PAATHËNIE Kur në vitin 975 u organizua për herë të parë në vendin tonë Olimpiada Kombëtare e Matematikës, ndonëse kishim bindjen dhe uronim që ajo të institucionalizohej si veprimtari e rëndësishme, nuk mund t i përftronim as përmasat e suksesit të saj, as kohën relativisht të shkurtër brenda së cilës do të formonte fizionominë e vet të qartë dhe do të konsolidonte një traditë shumë pozitive Duke hedhur një vështrim retrospektiv mund të zbulohen mjaft faktorë që kanë ndikuar në këtë arritje, por pa hrë në përimtime analizash të thelluara, do të veçoja tre sresh që, për mendimin tim, kanë pasur një rol vendimtar Së pari, olimpiadat i mori përsipër t i udhëhiqte një ekip shumë i kualifikuar specialistësh, këmbëngulës dhe me vizion shumë të qartë Por në këtë lloj veprimtarie duheshin edhe cilësi të tjera që nuk u mungonin drejtuesve të Olimpiadës: pasioni, përkushtimi dhe një dhunti e veçantë që Blez Paskali e quante me fjalën e goditur ésprit në frëngjisht, e cila të lejon të zbulosh apo të sajosh ushtrime e problema të tilla me ide befasuese, sa të holla aq edhe sublime në thjeshtësinë e tre, që vënë në lëvizje dhe i mprehin në mënrë të përkrer, mekanizma të intelektit, të cilat do të mbeteshin të përgjumura e të topitura në veprimtarinë rutinë Së dti, u përzgjodhën me kujdes mësues të përgatitur, të cilët do të organizonin bazën e gjerë të piramidës së olimpiadave në rang shkolle, qteti e rrethi, që do të evidentonte nxënësit e talentuar për konkurrim kombëtar, të cilët edhe stërviteshin paraprakisht sipas programesh të posaçme jo të ngurta, por gjithmonë të ndërtuara me merak dhe me kompetencë Kjo ishte një infrastrukturë me shtrirje kapilare në të gjithë territorin e vendit, e cila shërbeu si mbështetje e sigurt dhe e pasuroi përvojën me gjëra interesante Së treti, ekzistonte një masë e gjerë nxënësish që u sensibilizuan ndjeshëm dhe shfaqën interesim entuziast për pjesëmarrjen në olimpiadat Më vjen mirë të pohoj se te ne gjen, ndoshta në një numër mbi mesataren, nxënës të mprehtë e të zgjuar, me intuitë natrore, me kureshtje të gjallë etj Këta janë ai truall i përshtatshëm ku farat e dijeve matematike të selitura me kujdes, mund të ishin frte të begata Një dëshmi për këtë është edhe fakti që fëmijët e emigrantëve shqiptarë, në një numër statistikisht të pranueshëm, në shkollat e huaja që ndjekin, renditen ndër më të mirët e klasave përkatëse Por, them, nuk është pa interes fakti që do të sjell më tej, i cili ka karakter më specifik dhe lidhet më drejtpërdrejt me çka përmenda më lart Në vitet 90-të, kur Shqipëria doli nga qerthulli i mbllur i izolimit ose më saktë, vetizolimit, pjesëmarrja e ekipeve tona në olimpiadat matematike rajonale dhe botërore u bë e rregullt ezultatet e konkurruesve tanë në fillim mbeteshin jashtë zonës së medaljeve e shumë-shumë arrinin deri te ndonjë çmim inkurajues Kjo ishte plotësisht e kuptueshme, sepse kërkohej një periudhë aklimatizimi me atmosferën e garave ndërkombëtare, me kërkesat në to, me problematikën ku vihej theksi, me strukturën e ndërtimit të tezave e me mjaft hollësi të tjera, njohja e të cilave kishte rolin dhe peshën e vet në arritjen e suksesit Brenda një kohe të shkurtër këto vështirësi u kapërcen e në olimpiadat e fundit kemi pasur edhe medalistë që kanë zënë vende të mira në një konkurrim shumë të fortë dhe në mjaft aspekte edhe të pabarabartë Të pabarabartë sepse ekipeve të vendeve të tjera u sigurohen kushte që ne nuk i krijojmë dot Ata kanë qendra kombëtare të stërvitjes gjithëvjetore të ekipeve, shkolla me programe të posaçme, grupe mentorësh që merren posaçërisht me këtë punë, botime të shumta periodikësh matematike për rininë shkollore dhe një literaturë të pasur e të përditësuar që e vënë në shërbim të garave matematike etj Pika e fortë e konkurruesve tanë në këto gara ishte potenciali i intelektit Po përmend d nxënës që kanë arritur rezultate shumë të shkëlqera Në vitin 00, në Olimpiadën e 43-të Botërore të Matematikës, në Glasgou të Britanisë së Madhe, Arlind Kopliku, nxënës i vitit të tretë në shkollën e mesme të përgjithshme 8 Nëntori, Shkodër, mori medalje bronzi Në vitin 004, në Olimpiadën e 45-të Botërore të Matematikës, në Athinë të Greqisë u përsërit k rezultat (medalje bronzi), por tani nga Gjergji Zaimi, nxënës i vitit të dtë në Kolegjin Turgut Ozal, Tiranë Një vit më vonë, pra në 005-n, në Olimpiadën e 46-të Botërore të Matematikës, në Merida të Meksikës, Gjergji Zaimi e përmirësoi rezultatin e vet duke marrë tani medalje argjendi K është dhe rezultati më i mirë i deritanishëm për ekipin tonë
Ballafaqime të tilla kanë ndihmuar për të përvijuar një strategji më të studiuar, në realizimin e të cilës do të marrin pjesë shumë aktorë Një pikë nje në këtë strategji janë botimet e posaçme në funksion të një përgatitjeje serioze për olimpiadat Gjatë zhvillimit në vite të olimpiadave matematike është krijuar një ushtrimotekë mjaft e plotë, e larmishme, cilësore, e cila është dokumentuar dhe ruajtur me kujdes Nuk do të ngurroja ta quaja këtë një pasuri të ver Pjesërisht ajo ka parë dritën e botimit Materiale nga olimpiadat nga e para në të tetëmbëdhjetën, të sistemuara e të paraqitura me korrektesë shkencore, kanë qenë në dorë të lexuesit të interesuar Etja me të cilën janë pritur, vlerësimi mjaft pozitiv që kanë pasur, roli që kanë luajtur si mbështetje serioze në përpjekjet e nxënësve të përkushtuar për ngritjen cilësore të mësimdhënies së matematikës dhe në punën për kultivimin e talenteve, janë dëshmi bindëse për vlerat e tre Tanimë, falë mbështetjes së Shtëpisë Botuese MAX, u ndërmor botimi më i plotë i visarit të ushtrimeve të dhëna në Olimpiadat Kombëtare, nga e para deri në të 6-n, e fundit sipas radhës, të zhvilluara deri tani Përveç materialeve të pabotuara ndonjëherë (të Olimpiadave 9-6, por dhe të tjera), për lehtësi përdorimi, strukturimi i lëndës është bërë me një kriter tjetër nga ai i botimeve të mëparshme Kështu, materiali do të jetë i ndarë në tre libra Libri i parë do të përfshijë ushtrimet dhe problemat për d vitet e para të shkollës së mesme të dhëna në fazën e dtë dhe atë të tretë (finale) Libri i dtë ngërthen ushtrimet dhe problemat për vitet e treta ndërsa në librin e tretë jepet paraqitja e ushtrimeve dhe problemave të vitit të katërt, të dhëna kresisht në fazën finale por edhe në atë të dtë Në d librat e fundit pasqrohen të gjitha olimpiadat, ndërsa në të parin, meqenëse garimi për nxënësit e klasave të dta ka filluar në vitin shkollor 98-98 (Olimpiada e 3-të), ndërsa për vitet e para ka filluar në vitin shkollor 997-998 (Olimpiada e 9-të), kuptohet paraqitja nis nga k cak Librat që merren në dorë, frt i një pune serioze shumëvjeçare të autorëve Prof Dr Agim Karçanaj, të ndjerit As Prof Dr Andrea Kotro dhe të Prof Dr Fatmir Hoxha, të krer me frmëzim të vërtetë, me kompetencë të lartë shkencore, me origjinalitet të spikatur me njohje të thellë të arritjeve botërore, me orientim të saktë në qëmtimin e gjetjeve të mira, por edhe me sqimë në zbulimin e bukurisë së papërsëritshme të matematikës, përbëjnë një kontribut dinjitoz në letërsinë tonë matematike Olimpiadat Kombëtare Matematike Shqiptare, që janë një faqe e ndritur në progresin matematik të vendit, e meritonin të fiksoheshin në një botim të tillë të plotë Prof Aleko MINGA (974-975) 33 (a) Në planin koordinativ xo të përcaktohet bashkësia e pikave M(x,), koordinatat e të cilave vërtetojnë mosbarazimin log ( log x ) > (b) Një klasë ka 5 nxënës A mund të gjenden në këtë klasë tre nxënës që e festojnë ditëlindjen e tre në të njëjtin muaj? Zgjidhje (a) Ana e majtë e mosbarazimit ka kuptim kur x>0 dhe >0 Duke ditur se log =, mosbarazimin e dhënë e shkruajmë:
( log ) log log x > Meqenëse baza e logaritmit është më e madhe se, funksioni logaritmik është rritës; prandaj nga mosbarazimi i mësipërm, rrjedh: log x > ose log > log x, () x x sepse log x = log x = = x x Në mosbarazimin () dallojmë d raste: ) Kur 0< x <, funksioni logaritmik është zbritës dhe nga () rrjedh < x Pra koordinata e pikave të kërkuara plotësojnë kushtet: 0 < x < > 0 < x që përcaktojnë zonën e ngjrosur G në figurë ) Kur x >, funksioni logaritmik është rritës dhe nga () rrjedh > x Pra koordinatat e pikave të kërkuara plotësojnë kushtet: x > > 0, > x që përcaktojnë zonën e ngjrosur G në figurë Përfundimisht bashkësia e pikave të kërkuara është bashkimi i bashkësive G dhe G (b) E zëmë se k pohim nuk është i vërtetë, dmth se në këtë klasë nuk mund të gjenden më shumë se d nxënës që të kenë lindur në të njëjtin muaj Me këtë kusht, në çdo njërin nga muajt e vitit kanë lindur të shumtën nxënës të klasës dmth klasa nuk mund të këtë më shumë se 4 nxënës, që bie në kundërshtim me kushtin e dhënë në problem 33 Për të lakuar fletët metalike në formën e cilindrit rrethor të drejtë përdoren tri rule me rreze r, të vendosur si në figurën, ku O O =a dhe O 3 K është përmesore e segmentit O O Diametri i fletës metalike pas kalimit nëpër rule shënohet me dhe segmenti O 3 K me x (a) Te gjendet varësia e madhësisë nga madhësia x, si dhe vlerat e lejueshme të x-it (b) Në qoftë se r = dhe a =, për ç vlerë të x-it do të merret një gp me diametër 3? Zgjidhje (a) rethi me qendër O dhe me rreze = (prerja tërthore e fletës metalike pas kalimit nëpër rule) është tangjent me rrathët me qendra O e O dhe me rreze r Prandaj OO = r + dhe OO = r + Si rrjedhim OO =OO, dmth pika O gjendet në përmesoren O 3 K të segmentit O O,
Në trekëndëshin kënddrejtë OKO zbatojmë teoremën e Pitagorës: OO = OK + KO dhe duke zëvendësuar OO = r +, O K = a, KO = KO 3 + O3O = x + r, kemi: + = a + x + r r Bëjmë shndërrimet dhe kemi r x = a x r x ( ) ( ) Nga kushtet e problemit rrjedh që x<r, sepse ne rast të kundërt, dmth në qoftë se x r, fleta metalike nuk do të pësonte përkulje (segmenti KL do të ishte më i madh ose i barabartë me r ) Meqenëse x, r ose r x>0, ekuacioni () shkruhet: a = x () r x Për të gjetur kufirin tjetër të ndrshimit të x, shohim gjendjen e rulit O 3 në kufirin e poshtëm, kur ai është tangjent me rulet O dhe O Në këtë rast kemi: O 3 O =r, O K= a dhe O 3 K= x = 4r a Si përfundim, vlerat e lejueshme te x-it janë: 4r a x < r Marrëdhënia ndërmjet madhësive a dhe r përcaktohet nga kushti 4r a 0, prej nga a r (b) në barazimin () zëvendësojmë r =, a = dhe = 3: 4 3 = x x + x = 0 x Prej nga gjejmë x = 333 Janë dhënë një rreth dhe d pika A dhe P Pika a gjendet në rreth, kurse pika P brenda rrethit Të gjenden në rreth d pika të tjera B dhe C, në mënrë që P të jetë pika e prerjes së lartësive të trekëndëshit ABC Zgjidhje Analizë E zëmë problemin të zgjidhur (figura)vëmë re se: PBC ˆ = A AC ˆ si kënde me brinjë pingule (BC AA, BP AC) CBA ˆ A AC ˆ =, si kënde rrethorë që mbështeten në të njëjtin hark A C; Si rrjedhim P BC ˆ = CBˆ A Trekëndëshat kënddrejtë BEP dhe BEA kanë katetin BE të përbashkët dhe nga një kënd të ngushtë të barabartë P BC ˆ = CBˆ A ); prandaj janë të barabartë ( ()
Prej këtej nxjerrim që PE=EA Meqenëse BC AA dhe PE=EA, drejtëza BC është përmesore e segmentit PA Ndërtim Heqim drejtëzën AP e cila e pret rrethin në pikën A Ndërtojmë përmesoren e segmentit PA, e cila e pret rrethin në pikat e kërkuara B dhe C Pikën A e bashkojmë me pikat B dhe C Pika P është pikëprerja e lartësive të trekëndëshit ABC Vërtetim Të vërtetojmë që pika P është pikëprerja e lartësive të trekëndëshit ABC Për këtë mjafton të vërtetojmë që BP AC Meqenëse pika B gjendet në përmesoren e segmentit PA, kemi BP=BA dmth trekëndëshi BPA është dbrinjënjëshëm, në të cilin lartësia BE (nga ndërtimi BE PA ) është edhe përgjsmore: P BC ˆ = CBˆ A Por CBA ˆ = A Aˆ C, si kënde rrethorë që mbështeten në të njëjtin hark A C Si rrjedhim PBC ˆ = A AC ˆ Nga ana tjetër APF ˆ = BPE ˆ, si të kundërta në kulm Si përfundim ο P FA ˆ = PEˆ B = 90, dmth BP AC Diskutim Meqenëse, nga ndërtimi, pika E është e vetme, problemi ka gjithmonë një zgjidhje të vetme 334 Në një piramidë të rregullt trekëndore, këndi dfaqësh midis d faqeve anësore është α Të gjendet lartësia e piramidës, në qoftë se largësia e këmbës së lartësisë nga njëra brinjë anësore është a Shprehja të bëhet e përshtatshme për logaritmim Zgjidhje Nga këmba O e lartësisë SO heqim planin pingul me brinjën anësore SA (figura) K plan pret brinjët SA, AB dhe AC përkatësisht në pikat D, E dhe F Drejtëza SA është pingule me DE, DO dhe DF Nga kushti, EDF ˆ = α dhe OD=a Trekëndëshat kënddrejtë DAE dhe DAF kanë katetin DA të përbashkët dhe nga një kënd të ngushtë të barabartë ( DAE ˆ = DAˆ F ) Prandaj ata janë të barabartë Prej këtej nxjerrim DE=DF dhe AE=AF Meqenëse AE=AF, rrjedh që EF BC, AO EF dhe OE=OF Në trekëndëshin dbrinjënjëshëm DEF mesorja DO është lartësi dhe përgjsmore: DO EF dhe ˆ ˆ α O DE = ODF = Në trekëndëshin kënddrejtë DOE kemi: α α OE = DO tg = a tg Në trekëndëshin kënddrejtë AOE kemi:
0 α α OA = OE cot g30 = a tg 3 = 3 a tg Zbatojmë teoremën e Pitagorës në trekëndëshin kënddrejtë ODA: α α AD = OA OD = 3a tg a = a 3 tg Trekëndëshat kënddrejtë SOA dhe ODA kanë këndin e ngushtë në kulmin A të përbashkët, prandaj janë të ngjashëm Prej nga nxjerrim: SO OA OA OD = SO = OD AD AD Duke zëvendësuar, gjejmë lartësinë SO të piramidës: α a 3tg SO = α 3tg Shndërrojmë në prodhim diferencën: α α α 0 3 tg = tg = 3 tg tg 30 = 3 3 α 0 α 0 = 3 tg tg30 tg + tg30 = α 0 α 0 sin 30 sin + 30 = 3 = α 0 α 0 cos cos30 cos cos30 α 0 α 0 sin 30 sin + 30 = 4 α cos Si përfundim, lartësia e piramidës është: α a 3 sin SO = 0 0 α 60 α + 60 sin cos 335 Një enë përbëhet nga sipërfaqja anësore e një trungu koni rrethor të drejtë të mbllur në anën e bazës së vogël me një kësulë sferike që është tangjente me përftueset e trungut; sipërfaqja sferike që i përket kësaj kësule është tangjente edhe me bazën e madhe të trungut (fig5) (a) Duke ditur rrezen të sipërfaqes sferike dhe këndin α të prerjes boshtore të konit plotësues të trungut, të njehsohen: rrezja e bazës së vogël, lartësia H dhe përftuesja l e trungut të konit
(b) Në enë hidhet ujë dhe shënohet me x lartësia e nivelit të ujit nga fundi i enës Të njehsohet sipërfaqja e lirë S(x) e ujit në enë, kur niveli i ujit ndodhet në pjesën sferike si dhe kur ndodhet në pjesën konike (c) Të ndërtohet grafiku i funksionit S(x) për vlerat e palejueshme të x-it, kur α = 30 0 Zgjidhje (a) Meqenëse OB SB dhe BC SO kemi: OBC ˆ = BSˆ O = α rezen r = BE të trungut të konit e gjejmë nga trekëndëshi kënddrejte OEB: r = cosα Lartësia h e trungut të konit është: h=te=to+oe=+sinα, pra h=(+sinα) Nga pika B heqim BF AD dhe nga trekëndëshi kënddrejtë BFA gjejmë përftuesen l = AB të trungut: BF h ( + sinα ) l = = = cosα cosα cosα (b) Shënojmë KM = x lartësinë e një niveli çfarëdo të ujit në pjesën sferike te enës Atëherë sipërfaqja e lirë S(x) e ujit në enë është sipërfaqja e qarkut me rreze MP: S( x) = π MP Por segmenti MP është lartësia mbi hipotenuzë e trekëndëshi TPK kënddrejtë në P 0 ( K PT ˆ = 90, si kënd rrethor që mbështetet në gjsmërreth), prandaj MP = KM MT = x ( x) Si rrjedhim S( x) = π x (π x), kur 0 x KE Tani shënojmë KN= x lartësinë e një niveli çfarëdo të ujit në pjesën konike të sferës Atëherë sipërfaqja e lirë S(x) e ujit në enë është sipërfaqja e qarku me rreze NQ: S( x) = π NQ Njehsojmë segmentin NQ: NQ = NL + LQ = r + CL tgα = cos α + EN tgα por EN=KN-KE=x-(KO-OE)=x-(-sinα), prandaj, NQ=cosα+[x ( sinα)] tgα Si përfundim: S( x) = π [ cosα + ( x + sinα ) tgα], ku KE x (c) Duke zëvendësuar α = 30 0, kemi: KE = OE = sin 30 0 = = S(x)=πx(r-x), kur 0 x dhe 3 S( x) = π + x + 3 =
= π ( x + ), kur x 3 Si përfundim, funksioni S(x) shkruhet: πx( x) për 0 x S( x) = π ( x + ) për x 3 Për të ndërtuar grafikun e funksionit S(x) në fillim ndërtojmë grafikun e funksionit = πx(-x) në segmentin [0, ], që është pjesa e parabolës me kulm në pikën K (;π ) dhe që pret boshtin e abshisave në pikat (0;0) dhe (0;) (në figurë paraqitet me pjesën OA të kësaj parabole) Pastaj ndërtojmë grafikun e funksionit = π ( x + ) 3 në segmentin [ ;], që është pjesa e parabolës me kulm ne pikën K (0;-) dhe që pret boshtin e π ordinatave në pikën 0; 3 (në figurë paraqitet me pjesën AB të kësaj parabole) Si përfundim, grafiku i funksionit S(x) është vija OAB