Να βρεθού οι πραγματικοί αριθμοί κ,λ για τους οποίους οι μιγαδικοί = 4 κ + λ + 7 κ και w = 7 (λ ) α είαι ίσοι Να βρεθού οι κ, λr ώστε ο = (8κ + κ) + 4λ + ( ) α είαι ίσος με το μηδέ Να βρείτε για ποιες τιμές του λr ο μιγαδικός = 6 + λ (λ + 6 ) είαι α) πραγματικός φαταστικός 4 Να βρεθεί ο μιγαδικός που ικαοποιεί τη σχέση όπου =, = + 55 0 5 Να βρεθού οι x,ψr ώστε: x ψ 6 Να βρεθού οι πραγματικοί αριθμοί x,ψ ώστε α ισχύου οι ισότητες x x ψ x ψ x α) 7Α Ν* και αβ 0, α αποδείξετε ότι: (α + +(β-α) =0 = 4κ +, κν* (α + β ) -(β-α) =0 = 4κ, κν* 8 Να βρεθού οι x, ψr ώστε α ισχύει α) x + ψ = ( + ) 8 και x + ψ = ( ) 6 9 Να υπολογίσετε το S = + + + + + v με vn 0 Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης Α = ( + ) v + ( ) v με N* Δείξτε ότι Εά xr και N* δείξτε ότι x x x x Αφού πρώτα αποδείξετε ότι βρεθού οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης x 9 80 x x α 4 Α Ν* και η ευκλείδια διαίρεση του με το 4 είαι τέλεια, α υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης: Α = ( + ) v - ( - ) v 5 Α μιγαδικός και f () = Να δείξετε ότι: Ν* τότε: f(4λ) + f(4λ + ) + f(4λ + ) + f(4λ + ) = 0, Α = +, α βρείτε το εμβαδό του λ Ν* τριγώου που έχει κορυφές τις εικόες τω μιγαδικώ 0,, f (4λ+) 6 Εά = x + ψ με x,ψr α λυθεί η εξίσωση : 0 7 Να λυθεί στο C η εξίσωση : 5 ( ) 6 50 8 Να βρεθού οι μιγαδικοί για τους οποίους ισχύει ότι α) w = R και w = I 9 Να δειχθεί ότι ο = 4 4 5 6 5 6 πραγματικός α α είαι 0 Εά, είαι μιγαδικοί και α R α δείξετε ότι ο αριθμός w = α( ) R Εά ο είαι μιγαδικός με α βρεθού οι σχέσεις ώστε ο w α είαι α) πραγματικός φαταστικός Έστω ότι ο είαι μιγαδικός με και w δείξτε ότι α wr R Εά x,ψ, τρεις μιγαδικοί αριθμοί με x ψψ και x + ψ + =, δείξτε ότι α) x ψ xψ + ψ + x = xψ 4 Δείξτε ότι,α για το μιγαδικό ισχύει,τότε δείξτε ότι ο αριθμός + R εώ ο Ι 5 Δείξτε ότι : 6 Α οι αριθμοι 0 4 0, είαι ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ
πραγματικοι και R Να αποδειξετε ότι 0 0 7 Να λύσετε το (Σ) w w 8 Να λυθεί το (Σ) w w 9 Α C α αποδείξετε ότι: ) R ) ο αριθμός w είαι πραγματικός 7 Nα δείξετε ότι α) Re Re Re Re 8 Δείξτε ότι α) 4 Re( ) 9 Δείξτε ότι R 40 Δείξτε ότι α R 0 Δίεται το πολυώυμο f(x) = x + ( ) x + 5 Να βρεθού τα f( ), f( + ), και α δείξετε f ( + ) f ( ) Θεωρούμε το f(x) = x + α x + β Να βρεθού τα α, βr ώστε ο μιγαδικός = 4 α είαι ρίζα του f(x) Δίεται η εξίσωση x x με ρίζες x, x ) Να υπολογίσετε τα x x, x + x, x x ) Α οι ρίζες της εξίσωσης x + κ x + λ = 0, με κ, λ R είαι οι x και x α βρείτε τις τιμές τω κ, λ Α C α αποδείξετε ότι ) Ι * ) Έστω λr και λ Να αποδείξετε ότι ο λ αριθμός w είαι φαταστικός α και μόο λ α ο είαι φαταστικός 4 Α +=0 α δειξετε ότι α) = - 40 0 b) 0 c) 6k+ 6m+ +=0, k,m Z 5 Α C και w I ( I η ) w, α δειξετε ότι 6 Να βρείτε τα μέτρα τω μιγαδικώ:,,, 4 Εά w για κάθε C { } δείξτε ότι α w I τότε 4 Εά,, C { } με,τότε δείξτε ότι α: 4 Εά με, C δείξτε : 44 Δείξτε ότι 45 Εά C { } και w είαι φαταστικός τότε w με Εά ο 46 Εά C δείξτε ότι α) m m, mr {, } γ) λ λ,λr {, } 47 Eά = α + β με α, β R και δείξτε ότι : 48 Εά για τους μιγαδικούς,, ισχύου ότι + + = 0 () () τότε ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ
49 Εά για το μιγαδικό ισχύει α) 50 Εά, C και δείξτε ότι : * 5 Έστω C Να αποδείξετε ότι ο αριθμός w R R ή 6 Δίοται τα πολυώυμα Ρ() = α + β + γ, Φ() = α + β + γ δ και σ() = α + β 4αγ δ με α, β, γ, δr και β 4 α γ 0 Δείξτε ότι Px ψ Φx σψ 6 Nα βρεθού στο μιγαδικό επίπεδο και α παρασταθού οι λύσεις της εξίσωσης 6 Να βρεθού τα σημεία Μ() του μιγαδικού επιπέδου για τα οποία ισχύει : 5 Έστω Να αποδείξετε ότι α τότε ο w είαι φαταστικός και ατίστροφα 5 Α η εξίσωση w και * N με άγωστο, έχει ρίζα στο R α δείξετε ότι w 54 Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγματική ρίζα δε 55 Α ισχύει w τότε δείξτε ότι έας w τουλάχιστο από τους,w έχει μέτρο ίσο με 56 Α = 9 και w α δείξετε ότι w 57 Έστω ο w με, C { } α) Α α δείξετε ότι w R Α w α δείξετε ότι ο I και ότι ο 58 Α για το μιγαδικό ισχύει 8 89 τότε Im() 0 59 Α για το μιγαδικό = x + ψ ισχύει ( ) v = v τότε δείξτε ότι Re() = 60 A f() =,, α αποδείξετε ότι I ) f() = f( ) με 0 ) α και τότε f()r 64 Να βρεθού στο μιγαδικό επίπεδο οι λύσεις της εξίσωσης 4 7 65 Δίεται ο = x + ψ με x,ψ πραγματικούς Να βρεθού τα σημεία Μ() του επιπέδου για τα οποία 6Re 7 0 66 Να βρεθεί ο γτ τω εικόω Μ() για τους οποίους ο w είαι α) πραγματικός φαταστικός 67 Να βρεθεί ο γτ τω σημείω Μ() του επιπέδου για τα οποία ισχύει : 68 Να βρεθού τα σημεία Μ(), α ξέρετε ότι οι εικόες τω μιγαδικώ,, είαι συευθειακά σημεία 69 Να βρεθού τα σημεία Μ() του μιγαδικού επιπέδου α για τα οποία ισχύει όπου α R και o α σταθερός μιγαδικός 70 Να βρεθού τα σημεία του μιγαδικού επιπέδου για τα οποία ισχύει 7 Να βρεθεί ο γτ τω εικόω τω Μ για τα οποία ισχύει : με 7 Δίεται ο μιγαδικός = x + ψ με C {, } και οι αριθμοί w, και w α) Εά ο w είαι καθαρός φαταστικός δείξτε ότι ο γτ τω Μ είαι κύκλος του οποίου α βρεθού τα στοιχεία Εά ο w είαι πραγματικός δείξτε ότι ο γτ τω εικόω του είαι ευθεία ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ
γ) Να υπολογισθεί το μήκος της χορδής που αποκόπτει ο 85 Να αποδείξετε ότι : Α = = = α κύκλος από τη ευθεία, καθώς και η απόσταση του κέτρου του από τη ευθεία δειξετε ότι ( + + )( ( ) 9 7 Από τους μιγαδικούς για τους οποίους ισχύει ποιος έχει το ελάχιστο και ποιος το μέγιστο μέτρο; 74 Α C με α βρείτε τη μέγιστη τιμή της παράστασης f Για ποια τιμή του συμβαίει; 75 Θεωρούμε τους μιγαδικούς,, 0 με = ( + ) και Να αποδείξετε ότι το τρίγωο με κορυφές A( ), Β( ), Γ( ) είαι ισόπλευρο 76 Α C και α βρείτε τη ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή της Α = 77 Θεωρούμε τους μιγαδικούς = λ 5 + (5 λ), λ R Να βρείτε το γτ τω εικόω του ότα το λr Να βρεθεί ποιος από τους έχει τη πλησιέστερη εικόα από το Ο(0,0) 78 Α,, C και = = =, α αποδείξετε ότι : = 79 Α, C και > 0, α αποδείξετε ότι : α) = + = 80 Α C και =, α αποδείξετε ότι : = 4 8 Να αποδείξετε ότι : για κάθε C ισχύει + + 8 Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος τω εικόω τω μιγαδικώ αριθμώ, α ικαοποιού τη σχέση : Re() = 8 Να αποδείξετε ότι : α w = R ή = 84 Να αποδείξετε ότι : = R R ή Ι 86 Α =, α αποδείξετε ότι : Re( ) = 87 Α, wc και + w = 0 τότε : α) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος τω εικόω τω μιγαδικώ w, α = Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος τω εικόω τω μιγαδικώ w, α = 88 Α C και και =, α αποδείξετε ότι : 89 α) Να αποδείξετε ότι οι εικόες τω μιγαδικώ αριθμώ,, με 0, είαι κορυφές ισοπλεύρου τριγώου Α το εμβαδό του ισοπλεύρου τριγώου είαι, α υπολογίσετε το 90 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση : o = ρ, με ρ > 0 και o C παίρει τη μορφή : = Re( o ) + ρ o 9 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση : =,, C παίρει τη μορφή : Re[( ) ] = 9 Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος τω εικόω τω μιγαδικώ αριθμώ, α ικαοποιού τη σχέση : = Re( 4 ) 6 9 Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος τω εικόω τω μιγαδικώ αριθμώ, α ικαοποιού τη σχέση : + = 94 Α = (λ ) + ( λ + ) όπου λr, α βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος τω εικόω τω μιγαδικώ αριθμώ και α βρεθεί ποιος από αυτούς έχει το ελάχιστο μέτρο 95 Α C και + = 0, α) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος τω εικόω τω μιγαδικώ αριθμώ Να βρείτε τους φαταστικούς αριθμούς που οι εικόες τους αήκου στο παραπάω γτ 96 Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος τω εικόω τω μιγαδικώ w, α = και w = ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 4
97 Α =, α υπολογίσετε το ελάχιστο και το μέγιστο 004 ) 004 = 0 αήκου σε ευθεία και α της παράστασης Α = προσδιορίσετε τη εξίσωση Γιατί αυτή η ευθεία είαι μεσοκάθετη στο τμήμα ΑΒ με A(000,0) και B(004,); 98 Α ο γ τ τω εικόω τω μιγαδικώ αριθμώ είαι ο κύκλος με κέτρο Ο(0,0) και ακτία ρ =, α βρείτε το γ τ τω εικόω τω μιγαδικώ αριθμώ w, α α) w = w = + γ) w = 99 Α C και = α) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος τω εικόω τω μιγαδικώ w = + + Ποιος από τους w έχει το ελάχιστο και ποιος το μέγιστο μέτρο; 00 α) Α =, α βρεθεί ο γεωμ τόπος τω εικόω τω μιγαδικώ αριθμώ και στη συέχεια α βρεθεί ποιος από αυτούς έχει το ελάχιστο μέτρο Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος τω εικόω τω μιγαδικώ 0 Α,, C που ικαοποιού τη σχέση : = ( ) και Α( ), Β( ), Γ( ) οι εικόες τους στο μιγαδικό επίπεδο α) Εξετάστε α τα σημεία Α,Β,Γ σχηματίζου τρίγωο Δείξτε ότι το τρίγωο ΑΒΓ είαι ορθογώιο γ) Να δείξετε ότι = και = 0 Εστω οι μιγαδικοί, w με w =, α) Α wi {0} α δειχθεί ότι η εικόα Μ() κιείται σε κύκλο Δίεται η εξίσωση + α α = 0 με αr, α δείξετε,χωρίς α λυθεί η εξίσωση, ότι οι εικόες τω ριζώ της είαι σημεία του προηγούμεου κύκλου 06 Α, C, 0 ώστε 00 + 00 = ( + ) 00 α αποδείξετε ότι: α) = = ή R Α τα σημεία O, A( ), B( ) δε είαι συευθειακά, τότε τα διαύσματα ΑΒ ( ) και ΟΓ ( + ) είαι κάθετα μεταξύ τους 07 Α + + = + + τότε οι εικόες τω μιγαδικώ,, στο μιγαδικό επίπεδο είαι κορυφές ισόπλευρου τριγώου 08 Δίοται οι μιγαδικοί, με = Α για το C ισχύει ( ) ( ) + ( ) ( ) = 4 α) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος τω εικόω του C Να βρεθεί το μέγιστο της παράστασης 09 Α C με και, θεωρούμε τη v συάρτηση f() = v α) Να αποδείξετε ότι f() = f( ) ότα 0 Α επιπλέο = α αποδείξετε ότι f () = f() γ) Α = συθ ημθ α αποδείξετε ότι f() R 0 Α = 0 και + = 0 α δείξετε ότι = 0 Α + + = 0 και + + = 0 τότε δείξτε ότι = = Α + + = + + τότε οι εικόες τω μιγαδικώ,, στο μιγαδικό επίπεδο είαι κορυφές ισόπλευρου τριγώου 0 Α, είαι ρίζες της εξίσωσης + 4 + 8 = 0 αποδείξτε ότι w = 4 Ι 8 04 Δίοται οι μιγαδικοί, που οι εικόες τους στο μιγαδικό επίπεδο αήκου στο ίδιο κύκλο με κέτρο τη αρχή τω αξόω Αποδείξτε ότι ο w = είαι πραγματικός αριθμός 05 Να αποδείξετε ότι οι εικόες τω ριζώ της εξίσωσης :( + ) 0 ( 000 ) 004 ( + ) 0 ( Δίεται ο μιγαδικός και έστω f() = f ( ) a) Nα δο: f ( ) b) Α και Μ είαι η εικόα του f() στο μιγαδικό επίπεδο, δο: το Μ αήκει σε ευθεία της οποίας α βρείτε τη εξίσωση ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 5
Δίεται η εξίσωση ημ θ ημθ + 5 4ημ θ = 0 με θ (0, π) α) Να λύσετε τη εξίσωση Να δείξετε ότι καθώς το θ διατρέχει το διάστημα (0, π), οι εικόες τω ριζώ της παραπάω εξίσωσης κιούται πάω σε μία υπερβολή 4 Να βρείτε το άθροισμα τω όρω: Σ = + ( + ) + (4 + 5) + + [( ) + ( ) ] 5 Έστω ο μιγαδικός για το οποίο ισχύει: 00 +00 00 =004 Na αποδείξετε ότι: a) ( ) 00 = 00 =(Υπόδειξη: Να πάρετε τα συζυγή τω δύο μελώ) b) = c) αριθμός w= είαι φαταστικός 6 Έστω το τριώυμο Ρ()=α +β +γ με α0, διακρίουσα Δ0 και α,β,γ,εώ ο CΑ, λύσεις της Ρ()=0: d) Νδο: + e) Νδο: + με Ν * είαι πραγματικός αριθμός f) Α Α( ), Β( ) οι εικόες τω, ατίστοιχα α και β Να αποδειξετε ότι εας τουλαχιστο απο αυτους β εχει μετρο μικροτερο η ισο από α 9 Έστω C τέτοιος ώστε: 0 9 0 0 0 Να αποδείξετε ότι: Putam 989 A 0 Ας είαι C τέτοιος ώστε Να αποδείξετε ότι: Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς o,, ώστε για κάθε 0,, α είαι a Α ο μιγαδικός αριθμός v ικαοποιεί τη σχέση: v v v 0 τότε α αποδείξετε ότι: v 4 0 Παελλαδικές εξετάσεις 0 Μάιος Έστω C ώστε και 0, N Αποδείξτε ότι: a b k,k N [GM /00] δο: d(α,β)= g) Α Γ( + ) η εικόα του + τότε το εμβαδό του τριγώου ΑΒΓείαι:Ε (ΑΒΓ) = 4 7 A,α βρείτε τις γωίες του τριγώου με κορυφές τα σημεία Ο(0,0), Α( ) και Δ Δ4 Να Εά για το μιγαδικό αριθμό ισχύει 4 5, α βρείτε τη ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή του 4 Έστω x y ( ), όπου x, y R και θετικός ακέραιος Εά k x9y 9 x9y9,k R α υπολογίζετε το πραγματικό αριθμό k Β( )(Υπ Να θεωρήσετε άγωστο το ) 8 Α οι μιγαδικοι αριθμοι,, ικαοποιου τις σχεσεις ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 6