Ask seic Algebac. : Θεωρούμε τον πίνακα A = ω ω ω ω () όπου ω είναι μια κυβική ρίζα της μονάδος (φανταστική). Να υπολογίσετε τους πίνακες A, A, A. : Ας είναι οι πίνακες M = ( x /x ) (, N = y ) και P = ( z όπου x. Να βρεθούν οι συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούν οι παργματικοί αριθμοί α, β, γ, δ έτσι ώστε ο πίνακας ( ) α β A = () γ δ να γράφεται στη μορφή: : Δίνεται ο πίνακας M = ) () A = MNP () a b a b b a () όπου a, b R. Να γραφεί ο πίνακας M ως γραμμικός συνδυασμός δύο πινάκων I και J όπου ο I είναι ο μοναδιαίος πίνακας και ο J = (6) (i). Να υπολογιστουν οι πίνακες: J, J,..., J n. (ii). Να υπολογιστεί ο πίνακας M n. (iii). Δείξτε ότι ένας τετραγωνικός πίνακας πινακας αντιμετατίθεται με τον M εάν και μόνο εάν αντιμετατίθεται με τον J. : Θεωρούμε τον πίνακα Να δείξετε ότι: A = (7) A n = a n A + b n I (8) όπου a n και b n είναι συντελεστές για προσδιορισμό και I είναι ο μοναδιαίος πίνακας.
:Δίδεται ο πϊνακας A = (9) Υπολογίσατε το A και επαληθεύσατε ότι A A = AA = I 6:Δίδεται ο πίνακας A = () Υπολογίσατε το A και επαληθεύσατε ότι A A + I =
Ασκήσεις Γραμμικής Άλγεβρας ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ Το ω είναι μια από τις φανταστικές ρίζες της εξίσωσης: x = (x )(x + x + ) = Άρα για το ω ισχύει ότι: ω + ω + = και ω = ω = ω Συνεπώς: Α = ΑΑ = ω ω ω ω = ω ω ω ω ω + ω + ω + ω + = ω + ω + ω + ω + ω + = ω + ω + ω + ω + ω + Α = Α Α = ω ω = ω ω ω ω ω ω Α = Α Α = ω ω ω ω = ω ω ω ω ω + ω + ω + ω + = ω ω ω ω = ω + ω + ω + ω + ω + = ω ω ω ω ω + ω + ω + ω + ω + ΑΣΚΗΣΗ Ισχύει ότι: ΜΝΡ = (ΜΝ)Ρ = Μ(ΝΡ) Όμως: 9 = = 9 9
ΜΝ = x + y = x x y y x x Και: x + y z (MN)Ρ = y x x = x + y (x + y)z + y x (zy + ) x Όμως: για Α = ΜΝΡ = (ΜΝ)Ρ θα πρέπει να στοιχεία των δύο πινάκων να είναι ίσα ένα προς ένα Άρα τελικά: Α = ΜΝΡ Α = (ΜΝ)Ρ α β + y (x + y)z + = x γ δ y x (zy + ) x α = x + y β = (x + y)z + = az + γ = y x δ = zy + = γz + x x ΑΣΚΗΣΗ Για να γραφτεί ο Μ ως γραμμικός συνδυασμός των Ι και J θα πρέπει να υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί κ και λ τέτοιοι ώστε: Μ = κj + λi
α β Μ = α β = κ + λ α α β κ λ α β = κ + λ κ = β, λ = α α λ Άρα: Μ = βj + αi Για τον πίνακα J ισχύει ότι: J = JJ = = J = J J = = Και συνεπώς: J n = για κάθε n Για τον πίνακα Μ ισχύει ότι: α β α β α αβ β Μ = ΜΜ = α β α β = α αβ α α α α αβ β Μ = Μ Μ = α αβ α α β α β α α α β αβ = α α β α α α β αβ α β α α β 6α β Μ = Μ Μ = α α β α β = α α β α α α α α β 6α β α β α α β α β Μ = Μ Μ = α α β α β = α α β α α α Παρατηρούμε ότι:
α n nα n β ( + +... +n )α n β Μ n = α n nα n β α n Εφαρμόζοντας το γενικό αυτό τύπο για n+ θα πρέπει να προκύψει ότι: α n+ (n+)α n β ( + +... +n + n)α n β Μ n+ = α n+ (n + )α n β α n+ Πράγματι: α n nα n β ( + + + n )α n β α β Μ n+ = Μ n Μ = α n nα n β α β = α n α α n+ (n + )α n β ( + + + n + n)α n β = α n+ (n + )α n β α n+ Άρα τελικά ισχύει ότι: α n nα n β ( + +... +n )α n β Μ n = α n nα n β α n Για να αντιμετατίθεται ένας τετραγωνικός πίνακας(χ) x με τον Μ θα πρέπει να ισχύει ότι: ΜΧ = ΧΜ Όμως, για τον Μ ισχύει ότι: Μ = κj + λi Άρα: (κj + λi)χ = Χ(κJ + λi) κjx + λιχ = κχj + λxi Όμως, ο Ι είναι ο μοναδιαίος x, άρα: ΙΧ = Χ = XI Άρα τελικά: κjx + λιχ = κχj + λxi κjx + Χ = κχj + X κjx = κχj JX = ΧJ Οπότε βγαίνει το συμπέρασμα ότι για να αντιμετατίθεται ένας τετραγωνικός πίνακας(χ) x με τον Μ θα πρέπει να αντιμετατίθεται με τον J. ΑΣΚΗΣΗ Έχουμε: Α = Α = Α + Ι
Α = ΑΑ = = = Α + Ι Α = Α Α = = = Α + Ι 6 Α = Α Α = = 6 = Α + 6Ι 6 6 Α = Α Α = 6 = = Α + Ι 6 Παρατηρούμε, λοιπόν, ότι: α =, β = και για n α n = α n + β n, β n = α n Θα υπολογίσουμε τώρα το A n+, n για να δούμε αν το αποτέλεσμα συμφωνεί με το παραπάνω συμπέρασμα, δηλαδή αν ισχύει ότι: α n+ = α n + β n, β n+ = α n Έτσι, με α n = α n + β n β n = α n έχουμε: Α n+ = A n A = (α n A + β n I)A = [(α n + β n )A + (α n )I]A = = (α n + β n ) + (α n ) Α = α n + β n α n + β n α n = α n + β n α n + β n + α n Α = α n + β n α n + β n α n α n α n + β n α n + β n = α n + β n α n α n + β n = α n + β n α n + β n α n
(α n + β n ) α n + (α n + β n ) α n + (α n + β n ) = α n + (α n + β n ) (α n + β n ) α n + (α n + β n ) = α n + (α n + β n ) α n + (α n + β n ) (α n + β n ) = [α n + (α n + β n )] + (α n + β n ) = (α n + β n )A + α n Ι Άρα, όντως: α n+ = α n + β n, β n+ = α n Και ο τύπος θα είναι: A n = α n A + β n I με α n = α n + β n, β n = α n και α =, β = 6
Ask seic Algebac. : Θεωρούμε τον πίνακα A = a a () Να δείξετε ότι (A + I) = και στη συνέχεια να υπολογίσετε τον πίνακα A n. : Για κάθε πραγματικό αριθμό α θεωρούμε τον πίνακα ( ) cosh α sinh α M = sinh a cosh a () Να υπολογίσετε το γινόμενο M(α) M(β) για α, β R και στη συνέχεια να βρεθεί ο πίνακας [M(α)] n για κάθε n N. Ορισμός: Ενας πίνακας A n n με στοιχεία από το σώμα K ονομάζεται ταυτοδύναμος αν A = A. : Αν A, B είναι δύο πίνακες n n και ικανοποιούν την σχέση A + B = I, να δείξετε ότι οι πίνακες A, B είναι ταυτοδύναμοι αν και μόνο εάν AB =. : Θεωρούμε τον πίνακα J = i i () (i). Να υπολογίσετε τον πίνακα J n όπου n N. J; (ii). Ποιά είναι η διάσταση του υποχώρου V που παράγεται από τους πίνακες (iii). Δείξτε ότι: M V MJ = JM :Δίδεται ο πϊνακας A = () Υπολογίσατε το A και επαληθεύσατε ότι A A = AA = I 6:Δίδεται ο πίνακας A = Υπολογίσατε το A και επαληθεύσατε ότι A A + I = ()
Ασκήσεις Γραμμικής Άλγεβρας ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ Από τη γνωστή ταυτότητα έχουμε: (A + I) = I + AI + A I + A Για τον πίνακα Ι ισχύει ότι: Ι = Ι = ΙΙ = Ι Ι = Ι Ι = ΙΙ = Ι Άρα: (A + I) = I + AI + A I + A = = Ι + AΙ + A I + A = = Ι + A + A + A Για τον πίνακα Α ισχύει ότι: α α Α = α α α α α α Α = ΑΑ = = α + α α α + α α α α α α Α = Α Α = α + α = α α α α + α α Άρα: (A + I) = Ι + A + A + A = α α α α α α = + + α + α + α α = α α + α α
+ α 6α + α α 6α + α = 6 + + α + α α α = + 6 α + α α + + α = Για τον πίνακα Α, επιπλέον, παρατηρούμε από τα παραπάνω ότι: nα nα Α n = ( ) n n ( + +... +n )a + ( + +... +n )a n ( + +... +n )a ( + +... +n )a + Θα εφαρμόσουμε τον παραπάνω τύπο για n+ και θα αποδειχθεί ότι ισχύει αν προκύψει ότι: (n + )α (n + )α A n+ = ( ) n+ (n + ) ( + + + n + n)a + ( + + + n + n)a n + ( + + + n + n)a ( + + + n + n)a + Έτσι έχουμε: A n+ = A n A = nα nα α α = ( ) n n ( + + + n )a + ( + + + n )a n ( + + + n )a ( + + + n )a + (n + )α (n + )α = ( ) n n + ( + + + n + n)a ( + + + n + n)a n ( + + + n + n)a ( + + + n + n)a (n + )α (n + )α = ( ) n+ (n + ) ( + + + n + n)a + ( + + + n + n)a n + ( + + + n + n)a ( + + + n + n)a + Άρα ο τύπος παραπάνω ισχύει και : nα nα Α n = ( ) n n ( + +... +n )a + ( + +... +n )a n ( + +... +n )a ( + +... +n )a + ΑΣΚΗΣΗ Ισχύει ότι: cosh α Μ(α) = sinh α sinh α cosh α
cosh β Μ(β) = sinh β sinh β cosh β Άρα: cosh α sinh α β sinh β Μ(α)Μ(β) = cosh sinh α cosh α sinh β cosh β = cosh α cosh β + sinh α sinh β cosh α sinh β + sinh α cosh β = cosh α sinh β + sinh α cosh β cosh α cosh β + sinh α sinh β = cosh(α + β) sinh(α + β) = = Μ(α + β) sinh(α + β) cosh(α + β) Για τον πίνακα Μ(α) ισχύει ότι: [Μ(α)] = Μ(α)Μ(α) Σύμφωνα, όμως, με αυτό που αποδείξαμε στο πρώτο ερώτημα: Μ(α)Μ(β) = Μ(α + β) Άρα: [Μ(α)] = Μ(α)Μ(α) = Μ(α) [Μ(α)] = [Μ(α)] Μ(α) = Μ(α)Μ(α) = Μ(α) Συνεπώς: Για n+: [Μ(α)] n = Μ(nα) [Μ(α)] n+ = [Μ(α)] n Μ(α) = Μ(nα)Μ(α) = Μ[(n + )α] Άρα ισχύει ο τύπος: [Μ(α)] n = Μ(nα) ΑΣΚΗΣΗ Ισχύει ότι: ΑΙ = Α Α(Α + Β) = Α Α + ΑΒ = Α
Και: Άρα: Και: ΙΒ = Β (Α + Β)Β = Β ΑΒ + Β = Β Α = Α Α = Α + ΑΒ ΑΒ = Β = Β Β = Β + ΑΒ ΑΒ = ΑΣΚΗΣΗ Για τον πίνακα J ισχύει ότι:
i J = i i i i J = JJ = i i = i i i J = J J = i = = Ι i J = J J = ΙJ = J J = J J = ΙJ = J J 6 = J J = ΙI = I Άρα: i J n = i, n = k +, k, k Z i J n =, n = k +, k, k Z i J n = = Ι, n = k, k, k Z Ας ονομάσουμε τους αυτούς πίνακες: i J = i i J = i J = = I Για τους αυτούς πίνακες ισχύει ότι: αj + βj + γj =
αi βi γ αi + β + γ = α βi γ γ βi αi αi γ β = α = β = γ = βi α γ Άρα οι πίνακες J, J, J αποτελούν βάση ενός διάστατου υποχώρου V. Έστω, τώρα ένας πίνακας Μ που ανήκει στο χώρο V. Ο πίνακας αυτός μπορεί να γραφεί με μοναδικό τρόπο ως γραμμικός συνδυασμός των J, J, J : Μ = αj + βj + γj Άρα: ΜJ = (αj + βj + γj )J = αj + βj + γj = J(αJ + βj + γj ) = JM Αντίστροφα, παίρνουμε ως δεδομένο ότι για τον πίνακα Μ ισχύει ότι: ΜJ = JM Έστω ότι ο Μ δεν μπορεί να γραφεί ως γραμμικός συνδυασμός των J, J, J. Τότε οι πίνακες J, J, J, Μ θα αποτελούν βάση ενός διάστατου χώρου και θα ισχύει ότι: αj + βj + γj + δμ = α = β = γ = δ = (*Δε μπόρεσα να φτάσω σε άτοπο και η παρακάτω λύση μου φαίνεται ελλιπής*) Έστω ότι ο Μ μπορεί να γραφεί ως γραμμικός συνδυασμός των J, J, J : Μ = αj + βj + γj Τότε: ΜJ = (αj + βj + γj )J = αj + βj + γj = J(αJ + βj + γj ) = JM Που ισχύει. ΑΣΚΗΣΗ Είναι: 6
Α = ΑΑ = = Έχουμε: Α Α = = = Ι ΑΑ = = = Ι Άρα όντως: Α Α = ΑΑ = Ι ΑΣΚΗΣΗ 6 Είναι: 7
7 Α = ΑΑ = = Έχουμε: Α Α + Ι = 7 = + = 7 9 + + + = + + = + + 8
Ask seic Algebac. : Δίνεται ο πίνακας A = ( a b όπου a, b R και ab =. a). Να υπολογίσετε τους πίνακες A, A, A,..., A k, A k+, k N. ) () b). Αν θέσουμε S k = I + A + A +... + A k, όπου I είναι ο μοναδιαίος πίνακας, να υπολογιστούν οι S k και S k+. c). Να βρεθεί η συνθήκη που απαιτείται ώστε το άθροισμα S k να έχει όριο, όταν το k και να υπολογιστεί το όριο. d). Να βρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα I A. : Αν οι n n πίνακες A, B είναι συμμετρικοί, τότε συμμετρικός είναι και ο πίνακας AB + BA. : Αν A είναι αντιστρέψιμος, συμμετρικός πίνακας, τότε ο A είναι και αυτός συμμετρικός πίνακας. : Αν A, B είναι n n πίνακες και ο A είναι αντιστρέψιμος, να δείξετε ότι: (A + B)A (A B) = (A B)A (A + B) () : Αν οι πίνακες A, B ικανοποιούν τις σχέσεις A =, AB = BA () τότε να δείξετε ότι ο πίνακας M = B + A ικανοποιεί τη σχέση: M (ν+) = B ν [B + (ν + )A] () 6: Ας είναι A = (α ij ) ένας ν ν πίνακας τέτοιος ώστε α ij M () όπου i, j =,,..., ν. νm. Να δείξετε ότι τα στοιχεία του A φράσσονται από τον
Ασκήσεις Γραμμικής Άλγεβρας ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ Έχουμε: Α = β α Α = ΑΑ = α α = αβ β β αβ A = A A = αβ α αβ β = α β αβ α β A = A A = αβ α β = β α α β Άρα γενικά: Α κ = (αβ)κ (αβ) κ, k N Και: Α κ+ α(αβ) κ = β(αβ) κ, k N Αυτό αποδεικνύεται και ως εξής: Α (κ+) = Α κ+ α(αβ) κ Α = β(αβ) κ α (αβ)κ+ β = (αβ) κ+ Α (κ+)+ = Α (κ+) Α = (αβ)κ+ α (αβ) κ+ β = α(αβ) κ+ β(αβ) κ+ Για τα αθροίσματα έχουμε: S κ + αβ + (αβ) + + (αβ) κ α + α(αβ) + α(αβ) + + α(αβ) κ = β + β(αβ) + β(αβ) + + β(αβ) κ + αβ + (αβ) + + (αβ) κ
+ αβ + (αβ) + + (αβ) κ α + α(αβ) + α(αβ) + + α(αβ) κ S κ+ = β + β(αβ) + β(αβ) + + β(αβ) κ + αβ + (αβ) + + (αβ) κ Όμως η ακολουθία + αβ + (αβ) + + (αβ) κ είναι μια γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο το και λόγο αβ. Άρα: S κ = (αβ) κ+ αβ β (αβ)κ αβ α (αβ)κ αβ (αβ) κ+ αβ (αβ) κ+ αβ S κ+ = β (αβ)κ+ αβ α (αβ)κ+ αβ (αβ) κ+ αβ Για να υπάρχει το όριο του S κ στο άπειρο θα πρέπει το γινόμενο αβ να είναι μικρότερο της μονάδας έτσι ο όρος (αβ) κ θα τείνει το Άρα: lim κ + S κ = αβ β αβ α αβ αβ Έχουμε: Μ = Ι Α = α β α = β Άρα:
Μ Μ = Ι x y α = z w β x yβ xα + y = z βw zα + w x yβ = xα + y = y = xa z βw = z = wβ zα + w = Άρα: x yβ = x aβx = x = αβ w za = w aβw = w = αβ a y = αβ z = β αβ Άρα ο αντίστροφος του πίνακα ΑΙ είναι: (Α Ι) = αβ β αβ α αβ αβ ΑΣΚΗΣΗ Εφόσον οι Α και Β είναι συμμετρικοί ισχύει ότι: Α t = Α
Και: Β t = Β Άρα για τον πίνακα ΑΒ+ΒΑ ισχύει: (ΑΒ + ΒΑ) t = = (ΑΒ) t + (ΒΑ) t = = Β t Α t + Α t B t = = BA + AB = = AB + BA Άρα και ο πίνακας ΑΒ+ΒΑ είναι συμμετρικός ΑΣΚΗΣΗ Εφόσον ο Α είναι αντιστρέψιμος και συμμετρικός ισχύει ότι: υπάρχει ο Α
Και: Α t = A () Επιπλέον: ΑΑ = I (Α Α) t = I t A t (A ) t = I () Διότι και ο μοναδιαίος πίνακας είναι συμμετρικός. Από την () και την (): Α(A ) t = I () Όμως: ΑΑ = I () Άρα από τις () και (): (A ) t = Α Που σημαίνει ότι και ο Α είναι συμμετρικός. ΑΣΚΗΣΗ Έχουμε: (Α + Β)Α (Α Β) = (Α Β)Α (Α + Β)
(ΑΑ + ΒΑ )(Α Β) = (Α Β)(Α Α + Α Β) (Ι + ΒΑ )(Α Β) = (Α Β)(Ι + Α Β) Ι(Α Β) + ΒΑ (Α Β) = (Α Β)Ι + (Α Β)Α Β Α Β + ΒΑ Α ΒΑ Β = Α Β + ΑΑ Β ΒΑ Β ΒΙ ΒΑ Β = ΙΒ ΒΑ Β Β ΒΑ Β = Β ΒΑ Β ΒΑ Β = ΒΑ Β Που προφανώς ισχύει. ΑΣΚΗΣΗ Εφόσον Α = θα ισχύει: Α = Α Α = Α = 6
Α = Α Α = Α = Α κ. ο. κ. Άρα: Για τον πίνακα Μ έχουμε: Α ν =, ν Μ ν+ = (Α + Β) ν+ = = ν + Α Β ν+ + ν + Α Β ν + ν + Α Β ν + + ν + ν + ν + Αν+ Β Επειδή όμως: Έχουμε: Α ν =, ν Μ ν+ = ν + Βν+ + ν + ΑΒν = = (ν + )! (ν + )!! Βν+ + (ν + )! ΑΒ ν = ν!! = Β ν+ ν! (ν + ) + ΑΒ ν = ν! = Β ν+ + (ν + )ΑΒ ν Επιπλέον, όμως: ΑΒ = ΒΑ ΑΒ ν = ΒΑΒ ν Άρα: ΑΒ ν = ΒΑΒ ν = Β(ΑΒ)Β ν = Β(ΒΑ)Β ν = Β ΑΒ ν = = Β ν Α Οπότε τελικά: Μ ν+ = Β ν+ + (ν + )ΑΒ ν = = Β ν+ + (ν + )Β ν Α = = Β ν [Β + (ν + )Α] ΑΣΚΗΣΗ 6 Έστω ο πίνακας Α: 7
α α ν Α = α ν α νν Και ο Α : β β ν Α = β ν β νν Το κάθε στοιχείο του Α αποτελεί ένα άθροισμα ν όρων που ο κάθε όρος είναι το γινόμενο δύο στοιχείων του πίνακα Α. Και μαθηματικά: i=ν β kl = a ki a il i= με k, l =,,, ν Ισχύει ότι: a ki Μ και a il Μ Άρα για κάθε όρο του αθροίσματος θα ισχύει: a ki a il Μ (* αυτό μπορεί να γίνει διότι η απόλυτη τιμή είναι πάντα θετική ενώ ο αριθμός Μ είναι μεγαλύτερος μια απόλυτης τιμής άρα είναι και αυτός σίγουρα θετικός*) Όμως, κάθε άθροισμα αποτελείται από ν τέτοια γινόμενα, άρα: + a k a l Μ ν όροι{ a kν a ν Μ i=ν a ki a il νμ i= β kl νμ 8
Ask seic Algebac. OÐzousec : Να αναπτυχθεί η ορίζουσα D = κατά τα στοιχεία μιας γραμμής ή μιας στήλης. () : Δίνεται ο πίνακας A = () Να βρεθούν: (i). Οι ελάσσονες ορίζουσες όλων των στοιχείων του πίνακα Α και να κατασευαστεί πίνακας Β με στοιχεία τις ελάσσονες ορίζουσες. (ii). Να βρεθεί ο ανάστροφος του πίνακα Β. (iii). Να βρεθούν οι ορίζουσες των πινάκων Α,Β και B t. : Να δείξετε ότι: D = 6 9 6 8 7 = () :Να δείξετε ότι: D = x y x y x y = xy(x )(y )(y x) () : Να δείξετε ότι: α + β + γ α + β + γ α + β + γ D = β β γ α β β γ γ α β = (α + β + γ) () 6: Να λυθεί η εξίσωση B(x) = x α β x α x x β β x x α x β α x = (6)
Ασκήσεις Γραμμικής Άλγεβρας ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ Έχουμε: D = = ( ) + a D + ( ) + a D + ( ) + a D Όπου: α = α = α = D = D = D = Άρα: D = = 8 ( ) = 8 + = ΑΣΚΗΣΗ Έχουμε:
Α = Α = = Α = = Α = = Α = = Α = = 6 Α = = Α = = Α = = 9 Α = = Άρα: Είναι: Β = 6 9 B t = 6 9 Έχουμε: Α = = + = + = Β = 6 = + 9 6 6 = 9 = ( ) + 9 = B t = 6 9 = 6 + 9 6 = = ( ) + 9 = ΑΣΚΗΣΗ Έχουμε:
D = 6 9 6 8 7 Θα υπολογίσουμε πρώτα τις ελάσσονες ορίζουσες των στοιχείων της τέταρτης στήλης της D. 6 D = 9 6 = + 6 + + 6 = 8 D = 9 6 = 7 + + 7 + 7 7 = 8 D = 6 = + 96 + 8 8 96 = 8 D = 6 = 9 + 7 6 9 + 6 7 = 9 6 Άρα: D = D + D + D + 7D = ΑΣΚΗΣΗ Έχουμε:
x y D = x y x y D = x y x y x y x y x y + y y = = x y x y xy + x y + xy x y = = xy(xy x y y + x + y x) = = xy[xy(y x) + (x + y)(x y) + y x] = = xy(y x)(xy x y + ) = = xy(y x)[x(y ) (y )] = = xy(y x)(y )(x ) ΑΣΚΗΣΗ Έχουμε:
α + β + γ α + β + γ α + β + γ D = β β γ α β γ γ γ α β Θα υπολογίσουμε πρώτα τις ελάσσονες ορίζουσες των στοιχείων της πρώτης γραμμής της D. β γ α D = β γ D = β γ D = β γ = (β γ α)(γ α β) βγ γ α β β = β(γ α β) βγ γ α β β γ α = βγ γ(β γ α) γ Άρα: D = (α + β + γ)d (α + β + γ)d + (α + β + γ)d = (β γ α)(γ α β) βγ β(γ α β) = (α + β + γ) = +βγ + βγ γ(β γ α) = (α + β + γ)[(γ α β)(β γ α β) + γ(β β + γ + α)] = = (α + β + γ)[ (γ α β)(α + β + γ) + γ(α + β + γ)] = = (α + β + γ) ( γ + α + β + γ) = = (α + β + γ) ΑΣΚΗΣΗ 6 Έχουμε:
x a D = b x a x x b b x x a x b a = x x x b a x b a x b a x x = x x x a a b x a + b b x a x b x x = b a x x a x x b x x b a = x(x + abx + abx b x a x x ) a(ax + ax + ab bx a bx ) +b(ax + ax + b bx a b bx ) x(a x + x + b x x abx abx) = = x (a ab + b ) a x + abx a b + a +abx b x + a b + b x (a ab + b ) = = x (a b) x (a ab + b ) + a + b = = x (a b) + a + b Άρα: D = = x (a b) + a + b = x = ± a + b a b 6
Ask seic Algebac. OÐzousec : Των ακολούθων πινάκων να βρεθεί ο αντίστροφος. D = () D () : Δείξτε ότι: a a b b c c = όπου a, b, c μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί. bc a a ca b b ab c c () : Θεωρούμε τον πίνακα 6 6 A = (a ij ). Στο ανάπτυγμα της ορίζουσάς του ποιό πρόσημο έχει το γινόμενο: a 6 a a a a a 6 () : Να αποδείξετε την σχέση (x + y )(a + b ) = (xa + yb) + (xb ya) () υπολογίζοντας το γινόμενο D = x y y x a b b a (6) :Να δείξετε ότι: a b c a b c a b c x z y t = a x + b z a y + b t c a x + b z a y + b t c a x + b z a y + b t c (7) 6: Για πραγματικούς αριθμούς a, b, c, θέτουμε A = a +b +c, B = ab+bc+c. Να δείξετε ότι η ορίζουσα B A B D = B B A (8) A B B γράφεται σαν γινόμενο δύο οριζουσών και με τη βοήθειά τους να την υπολογίσετε.
Ασκήσεις Γραμμικής Άλγεβρας ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ α) Έχουμε ότι: (D I) = + + 6 9 7 7 7 7 Άρα ο αντίστροφος του πίνακα D είναι ο: 7 = 7 β) Έχουμε ότι ( I )= D
fi + fi ł Ł fi + fi ł Ł fi + fi ł Ł 6 9 fi + fi ł Ł 9 6 9 fi fi ł Ł 8 9 6 fi fi ł Ł 8 fi fi ł Ł 8 8 fi fi ł Ł 8 8 fi ł Ł fi 8 8 7 9 fi ł Ł fi 8 8 7 9 fi ł Ł fi 8 7 9 fi ł Ł fi 6 6 8 7 9 fi ««ł Ł 6 6 8 7 9 ł Ł 8 7 9 6 6 Άρα ο αντίστροφος του πίνακα D είναι ο:
6 8 Ł 6 9 7 ł ΑΣΚΗΣΗ Σύμφωνα με τις ιδιότητες των οριζουσών έχουμε: α α a α a α a a b b = a a c c b b b = ab b b = abc c c c b b c c c c abc a α a abc bc a α = b b = ac b b b abc ab c c c c c a α b b = c c ΑΣΚΗΣΗ Η σωστή σειρά για το γινόμενο είναι: α α α 6 α α α 6 Έχουμε, λοιπόν, τη μετάθεση: (,,6,,,) Αυτή έχει 6 αναστροφές καθώς: το 6 προηγείται του του και του, το προηγείται του και του και τέλος το προηγείται του. Άρα η μετάθεση είναι άρτια αφού έχει άρτιο αριθμό αναστροφών. Και συνεπώς αφού η μετάθεση είναι άρτια το ε (,,6,,,) είναι θετικό. Άρα το πρόσημο του γινομένου θα είναι θετικό. ΑΣΚΗΣΗ
Έστω οι πίνακες: Και: A = x y B = a b xa + yb AB = ya xb y x b a xb ya yb + xa Έχουμε: Α = x y y x = x + y Β = a b b a = a + b xa + yb xb ya ΑΒ = ya xb yb + xa = (xa + yb) + (xb ya) Όμως από τις ιδιότητες των οριζουσών γνωρίζουμε ότι: det A det B = det AB Δηλαδή: (x + y )(a + b ) = (xa + yb) + (xb ya) ΑΣΚΗΣΗ Σύμφωνα με τις ιδιότητες των οριζουσών έχουμε: a x + b z a y + b t c a x a y + b t c b z a y + b t c a x + b z a y + b t c = a x a y + b t c + b z a y + b t c a x + b z a y + b t c a x a y + b t c b z a y + b t c Επιπλέον:
a x a y + b t c a x a y c a x b t c a x a y + b t c = a x a y c + a x b t c = a x a y + b t c a x a y c a x b t c a a c a b c a b c = xy a a c + xt a b c = xt a b c a a c a b c a b c a a c Διότι η ορίζουσα: a a a a c είναι μηδενική αφού έχει δύο ίδιες στήλες. c Και: b z a y + b t c b z a y c b z b t c b z a y + b t c = b z a y c + b z b t c = b z a y + b t c b z a y c b z b t c b a c b b c a b c = yz b a c + zt b b c = yz a b c b a c b b c a b c b b c Διότι η ορίζουσα: b b c είναι μηδενική αφού έχει δύο ίδιες στήλες. b b c Άρα τελικά: a x a y + b t c a b c a b c a x a y + b t c = xt a b c = yz a b c = a x a y + b t c a b c a b c a b c a b c x y = a b c (xt yz) = a b c z t a b c a b c ΑΣΚΗΣΗ 6
Ask seic Algebac 6. : Να δείξετε ότι ο πίνακας D = ( +i i ) () Είναι ερμιτιανός. : Αν A είναι ένας ερμιτιανός πίνακας να δείξετε ότι τόσο η ορίζουσά του όσο και το ίχνος του είναι πραγματικοί αριθμοί. : Να δείξετε ότι το σύστημα αy + βx = γ γx + αz = β βz + γy = α () έχει μοναδική λύση και να τη βρήτε δοθέντος ότι αβγ. : Να επιλύσετε το παρακάτω σύστημα όπου µ R. (µ + )x + (µ )y = µ µx + (µ + )y = µ () : Να επιλύθεί και να διερευνηθει το παρακάτω σύστημα όπου µ R. µx + y + z = x + µy + z = µ x + y + µz = µ () 6: Αν a C να επιλύθεί και να διερευνηθεί το παρακάτω σύστημα x + ay + a z = āx + y + az = ā x + āy + z = () 7: Δίνεται πίνακας A = (a ij ) n n με στοιχεία από το σώμα των πραγματικών αριθμών. Θεωρούμε τον πίνακα C = (c ij ) που ορίζεται από c ij = a ij όταν i + j =άρτιος και c ij = a ij όταν i + j = περιττός. Να δείξτε ότι det(c) = Det(A).
8: Αν A είναι ένας n n πίνακας με περισσότερα από n n στοιχεία, τότε det(a) =. 9: Αν A, B είναι δύο n n πίνακες με στοιχεία από σώμα των πραγματικών αριθμών και ο A είναι αντιστρέψιμος, να δείξετε ότι ο πίνακας A+λB, όπου λ R, αντιστρέφεται για όλες τις τιμές του λ εκτός πεπερασμένου πλήθους.
Ασκήσεις Γραμμικής Άλγεβρας 6 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ Έχουμε: D t = + i i Επιπλέον: (D t ) = i + i Άρα: (D t ) = D Και ο πίνακας D είναι Ερμιτιανός. ΑΣΚΗΣΗ Για έναν Ερμιτιανό πίνακα ισχύει ότι: (Α t ) = Α
Όμως ισχύει και ότι: Άρα: (Α t ) = (Α ) t (Α ) t = Α (Α ) t = A Επιπλέον γενικά ένας πίνακας και ο ανάστροφός του έχουν ίσες ορίζουσες, άρα: (Α ) t = Α Άρα τελικά: Α = A () Όμως: Α = ε jj jn a j a j a njn = ε jj jn a j a j a njn = ( A ) () Aν: Τότε από τη σχέση (): Και από τη σχέση (): A = a + bi Α = a bi a + bi = a bi b = Συνεπώς η ορίζουσα του Ερμιτιανού πίνακα Α είναι πραγματικός αριθμός. Για έναν πίνακα γενικά ισχύει ότι τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου του είναι ίδια με τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου του ανάστροφού του. Εάν, επιπλέον ο πίνακας είναι και Ερμιτιανός τότε θα πρέπει τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου του να είναι ίσα με τα συζυγή τους. Για να είναι ένας μιγαδικός αριθμός ίσος με τον συζυγή του θα πρέπει το φανταστικό του μέρος να είναι. Συμπεραίνουμε, λοιπόν, ότι όλα τα στοιχεία της κυρίας διαγωνίου ενός Ερμιτιανού πίνακα είναι πραγματικοί αριθμοί και συνεπώς το ίχνος ενός τέτοιου πίνακα, που ισούται με το άθροισμα των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου του, είναι και αυτό πραγματικός αριθμός. ΑΣΚΗΣΗ Το σύστημα είναι: bx + ay + z = c cx + y + az = b
x + cy + bz = a Άρα: b a D = c a c b c Β = b a Έχουμε: b a D = c a = abc abc = abc c b Άρα το σύστημα έχει μοναδική λύση. Επιπλέον: c a D = b a = a ab ac = a( a + b + c ) a c b b c D = c b a = b ba bc = b( b + a + c ) a b b a c D = c b = c ca cb = c( c + a + b ) c a Άρα: x = D D = a( a + b + c ) = a + b + c abc bc y = D D = b( b + a + c ) = b + a + c abc ac z = D D = c( c + a + b ) = c + a + b abc ab ΑΣΚΗΣΗ Το σύστημα είναι: (μ + )x + (μ )y = μ μx + (μ + )y = μ
Άρα: Έχουμε: μ + μ μ D = Β = μ μ + μ μ + μ D = μ μ + = μ + μ + μ + μ = μ + μ μ D = μ μ + = μ + μ μ + μ = μ D = μ + μ μ μ = μ μ = η Περίπτωση: Για μ = / D = D, D Άρα το σύστημα δεν έχει λύση. η Περίπτωση: Για μ / D Το σύστημα έχει μοναδική λύση την: x = D D = μ μ + y = D D = μ + ΑΣΚΗΣΗ Το σύστημα είναι: μx + y + z = x + μy + z = μ Άρα: x + y + μz = μ
μ D = μ Β = μ μ μ Έχουμε: μ D = μ = μ + + μ μ μ = μ μ + = (μ ) (μ + ) μ D = μ μ = μ + μ + μ μ μ = μ + μ + μ = (μ ) (μ + ) μ μ μ D = μ = μ + + μ μ μ μ = μ μ + = (μ ) μ μ μ D = μ μ = μ + μ + μ μ μ = μ μ + = (μ ) (μ + ) μ η Περίπτωση: Για μ = D = D = D = D = Άρα το σύστημα έχει άπειρες λύσεις. η Περίπτωση: Για μ = Άρα το σύστημα δεν έχει λύση. D = D, D, D η Περίπτωση: Για μ, Το σύστημα έχει μοναδική λύση την: ΑΣΚΗΣΗ 6 D x = D D = (μ ) (μ + ) (μ + ) (μ ) = (μ + ) (μ + ) y = D D = (μ ) (μ ) (μ + ) = (μ + ) z = D D = (μ ) (μ + ) (μ + ) (μ ) = (μ + ) (μ + ) Το σύστημα είναι: x + αy + α z = α x + y + αz = α x + α y + z =
α α Άρα: D = α α Β = α Έχουμε: α α α D = α α = + +a α + a (α ) a α aα aα = + a (α ) aα = α α = ( aα ) Αν, όμως, θέσουμε α = κ+λi τότε aα = κ +λ άρα ( aα ) = ( κ λ ) Επιπλέον: D = μ = μ μ D = = μ μ D = μ = η Περίπτωση: Για D= D = D = D = D = Άρα το σύστημα έχει άπειρες λύσεις. Αυτό συμβαίνει όταν: κ λ α i i Για άλλη τιμή του α: D + i κ λ α i + i i Το σύστημα έχει μοναδική λύση την: x = D D = y = D D = z = D D = ΑΣΚΗΣΗ 7 Χρησιμοποιώντας τον γενικό τύπο για τις ορίζουσες n n αρκεί να αποδείξουμε ότι για τις δύο ορίζουσες ισχύει ότι: 6
a j a j a njn = c j c j c njn Πιο απλά αρκεί να αποδείξουμε ότι για οποιαδήποτε μετάθεση: στα αθροίσματα: π = (j, j, j,, j n ) j +, j +, j +,, j n + n υπάρχει άρτιος αριθμός περιττών αθροισμάτων. Έτσι έχουμε: Η μετάθεση π = (,,,,, n) δίνει μόνο άρτια αθροίσματα. Μετά από μια αναστροφή δύο αριθμών που δίνουν και οι δύο άρτια αθροίσματα προκύπτει μια μετάθεση που δίνει δύο περιττά αθροίσματα. Για παράδειγμα η μετάθεση π = (,,,,, n) δίνει δύο περιττά αθροίσματα, τα += και +=. Μετά από μια αναστροφή δύο αριθμών που ο ένας δίνει άρτιο και ο άλλος περιττό άθροισμα προκύπτει μια μετάθεση που δίνει δύο περιττά αθροίσματα. Για παράδειγμα η μετάθεση π = (,,,,, n) δίνει δύο περιττά αθροίσματα, τα += και +=. Μετά από μια αναστροφή δύο αριθμών που δίνουν και οι δύο περιττό άθροισμα προκύπτει μια μετάθεση που δίνει μόνο άρτια αθροίσματα. Για παράδειγμα η μετάθεση π = (,,,,, n) δίνει μόνο άρτια αθροίσματα. Έτσι, γίνεται φανερό ότι όσες αναστροφές και να γίνουν, μεταξύ οποιονδήποτε αριθμών το σύνολο των περιττών αθροισμάτων θα είναι άρτιο. Άρα το γινόμενο c j c j c njn θα περιέχει πάντα άρτιο αριθμό αντίθετων ως προς τον πίνακα Α στοιχείων, δηλαδή θα ισχύει πάντα: a j a j a njn = c j c j c njn Που συνεπάγεται: det A = det C 7
Ask seic Algebac 7. : Ας είναι M (K) το σύνολο όλων των πινάκων με στοιχεία από το σώμα K. Να δείξετε ότι το σύνολο αυτό εφοδιασμένο με πράξεις τη συνήθη πρόσθεση πινάκων και βαθμωτό πολλαπλασιασμό τον πολλαπλασιασμό πίνακα επί τυχόν στοιχείο του K αποτελεί διανυσματικό χώρο στο K. : Λαμβάνουμε διάστημα I = (a, b) R και θεωρούμε το σύνολο F (I) = {f/f : I R }. Αν f, g F (I) και λ R ορίζουμε την πρόσθεση των f, g από τη σχέση (f + g)(x) = f(x) + g(x), x I και τον πολλαπλασιασμό (λf)(x) = λf(x), x I. Να δείξετε ότι το σύνολο F (I) εφοδιασμένο με τις παραπάνω πράξεις καθίσταται διανυσματικός χώρος πάνω στο R. : Θεωρούμε την απεικόνηση f : R R, που ορίζεται από την σχέση: { x f(x, y) = y όταν y () όταν y = και την απεικόνιση g : R R που ορίζεται από τη σχέση: g(x, y) = (x +, y), (x, y) R () Να εξετάσετε αν οι f, g είναι γραμμικές. : Να δείξετε ότι η απεικόνιση f : C C που ορίζεται από τη σχέση f(z, z ) = z + z () όπου z είναι ο συζυγής μιγαδικός του z, είναι γραμμική απεικόνιση όταν οι C, C θεωρηθούν διανυσματικοί χώροι πάνω στο σώμα R, ενώ δεν είναι γραμμική αν οι C, C θεωρηθούν διανυσματικοί χώροι στο σώμα C. : Θεωρούμε τον διανυσματικό χώρο F (R ) = {f/f : R R }. Να εξετάσετε αν καθένα από τα παρακάτω υποσύνολα του F (R ) είναι διανυσματικοί υποχώροι του V = {t F (R )/f() = f()} V = {t F (R )/f(x), x [, ]} V = {t F (R )/f( x) = f(x), x R } V = {t F (R )/f( x) = f(x), x R } () 6: Θεωρούμε την γραμμική απεικόνιση f : R R, που ορίζεται από την σχέση (i). Να βρεθεί ο πυρήνας N f της f. (ii). Δείνεται ο υποχώρος του R f(x, y, z) = (x + y, z) () V = {(x, y, z)/(x, y, z) R, x + y + z = } (6) Να βρεθεί η εικόνα του f(v ). (iii). Δίνεται ο υποχώρος του R Να βρεθεί η αντίστροφη εικόνα f (W ). W = {(x, y)/(x, y) R, x = y} (7)
Ασκήσεις Γραμμικής Άλγεβρας 7 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ Για τους πίνακες Α, Β, Γ που είναι και πραγματικούς αριθμούς κ, λ έχουμε: Ως προς την πρόσθεση: α) ο Α+Β είναι και αυτός άρα το σύνολο Μ είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση β) ισχύει ότι Α+Β=Β+Α γ) ισχύει ότι Α+(Β+Γ)=(Α+Β)+Γ δ) υπάρχει ο μηδενικός πίνακας που ανήκει στο Μ έτσι ώστε Α+=Α ε) υπάρχει ο πίνακας Α που ανήκει και αυτός στο σύνολο Μ τέτοιος ώστε Α+(Α)= Ως προς το βαθμωτό πολλαπλασιασμό: α) ο λα είναι και αυτός άρα το σύνολο Μ είναι κλειστό ως προς τον πολλαπλασιασμό β) ισχύει ότι λ(α+β)=λα+λβ γ) ισχύει ότι (λ+μ)α=λα+μα δ) ισχύει ότι λ(μα)=(λμ)α=λμα ε) ισχύει ότι: Α=Α Άρα το σύνολο των πινάκων με στοιχεία από το σώμα Κ εφοδιασμένο με τις πράξης της πρόσθεσης πινάκων και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού πίνακα επί τυχαίο στοιχείο του Κ αποτελεί διανυσματικό χώρο στο Κ. ΑΣΚΗΣΗ Για τις συναρτήσεις f, g, h που ανήκουν στο σύνολο F(I) και πραγματικούς αριθμούς κ, λ έχουμε:
Ως προς την πρόσθεση: α) η f+g ανήκει στο σύνολο F(I) άρα αυτό είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση β) ισχύει ότι f+g=g+f γ) ισχύει ότι f+(g+h)=(f+g)+h δ) υπάρχει κάποια συνάρτηση κ(x) που ανήκει στο F(I) και που για κάποιο x ϵi ισούται με έτσι ώστε f+κ(x )=f ε) υπάρχει η συνάρτηση f που ανήκει και αυτή στο σύνολο F(I) έτσι ώστε f+(f)= Ως προς το βαθμωτό πολλαπλασιασμό: α) η λf ανήκει στο σύνολο F(I) άρα αυτό είναι κλειστό ως προς τον πολλαπλασιασμό β) ισχύει ότι λ(f+g)=λf+λg γ) ισχύει ότι (λ+μ)f=λf+μf δ) ισχύει ότι λ(μf)=(λμ)f=λμf ε) ισχύει ότι: f=f Άρα το σύνολο των συναρτήσεων F(I) εφοδιασμένο με τις πράξης της πρόσθεσης συναρτήσεων και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού συνάρτησης επί τυχαίο αριθμό του R αποτελεί διανυσματικό χώρο στο R. ΑΣΚΗΣΗ
Για την απεικόνιση f έχουμε: f(a + b, a + b ) = (a + b ) a + b = f(a a + b a b, a ) + f(b, b ) Άρα δεν είναι γραμμική Για την απεικόνιση g έχουμε: g(a + b, a + b ) = (a + b +, a b ) (a + b +,, a b ) = Άρα δεν είναι γραμμική = g(a, a ) + g(b, b ) ΑΣΚΗΣΗ Για την απεικόνιση f: R R : z =α, z =α, z* =α όπου α, α ϵ R f(a + b, a + b ) = a + b + a + b = f(a, a ) + f(b, b ) f(λa, λa ) = λa + λa = λ(a + a ) = λf(a, a ) Άρα είναι γραμμική. Για την απεικόνιση f: C C : z =α +c i, z =α +c i, z* =α c i όπου οι α, α,c,c ϵ R f(a + c i + b + d i, a + c i + b + d i) = a + c i + b + d i + a c i + b d i = f(a + c i, a + c i) + f(b + d i, b + d i) f(λa + λc i, λa + λc i) = λa + λc i + λa λc i = λf(a + c i, a + c i) Άρα είναι γραμμική. ΑΣΚΗΣΗ Για το V : Έστω δύο συναρτήσεις g, h για τις οποίες ισχύει ότι g()=g() και h()=h(). Επιπλέον, και ο τυχαίος πραγματικός αριθμός λ.
Για κάθε συνάρτηση κ=λg+h ισχύει ότι: κ() = λg() + h() = λg() + h() = λg() + h() = κ() Άρα και η κ ανήκει στο V και επιπλέον ο V δεν είναι κενός διότι σε αυτόν ανήκει η συνάρτηση f(x)=. Άρα ο V είναι υποχώρος του F(R ). Για το V : Έστω δύο συναρτήσεις g, h για τις οποίες ισχύει ότι g(x) και h(x) για κάθε xϵ[,]. Επιπλέον, και ο τυχαίος πραγματικός αριθμός λ. Για κάθε συνάρτηση κ=λg+h ισχύει ότι: κ(x) = λg(x) + h(x) Που δεν είναι πάντα μεγαλύτερο του για κάθε xϵ[,] (εξαρτάται από το λ) Άρα η κ δεν ανήκει πάντα στο V. Άρα ο V δεν είναι υποχώρος του F(R ). Για το V : Έστω δύο συναρτήσεις g, h για τις οποίες ισχύει ότι g(x)=g(x) και h(x)=h(x). Επιπλέον, και ο τυχαίος πραγματικός αριθμός λ. Για κάθε συνάρτηση κ=λg+h ισχύει ότι: κ( x) = λg( x) + h( x) = λg(x) + h(x) = κ(x) Άρα και η κ ανήκει στο V και επιπλέον ο V δεν είναι κενός διότι σε αυτόν ανήκει η συνάρτηση f(x)=. Άρα ο V είναι υποχώρος του F(R ). Για το V : Έστω δύο συναρτήσεις g, h για τις οποίες ισχύει ότι g(x)=g(x) και h(x)=h(x). Επιπλέον, και ο τυχαίος πραγματικός αριθμός λ. Για κάθε συνάρτηση κ=λg+h ισχύει ότι:
κ( x) = λg( x) + h( x) = λg(x) h(x) = κ(x) Άρα και η κ ανήκει στο V και επιπλέον ο V δεν είναι κενός διότι σε αυτόν ανήκει η συνάρτηση f(x)=. Άρα ο V είναι υποχώρος του F(R ). ΑΣΚΗΣΗ 6 α) Πυρήνας της f είναι το σύνολο των διανυσμάτων για τα οποία ισχύει ότι f(a,a,a )= f(a, a, a ) = (a + a, a ) f(a, a, a ) = (a + a, a ) = a = a και a = Άρα είναι όλα τα διανύσματα του R που ανήκουν στο επίπεδο των x,y και είναι παράλληλα στην y=x. β) Εικόνα του f(v) είναι το σύνολο των απεικονίσεων στον R όλων των διανυσμάτων του V. f(a, a, a ) = (a + a, a ) Και: a + a + a = a + a = α Άρα είναι όλα τα διανύσματα του R που είναι της μορφής (α,α) δηλαδή όλα όσα είναι παράλληλα στην y=x. γ) Ανάστροφη εικόνα του f(w) είναι το σύνολο των διανυσμάτων του R που η εικόνα τους ανήκει στο σύνολο W. f(a, a, a ) = (a + a, a ) Και: α + α = α Άρα είναι όλα τα διανύσματα του R για τα οποία ισχύει ότι: x+y=z/.
Ask seic Algebac 8. : Στον R εφωδιασμένο με το συνηθισμένο εσωτερικό γινόμενο, να προσδιορίσετε την γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα = (,,, ) με καθένα από τα διανύσματα της κανονικής βάσης. Στη συνέχεια να προσδιορίσετε την ορθογώνια προβολή του στο διάνυσμα y = (,,, ). Ποιά είναι η γωνία των και y; : Να προσδιορίσετε μια ορθοκανονική βάση για καθένα από τα επίπεδα x y z =, x y z = () : Στον Ευκλείδειο χώρο R εφωδιασμένο με το συνηθισμένο εσωτερικό γινόμενο, x.y = x y + x y + x y + x y,να βρείτε μια ορθοκανονική βάση του υποχώρου V R, που παράγεται από τα διανύσματα e = (,,, ), e = (,,, ), e = (,,, ) () : Να προσδιορίσετε μια ορθοκανονική βάση του Ευκλείδειου χώρο R, της οποίας τα δύο διανύσματα να βρίσκονται στο επίπεδο x z = (το εσωτερικό γινόμενο του R είναι το συνηθισμένο). : Να αναλυθεί το διάνυσμα = (,,, ) του R σ ενα άθροισμα διανυσμάτων από τα οποία το ένα ανήκει στον υποχώρο F R, που παράγεται από τα διανύσματα x = (,,, ) και y = (,,, ) και το άλλο να είναι ορθογώνιο στον F (το εσωτερικό γινόμενο του R είναι το συνηθισμένο). 6: Να δείξετε ότι η σχέση x. y = x y + x y + x y + x y () είναι ένα εσωτερικό γινόμενο στον χώρο R. 7: Στο χώρο R ορίζουμε x. y = (x x )(y y ) + x y + (x + x )(y + y () Να δείξετε ότι η σχέση () είναι ένα εσωτερικό γινόμενο στον χώρο R. Στη συνέχεια, ξεκινώντας από την κανονική βάση του R, να προσδιορίσετε με την μέθοδο Gam Schmidt μια ορθοκανονική βάση. 8: Ας είναι x, y δύο μημηδενικά διανύσματα ενός Ευκλειδείου χώρου E. Να βρείτε για ποιά τιμή του λ το διάνυσμα x+λ y έχει το μικρότερο μήκος. Στη συνέχεια να δείξετε ότι το διάνυσμα που αντιστοιχεί στην τιμή αυτή, είναι ορθογώνιο προς το y.
Ασκήσεις Γραμμικής Άλγεβρας 8 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ Η κανονική βάση του R είναι: e = (,,,) e = (,,,) e = (,,,) e = (,,,) e = e = e = e =, = (, ) = = Έχουμε ότι: cos θ = (, e ) e = θ = 6 o cos θ = (, e ) e = θ = 6 o cos θ = (, e ) e = θ = 6 o cos θ = (, e ) e = θ = 6 o Το εσωτερικό γινόμενο των,y είναι: (, y ) = = Και: y = (, ) = = Άρα: (, y ) = y cos t = y προβ y προβ y = = ΑΣΚΗΣΗ cos t = (, y ) y = = t = o Η εξίσωση του επιπέδου είναι: Π : x y z = Το επίπεδο είναι χώρος διαστάσεων άρα χρειαζόμαστε διανύσματα βάσης.
Άρα πρέπει να βρούμε δύο διανύσματα που ανήκουν στο επίπεδο Π και να είναι μεταξύ τους κάθετα. Στο επίπεδο ανήκει το διάνυσμα: α = (,,) και το δεύτερο είναι το: α = (x, y, z) Για το διάνυσμα α πρέπει να ισχύει: α Π x y z = () a a a = x + z = () Λύνοντας το σύστημα των () και () προκύπτει ότι πρέπει: x = y, z = x Για x=: α = (,, ) Συνεπώς τα δύο διανύσματα βάσης είναι τα: e = a a = a =,, e = a a = a 6 = 6, 6, 6 Δουλεύουμε με παρόμοιο τρόπο για το επίπεδο: Π : x y z = Έχουμε: α = (,,), α = (x, y, z) Πρέπει: Για x=: x + z = & x y z = x = y & z = x α = (,,), α = (,, ) Άρα: e = a a = a =,,, e = a a = a =,, ΑΣΚΗΣΗ Από τη μέθοδο GamSchmidt: u = e = (,,,)
u = e (e, e ) e e = (,,,) ( ) (,,,) =,,, u = e (e, u u ) u (e, e ) e e = (,,,) 9,,, = 9, 9,, 9 w = u u = =,,, ΑΣΚΗΣΗ w = u u = =,,, w = u u = =,, 6 7, 7 Θα πρέπει η βάση που ψάχνουμε να αποτελείται από διανύσματα βάσης. Εργαζόμαστε όπως και στην άσκηση για το επίπεδο: Π: x z = Έχουμε: Πρέπει: Για y=: Άρα: α = (,,), α = (x, y, z) x + z = & x z = x = y = α = (,,), α = (,,) e = a a = a =,,, e = a a = a = (,,) Για το ο διάνυσμα α =(x,y,z) πρέπει: a a a = x + z = & a a a = y = Για x=: Άρα: ΑΣΚΗΣΗ 6 α = (,, ) e = a a = a =,, ) Έστω διάνυσμα: α = (α, α ) Πρέπει: (α, α ) > για α και (α, α ) = μόνο για α = Έχουμε: (α, α ) = α + α α + α α + α = (α + α ) + α
Άρα: (α, α ) > για α και (α, α ) = μόνο για α = ) Έστω διανύσματα: α = (α, α ) β = (β, β ) Πρέπει: α, β = β, α Έχουμε: α, β = α β + α β + α β + α β Και: β, α = β α + β α + β α + β α Άρα: α, β = β, α ) Έστω διανύσματα: α = (α, α ) β = (β, β ) γ = (γ, γ ) Πρέπει: α + β, γ = (α, γ ) + β, γ Έχουμε: α + β, γ = (α + β, α + β )(γ, γ ) = = α γ + β γ + α γ + β γ + α γ + α γ + β γ = = (α γ + α γ + α γ + α γ ) + (β γ + β γ + β γ ) = = (α, γ ) + β, γ Άρα: α + β, γ = (α, γ ) + β, γ ) Έστω διανύσματα: α = (α, α ) β = (β, β ) και ο πραγματικός αριθμός λ Πρέπει: α, λβ = λ α, β και λα, β = λ α, β Έχουμε: α, λβ = (α, α )(λβ, λβ ) = = α λβ + α λβ + α λβ + α λβ = = λ(α β + α β + α β + α β ) = λ α, β Και: λα, β = (λα, λα )(β, β ) = = λα β + λα β + λα β + λα β = = λ(α β + α β + α β + α β ) = λ α, β Άρα: α, λβ = λ α, β και λα, β = λ α, β Έτσι τελικά αποδείξαμε ότι η σχέση: x y = x y + x y + x y + x y είναι ένα εσωτερικό γινόμενο στο χώρο R. ΑΣΚΗΣΗ 7 ) Έστω διάνυσμα: α = (α, α, α ) Πρέπει: (α, α ) > για α και (α, α ) = μόνο για α = Έχουμε: (α, α ) = (α, α, α )(α, α, α ) =
= (α α )(α α ) + α α + (α + α )(α + α ) = = (α α ) + α + (α + α ) Άρα: (α, α ) > για α και (α, α ) = μόνο για α = ) Έστω διανύσματα: α = (α, α, α ) β = (β, β, β ) Πρέπει: α, β = β, α Έχουμε: α, β = (α α )(β β ) + α β + (α + α )(β + β ) Και: β, α = (β β )(α α ) + β α + (β + β )(α + α ) Άρα: α, β = β, α ) Έστω διανύσματα: α = (α, α, α ) β = (β, β, β ) γ = (γ, γ, γ ) Πρέπει: α + β, γ = (α, γ ) + β, γ Έχουμε: α + β, γ = (α + β, α + β, α + β )(γ, γ, γ ) = = (α + β α β )(γ γ ) + α γ + β γ + (α + β + α + β )(γ + γ ) = (α α )(γ γ ) + α γ + (α + α )(γ + γ ) + (β β )(γ γ ) + β γ + (β + β )(γ + γ ) = (α, γ ) + β, γ Άρα: α + β, γ = (α, γ ) + β, γ ) Έστω διανύσματα: α = (α, α, α ) β = (β, β, β ) και ο πραγματικός αριθμός λ Πρέπει: α, λβ = λ α, β και λα, β = λ α, β Έχουμε: α, λβ = (α, α, α )(λβ, λβ, λβ ) = = (α α )(λβ λβ ) + α λβ + (α + α )(λβ + λβ ) = = λ(α α )(β β ) + α β + (α + α )(β + β ) = λ α, β Και: λα, β = (λα, λα, λα )(β, β, β ) = = (λα λα )(β β ) + λα β + (λα + λα )(β + β ) = = λ(α α )(β β ) + α β + (α + α )(β + β ) = λ α, β Άρα: α, λβ = λ α, β και λα, β = λ α, β Έτσι τελικά αποδείξαμε ότι η σχέση: x y = (x x )(y y ) + x y + (x + x )(y + y ) () είναι ένα εσωτερικό γινόμενο στο χώρο R. Η κανονική βάση του χώρου R είναι: e = (,,), e = (,,), e = (,,) Από τη μέθοδο GamSchmidt: u = e = (,,)
u = e (e, u u u = e (e, u ) u u = (,,) ( ) ) u (,,) = (,,) (e, u ) u u = (,,) (,,) (,,) =,, Διότι για τα εσωτερικά γινόμενα χρησιμοποιούμε τη σχέση () κι έτσι: (e, u ) = (,,)(,,) = ( )( ) + + ( + )( + ) = (e, u ) = (,,)(,,) = ( )( ) + + ( + )( + ) = (e, u ) = ( )( ) + + ( + )( + ) = Άρα: w = u u = (,,) w = u u =,, w = u u = 6, 6, 6 ΑΣΚΗΣΗ 8 Έστω τα διανύσματα: x = (x, x,, x n ), y = (y, y,, y n ) 6
Και το διάνυσμα: α = x + λy = (x + λy, x + λy,, x n + λy n ) Εφόσον ο χώρος είναι Ευκλείδειος η συνάρτηση α(λ) που δίνει το μήκος του διανύσματος α είναι: Θα βρούμε το ελάχιστο της συνάρτησης α(λ): *** y y i ι=n α(λ) = x + λy = [(χ ι + λ i ) ] i=n i=n ι= da dλ = x iy i + λy i i= da dλ = x iy i + λ y i i= = λ = (x iy i ) (y i ) Για λ<λ : da dλ < Για λ>λ : da dλ > Άρα το μέτρο του διανύσματος α γίνεται ελάχιστο για: λ = (x iy i ) (y i ) Για αυτή τιμή του λ έχουμε: (α, y ) = (x + λy, x + λy,, x n + λy n )(y, y,, y n ) = i=n = [(x i + λy i )y i ] = (x i y i ) + λ y i = (x i y i ) (x iy i ) (y i ) y i = i= i=n i= i=n i=n i= i=n i= = (x i y i ) (x i y i ) = i= Άρα για τιμή του λ για την οποία το μέτρο του α γίνεται ελάχιστο, το α είναι κάθετο στο y. i=n i= i=n i= 7
Ask seic Algebac 9. : Να βρεθούν οι ιδιοτιμές των επόμενων πινάκων: ( ) A =, B = και C = () () : Να βρεθεί το χαρακτηριστικό πολυώνυμο, οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα: A = () : Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και μια βάση για κάθε ιδιοχώρο της γραμμικής απεικόνισης T : R R που ορίζεται από τη σχέση: T : (x, y, z) T (x, y, z) = (x + y, y z, y + z) : Να βρείτε όλους τους πίνακες A με στοιχεία από το Q(σύνολο ρητών αριθμών), οι οποίοι έχουν ιδιοτιμές τα και. : Να μελετήσετε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα: ( ) a b A = c d () 6: Αν λ είναι μια ιδιοτιμή του αντιστρέψιμου πίνακα A και x ένα ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί σ αυτή, τότε το λ είναι ιδιοτιμή του A και το x είναι ένα ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί σ αυτή, δηλαδή A x = λ x A x = λ x () 7: (i). Αν λ είναι μια ιδιοτιμή του αντιστρέψιμου πίνακα A M n n (K), τότε η λ k είναι ιδιοτιμή του πίνακα A k. (ii). Να δείξετε ότι οι πίνακες A και A t έχουν τις ίδιες ιδιτιμές.
Ασκήσεις Γραμμικής Άλγεβρας 9 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ Για τον πίνακα Α: Α λι = λ λ = λ Έχουμε: det(a λι) = λ λ = ( λ) + = λ λ + =, Δ = = 8, λ = ± 8i = ± i Για τον πίνακα Β: λ Α λι = λ = λ λ Έχουμε: λ det(a λι) = λ = ( λ)( + λ) = λ λ =, λ = Για τον πίνακα Γ:
λ λ Α λι = λ λ λ Θα αναπτύξουμε την ορίζουσα ως προς το ο στοιχείο της ης γραμμής: λ χ(λ) = det(α λι) = ( λ) λ = λ λ = ( λ) λ λ λ λ = = ( λ) ( λ)( λ) (( λ) + ) = = ( λ)( λ + λ + λ )( λ + λ + ) = = ( λ)(λ )(λ λ + ) Άρα: λ = λ = λ = λ = ± λ λ + =, Δ = = 8, λ = ± 8i = ± i Έτσι έχουμε: λ =, λ =, λ =, λ = + i, λ = i ΑΣΚΗΣΗ
λ Α λι = λ = λ λ Έχουμε: λ χ(λ) = det(a λι) = λ = λ = ( λ)( λ)( λ) + ( λ) ( λ) = ( λ)( λ)( λ) Οι ιδοτιμές είναι: χ(λ) = ( λ)( λ)( λ) = λ =, λ =, λ = Τα ιδιοδιανύσματα είναι: Για λ=: x x x + x + x = x = x x + x + x = x = x x x + x + x = Για λ=: y y y + y y = y = y y + y + y = y = y y y + y + y = Για λ=: z z z + z + z = z = z z z + z = z = z z z + z + z = ΑΣΚΗΣΗ
Ο γραμμικός μετασχηματισμός Τ αντιστοιχίζει διανύσματα του χώρου R σε διανύσματα του χώρου R. Η βάση του R είναι: e = (,,), e = (,,), e = (,,) O T μετασχηματίζει τα παραπάνω διανύσματα ως εξής: Τ(e ) = (,,), T(e ) = (,,), T(e ) = (,,) Άρα ο πίνακας του γραμμικού μετασχηματισμού είναι: Α = Έχουμε ότι: Τ(υ ) = Αυ. Ενώ για μια ιδιοτιμή λ του Τ ισχύει ότι: Τ(υ ) = λυ. Άρα τελικά για τις ιδιοτιμές του Τ ισχύει ότι: Αυ = λυ. Θα βρούμε λοιπόν τις ιδιοτιμές του πίνακα Α. λ χ(λ) = det(a λι) = λ = ( λ)( λ)( λ) λ Ιδιοχώρος V, λ=: χ(λ) = λ =, λ =, λ = x x Αx = x x = x x x x + x + x = x x + x = x = x & x =, που ορίζουν ευθεία x + x + x = Άρα χρειαζόμαστε ένα διάνυσμα βάσης: x = (,,) (,,) =,, Ιδιοχώρος V, λ=: y y Αy = y y = y y y y + y + y = y y + y = y =, y = c, y =, που ορίζουν ευθεία y + y + y =
Άρα χρειαζόμαστε ένα διάνυσμα βάσης: Ιδιοχώρος V, λ=: y = (,,) (,,) = (,,) z z Αz = z z = z z z z + z + z = z z + z = z =, z = z + z + z = z, που ορίζουν ευθεία Άρα χρειαζόμαστε ένα διάνυσμα βάσης: z = (,,) (,,) =,, ΑΣΚΗΣΗ Έστω ο πίνακας: Α = α γ β δ Α λι = α β λ β λ = α γ δ γ δ λ Έχουμε: α λ χ(λ) = det(a λι) = β = (α λ)(δ λ) βγ = γ δ λ = λ (α + δ)λ + αδ βγ () Εφόσον το λ είναι υψωμένο στο τετράγωνο και οι ιδιοτιμές θέλουμε να είναι και δεν μπορεί να έχει κάποια από αυτές πολλαπλότητα πάνω από. Έτσι πρέπει: χ(λ) = (λ )(λ + ) = λ () Από τις () και () προκύπτει ότι πρέπει: α + δ = α = δ αδ βγ = δ + βγ = ΑΣΚΗΣΗ 6 Ισχύει ότι:
Α λ Ι = Α Ι λ Α Α = λ Α (Α Ιλ) () Εάν το λ είναι μια ιδιοτιμή του πίνακα Α ισχύει ότι: det(a λι) = Από τη σχέση () έχουμε ότι: det Α λ Ι = det λ Α (Α Ιλ) = det λ Α det(α Ιλ) = Άρα το /λ είναι ιδιοτιμή του Α. Εάν το στηλοδιάνυσμα x είναι ένα ιδιοδιάδυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ ισχύει ότι: Αx = λx Αx λx = Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της () με το στυλοδιάνυσμα x έχουμε ότι: Α x λ Ιx = λ Α x (Αx Ιx λ) = λ Α x (Αx λx ) = Άρα: Α x λ Ιx = Α x = λ x Άρα το στυλοδιάνυσμα x είναι ιδιοδιάνυσμα και του Α που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή /λ ΑΣΚΗΣΗ 7 (ii) Ισχύει ότι: Και επιπλέον: (A λι) t = A t λi t = A t λι () det(a λι) = det[(a λι) t ] () Άρα για κάθε ιδιοτιμή του Α ισχύει ότι: det(a λι) = () det(a λι) t = () det(a t λι) = Άρα το λ είναι ιδιοτιμή και του ανάστροφου του Α.