ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ Να διαβάσετε τις σελίδες 8-1 του σχολικού βιβλίου. Να ροσέξετε ιδιαίτερα τα σχήµατα 1.1, 1.3 και 1.4 καθώς και τους ορισµούς της αρχικής φάσης και της φάσης της ταλάντωσης. Να γράψετε τις µαθηµατικές σχέσεις ου δίνονται στη θεωρία και να αναφέρετε τα µεγέθη ου εριέχουν καθώς και τις µονάδες αυτών. Π. χ. t = όου Τ η ερίοδος N της ταλάντωσης µετράται σε sec, t ο χρόνος ταλάντωσης του σώµατος µετράται σε sec και Ν ο αριθµός εαναλήψεων του φαινοµένου. Να ααντήσετε στις ερωτήσεις, και 7 του σχολικού βιβλίου. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ. Στις ερωτήσεις ου ακολουθούν να ειλέξετε τη σωστή αάντηση : Α1) Η αλή αρµονική ταλάντωση είναι κίνηση ευθύγραµµη οµαλή. ευθύγραµµη οµαλά µεταβαλλόµενη. οµαλή κυκλική. ευθύγραµµη εριοδική. Α) Σηµειακό αντικείµενο εκτελεί αλή αρµονική ταλάντωση. Η αοµάκρυνση x αό τη θέση ισορροίας του είναι ανάλογη του χρόνου. αρµονική συνάρτηση του χρόνου. ανάλογη του τετραγώνου του χρόνου.
οµόρροη µε τη δύναµη εαναφοράς. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Α3) Η ταχύτητα υ σηµειακού αντικειµένου το οοίο εκτελεί αλή αρµονική ταλάντωση είναι µέγιστη, κατά µέτρο, στη θέση x =. έχει την ίδια φάση µε την αοµάκρυνση x. είναι µέγιστη στις θέσεις x = ± Α. έχει την ίδια φάση µε τη δύναµη εαναφοράς. Α4) Η ειτάχυνση α σηµειακού αντικειµένου το οοίο εκτελεί αλή αρµονική ταλάντωση είναι σταθερή. είναι ανάλογη και αντίθετη της αοµάκρυνσης x. έχει την ίδια φάση µε την ταχύτητα. γίνεται µέγιστη στη θέση x =. Α5) Η φάση της αλής αρµονικής ταλάντωσης αυξάνεται γραµµικά µε το χρόνο. είναι σταθερή. ελαττώνεται γραµµικά µε το χρόνο. είναι ανάλογη του τετραγώνου του χρόνου. Α) Η διαφορά φάσης φ = φ υ ϕ x µεταξύ ταχύτητας υ και αοµάκρυνσης x στην αλή αρµονική ταλάντωση είναι Α7) Η διαφορά φάσης φ= φ x ϕα µεταξύ αοµάκρυνσης x και ειτάχυνσης α στην αλή αρµονική ταλάντωση είναι
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 3 Α8) Η διαφορά φάσης φ = φ α ϕυ µεταξύ ειτάχυνσης α και ταχύτητας υ στην αλή αρµονική ταλάντωση είναι ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ. Στις ερωτήσεις ου ακολουθούν να βάλετε το γράµµα Σ δίλα σε κάθε σωστή ρόταση και το γράµµα Λ δίλα σε κάθε λανθασµένη : B1) Η αλή αρµονική ταλάντωση είναι ευθύγραµµη εριοδική κίνηση. B) Η αλή αρµονική ταλάντωση είναι ευθύγραµµη κίνηση, οµαλά µεταβαλλόµενη. B3) Η αοµάκρυνση σηµειακού αντικειµένου αό τη θέση ισορροίας του, όταν εκτελεί αλή αρµονική ταλάντωση, είναι αρµονική συνάρτηση του χρόνου. B4) Σηµειακό αντικείµενο εκτελεί αλή αρµονική ταλάντωση. Η αοµάκρυνσή του αό τη θέση ισορροίας του και η ειτάχυνση του α συνδέονται µε την εξίσωση α = ω x B5) Στην αλή αρµονική ταλάντωση, η φάση της αοµάκρυνσης x ροηγείται της φάσης της ταχύτητας υ κατά B) Στην αλή αρµονική ταλάντωση, η φάση της αοµάκρυνσης x καθυστερεί της φάσης της ειτάχυνσης α κατά.
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 B7) Στην αλή αρµονική ταλάντωση, η φάση της ταχύτητας υ ροηγείται της φάσης της ειτάχυνσης α κατά. B8) Στην αλή αρµονική ταλάντωση, το µέτρο της ταχύτητας είναι µέγιστο στη θέση x =. B9) Στην αλή αρµονική ταλάντωση, το µέτρο της ειτάχυνσης είναι ελάχιστο στις θέσεις x = ± A B1) Στην αλή αρµονική ταλάντωση, τα διανύσµατα υ και α είναι άντα αντίρροα. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ. Γ1) Σηµειακό αντικείµενο εκτελεί αλή αρµονική ταλάντωση. Η αοµάκρυνση x µεταβάλλεται µε το χρόνο σύµφωνα µε την εξίσωση x= A ηµωt. Ποια αό τις αρακάτω γραφικές αραστάσεις αντιστοιχεί στην αοµάκρυνση x, στην ταχύτητα υ και στην ειτάχυνση α. 1.. 3. 4. Εικόνα 1-1. Γραφικές αραστάσεις Γ) Σηµειακό αντικείµενο εκτελεί αλή αρµονική ταλάντωση. Η αοµάκρυνση x µεταβάλλεται µε το χρόνο σύµφωνα µε την εξίσωση x= A ηµ(ω ). Ποια αό τις
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 5 αρακάτω γραφικές αραστάσεις αντιστοιχεί στην αοµάκρυνση x, στην ταχύτητα υ και στην ειτάχυνση α. 1.. 3. 4. Εικόνα 1-. Γραφικές αραστάσεις Γ3) Σηµειακό αντικείµενο εκτελεί αλή αρµονική ταλάντωση. Η ταχύτητά του µεταβάλλεται µε το χρόνο σύµφωνα µε την εξίσωση υ= υ ηµωt. Ποια αό τις αρακάτω γραφικές αραστάσεις αντιστοιχεί στην αοµάκρυνση x, στην ταχύτητα υ και στην ειτάχυνση α. 1.. 3. 4. Εικόνα 1-3. Γραφικές αραστάσεις ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΙΚΑΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Στις ερωτήσεις ου ακολουθούν να δικαιολογήσετε λήρως τις ααντήσεις :, x(m) -, 4 8 1
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 1) Η γραφική αράσταση της αοµάκρυνσης σε συνάρτηση µε το χρόνο, για ένα σηµειακό αντικείµενο ου εκτελεί αλή αρµονική ταλάντωση, φαίνεται στο σχήµα. Με οιο ή οια αό τα αρακάτω συµφωνείτε ή διαφωνείτε και γιατί; Το µέτρο της ταχύτητας έχει τη µέγιστη τιµή του τις χρονικές στιγµές sec, 4 sec και 8 sec. Το µέτρο της ειτάχυνσης έχει τη µέγιστη τιµή του τις χρονικές στιγµές sec και sec. Τη χρονική στιγµή t = 4 sec το µέτρο της ειτάχυνσης είναι α=. Τη χρονική στιγµή µέτρο της ταχύτητας τη χρονική στιγµή t 1 = 7 sec το µέτρο της ταχύτητας είναι µικρότερο αό το t = sec. ) Η γραφική αράσταση της ταχύτητας σε συνάρτηση µε το χρόνο, για ένα σηµειακό αντικείµενο ου εκτελεί αλή αρµονική ταλάντωση, φαίνεται στο σχήµα. Ποιες αό τις αρακάτω ροτάσεις είναι σωστές, οιες είναι λανθασµένες και γιατί; Τις χρονικές στιγµές sec, 4 sec και 8 sec το αντικείµενο διέρχεται αό τη θέση ισορροίας του. Τις χρονικές στιγµές sec και sec το µέτρο της ειτάχυνσης είναι µέγιστο. Στο χρονικό διάστηµα αό sec µέχρι 8 sec τα διανύσµατα της ταχύτητας υ και της συνισταµένης δύναµης F είναι συγγραµµικά και οµόρροα. Στο χρονικό διάστηµα sec µέχρι sec το αντικείµενο κινείται ρος τη θέση ισορροίας του. 3) Η γραφική αράσταση της ειτάχυνσης σε συνάρτηση µε το χρόνο, για ένα σηµειακό αντικείµενο ου εκτελεί αλή αρµονική ταλάντωση, φαίνεται στο σχήµα. Με οιο ή οια αό τα υ(m/sec) υ -υ α(m/sec ) α 4 α 8 1 4 8 1 1 3 -α
αρακάτω συµφωνείτε ή διαφωνείτε και γιατί; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 7 Τις χρονικές στιγµές sec, 8 sec και 1 sec η ταχύτητα του αντικειµένου είναι ίση µε µηδέν. Τη χρονική στιγµή του. t= 14 sec το αντικείµενο κινείται ρος τη θέση ισορροίας Τις χρονικές στιγµές 4 sec και 1 sec το µέτρο της ταχύτητας του αντικειµένου έχει τη µέγιστη τιµή του. Η ταχύτητα του αντικειµένου κάθε χρονική στιγµή καθορίζεται αό την εξίσωση υ = υ ηµ(ω ). ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ. Στις ερωτήσεις ου ακολουθούν να ανατύξετε λήρως τις ααντήσεις σας : Ε1) Ποια κίνηση λέγεται εριοδική; Να αναφέρετε τρία αραδείγµατα εριοδικών κινήσεων. Ε) Ποια κίνηση ονοµάζεται ταλάντωση; Να αναφέρετε δύο αραδείγµατα. Ε3) Ποια κίνηση ονοµάζεται γραµµική ταλάντωση; αλή αρµονική ταλάντωση; Ε4) Να αναφέρετε ένα σύστηµα ου θα µορούσε να εκτελέσει αλή αρµονική ταλάντωση. Ε5) Τι ονοµάζουµε φάση της αλής αρµονικής ταλάντωσης; Να αραστήσετε γραφικά τη µεταβολή της φάσης σε συνάρτηση µε το χρόνο. Ε) Τι σηµαίνει ο όρος «αρχική φάση»; Πώς γράφονται οι εξισώσεις x = f (t), υ = =f(t), α = f (t) της αλής αρµονικής ταλάντωσης όταν υάρχει αρχική φάση; Ε7) Ποια είναι η διαφορά φάσης µεταξύ αοµάκρυνσης - ταχύτητας, αοµάκρυνσης - ειτάχυνσης, ταχύτητας - ειτάχυνσης, ενός υλικού σηµείου ου εκτελεί αλή αρµονική ταλάντωση;
ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 8 Χαρακτηριστικά µεγέθη της αλής αρµονικής ταλάντωσης είναι τα αρακάτω. ΑΠΟΜΑΚΡΥΝΣΗ (x ή y): Ονοµάζεται η αόσταση του σώµατος κάθε χρονική στιγµή αό τη θέση ισορροίας (x = ή y = ) ΠΛΑΤΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ (Α): y = ±Α) Ονοµάζεται η µέγιστη αόσταση του σώµατος αό τη θέση ισορροίας (x = ±Α, ή ΠΕΡΙΟ ΟΣ (Τ): Ονοµάζεται ο χρόνος ου ααιτείται για να εκτελέσει το σώµα µια λήρη ταλάντωση δηλαδή να εράσει διαδοχικά δύο φορές αό τη θέση ισορροίας και να καταλήξει στη θέση ου ξεκίνησε την ταλάντωσή του. ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ (f): του χρόνου Ονοµάζεται ο αριθµός των λήρων ταλαντώσεων ου εκτελεί το σώµα στη µονάδα Εειδή όλα τα αραάνω αναφέρονται αναλυτικά στη θεωρία θα µελετήσουµε ιδιαίτερα τα µεγέθη ου έχουν ιδιαίτερη σηµασία. Όως γνωρίζουµε κάθε αλή αρµονική ταλάντωση µορούµε να την αντιστοιχήσουµε σε µια λήρη κυκλική κίνηση. Για το λόγο αυτό στα σχήµατα θα χρησιµοοιήσουµε το τριγωνοµετρικό κύκλο για την λήρη ανααράσταση της κίνησης µιας αλής αρµονικής ταλάντωσης και την κατανόηση των εννοιών. ΦΑΣΗ (φ): Ονοµάζουµε τη γωνία ου καθορίζει την αοµάκρυνση του σώµατος ή του συστήµατος σωµάτων αό τη θέση ισορροίας κάθε χρονική στιγµή t. Αυτό συµβαίνει διότι µορούµε να αντιστοιχήσουµε µια αλή αρµονική ταλάντωση ενός σώµατος σε κίνησή του σε κυκλική τροχιά.
Για αράδειγµα όταν το σώµα έχει φάση rad σηµαίνει ότι βρίσκεται στη θέση ου ξεκίνησε την ταλάντωσή του και έχει εκτελέσει µία λήρη ταλάντωση. Παρατηρείστε το διλανό σχήµα όου φαίνεται ότι κάοια τυχαία χρονική στιγµή t το σώµα έχει φάση φ. Αυτή αντιστοιχεί στην αοµάκρυνση x 1 του σώµατος αό τη θέση ισορροίας. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ: Κάθε φάση αντιστοιχεί σε µία αοµάκρυνση. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 9 Θα λέµε ότι δυο ταλαντώσεις βρίσκονται σε φάση όταν διαφέρουν κατά ακέραιο ολλαλάσιο της εριόδου Τ δηλαδή φ = k όου k =,1,,3... ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΣΗ: Ονοµάζουµε την αρχική γωνία αό τη θέση ισορροίας, αό την οοία ξεκινά το σώµα ή το σύστηµα σωµάτων την ταλάντωσή του τη χρονική στιγµή t = δηλαδή µόλις αρχίζει την κίνησή του και η οοία αντιστοιχεί σε µια συγκεκριµένη αοµάκρυνση. Το σώµα (ή το σύστηµα) ου ταλαντώνεται έχει αρχική φάση όταν: Τη χρονική στιγµή t = έχει αοµάκρυνση x διάφορη του µηδενός (x ). ηλαδή ξεκινά την ταλάντωσή του αό οοιαδήοτε θέση εκτός της x = ή αό τη θέση x = έχοντας αρνητική ταχύτητα. Τη χρονική στιγµή t µε t k.τ όου k = 1,,3... και Τ η ερίοδος ταλάντωσης, το σώµα βρίσκεται στη θέση x =. Αυτό σηµαίνει ότι ξεκίνησε τη ταλάντωσή του αό µια θέση διάφορη της θέσης ισορροίας του. x x y +A x -A y y +A x 1 -A y Θ.ΙΣ Θ.ΙΣ φ φ Τυχαία χρονική στιγµή t x x Χρονική στιγµή t=
ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1 Η εξίσωση της αοµάκρυνσης ου δίνεται αό το ρόβληµα είναι διαφορετικής µορφής αό τη γνωστή εξίσωση x = A ηµωt (.χ x = A συνωt οότε θα έχω x= A ηµ ( ω ) άρα η αρχική φάση στο αράδειγµα είναι ). Τη χρονική στιγµή t = η ταχύτητα του σώµατος (ή του συστήµατος) έχει τιµή µικρότερη αό τη µέγιστη τιµή της. Τη χρονική στιγµή t = η ειτάχυνση του σώµατος (ή του συστήµατος) έχει τιµή διάφορη του µηδενός. ΙΑΦΟΡΑ ΦΑΣΗΣ ( φ): Μεταξύ δύο µεγεθών ονοµάζεται η γωνία ου αντιστοιχεί στο χρόνο ου ααιτείται για να άρει το ένα µέγεθος την αντίστοιχη τιµή ενός άλλου µεγέθους. Για αράδειγµα αν τη χρονική στιγµή t 1 η ταχύτητα είναι µηδέν για να άρει η αοµάκρυνση την ίδια τιµή (δηλαδή µηδέν) ερνά κάοιος χρόνος t. Αυτός ο χρόνος αντιστοιχεί σε κάοια γωνία η οοία ονοµάζεται διαφορά φάσης. Η αντιστοιχία αυτή δίνεται αό την αλή µέθοδο των τριών για τα µεγέθη χρόνος-φάση αφού γνωρίζουµε ότι σε χρόνο µιας εριόδου αντιστοιχεί γωνία φ rad. ή αλλιώς ϕ=ϕ 1 ϕ = ϕ= t t φ (1) =ωt t (t t ) t 1 ω =ω 1 ϕ= Για να υολογίσουµε τη φάση ρέει να γνωρίζουµε τις τριγωνοµετρικές σχέσεις ου ροκύτουν αό τις εξισώσεις ηµιτόνων, συνηµιτόνων και εφατοµένης. Συγκεκριµένα: α) Εάν ηµϕ= α όου α ένας αριθµός ου αντιστοιχεί στο ηµφ (.χ. ½) Βρίσκω το τόξο θ ου έχει ηµίτονο τον αριθµό α οότε έχω ϕ= k+θ ηµϕ=ηµθ ϕ= k+ θ
ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 11 Θέτοντας k = υολογίζω τις τιµές της γωνίας φ ου αντιστοιχούν στην κίνηση του σώµατος κατά την ρώτη λήρη ταλάντωση. Για αράδειγµα 1 ηµϕ = ηµϕ=ηµ 3 ϕ= k+ ηµϕ=ηµ ϕ= k+ β) Εάν συνφ=α, όου α ένας αριθµός ου αντιστοιχεί στο συνφ (.χ. ½) Κατά τον ίδιο τρόο θα έχω Για αράδειγµα συνϕ = ϕ= k ϑ συνϕ=συνϑ ϕ= k+ϑ 3 συνϕ=συν3 ϕ= k+ συνϕ=συν ϕ= k - γ) Εάν εφφ=α, όου α ένας αριθµός ου αντιστοιχεί στο εφφ (.χ. ½) Όµοια όως ροηγούµενα Για αράδειγµα ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: εφϕ = ϕ= k+ϑ εφϕ=εφϑ ϕ= k ϑ 3 εφϕ=εφ3 3 ϕ= k+ εφϕ=εφ ϕ= k - Θα ρέει να αναφέρουµε τη σηµασία της σταθεράς k στα ροβλήµατα των ταλαντώσεων. Η σταθερά k δηλώνει σε οια ταλάντωση βρίσκεται το σώµα κατά την κίνησή του και όχι όσες λήρεις ταλαντώσεις έχει διαγράψει το σώµα. Αυτό σηµαίνει ότι η σταθερά k αλλάζει κάθε φορά ου το σώµα ερνά αό τη θέση ισορροίας (η οοία αντιστοιχεί στη θέση των στον τριγωνοµετρικό κύκλο) κινούµενο άντα ρος το θετικό ηµιάξονα (η οοία αντιστοιχεί στη θέση των 9 στο τριγωνοµετρικό κύκλο).
Για την κατανόηση των αραάνω διαβάστε το αράδειγµα 1. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1 ΙΑΦΟΡΑ ΦΑΣΗΣ ΜΕΓΕΘΩΝ ΤΗΣ ΑΠΛΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ: Με βάση τις σχέσεις της ταλάντωσης και τις γραφικές αραστάσεις αυτών θα έχουµε τις αρακάτω διαφορές φάσεις µεταξύ των µεγεθών της αοµάκρυνσης, της ταχύτητας, της ειτάχυνσης και της δύναµης, όως φαίνεται Αό τη σύγκριση των διαγραµµάτων της αοµάκρυνσης σε συνάρτηση µε το χρόνο και της ταχύτητα σε συνάρτηση µε το χρόνο αρατηρούµε ότι η αοµάκρυνση x υστερεί της ταχύτητας υ κατά γωνία Αό τη σύγκριση των διαγραµµάτων της ταχύτητας σε συνάρτηση µε το χρόνο και της ειτάχυνσης σε συνάρτηση µε το χρόνο αρατηρούµε ότι η ταχύτητα υ υστερεί της ειτάχυνσης α κατά γωνία Αό τη σύγκριση των διαγραµµάτων της αοµάκρυνσης σε συνάρτηση µε το χρόνο και της ειτάχυνσης σε συνάρτηση µε το χρόνο αρατηρούµε ότι η αοµάκρυνση x υστερεί της ειτάχυνσης α κατά γωνία rad. Αό τη σύγκριση των διαγραµµάτων της ταχύτητας σε συνάρτηση µε το χρόνο και της x(m) rad. υ(m/sec) υ(m/sec) α(m/sec ) x(m) υ(m/sec) α(m/sec ) F(Nt) rad.
ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 13 δύναµης εαναφοράς σε συνάρτηση µε το χρόνο αρατηρούµε ότι η ταχύτητα υ υστερεί της δύναµης εαναφοράς F ε κατά γωνία Αό τη σύγκριση των διαγραµµάτων της αοµάκρυνσης σε συνάρτηση µε το χρόνο και της δύναµης εαναφοράς σε συνάρτηση µε το χρόνο αρατηρούµε ότι η rad. αοµάκρυνση x υστερεί της δύναµης εαναφοράς F ε κατά γωνία rad. ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΜΕΓΕΘΩΝ: Στις ασκήσεις των ταλαντώσεων αρκετές φορές θα χρειαστεί να γνωρίζουµε σχέσεις µεταξύ διαφόρων µεγεθών. Ο τρόος εργασίας στις εριτώσεις αυτές είναι ίδιος και οι σχέσεις αυτές αοδεικνύονται τις ερισσότερες φορές µε τη χρήση τριγωνοµετρικών σχέσεων. Έτσι : Αόδειξη της σχέσης ου συνδέει την αοµάκρυνση µε την ταχύτητα: x = A ηµ ( ω φ) ηµ ( ω t φ) = A x υ υ= ω A συν( ω φ) συν ( ω φ) = ω A Αό την τριγωνοµετρία γνωρίζουµε ότι ισχύει ηµ φ+ συν φ= 1 οότε αντικαθιστώντας τις σχέσεις (1) και () σε αυτή έχουµε ηµ (ω φ) + συν υ = ω A ω x (ω φ) = 1 A x x(m) υ=± ω A υ = ± ω x (1) υ + ω A A x () = 1 υ F(Nt) + ω x = ω A
ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 14 Με τον ίδιο ακριβώς τρόο ροκύτει και η σχέση µεταξύ ταχύτητας και ειτάχυνσης α =± ω Προσέξτε ιδιαίτερα τη σχέση ου συνδέει την αοµάκρυνση µε την ειτάχυνση διότι είναι ολύ αλή και χρησιµοοιείται σε ολλές εριτώσεις ασκήσεων. υ υ α = - ω A ηµ(ω φ ) α= - ω Η εξίσωση της δύναµης είναι ίσως η βασικότερη εξίσωση των ταλαντώσεων. Αό την εξίσωση αυτή καθορίζεται αν ένα σώµα εκτελεί αλή αρµονική ταλάντωση, οια είναι η συνισταµένη δύναµη ου ενεργεί στο σώµα ου ταλαντώνεται κάθε χρονική στιγµή κλ. Η συνισταµένη δύναµη εκφράζεται σε συνάρτηση µε την αοµάκρυνση ή σε συνάρτηση µε το χρόνο αό τις σχέσεις x ΣF= Fε = D x ή ΣF= Fε = m ω A ηµ ( ω φ) Εκτός των τριών γραφικών αραστάσεων αοµάκρυνσης, ταχύτητας και ειτάχυνσης ου αναφέρει το σχολικό βιβλίο µορούµε να σχεδιάσουµε και τη γραφική αράσταση της δύναµης σε συνάρτηση µε το χρόνο καθώς είσης και τη γραφική αράσταση της δύναµης σε συνάρτηση µε την αοµάκρυνση. Η γραφική αράσταση της δύναµης σε συνάρτηση µε το χρόνο είναι ίδια µε τη γραφική αράσταση της ειτάχυνσης σε συνάρτηση µε το χρόνο διότι η δύναµη είναι ανάλογη της ειτάχυνσης F = m α έτσι δε χρειάζεται να τη σχεδιάσουµε. Η γραφική αράσταση της δύναµης σε συνάρτηση µε την αοµάκρυνση είναι εξίσωση F (Nt) ρώτου βαθµού αφού F= D x και σχεδιάζεται όως φαίνεται στο διλανό διάγραµµα. -x 1 -D.x 1 D.x 1 x 1 x (m)
ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ: ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 15 Εειδή στη φυσική δεν µας ενδιαφέρει ο λετοµερής σχεδιασµός µιας γραφικής αράστασης θα αναφέρουµε έναν εύκολο τρόο για το σχεδιασµό µιας γραφικής αράστασης µε αρχική φάση όως αυτές ου αναφέρει το σχολικό βιβλίο. Εάν για αράδειγµα µας ζητηθεί η γραφική αράσταση της εξίσωσης της αοµάκρυνσης σε συνάρτηση µε το χρόνο x= A ηµ ( ω ) τότε σχεδιάζω την κλασσική γραφική αράσταση της αοµάκρυνσης µε το χρόνο χωρίς αρχική φάση και µετατοίζω τον άξονα της αοµάκρυνσης ρος τα δεξιά. Η µετατόιση γίνεται µε τον εξής τρόο: Χωρίζω το τεταρτηµόριο ( ) σε τρία ίσα µέρη αό τα οοία το καθένα 4 αντιστοιχεί σε γωνία ( ) rad και µεταφέρω τον άξονα κατά το αντίστοιχο τµήµα. Τέλος για να υολογίσω τη τιµή ου αρχίζει η γραφική αράσταση θέτω στην εξίσωση της αοµάκρυνσης t = και έχω 1 A x= A ηµ ( ω + ) x= A ηµ ( ) x= A x= Όµοια εργάζοµαι για οοιαδήοτε άλλη γωνία. Εάν δε η εξίσωση έχει αρνητική αρχική φάση η µετατόιση του άξονα γίνεται µε τον ίδιο ακριβώς τρόο ρος τα αριστερά. ηλαδή Χωρίζω το τεταρτηµόριο ( ) σε τρία ίσα µέρη αό 4 τα οοία το καθένα αντιστοιχεί σε γωνία ( ) rad και µεταφέρω τον άξονα κατά το αντίστοιχο τµήµα ρος τ αριστερά. Η γραφική αράσταση της εξίσωσης της x(m) A A/ -A x(m) A -A/ -A
ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1 αοµάκρυνσης σε συνάρτηση µε το χρόνο x= A ηµ ( ω t ) θα είναι όως φαίνεται στο διλανό σχήµα. Ι ΙΑΙΤΕΡΗ ΠΡΟΣΟΧΗ ΑΠΑΙΤΕΙΤΑΙ ΣΤΑ ΠΙΟ ΚΑΤΩ ΘΕΜΑΤΑ. Ααραίτητη ροϋόθεση για τη λύση των ασκήσεων είναι ο σχεδιασµός του -A διαγράµµατος ου ακολουθεί για να καταλαβαίνουµε την αρχική θέση εκκίνησης του ταλαντευόµενου σώµατος αλλά και τη θέση του κάθε χρονική στιγµή. Το διάγραµµα µορεί να σχεδιαστεί ή µε τη µορφή τριγωνοµετρικού κύκλου, οότε η λύση τότε είναι ερισσότερο µαθηµατική και λιγότερο φυσική, ή αλό σχεδιάγραµµα του σχολικού βιβλίου στο οοίο φαίνεται κάθε χρονική στιγµή η θέση του κινητού και η φορά κίνησής του και το οοίο αναφέρεται στο σχολικό βιβλίο. y 3 τεταρτηµόριο ο ο υ< υ> 4 τεταρτηµόριο Θ.ΙΣ ο τεταρτηµόριο ο υ< υ> 1 τεταρτηµόριο Θετική φορά A κίνησης x y A y 1 υ> -A Θ.ΙΣ Προσέξτε την λήρη αντιστοιχία µεταξύ του διαγράµµατος του σχολικού και του τριγωνοµετρικού κύκλου. Όταν η εξίσωση της αοµάκρυνσης και της ειτάχυνσης εκφράζεται µε συνηµίτονο (συν) και η εξίσωση της ταχύτητας µε ηµίτονο (ηµ), τις µετατρέω σε εξισώσεις ηµίτονου (ηµ) ή συνηµίτονου (συν) αντίστοιχα για να καθορίσω την αρχική φάση της υ< υ< ταλάντωσης. Οι σχέσεις ου χρησιµοοιώ είναι οι εξής: υ> x
ηµ( + ω φ ) συν(ω φ ) = ηµ( ω t φ ) ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 17 Όταν δίνεται η αόσταση x των δύο ακραίων θέσεων της ταλάντωσης ενός σώµατος τότε το λάτος της ταλάντωσης δίνεται αό τη σχέση x = A A= x. Όταν ένα σώµα ου εκτελεί γραµµική αρµονική ταλάντωση ερνά αό τη θέση ισορροίας του µε ταχύτητα υ αυτή δηλώνει ταυτόχρονα και τη µέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης. Η φορά λαµβάνεται υόψη άντα στο σχήµα και καθορίζεται σα θετική η φορά εκείνη ρος το άκρο της οοίας κατευθύνεται το σώµα για ρώτη φορά εκτός αν αναφέρεται αό την εκφώνηση κάτι άλλο. Εάν το σώµα ξεκινά αό ακραία θέση ταλάντωσης αυτή καθορίζεται άντα αό τη θέση +Α, και η αρχική του φάση είναι ίση µε δηλαδή x= A ηµ ( ω ). Εάν το σώµα ξεκινά την ταλάντωσή του αό τη θέση ισορροίας κινούµενο ρος την αρνητική κατεύθυνση τότε έχει αρχική φάση δηλαδή x= A ηµ ( ω ). Κάθε µετατόιση µεταξύ του Α και της θέσης ισορροίας (Θ ΙΣ) ορίζεται σαν αρνητική (όως και κάθε ταχύτητα αντίθετη της θετικής φοράς κίνησης) δηλαδή στην εξίσωση της αοµάκρυνσης τοοθετούµε την αοµάκρυνση x µε αρνητικό ρόσηµο x= A ηµ ( ω ϕ) Κάθε φορά ου το σώµα ερνά αό τη θέση ισορροίας κινούµενο ρος το θετικό άκρο +Α αλλάζει η τιµή της σταθεράς k στις τριγωνοµετρικές σχέσεις ηµίτονου, συνηµίτονου -A -A υ< υ< Θ.ΙΣ υ> υ> υ< υ< -A t= Θ.ΙΣ υ> υ> Θετική φορά A t= Θετική φορά A t= Θ.ΙΣ κ= κ=1 Θετική φορά A
ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 18 και εφατοµένης. Το σώµα τότε αρχίζει να κινείται σε µια νέα τροχιά (νέος κύκλος) ανεξάρτητα αό τη θέση ου ξεκίνησε την ταλάντωσή του. Έτσι για αράδειγµα εάν το σώµα αρχίζει την ταλάντωσή του αό τη θέση αοµάκρυνσης θα έχω k =, αό τη θέση τη θέση x = και µετά. A x= τότε στη σχέση της A x= µέχρι τη θέση x =, και k = 1 αό Για να υολογίσω το χρόνο ου ααιτείται για τη µετακίνηση ενός σώµατος αό τη θέση x 1 στη θέση x τοοθετώ τις τιµές αυτές στην εξίσωση της αοµάκρυνσης. Στη συνέχεια ροσέχω να αορρίψω τις σωστές τιµές των χρόνων µε βάση τη φορά κίνησης του σώµατος και το τεταρτηµόριο στο οοίο βρίσκεται αυτό τις αντίστοιχες χρονικές στιγµές. Για τη κατανόηση των αραάνω διαβάστε το αράδειγµα. Όταν ένα σώµα το αοµακρύνω αό τη θέση ισορροίας κατά x και στη συνέχεια το αφήσω ελεύθερο να ταλαντωθεί για να εκτελέσει γραµµική αρµονική ταλάντωση τότε η αοµάκρυνση x δηλώνει ταυτόχρονα και το λάτος ταλάντωσης A ενώ αν στη θέση x του δώσω ταχύτητα υ r η αοµάκρυνση x δηλώνει τυχαία θέση ταλάντωσης και όχι το λάτος ταλάντωσης A. -A ΤΡΟΠΟΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: Θ.ΙΣ Θετική φορά x=a t= -A Θ.ΙΣ Θετική φορά x Α t= υ> α. Σχεδιάζουµε το σχεδιάγραµµα ταλάντωσης του σώµατος και τοοθετούµε άντα τη χρονική στιγµή t = για να γνωρίζουµε το τεταρτηµόριο αό το οοίο αρχίζει την ταλάντωσή του το σώµα. β. Γράφουµε τις χρονικές εξισώσεις ου µας ενδιαφέρουν. γ. Ελέγχουµε τις ειδικές συνθήκες αν υάρχουν. δ. Αντικαθιστούµε τις τιµές του ροβλήµατος στις εξισώσεις.
ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ 19 ε. Λύνουµε το σύστηµα των εξισώσεων ου ροκύτει ελέγχοντας τις δεκτές τιµές των γωνιών αό το σχεδιάγραµµα της ταλάντωσης. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Μετά τη λύση των αραδειγµάτων 1,, 3 και 4 να λύσετε τα αραδείγµατα 5 και ου ακολουθούν. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 ο Υλικό σηµείο εκτελεί αλή αρµονική ταλάντωση µε εξίσωση αοµάκρυνσης =,4 ηµ (1 φ ). Τη χρονική στιγµή t = ερνά αό τη θέση x=, m µε x θετική ταχύτητα. Να υολογίσετε την αρχική φάση της ταλάντωσης. ΛΥΣΗ Πριν αρχίσουµε τη λύση της άσκησης ρέει ααραίτητα να σχεδιάσουµε την κίνηση του σώµατος είτε σε ευθεία γραµµή όως δείχνει το διλανό σχήµα (αντίστοιχο σχήµα χρησιµοοιείται στο σχολικό βιβλίο) είτε στον τριγωνοµετρικό κύκλο. Η αντιστοιχία των δύο διαγραµµάτων είναι λήρης και µορούµε να χρησιµοοιούµε όοιο θέλουµε αό τα δύο. Στη συνέχεια µελετούµε το φαινόµενο το οοίο έχουµε και εφαρµόζουµε την αντίστοιχη αρχή για τη λύση του. Στα ρώτα αραδείγµατα το φαινόµενο είναι η αλή αρµονική ταλάντωση και θα εφαρµόζουµε άντα -A χρονικές εξισώσεις. Η εξίσωση της αοµάκρυνσης δίνεται αό τη σχέση y =,4 ηµ (1 φ ) (1) x -A t= * υ> Θ.ΙΣ y +A Θ.ΙΣ -x x +A υ> t= x
Φαινόµενο : Αλά αρµονική ταλάντωση Εφαρµόζουµε : Εξισώσεις ταλάντωσης Θέτουµε στην (1) x=, m, t = και έχουµε ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ, =,4 ηµ(1.+ φ ) ηµφ = ηµφ = ηµ(- ) 4 7 k rad φ 4 k= φ 4 φ 4 φ 4 = = = = 5 5 5 k+ + rad ( αορ) 4 4 4 4 Εειδή η ταχύτητα είναι θετική δεκτή είναι η τιµή σηµείο ξεκινά τη ταλάντωσή του αό το τέταρτο τεταρτηµόριο. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: 7 φ = 4 rad διότι το υλικό Στο τέταρτο τεταρτηµόριο τη γωνία δεν τη γράφουµε οτέ µε αρνητικό ρόσηµο. Πάντα τη γράφουµε σα γωνία ολόκληρου κύκλου για αράδειγµα η γωνία 7 rad θα γραφεί σα γωνία - = rad. 4 4 4 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ο Υλικό σηµείο εκτελεί αλή αρµονική ταλάντωση χωρίς αρχική φάση µε λάτος Α =, m και συχνότητα f = 1 Ηz. Να θεωρήσετε ότι η αοµάκρυνση x του υλικού σηµείου αό τη θέση ισορροίας του είναι ηµιτονική συνάρτηση του χρόνου και να υολογίσετε τον ελάχιστο χρόνο ου ααιτείται για να µεταβεί το υλικό σηµείο αό τη θέση x 1 = +,1 m έως τη θέση x =,1 m. ΛΥΣΗ Υολογίζουµε ρώτα την κυκλική συχνότητα ω αό τη γνωστή σχέση ου συνδέει 1 την κυκλική συχνότητα ω µε τη συχνότητα f, ω= f ω= ω= rad / sec
Γράφουµε την εξίσωση της αοµάκρυνσης x=, ηµ ( t) (1) Φαινόµενο : Αλά αρµονική ταλάντωση Εφαρµόζουµε : Εξισώσεις ταλάντωσης Θέτουµε στην (1) x =,1 m και έχουµε k+,1=, ηµ ( t) ηµ ( t) = ηµ t = k+ k t 5 αορ = = δεκτή Για να υολογίσουµε τον5 ελάχιστο χρόνο ρέει το υλικό σηµείο να ξεκινά την ταλάντωσή του αό το δεύτερο τεταρτηµόριο οότε δεκτή τιµή είναι η τιµή 5 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ 1 rad. Ο χρόνος ου ααιτείται για να µεταβεί το υλικό σηµείο αό τη θέση ου ξεκίνησε µέχρι τη θέση 5 t1 = t1 x 1 = +,1 m θα είναι 5 = 1 sec Θέτουµε στην (1) x= -,1 m και έχουµε k,1=, ηµ ( t) ηµ ( t) =ηµ ( ) t= k+ + k t 7 αορ = = δεκτή Για να υολογίσουµε τον ελάχιστο χρόνο ρέει το υλικό σηµείο να φτάσει στο τρίτο τεταρτηµόριο -A -A υ< * υ< * Θ.ΙΣ t= Θ.ΙΣ t= υ< * t 1 υ< * t +A +A
οότε δεκτή τιµή είναι η τιµή 7 σηµείο αό τη θέση ου ξεκίνησε µέχρι τη θέση 7 t = t 7 = 1 sec ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ rad.ο χρόνος ου ααιτείται για να µεταβεί το υλικό x =,1 m θα είναι Εοµένως ο ελάχιστος χρόνος για τη µετακίνηση του σώµατος µεταξύ των δύο 7 5 θέσεων είναι t= t= sec 1 1 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3 ο Υλικό σηµείο µάζας m εκτελεί γραµµική αρµονική ταλάντωση και τη χρονική στιγµή t = η αοµάκρυνση είναι ίση µε το µισό του λάτους x= 1 A και η ταχύτητά του αρνητική. Να θεωρήσετε ότι η αοµάκρυνση x του υλικού σηµείου αό τη θέση ισορροίας του είναι ηµιτονική συνάρτηση του χρόνου και να υολογίσετε α) την εξίσωση της αοµάκρυνσης σε συνάρτηση µε το χρόνο και β) την ταχύτητα, και την ειτάχυνση κατά τη χρονική στιγµή t 1 1 = sec εάν δίνεται το λάτος της ταλάντωσης A =,1 m και η συχνότητα f = 1 Ηz. ΛΥΣΗ Έχουµε την εξίσωση της αοµάκρυνσης = 1 ηµ ( ϕ ) (1) Φαινόµενο : Αλά αρµονική ταλάντωση Εφαρµόζουµε : Εξισώσεις ταλάντωσης Θέτουµε στην (1) για x = 1 A= 5 cm και έχουµε x k+ 5= 1 ηµ φ ( ) k = ηµ φ =ηµ φ = φ k+ 5 αορ = δεκτή
τιµή Εειδή η ταχύτητα είναι αρνητική δεκτή είναι η 5 φ= rad διότι το υλικό σηµείο ξεκινά την ταλάντωσή του αό το δεύτερο τεταρτηµόριο. Έτσι η εξίσωση της αοµάκρυνσης γράφεται 5 x= 1 ηµ ( ) () β) Φαινόµενο : Αλή αρµονική ταλάντωση Εφαρµόζουµε : Εξισώσεις ταλάντωσης Αό τη σχέση της ταχύτητας έχουµε για ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ 3 t 1 1 = sec και ω = f = rad / sec 5 5 υ=ω Α συν( ω ) υ= 1 συν( ) 1 5 5 υ= συν( + ) υ= συν( ) υ= -1 και για την ειτάχυνση 5 5 α= ω Α ηµ ( ω ) α= 4 1 ηµ ( ) 1 5 α= 4 ηµ ( + ) α= - cm / sec ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4 ο 3 cm / sec Η εξίσωση της αοµάκρυνσης ενός υλικού σηµείου ου εκτελεί γραµµική αρµονική ταλάντωση είναι x=,1 συν( t ) (S.I.). Μετά όσο χρόνο αό τη 3 χρονική στιγµή t = το υλικό σηµείο ερνά τη θέση α) για ρώτη φορά και για τρίτη φορά αό τη θέση ισορροίας. β) οια η ταχύτητα και η ειτάχυνση του σώµατος τη στιγµή ου αυτό ερνά αό x=,5 m για ρώτη φορά, έχοντας θετική ταχύτητα. ΛΥΣΗ υ< -A Θ.ΙΣ * t= +A
ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ 4 Μετατρέουµε την εξίσωση της αοµάκρυνσης στη γνωστή της µορφή. x=,1 συν( t ) x=,1 ηµ ( + t ) x=,1 ηµ ( ) 3 (1) 3 Εοµένως αό την εξίσωση της αοµάκρυνσης θα έχουµε: Α =,1 m, ω = rad/s, και ϕ = rad. Φαινόµενο : Αλά αρµονική ταλάντωση Εφαρµόζουµε : Εξισώσεις ταλάντωσης Θέτουµε στην (1) x = και έχουµε k+ =,1 ηµ ( t + ) ηµ ( t + ) =ηµ = k+ Εειδή το σώµα ξεκινά την ταλάντωσή του αό το 1 ο τεταρτηµόριο θέτουµε στην εξίσωση () k = k + = t t t= 5 αορ + = = + δεκτή Όταν το σώµα ερνά για τρίτη φορά αό τη θέση ισορροίας θα βρίσκεται στο ο τεταρτηµόριο αφού τη δεύτερη φορά ου έρασε αό τη θέση ισορροίας ολοκλήρωσε έναν κύκλο ταλάντωσης. Έτσι θέτουµε στην εξίσωση () k = 1 και έχουµε 11 δεκτή k = 1 = t= t= 3 17 3 αορ β) Θέτουµε στην (1) x = -,5 m και έχουµε -A Θ.ΙΣ t= * υ> +A ()
1,5=,1 ηµ ( ) ηµ ( ) = =ηµ ( ) k = (3) k+ + Θέτουµε στη σχέση (3) k = και έχουµε k t t = + = = t= ++ ++ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ 5 Εειδή η γωνία στο τέταρτο τεταρτηµόριο ροκύτει αρνητική τη γράφουµε σα γωνία ολόκληρου κύκλου δηλαδή έχουµε 3 δεκτή 3 t = t= t= αορ 4 Θέτουµε τη τιµή του χρόνου στις εξισώσεις της ταχύτητας και της ειτάχυνσης και sec 3 υ=ω Α συν( ω ) υ=,1 συν( + ) 4 5 υ=, συν( + ) υ=, συν( ) υ= -,1 3 3 α= ω Α ηµ ( ω ) α= 4,1 ηµ ( + ) 4 5 α=,4 ηµ ( + ) α=,4 ηµ ( ) α= -, 3 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 5 ο (4) 3 m / sec m / sec Υλικό σηµείο εκτελεί γραµµική αρµονική ταλάντωση µε λάτος Α =,1 m και συχνότητα f = Hz. η χρονική στιγµή t = έχει αοµάκρυνση x =,5 m και
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ταχύτητα αρνητική. Να θεωρήσετε ότι η αοµάκρυνση x του υλικού σηµείου αό τη θέση ισορροίας του είναι ηµιτονική συνάρτηση του χρόνου και να υολογίσετε α) την αοµάκρυνση τη χρονική στιγµή t 1 = 4 1 sec. β) το χρόνο ου ααιτείται για να φτάσει το σώµα στη θέση της µέγιστης αοµάκρυνσης για ρώτη φορά. γ) Να εξετάσετε τα ίδια όταν το υλικό σηµείο ξεκινά την ταλάντωσή του αό τη θέση x = -,5m µε αρνητική ταχύτητα. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ο Υλικό σηµείο εκτελεί αλή αρµονική ταλάντωση χωρίς αρχική φάση µε λάτος A =,1 m και συχνότητα f =,5 Ηz. Να θεωρήσετε ότι η αοµάκρυνση x του υλικού σηµείου αό τη θέση ισορροίας του είναι ηµιτονική συνάρτηση του χρόνου και να υολογίσετε τον ελάχιστο χρόνο ου ααιτείται για να µεταβεί το υλικό σηµείο αό τη θέση x 1 =,5 m έως τη θέση =,5 3 m. ΑΣΚΗΣΕΙΣ x Να λύσετε τις ασκήσεις 37 και 39 του σχολικού βιβλίου. Να λύσετε τις ασκήσεις ου ακολουθούν. 1. Υλικό σηµείο εκτελεί αλή αρµονική ταλάντωση, λάτους Α =, m και κυκλικής συχνότητας ω = rad/sec. Να θεωρήσετε ότι η αοµάκρυνση x του υλικού σηµείου αό τη θέση ισορροίας του είναι ηµιτονική συνάρτηση του χρόνου και να γράψετε την εξίσωση, της αοµάκρυνσης της ταλάντωσης σε συνάρτηση µε το χρόνο, αν δίνεται ότι τη χρονική στιγµή t = βρίσκεται στη θέση α) x = και έχει θετική ταχύτητα (υ > ) β) x = και έχει αρνητική ταχύτητα (υ < )
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7. Υλικό σηµείο εκτελεί αλή αρµονική ταλάντωση, µε εξίσωση αοµάκρυνσης ου δίνεται αό τη σχέση x=, ηµ ( ) (S.I.). Να υολογίσετε 3 α) την αρχική φάση, τη γωνιακή ταχύτητα και την ερίοδο της ταλάντωσης β) το λάτος και τη µέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης του υλικού σηµείου γ) την αοµάκρυνση, την ταχύτητα και την ειτάχυνση του υλικού σηµείου τη χρονική στιγµή t = sec. ίνεται = 1. 3. Σώµα εκτελεί αλή αρµονική ταλάντωση µε λάτος Α =,1 m και συχνότητα f =,5 Hz. Τη χρονική στιγµή t = έχει αοµάκρυνση x =,1 m. Να θεωρήσετε ότι η αοµάκρυνση x του υλικού σηµείου αό τη θέση ισορροίας του είναι ηµιτονική συνάρτηση του χρόνου και να υολογίσετε α) την αρχική φάση, τη µέγιστη ταχύτητα και τη µέγιστη ειτάχυνση ταλάντωσης του σώµατος β) τη χρονική στιγµή κατά την οοία το σώµα έχει για δεύτερη φορά αοµάκρυνση x=,5 m και θετική φορά κίνησης. ίνεται = 1. 4. Σώµα εκτελεί γραµµική αρµονική ταλάντωση µε λάτος Α =, m και συχνότητα f = 5 Hz. Το σώµα τη χρονική στιγµή t = έχει αοµάκρυνση x=,1 m και κινείται κατά τη θετική φορά. Να θεωρήσετε ότι η αοµάκρυνση x του υλικού σηµείου αό τη θέση ισορροίας του είναι ηµιτονική συνάρτηση του χρόνου και να υολογίσετε α) την αρχική φάση της ταλάντωσης β) την αοµάκρυνση, την ταχύτητα και την ειτάχυνση ταλάντωσης του σώµατος τη χρονική στιγµή t = 3 4 sec και γ) το χρόνο ου ααιτείται για να µεταβεί το σώµα στη θέση x =,1 m για ρώτη φορά. 811 ίνεται ηµ =, 5 και = 1. 5. Η εξίσωση της αοµάκρυνσης ενός σώµατος ου εκτελεί γραµµική αρµονική ταλάντωση, σε συνάρτηση µε το χρόνο, δίνεται αό τη σχέση x=,1 συν(t - ) (S.I.).
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 α) Να γράψετε τις εξισώσεις ου δίνουν την ταχύτητα και την ειτάχυνση της ταλάντωσης σε συνάρτηση µε το χρόνο. β) Να υολογίσετε µετά αό όσο χρόνο αό τη χρονική στιγµή t = το σώµα ερνά αό τη θέση x=,5 m έχοντας θετική ταχύτητα και γ) οια η ταχύτητα και η ειτάχυνση του σώµατος στη θέση αυτή. ίνεται = 1.. Υλικό σηµείο εκτελεί αλή αρµονική ταλάντωση µε λάτος Α =,1 m και συχνότητα f = 1 Ηz. Το υλικό σηµείο ξεκινά την ταλάντωσή του αό τη θέση ισορροίας κινούµενο µε αρνητική ταχύτητα. Να θεωρήσετε ότι η αοµάκρυνση x του υλικού σηµείου αό τη θέση ισορροίας του είναι ηµιτονική συνάρτηση του χρόνου και να υολογίσετε α) τον ελάχιστο χρόνο ου ααιτείται για να µεταβεί αό τη θέση x 1 =,5 m µέχρι τη θέση x =,5 3 m και β) την ταχύτητα και την ειτάχυνση ταλάντωσης του σώµατος όταν ερνά αό τις αντίστοιχες θέσεις. ίνεται = 1. 7. Σώµα εκτελεί αλή αρµονική ταλάντωση µε λάτος A =, m και αρχική φάση, φ = rad. Τη χρονική στιγµή t= sec το σώµα ερνά για ρώτη φορά αό τη 3 θέση x=,1 m * κινούµενο κατά τη θετική φορά. Να θεωρήσετε ότι η αοµάκρυνση x του υλικού σηµείου αό τη θέση ισορροίας του είναι ηµιτονική συνάρτηση του χρόνου και να υολογίσετε α) την ερίοδο της ταλάντωσης β) τις εξισώσεις της αοµάκρυνσης και της ταχύτητας ταλάντωσης του σώµατος σε συνάρτηση µε το χρόνο κίνησης και γ) την τιµή της ειτάχυνσης τη χρονική στιγµή t=. ίνεται = 1. 4 8. Σώµα εκτελεί γραµµική αρµονική ταλάντωση µεταξύ δύο θέσεων ου αέχουν αόσταση d =, m. Τη χρονική στιγµή t = βρίσκεται στη µέγιστη δυνατή θετική αοµάκρυνση και µετά αό χρόνο t =,5 sec ερνά αό τη θέση ισορροίας. Να
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 9 θεωρήσετε ότι η αοµάκρυνση x του υλικού σηµείου αό τη θέση ισορροίας του είναι ηµιτονική συνάρτηση του χρόνου και να υολογίσετε α) τη µέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης του σώµατος β) να γράψετε τις εξισώσεις της αοµάκρυνσης, της ταχύτητας και της ειτάχυνσης σε συνάρτηση µε το χρόνο κίνησης. ίνεται = 1. 9. Σώµα εκτελεί γραµµική αρµονική ταλάντωση της οοίας η αοµάκρυνση σε συνάρτηση µε το χρόνο δίνεται αό τη σχέση x=,8 ηµ t (S.I.). Να υολογίσετε 3 α) τις χρονικές στιγµές για τις οοίες η αοµάκρυνση είναι ίση µε το µισό του λάτους ( x = ±,4 m ) σε µια ερίοδο β) τη χρονική στιγµή κατά την οοία το σώµα θα εράσει αό τη θέση x =,4m για δεύτερη φορά µε θετική ταχύτητα γ) την ταχύτητα και την ειτάχυνση τη στιγµή ου η αοµάκρυνση του σώµατος είναι ίση µε x=,4 m για ρώτη φορά. ίνεται = 1. 1. Υλικό σηµείο εκτελεί αλή αρµονική ταλάντωση. Όταν το υλικό σηµείο ερνά αό τις θέσεις x 1 =,1 m και x =,1 m, η ταχύτητα του έχει αντίστοιχα τιµές υ 1 = 1, m/sec και υ = 1, m/sec. Το υλικό σηµείο ξεκινά την ταλάντωσή του αό τη θέση ισορροίας κινούµενο κατά τη θετική φορά κίνησης. Να θεωρήσετε ότι η αοµάκρυνση x του υλικού σηµείου αό τη θέση ισορροίας του είναι ηµιτονική συνάρτηση του χρόνου και να υολογίσετε α) την ερίοδο και το λάτος της ταλάντωσης β) τον ελάχιστο χρόνο ου ααιτείται για να µεταβεί αό τη θέση x στη θέση x 1. ίνεται ηµ 5 =, και ηµ =, 8. 3,4 11. Σώµα εκτελεί γραµµική αρµονική ταλάντωση. Κατά την ταλάντωσή του το σώµα ερνά αό µια θέση µε ταχύτητα υ 1 = 8 m/sec και ειτάχυνση α 1 = 5 m/sec, και αό µια δεύτερη θέση µε υ = 1 m/sec και ειτάχυνση α = 4 m/sec. Το σώµα ξεκινά την ταλάντωσή του αό τη θέση ισορροίας κινούµενο κατά τη θετική φορά κίνησης. Να
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 θεωρήσετε ότι η αοµάκρυνση x του υλικού σηµείου αό τη θέση ισορροίας του είναι ηµιτονική συνάρτηση του χρόνου και να υολογίσετε α) την εξίσωση της αοµάκρυνσης του σώµατος σε συνάρτηση µε το χρόνο κίνησης β) το χρόνο ου χρειάζεται το σώµα για να φτάσει στη θέση x 1 για ρώτη φορά. 1. Σώµα εκτελεί γραµµική αρµονική ταλάντωση µε λάτος Α. Τη χρονική στιγµή t = η αοµάκρυνσή του είναι ίση µε το µισό του λάτους της ταλάντωσης (x= + A ) και η ταχύτητά του θετική. Μετά αό χρόνο t = sec ερνά αό την ίδια θέση µε αντίθετη ταχύτητα. Να θεωρήσετε ότι η αοµάκρυνση x του υλικού σηµείου αό τη θέση ισορροίας του είναι ηµιτονική συνάρτηση του χρόνου και να υολογίσετε α) την ερίοδο της ταλάντωσης του σώµατος β) την αρχική φάση της ταλάντωσης. 13. Υλικό σηµείο εκτελεί αλή αρµονική ταλάντωση λάτους A =, m και εριόδου Τ = sec. Τη χρονική στιγµή µηδέν το υλικό σηµείο ξεκινά την ταλάντωσή του αό τη θέση ισορροίας του µε θετική ταχύτητα. Να θεωρήσετε ότι η αοµάκρυνση x του υλικού σηµείου αό τη θέση ισορροίας του είναι ηµιτονική συνάρτηση του χρόνου. α) Να γράψετε την εξίσωση της αοµάκρυνσης και της ταχύτητας του σώµατος σε συνάρτηση µε το χρόνο κίνησης. β) Να υολογίσετε το ελάχιστο χρονικό διάστηµα ου ααιτείται για να µεταβεί το υλικό σηµείο αό τη θέση x 1 =,1 m στη θέση x =,1 m, αν δίνεται ότι το υλικό σηµείο ερνάει αό τη θέση x κινούµενο i) ρος τη θετική κατεύθυνση, ii) ρος την αρνητική κατεύθυνση. 14. Υλικό σηµείο εκτελεί αλή αρµονική ταλάντωση µεταξύ δύο σηµείων ου αέχουν µεταξύ τους αόσταση d =, m. Τη χρονική στιγµή t = η αοµάκρυνση του υλικού σηµείου είναι x =,5 m και η ταχύτητα του θετική µε µέτρο υ =, 3 m / sec. Να θεωρήσετε ότι η αοµάκρυνση x του υλικού σηµείου αό τη θέση ισορροίας του είναι ηµιτονική συνάρτηση του χρόνου. α) Να γράψετε τις εξισώσεις αοµάκρυνσης και της ταχύτητας του υλικού σηµείου σε συνάρτηση µε το χρόνο κίνησης
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31 β) Να υολογίσετε την αοµάκρυνση και την ταχύτητα του υλικού σηµείου τη χρονική στιγµή t= sec και 1 γ) να υολογίσετε τη χρονική στιγµή όου η αοµάκρυνση του υλικού σηµείου είναι x=,1 m για ρώτη φορά. 15. Υλικό σηµείο εκτελεί αλή αρµονική ταλάντωση µε λάτος Α =, m και αρχική φάση φ. Μέσα στην ρώτη ερίοδο της ταλάντωσης τις χρονικές στιγµές t 1 = 1 sec και t = sec η αοµάκρυνση του υλικού σηµείου είναι =,1 m και =,1 3 m αντίστοιχα και η ταχύτητά του θετική. Να θεωρήσετε ότι η αοµάκρυνση x του υλικού σηµείου αό τη θέση ισορροίας του είναι ηµιτονική συνάρτηση του χρόνου. α) Να γράψετε τις εξισώσεις της αοµάκρυνσης και της ταχύτητας του υλικού σηµείου σε συνάρτηση µε το χρόνο κίνησης β) Να υολογίσετε τη χρονική στιγµή ου η ταχύτητα ταλάντωσης του υλικού σηµείου γίνεται µέγιστη για ρώτη φορά. 1. Σώµα είναι δεµένο στο άκρο οριζόντιου ελατηρίου, το ελεύθερο άκρο του οοίου είναι ακλόνητα συνδεδεµένο σε κατακόρυφο τοίχο. Το ελατήριο έχει το φυσικό του µήκος, όταν το σώµα ισορροεί στο λείο και οριζόντιο δάεδο. Εκτρέουµε το σώµα αό τη θέση ισορροίας κατά x =, m και το αφήνουµε ελεύθερο να εκτελέσει αλή αρµονική ταλάντωση. Να θεωρήσετε ότι η αοµάκρυνση x του υλικού σηµείου αό τη θέση ισορροίας του είναι ηµιτονική συνάρτηση του χρόνου και να υολογίσετε το λόγο των ταχυτήτων ταλάντωσης του σώµατος, όταν αυτό ερνά αντίστοιχα αό τις θέσεις, x 1 =,1 m και x = m. 3 17. Η εξίσωση της αοµάκρυνσης ενός σώµατος ου εκτελεί γραµµική αρµονική ταλάντωση σε συνάρτηση µε το χρόνο κίνησης δίνεται αό τη σχέση (S.I.). Να υολογίσετε α) την αρχική φάση της ταλάντωσης x 1 x x =,1 ηµ t β) την αοµάκρυνση και την ταχύτητα ταλάντωσης του σώµατος τη χρονική στιγµή t = 1,5 secphysics by Chris Simopoulos
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 γ) το χρόνο ου ααιτείται για να φτάσει το σώµα για ρώτη φορά στη θέση x =,5 m µε αρνητική ταχύτητα. 18. Η εξίσωση της ταχύτητας ενός σώµατος ου εκτελεί γραµµική αρµονική ταλάντωση 5 σε συνάρτηση µε το χρόνο κίνησης δίνεται αό τη σχέση υ = ηµ (1 ) (S.I.). Να υολογίσετε α) την αρχική φάση της ταλάντωσης β) την αοµάκρυνση του σώµατος τη χρονική στιγµή t = και γ) το χρόνο ου ααιτείται για να φτάσει το σώµα κατά την ταλάντωσή του για ρώτη φορά στη θέση x=,1 m µε αρνητική ταχύτητα. 19. Υλικό σηµείο εκτελεί αλή αρµονική ταλάντωση και ερνάει αό δύο σηµεία της τροχιάς του, Α και Β, ου αέχουν µεταξύ τους αόσταση d =, m, µε την ίδια ταχύτητα. Για τη µετάβαση αό το σηµείο Α στο Β ααιτείται χρονικό διάστηµα t l = 4 sec. Μετά το έρασµα του αό το σηµείο Β, το υλικό σηµείο χρειάζεται χρονικό διάστηµα t = 4 sec για να εράσει άλι αό το σηµείο Β, κινούµενο µε αντίθετη φορά. Να θεωρήσετε ότι η αοµάκρυνση x του υλικού σηµείου αό τη θέση ισορροίας του είναι ηµιτονική συνάρτηση του χρόνου και να υολογίσετε α) την ερίοδο της ταλάντωσης και β) το λάτος της ταλάντωσης.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 33