Η παρουσίαση που ακολουθεί, αφορά την κανονική κατανομή και σκοπό έχει τη διευκόλυνση των φοιτητών του τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών

Η παρουσίαση που ακολουθεί, αφορά την κανονική κατανομή και σκοπό έχει τη διευκόλυνση των φοιτητών του τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών να αντιληφθούν τη σημασία της εν λόγω κατανομής για την περιγραφή των πληθυσμών που περιέχουν εξαιρετικά μεγάλο πλήθος γεγονότων

Έστω ότι μετρήθηκε το κρασί που παρέχετε σε κάθε μπουκάλι της γραμμής εμφιάλωσης σε μια οινοποιία και βρέθηκε να παίρνει τιμές στο διάστημα 4,4 έως 5,4 ml. Ας υποθέσουμε ότι καταγράφηκαν 34 μετρήσεις και η πρώτη έδειξε 5 ml 8 7 6 5 4 3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5 5, 5, 4,3 4,4

Έστω ότι μετρήθηκε το κρασί που παρέχεται σε κάθε μπουκάλι της γραμμής εμφιάλωσης σε μια οινοποιία και βρέθηκε να παίρνει τιμές στο διάστημα 4,4 έως 5,4 ml. Ας υποθέσουμε ότι καταγράφηκαν 34 μετρήσεις και η πρώτη έδειξε 5 ml 8 7 6 5 4 3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5 5, 5, 4,3 4,4

Έστω ότι μετρήθηκε το κρασί που παρέχεται σε κάθε μπουκάλι της γραμμής εμφιάλωσης σε μια οινοποιία και βρέθηκε να παίρνει τιμές στο διάστημα 4,4 έως 5,4 ml. Ας υποθέσουμε ότι καταγράφηκαν 34 μετρήσεις και η πρώτη έδειξε 5 ml Αν στο δεύτερο μπουκάλι μετρήθηκε το περιεχόμενο και βρέθηκε να είναι 4,9 8 7 6 5 4 3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5 5, 5, 4,3 4,4

Έστω ότι μετρήθηκε το κρασί που παρέχεται σε κάθε μπουκάλι της γραμμής εμφιάλωσης σε μια οινοποιία και βρέθηκε να παίρνει τιμές στο διάστημα 4,4 έως 5,4 ml. Ας υποθέσουμε ότι καταγράφηκαν 34 μετρήσεις και η πρώτη έδειξε 5 ml Αν στο δεύτερο μπουκάλι μετρήθηκε το περιεχόμενο και βρέθηκε να είναι 4,9 και συνεχίζοντας να καταγράφουμε τις επόμενες μετρήσεις 8 7 6 5 4 3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5 5, 5, 4,3 4,4

Έστω ότι μετρήθηκε το κρασί που παρέχεται σε κάθε μπουκάλι της γραμμής εμφιάλωσης σε μια οινοποιία και βρέθηκε να παίρνει τιμές στο διάστημα 4,4 έως 5,4 ml. Ας υποθέσουμε ότι καταγράφηκαν 34 μετρήσεις και η πρώτη έδειξε 5 ml Αν στο δεύτερο μπουκάλι μετρήθηκε το περιεχόμενο και βρέθηκε να είναι 4,9 και συνεχίζοντας να καταγράφουμε τις επόμενες μετρήσεις 8 7 6 5 4 3 ω 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5 5, 5, 4,3 4,4

Έστω ότι μετρήθηκε το κρασί που παρέχεται σε κάθε μπουκάλι της γραμμής εμφιάλωσης σε μια οινοποιία και βρέθηκε να παίρνει τιμές στο διάστημα 4,4 έως 5,4 ml. Ας υποθέσουμε ότι καταγράφηκαν 34 μετρήσεις και η πρώτη έδειξε 5 ml Αν στο δεύτερο μπουκάλι μετρήθηκε το περιεχόμενο και βρέθηκε να είναι 4,9 και συνεχίζοντας να καταγράφουμε τις επόμενες μετρήσεις 8 7 6 5 4 3 ω ω 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5 5, 5, 4,3 4,4

Έστω ότι μετρήθηκε το κρασί που παρέχεται σε κάθε μπουκάλι της γραμμής εμφιάλωσης σε μια οινοποιία και βρέθηκε να παίρνει τιμές στο διάστημα 4,4 έως 5,4 ml. Ας υποθέσουμε ότι καταγράφηκαν 30 μετρήσεις και η πρώτη έδειξε 5 ml Αν στο δεύτερο μπουκάλι μετρήθηκε το περιεχόμενο και βρέθηκε να είναι 4,9 Αν συνδέσουμε με μια πολυγωνική γραμμή τις κορυφές των ιστίων δημιουργείται μια σχεδόν συμμετρική μορφή. 8 7 6 5 4 3 ω ω 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5 5, 5, 4,3 4,4

Έστω ότι μετρήθηκε το κρασί που παρέχεται σε κάθε μπουκάλι της γραμμής εμφιάλωσης σε μια οινοποιία και βρέθηκε να παίρνει τιμές στο διάστημα 4,4 έως 5,4 ml. Ας υποθέσουμε ότι καταγράφηκαν 34 μετρήσεις και η πρώτη έδειξε 5 ml Αν στο δεύτερο μπουκάλι μετρήθηκε το περιεχόμενο και βρέθηκε να είναι 4,9 8 7 Αν συνδέσουμε με μια πολυγωνική γραμμή τις κορυφές των ιστίων δημιουργείται μια σχεδόν συμμετρική μορφή που για πολύ περισσότερες μετρήσεις αποκτά το σχήμα Της κωδωνοειδούς. 6 5 4 3 ω ω 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5 5, 5, 4,3 4,4

Όταν βλέπουμε μια κωδωνοειδή μορφή κατανομής, Σκεφτόμαστε την διακριτή κατανομή από την οποία φαίνεται ότι προήλθε

Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Αν μια τυχαία μεταβλητή Χ πλήρη τις παρακάτω συνθήκες, που ονομάζονται συνθήκες Βorel, τότε η μεταβλητή αυτή ακολουθεί κατά προσέγγιση τον κανονικό νόμο. (η δε προσέγγιση αυτή είναι τόσο καλύτερη, όσο το πλήθος των αιτιών είναι μεγαλύτερο):. η μεταβλητή X εξαρτάται από μεγάλο πλήθος αιτίων. τα αίτια αυτά είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους 3. κάθε ένα από αυτά τα αίτια επιδρά λίγο στη μεταβλητή 4. όλα τα αίτια επιδρούν στη μεταβλητή με την αυτή τάξη μεγέθους Δείτε την προσομοίωση: Quincunx

Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ H κανονική συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, που αντιστοιχεί στην κανονική πυκνότητα ονομάζεται κανονική κατανομή ή και bell-shaped (σχήμα καμπάνας) κατανομή, έχει τη μορφή: X όπου, μ = Ε(Χ) και σ = Var(X). Η αθροιστική συνάρτηση κατανομής που αντιστοιχεί στην κανονική συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας με παραμέτρους μ, σ συμβολίζεται με Ν(μ,σ ) και δίνεται από τη γνωστή σχέση: x ( t ) F x e dt. X ( ) Στην ειδική περίπτωση όπου μ=0 και σ =, ονομάζουμε την κανονική κατανομή τυπική ή (0,) κανονική κατανομή και τη συμβολίζουμε με N(0,). Η προηγούμενη σχέση γίνεται Φ X (x) =. f ( x ( x) e x e t dt )

Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Ο μετασχηματισμός που χρησιμοποιείται για την μετάβαση από την Ν(μ,σ) στην Ν(0,) είναι γραμμικός και δίνεται από τη σχέση Z X Rescale

Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ

0,00 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,00 0,5000 0,5040 0,5080 0,50 0,560 0,599 0,539 0,579 0,539 0,5359 0,0 0,5398 0,5438 0,5478 0,557 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,574 0,5753 0,0 0,5793 0,583 0,587 0,590 0,5948 0,5987 0,606 0,6064 0,603 0,64 0,30 0,679 0,67 0,655 0,693 0,633 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,657 0,40 0,6554 0,659 0,668 0,6664 0,6700 0,6736 0,677 0,6808 0,6844 0,6879 0,50 0,695 0,6950 0,6985 0,709 0,7054 0,7088 0,73 0,757 0,790 0,74 0,60 0,757 0,79 0,734 0,7357 0,7389 0,74 0,7454 0,7486 0,757 0,7549 0,70 0,7580 0,76 0,764 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,783 0,785 0,80 0,788 0,790 0,7939 0,7967 0,7995 0,803 0,805 0,8078 0,806 0,833 0,90 0,859 0,886 0,8 0,838 0,864 0,889 0,835 0,8340 0,8365 0,8389,00 0,843 0,8438 0,846 0,8485 0,8508 0,853 0,8554 0,8577 0,8599 0,86,0 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,879 0,8749 0,8770 0,8790 0,880 0,8830,0 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,895 0,8944 0,896 0,8980 0,8997 0,905,30 0,903 0,9049 0,9066 0,908 0,9099 0,95 0,93 0,947 0,96 0,977,40 0,99 0,907 0,9 0,936 0,95 0,965 0,979 0,99 0,9306 0,939,50 0,933 0,9345 0,9357 0,9370 0,938 0,9394 0,9406 0,948 0,949 0,944,60 0,945 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,955 0,955 0,9535 0,9545,70 0,9554 0,9564 0,9573 0,958 0,959 0,9599 0,9608 0,966 0,965 0,9633

0,00 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09,90 0,973 0,979 0,976 0,973 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,976 0,9767,00 0,977 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,98 0,987,0 0,98 0,986 0,9830 0,9834 0,9838 0,984 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857,0 0,986 0,9864 0,9868 0,987 0,9875 0,9878 0,988 0,9884 0,9887 0,9890,30 0,9893 0,9896 0,9898 0,990 0,9904 0,9906 0,9909 0,99 0,993 0,996,40 0,998 0,990 0,99 0,995 0,997 0,999 0,993 0,993 0,9934 0,9936,50 0,9938 0,9940 0,994 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,995 0,995,60 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,996 0,996 0,9963 0,9964,70 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,997 0,997 0,9973 0,9974,80 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,998,90 0,998 0,998 0,998 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 3,00 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990 3,0 0,9990 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,9993 0,9993 3,0 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995 3,30 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997 3,40 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998 3,50 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 3,60 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999

Παράδειγμα: Αν η τ.μ. Χ έχει κανονική κατανομή με μ=0 και σ= τότε να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός x για τον οποίο Ρ({Χ x}) =0.8. Θα πρέπει Φ(Ζ) = 0,8. Οι πίνακες δίνουν z = 0,788. Άρα x = zσ+μ =,684. Μεταβαίνουμε από την τυχούσα κανονική Ν(μ,σ) στην τυπική Φ(z), που δεν είναι άλλη από την α.σ.κ. της Ν(0,). Επομένως για κάθε x,x IR, με x x έχουμε P({X x}) = Φ(x), P({x X x }) = Φ(x ) - Φ(x ), Βλέπε διάφορες περιπτώσεις

- -,8 -,6 -,4 -, -0,9-0,7-0,5-0,3-0, 0,6 0,38 0,6 0,8,04,6,48,7,9,4 0,96,8,4,6,84,06,8,5,7,94 3,6 3,38 3,6 3,8 4,04 4,6 4,48 4,7 4,9 5,4 Ν(3,.) Ρ(Χ<0,36) =. 0,35 0,3 0,5 0, 0,5 0, 0,05 0 Ν(0,) =Ρ((0,36-3)/,) = Ρ(z=-,) = =Φ(-,) = -Φ(,) =-0,986 =0,039 0,45 0,4 0,35 0,3 0,5 0, 0,5 0, 0,05 0

Τυπική Κανονική Κατανομή Ρ(Χ<0,36)= = Φ(0,36) = = 0,6406 0,45 0,4 0,35 0,3 0,5 0, 0,5 0, 0,05 0 5 49 73 97 45 69 93 7 4 65 89 33 337 36 385 409 433 457 48 505

Τυπική Κανονική Κατανομή Ρ(Χ<-0,) = -Ρ(Χ>-0,) = = -Ρ(Χ< 0,) = = -Φ(0,0,) = = 0,6406 0,45 0,4 0,35 0,3 0,5 0, 0,5 0, 0,05 0 5 49 73 97 45 69 93 7 4 65 89 33 337 36 385 409 433 457 48 505

Τυπική Κανονική Κατανομή Ρ(-0,<Χ<0,4)= = Ρ(Χ<0,4)-Ρ(Χ<-0,) = = Φ(0,4) [-Φ(0,)] = = 0,668-+0,5398 = = 0,06 0,45 0,4 0,35 0,3 0,5 0, 0,5 0, 0,05 0 5 49 73 97 45 69 93 7 4 65 89 33 337 36 385 409 433 457 48 505

Τυπική Κανονική Κατανομή Ρ(-0,53<Χ< -0,)= Ρ(Χ < -0,) Ρ(Χ < -0,53) =-Φ(0,)-[-Φ(0,53)] =0,709-0,5793 =0,6 0,45 0,4 0,35 0,3 0,5 0, 0,5 0, 0,05 0 5 49 73 97 45 69 93 7 4 65 89 33 337 36 385 409 433 457 48 505

Παράδειγμα: Λαμβάνονται 00 μετρήσεις με την βοήθεια ενός παλμογράφου, της τάσης εξόδου Vp-p ενός διαμορφωτή, ο οποίος βρίσκεται υπό έλεγχο. Ο μέσος όρος(x) των μετρήσεων των τιμών της τάσης βρίσκεται πως είναι 95mV, και η τυπική απόκλιση (σ) είναι.8mv. Αν τα όρια προδιαγραφής βρισκόταν στα 9±5 mv, ποιο ποσοστό της τάσεως εξόδου θα βρίσκεται έξω από την ζώνη ανοχής; Σύμφωνα με τα παραπάνω το ανώτερο όριο προδιαγραφής θα έχει τιμή USL=9+5=97mV ενώ το κατώτερο όριο προδιαγραφής: LSL=9-5=87mV. Στην περίπτωση αυτή θα έχουμε: Αν x 97 όπου εκφράζει το όριο που ενδιαφερόμαστε, τότε: x x 97 95 z.,8 οπότε σύμφωνα με τον πίνακα, το ποσοστό των τιμών που θα βρίσκονται μέσα στην ζώνη ανοχής θα είναι 0.8644 ή 86.44% και επομένως το ποσοστό των τιμών που θα βρίσκονται έξω από την ζώνη ανοχής θα είναι -0.8644= 0.356 ή 3,56%. Αν η διαδικασία κεντροθετόνταν στα 9mV, δηλαδή ο μέσος ήταν στα 9mV και η είχαμε την ίδια τυπική απόκλιση, τότε ακολουθώντας την ίδια διαδικασία θα είχαμε για το ποσοστό των τιμών που θα βρίσκονταν έξω από την ζώνη ανοχής: x 97 97 z 0,8 οπότε σύμφωνα με τον πίνακα, το ποσοστό των τιμών που θα βρίσκονται μέσα στην ζώνη ανοχής θα είναι 0.5 ή 50% και επομένως το ποσοστό των τιμών που θα βρίσκονται έξω από την ζώνη ανοχής θα είναι -0.5=0.5 ή 50%.

Παράδειγμα Ένα κέλυφος από προεντεταμένο σκυρόδεμα στηρίζεται σε τρεις στήλους Α, B και C. Τα φορτία στα πέδιλα των τριών εδράσεων των στηλών υπλογίζονται με σχετική ακρίβεια αλλά το ίδιο δεν μπορεί να γίνει και με τις καθιζήσεις των εδράσεων. Έστω ότι οι καθιζήσεις P A, P B,και P C είναι ανεξάρτητες Τ.Μ. με μέσες τιμές,.5, και 3cm, και συντελεστές μεταβλητότητας 0%, 0% και 5% αντίστοιχα,. Ποια είναι η πιθανότητα ότι η μέγιστη καθίζηση θα ξεπεράσει τα 4cm;. Αν είναι γνωστό ότι τα Α και Β έχουν υποστεί καθίζηση.5 και 3.5 cm αντίστοιχα, ποια η πιθανότητα ότι η μέγιστη διαφορική καθίζηση δεν θα ξεπεράσει τα 0.8 cm; 3. Ότι η μέγιστη διαφορική καθίζηση δεν θα ξεπεράσει τα.5 cm;

α) Όπως αναφέρει και η εκφώνηση της ερώτησης, οι καθιζήσεις Ρ Α, Ρ Β και Ρ Γ είναι ανεξάρτητες κανονικές μεταβλητές που η κάθε μία μεταβλητή έχει μια μέση τιμή μ και μια τυπική απόκλιση σ. Για την καθίζηση Ρ Α η μέση της τιμή ισούται με μ α =. Αντίστοιχα ισχύουν μ β =,5 και μ γ =3. Ακόμα μας δίνονται οι συντελεστές μεταβλητότητας για κάθε καθίζηση. Αν συμβολίσουμε με CV τον συντελεστή μεταβλητότητας τότε ισχύει CV α =0, για την καθίζηση Ρ Α και αντίστοιχα ισχύει CV β =0, και CV γ =0,5. Από τον συντελεστή μεταβλητότητας όμως μπορούμε να βρούμε την τυπική απόκλιση κάθε καθίζησης. Ισχύει CV=σ/μ οπότε λύνοντας ως προς την τυπική απόκλιση έχουμε σ=cv μ. Άρα για τις τρεις καθιζήσεις έχουμε αντίστοιχα σ α =CV α μ α =0, =0,4 δηλαδή σ α = 0,4 σ β =CV β μ β =0,,5=0,5 δηλαδή σ β = 0,5 σ γ =CV γ μ γ =0,5 3=0,75 δηλαδή σ γ = 0,75

Για να βρούμε την πιθανότητα η μέγιστη καθίζηση να ξεπεράσει τα 4 cm αρκεί να βρούμε τις πιθανότητες Ρ Α (x>4), Ρ Β (x>4), Ρ Γ (x>4) όπου x το μήκος σε εκατοστά της καθίζησης. Η ζητούμενη πιθανότητα ισούται με την πιθανότητα της ένωσης των τριών παραπάνω γεγονότων αφού για να υποστεί ολική καθίζηση η κατασκευή πρέπει ένα από τα τρία στηρίγματα Α,Β,Γ να υποστούν καθίζηση. Επομένως παίρνουμε την ένωση των τριών πιθανοτήτων. Άρα η ζητούμενη πιθανότητα ισούται με Ρ(ΑUΒUΓ)=Ρ Α +Ρ Β + Ρ Γ -Ρ(Α Β)-Ρ(Α Γ)-Ρ(Β Γ)+Ρ(Α Β Γ). Όμως οι καθιζήσεις Ρ Α, Ρ Β και Ρ Γ είναι στατιστικά ανεξάρτητες κανονικές μεταβλητές, άρα η τομή δυο πιθανοτήτων ισούται με το γινόμενο των πιθανοτήτων. Συνεπώς: Ρ(ΑUΒUΓ)=Ρ Α +Ρ Β +Ρ Γ -Ρ Α Ρ Β -Ρ Α Ρ Γ Ρ Β Ρ Γ +Ρ Α Ρ Β Ρ Γ () Τώρα θα βρούμε τις τρεις πιθανότητες Ρ Α, Ρ Β και Ρ Γ. Επειδή και οι τρεις μεταβλητές ακολουθούν κανονικές κατανομές σε κάθε μεταβλητή αντιστοιχεί η μέση της τιμή και η τυπική απόκλιση.

Για την πιθανότητα έχουμε Ρ Α (x>4) έχουμε Ρ Α (x>4)=-p(x<4). Για αυτήν την μεταβλητή ισχύει μ= και σ=0,4. Επομένως για να υπολογίσουμε το P(x<4) θα μεταβούμε στην κανονική κατανομή μέσω του μετασχηματισμού z=(x-μ)/σ. Δηλαδή ισχύει P(x<4)=P(z) και z=(4-)/0,4=/0,4=5 δηλαδή z=5. Επομένως πρέπει να βρούμε το P(5). Από τον πίνακα όμως βλέπουμε ότι για τιμές μεγαλύτερες του 3,99 δεν μπορούμε να υπολογίσουμε την αντίστοιχη πιθανότητα σε κανονική κατανομή. Παρατηρούμε όμως ότι όταν το z πλησιάζει στο 3,99 το αντίστοιχο P(z) τείνει στην μονάδα. Επειδή το 5 είναι μεγαλύτερο από το 3,99, είναι σίγουρο ότι η πιθανότητα όταν z=5 ισούται πρακτικά με τη μονάδα. Δηλαδή ισχύει P(z=5)=. Όμως ισχύει P(x<4)= P(z=3,99)=P(z=5)=. Επομένως έχουμε -P(x<4)=-=0 όμως - P(x<4)= Ρ Α (x>4) άρα ισχύει Ρ Α (x>4)=0

Για την πιθανότητα Ρ Β (x>4) έχουμε Ρ Β (x>4)=-p(x<4). Για αυτήν την μεταβλητή έχουμε μ=,5 και σ=0,5. Επομένως για να υπολογίσουμε το P(x<4) θα μεταβούμε στην κανονική κατανομή μέσω του μετασχηματισμού z=(x-μ)/σ. Δηλαδή ισχύει P(x<4)=P(z) και z=(4-,5)/0,5=,5/0,5=3 δηλαδή z=3. Επομένως πρέπει να βρούμε το P(3). Από τον πίνακα βλέπουμε ότι στην τιμή z=3 αντιστοιχεί πιθανότητα ίση με P(z)=0,9987. Όμως ισχύει P(z)=P(x<4) δηλαδή ισχύει P(x<4)= 0,9987.Επομένως Ρ Β (x>4)=-p(x<4)=-0,9987=0,003 δηλαδή ισχύει Ρ Β (x>4)= 0,003

Για την πιθανότητα Ρ Γ (x>4) έχουμε: Ρ Γ (x>4)= - P(x<4). Για αυτήν την μεταβλητή έχουμε μ=3 και σ=0,75. Επομένως για να υπολογίσουμε το P(x<4) θα μεταβούμε στην κανονική κατανομή μέσω του μετασχηματισμού z=(x-μ)/σ. Δηλαδή ισχύει P(x<4)=P(z) και z=(4-3)/0,75=/0,75=,33 δηλαδή z=,33. Επομένως πρέπει να βρούμε το P(,33). Από τον πίνακα βλέπουμε ότι στην τιμή z=,33 αντιστοιχεί πιθανότητα ίση με P(z)= 0,908. Όμως ισχύει P(z)=P(x<4) δηλαδή ισχύει P(x<4)= 0,908. Επομένως Ρ Γ (x>4)=-p(x<4)=-0,908=0,098 δηλαδή ισχύει Ρ Γ (x>4)= 0,098

Επομένως για να βρούμε την ζητούμενη πιθανότητα παίρνουμε τον τύπο και αφού γνωρίζουμε όλα τα στοιχεία κάνουμε τις αντικαταστάσεις και έχουμε Ρ(ΑUΒUΓ)=Ρ Α +Ρ Β +Ρ Γ -Ρ Α Ρ Β -Ρ Α Ρ Γ Ρ Β Ρ Γ +Ρ Α Ρ Β Ρ Γ Ρ(ΑUΒUΓ)=0+0,003+0,098-0 0,003-0 0,098 0,003 0,098+0 0,003 0,098=0,003+0,098+0,000=0,093 δηλαδή η ζητούμενη πιθανότητα ισούται με Ρ(ΑUΒUΓ)=0,093. Δηλαδή η πιθανότητα ότι η μέγιστη καθίζηση της κατασκευής θα ξεπεράσει τα 4 cm ισούται με 0,093 ή 9,3%.

β) Εφόσον το πρόβλημα μας κάνει γνωστές τις καθιζήσεις των Α και Β αρκεί να βρούμε την διαφορική καθίζηση για το σημείο Γ. Ζητούμε την πιθανότητα η μέγιστη διαφορική καθίζηση να μην ξεπεράσει τα 0,8 cm. Δηλαδή ζητούμε την πιθανότητα P Γ (x 0,8) όπου το x παριστάνει το μήκος της καθίζησης σε εκατοστά. Για αυτήν την μεταβλητή έχουμε μ=3 και σ=0,75. Επομένως για να υπολογίσουμε το P(x 0,8) θα μεταβούμε στην κανονική κατανομή μέσω του μετασχηματισμού z=(x-μ)/σ. Δηλαδή ισχύει P(x 0,8)=P(z) και z=(0,8-3)/0,75=-,/0,75=-,93 δηλαδή z=-,93. Άρα P(x 0,8)=P(z -,93).

Όμως επειδή πρέπει το z να είναι θετικός αριθμός κάνουμε τον εξής μετασχηματισμό: P(z -,93) =-P(z,93). Από τον πίνακα βλέπουμε ότι για την τιμή z,93 αντιστοιχεί πιθανότητα ίση με P(z,93)=0,9983 οπότε P(z -,93)=-P(z,93)=- 0,9983=0,007 δηλαδή ισχύει P(z -,93)=0,007. Όμως ισχύει P(z -,93)=P(x 0,8) δηλαδή ισχύει P(x 0,8)=0,007. Δηλαδή η πιθανότητα ότι η μέγιστη διαφορική καθίζηση δεν θα ξεπεράσει τα 0,8 cm ισούται με 0,007 ή 0,7%.

γ) Ζητούμε την πιθανότητα η μέγιστη διαφορική καθίζηση θα ξεπεράσει τα,5 cm. Και επειδή οι καθιζήσεις Ρ Α, Ρ Β είναι γνωστές και σταθερές αρκεί να υπολογίσουμε το ζητούμενο μέσω της Ρ Γ. Δηλαδή ζητούμε την πιθανότητα P Γ (x>,5) όπου το x παριστάνει το μήκος της καθίζησης σε εκατοστά. Για αυτήν την μεταβλητή έχουμε μ=3 και σ=0,75. Όμως ισχύει P(x>,5)=-P(x,5). Επομένως για να υπολογίσουμε το P(x,5) θα μεταβούμε στην κανονική κατανομή μέσω του μετασχηματισμού z=(x-μ)/σ. Δηλαδή ισχύει P(x,5)=P(z) και z=(,5-3)/0,75=-,5/0,75=- δηλαδή z=-. Δηλαδή ισχύει P(x,5)=P(z -).

Όμως επειδή πρέπει το z να είναι θετικός αριθμός κάνουμε τον εξής μετασχηματισμό: P(z -)=-P(z ) Επομένως πρέπει να βρούμε το P(z ). Από τον πίνακα βλέπουμε ότι για την τιμή z αντιστοιχεί πιθανότητα ίση με P(z )=0,977 οπότε P(z -)=-P(z )=-0,977=0,08 δηλαδή ισχύει P(z -)=0,08. Όμως ισχύει P(z -)=P(x,5) δηλαδή ισχύει P(x,5)= 0,08. Όμως ξέρουμε ότι PΓ(x>,5)=- PΓ(x,5) δηλαδή PΓ(x>,5)=-0,08= 0,977 δηλαδή ισχύει P(x>,5)=0,977. Επομένως η πιθανότητα ότι η μέγιστη διαφορική καθίζηση θα ξεπεράσει τα,5 cm ισούται με 0,977 ή 97,7%.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα : Να βρεθεί το 95% συμμετρικό περί τη μέση τιμή κατανομής Ν(3.,.7) διάστημα. Με βάση την εκφώνηση συμπεραίνουμε ότι πρέπει να υπολογίσουμε τα συμμετρικά όρια μιας κατανομής ως προς την μέση τιμή που περιλαμβάνουν το 95%.Δηλαδή καλούμαστε να υπολογίσουμε τιμές x και x.συνεπώς ισχύει: P(x X x ) = 0,95 <==> P(X x ) P(X x ) =0,95 () Επειδή τα ενδεχόμενα X x και X x είναι συμπληρωματικά ισχύει : P(X x ) + P(X x ) = ()

Αν λύσουμε το σύστημα των () και () προκύπτει : P(X x ) = 0,975 P(X x ) = 0,05 Επειδή όμως τα σημεία είναι συμμετρικά(γιατί η κατανομή είναι κανονική) αρκεί να βρούμε μόνο το ένα σημείο έστω το x. Για να βρούμε το σημείο x θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο μετασχηματισμού για κανονική κατανομή δηλαδή : Z = (x- μ) / σ () Αυτός ο τύπος ισχύει μόνο για θετικά x ενώ η πιθανότητα συμπεριλαμβάνει και αρνητικά x.επειδή σε μία ομοιόμορφη κατανομή η πιθανότητα να υπάρξουν αρνητικά x είναι 0,5, από την P(X x ) αφαιρούμε 0,5 δηλαδή προκύπτει 0,475.Με βάση αυτή την τιμή και τον πίνακα που βρίσκεται στην σελίδα 46 του διδασκόμενου βιβλίου προκύπτει η τιμή του Ζ. Άρα έχουμε : Ζ =,96.

Ακόμη από την εκφώνηση έχουμε ότι Ν(3.,,7) δηλαδή ισχύει : μ=3. και σ =,7 ή μ=3. και σ =,303 Από τον () τύπο αν λύσουμε ως προς το x έχουμε : x = Z*σ + μ =,96*,303 +3, <==> x 5.75 Εεπειδή υπάρχει συμμετρία ισχύει x = -x άρα x = -5.75 Συνεπώς : x =-5.75 και x = 5.75

Πληθυσμός ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή 600 και τυπική απόκλιση 300. Επιλέγεται δείγμα μεγέθους n = 00.. Να υπολογιστεί ο δειγματικός μέσος. Να υπολογιστεί η δειγματική τυπική απόκλιση 3. Να υπολογιστεί η Ρ[585 < Χ < 65] 4. Να υπολογιστεί η Ρ[Χ > 600] 5. Αν επιλεχθεί μια τιμή X=x, να υπολογιστεί Ρ[Χ>600]

Υποθέστε ότι ένα πείραμα ακολουθεί την διωνυμική κατανομή. να χρησιμοποιηθεί ο πίνακας ΑΣΚ της διωνυμικής κατανομής για να εκτιμηθεί η πιθανότητα το x να λαμβάνει τιμή μεταξύ 5 και 7 (συμπεριλαμβανόμενης) όπου x είναι ο αριθμός των ελαττωματικών, n=5 δοκιμών και p=0,6. Δεδομένων των αναφερόμενων στην (a) χρησιμοποιείστε την προσέγγιση της διωνυμικής με κανονική κατανομή για να βρείτε την πιθανότητα η Τ.Μ. Χ να βρίσκεται μεταξύ 5 και 7 (συμπεριλαμβανόμενης). Υπολογισμοί. -

Ας υποθέσουμε ότι «ρίχνουμε» ένα ζάρι 000 φορές. Ποια η πιθανότητα ότι θα φέρουμε 6, λιγότερες από 60 φορές; Λύση

Κάθε χρόνο 35% του πληθυσμού συγκεκριμένου είδους φώκιας επιβιώνει του αρκτικού χειμώνα και των θηρευτών που τρέφονται αποκλειστικά από αυτή. Σε μια συγκεκριμένη λωρίδα πάγων βρίσκονται 00 από αυτές. Ποια η πιθανότητα να επιβιώσουν 65 έως 80 ζώα; Λύση

Δίνεται η Ν(8,) Λύση Να υπολογιστεί το 0 ο εκατοστιαίο σημείο Να υπολογιστεί το 95 ο εκατοστιαίο σημείο

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΙΣΤΟΘΕΣΕΙΣ Στατιστική από το Sanford εδώ Τα Μαθηματικά διασκεδάζουν εδώ Khan Academy : διάλεξη για την κανονική κατανομή εδώ Dr Maggard s Lecture on Normal Distribution εδώ Μελέτη online εδώ