Τίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις Ενότητα: Γεννήτρια συνάρτηση των συναρτήσεων Bessel Όνομα Καθηγήτριας: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
Ενότητα 4 7 Γεννήτρια Συνάρτηση των συναρτήσεων Bessel Η γεννήτρια συνάρτηση των συναρτήσεων Bessel J n (z), n =, ±1, ±,..., είναι µια συνάρτηση δύο µεταβλητών z και t, f(z, t), και είναι τέτοια ώστε οι συναρτήσεις J n (z) να είναι οι συντελεστές του t n στο ανάπτυγµα της συνάρτησης f(z, t) σε σειρά Laurent, δηλαδή : f(z, t) = J n (z)t n η οποία συγκλίνει απολύτως για < t <. Πρόταση 7.1: Να δειχθεί ότι η γεννήτρια συνάρτηση των συναρτήσεων Bessel είναι : ( ) f(z, t) = e z t 1 t = J n (z)t n. (7.1) Απόδειξη. Θα ϐρούµε τη γεννήτρια συνάρτηση f(z, t) χρησιµοποιώνταςτην αναδροµική σχέση τριών όρων για την J n (z), δηλαδή : J n 1 (z) + J n+1 (z) = n z J n(z). (7.) Πολλαπλασιάζουµε τη σχέση αυτή µε t n και αθροίζουµε ως προς n από έως, οπότε : J n 1 (z)t n + J n+1 (z)t n n = z J n(z)t n. (7.3) Προκειµένου να χρησιµοποιήσουµε την ισότητα f(z, t) = f(z, t) t γράφω την (7.3) στη µορφή : J n (z)t n+1 + J n (z)t n 1 = ( t + 1 t ) f(z, t) = t z f(z, t) = φ(z)e z ( t 1 t = f(z,t) t J n (z)t n και την : nj n (z)t n 1, (7.4) n z J n(z)t n = (7.1) tf(z, t) + 1 (7.4) t f(z, t) = z t f(z, t) t f(z, t) t f(z, t) = z + z ολοκλήρωση = ln f(z, t) = z t ως προς t t z t + φ 1(z) ). (7.5) Άρα : J n (z)t n = φ(z)e zt e z t. (7.6) 38
Για τον υπολογισµό της συνάρτησης φ(z), γράφουµε τις εκθετικές συναρτήσεις e zt και e z t υπό µορφή σειράς στην (7.6), οπότε : J n (z)t n = φ(z) J n (z)t n = φ(z) j= k= j= k= ( zt ) j j! ( z ( 1) k( ) z k t k! ) j+k( 1) k t j k. (7.7) k!j! Ο συντελεστής του t στο 1 ο µέλος της ισότητας (7.7) είναι το J (z) και στο ο µέλος είναι το γινόµενο φ(z) επί την σειρά που προκύπτει αν j = k, δηλαδή : φ(z) k= ( z ) k( 1) k k!k! ( z ) k( 1) k = φ(z) k!γ(k + 1) = φ(z)j (z). k= Οπότε, για να ισχύει η ισότητα : J (z) = φ(z)j (z), ϑα πρέπει φ(z) = 1. Άρα, η (7.5) παίρνει τη µορφή : ( ) f(z, t) = e z t 1 t. Ασκήσεις Ασκηση 1. Με τη ϐοήθεια της γεννήτριας συνάρτησης των συναρτήσεων Bessel, f(x, t) = e x (t 1 t ) = J n (x)t n, να ϐρεθούν οι αναδροµικές σχέσεις που ικανοποιούν οι συναρτήσεις Bessel. Λύση : Παραγωγίζουµε ως προς x τη γεννήτρια συνάρτηση : 1( 1) x t e (t 1 t ) = t J n(x)t n 1 ( 1) t J n (x)t n = t J n (x)t n = J n(x)t n 1 t J n (x)t n 1 t 1 1 J n (x)t n+1 1 J n 1 (x)t n 1 J n (x)t n 1 = J n+1 (x)t n = και εξισώνουµε τους συντελεστές του όρου t n : J n(x)t n J n(x)t n 1[ Jn 1 (x) J n+1 (x) ] = J n(x), 39 J n(x)t n
που είναι η αναδροµική σχέση (6.5) του ϑεωρήµατος 6.1. Παραγωγίζουµε ως προς t τη γεννήτρια συνάρτηση : ( x + x t ) e x (t 1 t ) = x x x J n (x)t n + x t J n (x)t n + x J n 1 (x)t n 1 + x nj n (x)t n 1 J n (x)t n = J n (x)t n = ( x + x t ) J n+1 (x)t n 1 = και εξισώνουµε τους συντελεστές του όρου t n 1 : nj n (x)t n 1 nj n (x)t n 1 nj n (x)t n 1, J n 1 (x) + J n+1 (x) = n x J n(x), που είναι η αναδροµική σχέση (6.6) του ϑεωρήµατος 6.1. Προσθέτουµε τις ισότητες (6.5) και (6.6), οπότε : J n (x)t n = J n(x) + n x J n(x) = J n 1 (x) J n(x) = J n 1 (x) n x J n(x), που είναι η αναδροµική σχέση (6.3) του ϑεωρήµατος 6.1. Αφαιρούµε κατα µέλη τις ισότητες (6.5) και (6.6), οπότε : J n(x) n x J n(x) = J n+1 (x) J n(x) = n x J n(x) J n+1 (x), που είναι η αναδροµική σχέση (6.4) του ϑεωρήµατος 6.1. Προσθέτουµε τις ισότητες (6.5) και (6.6) και πολλαπλασιάζουµε µε x n, οπότε : x n J n(x) + nx n 1 J n (x) = x n J n 1 (x) d dx [xn J n (x)] = x n J n 1 (x), που είναι η αναδροµική σχέση (6.1) του ϑεωρήµατος 6.1. nj n (x)t n 1 Αφαιρούµε κατα µέλη τις ισότητες (6.5) και (6.6) και πολλαπλασιάζουµε µε x n, οπότε : x n J n(x) nx n+1 J n (x) = x n J n+1 (x) d dx [x n J n (x)] = x n J n+1 (x), που είναι η αναδροµική σχέση (6.) του ϑεωρήµατος 6.1. Ασκηση. Με τη ϐοήθεια της γεννήτριας συνάρτησης e x (t 1 t ) = συναρτήσεων Bessel, να δειχθεί ότι : J n (x) = 1 π 4 cos(nθ x sin θ)dθ. J n (x)t n των
Λύση : Θέτουµε t = e iθ στη γεννήτρια συνάρτηση : e ix sin θ = J n (x)e inθ και λαµβάνοντας υπ όψιν τον τύπο του Euler e ia = cos a + i sin a έχουµε ότι : cos(x sin θ) + i sin(x sin θ) = J n (x) cos(nθ) + i J n (x) sin(nθ). Στην τελευταία ισότητα, εξισώνοντας τα πραγµατικά και ϕανταστικά µέρη, παίρνουµε : cos(x sin θ) = J n (x) cos(nθ) ( ) και sin(x sin θ) = J n (x) sin(nθ). ( ) Πολλαπλασιάζουµε µε cos(mθ) την ( ), µε sin(mθ) την ( ) και προσθέτουµε κατά µέλη : cos(x sin θ) cos(mθ) + sin(x sin θ) sin(mθ) = J n (x) cos(nθ) cos(mθ) + cos(mθ x sin θ) = J n (x) cos((m n)θ) Ολοκληρώνουµε την τελευταία ισότητα ως προς θ από έως π: cos(mθ x sin θ)dθ = cos(mθ x sin θ)dθ = cos(mθ x sin θ)dθ = J m (x) = 1 π m n m n J n (x) cos((m n)θ)dθ J n (x) cos((m n)θ)dθ + J m (x) J n (x) sin((m n)θ) m n cos(mθ x sin θ)dθ. J n (x) sin(nθ) sin(mθ) π + πj m (x) θ= dθ 41
Βιβλιογραφία Μασσαλάς Χ. (1) Ειδικές Συναρτήσεις, Cutenberg. Σιαφαρίκας Π. (9) Ειδικές Συναρτήσεις, Εκδόσεις Πανεπιστηµίου Πατρών. Hochstadt H. (1986) The function of Mathematical Physics, Dover Publications, Inc. N.Y.. Lebedev N.N. (197) Special functions and their Applications, Dover Publications. Luke Y. L. (1969) The special functions and their Approximations-Volume I, Academic Press. Watson G. N. (1966) A treatise on the theory of Bessel functions, Cambridge University Press. 4