Page 1 of 13 covexity Ορισμος Για καθε συναρτηση ΚΟΙΛΕΣ KAI ΟΙΟΝΕΙ ΚΟΙΛΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f : S R και καθε αριθμο οριζουμε Την καμπυλη αδιαφοριας(idifferece curve,level set) της f I { xs, f( x ) } Το υπερτερο συνολο (upper cotour set,better tha set) της f B { xs, f( x ) } Παραδειγμα1 υπερτερο συνολο,καμπυλη αδιαφοριας fxy (, ) xys, R 2, 3.τοτε I {( x, y) R, xy 3}, B {( x, y) R, xy 3} 2 2 3 3 Παραδειγμα2 τα υπερτερα συνολα και οι καμπυλες αδιαφοριας μιας συναρτησης μπορουν να παρουν οποιοδηποτε σχημα,αναλογα με τις ιδιοτητες της συναρτησης. 2 2 fxy (, ) xy, SR, 9.τοτε 2 2 9 9 I {( x, y) R, xy 3}, B {( x, y) R, xy 3} Page 1
Page 2 of 13 Ορισμος Η συναρτηση f : SR R ειναι οιονει κοιλη (quasi cocave) εαν ολα τα υπερτερα συνολα της ειναι κυρτα. μια ισοδυναμη εκφραση ειναι οτι η συναρτηση f : SR R ειναι οιονει κοιλη εαν το εφικτο συνολο S ειναι κυρτο και για καθε x, y S, t [0,1] ισχυει ftx ( (1 ty ) ) mi{ fx ( ), fy ( )}. Η συναρτηση στο παραδειγμα 1 ειναι οιονει κοιλη,ενω στο παραδειγμα 2 δεν ειναι. Ορισμος Για καθε συναρτηση f : S Rοριζουμε το Υπογραφημα(hypograph) yx,, yrx, Sy, fx ( ) Υπεργραφημα(hypergraph) yx,, yrx, Sy, fx ( ) Παραδειγμα 3 υπεργραφημα και υπογραφημα Ορισμος Η συναρτηση f : SR R ειναι Page 2
Page 3 of 13 Κοιλη(cocave ) εαν το υπογραφημα της ειναι κυρτο. Μια ισοδυναμη εκφραση ειναι οτι η συναρτηση f : SR R ειναι κοιλη εαν το S ειναι κυρτο και για καθε x, y S, t [0,1] ισχυει ftx ( (1 ty ) ) tfx ( ) (1 tfy ) ( ) Κυρτη(covex) εαν το υπεργραφημα της ειναι κυρτο Μια ισοδυναμη εκφραση ειναι οτι η συναρτηση f : SR R ειναι κυρτη εαν το S ειναι κυρτο και για καθε x, y S, t [0,1] ισχυει ftx ( (1 ty ) ) tfx ( ) (1 tfy ) ( ) Παραδειγμα 4 κοιλη συναρτηση Παραδειγμα 5 κυρτη συναρτηση Η συναρτηση του παραδειγματος 3 δεν ειναι ουτε κυρτη ουτε κοιλη.ειναι κοιλη στο διαστημα [0,1],και κυρτη στο διαστημα [1,2]. Η f ειναι κυρτη εαν και μονο εαν η f ειναι κοιλη. Καθε κοιλη συναρτηση ειναι και οιονει κοιλη.το αντιστροφο δεν ισχυει Εαν μια συναρτηση ειναι οιονει κοιλη,τοτε το πεδιο ορισμου της S ειναι κυρτο Παραδειγμα 6 οιονει κοιλες αλλα οχι κοιλες συνρτησεις Page 3
Page 4 of 13 Ο λογος που μας ενδιαφερουν οι οιονει κοιλες συναρτησεις ειναι τα ακολουθα θεωρηματα. ΙΚΑΝΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ (ARROW-ENTHOVEN)Εαν το εφικτο συνολο ειναι κυρτο και Page 4
Page 5 of 13 0 f x ειτε η συναρτηση στοχου ειναι οιονει κοιλη και για καθε εφικτο x, ειτε η συναρτηση στοχου ειναι κοιλη, τοτε καθε λυση των αναγκαιων συνθηκων ειναι και ολικο μεγιστο. οι υποθεσεις arrow ethove αναπαραγουν τα τυπικα διαγραμματα μεγιστοποιησης,οπως και αποκλειουν περιπτωσεις οπως εαν ολες οι συναρτησεις g1, g2,.., g m ειναι οιονει κοιλες,τοτε το εφικτο συνολο ειναι κυρτο,ως τομη των κυρτων υπερτερων συνολων των g1, g2,.., g m. Page 5
Page 6 of 13 το εφικτο συνολο μπορει να ειναι κυρτο ακομα και αν καμμια απο τις συναρτησεις g1, g2,.., g m δεν ειναι οιονει κοιλη. η συνθηκη f ( x ) 0 αποκλειει περιπτωσεις οπως η ακολουθη max fx ( ), x 0 Η συναρτηση f ειναι οιονει κοιλη στο εφικτο συνολο x 0,ως φθινουσα,και ταυτοχρονα δεν ειναι κοιλη.παρολο που η συναρτηση δεν εχει ολικο μεγιστο,καθε σημειο f x ( ) 0,και αρα τις αναγκαιες συνθηκες ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΥΝΟΛΟΥ ΟΛΙΚΩΝ ΜΕΓΙΣΤΩΝ x ( ab, ) ικανοποει Page 6
Page 7 of 13 Εαν η συναρτηση στοχου ειναι οιονει κοιλη,και το εφικτο συνολο ειναι κυρτο, τοτε το συνολο των ολικων μεγιστων ειναι κυρτο. Ορισμος Η συναρτηση f : SR R ειναι αυστηρα οιονει κοιλη ( strictly quasicocave) εαν Καθε υπερτερο συνολο της ειναι κυρτο. Το περιβλημα του καθε υπερτερου συνολου δεν περιεχει γραμμικα τμηματα. μια ισοδυναμη εκφραση ειναι οτι η συναρτηση f : SR R ειναι οιονει κοιλη εαν το πεδιο ορισμου ειναι κυρτο και για καθε x ys, t (0,1) ισχυει ftx ( (1 ty ) ) mi{ fx ( ), fy ( )}. ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑ ΟΛΙΚΩΝ ΜΕΓΙΣΤΩΝ Page 7
Page 8 of 13 Εαν η συναρτηση στοχου ειναι αυστηρα οιονει κοιλη,και το εφικτο συνολο ειναι κυρτο, τοτε υπαρχει το πολυ ενα ολικο μεγιστο ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑΣ Εαν τουλαχιστον ενα απο τα ακολουθα κριτηρια ισχυει,τοτε η συναρτηση f : SR R ειναι κοιλη.στις περιπτωσεις 3 και 7 ισχυει και το αντιστροφο. 1. για καθε x, ys, t [0,1] ισχυει ftx ( (1 ty ) ) tfx ( ) (1 tfy ) ( ) 2. η f ειναι γραμμικη+σταθερα,δηλαδη της μορφης fx () px px 1 1.. px 3. 1 και f() x 0, xs 4. f g, 0, g κοιλη(θετικος επι κοιλη=κοιλη) 5. f g h, και ghκοιλες, (κοιλη+κοιλη=κοιλη) 6. fx ( ) gux ( ( )), ucocave, g icreasig ad cocave(ο αυξων κοιλος μετασχηματισμος μιας κοιλης συναρτησης ειναι κοιλη συναρτηση) 7.το προσημο της ηγετικης κυριας ελασσονος(leadig pricipal mior) ταξεως κ του εσσιανου πινακα της f ειναι το ιδιο με του ( 1) k,δηλαδη f11() x f12 () x f1 k() x f21() x f22() x f2k () x k ( 1) det 0, k1,..., fk1() x f2() x fkk() x η ηγετικη κυρια ελασσων (leadig pricipal mior) ταξεως κ αποκταται αφαιρωντας απο τον εσσιανο πινακα τις τελευταιες k γραμμες και τις ιδιες στηλες.υπαρχουν ακριβως 1 τετοιες ελασσονες. 8. το προσημο καθε κυριας ελασσονος(pricipal mior) ταξεως κ του εσσιανου πινακα της f ειναι το ιδιο με του ( 1) k,η ειναι 0. Page 8
Page 9 of 13 Μια κυρια ελασσων (pricipal mior) ταξεως κ αποκταται αφαιρωντας απο τον εσσιανο πινακα οποιεσδηποτε k γραμμες και τις ιδιες στηλες. Υπαρχουν ακριβως 2 1τετοιες ελασσονες. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΟΙΛΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 1.λογαριθμικη log( x), x 0 2. εκθετικη 3. εκθετικη x, x 0,οπου το ειναι παραμετρος, 1 0 x, x 0,οπου το ειναι παραμετρος, 1 0 2 4. διωνυμικη x x, οπου το ειναι παραμετρος, 0. x 5., x, οπου το ειναι παραμετρος, 0. x 6. εκθετικη x e, x 0, οπου το ειναι παραμετρος, 0. 7. y μια απο τις παραπανω συναρτησεις. a b 8. cobb douglas xy, x0, y 0,οπου το abειναι, παραμετροι, 0 a,0 b, ab1 9.leotief mi x, y r r 1/ r 10.costat elasticity of substitutio(ces) x y, x0, y 0,οπου το r ειναι παραμετρο, 0r 1,διοτι Hessia x ( ) r1) ( ) x( y 1 r 2 r ( x r y r ) y r r1) ( r1 ) ( r1) x( y ( x r y r r ) ( r1) x ( 2 r) 2 x r y r y ( 2 r) x ( 2 r) 2 x r y r y ( 2 r) 1 1 r 1 ( x r y r r ) ( r1) y ( 2r ) ( x r y r r ) x r ( r1) x ( 2 r) 2 x r y r y ( 2 r) x ( 2 r) 2 x r y r y ( 2 r) det( Hessia )0 1 x ( ) 2 r ( x r y r ) 1 r x ( 2 r) 2 x r y r y ( ) y r ( r1) 2 r 0 Page 9
Page 10 of 13 10. Ο αυξων μετασχηματισμος μιας κοιλης συναρτησης δεν ειναι αναγκαστικα κοιλη 1 2 4 συναρτηση.η ux () x, x 0 ειναι κοιλη και η gz () z, z 0ειναι αυστηρως 1 4 2 2 αυξουσα,αλλα η συναρτηση vx () gux (()) x x δεν ειναι κοιλη. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΙΟΝΕΙ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑΣ Εαν τουλαχιστον ενα απο τα ακολουθα κριτηρια ισχυει,τοτε η συναρτηση f : SR R ειναι οιονει κοιλη.για το πρωτο κριτηριο ισχυει και το αντιστροφο.το πεδιο ορισμου S πρεπει να ειναι κυρτο σε ολα τα ακολουθα κριτηρια 1. για καθε x, ys, t [0,1] ισχυει ftx ( (1 ty ) ) mi{ fx ( ), fy ( )} 2.η f ειναι κοιλη y ( ) 2 r ( x r y r ) 3. 1 και η f ειναι αυξουσα συναρτηση 1 r x ( 2 r) 2 x r y r y ( ) x r ( r1) 2 r 0 4. 1 και η f ειναι φθινουσα συναρτηση 5. 1,η f εχει ενα και μοναδικο ολικο μεγιστο a και ειναι αυξουσα αριστερα του a,φθινουσα δεξια του. Page 10
Page 11 of 13 6.η f ειναι μονοτονικος μετασχηματισμος μιας οιονει κοιλης συναρτησης,δηλαδη v g u, g strictly icreasig, u quasi cocave Παραδειγμα.η uxy (, ) x y ειναι κοιλη στο συνολο x 0, y 0,και η gz () z 2 ειναι αυστηρως αυξουσα στο συνολο z 0,αρα η συναρτηση 2 vxy (, ) guxy ( (, )) x y x y 2 xy ειναι οιονει κοιλη 7.κριτηριο του περιφραγμενου εσσιανου πινακα(bordered hessia matrix) BH() x. για καθε x S και καθε k3,.., 1 εχουμε k1 ( 1) det( BHk( x )) 0 οπου BH() x ειναι ο πινακας διαστασεων ( 1) ( 1) BH () x 0 f( x) fx fx () () f() x f1(), x f2(),.., x f() x jacobia of f f11() x f12 () x f1 () x f21() x f22 () x f2 () x f () x hessia of f f1() x f2() x f() x BH () k x =ο πινακας που αποτελειται απο τις κ πρωτες γραμμες και στηλες του BH() x. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΟΙΟΝΕΙ ΚΟΙΛΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 1. cobb douglas fxy (, ) xyx, 0, y 0, οχι κοιλη,διοτι Page 11
Page 12 of 13 13 11 2 1 3 1 1 f( ) f( ) 45 f( ) f ( ) 23 21 2 2 3 2 1 Οιονει κοιλη,διοτι ο περιφραγμενος εσσιανος πινακας ειναι 0 y x BH:= y 0 1 x 1 0 με οριζουσα 2xy,αρα η f ειναι οιονει κοιλη στο συνολο x 0, y 0,και συμφωνα με το κριτηριο 7. 2. fx () x 2, x 0 οχι κοιλη,διοτι f() x 20 Οιονει κοιλη,διοτι αυξουσα 3. fx () 1 2 xx 2,0x1 οχι κοιλη,διοτι 3 2 3 2 f() x x (2 x ) 0 Οιονει κοιλη,διοτι φθινουσα a b 4. cobb douglas fxy (, ) xy, x0, y 0,οπου το abειναι, παραμετροι, 0 a,0 b, ab1 οχι κοιλη,διοτι Hessia := a2 ay b ( a1) x ( a1) ay ( b1) b a 1 ay ( b1) b x a y ( b2) b ( b1 ) x ( ) x ( ) det( Hessia ) := ( xa ) 2 a ( y b ) 2 b ( ab1) x 2 y 2 <0 Οιονει κοιλη,διοτι 0 x ( a1) ay b x a y ( b1) b bordered_hessia := x ( a1) ay b x ( a2) ay b ( a1) x ( a1) ay ( b1) b x a y ( b1) b x ( a1) ay ( b1) b x a y ( b2) b ( b1 ) Page 12
Page 13 of 13 ( 1) 2 det( bordered_hessia ) := x ( 3 a2) y ( 3 b2) ab( ab ) >0 Η,με αλλο κριτηριο, Οιονει κοιλη,διοτι ab a b a b ab ab xy x y =αυξων μετασχηματισμος κοιλης συναρτησης. r r 5.costat elasticity of substitutio(ces) ειναι παραμετρος, r 1, 1/ r fxy (, ) x y, x0, y 0,οπου το r Οχι οιονει κοιλη διοτι 3 r ( 1) 2 det( bordered_hessia ) A ( r1 ) ( x ( 2 r) y r y ( 2 r) x r ) <0 A 3 x 2 y 2 6.bell curve οπου Ax r y r οχι κοιλη,διοτι η δευτερη παραγωγος ειναι θετικη για x 1 2 f() x 2 e ( x2 ) ( 12x 2 ) οιονει κοιλη διοτι η πρωτη παραγωγος f() x 2exp( x x 2 ) ειναι θετικη για x 0,αρνητικη για x 0 Page 13