FIZIK podloge za studj strojarsta 4. Daka 1 4.1 Zako ercje pr Newtoo zako Daka šr keatčke aalze uzajuć u obzr ase tjela (aterjale točke). Prje sega zučaa osost gbaja o slaa koje ga zazaju (pokreut auto a guraje). Za održaaje jedolkog praocrtog gbaja je potrebo stalo djeloaje sle.? Iercja (roaje troost, gbaje ustrajost) sojsto tjela da se odupru projeaa staja gbaja. ( l C ) Zako ercje (pr Newtoo zako) staje gbaja se e jeja (lada raoteža) ako je rezultata sla koje djeluju a tjelo jedaka ul. (tjelo ruje l se gba jedolko praocrto) Vrjed l pr kočeju/ubrzaju zako ercja za putka koj stoj u autobusu? F R ΣF (ektorsk) U pracu rezultate sla: (određe je aktual praac kopoete) F R oa R a R a R o a R o + C (u treutku t ) (a) tjelo ruje: (b) tjelo se gba jedolko praocrto: C Newtooo jhalo jeda stupaj slobode gbaja: (kolko će dugo trajat jhaje) I za održaje jedolkog kružog (krocrtog) gbaja potrebo je stalo djeloaje sle (cetrpetala sla). Kada a tjelo e b djeloala kaka sla oo b se gbalo jedolko praocrto. Tjelo će jedolko rotrat (rtja) oko os ako je: M R ΣM (krak cetrpetale sle jedak je ul) 4. Sla, asa ubrzaje drug Newtoo zako Rezultata sla razlčta od ule: F R ΣF uzrokuje ubrzaje tjela, ako gbaje je sprječeo. (Može l ubrzaje zazat slu?) Prjer P-4.1: Kaka je razlka u slučajea: (a) ~ 1 (b) << 1 (c) >> 1 Teelja jedadžba gbaja (a teelju koje se određuje gbaje tjela: a,, s, pod utjecaje zadah sla, F R ΣF ): FR FR Drug Newtoo zako (ateatčk ops) a R (ektorsk) a R (kopoete, pr. u pracu os x) Ubrzaje tjela (ektor) zrao je razjero sl (rezultat ektor) koja djeluje a tjelo, a obruto je razjera as tjela (skalar pokazatelj otporost tjela proje staja gbaja). Praac sjer ubrzaja se ujek poklapaju s prace sjero sle koja ga uzrokuje. F R oa R [ F ] []o[ a ] kgoos N Sla, F 1 N (jut jedca za slu), daje tjelu ase 1 kg ubrzaje a 1 /s. (a g 1 /s ubrzaje zelje teže) Izračuaaja su složeja ako se sla koja djeluje a tjelo jeja tjeko reea (F f(t)). Tr aže opaske: 1. ujesto ektorske jedadžbe uglao se korste skalare jedadžbe s kopoetaa u koordato sustau,x,y,z: F R,x Σ F x, oa R,x F R,y Σ F y, oa R,y F R,z Σ F z, oa R,z. sao ajske sle uzrokuju ubrzaje sustaa djeloaja uutarjh sla (zeđu tjela koja su djelo aktualog sustaa) e zazaju ubrzaje (ogu l putc pokreut autobus guraje e zlazeć z autobusa) 3. kada se usoj defcja "ercjal susta" (što je ezbježo) Newtoo zako rjede sao u ercjal sustaa. Teža tjela (sla uzajao djeloaje tjela zazaa gratacjo): G og, [ G ] N Ne sje se brkat s aso tjela (sojsto tjela koje e os o gratacj): [] kg. g ubrzaje slobodog pada, posljedca F g. Ia l ssla ugra u ozlo jerač ubrzaja? Što je s G ubrzaje ozla a Mjesecu?
FIZIK podloge za studj strojarsta 4. Daka 4.3 Grace referetog sustaa eercjal susta ercjale sle Iercjal susta susta u koja rjede teelj Newtoo zako gbaja. Iskusta pokazuju da tak susta u odosu a tlo ruju (pod sobe) l se gbaju jedolko praocrto (paluba broda koj plo po boac). Neercjal susta susta u koja e rjede oso (Newtoo) zako gbaja. Iskusta pokazuju da su tak susta ubrza/uspore. (Je l oguće grat bljar a brodu l u laku?) Oso o postalje gracaa, eercjal susta se ogu aalzrat kao eercjal l kao ercjal. Proatrao z ercjalog sustaa, tjelo (ase ) u ubrzao/usporeo (eercjalo) sustau tež održaju probtog staja gbaja. Sa eercjal susta a ubrzaje a I. (Prodskutrat slke kako se pojae de z ercjalog eercjalog sustaa.) Proatrao z eercjalog (ubrzaog/usporeog) sustaa, a tjelo djeluje "ercjala sla": (praktča eewtosk prstup) F I oa I (ože l se zjert eercjala sla) Iercjala sla F I je posljedca uzajaog djeloaja tjela (defcja sle treje) e jalja se protusla. (III Newtoo zako). U okoto k tlu Zelje ubrzaao sustau: G' F g + F I s kopoetaa G' F g F I og oa I o(g a I ) Pr slobodo padu eercjalog sustaa (a I g): (acrtat teret u dzalu ucrtat ektore ubrzaja sla) G' o(g a I ) U slučaju kružog gbaja ercjala sla se aza cetrfugalo slo (F cf ), koja je u slučaju jedolkog kružog gbaja jedakog tezteta praca, te razlčtog sjera od cetrpetale sle (F cp ). Cetrpetala cetrfugala sla eaju sto hatšte. cetrpetala sla je jutoska (a protuslu) polač tjelo k cetru rtje, te se oo gba po kružc cetrfugala sla je ejutoska ercjala je ea protuslu cetrfugala sla zateže oprugu? u treutku prekda opruge obe se sle gube tjelo se astalja gbat jedolko u pracu tagete 4.4 Rad saga Rad skalara elča kojo se opsuje razjea ehačke eergje zeđu sustaa okole: W Fos (?) W FoΔr F o Δr ocos α (skalar produkt) dw Fodr F o dr ocos α W 1/ F ocos α o ds 1 W Fosocos α [W] [F]o[s] No J (trgooetrjska kružca) Rad je pozta ako su st sjero ektora F r. U topl, rad je pozta kada ga okola rš ad sustao (poećaje eergje sustaa). W 1oo1oNo( 1) 1 J W oo1ono( 1) J W ooono( 1) 4 J Okola rš rad ad sustao W. Raste potecjala eergja + ΔE p. Saga skalara elča kojo se opsuje brzu obaljaja rada: P W [P] W t J s W t P dw d t P W t 1 o J 1o s 1 W P W t 1 o J,1o s 1 W 1 kw P W t 1 o J 1 W 1 o s
FIZIK podloge za studj strojarsta 4. Daka 3 4.5 Mehačka, gratacjska potecjala ketčka eergja Geeralzrao, eergja (ehačka, uutarja, kejska, ukleara), J (džul) opsuje sposobost sustaa da zrš projee. Mehačka eergja E, J opsuje sposobost tjela (sustaa) za obaljaje ehačkog rada. Mehačka eergja se razjejuje zeđu sustaa (obaljaje rada) pr čeu ože jejat oblk pojaljaja (ketčka potecjala). Potecjala eergja E p, J opsuje eergju određeu položaje tjela (sustaa). U gratacjsko je polju Zelje: E p,g ogoh (gratacjska potecjala eergja) Pr podzaju tereta u polju Zelje teže: h F g E p,g W odyocos 18 F g ody (poećaje E p,g tereta jedako je uložeo W dzaja) E p,g ogoh ogo ogoh (g 1 /s ) Prjer P-4.: Kolka je potecjala eergja udarog bata ase 1 kg podgutog a su od? E p,g ogoh 1okgo1oos oo 1oNoo oj kj Ketčka eergja E k, J opsuje eergju određeu gbaje tjela (sustaa). o E k Pr padu tereta u polju Zelje teže (poećaje ketčke eergje tereta): E k W F g odyocos ody o g d d t dy E k o od o od o ody od o o o h o o g o y Prjer P-4.3: Kolke su ketčke eergje prazog teretog ozla ( T ): ase t koje se kreće brzo od 7 k/h, sportskog ozla ( S ): ase 5 kg, koje se gba brzo 144 k/h? (sportsko ozlo gba se da puta ećo brzo: 7o4 144 a četr puta aju asu) o E k,t okg o ( 7 o ) 36 o s ( ) 4oNo,4o1 6 oj,4 MJ o 5 okg o 144 o E k,s 36 o s 4o No,4o1 6 oj,4 MJ Po jedo od prstupa, pr aalz eergja razjea eergja treba razlkoat geeralzrae elče: (a) potecjal koj opsuje sposobost sustaa za razjeu (b) aboj koj dopujaa ops određaje raspolože kolče. (h, E p,, o E k ) dy h 4.6 Elastča potecjala ketčka eergja Elastča potecjala eergja se pojaljuje u optereće (lačo, tlačo) deforra krut tjela. Pod opterećeje je osobto uočlja deforacja opruge (krutost k). Kada se po opterećeju opruga produž za dužu s ur, rezultata je: F l F e (ektorsk) F l F e (kopoete u pracu x os) gdje je: F l lača sla, (opterećeje) F e elastča sla. ("porata sla", koja tež kraj opruge ratt u raotež položaj) Izrše rad deforacje opruge (W D ) akuulra je kao potecjala elastča eergja opruge (E p,e ), koja se ože skorstt za obaljaje ekaletog rada opruge (W O ) pr jeo spotao raćaju u probte dezje (polačeje tereta): s s s k o x k o s W D E p,e W O W D F l odxocos α k o x o1odx E p,e ko pr deforraju opruge dođe do plastče deforacje (traje projee oblka) ekalet do rada ba eporato zgublje. Od treutka oslobađaja kraja opterećee opruge počje rast ketčka eergja: o E k o ( ao ) Fp,e 1 o o o ( ) k Fp,e o o o ( ) x o o Co ( x o ) W D E p,e,x
FIZIK podloge za studj strojarsta 4. Daka 4 4.7 Zako očuaja ehačke eergje rste sla Geeralzrao, zako očuaja eergje eergja sustaa se e jeja bez ajskh utjecaja. Σ E C E Zako očuaja ehačke eergje ehačka eergja sustaa se e jeja bez razjee ehačke eergje s okolo. Σ E E p + E k C E U prrod pretorbe ehačke eergje E p E k prate druge rste razjea eergje s okolo, ajčešće, razjee tople (plastče deforacje treje), te se jalja gubtak ehačke eergje. Nako slobodog pada, pr udaru kugle o tlo, ketčka se eergja trasforra u deforacje kugle /l tla, djeločo elastče (odbacaje) djeločo plastče (uutarja eergja). Teorjsk apsoluto elastč apsoluto plastč sudar? Kozerate sle obalje rad: (a) ože bt zraže kao razlka potecjale eergje tjela prje početka ako kraja gbaja (E k, E k,1 ) (b) reerzbla je susta ad koj je obalje rad ože st taj rad ( W + W) obat a eko drugo sustau (c) e os o putaj ego sao o početoj krajjoj točk (d) jedak je ul ako se početa krajja točka poklapaju. Nekozerate sle obalje rad e ože bt zraže kao razlka potecjale eergje tjela a početku kraju gbaja jer je: ΔE p > W plastče deforacje, treje, ΔE p < W terčka, faza, kejska, ukleara eergja. 4.8 Pretaraje potecjale u ketčku eergju Na teelju zakoa o očuaju ehačke eergje (E ) zedeh zraza za gratacjsku potecjalu ketčku eergju sljed: o E E p + E k ogoh + kost Kada kugla u gratacjsko polju Zelje pada k tlu pretara se jea potecjala eergja u ketčku: (t o s, aot tea.1) a Kada se kugla odbje od tla pretara se jea ketčka eergja u potecjalu. (dealzacja: apsoluto elastč sudar, bez gubtaka treja)
FIZIK podloge za studj strojarsta 4. Daka 5 4.9 Kolča gbaja, alet puls sle Kolča gbaja (zaah), p, jeda je od ektorskh elča koja se opsuju sojsta gbajućh tjela (sustaa tjela) što je kolča gbaja ekog tjela eća to je oguć jego učkotj alet a drugo tjelo. Nalet tjela je oguć bez prsutost drugog tjela, razlčte brze od prog (geeralzra potecjal). Pr aletu oba tjela jejaju kolče gbaja (geeralzra aboj). Kolča gbaja obuhaća asu tjela brzu jegoog gbaja, a sjer ektora kolče gbaja jedak je sjeru ektora brze: p o [ p ] []o[ ] kgoos 1 p x o x p y o y p z o z (kolča gbaja uošku ase brze tjela kolča gbaja tjela raste s porasto ase porasto brze gbaja tjela) Korst se za rješaaje problea koj se e ogu rješt l se teško rješaaju drekto prjeo II Newtooog zakoa. el 1o al al,x 1o el,x (kopoete u sjeru x os) p al,x al o al,x p el,x el o( el,x ) el o el,x el p al,x o1oel,x el o el,x p al,x p el,x 1 (jedak su teztet kolča gbaja lopt bće jedake sage aleta lopt a stjeku) Derraje kolče gbaja tjela po reeu se doba: F F dp od od od Fo a d/ Newto je zako ercje (drug Newtoo zako) psao u oblku: F dp/, a e u oblku F oa od/. Ipuls sle, I, jeda je od ektorskh elča koja se opsuju uzajaa ehačka djeloaja gbajućh tjela što je puls eć to će bt eć učak aleta jedog tjela a drugo tjelo. Ipuls obuhaća slu (rezultatu) koja djeluje a tjelo trajaje jeog djeloaja, a sjer ektora pulsa sle jedak je sjeru ektora sle. U ftezalo ektorsko oblku: I Fo dp [ I ] [ F ]o[t] Nos kgoos os kgoos 1 I x F x o I y F y o I z F z o (puls sle uošku sle trajaja jeog djeloaja puls sle raste s porasto sle porasto reea jeog djeloaja) Proble u zračuaaja s pulsa se jaljaju kada se sla jeja tjeko sudara (F f(t)).,1 kg 1 3 /s /s Δt 1/,1 s p 1,x o 1,x,3 kgoos 1 p,x o,x, kgoos 1 I x p,x p 1,x, (,3),5 Nos F sr I x / Δt 1/,5 /,1 5 N 4.1 Moet kolče gbaja puls oeta Moet kolče gbaja, L, jeda je od ektorskh elča koja se opsuju sojsta rotrajućh tjela što je oet kolče gbaja ekog tjela eć to je oguć jego sažj alet a drugo tjelo. Moet kolče gbaja obuhaća kolču gbaja radjus ektor, a odos oeta kolče gbaja kolče gbaja st je kao odos oeta sle (statka): L r p [ L ] [ r ]o[ p ] okgoos 1 kgo os 1 [oet kolče gbaja uošku radjektora kolče gbaja oet kolče gbaja tjela raste s porasto radjektora porasto kolče gbaja (porasto ase porasto brze gbaja)] Korst se u rješaaju problea koj se e ogu rješt l se teško rješaaju drekto prjeo II Newtooog zakoa. Za blo koj kut β: L r p L r o p os β L ropos β L rooos β (ro s β "krak" oeta) Za β 9 (π/): L rooos 9 L rooroωo1 L or oωo1 or I L Ioω I oet ercje Za β 9 (jedolko kružo gbaje): L Ioω praac ektora L se poklapa s z os, a sjer je određe pralo dese ruke. Prea toe, pokazatelj je troost tjela kod rotacje oet ercje, (kod praocrtog gbaja asa). o Moet ercje sustaa se doba suraje oeata ercje djeloa: I r, odoso: I 1 o r 1 r d Derraje oeta kolče gbaja po reeu se doba: dl d( r p) dr dp p + r (o) + r F o + r F r F M ( oos ) Ipuls oeta, τ, jeda je od ektorskh elča koja se opsuju uzajaa djeloaja rotrajućh tjela što je puls oeta eć to će bt eć učak aleta jedog tjela a drugo tjelo. Ipuls obuhaća oet (rezultate) koj djeluje a tjelo trajaje jegoog djeloaja, a sjer ektora pulsa oeta jedak je sjeru ektora oeta. U dferecjalo ektorsko oblku: dτ Mo dl [ τ ] [ M ]o[t] Noos kgoos oos kgo os 1
FIZIK podloge za studj strojarsta 4. Daka 6 4.11 Zako o očuaju kolče oeta kolče gbaja Zako o očuaju kolče oeta kolče gbaja se korste za rješaaje problea gbaja u sustaa forra od da l še tjela koja spoljaaju ehačka uzajaa djeloaja (uutarje sle uutarj oet), bez djeloaja ajskh sla oeata («zatore susta»). Zako o održaju kolče gbaja ako je ΣF (odsusto djeloaja ajskh sla) kolča gbaja sustaa se e jeja: d p (projee kolča gbaja djeloa sustaa) odakle se tegrraje doba: p 1 1 o C p Zako o održaju oeta kolče gbaja ako je ΣM j (odsusto djeloaja ajskh oeata) oet kolče gbaja sustaa se e jeja: d j L (projee oeata kolča gbaja djeloa sustaa) j odakle se tegrraje doba: L j j o( j o j) j 1 j 1 r Ij o ω C L Zbrajaju se ektor jer su kolče gbaja oet kolče gbaja ektor. Pr toe se ajčešće korste kopoete. C p,x Σp,x C p,y Σp,y C p,z Σp,z C L,x ΣL,x C L,y ΣL,y C L,z ΣL,z j 1 4.1 Kolča gbaja puls, ketčka eergja rad Kolča gbaja ketčka eergja su fzčke elče koja se opsuju sojsta tjela (sustaa) koje se gba, a puls rad su elče koja se opsuju uzajaa djeloaja tjela (sustaa). Mateatčk ops kolče gbaja ketčke eergje (praocrto gbaje): kolča gbaja: ketčka eergje: p o o E k Fzčk obje su elče razjere as, eđut, kolča gbaja je learo razjera brz, a ketčka eergja razjera poloc rjedost kadrata brze. (Što se ože zaključt?) Mateatčk ops pulsa rada (praocrto gbaje): puls: rad: I 1/ Δp 1/ oδ 1/ FoΔt 1/ o Δ1/ W 1/ ΔE k,1/ FoΔs 1/ Fzčk kolča gbaja skazuje posljedce djeloaja sle (uzajao djeloaje da tjela) tjeko reea Δt 1/, a ketčka eergja opsuje posljedce djeloaja sle tjeko prelaska puta Δs 1/. Praktča prjea koja se lopta ora oprezje zaustaljat ( al, el, /s): p el,1 el o el,1 kgoos 1 p al,1 al o al,1 kgoos 1 el o el,1 al o al,1 E k,el,1 4 J E k,al,1 J p el, kgoos 1 E k,el, J p al, kgoos 1 E k,al, J I el,1/ Δp el,1/ kgoos 1 W el,1/ ΔE el,k,1/ 4 J I al,1/ Δp al,1/ kgoos 1 W al,1/ ΔE al,k,1/ J Sojsta tjela koja se gbaju: obje lopte aju stu kolču gbaja, a razlčte ketčke eergje. Pretpostao da obje lopte zaustaljao s sto slo (F šć kao opruga) za sto rjee I al,1/ I el,1/ u oba slučaja su razjeje jedak puls. Međut, kako je W al,1/ 5oW el,1/ pr zaustaljaju brže (ale) lopte ruka će zršt pet puta eć rad, te bt potsuta a pet puta eću dalju u sjeru gbaja loptce jer je Δs ΔW/F.
FIZIK podloge za studj strojarsta 4. Daka 7 4.13 Sudar Plastč sudar (deal) pr sudaru se tjela plastčo deforraju, spoje astae kretat kao jeda cjela (po defcj, sključea elastča deforacja koja b tjela odbla jedo od drugoga). Elastč sudar (deal) pr sudaru se tjela deforraju sao elastčo e plastčo, te prje poslje sudara aju jedaku ketčku eergju kao prje sudara (po defcj, sključeo je sajeje ketčke eergje usljed rada deforraja tjela). Mješot elastčo-plastč sudar (realo) pr sudaru se tjela deforraju poto razdajaju. zako o održaju kolče gbaja: zako o održaju eergje: Σ p C p (ektorsk) Σ E C E (skalar) plastč sudar uz ujete: 1, elastč sudar uz ujete: p,1 + p,1 p, + p,,1 o,1 +,1 o,1,1 o,1 o E,1 + E,1 E, + E, + elastč sudar uz ujete:,,1,1 E E k k1 + + o 1 (zest) o + + o o (zest) (zest) 4.14 Ops gbaja krutog tjela Kruto tjelo tjelo koje e jeja oblk elču, te se e jeja razak blo kojh točaka tjela. Traslacjsko gbaje krutog tjela se točke krutog tjela aju podudare putaje, te je dooljo opsat gbaje sao jede točke tjela. Putaje traslacjskog gbaja ogu bt krocrte praocrte krocrto praocrto gbaje. Rotacjsko gbaje krutog tjela u tjelu l za tjela postoj praac os rotacje a koje se točke ruju tjeko gbaja tjela. Se ostale točke tjela se kreću po kružcaa u raaa okot a os rotacje, sa sredšte a os rotacje. Prea toe, kruto tjelo rotra (rt se) oko os rotacje (rtje). Se točke krutog tjela aju jedake kute brze, dok jedake obode brze oboda ubrzaja aju čestce koje se alaze a jedak ajkrać udaljeosta (u ra okotoj a os rtje) od os rtje. Složeo gbaje krutog tjela ože se opsat kobraje traslacjskog rotacjskog gbaja, a prjer, kotrljaje: Kod složeh gbaja dostgut položaj e os o toe odjaju l se aktuala jedostaa gbaja storeeo l jedo za drug.
FIZIK podloge za studj strojarsta 4. Daka 8 4.15 Cetar asa oet ercje Cetar asa tjela l sustaa tjela se po defcj alaz u točk s koordataa: 1ox1 + ox +... + ox x c o x 1 1oy1 + oy +... + oy y c 1 + +... + 1 + +... + 1 Za hoogea tjela suu zajejuje tegral. Kada hoogeo tjelo a geoetrjsk cetar (kugla), u jeu se alaz cetar asa, a kada tjelo a os setrje (kotač) a joj se alaz cetar asa. Cetar asa se e ora alazt u tjelu. Prea toe, tjelo a koje djeluju ajske sle gba se (usljed djeloaja rezultate ajskh sla) kao da se sa jegoa asa alaz u cetru asa. Derraje po reeu (dx/ ) doba se brza gbaja cetra asa: x,c o + o +... + o + +... + 1 x,1 x, x, 1 U ektorsko oblku su položaj brza cetra asa: 1or1 + or +... + or r c + +... + 1 1 1 o 1 1 o r x, y,c 1 1 o y 1 oy,1 + oy, +... + o y, o 1 y, 1 + +... + 1o1 + o +... + o o c 1 1 + +... + Kako je zbroj asa djeloa tjela jedak ukupoj as tjela (Σ u ) sljed: u o c 1 o 1 + o +...+ o Σ o P Prea toe, kolča gbaja tjela jedaka je uošku ase tjela (sustaa tjela) brze gbaja jegoog cetra asa, te: (a) ako a tjelo e djeluju ajske sle cetar asa se kreće jedolko praocrto, (b) ako a tjelo djeluju ajske sle brza gbaja cetra asa se jeja (po teztetu l/ pracu). Derraje po reeu (d/ a) doba se: u oa c 1 oa 1 + oa +...+ oa Σ oa Σ F u oa c Ukupa ketčka eergja tjela jedaka je zbroju ketčke eergje traslacjskog gbaja cetra asa tjela ketčke eergje rotacjskog gbaja tjela oko os koja prolaz kroz cetar asa: o I o ω E k E k,tr + E k,rot + 1 1 4.16 Stap ehaza usporedba praocrtog kružog gbaja Stap ehaza pretaraje praocrtog gbaja stapa otora s uutarj zgaraje (u cldru) u kružo gbaje koljeastog ratla. (zaašjak, spojka, jejač, dferecjal, kotač) Praocrto gbaje se opsuje sa: puto (s), brzo (), ubrzaje (a), slo (F) aso (), a kružo aalog elčaa (rtja, rotacja) opsuje sa: kuto (ϕ), kuto brzo (ω), kut ubrzaje (α), zakret oeto (M) oeto ercje (I). Praocrto gbaje Kružo gbaje put s kut ϕ rad brza /s kuta brza ω rad/s ubrzaje a /s kuto ubrzaje α rad/s asa kg oet ercje I kgo jedadžba gbaja F oa N oet sle M Ioα No kolča gbaja o kgo(/s) zaah Ioω kgo( /s) rad Fos J rad Moϕ J ketčka eergja o I o ω J ketčka eergja J saga Fo W saga Ioω W * Jedca za kut, radja (rad), često se e pše podrazujea.