3 Μέθοδοι υπολογισµού ολοκληρωµάτων Riemnn 3. Μέθοδος αντικατάστασης ή αλλαγής µεταβλητής Πρόταση 3.. Εστω ότι η u = f (y) είναι συνεχής στο διάστηµα I, η y = g() έχει συνεχή παράγωγο στο διάστηµα Ι και οι τιµές της y = g() περιέχονται στο I (οπότε ορίζεται η σύνθεση z = f (g()) στο I), τότε ισχύει f (g()) g () d = Για το ορισµένο ολοκλήρωµα ισχύει ότι f (y) d y y=g() ( στο I) b f (g()) g () d = g(b) g() f (y) d y (, b στο I) Παράδειγµα 3.. + d = + d( + ) d = d y d y y= + = ( ln y + c ) y= + = = ln( + ) + c 3. Μέθοδος ολοκλήρωσης κατά µέρη ή κατά παράγοντες Πρόταση 3.3. Αν οι συναρτήσεις y = f () και y = g() είναι συνεχείς συναρτήσεις κι έχουν συνεχή πρώτη παράγωγο στο διάστηµα I, τότε ισχύει f () g () d = f () g() f () g() d y ( στο I) Για το ορισµένο ολοκλήρωµα ισχύει b f () g () d = f (b) g(b) f () g() b f () g() d y (, b στο I) Παράδειγµα 3.4. ln d = ln d () d = ln d (ln ) d = ln d = ln d d = d = ln + c στο διάστηµα (0, + ) 99
Παράδειγµα 3.5. π 0 sin d = π 0 d(cos ) d = π cos π + 0 cos 0 + d π 0 d () d cos d = = π + π 0 cos d = π + (sin π sin 0) = π 3.3 Ολοκληρώµατα ϱητών συναρτήσεων Ο υπολογισµός µιας µεγάλης κλάσης ολοκληρωµάτων ανάγεται, µε κατάλληλη αντικατάσταση, στον υπολογισµό του ολοκληρώµατος ϱητών συναρτήσεων της µορφής m m + m m + + + 0 r() d = d. b n n + b n n + + b + b 0 Πρώτο ϐήµα : Αν m n τότε εκτελούµε στην διαίρεση των πολυώνυµων και ϐρίσκουµε πολυώνυµα p() και q() τέτοια ώστε να ισχύει r() = m m + m m + + + 0 b n n + b n n + + b + b 0 = p() + όπου ο ϐαθµός του q() να είναι < n για κάθε. q() b n n + b n n + + b + b 0 Ο υπολογισµός του p() d είναι εύκολος αφού πρόκειται για ολοκλήρωµα πολυωνυµικής συνάρτησης, οπότε ο υπολογισµός του ολοκληρώµατος ανάγεται ουσιαστικά στην περίπτωση που m < n, που περιγράφεται στα ακόλουθα ϐήµατα. εύτερο ϐήµα : Αναλύουµε τον παρονοµαστή σε γινόµενο πρωτοβάθµιων ή δευτεροβάθµιων παραγόντων. Αυτό ισοδυναµεί µε το να ϐρούµε τις ϱίζες του παρονοµαστή το οποίο είναι αρκετά δύσκολο αλλά σε ορισµένες περιπτώσεις είναι εφικτό. Γενικά ισχύει το εξής : Κάθε πολυώνυµο B() = b n n + b n n + + b + b 0 µπορεί να αναλυθεί σε γινόµενο παραγόντων στην µορφή B() = b n n + + b 0 = b n ( ) k ( γ) λ ( ( µ) + ν ) ρ ( ( ϸ) + δ ) τ όπου οι εκθέτες κ,... λ, ρ,..., τ είναι ϕυσικοί αριθµοί µε κ+ +λ+ ρ+ + τ = n και οι αριθµοί ν,..., δ που εµφανίζονται στους δευτεροβάθµιους παράγοντες είναι όλοι > 0. Στην προηγούµενη ανάλυση, οι παράγοντες ( α),..., ( γ) αντιπροσωπεύουν τις πραγµατικές ϱίζες του B() και οι αντίστοιχοι εκθέτες την πολλαπλότητα των ϱιζών. Οι δευτεροβάθµιοι όροι αντιπροσωπεύουν τις µιγαδικές ϱίζες του πολυνωνύµου και οι αντίστοιχοι εκθέτες την πολλαπλότητά τους. Παρατηρείστε ότι οι µιγαδικές ϱίζες εµφανίζονται µε τις συζυγείς τους ( µ) + ν = ( µ i ν)( µ + i ν) 00
Επίσης, οι πραγµατικές ϱίζες α,..., γ καθορίζουν τα διαστήµατα στα οποία ορίζεται το αόριστο ολοκλήρωµα που ϑέλουµε να υπολογίσουµε. Είναι τα ανοικτά διαστήµατα µε άκρα τα, α,..., γ, +. Τρίτο ϐήµα : Αναλύουµε την ϱητή συνάρτηση r() σε απλούς λόγους της µορφής ( ) ( ) A r() = + A ( ) + A k Γ + ( ) k γ + Γ ( γ) + Γ k ( γ) ( λ M ( µ) + N + + + M ) ρ( µ) + N ρ + ( µ) + ν (( µ) + ν ) ( ρ E ( ϸ) + + + + E ) τ( ϸ) + τ. ( ϸ) + δ (( ϸ) + δ ) τ Οι αριθµοί A, A,..., E τ, τ είναι άγνωστοι που υπολογίζονται ως εξής : Πολλαπλασιάζουµε και τα δυο µέλη της παραπάνω εξίσωσης µε το πολυώνυµο B(). Στα δυο µέλη της εξίσωσης σχηµατίζονται δυο πολυώνυµα ως προς και εξισώνουµε τους συντελεστές των πολυωνύµων µε τον ίδιο ϐαθµό στο. Προκύπτει ένα γραµµικό σύστηµα για τα A, A,..., E τ, τ το οποίο και επιλύουµε. Τέταρτο ϐήµα : Παρατηρώντας τους παραπάνω απλούς λόγους συµπεραίνουµε ότι ο υπολογισµός του ολοκληρώµατος της ϱητής συνάρτησης ανάγεται στον υπολογισµό ολοκληρωµάτων τριών τύπων (I) ( α) d, (II) k µ ( ( µ) + ν ) d, (III) k ( ( µ) + ν ) k d ) Το ολοκλήρωµα τύπου (I) µε την αντικατάσταση y = α, είτε στο ( α, 0) είτε στο (α, + ), ανάγεται στο υπολογισµό ολοκληρώµατος που δίνεται στον πίνακα στην σελίδα 98, και τελικά είναι ( α) d = k k ( ) + c, k k ln + c, k = ) Με παρόµοιο τρόπο αντικαθιστώντας y = ( µ) + ν το ολοκλήρωµα τύπου (II) είναι µ ( ( µ) + ν ) d = k (( µ) + ν ) + c, k k k ln(( µ) + ν ) k + c, k = 3) Το πιο δύσκολο ολοκλήρωµα για να υπολογισθεί είναι το ολοκλήρωµα τύπου (III). Με την αντικατάσταση y = µ ν ανάγεται στο ολοκλήρωµα I k = (y + ) d y. k 0
Αν k =, τότε I = rctn y + c Αν k >, παραλείποντας τις λεπτοµέρειες, µε διαδοχικές ολοκληρώσεις κατά παράγοντες καταλήγουµε σε µια αναδροµική σχέση και επαγωγικά ϐρίσκουµε ότι I k = y k (y + ) + k 3 y k (k )(k 4) (y + ) + k (k 3)(k 5) 3 y + (k )(k 4) y + + (k 3)(k 5) (k )(k 4) rctn y + c Παράδειγµα 3.6. Ας υποθέσουµε ότι ϑέλουµε να υπολογίσουµε το αόριστο ολοκλήρωµα 4 4 + d Επειδή ο ϐαθµός του πολυωνύµου στον παρονοµαστή δεν είναι γνήσια µεγαλύτερος από τον ϐαθµό του πολυωνύµου στον αριθµητή, εκτελούµε την διαίρεση των πολυωνύµων και έχουµε ότι 4 = ( ) + ( 4 + ). Συνεπώς 4 4 + = + 4 + Στην συνέχεια αναλύουµε τον παρονοµαστή σε γινόµενο παραγόντων. Αυτό µπορεί να γίνει εύκολα αν παρατηρήσουµε ότι το πολυώνυµο είναι διτετράγωνης µορφής. Θέτοντας y =, γίνεται y + y το οποίο αναλύεται στην µορφή (y )(y + ), αφού οι ϱίζες του είναι οι,. Άρα Αναλύουµε την ϱητή συνάρτηση 4 + = ( )( + ) = ( )( + )( + ) 4 + = ( )( + )( + ) σε απλούς λόγους των παραγόντων στον παρονοµαστή κι έχουµε ( )( + )( + ) = A + B + + C + D + Πολλαπλασιάζουµε την παραπάνω εξίσωση µε ( )( + )( + ) κι έχουµε = A( + )( + ) + B( )( + ) + (C + D)( + )( ) = (A + B + C) 3 + (A B + D) + ( A + B C) + ( A B D) Οπότε ϑα πρέπει να ισχύει στο σύστηµα A + B + C = 0, A B + D =, A + B C = 0, A B D =. Από την πρώτη και την τρίτη εξίσωση έχουµε ότι ϑα πρέπει C = 0, και 0
A + B = 0. Οι υπόλοιπες δυο εξισώσεις, µε A = B, γίνονται B + D =, 4 B D =, που λύνονται εύκολα δίνοντας B = 6 και D = 4 3 και επειδή A = B, τότε και A = 6. Άρα ( )( + )( + ) = 6 6 + 4 3 + Συνεπώς ( 4 4 + d = + ) d = d + 4 + = + 6 d 6 + d 4 3 στα διαστήµατα (, ), (, ) και (, + ). 4 + d + d = + 6 ln 6 ln + 3 rctn ( ) + c, 3.4 Ολοκληρώµατα ϱητών τριγωνοµετρικών συναρτήσεων Πολλά ολοκληρώµατα συναρτήσεων που είναι ϱητές συναρτήσεις των ϐασικών τριγωνοµετρικών cos και sin µετατρέπονται σε ολοκληρώµατα ϱητών συναρτήσεων (που είδαµε πως αντιµετωπίζονται στη προηγούµενη παράγραφο) µε την αντικατάσταση u = tn ( ). Χρησιµοποιώντας τριγωνοµετρικές ταυτότητες εύκολα αποδεικνύεται ότι µε αυτήν την αντικατάσταση ισχύει ότι cos = u + u, sin = u + u και d u d = + u Παράδειγµα 3.7. Ας υποθέσουµε ότι ϑέλουµε να υπολογίσουµε το αόριστο ολοκλήρωµα sin d Σύµφωνα µε τις παραπάνω αντικαταστάσεις το ολοκλήρωµα µετατρέπεται στο + u sin d = u + u d u = u d u = ln u + c = ln tn ( ) + c σε κάθε διάστηµα (k π, π + k π), k Z. Σηµειώνουµε ότι τα παραπάνω ισχύουν µε την προϋπόθεση ότι ο παρονοµαστής της ϱητής τριγωνοµετρικής συνάρτησης της οποίας το ολοκλήρωµα ϑέλουµε να υπολογίσουµε µηδενίζεται όταν = π, όπως στο παράδειγµα. Αν ο παρανοµαστής µηδενίζεται σε κάποιο άλλο σηµείο 0, τότε µε την αλλαγή µεταβλητής z = 0 π, αναγόµαστε στην προηγούµενη περίπτωση. Η περίπτωση όπου ο παρανοµαστής δεν µηδενίζεται σε κανένα σηµείο τότε η παραπάνω µέθοδος, µε κατάλληλες τροποποιήσεις, µπορεί να εφαρµοσθεί αλλά δεν ϑα µας απασχολήσει εδώ. 03
3.5 Ολοκληρώµατα µερικών αλγεβρικών συναρτήσεων Θεωρούµε τα ολοκληρώµατα των ακόλουθων τριών τύπων (I) R(, ) d (II) R(, ) d (III) R(, + ) d όπου µε R(s, t) δηλώνουµε µια ϱητή συνάρτηση ως προς και τα δυο ορίσµατά της. (I) Για το ολοκλήρωµα τύπου (I) το οποίο ορίζεται στο διάστηµα [, ], εκτελούµε πρώτα την αλλαγή µεταβλητής u = +. Αντιστρέφοντας τον µετασχηµατισµό ϐρίσκουµε ότι Επιπλέον έχουµε τις ισότητες = u + u. = u + u d u d = ( + u ) ( u ), οπότε το ολοκλήρωµα (I) ανάγεται στον υπολογισµό ολοκληρώµατος ϱητής συνάρτησης ως προς την µεταβλητή u, που εξετάσαµε σε προηγούµενη παράγραφο. (II) Για το ολοκλήρωµα τύπου (II) στο διάστηµα [, + ) ϑεωρούµε την αλλαγή µεταβλητής u = +. Χρησιµοποιώντας την προηγούµενη σχέση ϐρίσκουµε ότι ισχύουν οι ισότητες = u + u, = u u, d u d = u u οπότε και πάλι αναγόµαστε σε υπολογισµό ολοκληρώµατος ϱητής συνάρτησης ως προς u. Στο διάστηµα (, ] ϑεωρούµε την αλλαγή µεταβλητής για την οποία ισχύουν οι ίδιες σχέσεις ( ) u =. (III) Τέλος για το ολοκλήρωµα τύπου (III) που ορίζεται στο διάστηµα (, + ) ϑεωρούµε την αλλαγή µεταβλητής και τις ισότητες που επάγει u = + + = u u, + = u + u, d u d = u u + οπότε και πάλι αναγόµαστε στον υπολογισµό ολοκληρώµατος ϱητής συνάρτησης ως προς την µεταβλητή u. 04 ( )
Με ϐάση την προηγούµενη ανάλυση των τριών τύπων ολοκληρωµάτων µπορούµε να υπολογίσουµε το ολοκλήρωµα µιας γενικής ϱητής συνάρτησης του τύπου R(, α + ϐ + γ) d όπου R(s, t) είναι µια ϱητή συνάρτηση των δυο ορισµάτων της s, t. Γράφουµε το τριώνυµο ως εξής και διακρίνουµε τις παρακάτω περιπτώσεις : ( ) ( α ϐ ) 4α γ ϐ + ϐ + γ = α + + α 4α η) Αν α > 0 και 4αγ ϐ > 0. Τότε µε την αλλαγή µεταβλητής u = α ( ϐ ) 4α γ ϐ + α το ολοκλήρωµα µετατρέπεται στο ( 4α γ ϐ R λ 4αγ ϐ α α + u, α ) 4αγ ϐ u + d u α δηλαδή σε ένα ολοκλήρωµα τύπου (III) που αναλύσαµε προηγουµένως. η) Αν α > 0 και 4αγ ϐ < 0. Τότε µε την αλλαγή µεταβλητής u = α ( ϐ ) + ϐ 4 α γ α το ολοκλήρωµα µετατρέπεται στο ( ϐ 4α γ R λ ) α α + ϐ 4αγ ϐ 4αγ u, α u d u α δηλαδή σε ένα ολοκλήρωµα τύπου (II) της προηγούµενης ανάλυσης. 3η) Αν α < 0 και 4αγ ϐ < 0. Τότε µε την αλλαγή µεταβλητής u = α ( ϐ ) + ϐ 4α γ α το ολοκλήρωµα µετατρέπεται στο ( ϐ 4α γ R λ ) α α ϐ 4αγ ϐ 4αγ u, α u d u α δηλαδή σε ένα ολοκλήρωµα τύπου (I) της προηγούµενης ανάλυσης. Η περίπτωση α < 0 και 4αγ ϐ > 0 αποκλείεται γιατί τότε δεν ορίζεται η συνάρτηση α + ϐ + γ σε κανένα σηµείο του R. Αν τουλάχιστον ένα από τα α, και 4αγ ϐ είναι µηδέν τότε το ολοκλήρωµα ανάγεται στον υπολογισµό απλού ολοκληρώµατος. 05
3.6 Ασκήσεις στην ενότητα 3 Ασκηση. Να υπολογισθεί το καθένα από τα ακόλουθα αόριστα ολοκληρώµατα µε κατάλληλη αλλαγή µεταβλητής : ) e) cos d, b) (sin ) 3 e d, f ) sin (cos ) d, c) d, g) 4 e d, d) e+ 4 + d, h) d ln d, e + e d. Απ. ) 3(sin ) /3 +c, b) cos +c c) rctn(e )+c, d) ln ln +c, e) e +c, f ) rcsin( )+c, g) rctn( ) + c, h) rctn(e ) + c. Ασκηση. Να υπολογισθεί το καθένα από τα ακόλουθα αόριστα ολοκληρώµατα µε ολοκλη- ϱώσεις κατά µέλη και αλλαγές µεταβλητής : ) e (sin ) d, b) e d, c) 3 e d, d) e d, e) sin d, f ) ln d, g) rcsin d, h) rccos d, i) (sin ) 4 d, j) (cos ) d, k) (tn ) d, l) ( + ) d, Απ. ) e (cos +sin )+c, b) 4 e ( +)+c, c) e ( +)+c, d) e ( )+c, e) ( ) cos + sin + c, f ) + ln 4 + c, g) + rcsin + c, h) 9 ( + ) + rccos 3 + c, i) 3 sin( ) + sin(4 ) + c, j) ln cos + tn + c, 8 4 3 k) + tn + c, l) (+ ) + rctn + c. Ασκηση 3. (α) Θεωρούµε το ακόλουθο αόριστο ολοκλήρωµα I = e sin(b ) d Χρησιµοποιώντας δυο ολοκληρώσεις κατά παράγοντες να αποδειχθεί ότι I = e sin(b ) b e cos(b ) b b I ( + ) I = e ( sin(b ) b cos(b )) + c (ϐ) Με παρόµοιο τρόπο να αποδειχθεί ότι e sin(b ) d = + b e cos(b ) + b + b e sin(b ) + c 06
Ασκηση 4. Να υπολογισθούν τα ακόλουθα ολοκληρώµατα ϱητών συναρτήσεων : ) d) + 4 + 4 d, b) 4 + 4 + + d, e) + 3 + d, c) Απ. ) 4 + ln + + c, b) ln + ln ( + + ) d, f ) d) rctn + c, e) + rctn( + ) + c, + + + f + ( ) 3 d, + + ( ) 4 d, ln + + c, c) ( ) + ln + c, ) + ( ) 3 + c. Ασκηση 5. Να υπολογισθούν τα ακόλουθα ολοκληρώµατα ϱητών τριγωνοµετρικών συναρτήσεων : ( (cos ) + sin + ) cos + sin ) d, b) d. sin + cos Απ. ) + cos ln tn( ) + c, b) ln cos( ) tn( ) + c. Ασκηση 6. Να υπολογισθούν τα ακόλουθα ολοκληρώµατα : ) d, b) d, c) + d, d) + d, e) + + d, f ) ( )( ) d. ( Απ. ) + rcsin ) ( + c, b) ln + ) + c, ( + + ln + + ) + c, d) ln + + ) + c, c) e) + + ln + 3 + + 3 ( + ) + c, f ) ln 3 3 + + c. 07