ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Γωνί ω Χρκτηριστικοί Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί σε µοίρες σε rad ηµω συνω εφω σφω 0 ο 0 0 0 0 ο 6 5 ο 60 ο 90 ο 0 δεν ορίζετι δεν ορίζετι 0 ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ηµ ( κ x ηµ x συν ( κ x συν x εφ( κ x εφx σφ( κ x σφx ηµ ( x ηµ x συν ( x συν x εφ( x εφx σφ( x σφx ηµ ( x ηµ x συν ( x συν x εφ( x εφx σφ( x σφx ηµ ( x ηµ x συν ( x συν x εφ( x εφx σφ( x σφx ηµ ( x συν x συν ( x ηµ x εφ( x σφx σφ( x εφx ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ x κ θ ηµ x ηµθ, κ Ζ x κ θ συν x συνθ x κ ± θ, κ Ζ εϕ x εϕθ x κ θ, κ Ζ σϕ x σϕθ x κ θ, κ Ζ Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ.
ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ηµ ω συν ω εφω σφω ηµω εφω συνω συνω σφω ηµω ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΙΑΦΟΡΑΣ ΓΩΝΙΩΝ συν ( β συνσυνβ ηµηµβ ηµ ( β ηµσυνβ συνηµβ συν ( β συνσυνβ ηµηµβ ηµ ( β ηµσυνβ συνηµβ εφ εφβ εφ ( β εφ εφβ εφ εφβ εφ ( β εφ εφβ σφ σφβ σφ ( β σφβ σφ σφ σφβ σφ ( β σφβ σφ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ ηµ ηµσυν ηµ ηµ συν συν συν ηµ συν συν ηµ συν συν ηµ ηµ εφ εφ εφ εφ εφ εφ ΤΥΠΟΙ ΑΠΟΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΥ συν ηµ, συν συν συν, εφ συν Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ.
ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τριγωνοµετρικοί ριθµοί οξείς γωνίς ορθογωνίου τριγώνου Έστω το ορθογώνιο τρίγωνο ηµ Β συν Β ΑΒΓ ( ένντι κάθετη λευρά υοτείνουσ Α o 90 ΑΓ ΒΓ ροσκείµενη κάθετη λευρά υοτείνουσ ένντι κάθετη λευρά εϕβ ροσκείµενη κάθετη λευρά ΑΓ ΑΒ ορίζουµε: β ΑΒ ΒΓ β γ γ σϕβ ροσκείµενη κάθετη λευρά ένντι κάθετη λευρά ΑΒ ΑΓ γ β Τριγωνοµετρικοί ριθµοί οοισδήοτε γωνίς (ροσντολισµένης µε κορυφή στην ρχή ορθοκνονικού συστήµτος Μορούµε ν θεωρήσουµε ότι η γωνί ω σχηµτίζετι µε τη στροφή ενός ευθύγρµµου τµήµτος µήκους ρ ό την ρχική θέση ΟΑ στην τελική ΟΜ. Η στροφή γίνετι ντίθετ ό τους δείκτες του ρολογιού. Τη φορά υτή κλούµε θετική. o o τετγµένη ηµω y ρ όστση τετµηµένη συνω x ρ όστση o o y τετγµένη εϕω, x 0 x τετµηµένη x τετµηµένη σϕω, y 0 y τετγµένη όου ρ x y (µε εφρµογή του Πυθγόρειου θεωρήµτος. Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ.
Τριγωνοµετρικός κύκλος Ορισµός: Τριγωνοµετρικός κύκλος λέγετι ο κύκλος ο οοίος:. Έχει κτίν την µονάδ µήκους: ρ. Είνι ροσντολισµένος µε θετική φορά την ντίθετη των δεικτών του ρολογιού.. Έχει το κέντρο του στην ρχή των ξόνων Ο(0, 0. Το σηµείο Α όου ο ηµιάξονς Ο xτέµνει τον κύκλο είνι η ρχή των ξόνων. Τριγωνοµετρικοί ριθµοί οοισδήοτε γωνίς στον τριγωνοµετρικό κύκλο Ορίσµε τον τριγωνοµετρικό κύκλο γι ν υολογίζουµε τους τριγωνοµετρικούς ριθµούς µις γωνίς ω (δηλ. το ηµω, συνω, εφω, σφω χωρίς ν βρίσκουµε κάθε φορά το ρ (ό το τύο ρ x y γιτί τώρ ρ. ηµω τετγµένη του Μ συνω τετµηµένη του Μ εφω τετγµένη του Ε σφω τετµηµένη του Σ Μ ( x, y M ( συνω, ηµω Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ.
Πρτηρούµε ότι: ηµω ηµω συνω συνω Πρόσηµο τριγωνοµετρικών ριθµών στ τετρτηµόρι Μνηµονικός κνόνς Ο. Η. Ε Σ. Σ. Τ γράµµτ της λέξης υτής δηλώνουν οιοι ριθµοί τριγωνοµετρικοί είνι θετικοί σε κάθε τετρτηµόριο. Ο: όλοι θετικοί στο ο τετρτηµόριο Η: το ηµίτονο θετικό µόνο στο ο τετρτηµόριο Ε Σ : Η εφτοµένη κι η Συνεφτοµένη θετικά στο ο τετρτηµόριο Σ: το συνηµίτονο θετικό µόνο στο ο τετρτηµόριο. Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 5
Μονάδες Μέτρησης τόξων κι γωνιών Η µοίρ ( ο : είνι έν τόξο ίσο ρος το του κύκλου 60 β Το κτίνιο ( rad είνι έν τόξο κύκλου ου έχει µήκος όσο η κτίν του κύκλου. Εειδή το µήκος του κύκλου κτίνς ρ είνι κύκλος είνι κτίνι. (,596..., Αντιστοιχί µοιρών (µ κι κτινίων (: Ισχύει ο τύος: Πρδείγµτ Γ ρ έετι ότι ένς µ 80 60 o rad 0 o 6 rad o 80 rad 60 o rad 90 o rad 5 o rad 70 o rad Αεικόνιση των ργµτικών ριθµών (R στον τριγωνοµετρικών κύκλων (σε rad Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 6
Ο τριγωνοµετρικός κύκλος στην ουσί είνι ο άξονς των ργµτικών ριθµών εριτυλιγµένος άειρες φορές κ άρτιος κ εριττός κ Ζ { 0, ±, ±, ±,... } Τ σηµειωµέν τόξ εκφράζοντι ως εξής: Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 7
Τριγωνοµετρικοί ριθµοί των 0,,,, κ. τ. λ. ηµ 00 ηµ ηµ 0 ηµ συν 0 συν 0 συν συν 0 εφ 00 εφ δεν ορίζετι εφ 0 εφ δεν ορίζετι σφ 0 δεν ορίζετι σφ 0 σφ δεν ορίζετι σφ 0 Τριγωνοµετρικοί ριθµοί βσικών τόξων του ου τετρτηµορίου ηµ 0 συν 60 ηµ 5 συν 5 ηµ 60 συν 0 εφ 0 σφ60 εφ 5 σφ5 εφ 60 σφ0 0 5 60 6 Ισχύουν τ εξής ηµ (κ ω ηµ ( κ 60 ω ηµω συν (κ ω συν ( κ 60 ω συνω εφ (κ ω εφ( κ 60 ω εφω σφ (κ ω σφ( κ 60 ω σφω Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 8
ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Ν υολογιστούν οι τριγωνοµετρικοί ριθµοί των γωνιών : i. 85 ο, iii. -00 ο, ii. iv. 7 7. 6 κι Λύση i Θ χρησιµοοιήσουµε τους τύους: ο ηµ ( κ 60 ω ηµω, ο συν ( κ 60 ω συνω, ο εφ( κ 60 ω εφω, ο σφ( κ 60 ω σφω Αν διιρέσουµε το 85 µε το 60 βρίσκουµε ηλίκο κι υόλοιο 5. Οότε, ισχύει : 85 60 Άρ, 5 ηµ 85 ηµ ( 60 5 ηµ 5 συν 85 συν ( 60 5 συν 5 εφ 85 εφ( 60 5 εφ5 σφ 85 σφ( 60 5 σφ5 ii ιιρούµε το 00 µε το 60 κι βρίσκουµε ηλίκο 5 κι υόλοιο 00. Οότε, ισχύει : 00 5 60 00 5 60 60 60 6 60 60 Άρ, ηµ ( 00 ηµ ( 6 60 60 ηµ 60 συν ( 00 συν ( 6 60 60 συν 60 εφ ( 00 εφ( 6 60 60 εφ60 σφ ( 00 σφ( 6 60 60 σφ60 Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 9
iii Τώρ θ χρησιµοοιήσουµε τους τύους: ηµ ( κ ω ηµω, συν ( κ ω συνω, εφ ( κ ω εφω, σφ ( κ ω σφω Το 7 7 6 γράφετι: κ, κ Άρ, 7 ηµ ηµ ( ηµ 7 συν ηµ ( συν 7 εφ εφ( εφ 7 σφ σφ( σφ iv Το Άρ, 7 γράφετι 6 7 8 8 ( 6 6 6 6 6 7 ηµ ( ηµ [ ( ] ηµ 6 6 6 κ, κ 7 συν ( συν[ ( ] συν 6 6 6 7 εφ ( εφ[ ( ] εφ 6 6 6 7 σφ ( σφ[ ( ] σφ 6 6 6 Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 0
. Ν βρεθεί η µέγιστη κι η ελάχιστη τιµή των ρστάσεων : i. Α συν x ii. Βσυνx ηµω Λύση i. Ισχύει ότι : συν x συν x συν x Α ii. Ισχύει ότι: συνx συνx ροσθέτω κτά µέλη ηµω ηµω 5 Β 5 5 συνx ηµω 5 Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ.
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ. Βσικό Θεώρηµ: ηµ x συν x ηµ x συν x συν x ηµ x. ηµ x εϕx εϕx συνx σϕx εϕx σϕx συνx x σϕ σϕx ηµ x εϕx. ηµ εϕ x σϕ x εϕ x x. συν σϕ x εϕ x σϕ x x Σχόλιο!: το σύµβολο ν ηµ x σηµίνει ν ( ηµ x. Πρόµοι γι το συν, εϕ, σϕ. Αξιοσηµείωτες εφρµογές ηµ x συν x ( ηµ x συν x ηµ x συν x ηµ x συν x 6 6 ηµ x συν x ( ηµ x συν x ηµ x συν x ( ηµ x συν x ηµ x συν x συν xηµ x ( συν x ηµ x( συν xηµ x συν xηµ x (ηµ x ηµ x ηµ x συν x (συν x συν x εϕx σϕx ηµ x συνx συνx ηµ x ηµ x συν x ηµ x συνx ηµ x συνx Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ.
Λυµέν Πρδείγµτ. Αν < x< κι η εξίσωση 5ω ω 0 έχει ρίζ το ηµ x ν υολογίσετε την τιµή της ράστσης : Α 5 συν x 8 εϕx 0 Λύση Η εξίσωση 5ω ω 0 έχει δικρίνουσ: 5 ( 60 6> 0 Άρ ω, ω ± 8 6 0 ω 0 5 Εειδή < x< το x βρίσκετι στο ο τετρτηµόριο. Άρ, ηµ x> 0. Εοµένως, η τιµή ω ορρίτετι. Άρ, ηµ x ( 5 ( Όµως, ηµ x συν x συν x ηµ x συν x ( 5 συν x Οότε, εϕx 9 5 συν x ηµ x συνx (, ( 5 5 6 5 συν x ( (φού συνx< 0στο ο τετρτ. 5 εϕ x. Άρ, η ράστση γίνετι : Α 5 ( 8 ( 0 6 0 0 5. συνω συνω. Αν < ω< ν δείξετε ότι : σφω συνω συνω Λύση συνω συνω Είνι: συνω συνω συνω συνω συνω συνω συνω συνω συνω συνω συνω συνω (συνω συν ω ( συνω συνω συνω ηµ ω Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ.
( συνωσυνω συνω σφω. ηµω ηµω [ εειδή < ω< τοωείνι στο ο τετρτηµ ηµω< 0 ηµω ηµω (] Προσοχή!!! ηµω ηµω 0 ηµω 0 ηµω ηµω ηµω 0 ηµω 0 συνω συνω 0 συνω 0 συνω συνω συνω 0 συνω 0... Ν εξετάσετε ν υάρχουν τιµές του x γι τις οοίες ν ισχύουν συγχρόνως i. ηµ x 0κι συν x 0 ii. ηµ x κι συν x Λύση i. Αν υάρχει τέτοι γωνιά x θ ρέει ν ισχύει: ηµ x συν x 0 0 0, άτοο ii. Αν υάρχει τέτοι γωνί x θ ρέει ν ισχύει: ηµ x συν x (, άτοο... Ν οδείξετε ότι : i. εφω σφω ηµω συνω ii. συν ω ηµω ηµω συν x ηµ x iii. εφx σφx ηµ x συνx Λύση i. Θ ξεκινήσουµε ό το ο µέλος κι θ κτλήξουµε στο ο : Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ.
ηµω συνω ηµ ω συν ω εφω σφω συνω ηµω ηµω συνω ηµω συνω ηµ ω συν ω ηµω συνω ηµω συνω ii. Οµοίως, θ ξεκινήσουµε ό το ο µέλος κι θ κτλήξουµε στο ο : συν ω ηµ ω (ηµω ( ηµω (ηµω ηµω ηµω ηµω ηµω ηµω iii. Οµοίως, θ ξεκινήσουµε ό το ο µέλος κι θ κτλήξουµε στο ο : συν x ηµ x εφx σφx συν x ηµ x συνx ηµ x συνx ηµ x συν x συνx ηµ x συνx ηµ x ηµ x συνx ηµ x συν x ηµ x ηµ x συνx ηµ x συνx ηµ x συν x ηµ x συνx ( ηµ x συνx( ηµ xηµ x συνx συν x ηµ x συνx ηµ x συν xηµ x συνx ηµ x συνx.. 5. Αν 0< x < ν οδείξετε ότι : ηµ x ηµ x ηµ x ηµ x ηµ x συνx Λύση Στο ο µέλος ολλλσιάζουµε τον ριθµητή κι τον ρνοµστή µε τη συζυγή ράστση του ρνοµστή. Έχουµε, ηµ x ηµ x ηµ x ηµ x ( ( ηµ x ηµ x ηµ x ηµ x ( ηµ x ηµ x ( ηµ x ( ηµ x ηµ x ηµ x ( ( ηµ x ηµ x ηµ x ηµ x ηµ x ηµ x ηµ x συν x ηµ x Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 5
0< x< συνx ηµ x συν συνx x> 0 ηµ x ( συνx(συνx ηµ x(συνx συν x ηµ x(συνx ηµ x ηµ x(συνx ηµ x συνx Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 6
ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ Ο υολογισµός των τριγωνοµετρικών ριθµών οοισδήοτε γωνίς µορεί ν γίνει όως θ δούµε στη συνέχει (µε τη βοήθει του τριγωνοµετρικού κύκλου ν µεττρεί σε τριγωνοµετρικούς ριθµούς γωνιών ό 0 µέχρι 90 ο (δηλ. στο ο τετρτηµόριο. Αντίθετ τόξ ηµ ( x ηµx συν ( x συνx εφ( x εφx σφ( x σφx Πρληρωµτικά τόξ ηµ ( x ηµx συν ( x συνx εφ( x εφx σφ( x σφx ηµ ( x συνx συν ( x ηµx εφ ( x σφx σφ ( x εφx Συµληρωµτικά τόξ Τόξ ου διφέρουν κτά Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 7
ηµ ( x ηµx συν ( x συνx εφ ( x εφx σφ ( x σφx Τόξ ου διφέρουν κτά ηµ ( x συνx συν ( x ηµx εφ( x σφx σφ( x εφx Τόξ µε άθροισµ ηµ ( x συνx συν ( x ηµx εφ ( x σφx σφ ( x εφx Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 8
Τόξ µε διφορά ηµ ( x συνx συν ( x ηµx εφ( x σφx σφ( x εφx Μνηµονικός Κνόνς Αλλάζει : ηµ συν εφ σφ εν λλάζει: ηµ ηµ συν συν εφ εφ σφ σφ Συµεράσµτ. Τ ντίθετ τόξ x κι x έχουν ντίθετους τριγωνοµετρικούς ριθµούς λην του συν ου το έχουν ίσο.. Τ ρληρωµτικά τόξ x κι x έχουν ντίθετους τριγωνοµετρικούς ριθµούς λην του ηµ ου το έχουν ίσο.. Τ συµληρωµτικά τόξ x κι x ενλλάσσουν τους τριγωνοµετρικούς ριθµούς.. Τ τόξ x κι κ x ου διφέρουν κτά κέριο ριθµό κύκλων έχουν ίσους τριγωνοµετρικούς ριθµούς. (Λόγω του κοινού έρτος [δηλδή ρ( κ x τριγ. ρ.( x ] τριγ. Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 9
Πρδείγµτ. Ν βρεθούν οι τριγωνοµετρικοί ριθµοί των γωνιών Λύση i. ii. 680 7 rad 7 iii. rad i. ιιρώντς το 680 µε το 60 βρίσκουµε ηλίκο κι υόλοιο 0, δηλδή 680 60 0 ( ( ηµ ( 680 ηµ 680 ηµ ( 60 0 ηµ 0 ηµ (80 60 ( ηµ 60 ( συν ( 680 συν680 συν ( 60 0 συν 0 συν (80 60 συν 60 ηµ (680 εφ ( 680 συν ( 680 σφ ( 680 εφ( 680.. ii. 7 8 ηµ ηµ( ηµ (7 ηµ 7 8 συν συν ( συν (7 συν 7 8 εφ εφ( εφ(7 εφ 7 8 σφ σφ( σφ(7 σφ.. Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 0
iii. 7 6 ηµ ηµ ( ηµ (8 ηµ 7 6 συν συν ( συν (8 συν 0 7 6 εφ εφ ( εφ(8 εφ δεν ορίζετι 7 6 σφ σφ ( σφ(8 σφ 0 Προσοχή!!! ηµ ( β ηµ ( β γιτί ηµ ( x ηµ ( x συν ( β συν ( β γιτί συν ( x συν ( x εφ( β εφ( β γιτί εφ( x εφ( x σφ( β σφ( β γιτί σφ( x σφ( x ηµ x ( ηµ x, συν x ( συνx, εφ x ( εφx, σφ x ( σφx. είξτε ότι η ράστση είνι νεξάρτητη του x. Λύση Είνι : 5 συν ( x συν ( x εφ( x Α σφ( x ηµ (5 x ηµ ( x 5 συν ( x συν ( x συν ( x ηµ x συν ( x συν ( x συνx εφ ( x εφx σφ ( x εφx ηµ ( 5 x ηµ x ηµ ( x ηµ ( x συνx Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ.
Οότε, 5 συν ( x συν ( x εφ( x Α σφ( x ηµ (5 x ηµ ( x ηµ x συνx εφx εφx ηµ x ( συνx κι εοµένως είνι νεξάρτητη του x. Αν σφ ( x σφ( x ν υολογίσετε την τιµή της ράστσης 5 0 Α σφ ( x σφ ( x 5 0 Λύση Χρησιµοοιούµε την τυτότητ: β ( β β Α σφ ( x σφ ( x 5 0 [ σφ ( x σφ( x] σφ ( x σφ( x 5 0 5 0 ( 9 7 γιτί σφ ( x σφ( x σφ( x εφ[ ( x] σφ ( x εφ x 5 0 5 0 5 5 Προσοχή!!! εφ x εφ( x εφx σφx κι σφ x σφ( x σφx εφx.. Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ.
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟ ΤΡΙΓΩΝΟ A B C Σε κάθε τρίγωνο ισχύει: ΑΒ Γ ΑΒΓ ΒΓ Α ΓΑ Β Είσης ισχύει: Έτσι, έχουµε: Α Β Γ ΑΒ Γ ΒΓ Α ΓΑ Β ηµ ( ΑΒ ηµ ( Γ ηµ Γ συν ( ΑΒ συν ( Γ συνγ εφ ( ΑΒ εφ( Γ εφγ σφ ( ΑΒ σφ( Γ σφγ ΑΒ ηµ ( ηµ ( Γ ΑΒ συν ( συν ( ΑΒ εφ ( εφ( ΑΒ σφ ( σφ( Γ Γ Γ συν Γ Γ σφ Γ ηµ Γ εφ Με κυκλική ενλλγή ίρνουµε κι άλλους τύους,.χ. συν ( ΒΓ συνα κ.τ.λ. Σε µη ορθογώνιο τρίγωνο o γιτί εϕ90 δεν ορίζετι Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ.
Πράδειγµ Ν λοοιήσετε την ράστση: ηµ ( θ συν (7 θ εφ(5 θ σφ( θ Α 7 7 ηµ ( θ συν ( θ σφ( θ εφ( θ Λύση Εργζόµστε µε κάθε τριγωνοµετρικό ριθµό χωριστά ηµ ( θ ηµ ( θ ηµθ συν ( 7 θ συν (6 θ συν ( θ συνθ εφ ( 5 θ εφ( θ εφ( θ εφθ σφ ( θ σφ(0 θ σφ( θ εφθ 7 ηµ ( θ ηµ (8 θ ηµ ( θ συνθ συν ( θ συν ( θ συν (0 θ συν ( θ συν ( θ ηµθ 7 σφ ( θ σφ( θ σφ( θ σφ( θ σφ( θ εφθ εφ ( θ εφ( ( θ εφ( θ εφ( θ εφθ Εοµένως, η ράστση Α γίνετι: ( ηµθ ( συνθ εφθ εφθ Α συνθ ( ηµθ ( εφθ εφθ Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ.
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΕ ΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΕ ΙΟ ΤΙΜΩΝ f ( x [-,] γιτί ηµ x R ηµ x ηµ x [-,] γιτί f ( x συν x R συν x συν x f ( x εφ x R κ, κ Ζ R f ( x σφx R{ κ Ζ} κ, R Ν θυµηθούµε ότι η εφ x δεν ορίζετι στ κτκόρυφ σηµεί του κύκλου, ενώ η σφ x δεν ορίζετι στ οριζόντι σηµεί. Οι τιµές των ηµ x, συν x έχουν ελάχιστο - κι µέγιστο. Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 5
ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΤΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ f ( x ηµ x ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ x 0 ηµ x - f ( x συν x ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ x 0 συν x - Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 6
f ( x εφ x ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ x 0 εφ x f ( x σφx ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ x 0 σφ x Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 7
ΠΕΡΙΟ ΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μι συνάρτηση f µε εδίο ορισµού έν σύνολο Α R λέγετι εριοδική ότν υάρχει ργµτικός ριθµός Τ > 0τέτοιος ώστε x A ν ισχύουν x T A, xt A f ( x T f ( x T f ( x Ο Τ λέγετι ερίοδος της f Οι τριγωνοµετρικές συνρτήσεις είνι εριοδικές: Οι συνρτήσεις f ( x ηµχ, ( f x συν x έχουν ερίοδο Τ Οι συνρτήσεις f ( x εφ x. f ( x σφx έχουν ερίοδο Τ. Η γρφική ράστση µις εριοδικής συνάρτησης οτελείτι ό έν βσικό τµήµ, µε ροβολή µις εριόδου στον x' x το οοίο ενλµβάνετι εριοδικά. ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ. Οι συνρτήσεις f ( x ερίοδο T ω ρηµωχ κι ( f x ρσυνωx έχουν κρόττ ρ κι ρ κι Οι συνρτήσεις f ( x εφωx κι f ( x σφωx έχουν ερίοδο T ω (Ακρόττ δεν έχει. Πρδείγµτ. Ν σχεδιάσετε στο ίδιο σύστηµ ξόνων τις γρφικές ρστάσεις των συνρτήσεων: f ( x ηµ x, g( x ηµ x, h( x ηµ x Λύση Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 8
ηµ x ηµx ηµ x η g( x ηµ x έχει κρόττ κι - κι ερίοδο Τ (γιτί ω η h( x ηµ x έχει κρόττ κι - κι ερίοδο T (γιτί ω... Ν σχεδιάσετε στο ίδιο σύστηµ ξόνων τις γρφικές ρστάσεις των συνρτήσεων : f ( x Λύση συν x, ( ( x f x συν, ( ( x f x συν x συν ( Εειδή συν(-x συν(x η συνάρτηση ( ( x x f x συν συν ( η οοί έχει κρόττ κι - κι ερίοδο T (γιτί ω Η συνάρτηση ( ( x f x συν είνι συµµετρική της ( ( x f x συν ως ρος τον άξον x' x. x συν συν x Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 9
. Η ρόσθεση ενός θετικού ριθµού στον τύο της συνάρτησης ροξενεί ντίστοιχη µεττόιση της γρφικής ράστσης ρος τ άνω. Η φίρεση την µεττοίζει ρος τ κάτω. Πρδείγµτ. Ν σχεδιάσετε στο ίδιο σύστηµ ξόνων τις γρφικές ρστάσεις των συνρτήσεων : f ( x Λύση ηµ x, f ( x ηµ x, f ( x ηµ x ηµ x ηµ x ηµ x Η συνάρτηση f ( x ηµ x έχει κρόττ κι 0 κι ερίοδο Τ Η συνάρτηση f ( x ηµ x έχει κρόττ - κι - κι ερίοδο Τ.. Η ρόσθεση στη µετβλητή x (οοισδήοτε τριγωνοµετρικής συνάρτησης ενός θετικού τόξου φ, ροξενεί µεττόιση ρος τ ριστερά της γρφικής ράστσης κτά φ, ενώ η φίρεση την µεττοίζει δεξιά κτά φ. (Η ερίοδος κι τ κρόττ δεν λλάζουν. Το φ λέγετι διφορά φάσης των δυο συνρτήσεων Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 0
Πρδείγµτ. Ν σχεδιάσετε στο ίδιο σύστηµ ξόνων τις γρφικές ρστάσεις των συνρτήσεων : f ( x Λύση συν x, ( ( f x συν x, συν ( x συν x Πίνκς µεττόισης του x. x 0 x 0 6 7 6 5 Η συνάρτηση ( ( f x συν x έχει µεττοιστεί κτά ριστερά φ κι ροκύτει ό την f ( x συν x ν Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ.
Χωρισµός του άξον x' x ό 0 έως (νά,,, 6 Χωρισµός του τριγωνοµετρικού κύκλου ό 0 έως (νά,,, 6 Γενικά η συνάρτηση f ( x ρηµω( x φ κ ( ρ, ω, φ, κ > 0 ροκύτει ό την f '( x ρηµωx µε µετφορά κτά φ rad ριστερά κι κ µονάδες ρος τ άνω η f '( x έχει : κρόττ ρ κι ρ, ερίοδο T ω η f ( x έχει : κρόττ ρ κ κι -ρ κ, ερίοδο T ω Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ.
Πρδείγµτ. Ν κάνετε τη γρφική ράστση της συνάρτησης : Λύση ηµ x f ( x ηµ ( x ηµ [( x ] ηµ [( x ] Η f ( x γίνετι : f ( x ηµ [( x ] κι ροκύτει ό την οοί έχει κρόττ κι κι ερίοδο µονάδ κάτω. Ακρόττ της f ( x : είνι κι f '( x ηµ x (η T µε µετφορά δεξιά κι.... Η συνάρτηση f ( x β ηµ ( ωx, µε β > 0 έχει ερίοδο µέγιστη τιµή το 5 κι η 7 γρφική της ράστση διέρχετι ό το σηµείο Α (, Λύση i. Ν βρείτε τους ριθµούς ω, κι β ii. Ν σχεδιάσετε τη γρφική ράστση της f γι Η ερίοδος της f είνι : 0 x Τ ω ω ω x Άρ, είνι f ( x β ηµ (. Γι ν βρούµε τη µέγιστη κι την ελάχιστη τιµή της f, έχουµε: β> 0 x x ηµ β β ηµ β Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. x β β ηµ β β f (x β
Άρ, η µέγιστη τιµή της f είνι η β, οότε ισχύει β 5 (. Είσης, η γρφική 7 ράστση της f διέρχετι ό το σηµείο Α (, άρ ισχύει: 7 f ( β ηµ Λύνουµε το σύστηµ των εξισώσεων ( κι ( β 5 β 7 β 7 7 6 7 β ηµ β β 7 ( άρ τελικά είνι x f ( x ηµ. Με τη βοήθει του ρκάτω ίνκ θ χράξουµε τη γρφική ράστση της f. x 0 x 0 x ηµ 0 0-0 x ηµ 0 0-0 x f ( x ηµ 5 - Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ.
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ x κ. ηµ x ηµ ή, κ Ζ x κ x κ. συν x συν ή, κ Ζ x κ. εφ x εφ x κ, κ Ζ. σφ x σφ x κ, κ Ζ Ιδιίτερ τ ρκάτω θ τ βρίσκετι ό τον τριγωνοµετρικό κύκλο χωρίς εφρµογή των ιο άνω τύων ηµ x 0 x κ ηµ x x κ ηµ x x κ συν x 0 x κ συνx x κ συν x x κ εφ x 0 x κ,(!!! x κ, κ Ζ σφ x 0 x κ,(!!! x κ, κ Ζ Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 5
ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΕΙ Η ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ (Α ΒΑΣΙΚΕΣ Ή ΘΕΜΕΛΙΩ ΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Μορφή ηµ x λ λ συν x λ λ εφx λ λ R σφx λ λ R Γι ν τις λύσουµε τρέουµε τον ριθµό του β µέλους σε τριγωνοµετρικό ριθµό γνωστής γωνίς οµώνυµο του µέλους κι εφρµόζουµε τις ισοδυνµίες. Πρδείγµτ: Ν λυθούν οι εξισώσεις. ηµ x. συν x. ηµ x 0. ηµ x 5. συν x 0 6. συν x 7. εφ x 8. εφ x 0 9. 5 σφ x 0. ηµ x. ηµ x. συν x. εφ x. ηµ x 5. συν x 6. εφ x 0 8 7. συν x 7 Πρτήρηση Αν ο ριθµός του β µέλους είνι ρνητικός τότε χωρίς ρχικά ν λάβουµε υόψη το λην (- κάνουµε ότι κι ροηγουµένως κι στη συνέχει (γι ν µορέσουµε ν εφρµόσουµε τις ισοδυνµίες διώχνουµε το (- µε ένν ό τους ρκάτω τύους. ηµω ηµ( ω συνω ηµ ( ω εϕω εϕ( ω σϕω σϕ( ω Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 6
Λύση. ηµ x ηµ xηµ 6 x κ ή 6 x κ ή 6 5 x κ, κ Ζ 6 x κ 6... συν x συν xσυν x κ ±, κ Ζ... εφ x εφ xεφ x κ, κ Ζ... ηµ x ηµ ηµ( x ηµ x ηµ ( x κ ( ή x κ ( x κ ή x κ, κ Ζ.. 5. συν x συνx συν συνx συν ( συν xσυν ( x κ ±.. 6. εφ x εφx εφ εφx εφ( x κ, κ Ζ Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 7
(Β ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΜΕΣΑ ΑΝΑΓΟΜΕΝΕΣ ΣΕ ΒΑΣΙΚΕΣ Πιθνές µορφές Μορφή ηµ f ( x λ λ συν f ( x εφ f ( x σφ f ( x λ λ λ λ R λ λ R Μορφή Μορφή ηµ f ( x ηµϕ( x ηµ F( x συνϕ( x συν f ( x συνϕ( x εφf( x σφϕ( x εφ f ( x εφϕ( x σφ f ( x σφϕ( x Γι τη λύση τους, ρχικά δουλεύουµε όως κι τις βσικές κι στη συνέχει νγόµστε σε λύση λγεβρικής εξίσωσης µε άγνωστο το x. Πρδείγµτ : Ν λυθούν οι εξισώσεις x. ηµ 5. συν x συν 5x. ηµ x συνx Λύση. ηµ ( x ηµ ( x 0 x x. ηµ ηµ ηµ 5 5 6 x κ 5 6 ή 5. εφ x στο [0,] x κ, κ Ζ 5 6 x 5 (κ ή x 5 (κ, κ Ζ 6 6 0 x κ ή 8 0 x κ, κ Ζ 8. συν x συν 5x x κ 5x, κ Ζή x κ 5x, κ Ζ Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 8
x κ ή x κ, κ Ζ 7. ηµ xσυν x ηµ x συν ( x ηµ x ηµ [ ( x] ηµ x ηµ ( x ηµ x ηµ ( x x κ ( x ή x κ [ ( x] x κ ή κ x, κ Ζ. ηµ ( x ηµ ( x 0 ηµ ( x ηµ ( x ηµ ( x ηµ [ ( x ] ηµ ( x ηµ ( x x κ ( x ή x κ ( x x κ ή 6 5 x κ, κ Ζ 5. εφ x εφ x κ x, κ Ζ ( 8 Εειδή ζητείτι x [ 0, ] ισχύει: εφ x εφ xεφ 6 x κ 6 ( 0 x 0 κ 8 8 κ 5 8 κ ( 8 κ 8 8 5 8 κ 5 8 8 5 κ 0.6 κ 5,8 6 6 λλά κ Ζ οότε κ 0,,,,, 5 Γι κ 0 η ( δίνει 0 x 8 8 Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 9
Γι κ η ( δίνει Γι κ η ( δίνει Γι κ η ( δίνει Γι κ η ( δίνει Γι κ 5η ( δίνει 7 x 8 8 x 8 8 9 x 8 8 5 x 8 8 5 x 8 8 Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 0
(Γ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Είνι εξισώσεις ου εριέχουν τον ίδιο τριγωνοµετρικό ριθµό του ίδιου άγνωστου τόξου, έστω x. Πρδείγµτ ηµ x 5 ηµ x (λγεβρικής µορφής ηµ x 5 ηµ x ( εν είνι λγεβρικής µορφής φού εριέχει τ διφορετικά τόξ: x, x ηµ x 5 εφ x ( εν είνι λγεβρικής µορφής φού εριέχει τους διφορετικούς τριγωνοµετρικούς ριθµούς ηµ, εφ Γι ν τις λύσουµε θέτουµε βοηθητικό άγνωστο Πρδείγµτ Ν λυθούν οι εξισώσεις :... ηµ x 5ηµ x ηµ x 6 7ηµ x συν x 5ηµ x 5 0 Λύση. Έχουµε: ηµ x 5ηµ x ηµ x 5ηµ x 0 θέτουµε ηµ x y y 5y 0, 9> 0άρ y, 5± η y ορρίτετι γιτί ηµ x οότε γι y είνι ηµx x κ, κ Ζ x κ, κ Ζ Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ.
. Έχουµε: ηµ x 6 7ηµ x ηµ x 7ηµ x 6 0 θέτουµε ηµ x y y 7y 6 0, 5> 0 άρ y, 7± 5 6 η y 6 ορρίτετι γιτί ηµ x οότε γι y είνι ηµx x κ, κ Ζ x κ, κ Ζ 6. Έχουµε : συν x 5ηµ x 5 0 (ηµ x 5ηµ x 5 0 ηµ x 5ηµ x 5 0 ηµ x 5ηµ x 0 ηµ x 5ηµ x 0 θέτουµε ηµ x y y 5y 0, > 0άρ Η y, 5± y ορρίτετι γιτί ηµ x οότε γι y είνι ηµ x x κ, κ Ζ Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ.
( ΤΥΧΑΙΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Είνι τριγωνοµετρικές εξισώσεις οι οοίες δεν µορούν ν τξινοµηθούν σε κµί ό τις ροηγούµενες κτηγορίες ου έχουν τυοοιηµένη λύση. Συνήθως µε χρήση τύων κι κτάλληλων ργοντοοιήσεων ροσθούµε ν κτλήξουµε σε : (ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ 0. κι ο κάθε ράγοντς ν δίνει εξίσωση ου ν µορούµε ν λύσουµε Πράδειγµ : Ν λυθούν οι εξισώσεις. εφx ηµ x ηµ x εφx. ηµ xσυν x ηµ x συν x 6 0 Λύση. εφx ηµ x ηµ x εφx η εξίσωση ορίζετι ότν εφx ηµ x ηµ x εφx εφx ( ηµ x ηµ x ( εφx( ηµ x 0 εφx 0ή ηµ x 0 εφx ή ηµ x x κ (λόγω εφ x. Τότε, x κ ή x κ (ορρίτετι, κ Ζ. ηµ xσυν x ηµ x συν x 6 0 ηµ x ( συνx ( συνx 0 ( ηµ x ( συνx 0 ηµ x 0 ή συνx 0 ηµ x ή συν x ηµ x ηµ ή x κ ή συν xσυν x κ ή ηµ x ή συνx x κ ±, κ Ζ Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ.
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ - ΗΜΙΤΟΝΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΙΑΦΟΡΑΣ ΓΩΝΙΩΝ Έχουµε δύο γωνίες, β γι τις οοίες ισχύει. συν ( β συν συνβ ηµ ηµβ. συν ( β συν συνβ ηµ ηµβ Αόδειξη (: Αν στην σχέση ( ντικτστήσουµε το β µε το β έχουµε: συν ( ( β συν συν ( β ηµ ηµ ( β συν συνβ ηµ ηµβ Είσης έχουµε:. ηµ ( β ηµ συνβ συν ηµβ. ηµ ( β ηµ συνβ συν ηµβ Αόδειξη (: Έχουµε ότι: συν x ηµ x κι ηµ x συν x. Είσης: ηµ ( β συν[ ( β ] συν[( β ] συν συνβ ηµ ηµβ ηµ συνβ συν ηµβ Αόδειξη (: Αν στην σχέση ( ντικτστήσουµε το β µε το β έχουµε: ηµ ( ( β ηµ συν ( β συν ηµ ( β ηµ συνβ συν ηµβ Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ.
ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΣΥΝΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΙΑΦΟΡΑΣ ΓΩΝΙΩΝ Έχουµε δύο γωνίες, β µε συν ( β 0, συν 0, συνβ 0, γι τις οοίες ισχύει: εφ εφβ. εφ ( β εφ εφβ εφ εφβ. εφ ( β εφ εφβ Αόδειξη (: εφ( β ηµ ( β ηµσυνβσυνηµβ συν( β συνσυνβηµηµβ ηµσυνβ συνηµβ συνσυνβ συνσυνβ συνσυνβ ηµηµβ συνσυνβ συνσυνβ εφεφβ εφεφβ Αόδειξη (: Αν στην σχέση ( ντικτστήσουµε το β µε το β έχουµε: εφ( ( β εφεφ( β εφεφ( β εφεφβ εφεφβ Έχουµε δύο γωνίες, β µε ηµ ( β 0, ηµ 0, ηµβ 0, γι τις οοίες ισχύει: σφ σφβ σφ ( β σφβ σφ σφ σφβ σφ ( β σφβ σφ Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 5
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ- ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η µορφή σκήσεων : Μς ζητούν ν υολογίσουµε µι ράστση ου οτελεί µέρος ενός ό τους γνωστούς τύους της θεωρίς. Ν γράψετε σε λούστερη µορφή τις ρστάσεις i. ηµ x συν xσυνx ηµ x Λύση ii. συν ( x συν ( x ηµ ( x ηµ ( x εφxεφx iii. εφx εφx i. Πρτηρούµε ότι η ράστση ου δίνετι είνι το δεύτερο µέλος της ισότητς : ηµ ( β ηµσυνβ συνηµβ µε x κιβ x, οότε έχουµε: ηµ x συν xσυνx ηµ x ηµ ( x x ηµ ( x ηµ x ii. Η ράστση ου δίνετι είνι το δεύτερο µέλος της ισότητς: συν ( β συνσυνβ ηµηµβ µε x κι β x, οότε έχουµε: συν ( x συν ( x ηµ ( x ηµ ( x συν (( x ( x συν ( x x συν x iii. Η ράστση ου δίνετι είνι το δεύτερο µέλος της ισότητς : εφ εφβ εφ ( β µε xκι β x εφ εφβ οότε έχουµε: εφxεφx εφ( x x εφ( x εφx εφx εφx η µορφή σκήσεων : Μς ζητούν ν υολογίσουµε µε τους τριγωνοµετρικούς ριθµούς µις γωνίς Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 6
. Ν βρείτε την εφτοµένη της γωνίς των 75 ο Λύση o o εφ5 εφ0 εφ 75 εφ(5 0 o o -εφ5 εφ0 - ( ( ( ( - ( - ( - 6 6 η µορφή σκήσεων : Υολογισµός του συν ( ± β κι του ηµ ( ± β. Αν ηµ µε 5 5 0< < κι συνβ µε < β < ν βρείτε τους 5 τριγωνοµετρικούς ριθµούς της γωνίς β Λύση Εειδή είνι ηµ ( β ηµσυνβ συνηµβ κι συν ( β συνσυνβ ηµηµβ Αρκεί ν υολογίσουµε το συν κι το ηµβ Ισχύει: συν ηµ ( 5 Κι εειδή 6 5 0< < το συν είνι θετικό άρ συν 5 5 Είσης ισχύει: ηµ β συν β ( 5 5 5 Κι εειδή Εοµένως, < β < το ηµβείνι ρνητικό άρ ηµβ 5 5 5 5 ηµ ( β ( 5 5 5 5 5 5 5 5 συν ( β ( 5 5 5 5 5 5 Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 7
5 ηµ ( β εφ ( β 5 συν ( β 5 5 5 συν ( β σφ ( β 5 ηµ ( β 5 5 η µορφή σκήσεων : Ασκήσεις ου µς ζητούν ν οδείξω µι σχέση. Γι τις ειτρεόµενες τιµές των, β, γ ν οδείξετε ότι ηµ ( β ηµ ( β γ ηµ ( γ 0 συν συνβ συνβ συνγ συνγ υν Λύση Το ρώτο κλάσµ της σχέσης γράφετι ηµ ( β ηµσυνβ συνηµβ ηµσυνβ συν συνβ συν συνβ συνσυνβ συνηµβ συνσυνβ Ανάλογ το δεύτερο κι το τρίτο κλάσµ της σχέσης γράφοντι: ηµ ( β γ ηµ ( γ εφβ εφγ κι εφγ εφ συνβ συνγ συνγ συν Εοµένως έχουµε: ηµ ( β ηµ ( β γ ηµ ( γ συν συνβ συνβ συνγ συνγ υν εφεφβ εφεφβ εφβ εφγ εφγ εφ 0 εφ εφβ εφεφβ. Ν οδειχτεί ότι : εφ( β εφ( β Λύση Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 8
Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 9 εφβ εφ εφβ εφ εφβ εφ εφβ εφ εφβ εφ εφβ εφ β εφ εφβ εφ β εφ εφβ εφ ( ( ( ( εφβ εφ εφβ εφ. Ν οδειχτεί ότι: εφ εφ εφ εφ εφ εφ Λύση ( ( ( ( εφ εφ εφ εφ εφ εφ εφ εφ εφ εφ εφ εφ εφ εφ εφ εφ εφ εφ εφ εφ εφ εφ εφ εφ ( (. Ν οδειχτεί ότι: σφ εφ β συν β συν β ηµ β ηµ β ηµ β συν ( ( ( ( ( ( Λύση Το ρώτο κλάσµ δίνει: συνηµβ ηµσυνβ συνηβ ηµσυνβ ηµηµβ συνσυνβ β ηµ β ηµ β συν ( ( ( ( ηµσυνβ ηµηµβ συνσυνβ εφβ σφ ηµσυνβ ηµηµβ ηµσυνβ συνσυνβ Το δεύτερο κλάσµ δίνει ηµηµβ συνσυνβ ηµηµβ συνσυνβ συνηµβ ηµσυνβ β συν β συν β ηµ ( ( ( ( συνσυνβ συνηµβ ηµσυνβ εφβ εφ συνσυνβ συνηµβ συνσυνβ ηµσυνβ Άρ, εφ σφ εφβ εφ εφβ σφ β συν β συν β ηµ β ηµ β ηµ β συν ( ( ( ( ( ( 5. Ν οδειχτεί ότι: i. συνβ συν β ηµ εφβ εφ (, 0 συν κι 0 συνβ
ii. Λύση συν ( β σφ εφβ, ηµ 0 κι ηµβ 0 ηµσυνβ ηµ ηµβ ηµσυνβ ηµβσυν ηµ ( β i. εφ εφβ συν συνβ συνσυνβ συνσυνβ ii. συν ηµβ συνσυνβ ηµηµβ συν ( β σφ εφβ ηµ συνβ ηµσυνβ ηµσυνβ 6. Ν οδειχτεί ότι: σφ εφ εφ σφ σφ Λύση εφ εφ σφ σφ ηµ ηµ συν συν συν ηµ συν συν ηµ ηµ ηµ συν συν ηµ συν ηµ συν ηµ συν ηµ συν συν ηµ ηµ συν συν ηµ ηµ ηµ ( ηµ ( ηµ ηµ συν συν ηµ ηµ συν ( συν σφ ηµ ηµ ηµ 7. Ν οδειχτεί ότι: ηµ ( 0 συν (0 ηµ (0 συν (50 γι κάθε R Λύση Μορούµε ν οφύγουµε το νάτυγµ των τυτοτήτων, ρκεί ν ρτηρήσουµε ότι: ( 0 (50 80 Οότε, ηµ ( 0 ηµ (50 ( 0 (0 80 Οότε, ηµ ( 0 ηµ (0 Έτσι το ρώτο µέλος γίνετι ηµ ( 0 συν (0 ηµ (0 συν (50 ηµ ( 50 συν (0 ηµ (0 συν (50 Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 50
ηµ [( 50 (0 ] ηµ 90 8. Αν 0< < κι 0< β < ν οδείξετε ότι: ηµ ( β < ηµ ηµβ Λύση Έχουµε : ηµ ( β < ηµ ηµβ ηµσυνβ συνηµβ < ηµ ηµβ ηµσυνβ ηµ συνηµβ ηµβ < 0 ηµ ( συνβ ηµβ ( συν < 0 ( Θ ελέγξουµε ν ισχύει η σχέση ( Εειδή 0< < κι 0< β < το ηµ κι το ηµβείνι θετικά. Ακόµ ισχύει ότι συν < κι συνβ < Άρ, ηµ ( συνβ < 0 κι ηµβ ( συν < 0 Εοµένως, η ( ισχύει ως άθροισµ ρνητικών ριθµών. 5 η µορφή σκήσεων : Ασκήσεις ου µς ζητούν ν λύσουµε µι τριγωνοµετρική εξίσωση. Ν λυθεί στο διάστηµ [ 0, ] η εξίσωση : εφ ( x εφ( x Λύση Περιορισµοί: γι ν ορίζοντι οι εφ ( x κι εφ( x ρέει ν είνι συν ( x 0 κι συν ( x 0 Γι x έχουµε ( εφ εφ( σφ σφ Γι x έχουµε εφx εφx εφ( x εφ( x εφx εφx ( εφ x (εφx (εφx( εφx Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 5
εφ x εφ x εφ x εφ x ή εφx x ή x (φού 0 x Οι τιµές κι είνι δεκτές, διότι ικνοοιούν τους εριορισµούς.. Ν λυθεί η εξίσωση : εφ( x ( ν Λύση Περιορισµοί: συν ( x 0 εφ Αν συν x 0 τότε η εξίσωση ( γράφετι ισοδύνµ: εφx εφx εφ εφx εφx εφx εφ εφx εφx εφ xεφ Οι λύσεις υτές είνι δεκτές διότι: συν ( κ 0 γι κάθε κ Ζ x κ, κ Ζ Αν συν ( κ 0γι κάοιο κ Ζτότε: κ λ, λ Ζ κι άρ ( λκ Έτσι, εφ εφ[( λκ ] εφ ου είνι άτοο Άρ, συν ( κ 0γι κάθε κ Ζ Αν συν x 0τότε x κ, κ Ζ οότε η ( γίνετι: εφ( κ εφ( σφ σφ εφ εφ Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 5
Αλλά η εφ είνι δύντη φού εφ. Ν λυθεί η εξίσωση: εφ( x εφ( x σφx Λύση Περιορισµοί: x κ x κ, κ Ζ x κ x κ, κ Ζ x κ, κ Ζ Με εφρµογή των γνωστών τύων ίρνουµε: εφx εφ εφx εφ( x κι εφx εφx εφ εφxεφ εφx εφ( x ( εφx εφx εφ Άρ: εφ( x εφ( x σφx εφx εφx σφx εφx εφx ( εφ x ( εφx σφx (εφx ( εφx εφ x εφx εφ x εφx (εφ x εφx εφx (εφ x εφx εφ x εφ x 6εφ x εφ x εφ x ή εφ x Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 5
Έχουµε λοιόν τις εξισώσεις; εφ x εφ x εφ 6 x κ, κ Ζ 6 εφ x εφx εφ εφx εφ( x κ, κ Ζ 6 6 6 Όλες οι ράνω τιµές είνι δεκτές, διότι δεν έρχοντι σε ντίφση µε τους εριορισµούς. Οι τιµές x κ, κ Ζ ου ρέει ν εξιρεθούν, ώστε ν εφρµόζοντι οι σχέσεις (, δεν οτελούν λύση της εξίσωσης.. Ν λυθεί εξίσωση: εφ x σφx εφx σφx Λύση εφ x σφx εφx σφx εφxεφx σφxσφx ηµ x ηµ x συν x συνx συν x συνx ηµ x ηµ x Περιορισµοί: Γι ν ορίζοντι τ κλάσµτ ρέει: ηµ x συνx ηµ x συν x 0 ηµ x 0κι συνx 0κι ηµ x 0 κι συν x 0 x κ κι Τότε, x κ κι κ x κι κ x, κ Ζ 6 ηµ x συνxσυν x ηµ x συν x ηµ xηµ x συνx συνx συν x ηµ x ηµ x ηµ (x x ηµ ( x x συνx συν x ηµ x ηµ x ηµ x ηµ x συνx συν x ηµ x ηµ x ηµ x ( 0 συνx συν x ηµ x ηµ x ηµ x ( ηµ x ηµ x συνx συν x 0 ηµ x συν (x x 0 ηµ x συν x 0 ηµ x 0ή συν x 0 Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 5
xκ ή κ x ή x κ, κ Ζ κ x, κ Ζ Στο σηµείο υτό χρειάζετι ιδιίτερη ροσοχή: Οι τιµές Οι τιµές κ x, κ Ζορρίτοντι διότι: x κ κι x κ κ x, κ Ζείνι δεκτές διότι εικονίζοντι στ µέσ των τετρτοκυκλίων του τριγωνοµετρικού κύκλου. B A' A Αλλά στ σηµεί υτά δεν εικονίζετι κνέν τόξο της µορφής: B' x κ ή x κ κ ή x, κ Ζ 6 Σχόλιο: Έστω ότι υάρχουν κέριοι κ κι λ ώστε κ λ. 6 Τότε: κ λ 6 6κ λ ( λ κ ου είνι άτοο διότι το ρώτο µέλος είνι άρτιος κι το δεύτερο µέλος είνι εριττός κέριος. Άρ οι λύσεις x 6 η µορφή σκήσεων : κ, κ Ζ είνι όλες δεκτές. Ασκήσεις µε γωνίες τριγώνου (ή άλλου ολυγώνου. Ν οδείξετε ότι σε κάθε µη ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: εφ Α εφβ εφγ εφα εφβ εφγ Λύση Αφού το τρίγωνο δεν είνι ορθογώνιο ορίζοντι οι εφτόµενες των γωνιών Α, Β, Γ. Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 55
Γι τις γωνίες υτές ισχύει: ΑΒΓ οότε, ΑΒ Γ άρ εφα εφβ εφ( ΑΒ εφ( Γ εφγ εφα εφβ εφα εφβεφγ ( εφα εφβ εφα εφβεφγ εφα εφβ εφγ εφ Α εφβ εφγ εφα εφβ εφγ ηµ Β ηµ ( ΓΑ. Αν σε έν τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: εφγν οδείξετε ότι συν ( ΓΑ ντιστρόφως Λύση Η ισότητ ου µς δίνετι γράφετι ισοδύνµ: ηµ Β ηµ ( ΓΑ ηµ [ ( ΑΓ ηµ ( ΓΑ ηµ Γ εφγ συν ( ΓΑ συν ( ΓΑ συνγ ηµ ( ΑΓ ηµ ( ΓΑ ηµ Γ συνγ συνα ηµ Γ ηµ Α συνγ Β κι ηµ Γ συνα συνγ συνα ηµ Γ ηµ Α ηµ Γ συνγ ηµ Γ συνα συνγ ηµ Γ συνγ συνα ηµ Γ ηµ Α ηµ Γ συνα συνγ ηµ Γ ηµ Α ηµ Γ συνα συνγηµ Γ ηµ Α 0 ηµ Γ ( συνα συνγηµ Γ ηµ Α 0 συν Α συνγηµ Γ ηµ Α0φού ηµ Γ 0 συν ( ΑΓ 0 Α Γ (φού είνι γωνίες τριγώνου Συνεώς θ είνι κι Β.. Ν οδειχτεί ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύουν: Λύση i. σφ Α σφβ σφβ σφγ σφγ σφα συνα συνβ συνγ ii. ηµ Βηµ Γ ηµ Γηµ Α ηµ Αηµ Β Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 56
i. Εειδή ΑΒΓ έχουµε ΒΓ Α οότε σφ( ΒΓ σφ( Α σφβσφγ σφα σφβ σφγ σφβ σφγσφα σφβσφα σφγ σφ Α σφβ σφβ σφγ σφα σφγ συν Α συν[ ( ΒΓ] συν ( ΒΓ ii. ηµ Βηµ Γ ηµ Βηµ Γ ηµ Βηµ Γ ηµ Βηµ ΓσυνΒσυνΓ ηµ Βηµ Γ συνβσυνγ σφβ σφγ ηµ Βηµ Γ ηµ Βηµ Γ ηµ Βηµ Γ ηλδή, συνα σφβ σφγ ηµ Βηµ Γ Με ρόµοιο τρόο βρίσκουµε ότι: συνβ συνγ σφγ σφα κι σφα σφβ ηµ Γηµ Α ηµ Αηµ Β Οότε, συνα συνβ συνγ ηµ Βηµ Γ ηµ Γηµ Α ηµ Αηµ Β σφβ σφγ σφγ σφα σφα σφβ ( σφ ΑσφΒ σφβσφγ σφγσφα. Αν σε έν τρίγωνο ΑΒΓ είνι εφ Α κι Λύση Γι ν οδείξουµε ότι Γ 5 εφβ Εειδή τ Α, Β, Γ είνι γωνίες τριγώνου ισχύει: ΑΒΓ ΑΒ Γ Εοµένως, ν οδειχτεί η γωνί Γ θ ροσθήσουµε ν οδείξουµε ότι εφ Γ Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 57
5 εφα εφβ εφ( ΑΒ εφ( Γ εφγ εφ Γ 6 εφαεφβ 5 6 Άρ, Γ 5. Σε έν τρίγωνο ΑΒΓ είνι : ( σφ Γ[ σφ( Β]. Ν οδειχτεί ότι το τρίγωνο είνι ορθογώνιο Λύση Θ λοοιήσουµε ρώτ την ράστση στην γκύλη. σφ σφβ Β Β Β σφ σφ εφβ σφ( σφβ σφβ εφβ σφβσφ εφβ Εοµένως η δοσµένη συνθήκη γίνετι: ( σφγ[ σφ( Β] ( σφγ ( εφβ σφγ σφγ εφβ σφγ εφβ εφβ εφ( Γ εφβ Β κ Γ Β Γκ, κ Ζ Είνι όµως, Β Γ 90 ηλδή 0 <ΒΓ< οότε 0 < κ < η σχέση υτή δίνει κ 0 Α 90 οότε 7 η µορφή σκήσεων : Γενικές σκήσεις. Αν εφ κι εφβ είνι ρίζες της x κx λ 0 ν υολογίσετε την ράστση : Α ηµ ( β κηµ ( β συν ( β λσυν ( β Λύση Α συν ( β εφ ( β συν ( β κεφ( β λσυν ( β ή Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 58
Α συν ( β [εφ ( β κεφ( β λ] λλά εφ( β εφ εφβ - εφ εφβ -κ - λ. Άρ: Α κ ( - λ κ κ - λ ( - λ - λ ( ( - - λ λ κ κ - κ ( - ( λ - λ λ( - λ κ λ ( - ( - λ λ λ κ λ Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 59
ΤΥΠΟΙ ΤΟΥ ΙΠΛΑΣΙΟΥ ΤΟΞΟΥ Τύος. συν συν ηµ συν ηµ. ηµ ηµσυν. εφ σφ εφ εφ σφ σφ Αόδειξη (: συν συν ( συν συν ηµ ηµ συν ηµ συν συν ηµ συν (συν συν συν συν ηµ (ηµ ηµ ηµ Αόδειξη (: ηµ ηµ ( ηµσυν συνηµ ηµσυν Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 60
Αόδειξη (: εφ εφ εφ εφεφ εφ εφ σφ σφσφ σφσφ σφ σφ Πρτηρήσεις: Σύµφων µε τους ράνω τύους ισχύει ότι:. συν συν ηµ συν ηµ. συν συν ηµ συν ηµ. ηµ ηµ συν. ηµ ηµ συν 5. εφ εφ εφ 6. εφ εφ εφ Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 6
ΤΥΠΟΙ ΑΠΟΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Σε ορισµένες σκήσεις είνι ρίτητο ν ντικτστήσουµε όρους της µορφής: ηµ, συν, εφ, σφ. Σε υτές τις εριτώσεις χρησιµοοιούµε τους ρκάτω τύους: Τύος. συν ηµ. συν συν. συν εφ συν. συν σφ συν Αόδειξη (: συν ηµ συν ηµ συν ηµ Αόδειξη (: συν συν συν συν συν συν Αόδειξη (: εφ ηµ συν συν συν συν συν Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 6
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η µορφή σκήσεων : Μς ζητούν ν υολογίσουµε µι ράστση ου οτελεί µέρος ενός ό τους γνωστούς τύους της θεωρίς. Ν βρεθεί η τιµή των ρστάσεων: i. ii. εφ75 εφ 75 ηµ συν ΛΥΣΗ i. Πρτηρούµε ότι η ράστση ου δίνετι είνι το δεύτερο µέλος της ισότητς εφ εφ µε 75 οότε έχουµε: εφ εφ75 εφ 75 εφ 75 εφ50 εφ(80 0 εφ0 ii. Η ράστση ου δίνετι είνι το δεύτερο µέλος της ισότητς ηµ ηµσυν µε οότε έχουµε: ηµ συν ηµ ηµ 8 η µορφή σκήσεων : Μς ζητούν ν υολογίσουµε µε τους τριγωνοµετρικούς ριθµούς µις γωνίς. Ν υολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς ριθµού του Είνι 6, οότε ηµ -συν - - 6 - Εοµένως ηµ ( φού ηµ > 0. Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 6
Είσης είνι συν, άρ συν. Τέλος έχουµε: ηµ - - ( - εφ συν ( ( - - κι σφ - η µορφή σκήσεων : Υολογισµός τριγωνοµετρικών ριθµών µις ράστσης ότν δίνοντι κάοιοι άλλοι τριγωνοµετρικοί ριθµοί.. Αν εφ µε < < ν βρεθεί η εφ ΛΥΣΗ Έχουµε: εφ εφ εφ εφ 8εφ εφ εφ εφ 8εφ 0 εφ 8± 0 6 εφ ή εφ - Αό τις τιµές ου βρήκµε δεκτή µόνο η φού < <.. η µορφή σκήσεων : Ασκήσεις ου µς ζητούν ν οδείξω µι σχέση Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 6
. Ν οδείξετε ότι συν θ ηµ θ ΛΥΣΗ συνθ Έχουµε: συν θ ηµ θ ( συν θ ( ηµ θ ( συν θ ηµ θ συν θ ηµ θ Όµως, ( ηµθ συνθ ( ηµθ ηµ θ ( συνθ ηµ θ ηµ θ οότε η σχέση ( γράφετι: -συνθ συν θ ηµ -συνθ θ - συνθ συνθ... Ν οδείξετε ότι ( συν συνβ ( ηµ - ηµβ συν ( β ΛΥΣΗ Έχουµε: ( συν συνβ ( ηµ - ηµβ συν συν β συν συνβ ηµ ηµ β - ηµ ηµβ (συν ηµ (συν β ηµ β ( συν συνβ - ηµ ηµβ συν( β συν( β [συν ( β ] συν ( β συν ( β... Ν οδείξετε ότι συν 8συν 8συν. ΛΥΣΗ Έχουµε: συν συν( ( συν ( συν Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 65
( συν συν 8συν 8συν 8συν 8συν... Ν οδείξετε ότι: i εφ εφ εφ σφ εφ ii - συν συν εφ συν συν ΛΥΣΗ i εφ εφ εφ σφ εφ εφ εφ - εφ - εφ εφ εφ εφ εφ εφ εφ εφ - εφ - εφ εφ.. - συν ii συν - συν συν ( - ( συν ηµ - ηµ - - ηµ - 8ηµ - ηµ 8συν - - ηµ 8ηµ - ( ηµ συν 8συν - ( ηµ συν Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 66
8ηµ 8συν - 8ηµ συν - 8ηµ συν 8ηµ ( - συν 8συν ( - ηµ ηµ συν εφ.. 5. Ν οδειχθεί ότι ΛΥΣΗ ηµ συν συν εφ συν συν συν ηµ ηµ συν κι ηµ ηµ συν ηµ ηµ συν κι συν συν συν συν κι συν συν Εοµένως: ηµ συν συν ηµ συν συν συν συν συν συν συν συν συν ηµ ηµ συν ηµ ηµ συν συν συν συν συν συν συν ηµ εφ συν.. 6. Ν οδείξετε ότι ηµ 6 ΛΥΣΗ ηµ 6 5 ηµ 6 7 ηµ 6 Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 67
6 7 8 κι 6 6 6 5 6 8 6 οότε 7 5 - κι - 6 6 6 6 7 Άρ ηµ συν, ηµ 6 6 ηµ ηµ συν συν 6 6 6 6 5 συν κι το ρώτο µέλος της ζητούµενης σχέσης γράφετι: 6 6 ( συν ηµ ( συν ηµ 6 6 6 6 Υολογίζουµε τώρ τον κάθε ροσθετέο ξεχωριστά, όως στην άσκηση. Έχουµε: συν συν 6 6 συν ηµ 6 6 8 συν συν - 6 6- συν ηµ 6 6 8 Εοµένως, ηµ 6 ηµ 6 5 ηµ 6 7 ηµ 6 ( συν ηµ ( συν ηµ 6 6 6 6 6 8 6-8 8 7. Ν οδείξετε ότι ηµ συν 5 6 ΛΥΣΗ Το ρώτο µέλος της σχέσης ου θέλουµε ν οδείξουµε γράφετι διδοχικά: Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 68
ηµ συν 5 ηµ ηµ ηµ ( ηµ ηµ συν ( ηµ συν ηµ ( 6 6.. 8. Ν οδείξετε ότι ηµ ηµ( 60 ο ηµ( 60 ο ηµ ΛΥΣΗ Έχουµε: ηµ ηµ( 60 ο ηµ( 60 ο ηµ ( ηµ 60 ο ηµ ηµ [ ( ηµ ] ηµ ( ηµ ηµ ηµ ηµ.. 9. Ν οδειχθεί ότι: συνx συνx συνx - συνx συνx - συνx β συνx εφ x - συνx σφ x ΛΥΣΗ Έχουµε: συνx συνx συνx συνx - συνx - συνx Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 69
(συν x - συνx συνx (συν x - - συνx - συνx ( συν x συνx συνx ( συν x - συνx - συνx ( συνx συνx ( συνx - - συνx ( συνx ( συνx συνx συνx β Πρτηρούµε ότι: συνx ( συν x συν x ( συν x εφ x ηµ x συν x συν x ηµ x συν x συν x ( συν x ηµ x συν x συν x συν x Εοµένως: συνx ( συν x εφ x συν x Όµοι ίρνουµε: συν x συν x -συνx -(- ηµ x ηµ x ( ηµ x ηµ x συν x ηµ x συν x ηµ x ηµ x σφ x ηµ x (ηµ x συν x ( ηµ x ηµ x ηµ x ηµ x Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 70
Εοµένως: συνx εφ x - συνx σφ x συν x ηµ x ( συν x ηµ x 5 η µορφή σκησεων : Ασκήσεις ου µς ζητούν ν λύσουµε µι τριγωνοµετρική εξίσωση. Ν λυθούν οι εξισώσεις: i συνx συν x ii ηµx εφx ΛΥΣΗ i Εκφράζουµε το συνx ως συνάρτηση του συνx κι έχουµε: συνx συν x συν x συν x συν x 0 συν x ( συνx ή συνx Εοµένως: συνx συνx συν0 x κ, κ Ζ, συνx συνx συν x κ ±, κ Ζ. ii Αρχικά ρέει συν x 0 Με τον εριορισµό υτό έχουµε: x κ, κ Ζ ηµx ηµx εφx ηµx συνx συνx ηµx συν x ηµx ηµx ( συν x 0 Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 7
( ηµx 0 ή συνx ή συνx Εοµένως: ηµx 0 x κ, κ Ζ συνx x κ, κ Ζ συνx x κ ±, κ Ζ... Ν λυθούν οι εξισώσεις: i εφx ηµx ii εφx εφx ΛΥΣΗ i Η εξίσωση ορίζετι µόνο ότν συνx 0. Με τον εριορισµό υτό γράφετι ισοδύνµ: ηµx εφx ηµx ηµx ηµx συνx ηµx συνx συνx ηµx (συνx συνx 0 ( ηµx 0 ή συνx συνx 0 H ηµx 0 δίνει x κ, κ Ζ, ενώ η συνx συνx 0 γράφετι συνx συνx ή x κ ± x, οότε x κ ή x κ, κ Ζ. Όλες οι λύσεις είνι δεκτές, φού ικνοοιούν τους εριορισµούς. ii Η εξίσωση ορίζετι µόνο ότν συνx 0 κι συνx 0. Τότε έχουµε: εφx εφx εφx εφx - εφ x εφ x εφ x εφ x ( εφx ή εφx οότε: Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 7
εφx εφx εφ x κ, κ Ζ εφx εφx εφ( x κ, κ Ζ Όλες οι λύσεις ικνοοιούν τους εριορισµούς κι γίνοντι δεκτές.... Ν λυθεί η εξίσωση ηµ x συν x ηµx συνx ΛΥΣΗ ηµ x συν x ηµx συνx (ηµ x (συν x ηµx συνx (ηµ x συν x ηµ x συν x ηµx συνx (ηµx συνx ηµx συνx (ηµx συνx (ηµx συνx 0 Θέτουµε ηµx συνx ω, οότε η εξίσωση γίνετι: ω ω 0 ( ω ή ω Άρ: ω ηµx συνx ηµx συνx ηµx Η εξίσωση υτή είνι δύντη. ω ηµx συνx ηµx συνx ηµx x κ x κ, κ Ζ... Ν λυθεί η εξίσωση συνx ( - ηµx συν x. ΛΥΣΗ Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 7
Εειδή συνx ηµ x κι ηµx ηµx συνx, η εξίσωση γράφετι ισοδύνµ: ( - ηµx συνx συν x ηµ x ηµ x ( - ηµx συνx συν x 0 ( Η ( εξσφλίζει ότι συνx 0, διότι τότε θ ήτν κι ηµx 0, άτοο. ιιρούµε λοιόν µε συν x κι η ( γίνετι ισοδύνµ: εφ x ( - εφx 0 y ( - y 0 όου y εφx. Αυτή δίνει: y εφx x κ, κ Ζ y εφx εφx εφ( x κ, κ Ζ ΣΗΜΕΙΩΣΗ Η εξίσωση ( λέγετι οµογενής β βθµού... 5. Ν λυθεί η εξίσωση ( συνx ηµx συνx ηµx. ΛΥΣΗ Είνι: ηµx ηµ x συν x ηµx συνx (ηµx συνx (συνx ηµx συνx συν x ηµ x (συνx ηµx (συνx ηµx Έτσι η εξίσωση γίνετι: (συνx ηµx - ηµx συνx Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 7
(συνx ηµx (συνx ηµx (συνx ηµx (συνx ηµx (συνx ηµx(συνx ηµx συνx ηµx 0 (συνx ηµx(συνx 0 συνx ηµx 0 ή συνx Η εξίσωση συνx ηµx 0 γίνετι: εφx x κ κ Ζ ή (συνx συν( x, κ.λ.. Η εξίσωση συνx είνι δύντη, διότι >.. 6. Ν λυθεί η εξίσωση συν x ηµx ηµx συνx. ΛΥΣΗ Είνι ηµx ηµx συνx. Θέτουµε εφ x y κι έτσι η εξίσωση γίνετι: - y ( διότι: y y - y y - y y y y y ( ηµx x εφ y x εφ y κι συνx x - εφ x εφ - y y H ( γίνετι: Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 75
( y y( y y( y ( y ( y ( y y y y 0 y (y (y 0 (y (y 0 (y ή y Εοµένως: ή y x x y εφ κ x κ, κ Ζ ( y x x εφ εφ κ x κ, κ Ζ ( 6 6 y εφ x εφ( 6 x κ x 6 κ, κ Ζ ( Στο σηµείο υτό ρέει ν κάνουµε µι λετή ρτήρηση: Με την ντικτάστση y εφ x, έχουµε οκλείσει τις λύσεις x κ, κ Ζ. Πρέει λοιόν ν εξετάσουµε µήως οι τιµές υτές είνι λύσεις της ρχικής εξίσωσης. Γι x κ, η δοσµένη εξίσωση γίνετι: συν (κ ηµ(κ ηµ(κ συν(κ 0 0, ου ισχύει Άρ οι λύσεις της εξίσωσης δίνοντι ό τις σχέσεις: Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 76
x κ, x κ, x κ, κι x κ, κ Ζ.. 7. Ν λυθεί η εξίσωση συνx ηµx ΛΥΣΗ συνx - ηµx. συνx συν x ηµ x (συνx ηµx (συνx ηµx ηµx ηµ x συν x ηµx συνx (συνx ηµx Έτσι, µε τον εριορισµό: ηµx 0 (συνx ηµx 0 ηµx συνx εφx ( x κ κ Ζ ίρνουµε: συνx ηµx συνx - ηµx συνx ηµx συνxηµx συνx ηµx συνx - ηµx (συνx ηµx(συνx ηµx 0 ( ηµx συνx ή συνx ηµx Η ρώτη εξίσωση δίνει (ισοδύνµ: εφx εφx εφ( (x κ, κ Ζ Η δεύτερη εξίσωση γίνετι: Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 77
συνx ηµx ηµx συνx ηµ x συν x ηµ x x x ηµ (ηµ συν x 0 (ηµ x 0 ή ηµ x συν x ( x κ ή εφ x (x κ ή x κ (x κ ή x κ, µε κ Ζ Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 78
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ν οδείξετε ότι το ηµ0 ο είνι ρίζ της εξίσωσης: 8x 6x 0 ΛΥΣΗ Γι ν οδείξουµε ότι το ηµ0 ο είνι ρίζ της δοθείσς εξίσωσης, ντικθιστούµε το x µε το ηµ0 ο κι οδεικνύουµε ότι υτή εληθεύετι. Έχουµε: 8( ηµ0 ο 6ηµ0 ο 8ηµ 0 ο 6ηµ0 ο ( ηµ0 ο ηµ 0 ο ηµ( 0 ο ηµ0 ο 0 Εοµένως το ηµ0 ο είνι ρίζ της εξίσωσης 8x 6x 0.... Ν υολογίσετε το γινόµενο: συν0 ο συν0 ο συν80 ο ΛΥΣΗ Ισχύει ηµ0 ο ηµ0 ο συν0 ο, οότε συν0 ο Εοµένως το ζητούµενο γινόµενο γράφετι: o ηµ0 o ηµ 0. συν0 ο συν0 ο συν80 ο o ηµ0 o ηµ 0 συν0 ο συν80 ο Όµως ηµ0 ο συν0 ο ηµ80 ο, οότε Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 79
συν0 ο συν0 ο συν80 ο o ηµ0 ηµ80 ο συν80 ο o ηµ80 συν80 o ηµ 0 o Είσης ηµ80 ο συν80 ο ηµ60 ο, οότε συν0 ο συν0 ο συν80 ο o ηµ60 o ηµ 0 o ηµ60 o 8ηµ 0 o ηµ0 o 8ηµ 0 8 Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 80
ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ I.. Ν εκφρστούν οι γωνίες: 5,75, 5,5 σε rad.. N εκφρστούν οι γωνίες:,, rad rad rad 5 σε µοίρες.. Ν υολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς ριθµούς των γωνιών: 70, 70, 50.. Ν υολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς ριθµούς των γωνιών: 5 rad, rad. 6 5. Αν ισχύει: < x<, δείξτε ότι: ηµ x συν x ηµ x συν x ηµ x εφ x< 0. Β, υολογίστε τις οξείες γωνίες του τριγώνου. ( Γ 6. Αν ( 7. είξτε ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: a βσυνγ γσυν B. 8. Στο διλνό σχήµ ν υολογιστεί το µήκος x. 9. Ν βρεθεί η µέγιστη κι ελάχιστη τιµή των ρστάσεων: A ηµ x, Β ηµθ συνω. ΙΙ. 0. Αν ηµ x κι < x<, ν βρεθούν οι άλλοι τριγωνοµετρικοί ριθµοί. 5 Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 8
. Αν σφ x κι 0< x<, ν βρεθούν οι άλλοι τριγωνοµετρικοί ριθµοί.. Αν εφ x κι < x<, ν υολογίσετε την τιµή της ράστσης 6 ηµ x A. ηµ x συν x. Ότν < x< κι ηµ x συν x B. 5συν x ηµ x ηµ x 7ηµ x 0, ν υολογίσετε την τιµή της ράστσης. Αν εφ a ν υολογίσετε τις τιµές των κλσµάτων: A ηµ συν συν ηµ a συν a ηµ aσυν a a a a, ηµ a B ηµ a συν a. ηµ x συν x 5. Ν οδειχθεί ότι: ηµ x συν x. σφx εφx 6. Ν οδειχθεί ότι: ηµ x συν yηµ y συν x ηµ x συν y. 7. Ν οδειχθεί ότι: συνθ ηµθ. ηµθ συνθ ηµθ 8. Αν ηµ x συν x a, ν υολογίσετε µε τη βοήθει του τις ρστάσεις: i. ηµ x συν x ii. ηµ x συν x ηµ x συν x iii. ηµ x συν x iv. ηµ x εφx συν x σφx εφx ηµ x συν x 9. είξτε ότι:. εφx ηµ xσυν x Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 8
0. είξτε ότι: ηµ x ηµ y συν x συν y συν xσυν y x, y R.. Αοδείξτε τις τυτότητες: i. ii. x x x x ηµ 7 ηµ x συν συν x εφ σφ σφθ εφθ ηµθ συνθ. N ειλυθούν ως ρος x οι εξισώσεις: x ηµθ συνθ 0 i. x ( ηµθ συνθ ii. x συνθ x ηµ θ συνθ 0. Aν 0< x< οδείξτε ότι: ηµ x συν x συν x.. Ν δείξετε ότι: ηµ a συν a. ηµ a συν a 5. Αν ν Ν κι εριττός ν οδείξετε ότι: ν εφ x εφx ν σφ x σφ x. ν 6. Αν 0< x, ν δείξετε ότι ηµ x ηµ x ηµ x συν x. ηµ x ηµ x συν x ηµ x ΙΙΙ. 7. Ν βρεθούν οι τριγωνοµετρικοί ριθµοί των γωνιών: 95, 00, 5. 6 8. Αν εφ5 λ, ν βρεθεί η τιµή της ράστσης: εφ55 εφ5 A εφ55 εφ5. Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 8
9. Αν σφ x κι ηµ ( x συν x A. συν x εφ( x ηµ x < x<, ν βρεθεί η τιµή της ράστσης: 0. Ν λοοιηθεί η ράστση: ηµ ( ω συν( ω εφ( ω σφ ω συν( 8 ω A. 7 συν ω ηµ ( ω εφ ω εφ ω. είξτε ότι 7 ηµ συν( 7 x ηµ x B συν x. συν 9 ηµ x. είξτε ότι: ( ( ( ( A ηµ 0 συν 80 ηµ 5 συν 75 ηµ 0 συν 70 ηµ 5 συν 5 0 5. Αν 0< x<, δείξτε ότι: συν x εφ( x > ηµ x.. Σε κάθε τρίγωνο AΒΓ, δείξτε ότι: i. εφα εφ( Β Γ 0 Α Β Γ ii. εφ εφ Α Β Γ iii. ηµ ηµ 5. N οδείξετε ότι: σφ x σφ( x 0< <. σφ( x σφ x Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 8
6. είξτε ότι: συν x συν x. 6 ΙV. 7. Ν γίνουν οι γρφικές ρστάσεις των συνρτήσεων: f( x ηµ x, f( x ηµ x, f( x συν x, f( x συν x, ότν 0 x 8. Ν γίνουν οι γρφικές ρστάσεις των συνρτήσεων: x x f( x ηµ x, f( x εφ, f( x συν,, ότν 0 x 9. Ν γίνουν οι γρφικές ρστάσεις των συνρτήσεων: g( x x, g( x x, g( x x συν συν συν, g( x συν x 6 0. Ν γίνουν οι γρφικές ρστάσεις των συνρτήσεων: f ( x εφ x, g( x x. V.. i. N βρείτε την ερίοδο της συνάρτησης f ( x x ηµ. ii. Ακολούθως ν βρείτε τη µέγιστη κι ελάχιστη τιµή της συνάρτησης κι γι οιες τιµές της µετβλητής x ρουσιάζοντι. iii. Ν βρείτε τ σηµεί τοµής της γρφικής ράστσης της f µε τον x x κι y y κι κάνετε γρφική ράστση. iv. Γράψτε τ διστήµτ όου η γρφική ράστση της f είνι «κάτω» ό την ευθεί y. Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 85
. Ν λυθούν οι εξισώσεις: i. συν x 0 ii. εφ x 0 0 iii. ( συν x ( ηµ x ηµ σφx 0 iv. ( x 0 v. ( εφx( σφx. Ν λυθούν οι εξισώσεις: i. ηµ x ηµ x 0 συν συν x ii. ( x iii. ηµ x 0 iv. σφ x x 0. N λυθούν οι εξισώσεις: i. ii. ηµ x συν x 5συν x 0 συν x ηµ x 0 iii. ηµ x συν x ηµ x συν x iv. 7 ηµ x ηµ x ηµ x 7 ηµ x 5 5 0 συν x 5. Ν λυθεί η εξίσωση: συν x στο διάστηµ,. 6. Ν λυθούν οι εξισώσεις στο διάστηµ [ ] 0, i. ηµ x συν x ii. ηµ x ηµ x Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 86
7. ηµ x 6 εφ x ηµ x ηµ x 8. ( 9. ηµ x ηµ x συν x 50. εφ x σφ x 0 5. ηµ x συν x συν x ηµ x 0, ν < x 5. 6ηµ x συν x συν x ηµ x 0 συν x 0 5. συν x ( 5. συν x συν x 8συν x 0 55. συν x ηµ x 0 ηµ x 56. σφx συν x 57. εφx εφ x, ότν x [ 0,] ηµ x συν x ηµ x συν x 58. ( ηµ x ηµ x συν x συν x 59. ( ( Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 87
60. ηµ x( εφx ηµ x( συν x ηµ x 6. i. ληµ x λ λ συν x λ ii. ( VΙ. x 6. Έστω η συνάρτηση f ( x συν : i. Ν βρείτε την µέγιστη κι την ελάχιστη τιµή της f. ii. Ν βρείτε την ερίοδο Τ της f. iii. Στο διάστηµ [0, Τ ] όου Τη ερίοδος της f i. Ν κάνετε τον ίνκ µετβολών της f ii. Ν κάνετε τη γρφική ράστση της f iii. Ν λύσετε γρφικά. την εξίσωση f ( x 0. την νίσωση f ( x > 0. την νίσωση f ( x < 0 6. Έστω η συνάρτηση f ( x γ ( ηµ ( β x, >, β >. Αν η γρφική ράστση της fδιέρχετι ό την ρχή των ξόνων, έχει µέγιστη τιµή το κι ερίοδο Τ i. Ν βρείτε τ, β, γ ii. Ν δείξετε ότι η f είνι εριττή. 005 iii. Ν υολογίσετε την ράστση : Α f ( f ( 00 00 6. Ν λύσετε τις εξισώσεις: ηµ x συν x β ηµ xσυν x 0 γ ηµ x συνx 0 δ ηµ x ηµ x Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 88
65. Ν λύσετε τις εξισώσεις: συν x 5ηµ x β εφ x εφx γ εφx ηµ x δ σφx συνx 66. Ν λύσετε τις εξισώσεις: ηµ x 5συν x β εφ x σφ x γ εφx συν x δ ηµ x συνx ε συν x ηµ x συνx 0 67. Ν λύσετε στο διάστηµ [0, τις εξισώσεις: ηµ x συνx συνx ηµ x β εφ x συν x γ ( ηµ x συνx ( ηµ xσυνx ηµ x 68. Ν λύσετε τις εξισώσεις: ( ηµ x συνx ηµ x συνx β ( ηµ x συνx ηµ x γ ηµ x συνx ηµ x ηµ x συνx 69. Ν λύσετε στο διάστηµ [0, τις εξισώσεις: συνx εφ x β συν x ηµ x ηµ x 70. Ν λύσετε τις εξισώσεις: ηµ ( ηµx 0 β συν ( συνx Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 89
7. Ν οδείξετε ότι: συν x συν ( 0 x συν (0 x 0 β συν ( β ηµ ( β ηµ συν ηµβ συνβ γ ( συν x ηµ x εφ( x συνx ηµ x σφ σφ δ σφ σφ σφ σφ 7. Αν β γ 90 ν οδειχθεί ότι: εφ εφβ εφβ εφγ εφγ εφ β σφ σφβ σφγ σφ σφβ σφγ 7. Αν β γ ν δείξετε ότι: εφγ εφεφβ εφ εφβ εφγ 7. 5 Αν ηµ µε 0< < κι συνβ µε < β < ν υολογίσετε τους 5 ριθµούς ηµ ( β κι εφ ( β. 75. 5 Αν εφ µε 0< < υολογίστε το ηµ κι το συν. 76. Αν εφ κι εφβ µε, β (0, ν οδειχθεί ότι. β 77. Ν οδειχθεί ότι: i. ηµ ( β ηµ ( β εφ συν ( β συν ( β ii. συν συνβ συν ( β συν ( β ηµ ηµβ εφ εφβ Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 90
78. Ν οδειχθεί ότι: i. ii. συν ( 5 συν (5 ηµ εφ(5 συν ηµ συν ηµ σφ εφβ ηµ ( β iii. σφ εφβ ηµ ( β συν ( β iv. ηµ ( β ηµ ( β σφ εφβ 79. Ν οδειχθεί ότι: i. ( συν ηµ( συν ηµ συν συν ii. εφ εφ ηµ εφ εφ ηµ iii. συν ( β συν ( β συν συν β ( συν συνβ 80. Ν οδειχθεί ότι: ηµσυνβ ηµ ( β i. εφ( β συν ( β ηµηµβ ii. συν συν (5 ηµ (5 ο ο ηµ 8. Ν οδειχθεί ότι: i. συν συν (60 ο ( συν 60 ο ο ο ii. ηµ ηµ (60 ηµ (60 Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 9
8. Ν οδειχθεί ότι: i. συν ( β συν ( β συν ( β συν ( β εφεφβ ii. ηµ ( β ηµ ( β ηµ ( β ηµ ( β εφσφβ 8. Αν εφ, εφβ µε, β (0, ν οδειχθεί ότι: β 8. Αν β 5 ν οδειχθεί ότι : σφσφβ ( σφ( σφβ 85. Αν συν ( β 0 ν οδειχθεί ότι : ηµ ( β συνβ ή συνβ 86. Αν β γ ν οδειχθεί ότι: σφ σφβ σφγ σφ σφβ σφγ 87. Αν β γ ν οδειχθεί ότι: εφ εφβ εφβ εφγ εφγ εφ 88. Ν λύσετε τις εξισώσεις: i. συν ( x συν ( x 89. ο ο ο ii. ηµ ( x 60 συν ( x 60 συν ( x 60 iii. ηµ ( x 6συνx ηµ ( x, µε x [ 0, Ν λυθεί η εξίσωση εφ ( x σφx στο διάστηµ 0, 90. Ν λυθεί η εξίσωση : εφ( x 0 ότν εφ. 9. Ν λυθεί η εξίσωση : 9συν ( x a συν ( x ότν 5 εφ Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 9
9. Ν λύσετε τις εξισώσεις: i. συν x ηµ συν ηµ x ii. συν x συνx ηµ x ηµ x 9. Αφού δείξετε ότι : ηµ ( 8 συν ( 8 ν υολογίσετε : το ηµ 8 β το συν 8 γ το ηµ 6 9. Αν συνθ κι < θ < ν υολογιστούν το ηµθ κι η εφ θ 95. Αν συν x 5συνx 0 ν υολογιστούν το ηµ x κι το συν x. 96. συν Ν οδειχθεί ότι : ηµ θ συν θ θ 97. Ν δείξετε ότι: εφ( εφ( εφ ηµ θ συν θ β εφθ ηµ θ συν θ γ συν συν σφ ηµ ηµ σφ( σφ δ ηµ ( σφ 98. Ν δείξετε ότι: ηµ ( x y συν ( x y ( ηµ x συνx( συνyηµ y 99. Αν β κι εφ ν βρεθεί η εφβ. 00. Αν x y κι 60 εφ y ν βρεθεί η εφ x 5 Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 9
0. Αν x, y (0,, εφx - κι εφ y ν δείξετε ότι: x y 0. Αν 0 < ω, x yω 5 x < κι < y< 0, εφω, εφx κι εφ y τότε 5 0. Ν δείξετε ότι η ράστση: συν x συν συνx συν ( x συν ( x είνι νεξάρτητη του x. 0. Ν δείξετε ότι : συν ( 5 x συν (5 y ηµ (5 x ηµ (5 y ηµ ( x y 05. Ν δείξετε ότι : συν ( β συν ( β συν συν β 06. 07. Ν δείξετε ότι η ράστση συν x συν ( x συν ( x είνι νεξάρτητη του x. Αν Α, Β, Γ γωνίες τριγώνου, εφ Α κι εφ Β, ν δείξετε ότι Γ 5. 08. Αν ηµ x ηµ y κκι συν x συνy λ, τότε: ν δείξετε ότι κ συν ( x y λ β γι κ κι λ ν βρείτε το άθροισµ x y. 09. Αν συν ( β συνσυνβ τότε ( ( ηµβ ηµ β ηµ 0. Αν < y < κι 5ηµ y 5ηµ y 0 ν υολογιστούν οι τριγωνοµετρικοί ριθµοί ηµ y κι συν y.. Ν δείξετε ότι : ηµ ηµ εφ συν συν Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 9
. Ν δείξετε ότι : ηµ συν εφ συν συν. σφ συν Ν δείξετε ότι : σφ ηµ. 5 Ν δείξετε ότι : ηµ ηµ ηµ ηµ 6 6 6 7 6 5. Αν ηµ x συνx, ν βρεθεί το ηµ x κι ν δειχθεί ότι : 6. β Ν δείξετε ότι: ( ηµ ηµβ ( συν συνβ συν ( 7. Αν συν κι (0, ν υολογίσετε: ηµ β ηµ γ συν δ εφ 8. 5 Αν ηµ κι 90 < 80 συν β ηµ γ < υολογίστε: συν δ εφ 9. Αν εφ κι 0 < 90 < ν υολογίσετε την τιµή της ράστσης: Ε ηµ συν ηµ 5συν 0. Αν ηµ συν 7 κι 0< < ν υολογίσετε: ηµ β συν γ εφ δ σφ Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 95
. Ν οδειχθεί ότι: ηµ σφ συν σφεφ β συν σφ εφ γ σφ εφ σφ δ συν 8ηµ συν ε ζ συν εφ στ συν ηµ συν ηµ εφ συν συν ηµ εφ ηµ. Ν οδειχθεί ότι: εφ( 5 εφ(5 εφ β εφ( 5 εφ(5 συν γ ηµ ( β ηµ ( β ηµ ηµ β δ σφ(5 συν ηµ συν ηµ. Ν οδειχθεί ότι: εφ εφ( εφ εφ εφ β συν (5 ηµ (5 ηµ. Ν οδειχθεί ότι: συν συν σφ ηµ ηµ ηµ ηµ β εφ συν συν συν ηµ γ συν ηµ συν Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 96
5. Ν οδειχθεί ότι: σφ(5 συν ηµ ο εφ (5 β ηµ ο εφ (5 6. Ν οδειχθεί ότι: ηµ ηµ εφ ηµ ηµ συν ηµ β εφ συν ηµ 7. Ν οδειχθεί ότι: σφ συν β συν σφ ηµ εφ εφ γ ( συν ηµ ηµ δ ηµ ( σφ εφ συν 8. Ν οδειχθεί ότι: ηµ συν ηµ συν συν ηµ β ηµ ηµ συν συν συν ηµ ηµ γ συν ηµ συν συν δ ηµ ηµ ηµ 9. Ν οδειχθεί ότι: ηµ( ηµ ηµβ συν ( συν συνβ συν ( β 0. Ν οδειχθεί ότι: 6 6 ηµ συν ηµ β συν ( β συν ( β συν συν β. ηµ συν συν Ν οδειχθεί ότι: εφ συν συν συν Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 97
. Ν οδειχθεί ότι: συν ηµ συν ηµ εφ συν ηµ συν ηµ β συν 8συν 8συν. Ν οδειχθεί ότι: ηµ ω ηµ 6 συνω β 6συν συν συν συν8 ηµω ηµ. Αν ( 0, ] ν οδειχθεί ότι: ( συν συν 0 Λύκειο Μελισσίων Ελληνική Πιδεί σελ. 98