KΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Taylor-Aκρότατα

KΕΦΑΛΑΙΟ 3 Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Talor-Aκρότατα 3 Πλεγµένες συναρτήσεις Σε πολλές περιπτώσεις συναντούµε µία (ή και περισσότερες) εξισώσεις µεταξύ διαφόρων µεταβλητών πχ της µορφής e + συν ( ) + Το ερώτηµα που τίθεται είναι εάν µπορεί να επιλυθεί η εξίσωση ως προς κάποια µεταβλητή συναρτήσει των υπολοίπων Αν για παράδειγµα µπορούσαµε να λύσουµε την παραπάνω εξίσωση πχ ως προς αυτό θα σήµαινε ότι η παραπάνω εξίσωση είναι της µορφής Φ (,, (, )) Στην πράξη αυτό γενικά είναι δύσκολο και όταν γίνεται συνήθως δεν οδηγεί σε µοναδικότητα λύσεων Για παράδειγµα η εξίσωση της µοναδιαίας σφαίρας + + µπορεί να επιλυθεί ως προς αλλά η λύση δεν είναι µοναδική διότι 78 ±, + Προφανώς η εξίσωση σφαίρας µπορεί να επιλυθεί είτε ως προς ή µε ανάλογα αποτελέσµατα Παρατηρούµε όµως ότι αν περιοριστούµε αυστηρά σε κάποιο ηµισφαίριο τότε υπάρχει µοναδική λύση Το ερώτηµα λοιπόν που τίθεται είναι το εξής: Φ,, είναι µια εξίσωση ως προς τις µεταβλητές,,, P,,, είναι ένα σηµείο που ικανοποιεί την Αν ( ) και ( ) παραπάνω εξίσωση (δηλαδή Φ ( P ) ), τότε υπάρχει κάποια περιοχή π ( P ) ώστε η εξίσωση Φ ( ) να λύνεται µονοσήµαντα ως,,, ε,, είναι µια πλεγµένη συνάρτηση των µεταβλητών,, µέσω της σχέσης Φ (,, ) Το επόµενο Θεώρηµα δίνει µία ικανή συνθήκη όσον αφορά την ύπαρξη µιας τέτοιας συνάρτησης προς ; Αν η απάντηση είναι θετική τότε λέµε ότι η ( ) Θεώρηµα 3 Eστω ( ) Φ,, είναι µία συνάρτηση + µεταβλητών µε συνεχείς µερικές παραγώγους σε κάποια περιοχή π ε ( P ) σηµείου P,,, έτσι ώστε ( )

Φ Φ ( P ) και ( P ) Τότε υπάρχει ορθογώνιο χωρίο εντός της π ε ( P ) της µορφής (για κάποια, i { (,,, ) :, i i i } T P < a < b a b> ) τέτοιο ώστε για κάθε η εξίσωση ( ) ( ) { i i i} T,, : Q < a,, εντός του χωρίου Φ,, λύνεται µονοσήµαντα ως προς, δηλαδή,,, όπου οι τιµές της ανήκουν στο διάστηµα { : } I < b Επιπλέον η είναι συνεχώς παραγωγίσιµη στο Τ και για κάθε Q T ισχύει Φ ( P) i ( Q), ( P T) i Φ ( P) Σηµείωση O τύπος της παραγώγου στο παραπάνω Θεώρηµα προκύπτει εύκολα από το κανόνα αλυσίδας λαµβάνοντας υπόψη την ισότητα Πράγµατι έχουµε: ( ( ) ) Φ,,,, ( ) dφ,,,, Φ d + +Φ d +Φ d Φ d + +Φ d +Φ d + + d Φ +Φ d + + Φ +Φ d Φ i Φ +Φ i,,, i i i Φ Εφαρµογή (α) Eφαπτόµενο επίπεδο επιφάνειας σε πλεγµένη µορφή Εστω τώρα µία επιφάνεια S δίνεται σε πλεγµένη µορφή από τη σχέση (,, ) 79

Θα λέµε ότι µια ευθεία είναι εφαπτόµενη της επιφάνειας S σε σηµείο Ρ αν είναι εφαπτόµενη σε κάποια καµπύλη της επιφάνειας που διέρχεται από το Ρ Aν στο σηµείο Ρ δεν υπάρχει κάποια από τις µερικές παραγώγους,, ή αν ισχύει ( P) ( P) ( P), τότε το Ρ καλείται ανώµαλο σηµείο της επιφάνειας Αντιθέτως αν όλες οι µερικές παράγωγοι είναι συνεχείς στο Ρ και τουλάχιστον µία εξ αυτών είναι µη µηδενική τότε λέµε ότι το Ρ είναι οµαλό σηµείο της επιφάνειας S r είναι µια καµπύλη πάνω στην επιφάνεια S Τότε κάθε σηµείο της καµπύλης ικανοποιεί την εξίσωση ( t, t, t ) Εστω τώρα c: () t ( (), t (), t ()), t t [ a, b] Αν Ρ είναι οµαλό σηµείο της S και η c διέρχεται από το Ρ, δηλαδή P ( ( t), ( t), ( t)) για κάποιο t, παραγωγίζοντας και χρησιµοποιώντας τον κανόνα αλυσίδας βρίσκουµε ( P) ( t ) + ( P) ( t ) + ( P) ( t ) ή ισοδύναµα ( ) ( P) ( t ), ( t ), ( t ) Αλλά είναι γνωστό ότι το διάνυσµα ( t ) ( ( t ), ( t ), ( t )) r έχει τη διεύθυνση της εφαπτόµενης ευθείας της καµπύλης c στο Ρ, συνεπώς το διάνυσµα κλίσης ( P ) είναι κάθετο στην καµπύλη c To ίδιο συµβαίνει και για όλα τα άλλα εφαπτόµενα διανύσµατα στο Ρ, οπότε συµπεραίνουµε ότι όλα τα εφαπτόµενα διανύσµατα στο Ρ ανήκουν στο ίδιο επίπεδο το οποίο καλούµε εφαπτόµενο επίπεδο της επιφάνειας S στο Ρ Αν Ρ (ρ,ρ,ρ 3 ) τότε η εξίσωση του εφαπτόµενου επιπέδου είναι ( ρ ) ( ρ ) ( ρ ) ( P) + ( P) + ( P) 3 και το κανονικό διάνυσµα του επιπέδου είναι το διάνυσµα κλίσης ( P ) Εφαρµογή (β) Ευθεία κάθετη σε επιφάνεια Εστω µια διαφορίσιµη επιφάνεια : (,, ) P,, είναι ένα οµαλό σηµείο αυτής Tότε το διάνυσµα κλίσης ( P ) είναι κάθετο στο εφαπτόµενο επίπεδο της επιφάνειας στο P και συνεπώς η διανυσµατική εξίσωση της καθέτου (ευθείας) της επιφάνειας στο P δίνεται από τη σχέση S και 8

ε : λ, λ r ( t) OP + ( P ) Εφαρµογή (γ) Εφαπτόµενη ευθεία καµπύλης που δίνεται ως τοµή δύο επιφανειών Εστω η καµπύλη c που ορίζεται ως τοµή δύο διαφορίσιµων επιφανειών S : (,, ) και S : (,, ) g Τότε γράφουµε Εστω P (,, ) { (,, ), (,, ) } c g είναι οµαλό σηµείο της καµπύλης c Tότε το εφαπτόµενο διάνυσµα της καµπύλης c στο σηµείο P είναι κάθετο στα διανύσµατα κλίσης ( P ) και gp ( ) αντιστοίχως Αρα αν r () t είναι P r t, τότε µια παραµετροποίηση της καµπύλης και αν r t ( P) g( P) είναι ένα διάνυσµα παράλληλο στην εφαπτόµενη ευθεία της καµπύλης c στο σηµείο P και συνεπώς η διανυσµατική εξίσωση της εφαπτόµενης ευθείας της c στο P δίνεται από τη σχέση ( t) ( t ) ( t ) Σύστηµα πλεγµένων συναρτήσεων ε : r r + λ r, λ ( ) Φ,,,,, m Θεώρηµα 3 Εστω είναι m το πλήθος Φ m(,,,,, m) εξισώσεων, όπου οι Φ,, Φ m είναι συναρτήσεις m+ µεταβλητών µε συνεχείς µερικές παραγώγους σε κάποια περιοχή π ε ( P ) σηµείου P,,,,, έτσι ώστε ( m) D( Φ,, Φm) Φ i ( P ) i,, m και ( P ) D (,, ) Τότε υπάρχει ορθογώνιο χωρίο εντός της π ( P ) της µορφής {,,,,, m : i i i, j j j} T P < a < b ε m 8

(για κάποια a, b >, i,,, j,, m) τέτοιο ώστε για κάθε Q,, εντός του χωρίου i j { i i i} T,, : Q < a το σύστηµα εξισώσεων ( ) Φ i,,,,, να λύνεται µονοσή- µαντα ως προς i, δηλαδή (,, ), m m(,, ) και οι τιµές των συναρτήσεων j να ανήκουν στο διάστηµα I : < b j,, Επιπλέον κάθε συνάρτηση j είναι { } j j j συνεχώς διαφορίσιµη στο Τ και για κάθε Q T ισχύει D( Φ,, Φm) ( P) ( Q) D(,,,,,, ), ( P T) j j i j+ m D( Φ,, Φm) i ( P ) D (,, ) m Εφαρµογή Αντιστροφή συστήµατος Αν στο Θεώρηµα 3 πάρουµε m και θεωρήσουµε την ειδική περίπτωση Φ i i i(,, ), i,, τότε το Θεώρηµα 3 µας δίνει τοπικά τη λύση ενός συστήµατος -εξισώσεων µε -αγνώστους (τις µεταβλητές,, m ) µέσω του συστήµατος Φ,,,, i,, i i Το παραπάνω σχετίζεται άµεσα µε την ύπαρξη αντίστροφης απεικόνισης ενός πεδίου F : D E Με άλλα λόγια έστω F: D E : Q F P ( P),, ( P), ( P) i i είναι ένα διαφορίσιµο πεδίο σε κάποια περιοχή σηµείου P έτσι ώστε ( ) D(,, ) D,, ( P) 8

- Τότε υπάρχει η αντίστροφη απεικόνιση ( Q) (,, ) περιοχή σηµείου Q ( P ) περιοχής και ισχύει Επιπλέον F σε κάποια F, είναι διαφορίσιµη εντός αυτής της - ( Q) ( ) ( P) F F (,, ) ( ) ( ) D(,, ) D Q D,, D,, ( P) Αν το πεδίο F είναι αντιστρέψιµο στο Ε τότε καλείται µετασχηµατισµός 3 Tύπος του Τalor Θεώρηµα 33 Εστω : E είναι m+-φορές διαφορίσιµη συνάρτηση επί ανοικτού συνόλου E και P E Τότε υπάρχει περιοχή π ε ( P ) έτσι ώστε k m+ m d P ( P) d P P θ ( P) + ( ) k, P π ε P, k! ( m+ )! όπου το P θ (< θ < ) είναι σηµείο του ευθυγράµµου τµήµατος PP To πολυώνυµο k m d P ( P) T, m, P( P), ( ) d k P P P k! καλείται πολυώνυµο Τalor m τάξης της στο P Αν P (,,) τότε λέµε ότι έχουµε το πολυώνυµο Mc-Lauri της Aν η είναι απειροδιαφορίσιµη στο P τότε η σειρά T ( P), P k k d P k! ( P) καλείται σειρά Talor της στο P Επιπλέον αν ισχύει m+ d P P θ, ( m + )! m 83

τότε η σειρά Talor της στο P συγκλίνει στην τουλάχιστον σε µία περιοχή του P Αν P (,, ), P ( ρ,, ρ ) και αν αναπτύξουµε τα διαφορικά ανώτερης τάξης της τότε παίρνουµε T ( ( P)( ρ) + + ( P)( ρ )) m,, ( P) k m P Απόδειξη Εστω : E είναι m+-φορές διαφορίσιµη συνάρτηση επί ανοικτού συνόλου E, P ( ρ,, ρ ) είναι σταθερό σηµείο του Ε και P (,, ) είναι τυχαίο σηµείο σε κατάλληλη περιοχή του σηµείου P Eστω X P + t ( P P ), t [,] και k! (,, ) ( t) ( t) ( t) Φ όπου ( t) ρ t ( ρ ) ( t) ρ t ( ρ ) +,, + Τότε η Φ είναι m+-φορές διαφορίσιµη συνάρτηση και από τον κανόνα αλυσίδας έχουµε: dφ () t ( ( P) ) () t + P () t dt ( () () ) () ( m) m d t P t P t dt Φ + Φ + () t ( P)( ρ ) ( P)( ρ ) Φ ( m) + ( ) ( t) ( P) ( ρ ) ( P) ( ρ ) ( k ) Εφαρµόζουµε το γνωστό θεώρηµα Μc-Lauri για συναρτήσεις µιας µεταβλητής και έχουµε m ( m) Φ () m Φ () t t + Rm+ () t m! k Για t έχουµε () ( P), ( m) m Φ P Φ d ( P), οπότε: m+ d ( P) d P ( P) θ Φ () + () +! ( m+ )! m ( m) m m Φ () P Rm+ ( P) k m! k m ( m) 84

33 Ακρότατα συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ορισµός 3 Εστω : E και P E Αν ισχύει ( P) ( P ) (ή ( P) ( P )) για κάθε P E, τότε λέµε ότι η έχει ολικό ελάχιστο (ή ολικό µέγιστο) στο P µε τιµή ( P ) Ορισµός 3 Εστω : E και P E Αν υπάρχει περιοχή π ε ( P ) έτσι ώστε να ισχύει ( P) ( P ) (ή ( P) ( P )) για κάθε P E π ε ( P ) τότε λέµε ότι η έχει τοπικό ελάχιστο (ή τοπικό µέγιστο) στο σηµείο P µε τιµή ( P ) Θεώρηµα 34 Έστω : E, Ε ανοικτό και η είναι διαφορίσιµη στο σηµείο P Εάν η έχει τοπικό ακρότατο στο P τότε ( P ) Απόδειξη Εστω ότι η έχει τοπικό µέγιστο στο P και ισχύει ( P ) ( P ) Ας θεωρήσουµε την κατεύθυνση e και ας ( P ) ορίσουµε τη συνάρτηση µιας µεταβλητής Tότε: ( t) ( P t e) ϕ + ( P + t e) ( P) ϕ lim P t e t ( ) ( ) P P P e P P >, P P άρα η ϕ είναι γνησίως αύξουσα σε µια περιοχή του µηδενός και συνεπώς ισχύει ϕ ( t) > ϕ, ή ισοδύναµα ( P + t e) > ( P) σε κατάλληλη περιοχή του µηδενός Απ την άλλη µεριά, εφόσον η έχει τοπικό µέγιστο στο P θα υπάρχει µια περιοχή του P όπου ισχύει, άτοπο Αρα P P P Σηµείωση Η παραπάνω ισότητα είναι ισοδύναµη µε τo ακόλουθο σύστηµα εξισώσεων µε αγνώστους: 85

( P ) ( P ) Τα σηµεία πιθανών ακροτάτων καλούνται στάσιµα σηµεία Αν P είναι στάσιµο σηµείο αλλά η δεν έχει ακρότατο στο P, (δηλαδή σε κάθε περιοχή του P υπάρχουν σηµεία PP, ώστε ( P ) < ( P ) < ( P) ), τότε το P καλείται σαγµατικό (ή αυχενικό) σηµείο (κάτι ανάλογο µε το σηµείο καµπής) Στάσιµα σηµεία µπορεί να είναι: σηµεία στα οποία δεν υπάρχει κάποια ή κάποιες από τις µερικές παραγώγους της, ή σηµεία πάνω στο σύνορο του πεδίου ορισµού της, ή σηµεία που ικανοποιούν την ισότητα ( P ) O Προφανώς αν το,, τότε το εφαπτόµενο επίπεδο της επιφάνειας στο P είναι παράλληλο µε το επίπεδο O ηλαδή η εξίσωση του εφαπτόµενου επιπέδου της στο P είναι P είναι στάσιµο σηµείο µιας επιφάνειας Φύση στάσιµων σηµείων Το κριτήριο της Eσσιανής Εστω : E είναι δύο φορές συνεχώς διαφορίσιµη συνάρτηση σε µία περιοχή σηµείου P E και έστω ότι το P είναι στάσιµο σηµείο Για να µελετήσουµε τη φύση ενός στάσιµου σηµείου P ορίζουµε τον πίνακα ( P ) P H ( P ) ( P ) P τον οποίο καλούµε Εσσιανό πίνακα της στο σηµείο P Εφόσον ισχύει ( P) ( P) (αφού η έχει συνεχείς µερικές παραγώγους i j j i H P είναι συµµετρικός, δηλαδή ταυτίζεται µε τον ανάστροφό του Είναι γνωστό ότι κάθε συµµετρικός πίνακας έχει µόνον πραγµατικές ιδιοτιµές Τότε ισχύει: ης τάξης) ο πίνακας 86

Θεώρηµα 35 Εστω : E έχει συνεχείς µερικές παραγώγους ης τάξης σε µία περιοχή σηµείου P E, όπου Ε ανοικτό σύνολο, P είναι στάσιµο σηµείο και H ( P ) είναι ο Εσσιανός πίνακας της στο P όπως παραπάνω Υποθέτουµε ότι Τότε: ( ) Det H P (α) Αν ο Εσσιανός πίνακας H έχει τοπικό ελάχιστο στο P (β) Αν ο Εσσιανός πίνακας H η έχει τοπικό µέγιστο στο P (γ) Αν ο Εσσιανός πίνακας H ιδιοτιµές, τότε το P είναι σαγµατικό σηµείο P έχει µόνον θετικές ιδιοτιµές, τότε η P έχει µόνον αρνητικές ιδιοτιµές, τότε P έχει και θετικές και αρνητικές Σηµείωση Εστω ( ) Det H P, (άρα υπάρχει τουλάχιστον µια µηδενική ιδιοτιµή του Εσσιανού πίνακα) Τότε από το Θεώρηµα 35 δεν συνάγεται κάποιο συµπέρασµα για τη φύση του στάσιµου σηµείου Μπορεί κάλλιστα το P να είναι τοπικό ακρότατο ή σαγµατικό σηµείο Στην περίπτωση αυτή: Αν ο Εσσιανός πίνακας έχει και θετικές και αρνητικές ιδιοτιµές, ή αν υπάρχουν τουλάχιστον δυο στοιχεία της κυρίας διαγωνίου του H ( P ) µε αντίθετα πρόσηµα, τότε το P είναι σαγµατικό σηµείο (όπως και στο Θεώρηµα 35), αλλιώς δεν έχουµε συµπέρασµα m Αν d ( P) d ( P), ( m ) και περιοχή του P, τότε: d m+ ( P) σε µια (α) Αν ο εκθέτης m + περιττος το P είναι σαγµατικό σηµείο (β) Αν ο εκθέτης m+ aρτιος και d m+ ( P) > σε µια περιοχή m του P τότε το P είναι τοπικό ελάχιστο, ενώ αν d µια περιοχή του P, τότε το P είναι τοπικό µέγιστο + ( P) < σε 87

( ) Παρατήρηση Aν Det H P, αντί των παραπάνω µπορούµε να εξετάσουµε τη συµπεριφορά της σε µία περιοχή του P µε χρήση του τύπου της για να δούµε αν το P είναι ακρότατο ή σαγµατικό σηµείο a a Ορισµός 3 Έστω A είναι ένας πραγµατικός a a συµµετρικός πίνακας Τότε ο πίνακας A καλείται T u A u > u θετικά ορισµένος, αν { } T αρνητικά ορισµένος, αν A < { } u u u T µικτά προσηµασµένος, αν u A u παίρνει και θετικές και u αρνητικές τιµές { } Για να δούµε αν ένας συµµετρικός πίνακας είναι θετικά, ή αρνητικά ορισµένος ή µικτά προσηµασµένος χρησιµοποιούµε συνήθως κάποιο από τις ακόλουθες χρήσιµες προτάσεις/κριτήρια: Κριτήριο Α: Aν όλες οι κύριες ελάσσονες ορίζουσες D, i,, του πίνακα Α ικανοποιούν τις σχέσεις i a a a a D D D, a >, >,, > a a a a τότε ο πίνακας Α είναι θετικά ορισµένος Κριτήριο Β: Αν όλες οι κύριες ελάσσονες ορίζουσες D, k,, του πίνακα Α ικανοποιούν τις σχέσεις k a k k k (-) k (-) >, k,, a k a D, a k τότε ο πίνακας Α είναι αρνητικά ορισµένος Κριτήριο Γ: Αν ο πίνακας A δεν είναι ούτε θετικά, ούτε αρνητικά ορισµένος και: είτε ο πίνακας A έχει και θετικές και αρνητικές ιδιοτιµές, είτε πάρχουν στα στοιχεία της κυρίας διαγωνίου του πίνακα Α τουλάχιστον δυο στοιχεία µε αντίθετο πρόσηµο, τότε ο πίνακας Α είναι µικτά προσηµασµένος 88

Ισχύει το ακόλουθο κριτήριο για τον προσδιορισµό της φύσης στάσιµων σηµείων: Θεώρηµα 36 Εστω : E έχει συνεχείς µερικές παραγώγους ης τάξης σε µια περιοχή σηµείου P E, όπου Ε ανοικτό σύνολο, P είναι στάσιµο σηµείο και H ( P ) είναι ο Εσσιανός πίνακας της στο P όπως παραπάνω Τότε: Αν ο Εσσιανός πίνακας H ( ) P είναι σηµείο τοπικού ελαχίστου της µε τιµή P είναι θετικά ορισµένος, τότε το P Αν ο Εσσιανός πίνακας H ( ) P είναι σηµείο τοπικού µεγίστου της µε τιµή το Αν ο Εσσιανός πίνακας H P είναι αρνητικά ορισµένος, τότε P P είναι µικτά προσηµασµένος, τότε το P είναι σαγµατικό σηµείο Παρατηρήσεις (α) Αν ο εσσιανός πίνακας δεν είναι ούτε θετικά, ούτε αρνητικά ορισµένος, ούτε µικτά προσηµασµένος, τότε δεν µπορούµε να αποφανθούµε από το παραπάνω κριτήριο αν το P είναι σηµείο τοπικού ακροτάτου (β) Στην περίπτωση συνάρτησης (, ) παραγώγους ης ταξινόµηση: µε συνεχείς µερικές τάξης, το Θεώρηµα 36 µας δίνει την ακόλουθη ( P) ( P) Eστω H ( P ) ( P) ( P), είναι ο Εσσιανός πίνακας της πάνω σε στάσιµο σηµείο P Τότε: Det( H P ) > και Αν ελάχιστο στο P Αν P > τότε η έχει τοπικό Det( H P ) > και P < τότε τότε η έχει τοπικό µέγιστο στο P Det( H P ) < τότε το P είναι σαγµατικό σηµείο (έχει δυο ιδιοτιµές µε αντίθετα πρόσηµα, βλ θεώρ 35) Αν 89

Αν Det( H P ), δεν µπορούµε να αποφανθούµε αν το σηµείο P είναι σηµείο τοπικού ακροτάτου µέσω του Θεωρήµατος 36 Η γεωµετρική ερµηνεία των παραπάνω συνθηκών είναι η εξής: H ισότητα ( P ) ( P ) υπονοεί την ύπαρξη εφαπτόµενου επιπέδου στο P το οποίο είναι παράλληλο µε το επίπεδο O Η σχέση ( P ) > (ή P < ) υπονοεί ότι η καµπύλη που προκύπτει από την τοµή της επιφάνειας S: (, ) µε το επίπεδο είναι κυρτή (ή κοίλη) σε µια περιοχή του P Η σχέση Det( H P ) > υπονοεί ότι όλες οι καµπύλες που προκύπτουν από την τοµή της επιφάνειας S: (, ) µε επίπεδα που περνούν από το P και είναι παράλληλα προς τον άξονα των είναι είτε όλες κυρτές είτε όλες κοίλες σε µια περιοχή του P Det( H P ) < υπονοεί ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον καµπύλες που προκύπτουν από την τοµή της επιφάνειας S: (, ) µε επίπεδα που περνούν από το P και είναι παράλληλα προς τον άξονα των εκ των οποίων η µια είναι κυρτή και η άλλη είναι κοίλη σε µια περιοχή του P Η σχέση Ολικά ακρότατα Εστω : E είναι συνεχής επί κλειστού και φραγµένου συνόλου Ε Από το Θεώρηµα ενδιαµέσων τιµών είναι γνωστό ότι η έχει ολικό µέγιστο και ολικό ελάχιστο στο Ε Για την εύρεση των ολικών ακροτάτων εργαζόµαστε ως εξής: Υπολογίζουµε όλα τα τοπικά ακρότατα της στο εσωτερικό του Ε Υπολογίζουµε τα ακρότατα της πάνω στο σύνορο E Επιλέγουµε τη µεγαλύτερη και τη µικρότερη τιµή της από τις παραπάνω 9

34 Ακρότατα υπό συνθήκη Πολ/στές Lagrage Έστω ότι θέλουµε να βρούµε τα ακρότατα µιας συνάρτησης (, ) υπό τον περιορισµό g(, ), όπου g(, ) είναι καµπύλη εντός του πεδίου ορισµού της Ισχύει το ακόλουθο: Θεώρηµα 37 Έστω : E είναι διαφορίσιµη συνάρτηση επί ανοικτού συνόλου Ε και c: g(, ) είναι µια λεία καµπύλη εντός του Ε µε παραµετροποίηση r ( t) ( t), ( t), t a, b Υποθέτουµε ότι [ ] το P είναι οµαλό σηµείο της c (δηλ g( P ) τοπικό ακρότατο της πάνω στην καµπύλη * λ που καλείται πολ/στής Lagrage έτσι ώστε: ) και ότι το P είναι g, Τότε υπάρχει ( P) λ g P Απόδειξη Έστω c είναι καµπύλη όπως παραπάνω Εάν η έχει τοπικό ακρότατο πάνω στη c στο σηµείο P, τότε υπάρχει t έτσι ώστε F t t, t Επειδή F ( t ), όπου + ( P) ( t) F t P t P t έχουµε F ( t ) ( P ) ( t ) r, r Γνωρίζουµε όµως ότι το διάνυσµα της κλίσης gp ( ) είναι κάθετο στην εφαπτοµένη της καµπύλης * λ : ( P) λ g( P) g(, ) στο P, άρα Η µέθοδος των πολ/στών Lagrage είναι η ακόλουθη: Εστω ότι η έχει τοπικό ακρότατο πάνω στην καµπύλη g(, ) Ορίζουµε τη βοηθητική συνάρτηση Φ (,, λ) (, ) + λ g(, ) και υπολογίζουµε τα στάσιµα σηµεία αυτής Σχηµατίζουµε τον Εσσιανό πίνακα HΦ (, ) H (, ) + λ H (, ) g όπου (,, λ ) είναι στάσιµο σηµείο της Φ (,, λ) 9

Oρίζουµε το σύνολο και έχουµε: {(, vw): g (, )(, vw) } Γ v Φ > Γ w Aν (, vw) H (, ) ( vw, ) τότε το (, ) είναι τοπικό ελάχιστο της πάνω στην καµπύλη c v Φ < Γ w Αν (, vw) H (, ) ( vw, ) τότε το (, ) είναι τοπικό µέγιστο της πάνω στην καµπύλη c v Τέλος αν η ποσότητα (, vw) HΦ(, ) w δεν διατηρεί σταθερό πρόσηµο για όλα τα σηµεία του συνόλου Γ τότε το (, ) δεν είναι τοπικό ακρότατο Παρατηρήσεις (α) Η γεωµετρική ερµηνεία του δεσµευµένου ακροτάτου για συναρτήσεις δυο µεταβλητών είναι η ακόλουθη: Aν το P είναι τοπικό ακρότατο της (, ) πάνω στην καµπύλη c: g(, ), τότε υπάρχει ισοσταθµική καµπύλη (, ) k που εφάπτεται µε τη c στο P (β) Tο Θεώρηµα 37 ισχύει όχι µόνον για συναρτήσεις δυο µεταβλητών αλλά γενικεύεται µε φυσικό τρόπο και για συναρτήσεις µεταβλητών Θεώρηµα 38 Έστω, g, h: E 3 είναι διαφορίσιµες συναρτήσεις επί ανοικτού συνόλου Ε και P (,, ) σηµείο των επιφανειών S : g (,, ) και συνάρτηση w (,, ) c: g(,, ), h (,, ) είναι οµαλό S : h,, Εάν η έχει τοπικό ακρότατο πάνω στην καµπύλη { } * λµ, έτσι ώστε στο σηµείο P, τότε υπάρχουν P λ g( P) + µ h( P) 9

Οι αριθµοί λ και µ καλούνται πολ/στές Lagrage Σ αυτή την περίπτωση η µέθοδος των πολ/στών Lagrage διαµορφώνεται ως εξής: Ορίζουµε τη βοηθητική συνάρτηση Φ (,,, λ, µ ) (,, ) + λ g (,, ) + µ h (,, ) και υπολογίζουµε τα στάσιµα σηµεία αυτής Σχηµατίζουµε τον εσσιανό πίνακα HΦ (,, ) H (,, ) + λ H (,, ) + µ H (,, ) g h όπου (,,, λ, µ ) είναι στάσιµο σηµείο της Φ (, λ,,, µ ) Oρίζουµε το σύνολο u g (,, ) Γ ( uvw,, ): v h (,, ) w και έχουµε: u Aν ( uvw,, ) HΦ(,, ) v > ( uvw,, ) Γ w τότε το (,, ) είναι τοπικό ελάχιστο της πάνω στην καµπύλη c u Φ < Γ w Αν ( uvw,, ) H (,, ) v ( uvw,, ) τότε το (,, ) είναι τοπικό µέγιστο της πάνω στην καµπύλη c 93

u Τέλος αν η ποσότητα ( uvw,, ) HΦ(,, ) v δεν w διατηρεί σταθερό πρόσηµο για όλα τα σηµεία του συνόλου Γ τότε το (,, ) δεν είναι τοπικό ακρότατο Παρατήρηση Tο Θεώρηµα 38 γενικεύεται µε φυσικό τρόπο και για συναρτήσεις µεταβλητών (αντί τριών µεταβλητών) και m δεσµεύσεων όπου m< (αντί δύο δεσµεύσεων) ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ είξτε ότι η εξίσωση + + συν ( ) επιλύεται µονότιµα ως προς g(, ) σε µία περιοχή του σηµείου P (,,) και υπολογίστε, g, τις µερικές παραγώγους g και Λύση Η συνάρτηση (,, ) + + συν ( ) έχει συνεχείς µερικές παραγώγους σε µία περιοχή του σηµείου P και ισχύει (,,) και (,,) Αρα η εξίσωση επιλύεται µονότιµα ως προς g(, ) σε µία περιοχή του σηµείου P (,,) και ισχύει g (,,) (,), g (,,),,,,, Εστω ότι η (, ) έχει συνεχείς µερικές παραγώγους και δίνεται σε πλεγµένη µορφή από τη σχέση + 3 Ποιος ο ρυθµός µεταβολής της κατά την κατεύθυνση του διανύσµατος u 3e 4e εάν (,) > ; Ποια η κατεύθυνση του µέγιστου ρυθµού µεταβολής της στο (,) εάν (,) > ; Λύση Εστω > έχουµε Φ (,, ) + 3 Επειδή (,) Φ + ± + (,, ) 3 3 και η αρνητική τιµή απορρίπτεται Αρα (, ) (,) παίρνουµε 94 + 3 και για + 3 + 3 Επιπλέον:

Φ Φ, άρα Φ (,, ), Φ (,, ) Φ 3 Φ, άρα (,) Φ (,, ) 3 Φ (,, ) Η κλίση της στο (,) είναι: 3 (,) ( (,), (,) ), u (3, 4) 3 4 Eπίσης u, Εφόσον η είναι διαφορίσιµη u 3 + ( 4) 5 5 στο (,) (έχει συνεχείς µερικές παραγώγους σε µία περιοχή του (,)) έχουµε: 3 3 4 3 (,) (,) u,, u 5 5 5 Η κατεύθυνση του µέγιστου ρυθµού µεταβολής της στο (,) είναι η κατεύθυνση του διανύσµατος κλίσης 3 ίνεται η συνάρτηση (, ) σε πλεγµένη µορφή από τη σχέση F(,, (, )) Αν η F έχει συνεχείς µερικές παραγώγους ης τάξης να υπολογίσετε τις,, Λύση Κατ αρχήν παίρνουµε το διαφορικό ης τάξης της F(,, ) θεωρώντας ότι οι µεταβλητές, είναι ανεξάρτητες (δηλ d, d σταθερά) ενώ η είναι εξαρτηµένη (δηλ d µεταβάλλεται) και έχουµε ( ) df ddf d F d F d F d + + Υπολογίζουµε: d F d + d F d + d F d + F d () + + + + ( + ) d F F d F d F d F d F d F d d ( ) ( ) F + F d+ F + F d 95

( ) + + + + ( + ) d F F d F d F d F d F d F d d ( ) ( ) F + F d+ F + F d + + + + ( + ) d F F d F d F d F d F d F d d ( ) ( ) F + F d+ F + F d Tέλος γνωρίζουµε ότι d d + d ( ) () d d d d dd d + + + Αντικαθιστώντας τα διαφορικά d F, ( ) d F, d( F ) () και µετά από στοιχειώδεις πράξεις παίρνουµε, d και F + F + F ( ) + F F + F + F + F + F F + F + F ( ) + F d στην 4 Να βρεθούν οι παράγωγοι των πραγµατικών συναρτήσεων, που ορίζονται µε πλεγµένη µορφή από το σύστηµα Λύση Θεωρούµε ηµ ( + ) + ηµ ( ) + F (,, ) ηµ ( + ) + F (,, ) ηµ ( ) + Από τον κανόνα αλυσίδας παίρνουµε: df (,, ) F d+ F d+ F d df (,, ) F d+ F d+ F d 96

F d+ F d+ F d F d+ F d+ F d F + F + F F + F + F ( F) + ( F) ( F) ( F ) + ( F ) ( F ) Λύνουµε το παραπάνω σύστηµα ως προς, µε τη µέθοδο Cramer και έχουµε: ( F) ( F ) ( F) ( F ) ( F) ( F) ( F ) ( F ), ( F) ( F ) ( F) ( F ) ( F) ( F) ( F ) ( F ) Eφόσον F(,, ) ηµ ( + ) + και F (,, ) ηµ ( ) + υπολογίζοντας τις µερικές παραγώγους αυτών και αντικαθιστώντας στην παραπάνω βρίσκουµε τελικά ότι εφ εφ και συν συν συν 4 3 5 Υπολογίστε τη γωνία τοµής των επιφανειών + 3 4 + 4 και + + στο σηµείο (,,) ώστε µια γεωµετρική ερµηνεία του αποτελέσµατος 4 3 Λύση Εστω F(,, ) + 3 4 + 4, G (,, ) + + Τότε F ( 8 3,9, 8) και G (,, ) F(,,) (,, 8) και G(,,) (,, ) Τελικά Αρα F(,,) G(,,) συνθ θ F(,,) G(,,) Οντως οι εξισώσεις των εφαπτοµένων επιπέδων των δύο επιφανειών στο (,,) είναι 97

και F (,,)( ) + F (,,)( ) + F (,,)( ) G (,,)( ) + G (,,)( ) + G (,,)( ) δηλαδή οι επιφάνειες έχουν κοινό εφαπτόµενο επίπεδο στο (,,) 6 Nα βρεθεί η εξίσωση του εφαπτόµενου επιπέδου και της καθέτου της επιφάνειας συν + συν + ηµ στο σηµείο (π/,π/,) Λύση Εστω F(,, ) συν + συν + ηµ, τότε η εξίσωση του εφαπτόµενου επιπέδου στο σηµείο (π/,π/,) είναι π π π π π π π π F,, + F,, + F,, ( ) π π + ( ) + π To κανονικό διάνυσµα του επιπέδου είναι το N (,, ), άρα η διανυσµατική εξίσωση της καθέτου ευθείας στο (π/,π/,) είναι π π ( ε):,, + λ(,, ), λ 7 Αναπτύξτε τη συνάρτηση (, ) + ηµ ( ) σε πολυώνυµο Talor ου βαθµού γύρω από το σηµείο (,) Λύση Εστω, P, τότε ( P ) Επίσης + συν ( ), + συν ( ), ηµ ( ), + συν ( ) ηµ ( ), ηµ ( ) Αρα: P P P P P,,,,, συνεπώς: k d ( P) d ( P) d ( P) T P P d P P k!!! P P P + +,, P k P ( ) (,) + (,) ( ) + (,) ( ) 98

+ (,)( ) + (,)( )( ) + (,)( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) + ( )( ) + ( ) + 8 Υπολογίστε τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης 3, + 3 3 3 + 4 Λύση Η συνάρτηση είναι πολυωνυµική, άρα είναι και διαφορίσιµη στο, συνεπώς: 3 + 3 6 6 6, άρα: + 3 + 3 6 + 6 6 ( ) ή 3 3 6 3 3 6 ή ή ή Χρησιµοποιούµε το κριτήριο του Εσσιανού πίνακα (βλέπε Θεώρηµα 36 και ορισµό 3) για να εντοπίσουµε τη φύση των 4 παραπάνω πιθανών ακροτάτων Έχουµε: H ( P) ( P) ( P) 6 6 6 ( P) ( P) 6 6 6 Για το σηµείο (, ) έχουµε: <, και (,) 6 άρα το (, ) είναι σηµείο τοπικού µεγίστου Για το σηµείο (, ) έχουµε: 6 Det ( H, ) 36 > 6, 99

και (,) άρα το (,) είναι σαγµατικό σηµείο Για το σηµείο (, ) έχουµε: και (,) άρα το (,-) είναι σαγµατικό σηµείο Τέλος για το σηµείο (, ) έχουµε: (,) 6 6 Det ( H, ) 36 < 6, 6 Det( H, ) 36 < 6, > και άρα το (,) είναι σηµείο τοπικού ελαχίστου 9 Έστω 6 Det ( H, ) > 6,, 3 + 4+ Βρείτε τα ολικά ακρότατα της επί του χωρίου D {(, ): 6} + Λύση Η είναι συνεχής συνάρτηση επί κλειστού και φραγµένου συνόλου D άρα έχει µέγιστη και ελάχιστη τιµή επί του D Eνδέχεται όµως τα ολικά ακρότατα αυτής να βρίσκονται είτε στο εσωτερικό του D είτε πάνω στο σύνορο του D Θα µελετήσουµε ξεχωριστά δύο περιπτώσεις: A Aρχικά θα βρούµε πιθανά ακρότατα της πάνω στο σύνορο + 6 χρησιµοποιώντας τη µέθοδο των πολ/στών Lagrage Εστω Φ (,, λ) (, ) + λ g (, ) 3 + 4+ + λ ( + 6) Υπολογίζουµε τα στάσιµα σηµεία της Φ ( λ ) ( λ ) 6+ λ + 3 Φ 4 4+ λ + 6 + + 6

λ 3 ( λ + ) η ( λ + ) 6 + + 6 3 3 4 η 4 η η 3 5 λ 3 λ 3 λ λ Εχουµε λοιπόν τέσσερα πιθανά ακρότατα: στο σηµείο (,4) µε τιµή (,4)7 στο σηµείο (,-4) µε τιµή (,-4)49 στα σηµεία ( ± 3, ) µε τιµή ( ± 3, ) 53 Β Οσον αφορά τα πιθανά ακρότατα στο εσωτερικό του δίσκου έχουµε: 6, 4 4, άρα έχουµε πιθανό ακρότατο στο σηµείο (, ) Υπολογίζουµε τώρα: H (,),, 6,, 4 6 Επειδή (,) 6 > και Det( H (,) ) > 4, ο Εσσιανός πίνακας είναι θετικά ορισµένος άρα στο σηµείο (,) έχουµε τοπικό ελάχιστο µε τιµή Tελικά λοιπόν έχουµε ολικό µέγιστο στα σηµεία ( 3, ) και ( 3, ) µε τιµή 53 και ολικό ελάχιστο στο σηµείο (,) µε τιµή Έστω V(,, ),, >, Να ευρεθεί η µέγιστη τιµή του όγκου πάνω στην επιφάνεια + + 84 Λύση Στην περίπτωση αυτή µπορούµε να εφαρµόσουµε τη µέθοδο των πολ/στών Lagrage αλλά µπορούµε και απ ευθείας να αντικαταστήσουµε

την τιµή του στην εξίσωση της V και να οδηγηθούµε στην εύρεση τοπικών ακροτάτων συνάρτησης δύο µεταβλητών Τότε: οπότε έχουµε Φ (, ) (84 ) 84 4 Φ 84 4 > βρίσκουµε εύκολα τη µοναδική λύση (, ) ( 4,4) και επειδή, Επειδή ο Εσσιανός πίνακας είναι ο 4 4 4+ 84 HΦ ( P) P 4 4+ 84 4 ( H Φ ) συνάγουµε εύκολα ότι Φ (4,4) <, Det 4,4 >, άρα το (4,4) είναι σηµείο µεγίστου Να υπολογισθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης 3 3 3 (,, ) + + + 3( + + ) Λύση Εχουµε Φ + + + + + + + + 3 + 3+ 3 + + 3 3 3 3 3 3 Αφαιρούµε τις δύο πρώτες εξισώσεις και παίρνουµε + + ( )( + ) + ( ) η + Αν + από την 3 η εξίσωση παίρνουµε +, άτοπο Εστω λοιπόν ότι Τότε εύκολα µπορεί να δει κανείς ότι από το παραπάνω σύστηµα εξισώσεων προκύπτουν δύο λύσεις οι (,,) και (-,-,-) Αρα έχουµε δύο στάσιµα σηµεία τα (,,) και (-,-,-) Σχηµατίζουµε τον Εσσιανό πίνακα 6 3 3 H (,, ) 3 6 3 3 3 6

3 3 Στο σηµείο (,,) έχουµε H (,,) 3 3 και 3 3 Det[ H (,,)] Προφανώς ο H (,,) είναι µικτά προσηµασµένος, διότι το ίχνος (άθροισµα των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου του H (,,) ) ισούται µε ++ Εφόσον το ίχνος του πίνακα Α ισούται µε το άθροισµα των ιδιοτιµών του και εφόσον η ορίζουσα του H (,,) ισούται µε το γινόµενο των ιδιοτιµών του και είναι διάφορη του µηδενός αναγκαστικά θα υπάρχουν τουλάχιστον δυο ιδιοτιµές του εσσιανού πίνακα H (,,) µε αντίθετα πρόσηµα, (βλέπε Θεώρηµα 35) οπότε το (,,) είναι σαγµατικό σηµείο Στο σηµείο (-,-,-) έχουµε και ισχύει H 3 3 (,, ) 3 3 3 3-3 (,, ) <, >, Det[ H (,,)] < 3 - άρα ο H (,, ) είναι αρνητικά ορισµένος οπότε το (-,-,-) είναι τοπικό µέγιστο Να υπολογισθεί η µέγιστη και ελάχιστη τιµή της συνάρτησης (, ) 4+ 4+ στο κλειστό χωρίο που περικλείεται από τις ευθείες, και Λύση Η είναι συνεχής συνάρτηση επί κλειστού και φραγµένου συνόλου, άρα από το Θεώρηµα ενδιαµέσων τιµών παίρνει µέγιστο και ελάχιστο µέσα στο χωρίο Το χωρίο είναι τρίγωνο Αρχικά υπολογίζουµε τα τοπικά ακρότατα της πάνω στο σύνορο Μελετούµε χωριστά τις περιπτώσεις: Tότε (,) 4+ και από το Λογισµό συνάρτησης µιας µεταβλητής έχουµε (,) 4 Εφόσον ισχύει η (,) είναι γνησίως φθίνουσα για συνεπώς έχουµε τοπικό ελάχιστο στο σηµείο (,) µε τιµή (,)-3 και τοπικό µέγιστο στο σηµείο (,) µε τιµή (,) 3

Tότε (, ) 4 3 και από το Λογισµό συνάρτησης µιας µεταβλητής έχουµε (, ) 4 4 Εφόσον ισχύει η (, ) είναι γνησίως φθίνουσα για συνεπώς έχουµε τοπικό ελάχιστο στο σηµείο (,) µε τιµή (,)-5 και τοπικό µέγιστο στο σηµείο (,) µε τιµή (,) Tότε (, ) 4 8+ 4+ 6 + και από το Λογισµό συνάρτησης µιας µεταβλητής έχουµε (, ), άρα έχουµε τοπικό ελάχιστο πάλι στο σηµείο (,) µε τιµή (,)-5 και τοπικό µέγιστο στο σηµείο (,) µε τιµή (,) Στη συνέχεια υπολογίζουµε τα τοπικά ακρότατα της εντός του τριγώνου 4, άρα παίρνουµε ως µοναδικό στάσιµο σηµείο το 4 4 σηµείο (,) το οποίο ήδη γνωρίζουµε ότι είναι τοπικό ελάχιστο Συνδυάζοντας τα παραπάνω παίρνουµε ότι η έχει ολικό µέγιστο στο (,) µε τιµή και ολικό ελάχιστο στο σηµείο (,) µε τιµή -5 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ είξτε ότι η εξίσωση συν + συν + συν δέχεται µοναδική λύση (, ) σε µια περιοχή του σηµείου (,) τέτοιου ώστε (,) Στη συνέχεια υπολογίστε τις µερικές παραγώγους, Απάντ ηµ συν, ηµ συν συν ηµ συν ηµ Αν η πλεγµένη συνάρτηση (, ) ορίζεται µέσω της εξίσωσης Φ a, b δείξτε ότι a + b / 3 Υπολογίστε την της πλεγµένης συνάρτησης (, ) που ορίζεται µέσω της εξίσωσης e + + + 5 Απάντ (( + ) + ) 3 ( + e ) e e 4

4 Υπολογίστε το διαφορικό της πλεγµένης συνάρτησης (, ) που ορίζεται µέσω της εξίσωσης + + a b c c c Απάντ d d d a b 5 Να βρεθούν οι παράγωγοι των πλεγµένων συναρτήσεων, που ορίζονται από το σύστηµα εξισώσεων 3 3 3 + + 3 + + Απάντ 6 Να βρεθούν οι µερικές παράγωγοι u, v των πλεγµένων συναρτήσεων u u (, ), v v (, ) που ορίζονται από το σύστηµα u + v εξισώσεων v + u uv u + u + v u + v u Απάντ u v + v v + v u 7 Αν u v w + + να υπολογισθεί η Ιακωβιανή ορίζουσα 3 D Απάντ Duvw (,, ) + + D (,, ) Duvw (,, ) (,, ) 8 Να αναπτυχθεί η συνάρτηση (, ) e σε πολυώνυµο McLauri 3 ου βαθµού Aπάντ + 9 Να υπολογίσετε τα τοπικά ακρότατα των συναρτήσεων (α) (, ) 6 + +, (β) (, ) 4 4 + Απάντ (α) Τοπ ελάχ στο (-/3,/3), (β) Τοπ ελάχ στο (,) 5

Να υπολογίσετε τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης 3,, 3 3 + + 5 Απάντ (α) εν υπάρχουν, σαγµατικό στο (-,,/) Με τη µέθοδο των πολλαπλασιαστών Lagrage να υπολογίσετε τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης (,, ) (,, ) υπό τη 3 3 3 συνθήκη φ (,, ) + + Απάντ Τοπ µέγιστο στο,, 3 3 3 3 3 3 Με τη µέθοδο των πολλαπλασιαστών Lagrage βρείτε την ελάχιστη απόσταση από την αρχή των αξόνων, σε σηµείο που ανήκει στην τοµή 3 του παραβολοειδούς και του επιπέδου + 5 Απάντ d στα σηµεία,, και 3 4,, 5 5 6