ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-5: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 06-7 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λύσεις Εβδοµης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 6/5/07 Ηµεροµηνία Παράδοσης : 9/5/07 Ασκηση αʹ) Είναι : ϐʹ) Οι ϱίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύµου είναι : LC d dt yt) + RC d dt yt) + yt) xt) L LCs Y s) + RCsY s) + Y s) Xs) Y s)lcs + RCs + ) Xs) Hs) Y s) Xs) LCs + RCs + s, RC ± R C LC LC ) Αν οι τιµές των R, L, C είναι πάντα ϑετικές, τότε οι πόλοι ϑα ϐρίσκονται πάντα στο αριστερό ηµιεπίπεδο του µιγαδικού επιπέδου επειδή το πραγµατικό µέρος των παραπάνω εξισώσεων ϑα είναι πάντα αρνητικό). Αφού το σύστηµα είναι αιτιατό, το ROC είναι δεξιόπλευρο και συγκεκριµένα δεξιότερα από τον πιο δεξιό πόλο τον πόλο µε το µεγαλύτερο πραγµατικό µέρος). Άρα το ROC περιλαµβάνει το ϕανταστικό άξονα jπf και έτσι το σύστηµα είναι ευσταθές. Ασκηση αʹ) µε Hs) s + s 5s + 6 s + s )s 3) A s + B s 3 s + A s )s 3) s ) s s + s 3 s s + B s )s 3) s 3) s3 s + 5 s s3 Οπότε Xs) s + 5 s 3. Για ROC : Re {s} > 3, το σήµα ϑα είναι αιτιατό, όχι όµως και ευσταθές, αφού δεν περιλαµβάνεται σε αυτό ο ϕανταστικός άξονας. xt) e t ut) + 5e 3t ut) )
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 06-7/ Εβδοµη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις ϐʹ) µε Για ROC : Re {s} <, το σήµα ϑα είναι άντι-αιτιατό και ευσταθές, αφού περιλαµβάνεται σε αυτό ο ϕανταστικός άξονας. xt) e t u t) 5e 3t u t) 3) Για ROC : < Re {s} < 3, το σήµα ϑα είναι αµφίπλευρο και µη ευσταθές, αφού δεν περιλαµβάνει το ϕανταστικό άξονα. xt) e t ut) 5e 3t u t) ) Hs) s πολυωνυµική διαίρεση* s + s s + s s όπου s, ± 5 s s )s s ) A + B ) s s s s s A s s s ) ss s s s B s s s ) ss s s + 5 + 5 5 5 5 + 5 + 5 5 Συνεπώς Hs) + 5 s s 5 5) s s j f 0.8 0.6 0. 0. 0-0. -0. -0.6-0.8 - - -0.5 0 0.5 * s s + s s + s s
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 06-7/ Εβδοµη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις 3 γʹ) Για ROC : Re {s} > + 5, το σήµα ϑα είναι αιτιατό, όχι όµως και ευσταθές, αφού δεν περιλαµβάνεται σε αυτό ο ϕανταστικός άξονας. ht) δt) + 5 e st ut) 5 e st ut) 6) Για ROC : Re {s} < + 5, το σήµα ϑα είναι άντι-αιτιατό όχι όµως ευσταθές, αφού δεν περιλαµβάνεται σε αυτό ο ϕανταστικός άξονας. ht) δt) + + 5 e st u t) + 5 e st u t) 7) Για ROC : + 5 < Re {s} < 5, το σήµα ϑα είναι αµφίπλευρο και ευσταθές, αφού περιλαµβάνει το ϕανταστικό άξονα. ht) δt) + 5 e st ut) + 5 e st u t) 8) Hs) s s ) s + s + s + ) s s + ) s + ) αφού έχουµε διπλή ϱίζα στο s Για ROC : Re {s} >, το σύστηµα ϑα είναι δεξιόπλευρο, αιτιατό και ευσταθές αφού περιλαµβάνει το ϕανταστικό άξονα στο πεδίο σύγκλισης. ht) d dt te t ut) te t ut) t e t ut) + te t ut)) te t ut) e t ut) + te t ) ut) + te t u t) te t ut) e t ut) te t ut) + te t δt) 0 te t ut) e t ut) te t ut) Για ROC : Re {s} <, το σύστηµα είναι αντι-αιτιατό αλλά ασταθές αφού δεν περιλαµβάνει το ϕανταστικό άξονα στο πεδίο σύγκλισης. ht) d dt te t u t) + te t u t) t e t u t) te t u t)) + te t u t) e t u t) te t ) u t) te t u t) + te t u t) e t u t) + te t u t) + 0 te t δt) + te t u t) te t u t) e t ut)
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 06-7/ Εβδοµη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Ασκηση 3 αʹ) Πόλοι : ± j, µηδενικά :, + j f ϐʹ) Hs) s + s + s + s + s + s + + s + s + ) + 9) επιπλέον, αφού είναι αιτιατό, ht) e t cos t)ut) γʹ) s + Y s) Hs)Xs) s + s + s s + ) s + s + )s + ) s) s + s + ) s) s + j))s j)) s) A s + j) + B s j) + C s όπου A s)s j)) s +j + j)) + j + + j) + j)j) j + j) j + j 5 B 5 + 5 j 5 5 j C 5 Άρα Hs) 5 5 j) s + j) + 5 + 5 ) j 5 s + j) 5 j s + j) 5 s j) 5 s s j) + 5 j s j) + 5 s
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 06-7/ Εβδοµη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις 5 και yt) 5 e +j)t ut) 5 e j)t ut) 5 je +j)t ut) + 5 je j)t ut) + 5 et u t)) 5 e t cos t) + 5 e t sin t) + 5 et u t) αφού R y R H R x {Re {s} > } { < Re {s} < }, οπότε R y { < Re {s} < } {Re {s} > } {Re {s} < } δʹ) Ναι, µπορούµε να τον υπολογίσουµε αφού ο ϕανταστικός άξονας συµπεριλαµβάνεται στο πεδίο σύγκλισης. Αρα : Hf) jπf + π f + jπf + Ασκηση. Είναι συνεπώς s 3 Y s) + 6s Y s) + sy s) + 6Y s) Xs) Hs) Y s)s 3 + 6s + s + 6) Xs) s 3 + 6s + s + 6 s + )s + )s + 3) Τότε Y zs s) Hs)Xs) s + )s + )s + 3)s + ) 6 s + + s + 3 s + + 6 s + µετά από ανάπτυγµα σε µερικά κλάσµατα. Άρα y zs t) 6 e t 6 e t e t + ) e 3t ut). Είναι : s 3 Y s) s y0 ) sy 0 ) y 0 ) + 6s Y s) 6sy0 ) 6y0 ) + sy s) y0 ) + 6Y s) Xs) 0 Άρα 3. Συνολικά, Y zi s) s + 5s + 6 s 3 + 6s + s + 6 s + L y zi t) e t ut). yt) y zi t) + y zs t) 7 6 e t ut) 6 e t ut) + e t ut) e 3t ut)
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 06-7/ Εβδοµη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις 6 [ ] Ασκηση 5 αʹ) Είναι wt) xt) wt) h t)) h t) yt) wt) h 3 t) ϐʹ) Είναι W s) H s) Xs) W s)h s)) H s)xs) H s)h s)w s) Y s) W s)h 3 s) γʹ) Είναι } Y s) W s)h 3 s) W s) + H s)h s)w s) H s)xs) Αρα Y s) W s)h 3 s) H s) W s) + H s)h s) Xs) Y s) H s)h 3 s) + H s)h s) Xs) Hs) δʹ) H s) s+, Re {s} >, ευσταθές και αιτιατό. H s) s, Re {s} >, ασταθές και αιτιατό. H 3 s) s+, Re {s} >, ευσταθές και αιτιατό. H s)h 3 s) + H s)h s) εʹ) Το συνολικό σύστηµα γράφεται ώς Hs) H s)h 3 s) + H s)h s) s s s + ) Εχει δύο πόλους στη ϑέση s 0 και έναν πόλο στη ϑέση s. Επίσης, έχει ένα µηδενικό στο s και ένα διπλό στο άπειρο). Το πεδίο σύγκλισης είναι το Re {s} > 0 αφού όλα τα επιµέρους πεδία είναι δεξιόπλευρα. x x j f - 0 ROC ϛʹ) Το σύστηµα είναι ασταθές, αφού υπάρχει πόλος στο ϕανταστικό άξονα. Είναι όµως αιτιατό. εν µπορεί λοιπόν να είναι ευσταθές και αιτιατό.
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 06-7/ Εβδοµη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις 7 Ϲʹ) Είναι Hs) s s s+) A s + B + C s s+, και µε ανάπτυγµα σε µερικά κλάσµατα έχουµε : Hs) 3 s s 3 s + L ht) 3 ut) tut) 3 e t ut) ηʹ) Y s) Hs)Xs) s s s+) s+, όµως R H : Re {s} > 0 και R x : Re {s} <, άρα δεν υπάρχει τοµή των δύο ROC, οπότε δεν µπορούµε να ϐρούµε το αποτελέσµα στο χώρο Laplace. [ ] Ασκηση 6 Αφού, e t s 6 et, t, τότε από την ιδιότητα της ιδιοσυνάρτησης είναι H) 6 Επίσης, και αφού H) 6 τότε d dt ht) + ht) e t ut) + but) L shs) + Hs) s + + bs s + bs + ) Hs)s + ) ss + ) s + bs + b Hs) ss + )s + ) και H) + 6b 8 Hs) 6 b s + ) ss + )s + ) ss + ) Αφού το σύστηµα είναι αιτιατό, και οι πόλοι είναι στις ϑέσεις s 0, s ϑα είναι R H : Re {s} > 0. Οπότε η κρουστική απόκριση ϑα έχει την µορφή ht) ut) e t ut) αφού Hs) A s + B s+, µε A και B µετά από ανάπτυγµα σε µερικά κλάσµατα. Το σύστηµα δεν είναι ευσταθές, αφού δεν περιλαµβάνει τον κατακόρυφο άξονα jπf στο πεδίο σύγκλισης του.
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 06-7/ Εβδοµη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις 8 Ασκηση 7 Θέτουµε t nt s και έχουµε x nt s) cosπ0nt s ) cosπ0 n 0 ) cosπn ) 0) x nt s) cosπ50nt s ) cosπ50 n 0 ) cos0πn Παρατηρούµε πως x nt s) x nt s). + 8πn ) cosπn ) cos πn + πn) cosπn ) ) 0.5 0 x n) x n) -0.5 - -0-5 0 5 0 n Αυτό συµβαίνει γιατί το x t) δειγµατοληπτείται µε συχνότητα µικρότερη της f max. Το παρακάτω σχήµα δείχνει τι συµβαίνει στο χώρο της συχνότητας. Hf) -90-50 -0-0 0 0 0 50 90 f Το σήµα που παίρνουµε στο χρόνο είναι το x t) cosπ0t), που είναι το ίδιο µε το x t)! Ασκηση 8 αʹ) Ο ϱυθµός Nyquist είναι f max, δηλαδή 6000 000Hz ϐʹ) Θέτουµε t nt s n 5000 και τότε : x a nt s ) 3 cos π000 n ) ) 5000 πn 6πn 3 cos + 5 sin 5 5 x[n] + 5 sin π3000 n ) ) 5000 ) πn + 0 cos 5 + 0 cos π6000 n ) 5000
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 06-7/ Εβδοµη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις 9 γʹ) Αφού f s < f max, τότε δεν µπορούµε να ανακατασκευάσουµε το x a t) από το x[n]. Το ϕάσµα του δειγµατοληπτηµένου σήµατος ϑα είναι : - -8-6 -5 - - - 5 6 8 f Άρα το σήµα που ανακτούµε είναι το x at) 3 cosπ000t) + 5 sinπ000t). Ασκηση 9 αʹ) Αφού Hf) rect ϐʹ) f f c ) F ht) f c sincf c t) που είναι µη-αιτιατό και άπειρης διάρκειας. Hs) + s jπf c ) N γʹ) Οι πόλοι είναι : + s Άρα jπf c ) 0 s N jπf c ) N k+n jπ ) s k πf c e N, k 0,,..., N.
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 06-7/ Εβδοµη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις 0 j f δʹ) Επιλέγουµε όλους τους πόλους του αριστερού ηµιεπιπέδου. Άρα το ROC ϑα είναι : Re {s} > max Re {s k }. εʹ) Για N, Hs) s+jπf c, επιπλέον, για N, Hs) ) 3π 5π s πf ce j s πf ce j ). ϛʹ) Για N 3, Hs) Xs) Y s)s3 + s + s + ) Xs) L L d3 yt) + d yt) + d dt 3 dt dtyt) + yt) xt). Ϲʹ) Κώδικας MATLAB s 3 +s +s+ Y s) [ ] Ασκηση 0 Κώδικας MATLAB [ ] Ασκηση Κώδικας MATLAB Ασκηση Κώδικας MATLAB