strofoide. 31

Ime krivulje strofoida izhaja iz grščine: στροφή pomeni zavoj, upogib, obrat, -ειδής pa je oblike. Poznal jo je že Evangelista Torricelli (1608 1647). Strofoida je očitno algebrska krivulja tretje stopnje. Razvoj v Taylorjevo vrsto v okolici točke x = a se začne takole: y 2 = (x a) 2 + 2 a (x a)3 +... To se pravi, da je za x blizu a ordinata y blizu x a, kar pomeni, da strofoida seka samo sebe v točki A pravokotno. Da se pokazati, da stereografska Slika 19: Strofoida. projekcija ohranja kote. Zato se strofoida seka prav tako pravokotno kot Vivianijeva krivulja na sferi. Ploščino S 1 strofoidine zanke izračunamo z integralom: a x S 1 = 2 (a x) 0 2a x dx. S substitucijo dobimo x = 2a sin 2 u π/4 S 1 = 8a 2 cos 2u sin 2 u du 0 32

in po prehodu od potenc na večkratne argumente v trigonometričnih funkcijah π/4 S 1 = 2a 2 (2 cos 2u 1 cos 4u) du = 2a 2 πa2 0 2. Prav tako dobimo ploščino S 2 neomejenega lika med strofoido in njeno asimptoto: Z isto substitucijo kot prej je 2a x S 2 = 2 (x a) a 2a x dx. π/2 S 2 = 8a 2 ( cos 2u) sin 2 u du π/4 in spet po prehodu od potenc na večkratne argumente v trigonometričnih funkcijah π/2 S 2 = 2a 2 (1 + cos 4u 2 cos 2u) du = 2a 2 + πa2 π/4 2. To se je starim imenitno zdelo, kajti S 2 S 1 = πa 2, kar je ravno ploščina kroga s polmerom a. 5 Loksodroma Povedali smo že, da je loksodroma sferna krivulja, ki seka vse poldnevnike pod stalnim kotom α. Primer α = 0 nam da nezanimive poldnevnike, primer α = π/2 pa vzporednike, zato predpostavimo pogoj 0 < α < π/2. Sfero s polmerom a postavimo v koordinatni sistem Oxyz tako, da ima središče v izhodišču O. Njena enačba je x 2 + y 2 + z 2 = a 2. Točko N(0, 0, a) bomo imenovali severni pol ali severni tečaj, točko S(0, 0, a) pa južni pol ali južni tečaj sfere. Vsako točko T (x, y, z) na sferi določa njen krajevni vektor r. Razen obeh polov pa jo določata tudi zemljepisna dolžina ali longituda u in zemljepisna širina ali latituda v. Vzamemo π u < π, π/2 v π/2. V polih je v = ±π/2, u pa ni določen. Ekvator je krožnica, ki je presek sfere in ravnine z = 0, na njem je v = 0. Kot v merimo od ekvatorja proti poloma: proti severnemu pozitivno, proti južnemu negativno. Polkrožnica od severnega pola proti južnemu prek točke (a, 0, 0) je začetni poldnevnik. 33

Vsi poldnevniki so polkrožnice od severnega proti južnemu polu. Ravnina poldnevnika oklepa z ravnino začetnega poldnevnika kot u, ki ga štejemo pozitivnega v matematičnem smislu, gledano iz točke na pozitivni osi z (slika 20). Po vsem tem lahko zapišemo r = r (u, v) = a(cos u cos v, sin u cos v, sin v). S tem smo pravzaprav zapisali sfero v parametrični obliki, z vektorsko funkcijo dveh parametrov. V parametrični obliki r = r (u, v) lahko zapišemo tudi bolj zapletene ploskve, če primerno izberemo koordinatne funkcije parametrov u in v. Če po en parameter vzamemo konstanten, dobimo v tej parametrizaciji koordinatne krivulje na sferi. Krivulje r (u) = r (u, v 0 ) = a(cos u cos v 0, sin u cos v 0, sin v 0 ) so za vsak konstanten v 0 vzporedniki, krivulje r (v) = r (u 0, v) = a(cos u 0 cos v, sin u 0 cos v, sin v) pa za vsak konstanten u 0 poldnevniki na sferi. Tako dobimo koordinatno mrežo na sferi. Sedaj se lotimo loksodrome. Poiskati moramo tako povezavo med parametroma u in v, ki definira sferno krivuljo, ki seka poldnevnike pod stalnim kotom α. To je prav tako kot relacija med x in y v koordinatnem sistemu Oxy. Kot α med krivuljama je kot med tangentama v presečišču teh krivulj. Ker ima diferencial d r krivulje isto smer kot njena tangenta, lahko kot med njima hitro izrazimo. Diferencial v zvezi s prvo krivuljo označimo z d, v zvezi z drugo pa z δ. Torej lahko izrazimo Na ploskvi r = r (u, v) je cos α = d r δ r d r δ r = d r δ r ds δs. d r = r r du + u v dv 34

Slika 20: Koordinate na sferi. in d r 2 = ds 2 = E du 2 + 2F dudv + Gdv 2, pri čemer so Gaußovi koeficienti E, F, G definirani takole: Preprost račun pokaže za sfero: E = r u r u, F = r u r v, G = r v r v. r u r v Nazadnje dobimo za sfero = a( sin u cos v, cos u cos v, 0), = a( cos u sin v, sin u sin v, cos v). E = a 2 cos 2 v, F = 0, G = a 2. in ds 2 = a 2 (cos 2 v du 2 + dv 2 ). Sedaj ni težko izraziti produkt za parametrizirano ploskev d r δ r = ( r r r r du + dv) ( δu + u v u v δv). 35

Z Gaußovimi koeficienti dobimo: d r δ r = E duδu + F (duδv + δudv) + G dvδv. Posebej je za sfero d r δ r = a 2 (cos 2 v duδu + dvδv). Za krivulji na sferi je nazadnje: cos 2 v duδu + dvδv cos α = cos2 v du 2 + dv 2 cos 2 v δu 2 + δv. 2 Iskana loksodroma naj ima diferenciale d, poldnevnik pa δ. Na poldnevniku se parameter u ne spreminja, zato je δu = 0 in izraz za kot α se poenostavi: cos α = dv cos2 v du 2 + dv 2. Dobljeno diferencialno enačbo preoblikujemo, tako da najprej zapišemo ( ) 2 1 du cos 2 α = 1 + tg2 α = 1 + cos 2 v, dv iz česar dobimo preprosto diferencialno enačbo ( ) 2 du cos 2 v = tg 2 α, dv ki razpade na dve: Ločimo spremenljivki: du dv cos v = tg α, du cos v = tg α. dv du = tg α dv dv, du = tg( α) cos v cos v. Dovolj je obravnavati primer α > 0. Loksodrome tedaj potekajo v smeri severovzhoda proti severnemu polu oziroma proti jugozahodu proti južnemu (slika 21). Ko namreč malo povečamo u, se malo poveča tudi v. To je desnosučna loksodroma. Levosučno loksodromo dobimo, če α zamenjamo z α. Za enolično rešitev dobljene diferencialne enačbe moramo poznati še začetni pogoj. Krivulja naj poteka skozi točko na sferi, ki ustreza parametroma u 0 in v 0. Z integracijo dobimo v dν u u 0 = tg α v 0 cos ν = tg α (ln tg(v/2 + π/4) ln tg(v 0/2 + π/4)) 36

ali u = u 0 + tg α ln tg(v/2 + π/4) tg(v 0 /2 + π/4). Za loksodromo, ki poteka skozi točko (a, 0, 0), vzamemo u 0 = v 0 = 0 in dobimo u = tg α ln tg(v/2 + π/4). Enačba take loksodrome v parametrični obliki je torej: r (v) = a(cos(tg α ln tg(v/2 + π/4)), sin(tg α ln tg(v/2 + π/4)), sin v). Pri istem α dobimo vse loksodrome z zasukom slednje okoli osi z. Ko v ±π/2, se loksodroma spiralasto ovija okoli polov. Kotu u tukaj dovolimo vse realne vrednosti, ne le tiste med π in π, da se loksodroma lepo zvezno nadaljuje v obe smeri. Slika 21: Loksodroma. V rešitvi nastopa funkcija v ln tg(v/2 + π/4), definirana na intervalu ( π/2, π/2). Ni sicer takoj razvidno, da je to liha funkcija. Poskusimo dokazati: ln tg( v/2 + π/4) = ln ctg(π/2 (π/4 v/2)) = ln ctg(v/2 + π/4) = = ln(1/ tg(v/2 + π/4) = ln tg(v/2 + π/4). 37

Nekateri pa raje enačbo loksodrome izrazijo s hiperboličnimi funkcijami, ki sta jih vpeljala neodvisno eden od drugega italijanski matematik in fizik Vincenzo Riccati (1707 1775) ter švicarsko-alzaški matematik Johann Heinrich Lambert (1728 1777). Slednji je znan po tem, da je prvi dokazal, da je razmerje med obsegom in premerom kroga, to je število π, iracionalno. To pomeni, da je π nemogoče zapisati kot kvocient dveh naravnih števil. Vincenzu Riccatiju je bil oče matematik Jacopo Francesco Riccati (1676 1754), po katerem se imenuje diferencialna enačba y = a(x)y 2 + b(x)y + c(x). Jacopov drugi sin je bil Giordano Riccati (1709 1790), fizik, arhitekt, matematik in glasbeni teoretik. Hiperbolični sinus sh, kosinus ch in tangens th so definirani za realno spremenljivko x relacijami: sh x = 1 2 (ex e x ), ch x = 1 2 (ex + e x ), th x = ex e x e x + e x. Zanje veljajo podobne relacije kot za trigonometrične funkcije, na primer: ch 2 x sh 2 x = 1, 1 th 2 x = 1 sh x ch 2, th x = x ch x. Vrnimo se k loksodromi. Obravnavali bomo tisto, ki poteka skozi točko, v kateri sta u = u 0 in v = 0, tako da je u u 0 = tg α ln tg(v/2 + π/4). Označimo m = ctg α, antilogaritmiramo in dobimo: e m(u u 0) = tg(v/2 + π/4). Kvadrirajmo obe strani in izrazimo s funkcijama sin in cos: e 2m(u u 0) = sin2 (v/2 + π/4) cos 2 (v/2 + π/4) = 1 cos(v + π/2) 1 + cos(v + π/2) = 1 + sin v 1 sin v. Pri tem smo uporabili identiteti 1+cos t = 2 cos 2 (t/2) in 1 cos t = 2 sin 2 (t/2). Izrazimo sin v = e2m(u u 0) 1 e 2m(u u 0) + 1 = em(u u0) e m(u u0) e m(u u 0) + e m(u u 0) = th m(u u 0). 38

Izrazimo še Enačba loksodrome je s tem ( r (u) = a cos v = cos u ch m(u u 0 ), 1 ch m(u u 0 ). Kvadrat diferenciala ločne dolžine loksodrome je ) sin u ch m(u u 0 ), th m(u u 0). ds 2 = a 2 (cos 2 v du 2 + dv 2 ) = a 2 (tg 2 α + 1) dv 2 = diferencial loka pa ds = a cos α dv. a2 cos 2 α dv2, Dolžina loka loksodrome med dvema vzporednikoma je odvisna le od razlike zemljepisnih širin: a s [v1,v 2 ] = cos α v 2 v 1. Celotna dolžina loksodrome, od južnega do severnega pola je s = s [ π/2,π/2] = aπ cos α. Oglejmo si še stereografsko projekcijo loksodrome na ekvatorialno ravnino. Vzemimo kar tisto, ki poteka skozi točko (a, 0, 0). V polarnih koordinatah je za to projekcijo ϱ 2 = x 2 + y 2 = a2 (X 2 + Y 2 ) = a2 (a + Z) (a Z) 2 a Z po transformacijskih formulah. Točka (X, Y, Z) je pri tem na sferi, da smo lahko upoštevali X 2 + Y 2 + Z 2 = a 2. Tu vzamemo X = a cos u cos v, Y = a sin u cos v, Z = a sin v, u = tg α ln tg(v/2 + π/4), ker nas zanima stereografska projekcija točke na loksodromi. Hitro dobimo ϱ 2 = a 2 1 + sin v 1 sin v Ker lahko izrazimo = a2 1 cos(v + π/2) 1 + cos(v + π/2) = a2 tg 2 (v/2 + π/4). tg(v/2 + π/4) = e mu, 39

dobimo ϱ 2 = a 2 e 2mu. Kot u lahko kar zamenjamo s polarnim kotom ϕ in pritrdimo, da je stereografska projekcija loksodrome Bernoullijeva ali logaritemska spirala ϱ = ae mϕ. Poldnevniki na sferi se s stereografsko projekcijo preslikajo v poltrakove s krajišči v koordinatnem izhodišču O. Ker preslikava ohranja kote, ti poltrakovi, vzdolž katerih merimo polarne radije, sekajo logaritemsko spiralo tudi pod kotom α. To lahko preverimo tudi tako, da uporabimo formulo za kot µ med radijem ϱ in spiralo: tg µ = ϱ dϱ/dϕ = 1 m = tg α. Torej je µ = α. Upoštevali smo, da se radiji z rastočim kotom ϕ stalno, eksponentno večajo. Točke loksodrome na severni polobli se stereografsko projicirajo v zunanjost krožnice x 2 + y 2 = a 2, točke na južni polobli pa v notranjost (slika 22). Slika 22: Logaritemska spirala kot stereografska projekcija loksodrome. V primeru levosučne loksodrome dobimo logaritemsko spiralo ϱ = ae mϕ. Tedaj se radiji z rastočim kotom ϕ stalno, eksponentno manjšajo. 40

Logaritemsko spiralo je imel zelo rad Jakob Bernoulli (1655 1705), ker je odkril veliko njenih lepih lastnosti. Pri določenih transformacijah namreč iz logaritemske spirale spet dobimo logaritemsko spiralo. Imenoval jo je prav zato spira mirabilis, čudežna spirala. in na svojo spominsko ploščo je dal napisati: Eadem mutata resurgo, kar pomeni S spreminjanjem ostanem ista. Logaritemska je spirala zato, ker se polarni ϕ kot izraža logaritemsko s polarnim radijem ϱ. Imenujejo jo tudi enakokotna spirala, in to ravno zaradi prej opisane lastnosti. Morda ne bi škodila primerjava. Če bi bila naša Zemlja idealna krogla s polmerom 6 400 km, bi bi bila najkrajša razdalja od ekvatorja do severnega tečaja 10 053 km, po loksodromi s kotom α = 45 pa 14 217 km. Najkrajša pot med dvema točkama na sferi poteka po glavnem krogelnem krogu ali ortodromi, ne pa po loksodromi. Beseda ὀρθός pomeni v grščini pokončen, pokoncu stoječ, navpičen, raven. Za konec V veliko pomoč nam je pri vsem računalniški program GeoGebra, ki je dostopen na spletišču http://www.geogebra.org, s katerim brez posebnih težav predstavljamo nastopajoče krivulje in ploskve. Nekatere izračune pa preverimo še s programom Derive, ki dobro odvaja, integrira in poenostavlja matematične izraze. ΔΙΠΛΟΥΝ ΟΡΩΣΙΝ ΟΙ ΜΑΘΟΝΤΕΣ ΓΡΑΜΜΑΤΑ Διπλοῦν ὁρῶσιν οἱ μαθόντες γράμματα. Kdor pozna črke, vidi dvojno. (Pitagora) 41

Literatura in spletni viri [1] B. Aubelj, Antična imena po slovensko, Modrijan, Ljubljana 1997. [2] M. Babič, Grška slovnica, Filozofska fakulteta, Ljubljana 2000. [3] F. Bradač: Grška slovnica, DZS, Ljubljana 1968. [4] R. Bratož: Grška zgodovina, Zveza zgodovinskih društev Slovenije, Ljubljana 2010. [5] A. Dokler, Grško-slovenski slovar, Knezoškofijski zavod sv. Stanislava, Ljubljana 1915. [6] E. Hairer, G. Wanner, Analysis by its history, Springer, New York, 2008. [7] C. McLarty, The babel polutonikogreek keyboard, 2005, spletni vir. [8] E. Mihevc Gabrovec, Grščina: teksti in vaje za pouk klasične grščine, Znanstvena založba Filozofske fakultete, Ljubljana 2011. [9] A. Ostermann, G. Wanner, Geometry by its history, Springer, Heidelberg in drugje, 2012. [10] L. Pantieri, L arte di scrivere in greco con L A TEX, 2008, spletni vir. [11] A. A. Savelov, Ravninske krivulje, Školska knjiga, Zagreb, 1979. [12] S. Schwartzman, The Words of Mathematics, The Mathematical Association of America, Washington DC, 1994. [13] L. Stephen (ed.), Dictionary of national biography, Vol. V., Macmillan & Co., New York, Smith & Co., London, 1886. [14] J. Stillwell, Mathematics and its history, Springer, New York in drugje, 2010. [16] A. Syropoulos, Writing Greek with the greek option of the babel, 1997, spletni vir. [17] M. Špelič, Grško-slovenski slovar Nove zaveze, Svetopisemska družba Slovenije, Ljubljana 2002. c Dr. Marko Razpet, Ljubljana 2013 42