:= x 2 + c 1 H1 - xl x 2 + c 2 H1- xl 2 x 3 17 c 1 c c 2 c c c 2 : 1 Ø 2 Ø 111 >>

3η Γραπτή Εργασία Νικόλαος Μανάρας (Α.Μ. 5229) Άσκηση. (2 µονάδες) ü a Θεωρούµε το συναρτησοειδές, J(y)=Ÿ AyH+xL 2 +xhy 'L 2 E x όπου η συνάρτηση είναι δύο φορές συνεχώς διαφορίσιµη, µε y()= και y()=. Από όλες τις συναρτήσεις της µορφής y HxL =x 2 + c H - xlx 2 +c 2 H-xL 2 x 3, όπου c και c 2 σταθερές, να βρεθεί µε τη βοήθεια του Mathematica ποια ελαχιστοποιεί το J. Για την ελαχιστοποίηση του να γίνει χρήση της συνάρτησης Minimize. Clear@"Global` "D; y@x_d := x 2 + c H - xl x 2 + c 2 H- xl 2 x 3 Print@"το y@d=", y@d, " και το y@d=", y@dd το y@d= και το y@d= J = Iy@xD I +x 2 M +xhd@y@xd, xdl 2 M x c 2 + 3 c 2 c 42 2 7 c - 6 + c 2 252-3 c 2 56 + 23 5 sol = Minimize@J, 8c, c 2 <D 3 63 : 999, :c 625 Ø 666, c 343 2 Ø >> Συνεπώς, το ακρότατο του J που ικανοποιεί τις συνοριακές συνθήκες είναι η συνάρτηση :

2 Manaras_Nikolaos_ergasia3.nb y = x 2 + 625 666 H - xl x2 + 343 H- xl2 x 3 ; ü b Θεωρούµε το συναρτησοειδέςjhyl = Ÿ Ay'sin H yl Hx +yl 2 E x. Κάνοντας χρήση του Mathematica να υπολογιστούν:. Σηµείωση: Η δεύτερη µεταβολή ενός συναρτησοειδούς J:A ö στο y œa ως προς την κατεύθυνση ορίζεται ως:. Clear@"Global` "D; J = Iy'@xD Sin@Piy@xDD Hx +y@xdl 2 M x ye@xd =y@xd +εh@xd; Iy HxL sinhπ yhxll-hyhxl+xl 2 M x (i)η συνάρτηση γραµµικής µεταβολής J(ε)ª JHy +εh) Je =Jê. 8y@xD ye@xd, y'@xd >D@ye@xD, xd< IHε h HxL+ y HxLL sinhπhε hhxl+ yhxlll-hε hhxl+ yhxl+ xl 2 M x (ii) η πρώτη µεταβολή δjhy,h) δj =D@Je, εd ê.ε Hh HxL sinhπ yhxll+π hhxl y HxL coshπ yhxll-2 hhxlhyhxl+ xll x (iii) η ολική µεταβολή J J =Je J IHε h HxL+ y HxLL sinhπhε hhxl+ yhxlll-hε hhxl+ yhxl+ xl 2 M x- Iy HxL sinhπ yhxll-hyhxl+xl 2 M x (iv) η δεύτερη µεταβολή δ 2 JHy,h) δ2j =D@Je, 8ε, 2<D ê.ε I2πhHxL h HxL coshπ yhxll-π 2 hhxl 2 y HxL sinhπ yhxll-2 hhxl 2 M x

Manaras_Nikolaos_ergasia3.nb 3 Στη συνέχεια να γίνει εφαρµογή για y (x)=-x και h(x)=x(-x) για τον υπολογισµό των (i)-(iv). Nα σχεδιάσετε τη συνάρτηση y (x) στο ίδιο σύστηµα αξόνων µε τη µονοπαραµετρική οικογένεια καµπυλών y (x) + εh(x) για διάφορες τιµές του ε =.2,.4,...8. Είναι στάσιµο το J στο y (x) ως προς την κατεύθυνση h(x) ; Αιτιολογήστε. είξτε ότι το συναρτησοειδές J(x) παίρνει τη µέγιστη τιµή του 2/π για τη συνάρτησηy (x). Je =Jê. 8y@xD ye@xd, y'@xd >ye'@xd<; δj:=d@je, εd ê.ε J:=Je J δδj:=d@je, 8ε, 2<D ê.ε yax_e:= x hax_e:=xh xl Print@"iL Η συνάρτηση JHεL JHy +εhl= ", JeD Print@"iiL Η πρώτη µεταβολή δjhy,hl = ", δjd Print@"iiiL Η ολική µεταβολή J= ", JD PrintA"Η δεύτερη µεταβολή δ 2 JHy,hL = ", δδje ilησυνάρτηση JHεL ª JHy +εhl= 2 π - ε2 3 iilηπρώτηµεταβολήδjhy,hl = iiilηολικήµεταβολή J= - ε2 3 Ηδεύτερηµεταβολήδ 2 JHy,hL = - 5

4 Manaras_Nikolaos_ergasia3.nb Plot@Evaluate@Table@8y@xD, y@xd + ε h@xd<, 8ε,.2,.8,.2< DD, 8x,,.<, PlotStyle 8Red, Dashed<, PlotLabel Style@ Framed@"Η y HxL µε την οικογένεια καµπυλών y HxL+εhHxL" D, 5, Blue, Background Lighter@YellowDD, AxesLabel 8Style@x, Large, Bold, RedD, Style@y, Large, Bold, BlueD<, LabelStyle Directive@Orange, BoldDD Η y HxLµετηνοικογένειακαµπυλών y HxL+εhHx y.2.4.6.8. x -.2 -.4 -.6 -.8 -. -.2 Επειδή η πρώτη µεταβολή του συναρτησοειδούς J στο y = -x ως προς την κατεύθυνση h είναι µηδέν HδJ Hy, hl = L το J είναι στάσιµο στο y =-x ως προς την κατεύθυνση h=x(-x). Επιπλέον επειδή η δεύτερηµεταβολήδ 2 J Hy, hl = 5 < Print@ " Το συναρτησοειδές JHyL παρουσιάζει µέγιστο: ", Je ê. ε D Το συναρτησοειδές JHyL παρουσιάζει µέγιστο: 2 π Άσκηση 2. ( µονάδα) ü a Clear@"Global` "D; << VariationalMethods` LAx_, y_e:=y@xd 2 +2xy@xD +y'@xd 2

Manaras_Nikolaos_ergasia3.nb 5 VariationalD@L@x, yd, y@xd, xd 2H-y HxL+ yhxl+ xl EEq = EulerEquations@L@x, yd, y@xd, xd 2H-y HxL+ yhxl+ xl Akr = DSolve@EEq, y@xd, xd 88yHxLØc x + c 2 -x - x<< ü b cond =y@d ==; cond2 =y@d ==; Akr = Flatten@DSolve@8EEq, cond, cond2<, y@xd, xdd êê FullSimplify; Print@"Το ακρότατο του παραπάνω συναρτησιακού είναι: ", AkrD Τοακρότατοτουπαραπάνωσυναρτησιακούείναι: :yhxlø 4 sinhhxl -+ 2 - x> ü c cond =y@d ==; cond2 =y'@d ; Akr2 = Flatten@DSolve@8EEq, cond, cond2<, y@xd, xdd; Print@"Το ακρότατο µε τις καινούργιες συνθήκες είναι: ", Akr2D Το ακρότατο µε τις καινούργιες συνθήκες είναι: 8yHxL Ø-x< ü Xωρίς χρήση της VariationalMethods Clear@"Global` "D; b J = Iy@xD 2 +2xy@xD +y'@xd 2 M x; a L =y@xd 2 +2xy@xD +y'@xd 2 ;

6 Manaras_Nikolaos_ergasia3.nb L y =D@L, y@xdd 2 yhxl+2x L y' =D@L, y'@xdd 2 y HxL D@L y', xd 2 y HxL Flatten@DSolve@L y D@L y', xd, y@xd, xd D H Euler Equation L 8yHxLØc x + c 2 -x - x< Flatten@DSolve@8L y D@L y', xd, y@d ==, y@d <, y@xd, xdd êê FullSimplify 4 sinhhxl :yhxl Ø - x> 2 - DSolve@8L y D@L y', xd, y@d ==, y'@d <, y@xd, xd 88yHxL Ø-x<< Άσκηση 3. ( µονάδα) ü a Clear@"Global` "D; J = IH +xl 2 y'@xd 2 y@xdy'@xdm x IHx + L 2 y HxL 2 - yhxl y HxLM x L = H +xl 2 y'@xd 2 y@xdy'@xd H Λαγκραντζιανή L Hx + L 2 y HxL 2 - yhxl y HxL

Manaras_Nikolaos_ergasia3.nb 7 L y =D@L, y@xdd -y HxL L y' =D@L, y'@xdd 2Hx + L 2 y HxL- yhxl D@L y', xd 2Hx + L 2 y HxL+4Hx + L y HxL- y HxL cond = y@d == ;H Συνοριακές Συνθήκες L cond2 =y@d ==; EEq =L y D@L y', xd H Εξίσωση Euler L -2Hx + L 2 y HxL-4Hx+L y HxL Akr = Flatten@DSolve@8EEq, cond, cond2<, y@xd, xdd; Print@"Το ακρότατο του παραπάνω συναρτησιακού J είναι: ", AkrD Τοακρότατοτουπαραπάνωσυναρτησιακού Jείναι: :yhxlø 2 x x+ > ü b ye@xd = y@xd +εh@xd; Υπολογίζουµε στη συνέχεια το J(y+ε h) : Je = J ê. 8y@xD ye@xd, y'@xd D@ye@xD, xd <; yax_e:= 2x x + H το ακρότατο y HxL του α ερωτήµατος L hax_e:= x Hx L H hhl=, hhl= L Print@" Η συνάρτηση JHεL JHy +εhl= ", JeD Ησυνάρτηση JHεL ª JHy +εhl= 4ε2 5 + 3 2 Print@"Η συνάρτηση JHy L = ", JD Ησυνάρτηση JHy L = 3 2

8 Manaras_Nikolaos_ergasia3.nb J:=Je J Print@" Η ολική µεταβολή J= ", JD Ηολικήµεταβολή J= 4ε2 5 Plot@Evaluate@Table@8y@xD, y@xd + ε h@xd<, 8ε,.2,.8,.2< DD, 8x,,.<, PlotStyle 8Red, Dashed<, PlotLabel Style@ Framed@"Η y HxL µε την οικογένεια καµπυλών y HxL+εhHxL" D, 5, Blue, Background Lighter@YellowDD, AxesLabel 8Style@x, Large, Bold, RedD, Style@y, Large, Bold, BlueD<, LabelStyle Directive@Orange, BoldDD Η y HxLµετηνοικογένειακαµπυλών y HxL+εhHx y..8.6.4.2.2.4.6.8. x Άσκηση 4. (3 µονάδες) ü a. Clear@"Global` "D; h =Input@" ώσε το βήµα διακριτοποίησης των x,y", ê 3, WindowTitle "Variable 8x,y<", FieldSize D; H Πεδίο ορισµού L ax =.; bx =.;H όρια της µεταβλητής x L ay =.; by =.;H όρια της µεταβλητής y L

Manaras_Nikolaos_ergasia3.nb 9 H Υπολογισµός του µήκους της κάθε διάστασης L Lx =bx ax; Ly =by ay; H Υπολογισµός του πλήθους των κόµβων σε κάθε διάσταση L Nx =Lxêh +; Ny =Lyêh +; Print@"Nx= ", Nx, " και Ny= ", NyD Nx= 4. και Ny= 4. H Καθορισµός των Συνοριακών Συνθηκών L ua, j_e =; ua3, j_e =; uai_, E =; uai_, 3E =; H Ορισµός της συνάρτησης fhx,yl L fax_, y_e:=x+y+; H ηµιουργία των µεταβλητών των κόµβων L vars = Flatten@ Table@u@i, jd, 8j,, Ny <, 8i,, Nx <D D Length@varsD 8,,,,, uh, L, uh2, L,,, uh, 2L, uh2, 2L,,,,, < 6 Grid@Table@u@i, jd, 8j,, Ny <, 8i,, Nx <D, Alignment Left, Frame AllD uh, L uh2, L uh, 2L uh2, 2L

Manaras_Nikolaos_ergasia3.nb H Εφαρµογή του τύπου των 5 σηµείων για τη δηµιουργία των γραµµικών εξισώσεων L eqns = Flatten@ Table@ u@i +, jd +u@i, jd +u@i, j +D +u@i, j D 4u@i, jd h^2 f@ax +ih, ay +jhd, 8j,, Ny 2<, 8i,, Nx 2<D D; eqns = Expand@eqnsD Print@"Πλήθος εξισώσεων: ", Length@eqnsDD; 8-4 uh, L+uH, 2L+uH2, L.8585, uh, L-4 uh2, L+uH2, 2L.222222, uh, L-4 uh, 2L+uH2, 2L.222222, uh, 2L+uH2, L-4 uh2, 2L.259259< Πλήθος εξισώσεων: 4 H Εξαγωγή των εξισώσεων L CoefficientArrays@eqnsD Normal@%D 8SparseArray@<4>, 84<D, SparseArray@<2>, 84, 4<D< -.8585 -.222222 -.222222 -.259259 8-4.,.,., < 8.,, -4.,.< 8., -4.,,.< 8,.,., -4.< H Το γραµµικό σύστηµα σε µορφή πίνακα L system = Normal@CoefficientArrays@eqnsDD; b =system@@dd; A =system@@2dd; b êê MatrixForm; A êê MatrixForm; Print@"Η στήλη b των σταθερών όρων: ", bd Print@"Ο πίνακας Α του συστήµατος των εξισώσεων:", AD MatrixPlot@AD LS = LinearSolve@A, bd; Print@"Λύση του συστήµατος: ", LSD

Manaras_Nikolaos_ergasia3.nb Η στήλη b των σταθερών όρων: 8-.8585, -.222222, -.222222, -.259259< Ο πίνακας Α του συστήµατος των εξισώσεων: -4.... -4... -4.... -4. 2 3 4 2 2 3 3 4 4 2 3 4 Λύση του συστήµατος: 8.852,.,.,.237< H Επίλυση του γραµµικού συστήµατος µε χρήση της Solve L H Χρειαζόµαστε µόνο τα εσωτερικά κοµβικά σηµεία για να λύσουµε το σύστηµα L vars =Flatten@Table@u@i, jd, 8i,, Nx 2<, 8j,, Ny 2<DD 8uH, L, uh, 2L, uh2, L, uh2, 2L< sol = Solve@eqns, varsd@@dd; sol êê MatrixForm uh, L Ø -.852 uh, 2L Ø -. uh2, L Ø -. uh2, 2L Ø -.237

2 Manaras_Nikolaos_ergasia3.nb H Εδώ είναι τα σηµεία των οποίων τη λύση έχουµε υπολογίσει L Table@8ax +ih, ay +jh<, 8i,, Nx <, 8j,, Ny <D êê MatrixForm....333333..666667...333333..333333.333333.333333.666667.333333..666667..666667.333333.666667.666667.666667.....333333..666667.. H Τα κατατάσουµε σε τριπλέτες µε συντεταγµένες και την τιµή του κάθε σηµείου L Table@8ax +ih, ay +jh, u@i, jd<, 8j,, Ny <, 8i,, Nx <D ê. sol êê MatrixForm...333333..666667.....333333.333333.333333 -.852.666667.333333 -...333333..666667.333333.666667 -..666667.666667 -.237..666667...333333..666667... H Αναπτύσουµε σε µία στήλη L Flatten@ Table@8ax +ih, ay +jh, u@i, jd<, 8j,, Ny <, 8i,, Nx <D ê. sol, D êê MatrixForm...333333..666667.....333333.333333.333333 -.852.666667.333333 -...333333..666667.333333.666667 -..666667.666667 -.237..666667...333333..666667...

Manaras_Nikolaos_ergasia3.nb 3 H Γραφική απεικόνιση της προσσεγγιστικής λύσης L usol = Interpolation@ Flatten@ Table@8ax +ih, ay +jh, u@i, jd<, 8j,, Ny <, 8i,, Nx <D ê.sol, D D; Plot3D@usol@x, yd, 8x, ax, bx<, 8y, ay, by<, PlotPoints 2D ContourPlot@usol@x, yd, 8x, ax, bx<, 8y, ay, by<, FrameLabel 8"x", "y"<, ContourLabels TrueD ã Με επαναληπτική Gauss Seidel Clear@"Global` "D; h =ê3;

4 Manaras_Nikolaos_ergasia3.nb H domain bound L ax =.; bx =.;H bounds of variable x L ay =.; by =.;H bounds of variable y L H Υπολογισµός του µήκους της κάθε διάστασης L Lx =bx ax; Ly =by ay; H Υπολογισµός του πλήθους των κόµβων σε κάθε διάσταση L Nx =Lxêh +; Ny =Lyêh +; Print@"Nx= ", Nx, " και Ny= ", NyD H Ορισµός της συνάρτησης fhx,yl L Nx= 4.και Ny= 4. fax_, y_e:=x+y+; Print@"Πλήθος µεταβλητών: ", HNy 2L HNx 2LD; Πλήθοςµεταβλητών: 4. H Καθορισµός των Συνοριακών Συνθηκών L ua, j_, n_e =; ua3, j_, n_e =; uai_,, n_e =; uai_, 3, n_e =; H Επαναληπτική µέθοδος του Liebmann L uai_, j_, n_e:= u@i, j, nd = 4 Iu@i +, j, n D +u@i, j, nd + u@i, j +, n D +u@i, j, nd h 2 f@ax +i h, ay +j hdm H αρχική επιλογή για το u ώστε να αρχίσει η επαναληπτική διαδικασία L uai_, j_, E =; H Ορισµός σφάλµατος στο ν στο βήµα L erroran_e:= Max@ Table@ Table@ D; Abs@u@i, j, nd u@i, j, n DD, 8i,, Nx 2<, 8j,, Ny 2< DD

Manaras_Nikolaos_ergasia3.nb 5 error@5d.382 ClearSystemCache@DH Καθαρίζει την εσωτερική µνήµη του συστήµατος από αποθηκευµένα δεδοµένα L Timing@ accur =.5; k =; iterror = error@kd; While@ iterror > accur, Print@"GS επαναληπτική= ", k, " µε σφάλµα: ", iterrord; k =k+; iterror = error@kd; D D Print@"Μετά από ", k, " επαναλήψεις,ικανοποιείται το κριτήριο τερµατισµού ", iterrord GSεπαναληπτική= µεσφάλµα:.983796 GSεπαναληπτική= 2 µεσφάλµα:.335648 GSεπαναληπτική= 3 µεσφάλµα:.6493 GSεπαναληπτική= 4 µεσφάλµα:.42326 GSεπαναληπτική= 5 µεσφάλµα:.382 8.5, Null< Μετά από 6 επαναλήψεις,ικανοποιείται το κριτήριο τερµατισµού.25774 ListLogLogPlot@Table@8k, error@kd<, 8k,, 2<DD. -4-6 -8 -.5 2. 3. 5. 7.. 5. 2.

6 Manaras_Nikolaos_ergasia3.nb H Γραφική απεικόνιση της προσσεγγιστικής λύσης L usol = Interpolation@ Flatten@Table@ 8ax +i h, ay +j h, u@i, j, 2D<, 8j,, Ny<, 8i,, Nx<D, D D; Plot3D@usol@x, yd, 8x, ax, bx<, 8y, ay, by<, PlotPoints 2D ContourPlot@usol@x, yd, 8x, ax, bx<, 8y, ay, by<, FrameLabel 8"x", "y"<, ContourLabels TrueD ü b. Clear@"Global` "D;

Manaras_Nikolaos_ergasia3.nb 7 h =Input@" ώσε το βήµα διακριτοποίησης των x,y", ê, WindowTitle "Variable 8x,y<", FieldSize 2D; H Πεδίο ορισµού L ax =.; bx =.;H όρια της µεταβλητής x L ay =.; by =.;H όρια της µεταβλητής y L H Υπολογισµός του µήκους της κάθε διάστασης L Lx =bx ax; Ly =by ay; Nx=. Ny=. H Υπολογισµός του πλήθους των κόµβων σε κάθε διάσταση L Nx =Lxêh +; Ny =Lyêh +; Print@"Nx= ", Nx, " Ny= ", NyD H Καθορισµός των Συνοριακών Συνθηκών L ua, j_e =; ua, j_e =; uai_, E =; uai_, E =; H Ορισµός της συνάρτησης fhx,yl L fax_, y_e:=x+y+; H ηµιουργία των µεταβλητών των κόµβων L vars = Flatten@ Table@u@i, jd, 8j,, Ny <, 8i,, Nx <D D; Length@varsD 2

8 Manaras_Nikolaos_ergasia3.nb Grid@Table@u@i, jd, 8j,, Ny <, 8i,, Nx <D, Alignment Left, Frame AllD uh, L uh2, L uh3, L uh4, L uh5, L uh6, L uh7, L uh8, L uh9, L uh, 2L uh2, 2L uh3, 2L uh4, 2L uh5, 2L uh6, 2L uh7, 2L uh8, 2L uh9, 2L uh, 3L uh2, 3L uh3, 3L uh4, 3L uh5, 3L uh6, 3L uh7, 3L uh8, 3L uh9, 3L uh, 4L uh2, 4L uh3, 4L uh4, 4L uh5, 4L uh6, 4L uh7, 4L uh8, 4L uh9, 4L uh, 5L uh2, 5L uh3, 5L uh4, 5L uh5, 5L uh6, 5L uh7, 5L uh8, 5L uh9, 5L uh, 6L uh2, 6L uh3, 6L uh4, 6L uh5, 6L uh6, 6L uh7, 6L uh8, 6L uh9, 6L uh, 7L uh2, 7L uh3, 7L uh4, 7L uh5, 7L uh6, 7L uh7, 7L uh8, 7L uh9, 7L uh, 8L uh2, 8L uh3, 8L uh4, 8L uh5, 8L uh6, 8L uh7, 8L uh8, 8L uh9, 8L uh, 9L uh2, 9L uh3, 9L uh4, 9L uh5, 9L uh6, 9L uh7, 9L uh8, 9L uh9, 9L H Εφαρµογή του τύπου των 5 σηµείων για τη δηµιουργία των γραµµικών εξισώσεων L eqns = Flatten@ Table@ u@i +, jd +u@i, jd +u@i, j +D +u@i, j D 4u@i, jd h^2 f@ax +ih, ay +jhd, 8j,, Ny 2<, 8i,, Nx 2<D D; eqns = Expand@eqnsD; Print@"Πλήθος εξισώσεων: ", Length@eqnsDD; Πλήθος εξισώσεων: 8 H Εξαγωγή των εξισώσεων L CoefficientArrays@eqnsD Normal@%D; 8SparseArray@<8>, 88<D, SparseArray@<369>, 88, 8<D<

Manaras_Nikolaos_ergasia3.nb 9 system = Normal@CoefficientArrays@eqnsDD; b =system@@dd; A =system@@2dd; b êê MatrixForm; A êê MatrixForm; MatrixPlot@AD; ls = LinearSolve@A, bd; Print@"Λύση του συστήµατος: ", lsd Λύση του συστήµατος: 8.95678,.33357,.33357,.573367,.426383,.745377,.488796,.857655,.5248,.9362,.52274,.9745,.48683,.84298,.44739,.68589,.256262,.4239,.426383,.745377,.9742,.2283,.9494,.8689,.8775,.87828,.52983,.488796,.857655,.2283,.29462,.3764,.364,.2456,.5,.59783,.5248,.9362,.9494,.3764,.4697,.44753,.3244,.5895,.63984,.52274,.9745,.8689,.364,.44753,.4336,.3967,.5324,.638,.48683,.84298,.8775,.2456,.3244,.3967,.24,.9734,.58953,.44739,.68589,.87828,.5,.5895,.5324,.9734,.79845,.49369,.256262,.4239,.52983,.59783,.63984,.638,.58953,.49369,.36845< H Χρειαζόµαστε µόνο τα εσωτερικά κοµβικά σηµεία για να λύσουµε το σύστηµα L vars =Flatten@Table@u@i, jd, 8i,, Nx 2<, 8j,, Ny 2<DD; H Επίλυση του γραµµικού συστήµατος µε χρήση της Solve L sol = Solve@eqns, varsd@@dd; sol êê MatrixForm; H Γραφική απεικόνιση της προσσεγγιστικής λύσης L usol = Interpolation@ Flatten@Table@8ax +ih, ay +jh, u@i, jd<, 8j,, Ny <, 8i,, Nx <D ê.sol, D D;

2 Manaras_Nikolaos_ergasia3.nb Plot3D@usol@x, yd, 8x, ax, bx<, 8y, ay, by<, PlotPoints D ContourPlot@usol@x, yd, 8x, ax, bx<, 8y, ay, by<, FrameLabel 8"x", "y"<, ContourLabels TrueD ü c. Clear@"Global` "D; h =Input@" ώσε το βήµα διακριτοποίησης των x και y ", ê, WindowTitle "Variable 8x,y<", FieldSize 3D; H Πεδίο ορισµού L ax =.; bx =.;H όρια της µεταβλητής x L ay =.; by =.;H όρια της µεταβλητής y L

Manaras_Nikolaos_ergasia3.nb 2 H Υπολογισµός του µήκους της κάθε διάστασης L Lx =bx ax; Ly =by ay; H Υπολογισµός του πλήθους των κόµβων σε κάθε διάσταση L Nx =Lxêh +; Ny =Lyêh +; Print@"Nx= ", Nx, " και Ny= ", NyD Print@"Πλήθος µεταβλητών: ", HNy 2L HNx 2LD; Nx=.και Ny=. Πλήθοςµεταβλητών: 98. H Ορισµός της συνάρτησης fhx,yl L fax_, y_e:=x+y+; H Καθορισµός των Συνοριακών Συνθηκών L ua, j_, n_e =; ua, j_, n_e =; uai_,, n_e =; uai_,, n_e =; H Επαναληπτική µέθοδος του Liebmann L uai_, j_, n_e:= u@i, j, nd = 4 Iu@i +, j, n D +u@i, j, nd + u@i, j +, n D +u@i, j, nd h 2 f@ax +i h, ay +j hdm H αρχική επιλογή για το u ώστε να αρχίσει η επαναληπτική διαδικασία L uai_, j_, E =; H Ορισµός σφάλµατος στο ν στο βήµα L erroran_e:= Max@ D; Table@ Table@ Abs@u@i, j, nd u@i, j, n DD, 8i,, Nx 2<, 8j,, Ny 2< DD

22 Manaras_Nikolaos_ergasia3.nb ClearSystemCache@DH Καθαρίζει την εσωτερική µνήµη του συστήµατος από αποθηκευµένα δεδοµένα L Timing@ accur =.5; k =; iterror = error@kd; While@iterror > accur, H Print@" Επανάληψη Gauss Seidel νούµερο: ", k," µε σφάλµα: ",iterrord; L k =k+; iterror = error@kd; D D Print@"Μετά από ", k, "επαναλήψεις,ικανοποιείται το κριτήριο τερµατισµού,µε σφάλµα ", iterrord $Aborted Μετά από 52επαναλήψεις,ικανοποιείται το κριτήριο τερµατισµού,µε σφάλµα.75 ListLogLogPlot@Table@8k, error@kd<, 8k,, 2<DD.48.46.44.42.4.5 2. 3. 5. 7.. 5. 2. H Γραφική απεικόνιση της προσσεγγιστικής λύσης L usol = Interpolation@ Flatten@Table@ 8ax +i h, ay +j h, u@i, j, 2D<, 8j,, Ny<, 8i,, Nx<D, D D;

Manaras_Nikolaos_ergasia3.nb 23 Plot3D@usol@x, yd, 8x, ax, bx<, 8y, ay, by<, PlotPoints 2D ContourPlot@usol@x, yd, 8x, ax, bx<, 8y, ay, by<, FrameLabel 8"x", "y"<, ContourLabels TrueD Άσκηση 5. (3 µονάδες) ü a Clear@"Global` "D;

24 Manaras_Nikolaos_ergasia3.nb L = ;H µήκος της µονωµένης µπάρας L h = 5 ;H Βήµα διακριτοποίησης στον άξονα x L r = ;H αριθµός Courant r=kc2 4 L h 2 c =; M =Lêh; Print@"Το πλήθος των σηµείων είναι :", MD k = rh2 c 2 ; Print@"Το χρονικό βήµα k στον άξονα του χρόνου είναι: ", kd Τοπλήθοςτωνσηµείωνείναι :5 Το χρονικό βήµα k στον άξονα του χρόνου είναι: H Αρχικές Συνθήκες L uax_e:=sin@2pixd êên H Υπολογισµός αρχικών τιµών για t= από τον τύπο uhx,l=fhxl L sol@d =Table@u@i, D u@i hd, 8i,, M <D 8uH, L Ø.9557, uh2, L Ø.587785, uh3, L Ø-.587785, uh4, L Ø -.9557< H Συνοριακές Συνθήκες L ua, j_e:= uam, j_e:= ã (i) j= j =;H αρχή t= L H Μέθοδος Crank Nicolson L eqns = Flatten@ Table@ r u@i, j +D +2H +rl u@i, j +D r u@i +, j +D == r u@i, jd +2H rl u@i, jd +r u@i +, jd, 8i,, M <D ê.sol@d D;

Manaras_Nikolaos_ergasia3.nb 25 eqns = Expand@eqnsD Print@"Πλήθος εξισώσεων: ", Length@eqnsDD; 5 5 : 2 uh, L- 4 uh2, L.57353, - 4 uh, L+ 2 uh2, L- uh3, L.972496, 4-4 uh2, L+ 5 2 uh3, L- 4 uh4, L -.972496, 5 2 uh4, L- uh3, L -.57353> 4 Πλήθος εξισώσεων: 4 H Εξαγωγή των εξισώσεων L CoefficientArrays@eqnsD Normal@%D 8SparseArray@<4>, 84<D, SparseArray@<>, 84, 4<D< -.57353 -.972496.972496.57353 82.5, -.25,, < 8-.25, 2.5,-.25, < 8, -.25, 2.5,-.25< 8,,-.25, 2.5< system = Normal@CoefficientArrays@eqnsDD; b =system@@dd; A =system@@2dd; b êê MatrixForm A êê MatrixForm MatrixPlot@AD LS = LinearSolve@A, bd; Print@"Λύση του συστήµατος: ", LSD sol@d =Table@u@i, D LS@@iDD, 8i,, M <D 8uH, L Ø -.67875, uh2, L Ø -.44623, uh3, L Ø.44623, uh4, L Ø.67875< ã ii j= j = ;H πρώτο χρονικό βήµα L

26 Manaras_Nikolaos_ergasia3.nb H Μέθοδος Crank Nicolson L eqns = Flatten@ Table@ r u@i, j +D +2H +rl u@i, j +D r u@i +, j +D == r u@i, jd +2H rl u@i, jd +r u@i +, jd, 8i,, M <D ê.sol@d D; eqns = Expand@eqnsD Print@"Πλήθος εξισώσεων: ", Length@eqnsDD; : 5 2 uh, 2L- 4 uh2, 2L -.997, - 4 uh, 2L+ 5 2 uh2, 2L- uh3, 2L -.685998, 4 5 5-4 uh2, 2L+ 2 uh3, 2L- 4 uh4, 2L.685998, 2 uh4, 2L- uh3, 2L.997> 4 Πλήθος εξισώσεων: 4 H Εξαγωγή των εξισώσεων L CoefficientArrays@eqnsD Normal@%D 8SparseArray@<4>, 84<D, SparseArray@<>, 84, 4<D<.997.685998 -.685998 -.997 82.5, -.25,, < 8-.25, 2.5,-.25, < 8, -.25, 2.5,-.25< 8,,-.25, 2.5<

Manaras_Nikolaos_ergasia3.nb 27 system = Normal@CoefficientArrays@eqnsDD; b =system@@dd; A =system@@2dd; b êê MatrixForm A êê MatrixForm MatrixPlot@AD LS = LinearSolve@A, bd; Print@"Λύση του συστήµατος: ", LSD.997.685998 -.685998 -.997 2.5 -.25 -.25 2.5 -.25 -.25 2.5 -.25 -.25 2.5 2 3 4 2 2 3 3 4 4 2 3 4 Λύση του συστήµατος: 8.473235,.292475, -.292475, -.473235< sol@2d =Table@u@i, 2D LS@@iDD, 8i,, M <D 8uH, 2L Ø.473235, uh2, 2L Ø.292475, uh3, 2L Ø-.292475, uh4, 2L Ø -.473235< ã iii j=2 j = 2;H δεύτερο χρονικό βήµα L

28 Manaras_Nikolaos_ergasia3.nb H Μέθοδος Crank Nicolson L eqns = Flatten@ Table@ r u@i, j +D +2H +rl u@i, j +D r u@i +, j +D == r u@i, jd +2H rl u@i, jd +r u@i +, jd, 8i,, M <D ê.sol@2d D; eqns = Expand@eqnsD Print@"Πλήθος εξισώσεων: ", Length@eqnsDD; : 5 2 uh, 3L- 4 uh2, 3L.78297, - 4 uh, 3L+ 5 2 uh2, 3L- uh3, 3L.48393, 4 5 5-4 uh2, 3L+ 2 uh3, 3L- 4 uh4, 3L -.48393, 2 uh4, 3L- uh3, 3L -.78297> 4 Πλήθος εξισώσεων: 4 H Εξαγωγή των εξισώσεων L CoefficientArrays@eqnsD Normal@%D 8SparseArray@<4>, 84<D, SparseArray@<>, 84, 4<D< -.78297 -.48393.48393.78297 82.5, -.25,, < 8-.25, 2.5,-.25, < 8, -.25, 2.5,-.25< 8,,-.25, 2.5<

Manaras_Nikolaos_ergasia3.nb 29 system = Normal@CoefficientArrays@eqnsDD; b =system@@dd; A =system@@2dd; b êê MatrixForm A êê MatrixForm MatrixPlot@AD LS = LinearSolve@A, bd; Print@"Λύση του συστήµατος: ", LSD -.78297 -.48393.48393.78297 2.5 -.25 -.25 2.5 -.25 -.25 2.5 -.25 -.25 2.5 2 3 4 2 2 3 3 4 4 2 3 4 Λύση του συστήµατος: 8-.33382, -.2632,.2632,.33382< sol@3d =Table@u@i, 3D LS@@iDD, 8i,, M <D 8uH, 3L Ø -.33382, uh2, 3L Ø -.2632, uh3, 3L Ø.2632, uh4, 3L Ø.33382< ã ακριβής λύση H Ακριβής λύση του προβλήµατος L uexactax_, t_e:=expa 4Pi 2 tesin@2pixd

3 Manaras_Nikolaos_ergasia3.nb ueai_, j_e:=expa 4Pi 2 jkesin@2piihd Table@ue@i, jd, 8i,, 4<, 8j, 2, 2, <D êên.4388.266878 -.266878 -.4388 error = Table@ Table@ Abs@LS@@iDD ue@i, 2DD, 8i,, 4< DD êên 8.765638,.4739,.4739,.765638< ü b In[]:= Clear@"Global` "D; In[2]:= L = ;H µήκος της µονωµένης µπάρας L h = ;H Βήµα διακριτοποίησης στον άξονα x L r = ;H αριθµός Courant r=kc2 4 L h 2 c =; M =Lêh; Print@"Το πλήθος των σηµείων είναι :", MD k = rh2 c 2 ; Print@"Το χρονικό βήµα k στον άξονα του χρόνου είναι: ", kd Το πλήθος των σηµείων είναι : Το χρονικό βήµα k στον άξονα του χρόνου είναι: 4 In[]:= H Αρχικές Συνθήκες L uax_e:=sin@2pixd êên H Συνοριακές Συνθήκες L ua, j_e:= uam, j_e:=

Manaras_Nikolaos_ergasia3.nb 3 In[3]:= uexactax_, t_e:= ExpA 4Pi 2 tesin@2pixd H Ακριβής λύση του προβλήµατος L In[4]:= H Υπολογισµός αρχικών τιµών για t= από τον τύπο uhx,l=fhxl L sol@d =Table@u@i, D u@i hd, 8i,, M <D Out[4]= 8uH, L Ø.62795, uh2, L Ø.25333, uh3, L Ø.8738, uh4, L Ø.24869, uh5, L Ø.397, uh6, L Ø.36825, uh7, L Ø.425779, uh8, L Ø.48754, uh9, L Ø.535827, uh, L Ø.587785, uh, L Ø.637424, uh2, L Ø.684547, uh3, L Ø.728969, uh4, L Ø.7753, uh5, L Ø.897, uh6, L Ø.844328, uh7, L Ø.87637, uh8, L Ø.94827, uh9, L Ø.929776, uh2, L Ø.9557, uh2, L Ø.968583, uh22, L Ø.982287, uh23, L Ø.9925, uh24, L Ø.99827, uh25, L Ø., uh26, L Ø.99827, uh27, L Ø.9925, uh28, L Ø.982287, uh29, L Ø.968583, uh3, L Ø.9557, uh3, L Ø.929776, uh32, L Ø.94827, uh33, L Ø.87637, uh34, L Ø.844328, uh35, L Ø.897, uh36, L Ø.7753, uh37, L Ø.728969, uh38, L Ø.684547, uh39, L Ø.637424, uh4, L Ø.587785, uh4, L Ø.535827, uh42, L Ø.48754, uh43, L Ø.425779, uh44, L Ø.36825, uh45, L Ø.397, uh46, L Ø.24869, uh47, L Ø.8738, uh48, L Ø.25333, uh49, L Ø.62795, uh5, L Ø., uh5, L Ø -.62795, uh52, L Ø -.25333, uh53, L Ø-.8738, uh54, L Ø -.24869, uh55, L Ø-.397, uh56, L Ø -.36825, uh57, L Ø -.425779, uh58, L Ø-.48754, uh59, L Ø -.535827, uh6, L Ø-.587785, uh6, L Ø -.637424, uh62, L Ø -.684547, uh63, L Ø-.728969, uh64, L Ø -.7753, uh65, L Ø-.897, uh66, L Ø -.844328, uh67, L Ø -.87637, uh68, L Ø-.94827, uh69, L Ø -.929776, uh7, L Ø-.9557, uh7, L Ø -.968583, uh72, L Ø -.982287, uh73, L Ø-.9925, uh74, L Ø -.99827, uh75, L Ø-., uh76, L Ø -.99827, uh77, L Ø -.9925, uh78, L Ø-.982287, uh79, L Ø -.968583, uh8, L Ø-.9557, uh8, L Ø -.929776, uh82, L Ø -.94827, uh83, L Ø-.87637, uh84, L Ø -.844328, uh85, L Ø-.897, uh86, L Ø -.7753, uh87, L Ø -.728969, uh88, L Ø-.684547, uh89, L Ø -.637424, uh9, L Ø-.587785, uh9, L Ø -.535827, uh92, L Ø -.48754, uh93, L Ø-.425779, uh94, L Ø -.36825, uh95, L Ø-.397, uh96, L Ø -.24869, uh97, L Ø -.8738, uh98, L Ø-.25333, uh99, L Ø -.62795< In[5]:= H Μέθοδος Crank Nicolson L solaj_e:= sol@jd = Module@8vars, eqns<, vars =Table@u@i, jd, 8i,, M <D; eqns = Table@ ru@i, jd +2H +rlu@i, jd ru@i +, jd ru@i, j D +2H rlu@i, j D +ru@i +, j D, 8i,, M <D ê.sol@j D; Solve@eqns, varsd@@dd D

32 Manaras_Nikolaos_ergasia3.nb In[6]:= Manipulate@ ListPlot@ Table@8i h, u@i, jd<, 8i,, M<D ê.sol@jd, Joined True, PlotRange 88, L<, 8, <<, AxesLabel 8"x", ""<, PlotLabel "Η θερµοκρασία στο t=" <> ToString@k jd, DisplayFunction Identity D, 8j,, 5, 25<D j Η θερµοκρασία στο t=..8 Out[6]=.6.4.2...2.4.6.8. x

Manaras_Nikolaos_ergasia3.nb 33 CrankNikolson = Table@ ListPlot@ Table@8i h, u@i, jd<, 8i,, M<D ê.sol@jd, Joined True, PlotRange 88, L<, 8, <<, AxesLabel 8"x", ""<, PlotLabel "Η θερµοκρασία στο t=" <> ToString@k jd, DisplayFunction Identity D, 8j,, 2, 5<D; exact = Table@Plot@uexact@x, td, 8x,, L<, DisplayFunction Identity, PlotStyle 8Red, Dashed<D, 8t,, 8 k, 2 k<d; Table@ Show@CrankNikolson@@jDD, exact@@jdd, DisplayFunction $DisplayFunctionD, 8j,, Length@exactD< D

34 Manaras_Nikolaos_ergasia3.nb. Η θερµοκρασία στο t=.8.6 :,.4.2...2.4.6.8. x. Ηθερµοκρασίαστο t= --- 8.8.6,.4.2...2.4.6.8. x

Manaras_Nikolaos_ergasia3.nb 35. Ηθερµοκρασίαστο t= --- 4.8.6,.4.2...2.4.6.8. x. Ηθερµοκρασίαστο t= 3 --- 8.8.6,.4.2...2.4.6.8. x. Ηθερµοκρασίαστο t= --- 2.8.6 >.4.2...2.4.6.8. x

36 Manaras_Nikolaos_ergasia3.nb usol = Interpolation@ Flatten@ Table@ Table@8i h, j k, u@i, jd<, 8i,, M<D ê.sol@jd, 8j,, 4<D, D D; Plot3D@usol@x, td, 8x,, <, 8t,,.25<, PlotRange All, AxesLabel 8"x", "t", "u@x,td"<d Clear@"Global` "D; fax_e:=sin@2pixd pde = t u@x, td x,x u@x, td; cond =u@x, D f@xd; cond2 =u@, td ; cond3 =u@, td ;

Manaras_Nikolaos_ergasia3.nb 37 sol =NDSolve@8pde, cond, cond2, cond3<, u, 8t,,.25<, 8x,, <D solution = u ê. First@solD Plot3D@solution@x, td, 8x,, <, 8t,,.25<, PlotRange All, AxesLabel 8"x", "t", "u@x,td"<d ::u Ø InterpolatingFunctionB....25, <>F>> InterpolatingFunctionB....25,<>F ü c ã Με χρήση της µεθόδου Crank - Nicolson Clear@"Global` "D; L = ;H µήκος της µονωµένης µπάρας L h = 5 ;H Βήµα διακριτοποίησης στον άξονα x L r = ;H αριθµός Courant r=kc2 2 L h 2 c =4; M =Lêh; Print@"Το πλήθος των σηµείων είναι :", MD k = rh2 c 2 ; Print@"Το χρονικό βήµα k στον άξονα του χρόνου είναι: ", kd Τοπλήθοςτωνσηµείωνείναι :5 Το χρονικό βήµα k στον άξονα του χρόνου είναι: 8

38 Manaras_Nikolaos_ergasia3.nb H Αρχικές Συνθήκες L uax_e:= x H Συνοριακές Συνθήκες L ua, j_e:= h j uam, j_e:= H Υπολογισµός αρχικών τιµών για t= από τον τύπο uhx,l=fhxl L sol@d =Table@u@i, D u@i hd, 8i,, M <D :uh, LØ 4 5, uh2, LØ 3 5, uh3, LØ 2 5, uh4, LØ 5 > H Μέθοδος Crank Nicolson L solaj_e:= sol@jd = Module@8vars, eqns<, vars =Table@u@i, jd, 8i,, M <D; eqns = Table@ ru@i, jd +2H +rlu@i, jd ru@i +, jd ru@i, j D +2H rlu@i, j D +ru@i +, j D, 8i,, M <D ê.sol@j D; Solve@eqns, varsd@@dd D sol@3d êên 8uH., 3.L Ø.57782, uh2., 3.L Ø.529659, uh3., 3.L Ø.38439, uh4., 3.L Ø.95266<

Manaras_Nikolaos_ergasia3.nb 39 Manipulate@ ListPlot@ Table@8i h, u@i, jd<, 8i,, M<D ê.sol@jd, Joined True, PlotRange 88, L<, 8, <<, AxesLabel 8"x", ""<, PlotLabel "Η θερµοκρασία στο t=" <> ToString@k jd, DisplayFunction Identity D, 8j,, 2, <D j Η θερµοκρασία στο t=..8.6.4.2...2.4.6.8. x ReplaceAll::reps: :::ueøinterpolatingfunctionb... 2.,83,,,825,49<,86,4<,,,,<,8áà<,9Developer`PackedArrayForm, 8áà<,9.,2.4748µ 9,-.,.,2.4748µ 9,-.,.,2.4748µ 9,-.,.,2.4748µ 9,á29à,2.4748µ 9,-.,.999947,2.4748µ 9,-.,.99993,2.4748µ 9,-.,.99995,2.4748µ 9,á3625à==,8Automatic,Automatic<F>>@D> is neither a list of replacement rulesnoravaliddispatchtable,andsocannotbeusedforreplacing. à ListPlot::lpn: 5 2 5 3 5 4 5 u H,L u H2,L u H3,L u H4,L ê.88ueøáà<<@disnotalistofnumbersorpairsofnumbers. à

4 Manaras_Nikolaos_ergasia3.nb usol = Interpolation@ Flatten@ Table@ Table@8i h, j k, u@i, jd<, 8i,, M<D ê.sol@jd, 8j,, 8<D, D D; Plot3D@usol@x, td, 8x,, <, 8t,, 2<, PlotRange All, AxesLabel 8"x", "t", "u@x,td"<d ã Με χρήση της NDSolve fax_e:= x pde = t ue@x, td 6 x,x ue@x, td; cond =ue@x, D f@xd; cond2 =ue@, td t; cond3 =ue@, td ;

Manaras_Nikolaos_ergasia3.nb 4 sol =NDSolve@8pde, cond, cond2, cond3<, ue, 8t,, 2<, 8x,, <D solution = ue ê. First@solD Plot3D@solution@x, td, 8x,, <, 8t,, 2<, PlotRange All, AxesLabel 8"x", "t", "u@x,td"<d ::ueøinterpolatingfunctionb... 2., <>F>> InterpolatingFunctionB... 2., <>F H Ορισµός σφάλµατος L error = Max@ Table@ Table@ Abs@u@i, 3D ue@x, tdd, 8i,, M <, 8x,, <, 8t,, 2< DD D maxh uh, 3L-ueH, L, uh2, 3L-ueH, L, uh3, 3L-ueH, L, uh4, 3L-ueH, L, uh, 3L-ueH, L, uh2, 3L-ueH, L, uh3, 3L-ueH, L, uh4, 3L-ueH, L, uh, 3L-ueH, 2L, uh2, 3L-ueH, 2L, uh3, 3L-ueH, 2L, uh4, 3L-ueH, 2L, uh, 3L-ueH, L, uh2, 3L-ueH, L, uh3, 3L-ueH, L, uh4, 3L-ueH, L, uh, 3L-ueH, L, uh2, 3L-ueH, L, uh3, 3L-ueH, L, uh4, 3L-ueH, L, uh, 3L-ueH, 2L, uh2, 3L-ueH, 2L, uh3, 3L-ueH, 2L, uh4, 3L-ueH, 2L L

42 Manaras_Nikolaos_ergasia3.nb Αναφορές Πηγές è David Logan, " Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά", ΠΕΚ,25 è Σ. Τραχανάς, "Μερικές ιαφορικές εξισώσεις", ΠΕΚ,27 è S.R.K. Lyengar - R.K. Jain, "Numerical Methods" HyperlinkA"Poisson", "http:êêen.wikipedia.orgêwikiêdiscrete_poisson_equation"e Poisson HyperlinkA"πεπερασµένων διαφορών", "http:êêen.wikipedia.orgêwêindex.php?title=finite_difference& section=4 Finite_difference_in_several_variables"E πεπερασµένων διαφορών HyperlinkA"συνοριακές συνθήκες Dirichlet", "http:êêen.wikipedia.orgêwikiêdirichlet_boundary_condition"e συνοριακές συνθήκες Dirichlet HyperlinkA"κεντρικών πεπερασµένων διαφορών", "http:êêen.wikipedia.orgêwêindex.php?title=finite_difference& section=4 Finite_difference_in_several_variables"E κεντρικών πεπερασµένων διαφορών HyperlinkA"επίλυση του αραιού HsparseL συστήµατος", "http:êêen.wikipedia.orgêwikiêsparse_matrix Solving_sparse _matrix_equations"e επίλυση του αραιού HsparseL συστήµατος HyperlinkA"Eπαναληπτική µέθοδος για επίλυση γραµ. συστήµατος Gauss Seidel", "http:êêen.wikipedia.orgêwikiêgauss%e2%8%93seidel_method"e Eπαναληπτική µέθοδος για επίλυση γραµ. συστήµατος Gauss-Seidel

Manaras_Nikolaos_ergasia3.nb 43 HyperlinkA"µερική διαφορική εξίσωση της διάχυσης ή θερµότητας", "http:êêen.wikipedia.orgêwêindex.php?title=ftcs_scheme&section= 5 The_method "E µερική διαφορική εξίσωση της διάχυσης ή θερµότητας HyperlinkA"Eπαναληπτικό σχήµα των Crank Nicolson", "http:êêen.wikipedia.orgêwikiêcrank%e2%8%93nicolson_method"e Eπαναληπτικό σχήµα των Crank-Nicolson HyperlinkA"τριδιαγώνιο σύστηµα", "http:êêen.wikipedia.orgêwikiêtridiagonal_matrix_algorithm"e τριδιαγώνιο σύστηµα Υπεύθυνη ήλωση Βεβαιώνω ότι είµαι συγγραφέας αυτής της εργασίας και ότι κάθε βοήθεια την οποία είχα για την προετοιµασία της είναι πλήρως αναγνωρισµένη και αναφέρεται στην εργασία στην ενότητα Αναφορές/Πηγές. Επίσης έχω αναφέρει τις όποιες πηγές από τις οποίες έκανα χρήση δεδοµένων, ιδεών ή λέξεων, είτε αυτές αναφέρονται ακριβώς είτε παραφρασµένες. Επίσης βεβαιώνω ότι αυτή η εργασία προετοιµάστηκε από εµένα προσωπικά ειδικά για τη συγκεκριµένη Θεµατική Ενότητα ΜΣΜ6 «Υπολογιστικές Μέθοδοι και Λογισµικό στα Μαθηµατικά». Ηµεροµηνία υποβολής: /2/2 Τόπος:Θεσσαλονίκη Ο ηλών Νικόλαος Μανάρας (Α.Μ. 5229.)