Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας)

Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Κρήτης Εξεταστική περίοδος Σεπτεµβρίου ακαδηµαϊκού έτους 29-2 Τρίτη, 3 Αυγούστου 2 Εφαρµοσµένη Άλγεβρα ιδάσκων: Α. Τόγκας Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Θέµα ( µονάδα) Θεωρούµε το πεπερασµένο σώµα F 2 4 = F 2 [x]/x 4 + x+, και έστω α F 2 4 πρωταρχική ϱίζα του x 4 + x +. α) Να ϐρεθεί η παραγοντοποίηση του πολυωνύµου x 4 + x + στο F 2 4. ϐ) Να ϐρεθεί το αντίστροφο στοιχείο ως προς τον πολλαπλασιασµό του στοιχείου α 3 + α 2. γ) Να δειχθεί ότι το στοιχείο α 7 είναι ϱίζα του πολυωνύµου x 4 + x 3 +. Θέµα 2 ( µονάδα) α) Να ϐρεθούν όλα τα υποσώµατα των πεπερασµένων σωµάτων (i) F 2 32 και (ii) F 3 42 και να κατασκευασθεί το πλέγµα υποσωµάτων τους. ϐ) Να ϐρεθεί το πλήθος των (i) ανάγωγων και (ii) των πρωταρχικών πολυωνύµων ϐαθµού πάνω στο F 2. Θέµα 3 (2 µονάδες) α) Χρησιµοποιώντας το κριτήριο που ϐασίζεται στον αλγόριθµο του Berlekamp να αποδειχθεί ότι το πολυώνυµο f(x) = x 5 + 2 x + είναι ανάγωγο στο F 3 [x]. ϐ) Χρησιµοποιώντας τον αλγόριθµο του Berlekamp να παραγοντοποιηθεί σε γινόµενα ανάγωγων πολυωνύµων το f(x) = x 4 + x 3 + x 2 + στο F 2 [x]. Θέµα 4 ( µονάδα) α) Χρησιµοποιώντας τα κυκλοτοµικά πολυώνυµα να παραγοντοποιηθεί σε γινόµενο ανάγωγων πολυωνύµων το x 8 στο F 3 [x], δεδοµένου ότι τα µόνα (µονικά) ανάγωγα πολυώνυµα ϐαθµού 2 στο F 3 [x] είναι τα: x 2 +, x 2 + x + 2, x 2 + 2 x + 2. ϐ) Να διερευνηθεί αν τα παρακάτω κυκλοτοµικά πολυώνυµα είναι ανάγωγα ή όχι πάνω στο δοσµένο σώµα: (i) Q (x) στο F 5, (ii) Q (x) στο F 3, και να ϐρεθεί το πλήθος και ο ϐαθµός των ανάγωγων πολυωνύµων που αναλύονται (αν αναλύονται). Θέµα 5 ( µονάδα) Να υπολογιστούν τα παρακάτω κυκλοτοµικά πολυώνυµα: (i) Q 2 (x), (ii) Q 25 (x), (iii) Q 32 (x), (iv) Q 3 (x). Θέµα (2 µονάδες) Θεωρούµε δυαδική κωδικο-συνάρτηση f : B 3 B 7 µε γεννήτορα πίνακα G =. α) Να ϐρεθούν οι κωδικολέξεις και το πλήθος των λαθών που εντοπίζει και διορθώνει ο κώδικας. ϐ) Να ϐρεθεί ο πίνακας συνδρόµων-πλευρικών οδηγών της f. γ) Ενα µήνυµα κωδικοποιείται µε την εξής αντιστοιχία _ A E O S T M N και λαµβάνουµε,,. Να αποκωδικοποιηθεί το µήνυµα. Θέµα 7 (2 µονάδες) Το πολυώνυµο x 9 παραγοντοποιείται στο F 2 ως εξής x 9 = (x + )(x 2 + x + )(x + x 3 + ). α) Να ϐρεθεί το πολυώνυµο-γεννήτορας του ελάχιστου δυαδικού κυκλικού κώδικα µήκους 9 που περιέχει την κωδικολέξη. ϐ) Εστω C ο δυαδικός κυκλικός κώδικας µήκους 9 µε πολυώνυµο γεννήτορα το g(x) = + x 3 + x. Να ϐρεθεί ο γεννήτορας πίνακας του C. γ) Μια λέξη κωδικοποιείται µε τον C και λαµβάνεται ως w =. Να αποκωδικοποιηθεί η λέξη w, δεδοµένου ότι ο C εντοπίζει 2-λάθη και διορθώνει -λάθος. Εύχοµαι κάθε επιτυχία

2 Ενδεικτικές απαντήσεις των ϑεµάτων Θέµα α) Μας Ϲητείται να παραγοντοποιήσουµε το (ελάχιστο) πολυώνυµο p(x) = x 4 + x + στο πεπερασµένο σώµα F 2 4 ως την επέκταση F 2 [x]/p(x) του ελάχιστου υποσώµατος F 2. Αφού α F 2 4 πρωταρχική ϱίζα του p(x) (α 5 = ), µπορούµε να αναπαραστήσουµε τα στοιχεία του F 2 4 στην µορφή f(a) όπου f(x) είναι τα 2 4 = πολυώνυµα στο F 2 ϐαθµού d 3, και F 2 4 = {,, α, α 2,...α 4 }. Εστω Φ : F 2 4 F 2 4 ο αυτοµορφισµός Frobenius µε τύπο Φ(x) = x 2. Η παραγοντοποίηση του p(x) είναι η εξής p(x) = ( x α )( x Φ(α) )( x Φ 2 (α) )( x Φ 3 (α) ) = ( x α )( x α 2)( x α 4)( x α 8). () Αφού p(α) = τότε ( mod 2), και α 4 + α + = α 4 = α α 4 = α +, (2) α 8 = (α 4 ) 2 = (α + ) 2 = α 2 +, ( mod 2) (3) Χρησιµοποιώντας τις σχέσεις (2) και (3), η () γίνεται p(x) = ( x + α )( x + α 2)( x + α + ) ( x + α 2 + ). ϐ) Μας Ϲητείται να ϐρούµε το αντίστροφο στοιχείο ως προς τον πολλαπλασιασµό του στοιχείου α 3 + α 2. Εστω g(x) = x 3 + x 2. Αφού το p(x) είναι πρωταρχικό πολυώνυµο τότε µ.κ.δ.(p(x), g(x)) =, και αρκεί να ϐρούµε από τον αλγόριθµο του Ευκλείδη τα a(x), b(x) τέτοια ώστε Εχουµε = a(x)p(x) + b(x)g(x) x 4 + x + = (x + )(x 3 + x 2 ) + (x 2 + x + ) x 3 + x 2 = x(x 2 + x + ) + x x 2 + x + = x(x + ) +. Οπότε και παίρνοντας mod p(x) έχουµε = (x 2 + x + )p(x) + (x 2 + x)g(x) [] p(x) = [x 2 + x] p(x) [g(x)] p(x) συνεπώς το αντίστροφο του στοιχείου α 3 + α 2 είναι το α 3 + α. γ) Εστω h(x) = x 4 + x 3 +. Μας Ϲητείται να δείξουµε ότι το στοιχείο α 7 είναι µια ϱίζα του h(x). Αρκεί να δείξουµε ότι h(α 7 ) =. Πράγµατι, έχουµε Θέµα 2 h(α 7 ) = (α 7 ) 4 + (α 7 ) 3 + = α 28 + α 2 + = α 5 α 3 + α 5 α + = α 3 + α + = α 9 α 4 + α 2 α 4 + = (α 3 + α)(α + ) + α 2 (α + ) + = α 4 + α 3 + α 2 + α + α 3 + α 2 + = α 4 + α + = α) Από την ϑεωρία πεπερασµένων σωµάτων γνωρίζουµε ότι όλα τα δυνατά υποσώµατα ενός πεπερασµένου σώµατος F p n, p πρώτος, n ϑετικός ακέραιος, είναι της µορφής F p d όπου d n. (i) Οι διαιρέτες του n = 32 είναι, 2, 4, 8,, 32. Συνεπώς τα υποσώµατα του F 2 8 είναι τα : F 2, F 2 2, F 2 4, F 2 8, F 2, F 2 32 Το πλέγµα των υποσωµάτων δίνεται σχηµατικά από το παρακάτω

3 F 2 32 F 2 F 2 8 F 2 4 F 2 2 (ii) Οι διαιρέτες του n = 42 είναι, 2, 3,, 7, 4, 2, 42. Συνεπώς τα υποσώµατα του F 3 4 είναι τα : F 2 F 3, F 3 2, F 3 3, F 3, F 3 7, F 3 4, F 3 2, F 3 42 Το πλέγµα των υποσωµάτων δίνεται σχηµατικά από το παρακάτω F 2 42 F 2 2 F 2 4 F 2 F 2 7 F 2 3 F 2 2 F 2 ϐ) Από την ϑεωρία γνωρίζουµε ότι το πλήθος των ανάγωγων πολυωνύµων ϐαθµού n πάνω στο F p, δίνεται από τον τύπο Π p (n) = µ( n n d )pd d n όπου Οπότε µ( x αν x/y = y ) = ( ) k αν x/y = p p 2 p k για διαφορετικούς πρώτους p i αλλιώς Π 2 () = µ( d )2d = (µ()2 + µ(3)2 2 + µ(2)2 3 + µ()2 ) = 8 (( )2 2 + ( )2 2 + ( )2 3 + 2 ) d = (2 + 2 2 3 2 2 ) = 54 = 9 Το πλήθος των πρωταρχικών πολυωνύµων ϐαθµού n πάνω στο F p δίνεται από τον τύπο όπου ϕ(n) η συνάρτηση του Euler. Οπότε ϕ(2 ) ϕ(4 ) = = = = ϕ(3) 8 ϕ(p n ) n = ϕ(32 7) = ϕ(32 )ϕ(7) = 3(3 )(7 ) Συνεπώς υπάρχουν 9 ανάγωγα πολυώνυµα ϐαθµού πάνω στο F 2, από τα οποία τα είναι πρωταρχικά.

4 Θέµα 3 α) Μια ϐάση του διανυσµατικού χώρου F 3 [x]/f(x) όπου f(x) = x 5 + 2 x + είναι η e = {, α, α 2, α 3, α 4 }, όπου α = [x] f. Εχουµε την γραµµική απεικόνιση (αυτοµορφισµό Frobenius) Φ(a) = a 3. Εφαρµόζουµε την απεικόνιση Φ στην ϐάση e και έχουµε Φ() = Φ(α) = α 3 Φ(α 2 ) = α = α α 5 = α 2 + 2α (α 5 = α + 2) Φ(α 3 ) = α 9 = α 3 α = α 3 (α 2 + 2α) = α 5 + 2α 4 = 2α 4 + α + 2 Φ(α 4 ) = α 2 = α α = (α 2 + 2α)(α 2 + 2α) = α 4 + 4 α 3 + 4 α 2 = α 4 + α 3 + α 2 ( mod 3) οπότε ο πίνακας της Φ στην ϐάση e είναι ο [Φ] {e} = α α 2 α 3 α 4 α α 2 α 3 α 4 2 2 2 Σύµφωνα µε το κριτήριο που ϐασίζεται στον αλγόριθµο του Berlekamp, το f(x) είναι ανάγωγο αν και µόνο αν ker(φ) = και ker(φ I) = F 2. Για να ϐρούµε τον υπόχωρο ker Φ: Για το παρακάτω οµογενές γραµµικό σύστηµα έχουµε ότι 2 2 2 x x 2 x 3 x 4 x 5 = x + 2x 4 = 2x 3 + x 4 = x 3 + x 5 = x 2 + x 5 = 2x 4 + x 5 = x = 2x 4 x 2 = 2x 4 x 3 = 2x 4 x 4 = 2x 4 x 5 = x 4 δηλαδή η µοναδική λύση είναι η µηδενική. Άρα kerφ =. Για να ϐρούµε τον υπόχωρο ker(φ I): Για το παρακάτω οµογενές γραµµικό σύστηµα έχουµε ότι 2 2 2 2 2 x x 2 x 3 x 4 x 5 = 2x 4 = 2x 2 + 2x 3 + x 4 = x 5 = x 2 + 2x 4 + x 5 = 2x 4 = άρα ker(φ I) = F 3 και συνεπώς το f(x) = x 5 + 2x + είναι ανάγωγο πάνω στο F 3. x = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = x F 3 αυθαίρετο x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = ϐ) Μια ϐάση του διανυσµατικού χώρου F 3 [x]/f(x) όπου f(x) = x 4 + x 3 + x 2 + είναι η e = {, α, α 2, α 3 }, όπου α = [x] f. Εχουµε την γραµµική απεικόνιση (αυτοµορφισµό Frobenius) Φ(a) = a 2. Εφαρµόζουµε την απεικόνιση Φ στην ϐάση e και έχουµε Φ() = Φ(α) = α 2 Φ(α 2 ) = α 4 = α 3 + α 2 + Φ(α 3 ) = α = α 2 α 4 = α 5 + α 4 + α 2 = α 4 + α 3 + α + α 4 + α 2 = α 3 + α 2 + α οπότε ο πίνακας της Φ στην ϐάση e είναι ο [Φ] {e} = α α 2 α 3 α α 2 α 3 [Φ] {e} I = Για να ϐρούµε τον υπόχωρο ker(φ I): Για το παρακάτω οµογενές γραµµικό σύστηµα έχουµε ότι x x 3 = x 2 x 3 = x x 2 + x 4 = F 2 αυθαίρετο x x 2 + x 4 = 2 = x 4 F 2 x x 4 x 3 = 3 =

5 οπότε το τυχαίο v ker(φ I) γράφεται ως v = x x 2 x 2 = x + x 2 και ker(φ I) = {(,,, ),(,,, )}. Το διάνυσµα (,,, ) αντιστοιχεί στο πολυώνυµο h(x) = x + x 3. Από τον αλγόριθµο του Berlekamp γνωρίζουµε ότι τα πολυώνυµα µ.κ.δ(f(x), h(x)) και µ.κ.δ(f(x), h(x) ) είναι ανάγωγοι παράγοντες του f(x). Εκτελώντας τον Ευκλείδιο αλγόριθµο διαίρεσης για την εύρεση µ.κ.δ. πολυωνύµων ϐρίσκουµε ότι: οπότε είναι η ανάλυση σε ανάγωγα πολυώνυµα του f(x). Αναλυτικά έχουµε: Για το µ.κ.δ(f(x), h(x)) Οπότε µ.κ.δ(f(x), h(x)) = x +. Για το µ.κ.δ(f(x), h(x) + ) Οπότε µ.κ.δ(f(x), h(x) + ) = x 3 + x + Θέµα 4 µ.κ.δ(f(x), h(x)) = x + µ.κ.δ(f(x), h(x) ) = x 3 + x + x 4 + x 3 + x 2 + = (x + )(x 3 + x + ) x 4 + x 3 + x 2 + = (x + )(x 3 + x) + (x + ) x 3 + x = (x 2 + x)(x + ) x 4 + x 3 + x 2 + = (x + )(x 3 + x + ) α) Από την ϑεωρία των κυκλοτοµικών πολυωνύµων γνωρίζουµε ότι για τα Q n (x) πάνω σ ένα σώµα F χαρακτηριστικής p µε p n έχουµε x n = d n Q d (x) Εδώ έχουµε το σώµα F 3 και n = 8 και 3 8. Οι διαιρέτες του 8 είναι, 2, 4, 8, οπότε έχουµε Από τη ϑεωρία γνωρίζουµε ότι x 8 = Q (x)q 2 (x)q 4 (x)q 8 (x) Q (x) = x = x + 2 ( mod 3) Q 2 (x) = x + Προφανώς τα πολυώνυµα Q (x), Q 2 (x) είναι ανάγωγα πάνω στο F 3. Αρκεί να υπολογίσουµε τα πολυώνυµα Q 4 (x), Q 8 (x) και να ϐρούµε αν είναι ανάγωγα ή όχι. Στην περίπτωση που δεν είναι ανάγωγα ϑα πρέπει µε κάποιον τρόπο να τα παραγοντοποιήσουµε σε ανάγωγα πολυώνυµα. Από τον ορισµό των κυκλοτοµικών πολυωνύµων έχουµε ότι Q n (x) = d n (x d ) µ(n/d) = d n (x n/d ) µ(d) Οπότε Οµως µ(2 2 ) =, µ() = και µ(2) =, οπότε Αλλιώς, από ιδιότητα των κυκλοτοµικών πολυωνύµων Q 4 (x) = (x 4 ) µ() (x 2 ) µ(2) (x ) µ(4) Q 4 (x) = x4 x 2 = (x2 )(x 2 + ) x 2 = x 2 + Q 4 (x) = Q 2 2(x) = Q 2 (x 2 ) = x 2 +

Από το κριτήριο αναγωγιµότητας των κυκλοτοµικών πολυωνύµων ξέρουµε ότι το Q n (x) είναι ανάγωγο πάνω στο F p, p n αν και µόνο αν o n (p) = ϕ(n). Εδώ έχουµε για τον ϐαθµό του Q 4 (x) ότι Επιπλέον ϕ(4) = ϕ(2 2 ) = 2(2 ) = 2 3 3 mod 4 3 2 mod 4 άρα o 4 (3) = = ϕ(4) και συνεπώς το κυκλοτοµικό πολυώνυµο Q 4 (x) είναι ανάγωγο πάνω στο F 3. Αλλιώς, Q 4 () =, Q 4 () = Q 4 (2) = που σηµαίνει το Q 4 (x) δεν έχει ϱίζες στο F 3 και συνεπώς είναι ανάγωγο στο F 3. Για το Q 8 (x) Q 8 (x) = (x 8 ) µ() (x 4 ) µ(2) (x 2 ) µ(4) (x ) µ(8) Οµως, µ(2 3 ) = µ(2 2 ) =, µ() = και µ(2) =, οπότε Αλλιώς, από ιδιότητα των κυκλοτοµικών πολυωνύµων Εδώ έχουµε για τον ϐαθµό του Q 8 (x) ότι Επιπλέον Q 8 (x) = x8 x 4 = (x4 )(x 4 + ) x 4 = x 4 + Q 8 (x) = Q 2 3(x) = Q 2 (x 4 ) = x 4 + ϕ(8) = ϕ(2 3 ) = 2 2 (2 ) = 4 3 3 mod 8 3 2 mod 8 άρα o 8 (3) = 2 4 = ϕ(8) και συνεπώς το κυκλοτοµικό πολυώνυµο Q 8 (x) είναι δεν ανάγωγο πάνω στο F 3, και αναλύεται σε 2 ανάγωγα πολυώνυµα ίδιου ϐαθµού 2. Από τα δεδοµένα του ϑέµατος εύκολα συµπεραίνουµε ότι x 4 + = (x 2 + x + 2)(x 2 + 2 x + 2) Τελικά έχουµε ότι η ανάλυση του x 8 σε ανάγωγα πολυώνυµα πάνω στο F 3 είναι x 8 = (x + )(x + 2)(x 2 + )(x 2 + x + 2)(x 2 + 2 x + 2). ϐ) Από το κριτήριο αναγωγιµότητας των κυκλοτοµικών πολυωνύµων γνωρίζουµε ότι το Q n (x) είναι ανάγωγο πάνω στο F p, p n αν και µόνο αν o n (p) = ϕ(n). Επιπλέον αν d = o n (p) n τότε το Q n (x) αναλύεται σε ϕ(n)/d διαφορετικά ανάγωγα πολυώνυµα πάνω στο F p, ίδιου ϐαθµού d. (i) Για το Q (x) στο F 5 έχουµε: Επιπλέον ϕ() = ϕ(2 3) = ϕ(2)ϕ(3) = (2 )(3 ) = 2 5 3 mod 5 2 mod Άρα o (3) = ϕ() = 2 και συνεπώς το Q (x) είναι ανάγωγο πάνω στο F 5. (ii) Για το Q (x) στο F 3 έχουµε: ϕ() = ( ) = Επιπλέον 3 3 mod 3 2 9 mod 3 3 5 mod 3 2 4 mod 3 5 mod Άρα o (3) = 5 = ϕ(). Συνεπώς το Q (x) δεν είναι ανάγωγο πάνω στο F 3 και αναλύεται σε 2 ανάγωγα πολυώνυµα ίδιου ϐαθµού 5.

7 Θέµα 5 Για το υπολογισµό των κυκλοτοµικών πολυωνύµων έχουµε: (i) Q 2 (x) = Q 22 5(x) = Q 2 5 (x 2 ) = Q (x 2 ) Αρκεί να υπολογίσουµε το Q (x). Από τον ορισµό των Q n (x) έχουµε Q (x) = (x ) µ() (x 2 ) µ(5) (x 5 ) µ(2) (x ) µ() = (x )(x ) (x 2 )(x 5 ) = (x5 )(x 5 + )(x ) (x )(x + )(x 5 ) = x5 + x + = (x + )(x4 x 3 + x 2 x + ) = x 4 x 3 + x 2 x + x + Συνεπώς, έχουµε Q 2 (x) = Q (x 2 ) = x 8 x + x 4 x 2 + (ii) Q 25 (x) = Q 5 2(x) = Q 5 (x 5 ) Αρκεί να υπολογίσουµε το Q (x). Από τον ορισµό των Q p (x) µε p πρώτο έχουµε Q p (x) = x p + x p 2 + + x + Συνεπώς, και Q 5 (x) = x 4 + x 3 + x 2 + x + Q 25 (x) = Q 5 (x 5 ) = x 2 + x 5 + x + x 5 + (iii) Q 32 (x) = Q 2 5(x) = Q 2 (x 25 2 4 ) = Q 2 (x ) = x + (iv) Εύκολα ϐρίσκουµε ότι Q (x) = x 2 x +, κι έτσι Θέµα Q 3 (x) = Q 2(x) = Q (x ) Q 3 (x) = x 2 x + α) Θεωρούµε την δυαδική κωδικο-συνάρτηση f : B 3 B 7 µε γεννήτορα πίνακα G =. Θα ϐρούµε πρώτα τις κωδικολέξεις της f πολλαπλασιάζοντας τα στοιχεία του B 3 µε τον πίνακα G από αριστερά: f Επειδή min d = 4, ο κώδικας εντοπίζει 4 = [ ] 4 2-λάθη και διορθώνει 2 = -λάθη.

8 ϐ) Ο πίνακας ελέγχου-ισοτιµίας H του κώδικα µε γεννήτορα-πίνακα G είναι ο H = Με την ϐοήθεια του πίνακα H κατασκευάζουµε τον παρακάτω πίνακα συνδρόµων-πλευρικών οδηγών της f. σύνδροµα πλευρικοί οδηγοί Ο παραπάνω πίνακας παράγεται παίρνοντας τους πλευρικούς οδηγούς (λέξεις µήκους ελάχιστου ϐάρους) και πολλαπλασιάζοντας µε τον πίνακα H από αριστερά. Αφού εξαντλήσουµε την περίπτωση πλευρικών οδηγών µε ελάχιστο ϐάρος (το ψηφίο εµφανίζεται το πολύ µια ϕορά στην λέξη) συνεχίζουµε µε λέξεις ελάχιστου ϐάρους 2 κοκ. Οπότε έχουµε ένα πλήρη πίνακα σύνδροµων-πλευρικών οδηγών. γ) Το µήνυµα που λαµβάνουµε είναι,,. Παρατηρούµε ότι καµιά λέξη που λάβαµε δεν είναι κωδικολέξη. Οπότε ϑα εφαρµόσουµε τον αλγόριθµο αποκωδικοποίησης για γραµµικούς κώδικες χρησι- µοποιώντας τον πίνακα σύνδροµων-πλευρικών οδηγών που κατασκευάσαµε στο προηγούµενο ϐ) µέρος. Για κάθε µια από τις λέξεις που λάβαµε ϐρίσκουµε το σύνδροµο της και προσθέτουµε στην λέξη τον αντίστοιχο πλευρικό οδηγό. Θέτουµε w = (,,,,,, ), w 2 = (,,,,,, ), w 3 = (,,,,,, ) και έχουµε σύνδροµο πλευρικός οδηγός διορθωµένη λέξη κωδικολέξη αποκωδ/µένο µήνυµα w H = (,,, ) e = (,,,,,, ) w + e = (,,,,,, ) S w 2 H = (,,, ) e 2 = (,,,,,, ) w 2 + e 2 = (,,,,,, ) O w 3 H = (,,, ) e 3 = (,,,,,, ) w 3 + e 3 = (,,,,,, ) S Θέµα 7 α) Μας Ϲητείται να ϐρούµε τον ελάχιστο κυκλικό κώδικα µήκους 9 που περιέχει την κωδικολέξη. Θέτουµε f(x) = x 9, και h(x) = x 2 + x 8, το πολυώνυµο που αντιστοιχεί στην κωδικολέξη. Από την ϑεωρία των κυκλικών κωδίκων γνωρίζουµε ότι το πολυώνυµο-γεννήτορας που µας Ϲητείται είναι το g(x) = µ.κ.δ(f(x), h(x)) Εκτελώντας τον Ευκλείδιο αλγόριθµο διαίρεσης για την εύρεση του µ.κ.δ πολυωνύµων ϐρίσκουµε ότι x 9 = x 9 + ( mod 2) = x(x 8 + x 2 ) + ( + x 3 ) (x 8 + x 2 ) = (x 5 + x 2 )( + x 3 ) Συνεπώς g(x) = + x 3 είναι το Ϲητούµενο πολυώνυµο-γεννήτορας.

9 ϐ) Εχουµε έναν κυκλικό κώδικα µήκους 9 µε πολυώνυµο-γεννήτορα g(x) = + x 3 + x, οπότε C : B 3 B 9 και ο κυκλικός κώδικας παράγεται από τον πίνακα G =. γ) Η λέξη που λήφθηκε είναι η w = η οποία αντιστοιχεί στο πολυώνυµο w(x) = x 5 + x 8. Παρατηρούµε ότι x 8 + x 5 = x 2 ( + x 3 + x ) + x 2 οπότε g(x) w(x) και συνεπώς η w δεν είναι κωδικολέξη και ϑα πρέπει να διορθωθεί µε την υπόθεση ότι ο κώδικας C εντοπίζει 2-λάθη και διορθώνει -λάθη. Ο προηγούµενος υπολογισµός δείχνει ότι το σύνδροµο πολυώνυµο του w(x) είναι s(x) = w(x) mod g(x) = x 2 Παρατηρούµε ότι το ϐάρος του πολυωνύµου s(x) είναι wt(s(x)) =, οπότε δεν είναι αναγκαίο να συνεχίσουµε τον αλγόριθµο αποκωδικοποίησης για κυκλικούς κώδικες, και ϑέτουµε e(x) = x 9 s(x) mod (x 9 + ) = x mod (x 9 + ) = x 2 Συνεπώς η διορθωµένη λέξη (πολυώνυµο) w(x) είναι w(x) = w(x) + e(x) = x 2 + x 5 + x 8 = x 2 g(x) Τελικά η λέξη (πολυώνυµο) που κωδικοποιήθηκε µε τον κυκλικό κώδικα C είναι η που αντιστοιχεί στη λέξη B 3. x 2 g(x)/g(x) = x 2