5 Απόκλιη και τροβιλιµός ενός διανυµατικού πεδίου Έτω F ένα C διανυµατικό πεδίο του R, δηλαδή υνάρτηη µε D ανοικτό το F = F, F, F. R και F : D R R Στο διανυµατικό πεδίο F αντιτοιχούµε ένα άλλο διανυµατικό πεδίο που ονοµάζεται τροβιλιµός του F και υµβολίζεται µε curlf µε τον ακόλουθο τρόπο: F F F F F F curlf = i + j + k y z z x x y i,,, j,, k =,,. ( όπου = =, Με τον υµβολιµό των τελετών έχουµε ότι το ύµβολο, =,, µπορεί να θεωρηθεί ως ένας τελετής που δρα πάνω ε βαθµωτές ( διαφορίιµες υναρτήεις Έτι µε χρήη του εξωτερικού γινοµένου µπορούµε να γράψουµε: F F F F F F F = = i + j + k. y z z x x y F F F Συνεπώς curlf = F k Παρατήρηη Αν το διανυµατικό πεδίο F είναι της κλάης C το διανυµατικό πεδίο curlf είναι της κλάης υνεχών υναρτήεων. ( k C Παράδειγµα: Έτω ( r, θ, z ( r cos θ, r sin θ, z ( όπου C k τότε C είναι η κλάη των Τ =, ο µεταχηµατιµός ε κυλινδρικές υντεταγµένες τότε έχουµε: Τ = = r θ z rcos θ rsin θ z ( r sinθ ( r cosθ z ( r sinθ ( r cosθ z i+ j + k = θ z z r r θ i j sinθ r sinθ k sinθ r sinθ k + r sinθk. ( + ( + ( = ( + = 4. Θεώρηµα Για κάθε ιχύει ότι: ηλαδή ο τροβιλιµός ενός C υνάρτηη ( f = ( U R ανοικτό f : U R R C πεδίου κλίεων είναι το µηδενικό διάνυµα.
5 f f f Απόδειξη: Έτω F = f F =,,. Έπεται ότι: f f f f F = f = = = i + j + y z z y z x x z f f f f f k. x y y x Επειδή η f είναι C υνάρτηη οι µεικτές παράγωγοι είναι ανά δύο ίες f f = xi x j x j x i µηδενίζονται και έτι έχουµε το αποτέλεµα. υνεπώς όλες οι υνιτώες του διανύµατος curl( f 4. Οριµός Ένα διανυµατικό πεδίο F : U R R λέγεται ατρόβιλο αν curlf = επί του U. Ο όρος ατρόβιλο διανυµατικό πεδίο προέρχεται από τη Φυική. Για παράδειγµα αν το F είναι πεδίο ταχυτήτων ενός υγρού µέα ε ένα ωλήνα µε ταθερή ροή, τότε η φυική ηµαία του ότι curlf = το ηµείο Ρ είναι πως το υγρό δεν περιτρέφεται, είναι δηλαδή ατρόβιλο το Ρ. Παρατηρήεις. έπεται από το προηγούµενο θεώρηµα ότι αν ένα διανυµατικό πεδίο F : U R R είναι πεδίο κλίεων µιας C υνάρτηης f : U R R, δηλαδή αν F = f, τότε το F είναι ένα ατρόβιλο διανυµατικό πεδίο. Με διαφορετικά λόγια αν ένα C διανυµατικό πεδίο F : U R R είναι υντηρητικό τότε είναι και ατρόβιλο.θα αποδείξουµε τη υνέχεια ότι το αντίτροφο δεν ιχύει. Έτω F : U R R, F ( F, F = ένα C διανυµατικό πεδίο τον R, τότε το F µπορεί να θεωρηθεί και ως διανυµατικό πεδίο τον R µε τον ακόλουθο τρόπο: θέτοµε F : U R R R F x, y, z = F x, y, = F x, y, F x, y,, όπου ( x, y U, z R. ηλαδή F = ( F, F, F όπου ( F = το U R. Είναι τότε αφές ότι F είναι C ( δηλαδή της ίδιας κλάης µε την F διανυµατικό πεδίο το R. Ο τροβιλιµός του F ορίζεται τότε ως ο τροβιλιµός του F
5 F F F F F F curlf = curl F = = i + j k ορ x y z + = y z z x x y F F F + + x y υνεκτικό και και F = F F k. Παρατηρούµε ότι ( αν U R ανοικτό x y F : U R, F = ( F, F, C διανυµατικό πεδίο τότε το F ( F F δηλαδή το F είναι ατρόβιλο αν και µόνο αν =. Έπεται ιδιαίτερα από το x y θεώρηµα. ( κατεύθυνη (ι (ιι ή το Θεώρηµα 4. ότι αν F υντηρητικό τότε ( το F και άρα το F είναι ατρόβιλο. y x Παραδείγµατα Έτω V ( x, y =,, ( x, y (,. x + y x + y U = R,. { } Αποδείξτε ότι το V είναι ένα ατρόβιλο διανυµατικό πεδίο το Λύη Σύµφωνα µε την προηγούµενη παρατήρηη, θεωρούµε το διανυµατικό y x F : U R R : F x, y, z =,,, ( x, y R { (, } και x + y x + y z R. Έχουµε τότε: πεδίο F = x y z y x x + y x + y x y k = x x + y y x + y = x + y y + x k = k =, ( x + y x + y y x y =. y x + y x + y x y x = x x + y x + y και V x, y, z = y, x,, x, y, z R. Αποδείξτε ότι το V δεν είναι πεδίο Έτω κλίεων. Λύη Αν το V ήταν πεδίο κλίεων κάποιας f : R R η οποία είναι υνάρτηη τότε θα είχαµε ότι ( ύµφωνα µε το θεώρηµα 4. curlv=. ( x ( y Όµως, curlv = = k = ( k = k. x y y x Έπεται ότι το V δεν µπορεί να είναι το πεδίο κλίεων κάποιας f : R R αφού ο τροβιλιµός του V δεν είναι µηδέν. C C υνάρτηης
5 Έτω U R και f : U R, f ( u, v διανυµατικά πεδία g = ( v, u και g = ( u, v = ολόµορφη υνάρτηη τότε τα ɶ είναι ατρόβιλα ( Πρβλ την προηγούµενη παρατήρηη και το παράδειγµα (4 µετά το θεώρηµα. Παρατήρηη4.. Έτω U R απλά υνεκτικό ύνολο και F : U R R C διανυµατικό πεδίο. Έπεται από το θεώρηµα. και την παρατήρηη ( µετά τον οριµό 4. ότι το F είναι υντηρητικό αν και µόνο αν το F είναι ατρόβιλο, δηλαδή το επαγόµενο διανυµατικό πεδίο Fɶ : U R R R F ɶ x, y, z = F x, y, είναι ατρόβιλο. Έτι το γεγονός ότι το µε V ( x, y, z ( y, x,,( x, y, z R πεδίο F ( x, y ( y, x = δεν είναι ατρόβιλο προκύπτει από το ότι το = δεν είναι υντηρητικό. Από την άλλη µεριά το διανυµατικό πεδίο y x V ( x, y =,, x, y U = R {(, } είναι ατρόβιλο και βέβαια x + y x + y ικανοποιεί την υνθήκη (ιι του θεωρήµατος., όµως δεν είναι υντηρητικό. : a, U θα είχαµε Πράγµατι, αν ήταν τότε για κάθε κλειτή καµπύλη [ ] V ds =. Έτω ( t = ( cos t,sin t = ( x( t, y( t, t [,π ] ο µοναδιαίος κύκλος µε την υνήθη παραµέτρηη. Τότε έχουµε, π ( ' V ds = V t t dt = π = π y t x t x t y t t t t t dt = π y( t x( t, ( x '( t, y '( t dt ( x( t + ( y( t ( x( t + ( y( t π ' ' ( sin ( sin ( cos ( cos dt = ( x( t + ( y( t cos t + sin t ( sin t cos t dt = ( cos t + sin π t dt π = dt = π. Έπεται ότι το πεδίο V είναι ατρόβιλο αλλά όχι υντηρητικό. Παρατηρούµε ότι το θεώρηµα. δεν µπορεί να εφαρµοθεί ( αν και ικανοποιείται η υνθήκη (ιι του θεωρήµατος αφού το πεδίο οριµού του V δεν είναι απλά υνεκτικό. ( Το ανοικτό U = R, του R δεν είναι απλά υνεκτικό. Για { } υνεκτικό υπούνολο περαιτέρω ιδιότητες του διανυµατικού πεδίου V ( x, y =, τις παρατηρήεις το τέλος αυτής της παραγράφου. y x x + y x + y, δες Απόκλιη διανυµατικού πεδίου. Έτω F : U R R F = F, F, F. Η απόκλιη του F ορίζεται ως εξής: F F divf = F = + + F C διανυµατικό πεδίο, µε
54 ηλαδή η divf είναι το εωτερικό γινόµενο των και F. Παρατηρούµε ότι η απόκλιη ενός διανυµατικού πεδίου είναι βαθµωτό πεδίο. Σηµειώνουµε ότι η έννοια της απόκλιης έχει φυική ηµαία που χετίζεται µε την διατολή ή υτολή ενός ρευτού. Το επόµενο θεώρηµα υνδέει τις πράξεις του τροβιλιµού και της απόκλιης. 4. Θεώρηµα Αν F : U R R F = F, F, F είναι διανυµατικό πεδίο, τότε divcurlf = F = µε δηλαδή η απόκλιη κάθε τροβιλιµού είναι µηδέν. Απόδειξη: Όπως και το θεώρηµα 4., η απόδειξη τηρίζεται την ιότητα των µεικτών παραγώγων µιας C υνάρτηης, έτι παραλείπεται. 4.4 Οριµός. Αν divf = F =, τότε λέµε ότι το πεδίο είναι αυµπίετο. C Παρατηρούµε ότι ο τροβιλιµός ενός πεδίο. C διανυµατικού πεδίου είναι αυµπίετο Παράδειγµα. Να βρεθεί η απόκλιη των διανυµατικών πεδίων. F x, y = xy i+ sin xj (α (β F ( x, y, z = xi + y j + xz k, (γ F x, y, z = xi + yj zk. Λύη (α divf = ( xy + ( sin x = y + = y. x y divf = x + y + xz = + y + xz divf = x + y + z = + = και το πεδίο είναι αυµπίετο. (β (γ Παρατήρηη. Όον αφορά το (γ παρατηρούµε ότι curlf = F = = x y z ( z ( y i + ( x ( z j + ( y ( x k = i + j + k = y z z x x y και το πεδίο είναι ατρόβιλο. Το πεδίο αυτό είναι και υντηρητικό, µια υνάρτηη x y δυναµικού για το F είναι η f ( x, y, z = + z. Έτι υµπεραίνουµε ότι: divf = και curlf =, παρόλα αυτά το F δεν είναι ταθερό. Πρέπει βέβαια να είναι αφές ότι για ένα ταθερό διανυµατικό πεδίο F = c, c, c ιχύει ότι divf = και curlf =.
55 (* Παρατηρήεις. Έτω :[ a, ] R κλειτή καµπύλη µε [ ] y x g( x, y =,. x + y x + y dζ g ds = = δ π π i ζ Τότε, ( και. ηλαδή το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα β είδους της g κατά µήκος της διαιρεµένο µε π, ιούται µε τον δείκτη τροφής της ως προς το. Απόδειξη: Από τον οριµό του ο δείκτης τροφής της ως προς το ηµείο είναι το µιγαδικό επικαµπύλιο ολοκλήρωµα δ ( = a dt = x ' t x t y t y t dt + a dζ '( t x '( t + iy '( t = dt ζ a ( t dt = x a ( t + iy( t ( x '( t x( t + y '( t y( t + i( x( t y '( t x '( t y( t ( x( t + ( y( t + ' x( t y '( t x '( t y( t i ( x( t + ( y( t dt = ( ( a x t + y t ' (( x( t + ( y( t x( t y '( t x '( t y( t dt + i a ( x( t + ( y( t dt ( ( ( a x t + y t ' (( x( t + ( y( t u ( du dt = a ( x( t + ( y( t u( a u [ a, ]. Επειδή η καµπύλη είναι κλειτή ιχύει ότι u( u( a Παρατηρούµε ότι, t u du u = ( u a = dζ ορ π i ζ. Όµως όπου u( t ( x( t ( y( t = +, = και υνεπώς Έπεται από τις ( και ( ότι, dζ δ ( = π i ζ = x( t y '( t x '( t y( t i dt πi = x t + y t ' ' ( x( t + ( y( t a ( ( x t y t x t y t dt π = g ds π. a Παρατηρούµε ότι η g είναι η υνάρτηη V του παραδείγµατος, y x x + y x + y (, = V ( x, y =, g x y, ( x, y (,. iz = = +. Επίης ότι η z Η g ε µιγαδικό υµβολιµό γράφεται g( z, z x iy g προκύπτει ως ύνθεη της ολόµορφης υνάρτηης h ( z =, z µε τον z
56 µεταχηµατιµό ( x, y ( y, x Τ =, δηλαδή g = Τ oh ( Πρβλ. και τα παραδείγµατα (4 µετα το θεωρηµα. και ( µετα τον Οριµό 4.. Το διανυµατικό πεδίο V ( x, y =, y x x + y x + y, ( ή το V είναι, W = R, + { } { } υντηρητικό το D = R ( ] { } ( ή το [ { } Πράγµατι µια υνάρτηη δυναµικού για το y x f ( x, y = V ( x, y =, x + y x + y το D είναι η υνάρτηη x, y, δηλαδή arg (, x y = πρωτεύον όριµα του = ( + cos και x x y θ y x y sinθ ( x y = θ ( x y = x + y ( θ θ arg,, cos,sin και θ ( π, π ( sin θ π, π y x y θ x = x + y cosθ, = + και θα χρειαθούµε το ακόλουθο: ( x, y D 4.5Λήµµα y arg ( x, y = τοξεϕ, x+ x + y Απόδειξη Έτω ( x, y = + και θ ( π, π θ θ θ sin sin cos θ sinθ εϕ = = = = θ θ cos cos + cosθ + Έπεται ότι: arg ( x, y = θ = τοξεϕ y x+ x + y y. x + y y = x x + y + x x + y,( x, y D. D π π [ Υπενθυµίζουµε ότι: η υνάρτηη τοξεϕ : R, ορίζεται ως εξής: π π τοξεϕ x = θ θ, και εϕθ = x ]. Η υνάρτηη arg είναι C το D ( την πραγµατικότητα C το D και µε arg y απευθείας υπολογιµό βρίκουµε ότι: = και x x + y arg x = arg = V. y x + y τότε
57 Η ύπαρξη µιας υνάρτηης δυναµικού για την V ή την f = V το D έπεται από το γεγονός ότι το D είναι απλά υνεκτικό και ότι ικανοποιείται η υνθήκη (ιι του θεωρήµατος. για την V ( ή την f = V. Στην προκειµένη περίπτωη βρίκουµε µε απευθείας υπολογιµό µια υνάρτηη δυναµικού για την f = V το D.