Anaglifne slike. Marko Razpet. Matematika in umetnost. Ljubljana, 14. marec Univerza v Ljubljani, Pedagoška fakulteta
|
|
- Ευπραξία Ζάχος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Marko Razpet Matematika in umetnost Univerza v Ljubljani, Pedagoška fakulteta Ljubljana, 14. marec 2014
2 Vsebina Kaj je loksodroma? Loksodroma na sferi ali obli Loksodroma na torusu ali svitku GeoGebra in trirazsežne slike
3 Loksodroma in izvor besede Loksodroma je na dovolj gladki rotacijski ploskvi krivulja, ki seka poldnevnike ploskve pod stalnim ostrim kotom. Z običajno parametrizacijo oble in svitka se da zanju poiskati enačbe loksodrom v eksaktni obliki. Posebej nas bo pri loksodromi svitka zanimalo, kdaj je to sklenjena krivulja in kdaj je na svitku mogoče najti med seboj pravokotne sklenjene loksodrome. V grščini λοξός pomeni poševen, poprečen, proč obrnjen, nevoščljiv, zaviden, δρόμος pa tek, dirka, dirkališče.
4 Loksodroma na obli in koordinatni sistem Loksodroma na obli je krivulja, ki seka vse óbelne poldnevnike pod stalnim kotom α, 0 < α < π/2. Oblo s polmerom a postavimo v koordinatni sistem Oxyz tako, da ima središče v izhodišču O. Njena enačba je x 2 + y 2 + z 2 = a 2. Točko N(0, 0, a) imenujemo severni pol ali severni tečaj, točko S(0, 0, a) pa južni pol ali južni tečaj oble.
5 Koordinatni sistem na obli Vsako točko T (x, y, z) na obli določa njen krajevni vektor r. Razen obeh polov pa jo določata tudi zemljepisna dolžina ali longituda u in zemljepisna širina ali latituda v. Vzamemo π < u π, π/2 < v π/2. V polih je v = ±π/2, u pa ni določen. Ekvator je krožnica, ki je presek oble in ravnine z = 0, na njem je v = 0.
6 Parametrizacija oble Krajevni vektor katerekoli točke na obli lahko zapišemo v obliki r = r (u, v) = a(cos u cos v, sin u cos v, sin v). S tem smo pravzaprav zapisali oblo v parametrični obliki, z vektorsko funkcijo dveh parametrov.
7 Koordinatne krivulje na obli Če po en parameter vzamemo konstanten, dobimo v tej parametrizaciji koordinatne krivulje na obli. Krivulje r (u) = r (u, v 0 ) = a(cos u cos v 0, sin u cos v 0, sin v 0 ) so za vsak konstanten v 0 vzporedniki, krivulje r (v) = r (u 0, v) = a(cos u 0 cos v, sin u 0 cos v, sin v) pa za vsak konstanten u 0 poldnevniki na obli. Tako dobimo koordinatno mrežo na obli.
8 Problem loksodrome na obli Poiskati moramo tako povezavo med parametroma u in v, ki definira na obli krivuljo, ki seka óbelne poldnevnike pod stalnim kotom α. Kot α med krivuljama je kot med tangentama v presečišču teh krivulj. Ker ima diferencial d r krivulje isto smer kot njena tangenta, lahko kot med njima hitro izrazimo. Diferencial v zvezi s prvo krivuljo označimo z d, v zvezi z drugo pa z δ. Torej lahko izrazimo cos α = d r δ r d r δ r = d r δ r ds δs. Pri tem s označuje ločno dolžino krivulje.
9 Izračun koeficientov prve osnovne forme Na ploskvi r = r (u, v) je in d r = r r du + u v dv d r 2 = ds 2 = E du 2 + 2F dudv + Gdv 2, pri čemer so Gaußovi koeficienti E, F, G definirani takole: E = r u r u, F = r u r v, G = r v r v.
10 Metrika na obli Preprost račun pokaže za oblo: r u r v Nazadnje dobimo = a( sin u cos v, cos u cos v, 0), = a( cos u sin v, sin u sin v, cos v). E = a 2 cos 2 v, F = 0, G = a 2. in ds 2 = a 2 (cos 2 v du 2 + dv 2 ).
11 Kot med krivuljama na obli Sedaj ni težko izraziti produkt d r δ r = ( r r r r du + dv) ( δu + u v u v δv). Z Gaußovimi koeficienti dobimo: d r δ r = E duδu + F (duδv + δudv) + G dvδv. Posebej je za oblo d r δ r = a 2 (cos 2 v duδu + dvδv). Za krivulji na obli je nazadnje: cos α = cos 2 v duδu + dvδv cos 2 v du 2 + dv 2 cos 2 v δu 2 + δv 2.
12 Pot do diferencialne enačbe loksodrome Iskana loksodroma naj ima diferenciale d, poldnevnik pa δ. Na poldnevniku se parameter u ne spreminja, δu = 0, in izraz za α je: cos α = dv cos 2 v du 2 + dv 2. Sledi 1 cos 2 α = 1 + tg2 α = 1 + ( ) du 2 cos 2 v, dv iz česar dobimo preprosto diferencialno enačbo ( ) du 2 cos 2 v = tg 2 α, dv ki razpade na dve: du dv cos v = tg α, du cos v = tg α. dv
13 Ločitev spremenljivk Ločimo spremenljivki: du = tg α dv dv, du = tg( α) cos v cos v. Dovolj je obravnavati primer α > 0. Loksodrome tedaj potekajo v smeri severovzhoda proti severnemu polu oziroma proti jugozahodu proti južnemu. To je desnosučna loksodroma. Levosučno loksodromo dobimo, če α zamenjamo z α.
14 Integracija diferencialne enačbe Za enolično rešitev dobljene diferencialne enačbe moramo poznati še začetni pogoj. Krivulja naj poteka skozi točko na obli, ki ustreza parametroma u 0 in v 0. Z integracijo dobimo u u 0 = tg α ali v v 0 dν cos ν = tg α (ln tg(v/2 + π/4) ln tg(v 0/2 + π/4)) u = u 0 + tg α ln tg(v/2 + π/4) tg(v 0 /2 + π/4). Za loksodromo, ki poteka skozi točko (a, 0, 0), vzamemo u 0 = v 0 = 0 in dobimo u = tg α ln tg(v/2 + π/4).
15 Enačba loksodrome Enačba take loksodrome v parametrični obliki je torej: r (v) = a(cos(tg α ln tg(v/2+π/4)), sin(tg α ln tg(v/2+π/4)), sin v). Pri istem α dobimo vse loksodrome z zasukom slednje okoli osi z. Ko v ±π/2, se loksodroma spiralasto ovija okoli polov. Kotu u tukaj dovolimo vse realne vrednosti, ne le tiste med π in π, da se loksodroma lepo zvezno nadaljuje v obe smeri.
16 Podoba loksodrome
17 Nastanek svitka Če krožnico s polmerom b > 0 zavrtimo za polni kot okoli premice v ravnini te krožnice, dobimo ploskev, ki ji rečemo svitek. Pri tem naj središče krožnice opiše krožnico s polmerom a > 0, središčnico svitka. Premica, okoli katere zavrtimo krožnico, je os svitka, središče središčnice pa je središče svitka. Pravokotni kartezični koordinatni sistem Oxyz postavimo tako, da je središče svitka v koordinatnem izhodišču, os svitka pa os z.
18 Krožni svitek: a > b
19 Rogati svitek: a = b
20 Vretenasti svitek: a < b
21 Svitek v koordinatnem sistemu Svitek v koordinatnem sistemu Oxyz, v katerem je O središče svitka, os z pa os svitka, najenostavneje parametriziramo z r (u, v) = ((a + b cos v) cos u, (a + b cos v) sin u, b sin v), pri čemer je π < u π, π < v π. Parametrizacijo najlaže razumemo, če vzamemo točko na svitku in gledamo osni presek svitka skozi to točko ter pravokotno projekcijo na ekvatorialno ravnino svitka, to je ravnino z = 0.
22 Koordinate na svitku S tem imamo na voljo analitično izražavo svitka, kar omogoča udobno računanje. Območje parametrov u in v, ki sestavljajo urejene pare (u, v), je kvadrat Q = {(u, v) : π < u π, π < v π}. Parameter u je neke vrste zemljepisna dolžina na svitku, v pa zemljepisna širina. Vsaki točki na svitku ustreza natančno en par (u, v) v kvadratu Q. S parametrizacijo smo ustvarili koordinatni sistem na svitku.
23 Poldnevniki in vzporedniki na svitku Pri konstantnem u dobimo poldnevnike na svitku, pri konstantnem v pa vzporednike. Poldnevniki in vzporedniki na svitku se sekajo pod pravim kotom. Vzporednik, določen z v = 0, je zunanji ekvator svitka, vzporednik, določen z v = π pa notranji ekvator. Pri a = b se vsi poldnevniki dotikajo osi svitka, notranji ekvator pa je izrojen v točko, središče svitka. Od zunanjega ekvatorja merimo kot v po poldnevniku. Ekvatorja sta krožnici v ravnini Oxy s polmerom a + b in a b. Poldnevnik, določen z u = 0, je začetni poldnevnik svitka. Od tega merimo kote u.
24 Implicitna enačba svitka Enačbo svitka brez težav zapišemo v implicitni obliki: Ko odpravimo koren, dobimo: ( x 2 + y 2 a) 2 = b 2 z 2. (x 2 + y 2 + z 2 + a 2 b 2 ) 2 = 4a 2 (x 2 + y 2 ). Svitek je torej algebrska ploskev četrte stopnje, njena oblika pa je odvisna od polmerov a in b. Latinska beseda za svitek je torus. Sama beseda ima več pomenov, med drugim tudi vozel, pentlja, trak pri vencu, pomanjševalnica torulus pa svitek las. Tako je še najlepša domača beseda za torus pravzaprav svitek. V starih časih so dekleta in žene nosile na glavah škafe in vedra. Na glave pa so si pred tem za ublažitev pritiska namestile ravno prav trde svitke iz blaga. Tak svitek je omogočal, da so najbolj spretne nosile polno posodo ne da bi jo držale z rokami.
25 Loksodroma na svitku Če je K krivulja v kvadratu Q, se bo le-ta s funkcijo (u, v) r (u, v) preslikala v krivuljo na svitku. Sedaj bomo poiskali loksodromo na svitku, to je tisto krivuljo na njem, ki njegove poldnevnike seka pod enakim kotom α. Za ta kot bomo vzeli, da je po absolutni vrednosti pozitiven in manjši kot π/2. Poiskati moramo tako povezavo med parametroma u in v, ki definira krivuljo na svitku, ki seka njegove poldnevnike pod stalnim kotom α.
26 Koeficienti prve osnovne forme na svitku Preprost račun pokaže, da sta za svitek: r u r v = ( (a + b cos v) sin u, (a + b cos v) cos u, 0), = ( b cos u sin v, b sin u sin v, b cos v). Nazadnje dobimo za svitek E = (a + b cos v) 2, F = 0, G = b 2 in ds 2 = (a + b cos v) 2 du 2 + b 2 dv 2.
27 Kot med krivuljama na svitku Za kot med krivuljama na svitku je: cos α = (a + b cos v) 2 duδu + b 2 dvδv (a + b cos v) 2 du 2 + b 2 dv 2 (a + b cos v) 2 δu 2 + b 2 δv 2. Iskana loksodroma naj ima diferenciale d, poldnevnik pa δ. Na poldnevniku se parameter u ne spreminja, zato je δu = 0 in izraz za kot α se poenostavi: cos α = bdv (a + b cos v) 2 du 2 + b 2 dv 2.
28 Diferencialna enačba loksodrome na svitku Dobljeno diferencialno enačbo preoblikujemo, tako da najprej zapišemo 1 cos 2 α = 1 + tg2 α = b 2 iz česar dobimo preprosto diferencialno enačbo ki razpade na dve: ( ) du 2 (a + b cos v) 2, dv ( ) du 2 (a + b cos v) 2 = b 2 tg 2 α, dv du dv (a + b cos v) = b tg α, du (a + b cos v) = b tg α. dv
29 Ločitev spremenljivk Ločimo spremenljivki: du = b tg α dv dv, du = b tg( α) a + b cos v a + b cos v. Obravnavali bomo primer α > 0, saj sta si sliki za α > 0 in α < 0 zrcalni, če zrcalno ravnino postavimo skozi os z in jo zavrtimo okoli nje za primeren kot. Brez težav lahko zapišemo za dobljeno loksodromo diferencial loka: ds = b dv cos α.
30 Rešitev diferencialne enačbe Za enolično rešitev dobljene diferencialne enačbe moramo poznati še začetni pogoj. Krivulja naj poteka skozi točko na svitku, ki ustreza parametroma u 0 in v 0. Z integracijo dobimo u u 0 = b tg α v v 0 dν a + b cos ν. Sedaj bi morali obravnavati loksodromo posebej za krožni, rogati in vretenasti svitek. Slednjemu bi se najraje izognili zaradi gneče, ki nastane okoli svitkovega vretena, in s tem bolj ali manj zapletene slike.
31 Loksodroma na rogatem svitku Za rogati svitek, ko je a = b, dobimo rešitev v = tg α v 0 u u 0 = tg α v v 0 dν 1 + cos ν = dν 2 cos 2 (ν/2) = tg α(tg(v/2) tg(v 0/2)). Za loksodromo, ki poteka skozi točko (a + b, 0, 0), vzamemo u 0 = v 0 = 0 in dobimo u = tg α tg(v/2). Enačba take loksodrome v parametrični obliki je torej: r (v) = = a(2 cos 2 (v/2) cos(tg α tg(v/2)), 2 cos 2 (v/2) sin(tg α tg(v/2)), sin v). Loksodroma se spiralasto ovija okoli rožičkov.
32 Pogled od strani
33 Pogled v notranjost
34 Loksodroma na krožnem svitku Za krožni svitek je a > b > 0 in pri začetnem pogoju u 0 = 0, v 0 = 0 je kjer je Funkcija u = b tg α v 0 dν a + b cos ν = 2b tg α c c = a 2 b 2, µ = f : v f (v) = 2b tg α c arc tg(µ tg(v/2)), a b a + b. arc tg(µ tg(v/2)), definirana na intervalu [ π, π], za katero v krajiščih vzamemo za njeni vrednosti ustrezni stranski limiti, vpliva na obliko loksodrome na svitku. Ta je odvisna od tega, v kakšni medsebojni relaciji so a, b in α.
35 Villarceaujeve krožnice na svitku Zanimiv je primer, ko grafa funkcij f in f 1 potekata skozi oglišči ( π, π) in (π, π) kvadrata Q. To se zgodi pri pogoju tg α = c/b. Tedaj je u = f (v) = 2 arc tg(µ tg(v/2)), v = f 1 (u) = 2 arc tg(tg(u/2)/µ). Graf funkcije f 1, katerega oblika je odvisna od µ oziroma od razmerja a/b, kaže slika na desni.
36 Koplanarni Villarceaujevi krožnici na svitku Izrazimo: cos u = cos(2 arc tg(µ tg(v/2))) = b + a cos v a + b cos v, sin u = sin(2 arc tg(µ tg(v/2))) = Torej lahko zapišemo: r (v) = (b+a cos v, c sin v, b sin v). Krivulja leži na ravnini cz = by, ki je vzporedna z osjo x in oklepa z ravnino z = 0 kot ϕ, tg ϕ = b/c oziroma sin ϕ = b/a. Ravnina cz = by seka svitek še enkrat v prav taki krivulji. c sin v a + b cos v.
37 Središče Villarceaujeve krožnice Da je krivulja krožnica, se prepričamo takole. Vzemimo točko S(b, 0, 0), ki ji pripada krajevni vektor b i, in izračunajmo r (v) b i = (a cos v, c sin v, b sin v). Preprost račun pokaže r (v) b i = a. Torej je iskana krivulja krožnica s središčem v točki S in polmerom a. Krožnici rečemo Villarceaujeva krožnica na svitku. Antoine-Joseph Yvon Villarceau ( ), po katerem se krožnica imenuje, je bil francoski astronom, matematik in inženir. Villarceaujeva krožnica je skladna s središčnico svitka. Vse Villarceaujeve krožnice na svitku dobimo z zasuki okoli njegove osi dveh Villarceaujevih osnovnih krožnic skozi točko (a + b, 0, 0): ena oklepa v tej točki z zunanjim ekvatorjem kot ϕ, druga, konjugirana prvi, pa ϕ. Slednja ima enačbo r (v) = (b + a cos v, c sin v, b sin v).
38 Konjugirani Villarceaujevi krožnici Vse Villarceaujeve krožnice dobimo iz osnovne in njej konjugirane krožnice z zasuki okoli osi svitka. Če osnovno in njej konjugirano krožnico zasukamo za kot ϑ, ima dobljena krožnica enačbo r (v) = ((b+a cos v) cos ϑ c sin v sin ϑ, (b+a cos v) sin ϑ±c sin v cos ϑ, b sin v).
39 Družina Villarceaujevih krožnic Slika kaže družino Villarceaujevih krožnic z razmikom ϑ = π/10.
40 Štiri vrste krožnic na svitku Skozi vsako točko na svitku potekajo štiri krožnice, ki ležijo na njem: poldnevnik, vzporednik in dve Villarceaujevi krožnici.
41 Stranski pogled Naklonski kot ϕ ravnine, ki seka svitek v obeh Villarceaujevih krožnicah, proti ekvatorialni ravnini svitka, dobimo, če postavimo tangento skozi njegovo središče na katerikoli njegov poldnevnik. Razdalja od središča do dotikališča je c = a 2 b 2, očitno pa je sin ϕ = b/a.
42 Drug pristop Drugačen pristop do Villarceaujevih krožnic na svitku poteka s preseki svitka z ravninami. Izkaže se, da so preseki lahko krožnice samo v primeru, ko ravnina poteka skozi središče svitka ali pa je vzporedna z njegovo ekvatorialno ravnino. V slednjem primeru dobimo vzporednike na svitku. Če presečna ravnina vsebuje os svitka, so preseki njegovi poldnevniki. V primeru, ko ravnina poteka skozi njegovo središče in oklepa z ekvatorialno ravnino kot ϕ = ± arc sin(b/a), pa so preseki Villarceaujeve krožnice.
43 Bolj zavozlane loksodrome na svitku Villarceaujeve krožnice so najbolj preproste loksodrome, ki enkrat samkrat obkrožijo os svitka in enkrat njegovo središčnico. Od obeh polmerov, a in b, ter kota α pa je odvisno, ali je loksodroma sklenjena krivulja ali ne in kolikokrat obkroži os svitka in kolikokrat njegovo središčnico. V ta namen si ponovno oglejmo funkcijo f : v u = f (v) = 2b tg α c arc tg(µ tg(v/2)), ki povezuje parametra u in v. Parameter v teče od π do π, za parameter u pa bomo morali sedaj dovoliti poljubno realno vrednost. S tem dopuščamo možnost, da se loksodroma večkrat ovije okoli osi svitka.
44 Osnovni pravokotnik Krivulja u = f (v) poteka skozi točki (±πb tg α/c, ±π) v ravnini parametrov (u, v). Ti dve točki določata osnovni pravokotnik R. Stranica v smeri osi u je dolga 2πb tg α/c, v smeri osi v pa 2π. Pravokotnik R se ujema s kvadratom Q samo v primeru, ko je tg α = c/b. Takrat je loksodroma Villarceaujeva krožnica.
45 Nezaključena loksodroma Če je tg α c/b, loksodroma ni zaključena krivulja. Krivulja se začne in konča v različnih točkah na notranjem ekvatorju svitka. Da ohranimo sekanje poldnevnikov pod kotom α še naprej, zlepimo n osnovnih pravokotnikov s krivuljo u = f (v) vred v trak vzdolž osi u in to naredimo tolikokrat, da je trak dolg nekemu celemu mnogokratniku števila 2π, denimo m 2π.
46 Nadaljevanje osnovnih pravokotnikov To se bo seveda posrečilo pri primerni relaciji med polmeroma a, b in kotom α. Krivulja na k-ti kopiji osnovnega pravokotnika ima seveda enačbo u = f (v, k)+k 2πb c Pri tem izberemo k = 0, 1, 2,..., n 1. tg α = 2b tg α (arc tg(µ tg(v/2))+kπ). c
47 Pogoj za sklenjenost loksodrome na svitku Pri opisanem lepljenju osnovnih pravokotnikov v trak vedno desno zgornje oglišče pravokotnika, na primer Y, in levo spodnje oglišče X prejšnjega pravokotnika na svitku očitno dasta isto točko M na notranjem ekvatorju. Lihost funkcije f pa poskrbi za gladkost loksodrome v točki M. Iz zahteve n 2πb c tg α = m 2π dobimo pogoj za sklenjenost loksodrome na svitku: b c tg α = m n, kjer sta m in n tuji si naravni števili. Loksodroma tedaj n-krat obkroži središčnico svitka ter m-krat njegovo os.
48 Prvi primer sklenjene loksodrome Vzemimo svitek s podatki: a = 5, b = 3 in konstruirajmo na njem loksodromo s kotom α = π/4. Dobimo c = 4 in b tg α/c = 3/4. Loksodroma se štirikrat ovije okoli središčnice in trikrat okoli osi svitka.
49 Drugi primer sklenjene loksodrome Vzemimo še svitek s podatki: a = 13, b = 5 in konstruirajmo na njem loksodromo s kotom α = π/4. Dobimo c = 12 in b tg α/c = 5/12. Loksodroma se dvanajstkrat ovije okoli središčnice in petkrat okoli osi svitka.
50 Tretji primer sklenjene loksodrome Vzemimo še svitek s podatki: a = 2, b = 1 in konstruirajmo na njem loksodromo s kotom α = π/6. Dobimo c = 3 in b tg α/c = 1/3. Loksodroma se trikrat ovije okoli središčnice in enkrat okoli osi svitka.
51 Loksodroma na vretenastem svitku Kadar imamo opravka z vretenastim svitkom, ko je b > a > 0, vpeljemo p = b a in c = b 2 a 2, povezava med parametroma u in v za loksodromo na svitku pa je u = f (v) = b tg α c Loksodroma poteka tako po zunanji strani svitka kakor tudi po njegovem vretenu v notranjosti. ln p tg(v/2) + c p tg(v/2) c.
52 Ortogonalne sklenjene loksodrome na svitku Dve sklenjeni loksodromi na svitku se lahko sekata. Oglejmo si, kdaj se sekata pravokotno. Če prva seka vse poldnevnike pod kotom α, kjer vzamemo 0 < α < π/2, druga, ki je nanjo pravokotna, seka poldnevnike pod kotom β = α π/2. Pri tem pa je π/2 < β < 0. Pogoja, da je druga loksodroma sklenjena, je b c tg β = b c tg(α π/2) = b c cot α = m 1 n 1. Pri tem sta m 1 in n 1 tuji si naravni števili. Velja torej relacija: b 2 c 2 = 1 (a/b) 2 1 = m n m1 n 1. Če se sklenjena loksodroma m-krat ovije okoli osi svitka in n-krat okoli njegove središčnice, pri čemer je razmerje kvadratov njegovih polmerov racionalno število in je izpolnjena zgornja relacija, potem se ortogonalna loksodroma ovije okoli osi svitka m 1 -krat in okoli njegove središčnice n 1 -krat.
53 Prvi primer ortogonalnih sklenjenih loksodrom na svitku V primeru a = 2, b = 1 dobimo na primer b 2 c 2 = 1 3 = Lahko izberemo b c tg α = 1 tg α = 1 3 3, b c tg β = 1 tg β = 1 3 1, 3 α = arc tg 3 = π 6, β = arc tg 3 = π 3. Prva loksodroma se enkrat ovije okoli osi svitka in trikrat okoli njegove središčnice. Druga loksodroma je Villarceaujeva krožnica.
54 Drugi primer ortogonalnih sklenjenih loksodrom na svitku Ker za a = 2, b = 1 lahko zapišemo tudi b 2 c 2 = 1 3 = , najdemo drug par pravokotnih sklenjenih loksodrom za α = arc tg , β = arc tg 9. Razmere na svitku so kar pestre. Prva loksodroma se trikrat ovije okoli osi svitka in štirikrat okoli njegove središčnice. Druga loksodroma pa se štirikrat ovije okoli osi svitka in devetkrat okoli njegove središčnice.
55 Pedro Nunes Salaciense ( )
56 Thomas Harriot ( )
57 Willebrord Snel van Royen ( )
58 Antoine François Joseph Villarceau ( )
59 Arnold Emch ( )
60 Izvor besede anaglif Grško ἀνά na, po, nad, prek, čez. Grško γλύφω vdolbem, režem, rezljam, vgraviram, predstavim. Podobna beseda: hieroglif iz grške besede ἱερός svét, božji, vzvišen. Wilhelm Rollmann ( ), nemški matematik iz Leipziga, leta 1853 izdela prve anaglife.
61 Očala za gledanje anaglifnih slik
62 Anaglifska podoba loksodrome
63 Izvor besede GeoGebra γῆ, ionsko γέα, poetično γαῖα zemlja; Γαία boginja zemlje Najbolj znano Al Hvarizmijevo ( ) delo: Knjižica o računskih postopkih z dopolnjevanjem in izravnavanjem. Beseda al-jabr, zapisana kot v naslovu Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr w al-muqābala nam je dala besedo algebra. Tako smo dobili besedo GeoGebra, ki poimenuje program za dinamično geometrijo, v katerem se dopolnjujeta geometrija in algebra. Napisal ga je v glavnem Markus Hohenwarter leta Program se od takrat neprestano izboljšuje in dopolnjuje.
64 Strasbourg Villarceaujeve krožnice
65 Krožni torus z mrežo
66 Pogled na krožni torus z mrežo anaglif
67 Pogled v krožni torus z mrežo anaglif
68 Pogled na rogati torus z mrežo
69 Pogled v rogati torus z mrežo anaglif
70 Pogled na vretenasti torus z mrežo
71 Pogled v vretenasti torus z mrežo
72 Pogled na krožni torus anaglif
73 Pogled v krožni torus anaglif
74 Pogled v cev krožnega torusa anaglif
75 Pogled v rogati torus anaglif
76 Pogled v vretenasti torus anaglif
77 Sklenjena loksodroma na krožnem torusu anaglif
78 Loksodroma na rogatem torusu anaglif
79 Loksodroma na vretenastem torusu anaglif
80 GeoGebra 5 v akciji
81 Sekajoča se torusa
82 Trije torusi
83 Pet torusov
84 Enake sfere s središči na vijačnici
85 Različne sfere s središči na vijačnici
86 Venček sfer
87 Venček sfer okoli valja
88 Hvala za vašo pozornost!
89
LOKSODROMA NA SVITKU
Univerza v Ljubljani Pedagoška fakulteta Oddelek za matematiko in računalništvo Marko Razpet LOKSODROMA NA SVITKU Študijsko gradivo Funkcije več spremenljivk Ljubljana, marec 2013 Kazalo Predgovor 3 1
Διαβάστε περισσότεραDiferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci
Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki
Διαβάστε περισσότεραTretja vaja iz matematike 1
Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +
Διαβάστε περισσότεραFunkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2
Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma
Διαβάστε περισσότεραIZPIT IZ ANALIZE II Maribor,
Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),
Διαβάστε περισσότεραNa pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12
Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola
Διαβάστε περισσότεραFunkcije več spremenljivk
DODATEK C Funkcije več spremenljivk C.1. Osnovni pojmi Funkcija n spremenljivk je predpis: f : D f R, (x 1, x 2,..., x n ) u = f (x 1, x 2,..., x n ) kjer D f R n imenujemo definicijsko območje funkcije
Διαβάστε περισσότεραKotne in krožne funkcije
Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete
Διαβάστε περισσότεραKODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK
1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )
Διαβάστε περισσότεραvezani ekstremi funkcij
11. vaja iz Matematike 2 (UNI) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 ekstremi funkcij več spremenljivk nadaljevanje vezani ekstremi funkcij Dana je funkcija f(x, y). Zanimajo nas ekstremi nad
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Ljubljani Pedagoška fakulteta Oddelek za matematiko in računalništvo Katedra za algebro in analizo. Marko Razpet LOKSODROMA
Univerza v Ljubljani Pedagoška fakulteta Oddelek za matematiko in računalništvo Katedra za algebro in analizo Marko Razpet LOKSODROMA Študijsko gradivo Zgodovina matematike Ljubljana, junij 2013 Kazalo
Διαβάστε περισσότεραGimnazija Krˇsko. vektorji - naloge
Vektorji Naloge 1. V koordinatnem sistemu so podane točke A(3, 4), B(0, 2), C( 3, 2). a) Izračunaj dolžino krajevnega vektorja točke A. (2) b) Izračunaj kot med vektorjema r A in r C. (4) c) Izrazi vektor
Διαβάστε περισσότεραdiferencialne enačbe - nadaljevanje
12. vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 diferencialne enačbe - nadaljevanje Ortogonalne trajektorije Dana je 1-parametrična družina krivulj F(x, y, C) = 0. Ortogonalne
Διαβάστε περισσότεραIntegralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)
Integralni račun Nedoločeni integral in integracijske metrode. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: d 3 +3+ 2 d, (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) + 3 4d, 3 +e +3d, 2 +4+4 d, 3 2 2 + 4 d, d, 6 2 +4 d, 2
Διαβάστε περισσότεραSplošno o interpolaciji
Splošno o interpolaciji J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 1 / 18 O funkciji f poznamo ali hočemo uporabiti le posamezne podatke, na primer vrednosti r i = f (x i ) v danih točkah x i Izberemo
Διαβάστε περισσότερα1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost
Διαβάστε περισσότεραKotni funkciji sinus in kosinus
Kotni funkciji sinus in kosinus Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z oznako cos x, DEFINICIJA V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU: Kotna funkcija sinus je definirana kot razmerje
Διαβάστε περισσότερα*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center
Državni izpitni center *M40* Osnovna in višja raven MATEMATIKA SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota, 4. junij 0 SPLOŠNA MATURA RIC 0 M-40-- IZPITNA POLA OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN 0. Skupaj:
Διαβάστε περισσότεραmatrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):
4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n
Διαβάστε περισσότεραcot x ni def. 3 1 KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA (A) Merske enote stopinja [ ] radian [rad] 1. Izrazi kot v radianih.
TRIGONOMETRIJA (A) Merske enote KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA stopinja [ ] radian [rad] 80 80 0. Izrazi kot v radianih. 0 90 5 0 0 70. Izrazi kot v stopinjah. 5 8 5 (B) Definicija kotnih funkcij
Διαβάστε περισσότεραSKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK
SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi
Διαβάστε περισσότεραOsnove matematične analize 2016/17
Osnove matematične analize 216/17 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Kaj je funkcija? Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. Diferencialne enačbe drugega reda
Matematika 2 Diferencialne enačbe drugega reda (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) y 6y + 8y = 0, (b) y 2y + y = 0, (c) y + y = 0, (d) y + 2y + 2y = 0. Rešitev:
Διαβάστε περισσότεραKvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti
Poglavje XI Kvadratne forme V zadnjem poglavju si bomo ogledali še eno vrsto preslikav, ki jih tudi lahko podamo z matrikami. To so tako imenovane kvadratne forme, ki niso več linearne preslikave. Kvadratne
Διαβάστε περισσότεραDefinicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1
Funkcije več realnih spremenljivk Osnovne definicije Limita in zveznost funkcije več spremenljivk Parcialni odvodi funkcije več spremenljivk Gradient in odvod funkcije več spremenljivk v dani smeri Parcialni
Διαβάστε περισσότεραAnaliza 2 Rešitve 14. sklopa nalog
Analiza Rešitve 1 sklopa nalog Navadne diferencialne enačbe višjih redov in sistemi diferencialnih enačb (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) 6 + 8 0, (b)
Διαβάστε περισσότεραVaje iz MATEMATIKE 8. Odvod funkcije., pravimo, da je funkcija f odvedljiva v točki x 0 z odvodom. f (x f(x 0 + h) f(x 0 ) 0 ) := lim
Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol l 06/7 Vaje iz MATEMATIKE 8 Odvod funkcije f( Definicija: Naj bo f definirana na neki okolici točke 0 Če obstaja lim 0 +h f( 0 h 0 h, pravimo, da je funkcija f odvedljiva
Διαβάστε περισσότεραDomače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA
Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA. Naj bo vektorsko polje R : R 3 R 3 dano s predpisom R(x, y, z) = (2x 2 + z 2, xy + 2yz, z). Izračunaj pretok polja R skozi površino torusa
Διαβάστε περισσότεραMatematika. Funkcije in enačbe
Matematika Funkcije in enačbe (1) Nariši grafe naslednjih funkcij: (a) f() = 1, (b) f() = 3, (c) f() = 3. Rešitev: (a) Linearna funkcija f() = 1 ima začetno vrednost f(0) = 1 in ničlo = 1/. Definirana
Διαβάστε περισσότεραAfina in projektivna geometrija
fina in projektivna geometrija tožnice () kiciraj stožnico v evklidski ravnini R, ki je določena z enačbo 6 3 8 + 6 =. Rešitev: tožnica v evklidski ravnini je krivulja, ki jo določa enačba a + b + c +
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Ljubljani Pedagoška fakulteta Oddelek za matematiko in računalništvo. Marko Razpet EVDOKSOVA HIPOPEDA.
Univerza v Ljubljani Pedagoška fakulteta Oddelek za matematiko in računalništvo Marko Razpet EVDOKSOVA HIPOPEDA Študijsko gradivo Zgodovina matematike Ljubljana, junij 2013 Kazalo Predgovor 3 1 Prostorski
Διαβάστε περισσότεραVaje iz MATEMATIKE 2. Vektorji
Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol. l. 06/7 Vaje iz MATEMATIKE. Vektorji Vektorji: Definicija: Vektor je usmerjena daljica. Oznake: AB, a,... Enakost vektorjev: AB = CD: če lahko vektor AB vzporedno premaknemo
Διαβάστε περισσότεραPodobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik
Podobnost matrik Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Matjaž Željko FKKT Kemijsko inženirstvo 14 teden (Zadnja sprememba: 23 maj 213) Matrika A R n n je podobna matriki B R n n, če obstaja obrnljiva
Διαβάστε περισσότεραEnačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.
1. Osnovni pojmi Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. Primer 1.1: Diferencialne enačbe so izrazi: y
Διαβάστε περισσότεραIzpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega
Izeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega 1. Najosnovnejše o konveksnih funkcijah Definicija. Naj bo X vektorski rostor in D X konveksna množica. Funkcija ϕ: D R je konveksna,
Διαβάστε περισσότεραNumerično reševanje. diferencialnih enačb II
Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke
Διαβάστε περισσότερα1. Trikotniki hitrosti
. Trikotniki hitrosti. Z radialno črpalko želimo črpati vodo pri pogojih okolice z nazivnim pretokom 0 m 3 /h. Notranji premer rotorja je 4 cm, zunanji premer 8 cm, širina rotorja pa je,5 cm. Frekvenca
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO DIPLOMSKO DELO ZDENKA MIHELIČ
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO DIPLOMSKO DELO ZDENKA MIHELIČ UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Študijski program: matematika
Διαβάστε περισσότερα1 Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem
Poglavje I Vektorji Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem Za lažjo geometrično predstavo si najprej oglejmo, kaj so vektorji v ravnini. Vektor je usmerjena daljica, ki je natanko določena s svojo
Διαβάστε περισσότεραslika: 2D pravokotni k.s. v ravnini
Koordinatni sistemi Dejstvo je, da živimo v tridimenzionalnem Evklidskem prostoru. To je aksiom, ki ga ni potrebno dokazovati. Da bi podali geometrijski položaj točke v prostoru je primerno sredstvo za
Διαβάστε περισσότεραKontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.
Kontrolne karte KONTROLNE KARTE Kontrolne karte uporablamo za sprotno spremlane kakovosti izdelka, ki ga izdeluemo v proizvodnem procesu. Izvaamo stalno vzorčene izdelkov, npr. vsako uro, vsake 4 ure.
Διαβάστε περισσότεραIterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013
Numerične metode, sistemi linearnih enačb B. Jurčič Zlobec Numerične metode FE, 2. december 2013 1 Vsebina 1 z n neznankami. a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in = b i i = 1,..., n V matrični obliki zapišemo:
Διαβάστε περισσότεραReševanje sistema linearnih
Poglavje III Reševanje sistema linearnih enačb V tem kratkem poglavju bomo obravnavali zelo uporabno in zato pomembno temo linearne algebre eševanje sistemov linearnih enačb. Spoznali bomo Gaussovo (natančneje
Διαβάστε περισσότεραMatematika I (VS) Univerza v Ljubljani, FE. Melita Hajdinjak 2013/14. Pregled elementarnih funkcij. Potenčna funkcija. Korenska funkcija.
1 / 46 Univerza v Ljubljani, FE Potenčna Korenska Melita Hajdinjak Matematika I (VS) Kotne 013/14 / 46 Potenčna Potenčna Funkcijo oblike f() = n, kjer je n Z, imenujemo potenčna. Število n imenujemo eksponent.
Διαβάστε περισσότεραINŽENIRSKA MATEMATIKA I
INŽENIRSKA MATEMATIKA I REŠENE NALOGE za izredne študente VSŠ Tehnično upravljanje nepremičnin Marjeta Škapin Rugelj Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo Kazalo Števila in preslikave 5 Vektorji 6 Analitična
Διαβάστε περισσότεραSEMINARSKA NALOGA Funkciji sin(x) in cos(x)
FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Praktična Matematika-VSŠ(BO) Komuniciranje v matematiki SEMINARSKA NALOGA Funkciji sin(x) in cos(x) Avtorica: Špela Marinčič Ljubljana, maj 2011 KAZALO: 1.Uvod...1 2.
Διαβάστε περισσότεραŽiga Virk REŠENE NALOGE IZ UVODA V DIFERENCIALNO GEOMETRIJO
Žiga Virk REŠENE NALOGE IZ UVODA V DIFERENCIALNO GEOMETRIJO Ljubljana 2015 ii naslov: REŠENE NALOGE IZ UVODA V DIFERENCIALNO GEOME- TRIJO avtorske pravice: Žiga Virk izdaja: prva izdaja založnik: samozaložba
Διαβάστε περισσότεραFunkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi neko število f (x) R.
II. FUNKCIJE 1. Osnovni pojmi 2. Sestavljanje funkcij 3. Pregled elementarnih funkcij 4. Zveznost Kaj je funkcija? Definicija Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 6. november 200 Poglavje 2 Zaporedja in številske vrste 2. Zaporedja 2.. Uvod Definicija 2... Zaporedje (a n ) = a, a 2,..., a n,... je predpis,
Διαβάστε περισσότεραPONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST
PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST 1. * 2. *Galvanski člen z napetostjo 1,5 V požene naboj 40 As. Koliko električnega dela opravi? 3. ** Na uporniku je padec napetosti 25 V. Upornik prejme 750 J dela v 5 minutah.
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dveh in več spremenljivk
Poglavje 3 Funkcije dveh in več spremenljivk 3.1 Osnovni pojmi Definicija 3.1.1. Funkcija dveh spremenljivk je preslikava, ki vsaki točki (x, y) ravninske množice D priredi realno število z = f(x, y),
Διαβάστε περισσότεραD f, Z f. Lastnosti. Linearna funkcija. Definicija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k,
Linearna funkcija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k, n ᄀ. k smerni koeficient n začetna vrednost D f, Z f Definicijsko območje linearne funkcije so vsa realna števila. Zaloga
Διαβάστε περισσότεραBooleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke
Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre
Διαβάστε περισσότεραII. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ
II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ. Preslikave med množicami Funkcija ali preslikava med dvema množicama A in B je predpis f, ki vsakemu elementu x množice A priredi natanko določen element y množice B. Važno
Διαβάστε περισσότεραTema 1 Osnove navadnih diferencialnih enačb (NDE)
Matematične metode v fiziki II 2013/14 Tema 1 Osnove navadnih diferencialnih enačb (NDE Diferencialne enačbe v fiziki Večina osnovnih enačb v fiziki je zapisana v obliki diferencialne enačbe. Za primer
Διαβάστε περισσότεραNavadne diferencialne enačbe
Navadne diferencialne enačbe Navadne diferencialne enačbe prvega reda V celotnem poglavju bo y = dy dx. Diferencialne enačbe z ločljivima spremeljivkama Diferencialna enačba z ločljivima spremeljivkama
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραDelovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev
KOM L: - Komnikacijska elektronika Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev. Določite izraz za kolektorski tok in napetost napajalnega vezja z enim virom in napetostnim delilnikom na vhod.
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA
29.03.2004 Definicija DFT Outline DFT je linearna transformacija nekega vektorskega prostora dimenzije n nad obsegom K, ki ga označujemo z V K, pri čemer ima slednji lastnost, da vsebuje nek poseben element,
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU
I FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Jadranska cesta 19 1000 Ljubljan Ljubljana, 25. marec 2011 MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU KOMUNICIRANJE V MATEMATIKI Darja Celcer II KAZALO: 1 VSTAVLJANJE MATEMATIČNIH
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIJA V RAVNINI DRUGI LETNIK
GEOMETRIJA V RAVNINI DRUGI LETNIK 2 1 Geometrija v ravnini 1.1 Osnove geometrije Točka je tisto, kar nima delov. Črta je dolžina brez širine. Ploskev je tisto, kar ima samo dolžino in širino. Osnovni zakoni,
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1
Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1 Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije
Διαβάστε περισσότερα8. Diskretni LTI sistemi
8. Diskreti LI sistemi. Naloga Določite odziv diskretega LI sistema s podaim odzivom a eoti impulz, a podai vhodi sigal. h[] x[] - - 5 6 7 - - 5 6 7 LI sistem se a vsak eoti impulz δ[] a vhodu odzove z
Διαβάστε περισσότεραNavadne diferencialne enačbe
Navadne diferencialne enačbe (študijsko gradivo) Matija Cencelj 1. maja 2003 2 Kazalo 1 Uvod 5 1.1 Preprosti primeri......................... 8 2 Diferencialne enačbe prvega reda 11 2.1 Ločljivi spremenljivki.......................
Διαβάστε περισσότεραFrekvenčna analiza neperiodičnih signalov. Analiza signalov prof. France Mihelič
Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov Analiza signalov prof. France Mihelič Vpliv postopka daljšanja periode na spekter periodičnega signala Opazujmo družino sodih periodičnih pravokotnih impulzov
Διαβάστε περισσότεραNajprej zapišemo 2. Newtonov zakon za cel sistem v vektorski obliki:
NALOGA: Po cesi vozi ovornjak z hirosjo 8 km/h. Tovornjak je dolg 8 m, širok 2 m in visok 4 m in ima maso 4 on. S srani začne pihai veer z hirosjo 5 km/h. Ob nekem času voznik zaspi in ne upravlja več
Διαβάστε περισσότεραVEKTORJI. Operacije z vektorji
VEKTORJI Vektorji so matematični objekti, s katerimi opisujemo določene fizikalne količine. V tisku jih označujemo s krepko natisnjenimi črkami (npr. a), pri pisanju pa s puščico ( a). Fizikalne količine,
Διαβάστε περισσότεραUniverza na Primorskem Pedagoška fakulteta Koper. Geometrija. Istvan Kovacs in Klavdija Kutnar
Univerza na Primorskem Pedagoška fakulteta Koper Geometrija Istvan Kovacs in Klavdija Kutnar Koper, 2007 PREDGOVOR Pričujoče študijsko gradivo je povzeto po naslednjih knigah Richard S. Millman, George
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika 1 Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 21. april 2008 102 Poglavje 4 Odvod 4.1 Definicija odvoda Naj bo funkcija f definirana na intervalu (a, b) in x 0 točka s tega intervala. Vzemimo
Διαβάστε περισσότεραMatematika vaja. Matematika FE, Ljubljana, Slovenija Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija
Matematika 1 3. vaja B. Jurčič Zlobec 1 1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija Matematika FE, Ljubljana, Slovenija 2011 Določi stekališča zaporedja a
Διαβάστε περισσότεραV tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant.
Poglavje IV Determinanta matrike V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant 1 Definicija Preden definiramo determinanto,
Διαβάστε περισσότεραFAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22. junij Navodila
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22 junij 212 Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer
Διαβάστε περισσότεραDel 5. Vektorske funkcije in funkcije več spremenljivk
Del 5 Vektorske funkcije in funkcije več spremenljivk POGLAVJE 1 Krivulje v R n 1. Risanje vektorskih funkcij in vektorskih zaporedij Funkcija iz R v R n je podana z dvema podatkoma: z definicijskim območjem,
Διαβάστε περισσότερα13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa
13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa Bor Plestenjak NLA 25. maj 2010 Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj 2010 1 / 12 Enostranska Jacobijeva
Διαβάστε περισσότερα1 3D-prostor; ravnina in premica
1 3D-prostor; ravnina in premica 1. Razmisli, v kakšnih legah so lahko v prostoru: (a) premica in ravnina (b) dve ravnini (c) dve premici.ugotovitve zapiši.. 2. Ali sta premici v prostoru, ki nimata skupne
Διαβάστε περισσότεραKotne funkcije poljubnega kota. Osnovne zveze med funkcijamo istega kota. Uporaba kotnih funkcij v poljubnem trikotniku. Kosinusni in sinusni izrek.
DN#3 (januar 2018) 3A Teme, ki jih preverja domača naloga: Kotne funkcije poljubnega kota. Osnovne zveze med funkcijamo istega kota. Uporaba kotnih funkcij v poljubnem trikotniku. Kosinusni in sinusni
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA. Polona Oblak
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA Polona Oblak Ljubljana, 04 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 5(075.8)(0.034.) OBLAK,
Διαβάστε περισσότεραDeljivost naravnih števil
Deljivost naravnih števil. D = {,,, 4, 6, }, V = {, 4, 6, 48, 60 }. (A) in (E). a) S številom so deljiva števila:, 0, 0 in 060. S številom so deljiva števila: 0, 460, 000 in 46. c) S številom 4 so deljiva
Διαβάστε περισσότεραBézierove krivulje. Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani. MARS 2009, Koper, / 54
1 / 54 Bézierove krivulje Emil Žagar Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani MARS 2009, Koper, 18.8.2009 Slika: Prepoznate lik na sliki? 2 / 54 Slika: Kaj pa ta dva? 3 / 54 Slika: In te?
Διαβάστε περισσότεραPROCESIRANJE SIGNALOV
Rešive pisega izpia PROCESIRANJE SIGNALOV Daum: 7... aloga Kolikša je ampliuda reje harmoske kompoee arisaega periodičega sigala? f() - -3 - - 3 Rešiev: Časova fukcija a iervalu ( /,/) je lieara fukcija:
Διαβάστε περισσότεραKoordinatni sistemi v geodeziji
Koordinatni sistemi v geodeziji 14-1 Koordinatni sistemi v geodeziji Koordinatni sistemi v geodeziji 2 Vrste koordinatnih sistemov Vzpostavitev koordinatnega sistema je potrebna zaradi pridobitve primernega
Διαβάστε περισσότεραSpoznajmo sedaj definicijo in nekaj osnovnih primerov zaporedij števil.
Zaporedja števil V matematiki in fiziki pogosto operiramo s približnimi vrednostmi neke količine. Pri numeričnemu računanju lahko npr. število π aproksimiramo s števili, ki imajo samo končno mnogo neničelnih
Διαβάστε περισσότερα2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
Διαβάστε περισσότερα1. UREJENE OBLIKE KVADRATNE FUNKCIJE
1. UREJENE OBLIKE KVADRATNE FUNKCIJE A) Splošna oblika Definicija 1 : Naj bodo a, b in c realna števila in a 0. Realno funkcijo: f : x ax + bx + c imenujemo kvadratna funkcija spremenljivke x v splošni
Διαβάστε περισσότεραTransformator. Delovanje transformatorja I. Delovanje transformatorja II
Transformator Transformator je naprava, ki v osnovi pretvarja napetost iz enega nivoja v drugega. Poznamo vrsto različnih izvedb transformatorjev, glede na njihovo specifičnost uporabe:. Energetski transformator.
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE II
Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Andrej Perne ZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE II Skripta za vaje iz Matematike II (UNI + VSP) Ljubljana, determinante Determinanta det A je število, prirejeno
Διαβάστε περισσότεραIzleti v matematično vesolje. Marko Razpet. Koper, 22. oktober 2010
Izleti v matematično vesolje Pedagoška fakulteta, Univerza v Ljubljani Koper, 22 oktober 2010 Kaj je verižnica? Tanka, gibka, neraztegljiva in homogena nit ali veriga, ki jo obesimo v dveh točkah tako,
Διαβάστε περισσότεραOdvode odvisnih spremenljivk po neodvisni spremenljivki bomo označevali s piko: Sistem navadnih diferencialnih enačb prvega reda ima obliko:
4 Sisemi diferencialnih enačb V prakičnih primerih večkra naleimo na več diferencialnih enačb, ki opisujejo določen pojav in so medsebojno povezane edaj govorimo o sisemih diferencialnih enačb V eh enačbah
Διαβάστε περισσότεραLetnik 0, številka 5
Brihtnež Elektronska revija za mlade matematike Letnik 0, številka 5 c Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije http://www.dmfa.si/brihtnez/brihtnezindex.html Vsebina Vsebina Olimpijski kotiček:
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραPONOVITEV SNOVI ZA NPZ
PONOVITEV SNOVI ZA NPZ ENAČBE 1. naloga : Ugotovi ali sta dani enačbi ekvivalentni! 5x 5 = 2x 2 in 5 ( x - 1 ) = 2 ( x 1 ) da ne 2. naloga : Reši linearni enačbi in napravi preizkusa! a) 5 4x = 2 3x PR:
Διαβάστε περισσότερα8. Posplošeni problem lastnih vrednosti
8. Posplošeni problem lastnih vrednosti Bor Plestenjak NLA 13. april 2010 Bor Plestenjak (NLA) 8. Posplošeni problem lastnih vrednosti 13. april 2010 1 / 15 Matrični šop Dani sta kvadratni n n matriki
Διαβάστε περισσότερα1. Splošno o koordinatnih sistemih
PROJEKTNA NALOGA Avtor: XXX,XXX Šolsko leto: 2009/2010 Kazalo 1. Splošno o koordinatnih sistemih...2 2. Koordinatni sistemi...3 2.1 Kartezični koordinatni sistem ali koordinatni sistem v ravnini...3 2.2.
Διαβάστε περισσότερα