Ο Βέλτιστος Φωρατής Ο φωρατής σήµατος, µε τη βοήθεια ενός κανόνα απόφασης, βασιζόµενος στην παρατήρηση του διανύσµατος, λαµβάνει µία απόφαση ως προς το µεταδιδόµενο σύµβολο, έτσι ώστε να µεγιστοποιείται η πιθανότητα σωστής απόφασης. Απουσία της λαµβανόµενης πληροφορίας, η καλύτερη απόφαση είναι να επιλέξουµε τοσήµα πουέχειτηµεγαλύτερηεκτωνπροτέρων (a-pioi)πιθανότητα ( ). Μετάτηλήψητηςπληροφορίας οι a-pioiπληροφορίες ( ) αντικαθίστανταιαπό τις εκ των υστέρων (a - potioi) πιθανότητες ( σήµα στάλθηκε ),,,, M ( ) Το κριτήριο απόφασης το οποίο βασίζεται στην επιλογή του σήµατος που αντιστοιχεί στο µέγιστο του συνόλου των a-potioi πιθανοτήτων ελαχιστοποιεί την πιθανότητασφάλµατος. Αυτό το κριτήριο απόφασης καλείται κριτήριο µέγιστης εκ των υστέρων πιθανότητας (axiu a potioi poaility MA)
Οι a-potioi πιθανότητες µπορούν να εκφραστούν ως επίσης ισχύει ( ) M ( ) ( ) ( ) k ( ) ( ) ( ) k k Παρατηρούµεότιουπολογισµόςτων a-potioi πιθανοτήτων ( ) απαιτείγνώση των a-pioi πιθανοτήτων ( ) καιτωνυποσυνθήκη DF ( ) για,,, M. Αντα Mσήµαταείναι ισοπίθανα τότε η µεγιστοποίηση της πιθανότητας ( ) οδηγείστηµεγιστοποίησητηςυπόσυνθήκηπυκνότηταςπιθανότητας ( ). Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-
Η υπό συνθήκη DF ή οποιαδήποτε µονότονη συνάρτηση αυτής καλείται συνάρτηση πιθανοφάνειας (liklihood uctio) Τοκριτήριοαπόφασηςπουβασίζεταιστηµεγιστοποίησητης ( ) πάνωσεόλατα δυνατά M σήµατα καλείται κριτήριο µέγιστης πιθανοφάνειας (Maxiu-Liklihood (ML) citio) Ένας φωρατής ο οποίος βασίζεται στο MA κριτήριο και ένας άλλος ο οποίος βασίζεται στο ML κριτήριο παίρνουν τις ίδιες αποφάσεις όταν οι a-pioi πιθανότητες είναι όλες ίσες. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3
Για ένα AWG κανάλι είναι ( ) k k ( ) xp,,,, M ( ) π k Ανεπιλέξουµετοφυσικόλογάριθµοτου ( ) έχουµε l ( ) l k k k ( π ) ( ) Ηµεγιστοποίησητου l ( ) ωςπρος ισοδυναµείµετηνεύρεσητουσήµατος το οποίο ελαχιστοποιεί την Ευκλείδεια απόσταση D, k ( ) ( k k) Οιποσότητες D (, ),,,, M, καλούνταιµετρικέςαπόστασης (ditac tic). Για AWG κανάλι, ο κανόνας απόφασης ο οποίος βασίζεται στο ML κριτήριο, απλοποιείται στην εύρεση του σήµατος το οποίο είναι το πλησιέστερο στο λαµβανόµενο διάνυσµα. Ο κανόνας αυτός απόφασης χαρακτηρίζεται ως φώραση ελάχιστηςαπόστασης (iiu ditac dtctio) Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-4
Μία άλλη ερµηνεία του βέλτιστου κανόνα απόφασης. Οι Ευκλείδειες αποστάσεις γράφονται και ως ( ) ( ) M D,,,,, + + Αναµεληθείοκοινός όρος πουείναικοινόςσεόλεςτιςµετρικέςέχουµεένα σύνολο τροποποιηµένων µετρικών αποστάσεων ( ) M D,,,,, + Σεραφείµ Καραµπογιάς Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-5 ( ), C Το κριτήριο µέγιστης πιθανοφάνειας απόφασης επιλέγει το σήµα (t) το οποίο µεγιστοποιείτην ( ) ήτο l ( ) πάνωσεόλαταδυνατά Mσήµατα (t), (t),, M (t).τοκριτήριοείναιισοδύναµοτηνελαχιστοποίησητηνευκλείδειααπόστασης D(, ). Είναιεπίσηςισοδύναµοµετηµεγιστοποίηση τηςτροποποιηµένηςµετρικής απόστασης η οποίες αποτελούν τις µετρικές συσχέτισης.
Οόρος αντιπροσωπεύειτηνπροβολήτουλαµβανόµενουδιανύσµατοςπάνωσε κάθε ένα από τα M δυνατά µεταδιδόµενα διανύσµατα σήµατος. Ητιµήκάθεµίαςαπόαυτέςτιςπροβολέςείναιέναµέτροτηςσυσχέτισηςµεταξύτου λαµβανόµενου διανύσµατος και του στου σήµατος Γιατολόγοαυτότα C (, ),,,, Mκαλούνταιµετρικέςσυσχέτισηςγιατη λήψη απόφασης του σήµατος που µεταδόθηκε. Οιόροι,,,, Mµπορούνναθεωρηθούνωςόροιαντιστάθµισηςσε περιπτώσεις συνόλου σηµάτων µε άνισες ενέργειες. Αν τα σήµατα δεν είναι ισοπίθανα, ο βέλτιστος MA φωρατής βασίζει την απόφασή τουστιςπιθανότητες ( ),,,, M, ( ) ( ) ( ) ( ) η, ισοδύναµα, στιςµετρικές a-potioi πιθανότητας (, ) ( ) ( ) M Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-6
Ας θεωρήσουµε δυαδικά AM σήµατα βασικής ζώνης, όπου οι δύο κυµατοµορφές σήµατοςείναιη (t) g T (t) και (t) g T (t). Σεραφείµ Καραµπογιάς Πιθανότητα Σφάλµατος στη υαδική ιαµόρφωση όπου g T (t) είναι ένας οποιοσδήποτε παλµός ο οποίος είναι µη µηδενικός στο διάστηµα t Tκαιέχειενέργειαίσηµε. Τα δύο δυνατά σηµεία σήµατος είναι αντίποδα., τα σήµατα αυτά καλούνται Σηµεία σήµατος για αντίποδα σύµβολα Οι a-pioi πιθανότητεςείναι ( ) pκαι ( ) p. Αςυποθέσουµεότιµεταδόθηκετο (t). Τολαµβανόµενοσήµαείναι + + όπου y (T) είναι µία µηδενικής µέσης τιµής Gauia τυχαία διαδικασία µε σ διακύµανση Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-7
Οι δύο υπό συνθήκη DF του είναι ( ) ( ) ( ) π ( ) π ( + ) ( ) ( ) Υποσυνθήκη DF των δύο λαµβανοµένων σηµάτων, όταν τα δύο σήµατα είναι ισοπίθανα εδοµένου ότι µεταδόθηκε το (t) η πιθανότητα σφάλµατος είναι να λάβουµε <, δηλαδή, ( ) ( ) ( ) d d π Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-8
( ) ( ) d π ( ) x dx π ( ) Q ( ) x dx π µε αλλαγή µεταβλητής έχουµε ) ( x ή λόγω της συµµετρίας της συνάρτησης Με τη βοήθεια της συνάρτησης Q έχουµε Σεραφείµ Καραµπογιάς Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-9
Η µέση πιθανότητα σφάλµατος είναι p p ( ) ( ) ( ) + p Q Σεραφείµ Καραµπογιάς Παρατηρούµε ότι η πιθανότητα σφάλµατος εξαρτάται µόνο από το λόγο από τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά των σηµάτων και του θορύβου. και όχι Ο λόγος είναι επίσης και το SR εξόδου του αποδιαµορφωτή προσαρµοένου φίλτρου (ή τύπου συσχέτισης). Ο λόγος συνήθως καλείται λόγος σήµατος-προς-θόρυβο (SR) ή SR/it. Η απόσταση των δύο σηµείων σήµατος είναι d σφάλµατος εκφράζεται µε τη βοήθεια της απόστασης ως. Η µέση πιθανότητα Q Αποδεικνύεται ότι η σχέση αυτή µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τον υπολογισµό της πιθανότητας σφάλµατος οποιουδήποτε δυαδικού συστήµατος το οποίο χρησιµοποιεί δύοισοπίθανασήµατα. d Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-
Πιθανότητα Σφάλµατος για υαδικά Ορθογώνια Σήµατα ψ ( t) (, ) d (,) ψ ( t) Σηµεία σήµατος για ορθογώνια σύµβολα. Αςυποθέσουµεότιµεταδόθηκετο. Τολαµβανόµενοδιάνυσµαείναι Οι µετρικές συσχέτισης είναι [ +, ] C (, ) C ( ) Η πιθανότητα σφάλµατος είναι η πιθανότητα να έχουµε ( ) C (, ) > C (, ), (, ) C (, ) C > ( ) ( > ). Εποµένως Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-
Τα και είναι µηδενικής µέσης τιµής στατιστικά ανεξάρτητες Gauia τυχαίες µεταβλητές, ηκάθεµίαµεδιακύµανσην /, Ητυχαίαµεταβλητή είναι Gauia µεµέσητιµήµηδένκαιδιακύµανσην. Συνεπώς ( ) > / / x x Q dx dx π π Όµοια αποδεικνύεται ότι αν µεταδοθεί το,, τότε δεδοµένης της συµµετρίας, λαµβάνουµε την ίδια πιθανότητα σφάλµατος. Η µέση πιθανότητα σφάλµατος για δυαδικά ορθογώνια σήµατα είναι Q Σεραφείµ Καραµπογιάς Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-
Η µέση πιθανότητα σφάλµατος για δυαδικά αντίποδα σήµατα είναι Η µέση πιθανότητα σφάλµατος για δυαδικά ορθογώνια σήµατα είναι Q Q Παρατηρούµε ότι τα ορθογώνια σήµατα απαιτούν διπλάσια ενέργεια για να επιτύχουν την ίδια πιθανότητα σφάλµατος µε τα αντίποδα σήµατα. Ταορθογώνιασήµαταείναιυποδεέστερακατά 3-dB τωναντίποδωνσηµάτων. Η πιθανότητα σφάλµατος για Μ-αδικό AM αποδεικνύεται ότι είναι ίση µε ( M ) M Q g όπου g είναιηενέργειατουβασικούπαλµού g T ( t ). Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3
Παράδειγµα 7.5.3 Θεωρείστε την περίπτωση σηµάτων δυαδικού AM κατά την οποία τα δύο δυνατά σηµείασήµατοςείναι, όπου είναιηενέργειαανά it. Οι a-pioi πιθανότητεςείναι ( ) p και ( ) p. Καθορίστε τις µετρικές για το βέλτιστο MA φωρατή εάν το µεταδιδόµενο σήµα διαβρώνεται από AWG θόρυβο. Λύση Το λαµβανόµενο σήµα είναι Οι δύο υπό συνθήκη DF του είναι ± + y ( T) ( ) σ ( ) ( ) πσ ( + ) σ πσ Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-4
Οιδύουπόσυνθήκη DF του είναι ( ) σ ( ) ( ) πσ ( + ) σ πσ Οιµετρικές a-potioiπιθανότητας (, ) ( ) ( ) M,, είναι M ( ) p ( ) ( ) σ, πσ p M ( ) ( p) ( ) p ( + ) σ, πσ Ο κανόνας απόφασης εκφράζεται ως M M ( ) (, ) S, S Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-5
Αλλά M M ( ) (, ) ( + ) ( ) S, p xp p σ S λαµβάνοντας το λογάριθµο έχουµε ήισοδύναµα ( ) ( ) + 4 p l σ σ S p Ο βέλτιστος φωρατής υπολογίζει το µέτρο συσχέτισης συγκρίνει µε το κατώφλι ( 4) l( p) p S S σ p p l l p 4 p S C (, ) και το Παρατηρούµεαν p /, τοκατώφλι είναιίσοµεµηδένκαιδεναπαιτείταιγνώσητου Ν στοφωρατή. Στηνπερίπτωσητωνάνισων a-pioi πιθανοτήτων, γιατονυπολογισµό του κατωφλίου είναι αναγκαίο να γνωρίζουµε όχι µόνο τις τιµές των a-pioi πιθανοτήτωναλλάκαιτηντιµήτηςφασµατικήςπυκνότηταισχύος. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-6
Αν R είναι η περιοχή του Ν-διάστατου χώρου για την οποία αποφασίζουµε ότι µεταδόθηκε το σήµα (t) όταν λαµβάνεται το διάνυσµα (,,, ). Η υποσυνθήκη πιθανότητα εσφαλµένης απόφασης, δεδοµένου ότι µεταδόθηκε το (t), είναι c R c όπου R είναιτοσυµπλήρωµατου R. Ηµέσηπιθανότητασφάλµατοςείναι d M M M M R c d M M R d Σηµειώνουµε ότι η πιθανότητα () ελαχιστοποιείται επιλέγοντας το, εάν η υποσυνθήκη πιθανότητα ( ) είναιµεγαλύτερηαπό ( k ) γιαόλατα k. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-7
Όµοια, στην περίπτωση χρήσης του MA κριτηρίου, εάν τα M σήµατα δεν είναι ισοπίθανα, η µέση πιθανότητα σφάλµατος είναι M R d Το () ελαχιστοποιείται όταντασηµείαπουθασυµπεριληφθούνσεκάθε περιοχή R είναιαυτάγιαταοποίατο ( ) υπερβαίνειόλεςτιςάλλες a-potioiπιθανότητες. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-8
Παράδειγµα υαδικά αντίποδα σήµατα χρησιµοποιούνται για τη µετάδοση πληροφορίας µέσα από AWG κανάλι. Οι a-pioiπιθανότητεςτωνδύοσυµβόλων (it)είναι p p /. α) Καθορίστε το βέλτιστο κανόνα απόφασης µέγιστης πιθανοφάνειας του φωρατή. β) Βρείτετηπιθανότητασφάλµατοςσυναρτήσειτουλόγου /. Σύµφωνα µε το κριτήριο µέγιστης πιθανοφάνειας (Maxiu-Liklihood (ML) citio) επιλέγεται από τα Μ πιθανά µεταβιβαζόµενα σήµατα αυτό το οποίο µεγιστοποιείτην ( ). Για M τοκριτήριοέχειτηµορφή. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) S S ( + ) ( ) σ πσ σ σ ( + ) σ S πσ Λογαριθµίζοντας την σχέση το κριτήριο µέγιστης πιθανοφάνειας είναι Σεραφείµ Καραµπογιάς S Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-9
Παράδειγµα Ένα σύστηµα δυαδικού AM χρησιµοποιεί ορθογώνιους παλµούς διάρκειας T και πλατών ± Aγια τη µετάδοση ψηφιακής πληροφορίας σε ρυθµό R 5 p. Εάν η φασµατικήπυκνότηταισχύοςτουπροσθετικού GauiaθορύβουείναιΝ /, όπου W/Hz,καθορίστετηντιµήτουΑπουαπαιτείταιγιαναεπιτύχουµε πιθανότητα σφάλµατος 6. Λύση εδοµένουότιορυθµόςµετάδοσηςείναι R 5 it/c ηχρονικήδιάρκειατου it είναι T -5 c. Η µέση πιθανότητα σφάλµατος για δυαδικό AM σύστηµα είναι όπουηενέργεια it είναι. A T 4,75 Q ( 4, 75) Για ( ) -6 έχουµε,8 Σεραφείµ Καραµπογιάς εποµένως A T,8 A 6, Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-