Για κάθε συντηρητικό πεδίο

Τοµέας Τοπογραφίας, Εργ. Ανώτερης Γεωδαισίας Εισαγωγή στο γήινο πεδίο (Αρχές της Φυσικής Γεωδαισίας) ιδάσκοντες ηµήτρης εληκαράογλου Παρασκευάς Μήλας Γεράσιµος Μανουσάκης Σύνδεση µε τα προηγούµενα... Ένα διανυσµατικό πεδίο µέσα στο οποίο το έργο W που παράγεται από τις ασκούµενες δυνάµεις F σε ένα υπόθεµα είναι ανεξάρτητο της διαδροµής αποκαλείται συντηρητικό πεδίο δυνάµεων 1ος τρόπος χαρακτηρισµού ενός πεδίου ως συντηρητικού... τέτοια ώστε να ισχύει... Να βρούµε µια βαθµωτή συνάρτηση W 7ο εξάµηνο, Ακαδ. Έτος 2016-17 1ος τρόπος χαρακτηρισµού ενός πεδίου ως συντηρητικού... και τελικά πράγµατι ισχύει... ΑκαιΒ... ταακραίασηµείατηςδιαδροµής 2ος τρόπος χαρακτηρισµού ενός πεδίου ως συντηρητικού... και αν το πεδίο είναι αστρόβιλο είναι και συντηρητικό Για κάθε συντηρητικό πεδίο Αν η ασκούµενη δύναµη F (όπως η βαρυτική) παράγει έργο W συνεπάγεται µια αλλαγή της δυναµικής ενέργειας, ίση µε W Αν θεωρήσουµε µια συνάρτηση V(x,y,z) = -W(x,y,z), ή αλλιώς W = - V, τότε η βαθµωτή συνάρτηση V αποκαλείται συνάρτηση δυναµικού της F Συνεπώς, F = - V Το ελκτικό δυναµικό του γήινου πεδίου Κάθε πεδίο (στη Γη ή στους άλλους πλανήτες) ικανοποιεί την εξίσωση Laplace στον εξωτερικό χώρο του έλκοντος σώµατος από υλικό πυκνότητας ρ. ηλαδή, εάν V=V outside είναι το ελκτικό δυναµικό στον άδειο χώρο έξω από τη συνοριακή επιφάνεια του σώµατος, όπου εκεί ρ=0, ισχύει η εξίσωση του Laplace 2 V = 0 ή F = V = 0 Piee-Simon Laplace (1749 1827) Τελεστής Laplace Το ελκτικό δυναµικό του γήινου πεδίου Στην περίπτωση που το σηµείο ενδιαφέροντος είναι στην επιφάνεια ή στο εσωτερικό της Γης, τότε ικανοποιείται αντίστοιχα η εξίσωση Poisson που εξαρτάται από την πυκνότητα ρ του υλικού της Γης. ηλαδή, εάν V=V inside είναι το ελκτικό δυναµικό στον εσωτερικό χώρο της επιφάνεια του σώµατος, όπου ρ 0, τότε ισχύει 2 V = F = V = - 4π G ρ Siméon Denis Poisson (1781-1840) Η εξίσωση Laplace Εξ ορισµού οι λύσεις της είτε αυτή εκφράζεται σε καρτεσιανές συντεταγµένες είτε σε σφαιρικές συντεταγµένες είναι αρµονικές συναρτήσεις

Λίγα λόγια για τις αρµονικές συναρτήσεις Με µαθηµατικούς όρους Μια βαθµωτή συνάρτηση u που είναι συνεχής σε κάποιο χώρο (ανοικτό σύνολο) Ω, και έχει συνεχείς παραγώγους 1ης και 2ης τάξης στο χώρο Ω (και συνεπώς µπορούν να αναπτυχθούν σε σειρές ), και είναι λύση της διαφορικής εξίσωσης του Laplace ΚΑΛΕΙΤΑΙ αρµονική συνάρτηση Επιπλέον µια αρµονική συνάρτηση καλείται κανονική στο άπειρο όταν για, το όριο lim V υπάρχει, και τα ακόλουθα όρια είναι πεπερασµένα Το ελκτικό δυναµικό της Γης αποτελεί µια τέτοια αρµονική συνάρτηση στο χώρο έξω από τη γήινη επιφάνεια M (0,0,0) m (x,y,z) π.χ.,., Η λύση m (x,y,z) M (0,0,0) π.χ.,., Η λύση Όπως και το ελκτικό δυναµικό γύρω από µια σηµειακή µάζα αποτελεί µια τέτοια αρµονική συνάρτηση... Ησυνάρτηση 1/ = [ x 2 +y 2 +z 2 ] 1/2 είναι κανονικήστοάπειρο, όπως είναι και οι συναρτήσεις δυναµικού συνεχούς κατανοµής µάζας στο χώρο, και το δυναµικό απλού στρώµατος κελύφους Αρχή της µέγιστης τιµής (Maximum pinciple): ιατηρούν τη µέγιστη και τη ελάχιστη τιµή τους στο σύνορο οποιασδήποτε κλειστής περιοχής Β Ε Αν u είναι µια αρµονική (και µη σταθερή) συνάρτηση σε φραγµένο τόπο E και συνεχής στο σύνορο E, όπου E είναι µια κλειστή τµηµατικά λεία περιοχή, τότε η u παίρνει τις ακρότατες τιµές της (µέγιστες ή ελάχιστες) πάνω στο σύνορο E του πεδίου ορισµού τους, εκτός εάν η ελάχιστη τιµή είναι το 0. Αν ο χώρος E είναι συνδεδεµένος ή συνεκτικός (connected), αυτό σηµαίνει ότι η u δεν µπορεί να έχει µη µηδενικά τοπικά µέγιστα ή ελάχιστα, εκτός από την περίπτωση όπου η u είναι σταθερή. Ιδιότητα της µέσης τιµής (The mean value popety): για µια συνάρτηση αρµονική u στο εσωτερικό µιας σφαίρας, ητιµήτηςστο κέντρο της σφαίρας είναι ίσηµετηµέσητιµήόλων τωντιµώντης uστην επιφάνεια της σφαίρας (που επίσης είναι ίδια µε τηµέσητιµήτης uστο εσωτερικό της σφαίρας). Regulaity theoem: Ικανοποιούν το θεώρηµα της κανονικότητας, δηλαδή είναι παραγωγίσιµες, µε παραγώγους οποιασδήποτε τάξης, και όχι όλες µηδέν σε οποιοδήποτε σηµείο της περιοχής Ε είναι πραγµατικές αναλυτικές συναρτήσεις, δηλ. µπορούν να αναπτυχθούν (τοπικά) σε σειρές Αρχή της υπέρθεσης: ο γραµµικός συνδυασµός οποιωνδήποτε λύσεων της εξίσωσης Laplace είναι επίσης λύση της εξίσωσης Ιδιότητα της αντιστροφής: εάν u() είναι αρµονική στο εσωτερικό µιας µοναδιαίας σφαίρας η u()/ είναι αρµονική στο εξωτερικό της ίδιας µοναδιαίας σφαίρας Αρχή του Diichlet: οι τιµές τους στη συνοριακή επιφάνεια, προσδιορίζουν µια και µόνο µια αρµονική συνάρτηση στο εσωτερικό της συνοριακής επιφάνειας Αν µια συνάρτηση u είναι λύση της εξίσωσης Poisson u + f = 0 (θυµηθείτε ότι για το ελκτικό δυναµικό της στο εσωτερικό της Γης ισχύει V=- 4πGρ), στο χώρο Ω, µε συγκεκριµένες τιµές στο σύνορο Ω η συνάρτηση u µπορεί να υπολογιστεί από τη λεγόµενη σχέση ενέργειας του Diichlet Αρµονικές συναρτήσεις & το πεδίο Όπωςείδαµεήδη, τοδυναµικό ενός στερεού σώµατος (όπως ηγη) είναιµιααρµονική συνάρτηση στην περιοχή του χώρου, έξω από την επιφάνεια του εκείδηλαδήπουδεν υπάρχουν µάζες Στηνπεριοχήαυτή, το δυναµικό V, ικανοποιεί παντού την εξίσωση Laplace Για, V 0

Μετρήσεις Αρµονικές συναρτήσεις & το πεδίο Στο εσωτερικό του σώµατος, το δυναµικό V δεν είναι αρµονική συνάρτηση, γιατί η συνάρτηση 1/ γίνεται αόριστη για 0, δηλαδή για στοιχειώδη µάζα στο σηµείο υπολογισµού τα λεγόµενα ιδιόµορφα σηµεία (singula points) Επισηµαίνεται ότι δεν υπάρχει συνάρτηση που να είναι αρµονική σε όλες τις περιοχές του χώρου Πάντα υπάρχει τουλάχιστον ένα ιδιόµορφο σηµείο (πέρα από την τετριµµένη περίπτωση V 0) ή γενικότερα µια περιοχή τέτοιων σηµείων π.χ., για ένα στερεό σώµα, η επιφάνεια του είναι το σύνορο S που ορίζει το χώρο αρµονικότητας από το χώρο µη-αρµονικότητας Υπάρχουν τρεις τύποι τέτοιων Γ.Σ.Π. για την εύρεση µιας λύσης V για την εξίσωση Laplace V = 0 Είναι εξαιρετικά πολύπλοκα προβλήµατα για να ασχοληθούµε µε αυτά σε βάθος σήµερα. Συµβουλευτείτε τις σηµειώσεις για µια γενική ιδέα. Πρόβληµα του Diichlet Επιδιώκεται να λυθεί η εξίσωση Laplace V=0 γνωρίζοντας τις τιµές V() στην επιφάνεια της Γης Η λύση είναι µια κανονική αρµονική συνάρτηση V που προσδιορίζεται από την εξίσωση Laplace σε καρτεσιανές συντεταγµένες, ή σφαιρικές συντεταγµένες Οδηγεί στον προσδιορισµό των πλέον χρήσιµων συναρτήσεων στη Φυσική Γεωδαισία, των λεγόµενων σφαιρικών αρµονικών Η διατύπωση αυτή οφείλεται στο Ρώσο γεωδαίτη Mikhail S. Molodensky (1909-1991), σύµφωνα µε τον οποίο η λύση του προβλήµατος προϋποθέτει ότι το δυναµικό και η ένταση της είναι γνωστά πάνω στη γήινη επιφάνεια. Όλα τα απαραίτητα δεδοµένα που απαιτεί το πρόβληµα µπορούν να προκύψουν από γεωδαιτικές µετρήσεις (χωροστάθµησης,, διευθύνσεων της κατακορύφου, ) 1o γεωδαιτικό συνοριακό πρόβληµα Συνοριακά προβλήµατα εάν σε κάθε σηµείο της δίνονται το δυναµικό και η ένταση της Ασχολούνται µε τον προσδιορισµό κανονικών αρµονικών συναρτήσεων V (του γήινου δυναµικού) ως λύσεων της εξίσωσης Laplace, όπου επιπλέον η συνάρτηση V θα πρέπει να πληροί ορισµένες αρχικές τιµές ή συνοριακές συνθήκες στη συνοριακή επιφάνεια, οι οποίες απαιτούνται για την επίλυση της εξίσωσης Laplace Από τη σκοπιά της Φυσικής Γεωδαισία, το γεωδαιτικό συνοριακό πρόβληµα µπορεί να διατυπωθεί απλά ως εξής: Να οριστεί η φυσική επιφάνεια της Γης S, bounday value poblems) Γεωδαιτικά συνοριακά προβλήµατα Στη Φυσική Γεωδαισία, τα προβλήµατα που επιδιώκουν να προσδιορίσουν τη συνάρτηση του γήινου δυναµικού σε κάθε σηµείο στο χώρο, από µετρήσεις στην ή κοντά στην επιφάνεια της Γης, αποκαλούνται Γεωδαιτικά Συνοριακά Προβλήµατα (geodetic Για να αξιοποιηθούν οι κάθε τύπου µετρήσεις στον υπολογισµό του γήινου πεδίου απαιτείται µε κατάλληλες διαδικασίες οι µετρήσεις αυτές να ανάγονται στη φυσική γήινη επιφάνεια και στο γεωειδές Γεωδαιτικά συνοριακά προβλήµατα Στη Μαθηµατικά, τα προβλήµατα που επιδιώκουν να προσδιορίσουν µια συνάρτηση στο χώρο, από τιµές της ίδιας της συνάρτησης ή των παραγώγων της σε µια συνοριακή επιφάνεια, αποκαλούνται Συνοριακά Προβλήµατα Αυτά αποτελούνται από µια διαφορική εξίσωση και τις αρχικές τιµές ή συνοριακές συνθήκες που απαιτούνται για την επίλυση της Συνοριακά προβλήµατα Μετρήσεις Συνοριακά προβλήµατα Στη φυσική Γεωδαισία, ένα από τα βασικότερα προβλήµατα είναι να προσδιοριστεί το πεδίο στον εξωτερικό χώρο της γήινης επιφάνειας από µετρήσεις (και άλλα συναφή µε το πεδίο µεγέθη) που εκτελούνται είτε στην επιφάνεια της Γης ή σε ορισµένο ύψος από αυτή 2o γεωδαιτικό συνοριακό πρόβληµα Η συνοριακή συνθήκη ερµηνεύεται ως η συνάρτηση V να παίρνει τις τιµές της προσεγγίζοντας την επιφάνεια από µέσα ή από έξω Συνοριακές συνθήκες του Newmann Επιδιώκεται να λυθεί η εξίσωση Laplace V=0 γνωρίζοντας όχι τις τιµές V() στην επιφάνεια της Γης, αλλά τις παραγώγους του γήινου δυναµικού κατά µήκος της καθέτου σε κάθε σηµείο της γήινης επιφάνειας Για να υπάρχει λύση της εξίσωσης Laplace, η ροή της κλίσης του V πρέπει είναι µηδέν σε όλη τη γήινη επιφάνεια, δηλαδή πρέπει να ισχύει Cal Gottfied Neumann (1832 1925)

3 o γεωδαιτικό συνοριακό πρόβληµα Βασίζονται στις συνοριακές συνθήκες του Robin (Victo Gustave Robin, 1855-1897) Επιδιώκεται να λυθεί η εξίσωση Laplace V=0 γνωρίζοντας όχι µόνο τις τιµές V() στην επιφάνεια της Γης, αλλά και τις παραγώγους του γήινου δυναµικού κατά µήκος της καθέτου σε κάθε σηµείο της γήινης επιφάνειας δηλαδή από γνωστές τιµές της συνοριακής συνθήκης Μικτό συνοριακό πρόβληµα: για c 1 =0 ή c 2 =0 το 1 ο ή 2 ο γεωδαιτικό συνοριακό πρόβληµα Τα γεωδαιτικά συνοριακά προβλήµατα Τα προαναφερόµενα συνοριακά προβλήµατα και οι λύσεις τους αποκτούν ιδιαίτερη σηµασία για τη Φυσική Γεωδαισία, αν ταυτίσουµε το στερεό σώµα µε τη Γη και το σύνορο αρµονικότητας µε την επιφάνεια της που διαχωρίζει τις έλκουσες µάζες από τον κενό εξωτερικό χώρο. Σε όλα τα Γ.Σ.Π., ο επιδιωκόµενος σκοπός είναι να προσδιοριστεί το δυναµικό της Γης που είναι αρµονικό στον εξωτερικό χώρο. Απλά σε κάθε πρόβληµα, διαφέρουν τα χρησιµοποιούµενα δεδοµένα Το σηµαντικό (που αποδεικνύεται και µε µαθηµατικό τρόπο) είναι ότι τα Γ.Σ.Π. επιδέχονται µοναδικές λύσεις Τι γίνεται µε τον υπολογισµό της εσωτερικής κατανοµής των µαζών ; Ο προσδιορισµός του δυναµικού δεν αρκεί για να προσδιοριστεί η εσωτερική κατανοµή των µαζών που το προκαλούν. Υπάρχουν άπειρες τέτοιες κατανοµές που δηµιουργούν το ίδιο εσωτερικό δυναµικό Από µια συγκεκριµένη κατανοµή µπορούµε να υπολογίσουµε το δυναµικό. Αλλά αν γνωρίζουµε το δυναµικό χρειάζονται και άλλα στοιχεία (π.χ. γεωλογικές πληροφορίες, σεισµολογικά δεδοµένα, ) για τον προσδιορισµό των µαζών Το αντίστροφο αυτό πρόβληµα αποτελεί αντικείµενο της Γεωφυσικής (π.χ. για την ανεύρεση κοιτασµάτων οικονοµικού ενδιαφέροντος) Πως υπολογίζουµε το δυναµικό µιας σφαιρικής Γης z λ θ y Ως αρχική προσέγγιση υποτίθεται ότι η Γη είναι σφαιρική µε οµοιόµορφή ή ακτινικά συµµετρική κατανοµή της πυκνότητας της Το Γήινο δυναµικό έλξης Οι σφαιρικές συντεταγµένες χρησιµοποιούνται σε όλες τις σφαιρικές προσεγγίσεις του πεδίου επειδή µε τη χρήση τους απλουστεύονται αλλιώς πολύπλοκες σχέσεις Μια τέτοια περίπτωση είναι στη µεθοδολογία ανάπτυξης του ελκτικού γήινου δυναµικού σε αριθµοσειρές Σε αυτή την περίπτωση είναι απαραίτητο να επιλυθεί η εξίσωση Laplace σε σφαιρικές συντεταγµένες Τελεστής Laplace σε γενικές καµπυλόγραµµες συντεταγµένες Για βαθµωτή συνάρτηση u, ο τελεστής του Laplace (Laplacian opeato) είδαµε ότι δίνεται ως x = x y z = sinθ cosλ sinθ sinλ cosθ Η λύση της εξίσωσης Laplace επιζητείται σε σφαιρικές συντεταγµένες V = 2 V = ( 2 V/ 2 )+( 2 V / θ 2 )+( 2 V/ λ 2 ) = 0 Χρησιµοποιώντας την έκφραση του τελεστή Laplace σε σφαιρικές συντεταγµένες η αντίστοιχη µορφή της εξίσωσης Laplace σε σφαιρικές συντεταγµένες Όπου q 1, q 2, q 3 είναι οι καµπυλόγραµµες συντεταγµένες, και h 1, h 2, h 3 είναι οι συντελεστές κλίµακας Τελεστής Laplace σε γενικές καµπυλόγραµµες συντεταγµένες ή σε πιο συνεπτυγµένη µορφή Ο τελεστής Laplace σε καρτεσιανές συντεταγµένες (x,y,z) Για τη µετατροπή σε σφαιρικές συντεταγµένες (,,θ,λ) ή ακόµα πιο απλά όπου η άθροιση ως προς τους δείκτες i υπονοείται

Ο τελεστής Laplace σε σφαιρικές συντεταγµένες (,,θ,λ) Η έκφραση της εξίσωσης Laplace σε σφαιρικές συντεταγµένες είναι Είναι της µορφής µιας κλασσικής µερικής διαφορικής εξίσωσης. Πολυπλοκότερη επίλυση µπορεί να γίνει µέσω των λεγόµενων συναρτήσεων του Geen Συνήθως όµως επιζητείται η λύση µέσω αριθµοσειρών αρµονικών συναρτήσεων Σε σφαιρικές συντεταγµένες, το πρόβληµα επιλύεται µε τη µέθοδο διαχωρισµού των µεταβλητών, ως προς τις συντεταγµένες = ακτίνα, λ = γεωκεντρικό µήκος and θ = συµπλήρωµα του γεωκεντρικού πλάτους (πολική απόσταση) x Επίλυση τριών δ.ε. και γραµµικό συνδυασµό των επιµέρους λύσεων τους σε µια γενική λύση Εφαρµογή των συνοριακών συνθηκών (απόρριψη ασυµβίβαστων λύσεων) και µορφοποίηση τελικής λύσης z λ θ y ιαµόρφωση της εξίσωσης Laplace ως το γινόµενο τριών ανεξάρτητων συναρτήσεων Αρχικά θεωρούµε V (, θ, λ) = f ( ) Y( θ, λ) και η εξίσωση Laplace µετασχηµατίζεται, από την αρχική µορφή στη µορφή Παρατηρούµε ότι Το αριστερό σκέλος είναι µόνο συνάρτηση του Το δεξιό εξαρτάται µόνο από τα θ και λ Συνεπώς το κάθε σκέλος πρέπει να είναι σταθερό, καταλήγοντας έτσι στις δύο εξισώσεις όπου η f είναι συνάρτηση µόνο του διανύσµατος θέσης, και η συνάρτηση Υ συνάρτηση µόνο των θ και λ. όπου οι συµβολισµοί και δηλώνουν τις παραγώγους της συνάρτησης ως προς τη µεταβλητή εξάρτησης τους όπου ο όρος n(n+1) παίζει το ρόλο αυθαίρετης σταθεράς Η λύση για τη συνάρτηση f ύο τύποι λύσεων της εξίσωσης Eule Radial base functions f()= n ή f()= (n+1) ανάλογα µε το εάν το σηµείο ενδιαφέροντος είναι στην επιφάνεια ή στο εσωτερικό της σφαιρικής επιφάνειας, ή στον εξωτερικό χώρο αντίστοιχα. O βαθµός n είναι ακέραιος αριθµός, n=0,1,2,... Συνεπώς, έχουµε δύο αντίστοιχες λύσεις της εξ. Laplace Η λύση για τη συνάρτηση f Από τις δύο αντίστοιχες λύσεις της εξ. Laplace... και επειδή όταν µια διαφορική εξίσωση είναι γραµµική, και έχουµε πολλές λύσεις της ο γραµµικός συνδυασµός των επιµέρους λύσεων θα είναι και λύση της διαφορικής εξίσωσης Συνεπώς οι λύσεις Οι λύσεις για τις συναρτήσεις h, g Αντικαθιστώντας τις συναρτήσεις g και h στην εξίσωση Συνάγεται η ακόλουθη σχέση, όπου το αριστερό σκέλος είναι συνάρτηση µόνο της g(θ), και το δεξιό µόνο της συνάρτηση h(λ) Άγνωστη ακόµα συνάρτηση είναι και αυτές λύσεις της εξίσωσης Laplace για το γήινο ελκτικό δυναµικό της... Άρα το κάθε σκέλος θα πρέπει να είναι σταθερό

Οι λύσεις για τις συναρτήσεις h, g Ας δούµε ξεχωριστά κάθε σκέλος στην εξίσωση Από το δεξιό σκέλος προκύπτει... Η συνάρτηση h(λ) είναι της µορφής h(λ) ) = e im λ h(λ) ) = sin(mλ) ή h(λ) ) = cos(mλ) όπου η τάξη m = 0,1,2,3,, n (όπου θα δούµε αµέσως µετά, n είναι ο βαθµός που σχετίζεται µε τη µορφή της συνάρτησης g(θ) Η συνάρτηση g(θ) είναι πιο πολύπλοκη Οι λύσεις για τις συναρτήσεις h, g Το αριστερό σκέλος της διαφορικής εξίσωσης που εξαρτάται από το θ αποκαλείται χαρακτηριστική δ.ε. των συναρτήσεων Legende, δεδοµένου ότι παράγει λύσεις της µορφής g(θ) ) = P nm nm (cosθ) και g(θ) ) = Q nm nm (cosθ) Συναρτήσεις 1ου είδους Legende 2ου είδους Οι συναρτήσεις Legende 1 ου είδους έχουν φυσική σηµασία Oι συναρτήσεις Legende 2 ου είδους δεν είναι αποδεκτές λύσεις, δεδοµένου ότι παίρνουν απειροστή τιµή στους πόλους της γήινης σφαίρας Η συνάρτηση g(θ) Η λύση της αποτελείται από πολυώνυµα Legende και προσαρτηµένες συναρτήσεις Legende Μια γνώριµη εφαρµογή: τα πολυώνυµα Legende είναι ορθογώνιες συναρτήσεις, που µπορούν να εκφράσουν µια συνάρτηση ως το άθροισµα επιµέρους συναρτήσεων. f ( x) = a P ( x) + a P ( x) + K. a P ( x) 0 0 1 1 + n n Οι συναρτήσεις Υ n (θ,λ) = g(θ) h(λ) Χρησιµοποιώντας µόνο τις συναρτήσεις Legende 1 ου είδους οι συναρτήσεις Υ(θ,λ) παίρνουν τη µορφή Ονοµάζονται επιφανειακές σφαιρικές αρµονικές συναρτήσεις, και οποιοσδήποτε γραµµικός συνδυασµός τους είναι επίσης λύσεις των αντιστοίχων επιφανειακών σφαιρικών αρµονικών συναρτήσεων της εξίσωσης Laplace, π.χ. Η τελική λύση για το δυναµικό V(,θ,λ) = f() Υ n (θ,λ) Για κάθε αρµονική συνάρτηση στο εσωτερικό σφαίρας Για κάθε αρµονική συνάρτηση στο εξωτερικό σφαίρας Αυτή είναι και η µορφή που χρησιµοποιείται για το γήινο ελκτικό δυναµικό Σηµασία των επιφανειακών αρµονικών συναρτήσεων Επιφανειακές Επιφανειακές αρµονικές τύπου C αρµονικές τύπου S Είναι συναρτήσεις των γωνιών θέσης (θ,λ) του εκάστοτε σηµείου υπολογισµού. ιακρίνονται σε τρεις κατηγορίες που αντιστοιχούν στον τρόπο που απεικονίζονται στην επιφάνεια της σφαίρας m = 0 Επιφανειακές αρµονικές ζώνης m = n Επιφανειακές αρµονικές τοµέα m 0 & m n τραπεζοειδείς επιφανειακές αρµονικές συναρτήσεις ΖΩΝΗΣ συναρτήσεις ΖΩΝΗΣ συναρτήσεις ΖΩΝΗΣ Οι ε.σ. αρµονικές µηδενικής τάξης (m=0) ταυτίζονται µε τα πολυώνυµα Legende Είναι ανεξάρτητες από το γεωγραφικό µήκος λ n=5, m=0 n=6, m=0 Αλλάζουν n φορές πρόσηµο στο πεδίο ορισµού τους (δηλ. έχουν n ρίζες) ιαιρούν τη σφαίρα σε ζώνες (αρµονικές ζωνών)

Οι ε.σ. αρµονικές για m=n διαιρούν τη σφαίρα σε τοµείς µε θετικές και αρνητικές τιµές (τοµεοειδείς αρµονικές) Sectoial hamonics n=?, m=? n=4, m=4 n=5, m=5 Επιφανειακές σφαιρικές ΤΕΣΣΕΡΟΕΙ ΕΙΣ αρµονικές συναρτήσεις Επιφανειακές σφαιρικές ΤΕΣΣΕΡΟΕΙ ΕΙΣ αρµονικές συναρτήσεις Οι ε.σ. αρµονικές για m n και m 0 αλλάζουν n-m φορές πρόσηµο στο διάστηµα 0 θ π Οι συναρτήσεις cosmλ και sinmλ έχουν 2m ρίζες στο διάστηµα 0 λ 2π διαιρούν τη σφαίρα σε τραπέζια µε θετικές και αρνητικές τιµές (τραπεζοειδείς ή τεσσεροειδείς αρµονικές, Tesseal hamonics) n=?, m=? n=6, m=1 n=6, m=2 Επιφανειακές σφαιρικές ΤΕΣΣΕΡΟΕΙ ΕΙΣ αρµονικές συναρτήσεις n=6, m=3 Στη συνέχεια... Μένει να δούµε πως ορίζονται οι αρµονικοί συντελεστές a nm και b nm στο ανάπτυγµα του γήινου δυναµικού σε σφαιρικές αρµονικές από ποιες ιδιότητες της Γης εξαρτώνται, και εάν έχουν φυσική σηµασία Πραγµατικό (ελκτικό + φυγόκεντρο) δυναµικό της Κανονικό πεδίο ιαταρακτικό δυναµικό της