Ερωτήσεις: 1. Ποιες είναι οι διαφορές μεταξύ αυτοπαλίνδρομων υποδειγμάτων (AR) και υποδειγμάτων κινητού μέσου (MA); Στα αυτοπαλίνδρομα υποδείγματα η τρέχουσα τιμή της y είναι συνάρτηση p υστερήσεων της καθώς και της τρέχουσας τιμής του διαταρακτικού όρου u. Στο υπόδειγμα κινητού μέσου η τρέχουσα τιμή της y είναι συνάρτηση της τρέχουσας τιμής και q υστερήσεων του διαταρακτικού όρου u. Τα υποδείγματα AR και MA έχουν διαφορετικά χαρακτηριστικά όσον αφορά τη διάρκεια και την ένταση της μνήμης και αυτό έχει επιπτώσεις τόσο στο χρόνο που χρειάζεται για να απορροφηθεί ένα ξαφνικό πλήγμα (σοκ) στη μεταβλητή y όσο και στη μορφή των συναρτήσεων αυτοσυσχέτισης και μερικής αυτοσυσχέτισης. 2. Γιατί τα υποδείγματα ARMA είναι χρήσιμα για χρηματοοικονομικές χρονοσειρές; Εξηγήστε χωρίς να χρησιμοποιήσετε εξισώσεις τη διαφορά μεταξύ AR, MA και ARMA. 1
Τα υποδείγματα ARMA είναι χρήσιμα για χρηματοοικονομικές χρονοσειρές λόγω της ευελιξίας τους. Η εκτίμηση σου τους είναι απλή και συχνά παράγουν καλές προβλέψεις. Δεν προϋποθέτουν γνώση άλλων ανεξάρτητων μεταβλητών όπως γίνεται στη διαμόρφωση διαρθρωτικών υποδειγμάτων. Όταν έχουμε δεδομένα υψηλής συχνότητας μπορούμε να χρησιμοποιούμε υποδείγματα ARMA παρότι οι εξωγενείς μεταβλητές (π.χ. μακροοικονομικές μεταβλητές) να είναι διαθέσιμες μόνο σε χαμηλότερες συχνότητες (μηνιαίες, τετραμηναιές παρατηρήσεις). 3. Έστω ότι θεωρείται ότι τα παρακάτω υποδείγματα μπορούν να εξηγήσουν τις τιμές μετοχών y = y-1 + u (1) y = 0.5 y-1 + u (2) y = 0.8 u-1 + u (3) α. Σε ποία κατηγορία ανήκουν τα παραπάνω υποδείγματα; 2
β. Τι ξέρετε για την συνάρτηση αυτοσυσχέτισης των παραπάνω υποδειγμάτων; γ. Ποίο από τα παραπάνω υποδείγματα είναι θεωρητικά πιο πιθανό να εξηγεί τις τιμές των μετοχών; Ποιο μπορεί να προβλέψει καλύτερα; δ. Πόσο σημαντικό θα είναι ένα ξαφνικό πλήγμα (σοκ) σε κάθε ένα από αυτά τα υποδείγματα; α. Τα πρώτα δύο υποδείγματα είναι AR(1) ενώ το τελευταίο είναι MA(1). Το πρώτο υπόδειγμα είναι τυχαίος περίπατος (random walk) και μπορεί να θεωρηθεί και ARIMA(0,1,0). Το πρώτο υπόδειγμα είναι μη-στάσιμο ενώ τα άλλα δύο είναι στάσιμα. β. Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης του υποδείγματος κινητού μέσου MA(q) μηδενίζεται μετά από q υστερήσεις, οπότε η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της MA(1) θα μηδενιστεί μετά από μία υστέρηση. Για τα αυτοπαλίνδρομα υποδείγματα, η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης μηδενίζεται σταδιακά. Θα μηδενιστεί σχετικά γρήγορα στο υπόδειγμα 2 με κάθε διαδοχικό συντελεστή αυτοσυσχέτισης να παίρνει τη μισή τιμή του προηγούμενου. Στο πρώτο υπόδειγμα η συνάρτηση αυτοσυχέτισης δεν θα 3
μηδενιστεί ποτέ και θα παραμείνει ένα σε όλες τις υστερήσεις. Για τις συναρτήσεις μερικής αυτοσυσχέτισης, στα πρώτα δύο υποδείγματα θα υπάρχει μία υψηλή τιμή στην υστέρηση 1 και μη στατιστικά σημαντικοί συντελεστές για τις υπόλοιπες υστερήσεις. Η συνάρτηση μερικής αυτοσυσχέτισης των δύο πρώτων υποδειγμάτων θα είναι ίδια. Η συνάρτηση μερικής αυτοσυσχέτισης του υποδείγματος κινητού μέσου θα μειώνεται γεωμετρικά. γ. Ο τυχαίος περίπατος είναι πιο πιθανό να εξηγεί τις τιμές των μετοχών. Αν τα υποδείγματα (2) και (3) μπορούσαν να εξηγήσουν τις τιμές των μετοχών τότε θα μπορούσαμε να τις προβλέψουμε (Θεωρία Αποτελεσματικών Αγορών;). Οι τιμές των μετοχών είναι μη στάσιμες και μη στάσιμο υπόδειγμα είναι μόνο το (1). δ. Σε σχέση με το υπόδειγμα κινητού μέσου, η μνήμη του υποδείγματος είναι μόνο μία υστέρηση. Άρα δεδομένου ενός σοκ u η επίδραση του (στο y) θα διαρκέσει μόνο μία περίοδο και μετά θα απορροφηθεί. 4
Σε σχέση με το υπόδειγμα 2 δεδομένου ενός σοκ u η επίδραση του (στο y) θα διατηρηθεί στο άπειρο και για αυτό θα επηρεάσει τα χαρακτηριστικά της y για πάντα. Παρόλα αυτά η επίδραση στην y θα μειώνεται με εκθετικό ρυθμό καθώς περνάει ο χρόνος. Στο υπόδειγμα 1 η επίδραση ενός σοκ θα επιδράσει την y στο άπειρο και αυτή η επίδραση δεν θα μειωθεί ποτέ. 4. Έστω το ακόλουθο υπόδειγμα AR(2): y = 0803. y + 0. 682y + u 1 2 όπου u είναι διαδικασία λευκού θορύβου. Μέσω της χαρακτηριστικής εξίσωσης ελέγξετε την στασιμότητα του υποδείγματος. y = 0803. y + 0682. y + u γράφεται ως: 1 2 y ( 1 0803. L 0. 682L 2 ) = u Θέλουμε να βρούμε τις ρίζες τις: ( 1 0803. L 0. 682L 2 ) = 0 5
Αν πολλαπλασιάσουμε με -1/0.682 και χρησιμοποιήσουμε τη z για τη χαρακτηριστική εξίσωση: z 2 + 1.177 z - 1.466 = 0 και z = ± 2 1177. 1177. + 4 * 1* 1466. 2 = 0.758 ή 1.934 Για να είναι ένα υπόδειγμα στάσιμο θα πρέπει όλες οι ρίζες να είναι μεγαλύτερες της μονάδος, συμπαιρένουμε ότι αυτό το υπόδειγμα είναι μηστάσιμο. 6