Κεφάλαιο 6 Φορείς με λοξά στοιχεία

Κεφάλαιο 6 Φορείς με λοξά στοιχεία Σύοη Η άσκηση, που περιέχεται στο κεφάλαιο αυτό, αφορά στο υπολογισμό εός κιητού πλαισίου με κεκλιμέους (λοξούς) στύλους για τέσσερεις διαφορετικές φορτίσεις: εξωτερικά συεχή φορτία q, ομοιόμορφη ερμοκρασιακή φόρτιση, αομοιόμορφη ερμοκρασιακή φόρτιση Δ και κατααγκασμέες (κατακόρυφες και οριζότιες) μετατοπίσεις z, x τω στηρίξεω. Στόχος της άσκησης είαι, εκτός από τη εμβάυση στο χειρισμό κατααγκασμώ, η περαιτέρω εξοικείωση με τη χρησιμοποίηση του διαγράμματος illi (που το συατήσαμε ήδη στις προηγηείσες Ασκήσεις και ) για το προσδιορισμό της παραμορφωμέης κατάστασης σε φορείς με λοξά στοιχεία. Προαπαιτούμεη γώση Απαραίτητη είαι η προηγούμεη καταόηση της εωρίας της Μεόδου μετακιήσεω (βλ. π.χ. []κεφ.) και, οπωσδήποτε, η μελέτη τω ασκήσεω τω προηγηέτω κεφαλαίω έως. Σε κάε περίπτωση, απαιτείται καλή γώση της Στατικής τω ισοστατικώ φορέω, καώς και επαρκής εξοικείωση με τη Μέοδο τω υπεραρίμω δυάμεω για υπερστατικούς φορείς (βλ. π.χ. [] και []κεφ., και λοιπή σχετική βιβλιογραφία της παραγράφου Ε7). 6

Εκφώηση Άσκηση Ο φορέας του σχήματος.0 α επιλυεί με τη ΜΜ και α σχεδιαστού τα διαγράμματα Μ,, Ν για τις τέσσερεις δεδομέες περιπτώσεις φόρτισης α, β, γ και δ. q (x) q* () ΔΕΔΟΜΕΝΑ Γεωμετρία =.00 =.00 Φόρτιση α Φόρτιση β Φορτίσεις/Κατααγκασμοί q (x) = kn/ δοκού q* ()=0kN/ κατακόρ. προβολής x, =0.0 z, =0.0 =+0 C =+ C x, Φόρτιση γ z, Φόρτιση δ Δοκοί/Στύλοι EI =EI = EI =0 kn EA GA s α =. 0 / ±C =0.60 Σχήμα.0 Δεδομέος φορέας Γεωμετρία, υλικό, φόρτιση. Λύση Βήμα. Καορισμός του ΓΚΣ Ο σχηματισμός τω ράβδω του φορέα είαι μία μοοβάμια κιηματική αλυσίδα και, επομέως, ο φορέας είαι μία φορά κιητός. Με δεδομέη τη δυατότητα χρήσης πιάκω για μοόπακτες δοκούς, δε είαι απαραίτητη η δέσμευση τω στροφώ εκατέρωε του κόμβου. Έτσι, το ΓΚΣ του φορέα προκύπτει πακτώοτας δικιητά το κόμβο και τη στροφή της χορδής της δοκού (Σχ..). Εαλλακτικά, ατί της δικιητής πάκτωσης της χορδής της δοκού, α μπορούσε, είτε α πακτωεί δικιητά η στροφή της χορδής της δοκού, είτε α παγιωεί οριζοτίως ο κόμβος. ξ, Κ ξ, Κ ξ, Κ ξ, Κ ξ, Κ ξ, Κ Σχήμα. Ο σχηματισμός ράβδω του φορέα και τρεις διαφορετικές παραλλαγές του ΓΚΣ. 6

Οι διαφοροποιήσεις, που προκύπτου από τις διαφορετικές επιλογές του ΓΚΣ, αφορού μόο στα εδιάμεσα βήματα υπολογισμού (π.χ. επηρεάζοται τα διαγράμματα illi) και δε επηρεάζου, βεβαίως, τα τελικά αποτελέσματα. Βήμα. Υπολογισμός τω απαιτούμεω μεγεώ έτασης της κατάστασης "0" Φόρτιση α Ομοιόμορφο φορτίο q στα στοιχεία και Για το υπολογισμό τω ροπώ μιας κεκλιμέης δοκού είαι σκόπιμο α γίεται πρώτα ααγωγή της δεδομέης φόρτισης από μοάδες μήκους κατακόρυφης προβολής q*() σε μοάδες μήκους q(x) κατά τη έοια του κεκλιμέου (τοπικού) άξοα x της δοκού, σύμφωα με το ακόλουο σχήμα: x q*() F q*= =x cs x q(x) F F F q x cs q q * cs cs Ε συεχεία, γίεται αάλυση της φόρτισης q(x) σε δύο συιστώσες: μία κάετη q κ και μία παράλληλη q δ στο άξοα x της δοκού, σύμφωα με το ακόλουο σχήμα: x q(x) = q κ x + q δ x q q cs q q * cs κ q q sin q q * cs sin δ δ κ Προφαώς, ροπές προκαλεί μόο η κάετη συιστώσα q κ = q cs = q* cs, εώ η συιστώσα q δ προκαλεί αποκλειστικά αξοική έταση. Με τις παραπάω σχέσεις παίρουμε για τη δοκό : q κ = q* cs = 0kN/ (/) = 7.kN/. Ατίστοιχα, για τις ροπές της κεκλιμέης δοκού παίρουμε: q κ = q cs = kn/ (/) = 9kN/. Σύμφωα με όλα αυτά, προκύπτου, βάσει τω Πιάκω και α, οι ροπές στα άκρα τω στοιχείω (Σχ..). q (x) Κ 0 q* (),0,0 Κ 0,0 q 9 κ α α α,0 8.7kN,0,0 8.7kN α,0 q κ 8 7. 8.0kN Σχήμα. Παραμόρφωση και έταση του ΓΚΣ στη κατάσταση 0 Φόρτιση α. 6

Φόρτιση β Ομοιόμορφη αύξηση ερμοκρασίας όλω τω στοιχείω του φορέα,0 s Κ 0,0,0 s,0 ' ιάγραμμα illi ' Κ 0 ',0 90 ',0 cs=0.6 sin=0.8,0,0,0 s Ω,',' s s,0 β α. 0 β α. 0 β α. 0 s s,0,0,0 β,0 β,0 cs. cs. 0 0 Γεωμετρικά στοιχεία: 0. 0 0. 0 0 9.6 0 0.6 7. 0.6 7. 0 0 s s s β,0. 0 Από το διάγραμμα illi παίρουμε: Και, επομέως, λαμβάοτας υπόη ότι s sin. 0 cs 0 / 0.8 0.6.8 0 0 β β,0 και,0 : β,0 z ( ) ( ) z β β β,0,0,0.8 0. 0 β,0 β,0 0 6 0 Έτσι, για τις ροπές προκύπτου: (βλ. Πίακες α και β): β β ΕΙ 0. 0,0.7kN β β ΕΙ 0 6 0 6.00kN,0,0,0 Σχήμα. Παραμόρφωση και έταση του ΓΚΣ στη κατάσταση 0 Φόρτιση β. 6

Φόρτιση γ Κατααγκασμέες μετακιήσεις τω στηρίξεω του φορέα x, Κ 0 Κ 0 ',0,0 ' cs=0.6,0 x, sin=0.8 ' x, Λαμβάοτας υπόη ότι, κατά τη επιβολή της οριζότιας κατααγκασμέης μετατόπισης x, του κόμβου, η δοκός πρέπει α υποστεί, λόγω της δέσμευσης της χορδής της, παράλληλη μετάεση, παίρουμε από το διάγραμμα illi τα εξής: ' z,,0 Ω z, ' z, ιάγραμμα illi x, ' ',' κάετη στο άξοα x, sin 0./0.8 0. z, cs 0. 0.6 0.0 0.0 Και, επομέως: 0 ( ) γ z z γ,0 0.0,,0 Για τις ροπές προκύπτου, έτσι, οι τιμές (βλ. Πίακες α και β): γ,0 γ,0 ΕΙ ΕΙ γ,0 γ,0 0 0 (0.0) 8.7kN ( 0.0) 00kN 0.0 Σχήμα. Παραμόρφωση και έταση του ΓΚΣ στη κατάσταση 0 Φόρτιση γ. Φόρτιση δ Αομοιόμορφες ερμοκρασιακές μεταβολές τω στοιχείω του φορέα,0,0 =+ C Κ 0 Κ 0,0 =+ C =+ C,0 =. C.B. y z =. u C = u >0 + δ ΕΙ α 0. 0 0.6,0 δ ΕΙ α 0. 0 0.6,0 0kN 0kN δ / ΕΙ α /0. 0 0.6,0 7kN δ / ΕΙ α /0. 0 0.6 7kN,0 Σχήμα. Παραμόρφωση και έταση του ΓΚΣ στη κατάσταση 0 φόρτιση δ. 6

Βήμα. Υπολογισμός μεγεώ έτασης / μετακίησης τω καταστάσεω "ξ i =" (i=,) Κατάσταση ξ =, Κ ξ = Κ,, (φ ξ ) ΕΙ 0, φ 0000kN ΕΙ 0, φ 80000kN ΕΙ 0, φ 7000kN Σχήμα. Παραμόρφωση και έταση του ΓΚΣ στη κατάσταση ξ =. Κατάσταση ξ = Για το προσδιορισμό τω τελικώ έσεω ' και ' τω κόμβω και στη κατάσταση ξ = χρησιμοποιούμε το διάγραμμα illi (βλ. Σχ.., δεξιά). Κ ξ =,, ' s Κ,, ' s,, ιάγραμμα illi ' s ' = cs=0.6 sin=0.8 Ω,',' Γεωμετρικά στοιχεία: s sin 0.8 cs 0.6 cs 0.6 z z 6, ξ,., Ροπές (βλ. Πίακες, α και β):,,,, ΕΙ ΕΙ ΕΙ 6,,, 0 0 0 6 0000kN. 00kN 60000kN Σχήμα. Παραμόρφωση και έταση του ΓΚΣ στη κατάσταση ξ =. 66

Βήμα. Υπολογισμός τω συτελεστώ στιβαρότητας και φόρτισης Συτελεστές στιβαρότητας Κ i, Κ i (i=,) Ο υπολογισμός α γίει με εφαρμογή της αρχής τω δυατώ έργω (Σχ.. και.6). ξ = Κ ξ = Κ,,,, 0 0 0, 80000 7000 0,, 0000 00 0, 0 000kN 700kN Σχήμα. Κατάσταση "ξ = " με έταση, λόγω "ξ =" για το υπολογισμό του Κ, Κατάσταση "ξ = " με έταση, λόγω "ξ =" για το υπολογισμό του Κ., ξ = ',, ' ξ =, ',, ', Κ,, Κ =, =.,,, 0,,,,, 0 0000 80000 700kN 7000. 0 0, 6870kN,, 0000 00.,, 60000,, 0 0 Σχήμα.6 Κατάσταση "ξ = " με έταση λόγω "ξ =" για το υπολογισμό του Κ, Κατάσταση "ξ = " με έταση λόγω "ξ =" για το υπολογισμό του Κ. Συτελεστές φόρτισης Κ 0 και Κ 0 Ο υπολογισμός τω συτελεστώ φόρτισης (φορτιστικώ όρω) γίεται, ακολούως, για κάε μία από τις τέσσερεις δεδομέες περιπτώσεις φόρτισης του φορέα ξεχωριστά (βλ. Σχ..7 έως Σχ..0). Φόρτιση α Καταεμημέες φορτίσεις στοιχείω και 67

ξ =,0 Κ 0 0 α 0 α 8.7 0 0 α,0 0 α 0 8.7kN Σχήμα.7 Κατάσταση "ξ = " με έταση από τη κατάσταση "0", για το υπολογισμό του φορτιστικού όρου Κ 0 Φόρτιση α z,0 ' ξ = F ' F,0 Κ 0 =, =.,, F q 7kN F q 0 60kN cs 0.6. cs 0.6. z z α α α α 0,0,0,0, z z α α 0 0 0 F F 0 z,,0 8.7 8.7. 60. 7. 0 kn Σχήμα.7 Κατάσταση "ξ = " με έταση από τη κατάσταση "0", για το υπολογισμό του φορτιστικού όρου Κ 0 Φόρτιση α. Παρατηρήσεις:. Οι δυάμεις F και F, είαι οι συισταμέες τω ομοιόμορφω φορτίω τω στοιχείω και, ατίστοιχα, και το σημείο εφαρμογής τους βρίσκεται στο μέσο τω στοιχείω.. Το δυατό έργο τω δυάμεω F και F, υπολογίζεται πολλαπλασιάζοτας τη τιμή τους με τη κατακόρυφη συιστώσα του διαύσματος μετακίησης του σημείου εφαρμογής τους. Φόρτιση β Ομοιόμορφη αύξηση ερμοκρασίας όλω τω στοιχείω του φορέα ξ = Κ 0 0,0 β 0 β,0 0 β.7 0 β 0 0.7kN Σχήμα.8 Κατάσταση ξ = με έταση από τη κατάσταση "0", για το υπολογισμό του φορτιστικού όρου Κ 0 Φόρτιση β. ξ = ' Κ 0,0,,, = ' =.,,0 0 β β β 0 β.7 0 β 0,0, 86.6kN,0, 0. 6.00 0 Σχήμα.8 Κατάσταση ξ = με έταση από τη κατάσταση "0", για το υπολογισμό του φορτιστικού όρου Κ 0 Φόρτιση β. 68

Φόρτιση γ Κατααγκασμέες μετακιήσεις τω στηρίξεω του φορέα ξ = Κ 0 0,0 γ 0 γ,0 γ 8.7 0 γ 0 0 0 8.7kN Σχήμα.9 Κατάσταση ξ = με έταση από τη κατάσταση "0", για το υπολογισμό του φορτιστικού όρου Κ 0 Φόρτιση γ. Σημείωση: Οι μετατοπίσεις τω κόμβω και, κατά τη επιβολή της δυατής μετακίησης ξ =, είαι ακριβώς ίδιες με εκείες της («πραγματικής») κατάστασης "ξ =", και δίοται στο εκεί διάγραμμα illi (Σχ..). ξ = ' Κ 0,0, =, =., ',,0 γ γ γ 0 γ 8.7 0 0 γ 0,0, 76.6kN,0, 0. 00 0 Σχήμα.9 Κατάσταση ξ = με έταση από τη κατάσταση "0", για το υπολογισμό του φορτιστικού όρου Κ 0 Φόρτιση γ. Φόρτιση δ Αομοιόμορφες ερμοκρασιακές μεταβολές Δ τω στοιχείω του φορέα ξ = Κ 0 0,0,0 δ δ δ 0,0,0 0 δ 0 7 0 δ 0 kn 0 Σχήμα.0 Κατάσταση ξ = με έταση από τη κατάσταση "0", για το υπολογισμό του φορτιστικού όρου Κ 0 Φόρτιση δ. ξ = ',0,0,0 Κ 0, =,, ' =.,,0 0 δ δ δ δ δ 0,0,0 δ δ 0 0 0,0 7., 7,0 0, 0 0 87.kN Σχήμα.0 Κατάσταση "ξ = " με έταση από τη κατάσταση "0", για το υπολογισμό του φορτιστικού όρου Κ 0 Φόρτιση δ. 69

Βήμα. Κατάστρωση του συστήματος εξισώσεω ισορροπίας και υπολογισμός τω ξ i Το σύστημα τω επιλυουσώ εξισώσεω ισορροπίας έχει τη γεική μορφή: ξ 0 ij j i0 Το μητρώο στιβαρότητας ij (i, j =, ) εξαρτάται μόο από τα χαρακτηριστικά του φορέα και όχι από τη φόρτιση του. Ατίετα, κάε περίπτωση φόρτισης (α, β, γ και δ) έχει το δικό της διάυσμα φορτίου ( i0, i0, i0 και i0 ατίστοιχα). Έτσι, για τη συγκεκριμέη άσκηση, το σύστημα τω εξισώσεω ισορροπίας α πρέπει α επιλυεί τέσσερεις φορές. Από τις επιλύσεις αυτές, α προκύου τα δύο υπεράριμα γεωμετρικά μεγέη ξ και ξ, για κάε μία από τις τέσσερεις περιπτώσεις φόρτισης. Α, όμως, το ζητούμεο είαι ο υπολογισμός τω ξ και ξ για τη συδυασμέη δράση όλω τω φορτιστικώ αιτίω, τότε λόγω της ισχύος της αρχής της επαλληλίας επιλύεται το σύστημα τω εξισώσεω μία μόο φορά, με διάυσμα φόρτισης ίσο με το άροισμα τω διαυσμάτω φόρτισης τω τεσσάρω επιμέρους περιπτώσεω: α β γ δ ξ 0 ij j i0 i0 i0 i0 000 700 700 6870 ξ 8.7.7 8.7 0 ξ.0 86.6 76.6 87. 0 Στο παρακάτω πίακα. δίοται οι τιμές τω υπεραρίμω γεωμετρικώ μεγεώ για κάε μία από τις τέσσερεις δεδομέες φορτίσεις καώς και το άροισμά τους (επαλληλία), που ατιστοιχεί στη ταυτόχροη δράση τω τεσσάρω φορτίσεω. Φόρτιση α Φόρτιση β Φόρτιση γ Φόρτιση δ Επαλληλία (α+β+γ+δ) ξ.60.680.70.8080.8960 ξ 9.0.880.990.090.680 Πίακας. Οι τιμές τω ξ, ξ σε [ra] για τις τέσσερεις φορτίσεις και τη επαλληλία τους. Βήμα 6. Τελικά μεγέη έτασης λόγω της δεδομέης φόρτισης Διαγράμματα καμπτικώ ροπώ Μ Ο υπολογισμός τω καμπτικώ ροπώ επιτυγχάεται με εφαρμογή της αρχής της επαλληλίας: ij ij,0 ij, ξ ij, ξ. Με τη βοήεια του πίακα., είαι δυατός ο υπολογισμός τω καμπτικώ ροπώ για κάε μία από τις τέσσερεις περιπτώσεις φόρτισης. Ωστόσο, παρακάτω, δίοται οι τιμές τω καμπτικώ ροπώ για τη επαλληλία όλω τω περιπτώσεω: 77.8kN, 79.0kN, 79.0kN, και με πρόσημα βάσει της σύμβασης της ίας ααφοράς: 77.8kN, 79.0kN, 79.0kN, 097.kN. 097.kN. Διαγράμματα τεμουσώ δυάμεω Οι τέμουσες δυάμεις υπολογίζοται κατά τα γωστά από τις καμπτικές ροπές: 60

08.79kN,.79kN, 69.76kN, 69.76kN, 7.0kN, 0.0kN. Παρατήρηση: Ο υπολογισμός τω τεμουσώ δυάμεω τω στοιχείω και, γίεται ως εξής: qκ 79.0 77.8 9 08.79kN qκ 79.0 77.8 9.79kN qκ 097. 7. 7.0kN qκ 097. 7. 0.0kN Στις παραπάω σχέσεις, οι ροπές εισάγοται με τα πρόσημα της σύμβασης της ίας ααφοράς. Οι τιμές τω q κ και q κ υπολογίζοται με βάση τις παρατηρήσεις του σχήματος.. Τα διαγράμματα Μ και δίοται στο ακόλουο σχήμα.. 79.0 [kn] 69.76 + 7. [kn].79 f =8. + + 77.8 f =. + 08.79 0. 097. Σχήμα. Διαγράμματα Μ και για τη επαλληλία τω τεσσάρω περιπτώσεω φόρτισης. Τα βέλη τω παραβολώ στο διάγραμμα ροπώ υπολογίζοται ως εξής: q κ 9 qκ 7. q 0 f 8.kN f.kn 8 8 8 8 8 8 Παρατηρείται ότι, στη εξεταζόμεη περίπτωση, οι παραβολικά μεταβαλλόμεες ροπές λόγω τω καταεμημέω φορτίω στα στοιχεία και είαι πολύ μικρές σε σχέση με τις ροπές, που ααπτύσσοται σε αυτά λόγω τω υπολοίπω φορτίσεω β, γ και δ. Διαγράμματα αξοικώ δυάμεω Ν Τέλος, οι αξοικές δυάμεις μπορού α υπολογιστού από τη κατάστρωση τω συηκώ ισορροπίας ΣF x =0 και ΣF z =0 στους κόμβους και του φορέα. Παρατηρούμε εδώ ότι,επειδή τα λοξά στοιχεία και φορτίζοται από ομοιόμορφα φορτία που δε είαι κάετα στο άξοα τους, η συιστώσα τω φορτίω αυτώ, κατά τη διεύυση του άξοα τω στοιχείω, προκαλεί μια γραμμικώς μεταβαλλόμεη έταση. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα, οι αξοικές δυάμεις στις στηρίξεις και, α είαι διαφορετικές από τις αξοικές δυάμεις στους κόμβους και ατίστοιχα. Πρώτα υπολογίζοται οι αξοικές δυάμεις Ν, Ν (=Ν ) και Ν από τις συήκες ισορροπίας στους κόμβους και (πρόσημα της σύμβασης της ίας ααφοράς): N 0.kN N N.6kN N 90.9kN Λαμβάοτας υπόη τη αάλυση τω εξωτερικώ φορτίω σε συιστώσες (βλ. Βήμα ), παίρουμε για τη αξοική συιστώσα της φόρτισης του στοιχείου : qδ q sin 0.8 kn/ 6

και για τη αξοική συιστώσα της φόρτισης του στοιχείου : qδ q cs sin 0 0.6 0.8 9.6kN/ Με αυτά τα αξοικώς καταεμημέα φορτία, προκύπτου οι αξοικές δυάμεις στις στηρίξεις και : N N q 0. 6.kN, N N q 90.9 9.6 8.9kN δ δ Το διάγραμμα τω αξοικώ δυάμεω απεικοίζεται στο ακόλουο σχήμα.. 0. 90.9 N [kn].6 6. 8.9 Σχήμα. Διάγραμμα Ν για τη επαλληλία τω τεσσάρω περιπτώσεω φόρτισης. Ακολουεί το τελευταίο και απαραίτητο βήμα της διαδικασίας υπολογισμού, που συίσταται στο έλεγχο τω αποτελεσμάτω. Βήμα 7. Έλεγχοι αποτελεσμάτω Ακολούως διεεργούται τρεις ισορροπιακοί έλεγχοι για ολόκληρο το φορέα (βλ. Σχ..). q (x)=kn/ δοκού =+0 C =+ C =+0 C =+ C =+0 C =+ C 0.0 q* ()=0kN/.00.6 0..6 77.8.76 097. 9.76.00.00.00 F.6.6 0 kn x Fz.76 9.76 0 0 kn 0.6 0 7 77.8 097. 0.6 Σχήμα. Ισορροπιακοί έλεγχοι σε ολόκληρο το φορέα. 9.76 0 0.0 0 kn Οι τρεις ελεγχείσες συήκες ισορροπίας ικαοποιούται. Περαιτέρω ισορροπιακοί έλεγχοι, καώς και οι έλεγχοι συμβιβαστού επαφίεται ως άσκηση στο ααγώστη. 6

Βιβλιογραφικές ααφορές [] Αβραμίδης, Ι.Ε. (0). Στατική τω Κατασκευώ, Τόμος Ι: Θεμελιώδεις αρχές και ισοστατικοί φορείς. Θεσσαλοίκη: Αυτοέκδοση. [] Αβραμίδης, Ι.Ε., (0). Στατική τω Κατασκευώ, Τόμος ΙΙ: Υπερστατικοί Φορείς Κλασικές Μέοδοι Αάλυσης. Θεσσαλοίκη: Αυτοέκδοση. 6