ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΘΗΜΤΙΚΩΝ- - Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΤΙΚΗ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ) ΥΝΜΕΙΣ. R ι θετιό έριο ορίζετι 4 4 4 4 3 φορές. R -{} ορίζετι - 3. R -{} ι θετιό έριο ορίζετι 4. θετιό πργµτιό, θετιό έριο, έριο 5. ( ) 6., + 7. 8., 9. ( ). R, θετιό έριο ισύει. ΤΥΤΟΤΗΤΕΣ ( ± ) ± +. ( )( a + ) 3. 3 3 3 ( ± ) ± 3 + 3 ± 3 3 4. + ( + )( + ) 3 3 5. ( )( + + ) 6. ( + + γ ) + + γ + + γ + γ 3 3 3 3 7. ( + + γ ) + + γ + 3( + )( + γ )( γ + ) 3 3 3 8. + + γ 3γ ( + + γ )[( ) + ( γ ) 3 3 3 9. + + γ 3γ ( + + γ ) ή γ ΝΙΣΟΤΗΤΕΣ., R ισύει ή < ή >. < ι < γ τότε < γ 3. < ± γ< ± γ γ< τότε < γ> γ 4. γ> τότε < γ> γ ορίζετι + ( γ ) ]
5. < ι γ < δ τότε + γ< + δ Μπορούµε προσθέσουµε τά µέλη ίδις φοράς ισώσεις όι όµως ι τις φιρέσουµε 6.,, γ, δ θετιοί πργµτιοί : < ι γ<δ τότε γ< δ 7., θετιοί πργµτιοί : < > 8. > > ι < < 9., θετιοί πργµτιοί :., R : < + < < +. R, θετιό έριο ισύει ΙΣΤΗΜΤ <. [, ]. [, ) < 3. (, ] < 4. (, ) < < 5. (, a] a 6. (, a) < a 7. [, + ) a 8. (, + ) > a Ορισµός ΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ < >.. 3. 4. 5. ψ ψ 6., ψ ψ ψ 7. ψ ± ψ + ψ 8. ψ ψ ή -ψ 9. θ θετιός θ θ ή -θ. θ θετιός θ θ θ. θ θετιός θ θ ή θ. Ορισµός : Ορισµός : ΡΙΖΕΣ ι θετιός έριος : ψ ψ > ι θετιός έριος :. ι θετιός έριος : ( ). ι, θετιός έριος : ( ) 3.,ψ ι θετιός έριος : ψ ψ
4.,ψ> ι θετιός έριος : ψ 5., ψ ι θετιός έριος : ψ ψ µ 6. µ ι, θετιός έριος :, 7., ψ ι θετιός έριος : ψ ψ 8. θετιός έριος : 9. πρστάσεις συζυγείς - +ψ ψ ψ + ψ + ψ ψ ψ + ψ + 3 ψ 3 3 3 3 ψ + ψ 3 ψ 3 3 3 3 + ψ + ψ < τοτε - - + τοτε > τοτε. Η εξισωση < τοτε δυτη τοτε - > τοτε. ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΣΤΟ R Z, + +. θετιός έριος, 3. θετιός έριος, ± 4. ± γ ± γ 5. ι λ λ λ 6. ι λ λ λ 7. ι γ δ ± γ ± δ 8. ι γ δ γ δ 9. ι γ δ γ δ. γ ω ή ή γ ή...ω. + + γ +...ω γ... ω θετιός έριος. + + γ +...ω γ... ω 3. + + +... ω γ... ω θετιός έριος γ 3 ψ
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΘΜΟΥ Είι µορφής ψ+ ι γεωµετριώς εφράζου ευθεί - + τότε δύτη τότε όριστη ΤΡΙΩΝΥΜΟ ΕΞΙΣΩΣΗ ΟΥ ΒΘΜΟΥ Το τριώυµο είι άθε πράστση µορφής f() ++γ µε Η τίστοιη εξίσωση ου θµού είι η ++γ µε Η διρίουσ είι η -4γ ι µς επιτρέπει διρίουµε τ πράτω - ετερόσηµο F() Οµόσηµο του του + Οµόσηµο του - ± ) το f() ι η εξίσωση έου πργµτιές ρίζες τις, ) > ) το f() πργοτοποιείτι µε f() ( - )( - ) γ) γωρίζουµε το πρόσηµο του f() γι τις διάφορες τιµές του - το f() ι η εξίσωση έου πργµτιές ίσες ρίζες τις, ) ) ) το f() πργοτοποιείτι µε f() γ) γωρίζουµε το πρόσηµο του f() ( - )( - ) ( - γι τις διάφορες τιµές του ) F() - Οµόσηµο του οµόσηµο του + )το f() ι η εξί σωσ η δε έ ο υ πρ γµ τι ές ρί ζες 3) < )το f() δε πρ γο το π οι εί τι γ) το πρόσ ηµο του f() εί ι πά το τε οµόσ ηµο το υ ι ρ,ρ οι ρίζες του τριωύµου ++γ τότε Η εξίσωση µε ρίζες ρ,ρ είι η : S + P S ρ + ρ ι P ρ ρ γ 4
ΕΞΙΣΩΣΗ 3 ΟΥ ΒΘΜΟΥ ΚΙ ΠΝΩ Όλ στο πρωτο µέλος ι πργοτοποίηση οιός πράγοτς,τυτότητες, οµδοποίηση, σήµ Horner ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΛΣΜΤΙΚΗ Όλ στο πρωτο µέλος,οµώυµ (Ε.Κ.Π-πελάι),περιορισµούς (Ε.Κ.Π ), πλείφουµε το προοµστή ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΕ ΡΙΖΙΚ f ( ) f ( ) g ( ) g ( ) f ( ) g ( ) ΝΙΣΩΣΕΙΣ > > -. ου θµού : + > µε + > < < -. ου θµού : ++γ> µε Εφρµόζουµε το πρόσηµο τριωύµου 3. 3 ου θµού ι πάω : ηµιουργούµε πράστση της µορφής ( )( )( 3 3 )...( ) > Με,,, 3,... θετιούς πργµτιούς. Τοποθετούµε σε άξο τις ρίζες ρ, ρ, ρ 3,...,ρ άθε πράγοτ τά σειρά µµεγέθους. Το πρόσηµο στο τελευτίο διάστηµ ( ρ, + ) είι (+) ι στ υπόλοιπ ελλάξ.( συτήσουµε διπλή ρίζ δε λλάζει το πρόσηµο δηλ. άθε πράγοτς της µορφής ( + ) Ν* δε επηρεάζει το πρόσηµο της ίσωσης).το πρόσηµο τω πργότω µορφής ( + ) + είι ίδιο µε το πρόσηµο του ( + ). 4.λσµτιή ίσωση : Όλ στο πρώτο µέλος,οµώυµ οπότε πίρουµε τη µορφή f() g() f() g() µε g() 5. ισώσεις µε ριζιά : f ( ) f ( ) < g( ) g( ) f ( ) < g ( ) ΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΤΟΣ ΜΕ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Γι το σύστηµ (Σ) : + ψ ε που γεωµετριά εφράζει δυο ευθείες γ+ δψ ζ a Ορίζουµε ως ορίζουσ του συστήµτος το ριθµό D Σ δ γ γ δ Ορίζουµε ως ορίζουσ που τιστοιεί στο άγωστο τη D ε εδ ζ ζ δ Ορίζουµε ως ορίζουσ που τιστοιεί στο άγωστο ψ τη D ψ ε ζ γε γ ζ 5
i) D Σ Τότε ι µόο τότε το (Σ) έει µοδιή λύση τη D D ψ, ψ DΣ D οπότε Σ οι ευθείες τέµοτι σε έ µόο σηµείο ii) D Σ Τότε το (Σ) είι δύτο ή έει άπειρες λύσεις (υτό το διπιστώουµε λύοτς το (Σ) µε άλλη µέθοδο) το (Σ) είι δύτο τότε οι ευθείες είι πράλληλες το (Σ) είι όριστο τότε οι ευθείες τυτίζοτι ΠΟΛΥΩΝΥΜ Πολυώυµο λέγετι άθε πράστση µορφής 3 Ρ ( ) + + + +... + + µε 3,,,... πργµτιούς ριθµούς ι θετιό έριο.το Ρ() είι το στθερό πολυώυµο ι το Ρ() είι το µηδειό πολυώυµο Βθµό εός πολυωύµου λέγετι η µεγλύτερη δύµη του του όρου που έει συτελεστή Γι το µηδειό πολυώυµο δε ορίζετι θµός ύο πολυώυµ είι ίσ ότ ) είι ίδιου θµού ι ) οι οµοιόθµοί συτελεστές 3 είι ίσοι δηλ. Ρ ( ) + + + +... + + ι 3 Q( ) + + + +... + + µε τότε 3 3 Ρ()Q() ότ ι ι ι 3 3 ι...ι ι + +... 3 Γι το πολυώυµο Ρ ( ) + + + 3 +... + + ριθµητιή τιµή του γι ρ είι ο ριθµός 3 Ρρ ( ) ρ + ρ + ρ + ρ +... + ρ + που ρίσουµε ότ στη 3 θέση του τιτστήσουµε το ρ το Ρ() το διιρέσουµε µε το δ() ρίσουµε το πηλίο Π() ι το υπόλοιπο Υ() ι ισύει η Ευλείδει τυτότητ της διίρεσης: Ρ()δ()Π()+Υ(),µε θµό(υ())<θµό δ() έ πολυώυµο το διιρέσουµε µε το -ρ (πρώτου θµού)τότε το υπόλοιπο είι ριθµός ο ΥΡ(ρ) Ές ριθµός ρ είι ρίζ του Ρ() Ρ(ρ) το -ρ είι πράγοτς του Ρ() το Ρ() πργοτοποιείτι ως Ρ()(-ρ) Π(),όπου το Π() το πηλίο της διίρεσης του Ρ() δι (-ρ),το οποίο ρίσουµε είτε άοτς τη διίρεση είτε µε το σήµ Horner µε το ριθµό ρ. Σήµ horner γι το Ρ() 3 5 +3 4 +6-3 δι του - 3 3 6-3 ρ 3 6 9 8 8 36 36 7 78 56 3 9 8 36 78 43Υ Οπότε 3 5 +3 4 +6-3 (-)(3 4 +9 3 +8 +36+78)+43 3 Το πολυώυµο Ρ ( ) + + + +... + + 3 µε,,,... ερίους ριθµούς ι θετιό έριο έει το έριο ρ ρίζ του τότε το ρ είι διιρέτης του Ρ () Ρ () Ρ 3 ()... Ρ () (Ρ () ή Ρ () ή Ρ 3 () ή...ή Ρ () ) 6
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ ΟΞΕΙΣ ΓΩΝΙΣ Γ πέτι άθετη Γ ημω υποτεί ουσ ΒΓ προσείμεη άθετη Β συω υποτείουσ ΒΓ πέτι θετη Γ εφω προσεί μεη άθετη Β ω προσεί μεη άθετη Β Β σφω A πέτι άθετη Γ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΡΤΗΣΕΙΣ Τ ηµ τετγµέη του Μ ΟΗ συ τετµηµέη του Μ ΟΣ σφ εφ Τ σφ ΒΡ συ ηµ (-,) Β(, Η Μ ηµ Ο συ Σ Ρ εφ εφ ηµ + συ ηµ συ σφ συ ηµ Β (,-) ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΥΝΡΤΗΣΕΩΝ π, (+)π π ηµ> συ< εφ< σφ< ηµ< συ< εφ> σφ> 3π ηµ> συ> εφ> σφ> ηµ< συ> εφ<, π ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΒΣΙΚΩΝ ΓΩΝΙΩΝ ηµ συ εφ σφ - π 3 3 3 6 3 π 4 π 3 3 3 3 3 π - π - - 7
3π - - ΝΓΩΓΗ ΣΤΟ Ο ΤΕΤΡΤΗΜΟΡΙΟ συ(-)συ ηµ(-) -ηµ εφ(-) -εφ σφ(-) -σφ συ(π/-)ηµ ηµ(π/-)συ εφ(π/-)σφ σφ(π/-)εφ συ(π-)-συ ηµ(π-)ηµ εφ(π-)-εφ σφ(π-)-σφ συ(π+)-συ ηµ(π+)-ηµ εφ(π+)εφ σφ(π+)σφ συ(3π/-) - ηµ ηµ(3π/-) - συ εφ(3π/-)σφ σφ(3π/-)εφ συ(3π/+)ηµ ηµ(3π/+) - συ εφ(3π/+) - σφ σφ(3π/+) - εφ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΡΤΗΣΕΙΣ f()ηµ, R ηµ [, ],είι περιοδιή µε περίοδο Τπ(rad) ι περιττή f()συ, R συ [, ],είι περιοδιή µε περίοδο Τπ(rad) ι άρτι π f()εφ, R- {π + }, Ζ εφ R,είι περιοδιή µε περίοδο Τπ(rad)ι περιττή f()σφ, R- {π} Ζ σφ R,είι περιοδιή µε περίοδο Τπ(rad) ι περιττή 8
εφ σφ ΒΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ π + ηµ ηµ, Ζ π + π π + συ συ, Ζ π π εφ εφ π +, π +, Ζ σφ σφ π +, π, Ζ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΘΡΟΙΣΜΤΟΣ συ(+)συ συ-ηµ ηµ συ(-)συ συ+ηµ ηµ ηµ(+)ηµ συ+ ηµ συ ηµ(-)ηµ συ- ηµ συ εφ + εφ εφ εφ εφ ( + ) εφ ( ) εφεφ + εφεφ σφσφ σφσφ + σφ ( + ) σφ ( ) σφ + σφ σφ σφ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΤΟΞΟΥ ΣΤΟ ΜΙΣΟ ΤΟΥ ηµηµ συ συσυ -ηµ -ηµ συ - εφ σφ εφ σφ εφ σφ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΤΟΞΟΥ ΣΤΟ ΙΠΛΣΙΟ ΤΟΥ (ΠΟΤΕΤΡΓΩΝΟΠΟΙΗΣΗ) συ + συ ηµ συ συ + συ εφ σφ + συ συ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΠΡΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ( ΕΚΤΟΣ ΥΛΗΣ) + + ηµ + ηµ ηµ συ ηµ ηµ ηµ συ + + συ + συ συ συ συ συ ηµ ηµ 9
ΠΡΟΟ ΟΙ ΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΟΡΙΣΜΟΣ ω + ΓΕΝΙΚΟΣ ΟΡΟΣ + ( ) ω,,γ διδοιοί όροι +γ + γ Ο λέγετι ριθµητιός µέσος ΘΡΟΙΣΜ ΠΡΩΤΩΝ ΟΡΩΝ + + ( ) ω S ΓΡΦΗ ΠΕΡΙΤΤΟΥ ΠΛΗΘΟΥΣ.Ο.Π...-3ω, -ω, -ω,, +ω, +ω, +3ω,... ΓΡΦΗ ΡΤΙΟΥ ΠΛΗΘΟΥΣ.Ο.Π...-5ω, -3ω, -ω, +ω, +3ω, +5ω,... ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΡΙΣΜΟΣ + λ, λ ΓΕΝΙΚΟΣ ΟΡΟΣ λ,,γ διδοιοί όροι γ Ο γ λέγετι γεωµετριός µέσος ΘΡΟΙΣΜ ΠΡΩΤΩΝ ΟΡΩΝ, λ S ( λ ), λ λ ΓΡΦΗ ΠΕΡΙΤΤΟΥ ΠΛΗΘΟΥΣ.Ο Γ.Π 3...,,,, λ, λ, λ,... 3 λ λ λ ΓΡΦΗ ΡΤΙΟΥ ΠΛΗΘΟΥΣ.Ο Γ.Π 3 5...,,, λ, λ, λ,... 5 3 λ λ λ
ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΡΤΗΣΗ f(),<. Έει πεδίο ορισµού το R. Έει σύολο τιµώ το (,+ ) 3. Είι - δηλ.γι άθε, R µε 4. Είι ή < < είι γησίως φθίουσ δηλ < ( R ) > > είι γησίως ύξουσ δηλ < ( R ) < ΛΟΓΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΡΤΗΣΗ f()log µε < ι > Ορισµός : log ψ ψ. Έει πεδίο ορισµού το (,+ ). Έει σύολο τιµώ το R 3. Είι - δηλ. Γι άθε, (, + ) µε loga loga ή loga loga < < είι γησίως φθίουσ δηλ < ( (, + )) loga > loga 4. Είι > είι γησίως ύξουσ δηλ < ( (, + )) loga < loga Με > ι ψ> ισύει loga 5. log a 6. log a 7. log a 8., > 9. log a ( ψ ) log a + log aψ. loga ( ) loga logaψ. log ψ a ψ loga ψ
Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΙΝΥΣΜΤ ΟΜΟΡΡΟΠ ( ) ΝΤΙΡΡΟΠ( ) ΙΣΟΤΗΤ ΙΝΥΣΜΤΩΝ. υο διύσµτ είι ίσ ότ είι οµόρροπ ι έου ίσ µέτρ. ι AΒΓ 3 4 4 A ι Β έου οιό µέσο Β Γ είι πρλληλόγρµµο 4 3 Γ 3 3. Β Γ Β Γ 4. Β Γ Γ Β 5. Β 3 4 4 3 3 4 3 4 Γ Β Γ ΝΤΙΘΕΤ ΙΝΥΣΜΤ υο διύσµτ είι τίθετ ότ είι τίρροπ ι έου ίσ µέτρ ι AB Γ AB Γ.Ισύει ότι AB Β Β 3 4 4 3 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΙΝΥΣΜΤΩΝ 6. Β +Γ Β Β Γ Γ 7. Β +ΒΓ Γ 8. AB + AΓ AΜ Μ µέσο του ΒΓ 9. AB AΓ ΓΒ. AB ΓΒ Γ. + +. ( + ) + γ + ( + γ ) + + γ 3. + + 4. + ( ) 5. + γ + γ 6. + 7. + 8. ( + ) 9. + +. + +, οµόρροπ. +, τίρροπ
ΠΟΛΛΠΛΣΙΣΜΟΣ ΡΙΘΜΟΥ λ ΕΠΙ ΙΝΥΣΜ Γι ι λ το λ µε λ λ Είι ι λ λ< τότε λ ι λ> τότε λ. λ 3. λ ( ± ) λ ± λ 4. ( λ ± µ ) λ ± µ 5. ( λµ ) ( µλ) µ ( λ) 6. λ λ ή 7. ( λ ) ( λ ) λ( ) 8. λ λ ι λ 9. λ µ ι λ µ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΡΛΛΗΛΙΣ υπάρει λ > ώστε λ ι υπάρει λ < ώστε λ υπάρει λ ώστε ΠΡΤΗΡΗΣΗ 3., όι συγγρµµιά ι λ +µ τότε λµ 3. AB+ΒΓ+Γ τότε Β, ΒΓ, Γ 3. ύο σηµεί,β συµπίπτου ότ Ο ΟΒ ή Β σηµτίζου τρίγωο ή είι συγγρµµιά 33. Τρί σηµεί, Β,Γ είι συευθειά ότ Β, ΒΓ είι συγγρµµιά (πράλληλ) δηλ Β λ ΒΓ,λ R ΣΥΝΤΕΤΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο Το ορθοοιό σύστηµ συτετγµέω (Ο, i, j ) είι δυο άθετες ευθείες (οριζότιος άξος ι τόρυφος άξος ψ ψ) µε ρή Ο, στους οποίους θεωρούµε τ µοδιί διύσµτ i, j µε i, j. Γι άθε διάυσµ του επιπέδου που ορίζου οι άξοες υπάρου πάω στους άξοες µοδιοί ριθµοί,ψ R ώστε λέγοτι συτετγµέες του ι γράφουµε (, ψ) i + ψ j ι ψ j i r Έστω (,ψ ) ι (,ψ ) Τότε 3
34. ψ ψ 35. + 36. + ( +,ψ + ψ ) 37. Με λ R τότε λ λ(,ψ )(λ,λψ ) 38. (,ψ ), Β ( Β,ψ Β ) τότε i) Ο (,ψ ) ι ΟΒ ( Β,ψ Β ) ii) Β( Β -,ψ Β -ψ ) iii) Β + ψ ψ ) ( Β ) ( Β + Β ψ+ ψβ + Β ψ+ ψβ iv) Μ µέσο του Β τότε Μ (, ) ι ΟΜ (, ) ΠΡΛΛΗΛ ΙΝΥΣΜΤ Έστω (,ψ ) ι (,ψ ) τότε ψ 39. πράλληλο ψ ψ ψ ψ - ψ, τότε ψ 4. το λ οοµάζετι συτελεστής διεύθυσης του οπότε άθετο στο τότε δε ορίζετι συτελεστής διεύθυσης του ψ τότε πράλληλο ι ο συτελεστής διεύθυσης είι λ πράλληλο ι, τότε λ λ ΝΛΥΣΗ ΙΝΥΣΜΤΟΣ v ΣΕ ΥΟ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ ψ, Σηµίει ότι ψάουµε λ,µ R ώστε v λ + µ vλ+µ ( v, ψ v ) (λ + µ,λψ + µ ψ ) ψ λψ + µ ψ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΟΡΙΣΜΟΣ a a ). συ ( a, ) ψ v (,ψ ) ι,ψ ) τότε ( a + ι συ ( a, ) ψ ψ ). a + ψψ + ψ + ψ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ.. ( λ ) λ( ) ( λ ) 3. ( + γ) + γ 4
4. Προσοή δε ορίζοτι δυάµεις µε µεγλύτερο εθέτη 5. ή ή 6. γ γ. Προσοή γ γ µόο όι άθετο στο γ ι γ 7. 8. 9. ισύου οι γωστές τετργωιές τυτότητες ) ( ± ) ± + ) ( + )( ) γ) ( + + γ ) + + γ + + γ + γ. Προσοή ΕΝ ισύει η προσετιριστιή ιδιότητ δηλ. ( ) γ ( γ ). Προσοή ( ) είι ( ) µόο // ΚΘΕΤ ΙΝΥΣΜΤ (,ψ ) ι (,ψ ) Τότε + ψ ψ λ λ, ΠΡΟΒΟΛΗ ΙΝΥΣΜΤΟΣ ΣΕ ΙΝΥΣΜ Ισύει ( προ ) ( προ ) προ προ προ 5
ΕΥΘΕΙ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΥΘΕΙΣ ( λ) π π. λ εφω,ω ω τότε (ε) ι δε ορίζετι συτελεστής διεύθυσης ψ Β - ψ ψ - ψ Β. (,ψ ),Β( Β,ψ Β) ι Β τότε λ Β - - 3. Β ( ε ) //( ε ) λ λ τότε ευθεί Β ι δε ορίζετι ο συτελεστής διεύθυσης ε ε 4. ε ) ( ε ) λ ε λ ( ε 5. η ευθεί έει εξίσωση ψ + τότε λ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΣ. Με γωστό το λ ι έ σηµείο (,ψ ) τότε η εξίσωση είι : ψ-ψ λ(- ). Με γωστά δύο σηµεί (,ψ ) ι Β( Β,ψ Β ) i. Β τότε λ Β ψ Β Β - ψ - ι η εξίσωση Β είι : ψ - ψ Β λ Β Β ( ) ή ψ - ψ Β λβ( Β) ii. Β τότε η εξίσωση Β είι : ι είι άθετη στο iii) ψ ψ Β ι τότε η εξίσωση Β είι : ψψ ι είι πράλληλη στο Β 6
ΓΕΝΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΣ +Βψ+Γ µε A ή Β Η ευθεί +Βψ+Γ είι ΠΡΛΛΗΛΗ στο διάυσµ u ( B, A) Η ευθεί +Βψ+Γ είι ΚΘΕΤΗ στο διάυσµ V ( A, B) ΟΞΕΙ ΓΩΝΙ ΕΥΘΕΙΩΝ (ε ): +Β ψ+γ (// u B, ))ι (ε ): +Β ψ+γ (// u B, ) ). ( A u Τότε γι τη οξεί γωί φ τω (ε ), (ε ) ισύει συφ u u u ( A ΠΟΣΤΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ Μ( Μ,ψ Μ ) ΠΟ ΕΥΘΕΙ (ε):+βψ+γ Μ +Βψ Μ +Γ d ( M,( ε )) +Β ΕΜΒ ΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΒΓ ΜΕ (,ψ ), Β( Β,ψ Β ) Γ( Γ,ψ Γ ) B A ψ B ψ A (ΒΓ) det(ab,aγ) ( B A )(ψ Γ ψ ψ ψ Γ A ΚΥΚΛΟΣ Γ A A ) (ψ B ψ A )( Γ A ) ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΥΚΛΟΥ (Κ,ρ) + ψ ρ Κ(,) ( - ) + ( ψ - ψ ) ρ Κ(,ψ ) ΕΦΠΤΟΜΕΝΗ (ε) ΚΥΚΛΟΥ (Κ,ρ) ΣΤΟ ΣΗΜΕΙΟ ΕΠΦΗΣ (,ψ ) A+ ψψ ρ Κ(,) ( - )( ) + (ψ - ψ )(ψ ψ ) ρ Κ(,ψ ) Γειά d(κ,(ε)) ρ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΚΥΚΛΟΥ +ψ ++Βψ+Γ ότ +Β A -4Γ> µε έτρο το K(, 7 B ) ι τί ρ +Β 4Γ
ΠΡΒΟΛΗ Είι ο γεωµετριός τόπος τω σηµείω Μ που ισπέου πό στθερή ευθεί (δ) (διευθετούσ )ι πό έ στθερό σηµείο Ε (εστί ) ΕΞΙΣΩΣΗ ΠΡΒΟΛΗΣ ρ ρ ψ ρ Ε ι Ε(,) ι (δ) : - ι έει άξο συµµετρίς το ρ ρ ρψ Ε ψ ψ ι Ε(, ) ι (δ) : ψ - ι έει άξο συµµετρίς το ψ ψ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΦΠΤΟΜΕΝΗΣ ΠΡΒΟΛΗΣ ΣΤΟ ΣΗΜΕΙΟ ΕΠΦΗΣ (,ψ ) ψψ ρ(+ ) ψ ρ ρ(ψ+ ψ ) ρψ 8
ΕΛΛΕΙΨΗ Είι ο γεωµετριός τόπος τω σηµείω Μ ώστε το άθροισµ τω ποστάσεω τους πό δυο στθερά σηµεί Ε, Ε (εστίες ) είι στθερό ι µεγλύτερο πό (Ε Ε)γ,δηλ.(ΜΕ )+(ΜΕ),>γ Εστιή πόστση:(ε Ε)γ.Μεγάλος άξος :( ). Μιρός άξος:(β Β) µε γ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΛΛΕΙΨΗΣ ψ + µε µε > ψ + µε ΕΚΚΕΝΤΡΟΤΗΤ ΕΛΛΕΙΨΗΣ γ ε, < ε< ι ισύει ε Ε (-γ,),ε(γ,), (-,),(,),Β (,-),Β(,) Ε (,-γ),ε(, γ), (,-),(,),Β (-,),Β(,) ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΦΠΤΟΜΕΝΗΣ ΕΛΛΕΙΨΗΣ ΣΤΟ ΣΗΜΕΙΟ ΕΠΦΗΣ (,ψ ) ψψ ψ + + µε > ψψ ψ + + πρτήρηση : Η έλλειψη έει άξοες συµµετρίς τους ι ψ ψ ι έτρο συµµετρίς το Ο(,) Οοµάζουµε διάµετρο της έλλειψης το ευθύγρµµο τµήµ ΟΒ µε,β σηµεί της έλλειψης 9
ΥΠΕΡΒΟΛΗ Είι ο γεωµετριός τόπος τω σηµείω Μ που η πόλυτη τιµή τω ποστάσεω τους πό δυο στθερά σηµεί Ε,Ε (εστίες ) είι στθερή ι µιρότερη πό (Ε Ε)γ,δηλ. (ΜΕ ) (ΜΕ) <γ Εστιή πόστση (Ε Ε)γ.πόστση ορυφώ ( ) ι γ ΕΞΙΣΩΣΗ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ ψ µε Ε (-γ,),ε(γ,), (-,),(,) ψ µε Ε (,-γ),ε(,γ), (,-),(,) ΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ ψ τότε σύµπτωτες είι οι ψ - ι ψ ψ τότε σύµπτωτες είι οι ψ - ι ψ ΕΚΚΕΝΤΡΟΤΗΤ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ γ ε, ε ι ισύει ε > ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΦΠΤΟΜΕΝΗΣ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ ΣΤΟ ΣΗΜΕΙΟ ΕΠΦΗΣ (,ψ ) ψψ ψ ψψ ψ πρτήρηση : Η υπερολή έει άξοες συµµετρίς τους ι ψ ψ ι έτρο συµµετρίς το Ο(,) Το ορθογώιο άσης σηµτίζετι ψ γι τη πο τις ευθείες, -,ψ,ψ - ψ γι τη πο τις ευθείες ψ,ψ -,, - ι οι διγώιες του δίου τις σύµπτωτες της υπερολής
ΘΕΩΡΙ ΡΙΘΜΩΝ ΜΘΗΜΤΙΚΗ ΕΠΓΩΓΗ θέλουµε ποδείξουµε µι πρότση ότι ισύει γι άθε θετιό έριο ριθµό (ή µε µ ) Τότε : )ποδειύουµε ότι η πρότση ισύει γι (ή µ) )Υποθέτοτς ότι ισύει γι τυίο 3)ποδειύουµε ότι ισύει γι + ΕΥΚΛΕΙ ΕΙ ΙΙΡΕΣΗ, έριοι µε,τότε υπάρου µοδιοί έριοι,υ ώστε + υ µε υ< Έτσι άθε έριος γράφετι διιρούµεος µε, ή + διιρούµεος µε 3, 3 ή 3+ ή 3+ διιρούµεος µε 4, 4 ή 4+ ή 4+ ή 4+ 3...... διιρούµεος µε, ή + ή + ή... + ΙΙΡΕΤΟΤΗΤ Ορισµός :, Z,µε,τότε ο διιρεί το ι συµολιά / ότ υπάρει Z ώστε Ιδιότητες. / τότε ± /±. ± / γι άθε Z 3. ± / γι άθε Z * 4. / γι άθε Z * 5. / λ/λ γι άθε λ Z * 6. / ι / τότε ή - 7. / ι /γ τότε /γ 8. / τότε /λ γι άθε λ Z 9. / ι /γ τότε /(+γ). / ι /γ τότε /(+λγ) γι άθε,λ Z. / µε Z * τότε Μ.Κ. -Ε.Κ.Π Ορισµός Μ.Κ. :. Z,µε έ τουλάιστο όι,τότε ο Μ.Κ. τω, είι ο (,) δ ώστε ) δ > ) δ > ) δ/ ι δ/ ή ) πολ.δ ι πολ.δ 3) / ι / τότε δ 3) πολ. ι πολ. τότε δ Ορισµός Ε.Κ.Π. Z *,τότε ο Ε.Κ.Π τω, είι ο [,] ε ώστε ) ε> ) ε> ) /ε ι /ε ή ) ε πολ. ι ε πολ. 3) / ι / τότε ε 3) πολ. ι πολ. τότε ε
ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΘΗΜΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΙΓ ΙΚΟΙ Ο z+i µε, R λέγετι µιγδιός το i είι η φτστιή µοάδ ι i - Το Re(z) ι λέγετι πργµτιό µέρος του Ζ, το Im(z) ι λέγετι φτστιό µέρος του Ζ 4 i + υάµεις του i : i - + -i +3 z + i ι z + i Τότε z +z + +( + )i z -z - +( - )i z z - +( + )i (z ) z z z z z z z... z, θετιός έριος ι z τότε z z + i ( + i)( i) + + i z + i ( + i)( i) + + z z ι Γεωµετριά ο z+i πριστάει το σηµείο (,) ή τη διυσµτιή uuur τί OA (, ) (,) Ο Γεωµετριά ο z +z + +( + )i πριστάει το σηµείο Μ( +, + ) ή τη διυσµτιή τί ΟΜ ( +, + ) σύµφω µε το ό πρ/µου Β(, ) Μ( +, + ) Ο (, ) Γεωµετριά ο z -z - +( - )i πριστάει το σηµείο Κ( -, - ) ή τη διυσµτιή τί ΟK, ) ή το διάυσµba ( Β(, Ο (, Κ( -, -
ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓ ΙΚΟΙ z+i µε, R τότε ο συζυγής του είι z -i µε, R Ιδιότητες συζυγώ. z z. z z + 3. z+z 4. z-zi 5. z R z z 6. z I z z 7. z + z +... + z z z... + + + 8. z z.. z z z.. 9. (z ) (z) z z.,z z z ΜΕΤΡΟ ΜΙΓ ΙΚΟΥ z+i µε, R,τότε µέτρο του z είι η πόστση του γεωµετριού του σηµείου uuuur πό το Ο(,) δηλ. z OΜ + Ιδιότητες µέτρου. z z z z. z z z z 3. z z z + z z + z 4. z z... z z z... 5. z z z,z z 6. z R z z z 7. z I z z z ΜΙΓ ΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΥΚΛΟΥ Η εξίσωση z z ρ> µε z,z C είι ύλος έτρου Κ( z ) τίς ρ z +i τότε η λυτιή εξίσωση του ύλου είι (-) +(ψ-) ρ ΜΙΓ ΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΕΣΟΚΘΕΤΟΥ Η εξίσωση z z z z µε z,z,z C είι µεσοάθετος του ευθυγράµµου τµήµτος Β µε (z ), B(z ) Γι ρούµε τη εξίσωση της µεσοθέτου θέτουµε z+ψi ι λύουµε τη εξίσωση ή Βρίσουµε το λ Β ι µετά το λ της µεσοθέτου πό το τύπο λ µεσο..λ Β -.Βρίσουµε A +Β ψ +ψ Β ι το µέσο Μ του Β,Μ(, ) οπότε η ευθεί της µεσοθέτου είι ψ-ψμ λ µεσο. (- Μ ). ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΜΙΓ ΙΚΟΥ z+i ( )µε, R, Τότε η µορφή του z ρ(συθ+i ηµθ),ρ> λέγετι τριγωοµετριή µορφή του z ι είι ρ τέτοι ώστε συθ Re(z) z ι ηµθ Im(z) z z + > ι θrg(z) (όρισµ του z) θ [,π] τότε λέγετι πρωτεύο όρισµ του z ι συµολίζετι µε θrg(z).η γωί θ είι η γωί που σηµτίζει η διυσµτιή τίoa του z µε το άξο ι άρ γεωµετριά δίει τη ηµιευθεί πάω στη οποί ρίσετι ο z Ο (,) θ 3
z ρ (συθ +i ηµθ ),ρ > ι z ρ (συθ +i ηµθ ),ρ > z ρ Τότε z z ρ ρ (συ(θ +θ )+ i ηµ(θ +θ ) ι ( συ( θ +θ ) + i ηµ ( θ +θ )) z ρ (z ) ρ ( συ(θ )+i ηµ(θ )) (τύπος de Moivre) ι ΣΥΝΡΤΗΣΗ (f):λέγετι άθε πειόιση σέση τύπος ώστε σε άθε έ Π.Ο f (πεδίο ορισµού της ) τιστοιίζετι πίρουµε έ µόο ψ Σ.Τ f (σύολο τιµώ της ) Π.Ο f R ι Σ.Τ f R τότε έουµε πργµτιές συρτήσεις πργµτιής µετλητής ) ΠΟ. f ΠΟ. g A Ισότητ συρτήσεω: fg ) A ισυει f() g() ) - Π.Ο f Άρτι συάρτηση:f άρτι ότ γι άθε Π.Ο f ισύει ) f(-)f() Π.Ο f ) - Π.Ο f Περιττή συάρτηση :f περιττή ότ γι άθε Π.Ο f ισύει ) f(-) -f() Π.Ο f Περιοδιή συάρτηση :f περιοδιή µε περίοδο Τ R* ότ γι άθε Π.Ο f ισύει ) +Τ Π.Ο f ) f(+τ) f() Π.Ο f Σύθεση συρτήσεω: γι τις f,g το σύολο A{ Π.Ο f ι f() Π.Ο g } τότε ορίζετι ιούρι συάρτηση η gof στο µε τύπο (gof)()g(f()) δηλ. στο τύπο της g όπου τιθιστούµε το τύπο της f Μοοτοί συρτήσεω η f είι γησίως ύξουσ ( )στο Π.Ο f, µε < έπετι f( ) < f() η f είι γησίως φθίουσ ( )στο Π.Ο f, µε < έπετι f( ) > f() Μοοτοί ι σύθεση : Έστω ότι ορίζετι η gof τότε : g,f γήσι µοότοες µε το ίδιο είδος µοοτοίς τότε ι η gof θ είι γησίως ύξουσ g,f γήσι µοότοες µε διφορετιό είδος µοοτοίς τότε ι η gof θ είι γησίως φθίουσ Συάρτηση -. είουµε ότι η f είι - µε έ πό τους πιο άτω τρόπους : i) ποδειύουµε ότι, Π.Ο f µε τότε f( ) f() ή ii) ποδειύουµε ότι, Π.Ο f µε f( ) f( ) έπετι ότι (Μόο) iii) ποδειύουµε ότι η f είι γήσι µοότοη Γρφιά η f είι - ότ ι µόο ότ οποιδήποτε οριζότι ευθεί τέµει τη γρφιή της πράστση το πολύ σε έ σηµείο. τίστροφη συάρτηση : f:a f() ι - τότε ορίζετι η τίστροφη της f η f - :f(a) R ι ισύει f - (ψ) f() f()ψ Γι ρούµε το τύπο της f - () λύουµε τη εξίσωση f()ψ ως προς ι στο τύπο που ρίσουµε τιθιστούµε το ψ µε το. Οι γρφιές πρστάσεις τω f,f - είι συµµετριές ως προς τη ευθεί y. 4
η f : A f() είι - τότε ΟΡΙ ΣΥΝΡΤΗΣΕΩΝ Βσιά όρι :. lim,. lim 3. lim f (f ()), A - f(f ()) f() 4. lim + + 5. lim + 6. lim + ± 7. lim ± 8. lim lim ηµ ηµ 9. συ συ. ηµ συ. limεφ εφ lim. lim π π+ limσφ σφ 4. lim e e 5. π lim ln ln 6. > lim e 7. lim e + + 8. lim ln Ιδιότητες ορίω (στ πράτω το R U {, + } ). lim f () lim f () lim f () + ( a, ) U (,. f() g() ) ι l i m g ( ) τότε lim f () 3. lim f () λ τότε σε άποιο ( a, ) U (, ) οι τιµές της f() είι οµόσηµες του λ. a, ) U (, ) ( 4. lim g() λ R ι lim f () R τότε ισύου i. lim ρ iv. f () lim g() lim g() f () ρ ii. lim (f () + g()) λ+ iii. lim (f () g()) λ λ v. ( lim f ()), Ν vi. lim f (), Ν,f () vii. lim f () 5. Κριτήριο πρεµολής : h() f () g(), (, ) U (, ) ι τότε lim f () λ lim h() lim g() λ 6. Όριο σύθετης συάρτησης : ορίζετι η fοg ι lim g() λ ι g() λ οτ στο ι lim f () k τοτε lim f (g()) g() u lim f (u) k λ u λ Με R U{, + } ισύου 7. lim f () + lim ( f ()) 8. lim f () + η ( ) lim f () + 9. lim f () + τοτε lim f () +. lim f () + η ( ) lim f () 5
lim f (). ι τοτε lim + f () f () > (, ) U (, ) lim f (). ι τοτε lim f () f () < (, ) U (, ) Ποιο γειά, γι τ άπειρ όρι ισύου τ πράτω Πίς ( ΘΡΟΙΣΜΤΟΣ ) lim f () λ R λ R + + Κι lim g() + + + Τότε lim (f () + g()) + + ; ; Πίς ( ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ lim f () λ * R + λ λ λ + + * R * R + Κι lim g() + + + + + Τότε lim (f () g()) + + + + ; ; Πίς 3 (ΠΗΛΙΚΟΥ) * * * * lim f () λ R λ R λ R + λ R + λ R λ R + + ή ή ή ή + + Κι lim g() + + k> k< k> k< ι ι ι ι g()> g()< g()> g()< f () Τότε lim ( ) + + + + g() Κός de le Hopital ) * R lim f (), lim g(), R U{, + } ι υπάρει το ή άπειρο) τότε f () f () lim ( ) lim ( ) g() g () f () lim ( ) (πεπερσµέο g () ) lim f () + η (- ), lim g() + η(- ), R U{, + } ι υπάρει το f () lim ( ) (πεπερσµέο ή άπειρο) τότε g () f () f () lim ( ) lim ( ) g() g () 6
ΣΥΝΕΧΕΙ ΣΥΝΡΤΗΣΕΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ : Η συάρτηση f είι συεής στο Π.Ο f ότ + + lim f () f ( ) Η συάρτηση f δε είι συεής στο Π.Ο f ότ ) lim f () lim f () ή ) lim f () lim f () f ( ) ή 3) lim f () ± ή 4) lim f () ± f, g συεείς τότε :. λf συεής όπου f συεής. f ± g συεείς όπου f,g συεείς 3. f g συεείς όπου f,g συεείς f 4. g συεής όπου f,g συεείς ι {: g() 5. f συεής όπου f συεής 6. f συεής όπου f συεής ι f() Συέει σιώ συρτήσεω Οι πιο άτω συρτήσεις είι συεείς στο πεδίο ορισµού τους. I. f() + - - +... + + Ν *, i R, i,,,..., II. g() c, c R. III. p() ηµ IV. Q() συ V. Z() εφ VI. t() σφ VII. y(), < VIII.t() log, < IX. f συεής στο o ι g συεής στο f(o), τότε gof συεής στο o. Θ. BOLZANO f συεής στο [, ] ι f( ) f( ) < τότε υπάρει έ τουλάιστο ξ (, ) ώστε f(ξ ) ( ε ισύει το τίστροφο) ΠΡΤΗΡΗΣΕΙΣ ) f συεής στο [, ] ι f( ) f( ) τότε υπάρει έ τουλάιστο ξ [, ] ώστε f(ξ ) ) Γι δείξουµε ότι υπάρει έ τουλάιστο ξ (, ) ώστε f(ξ ) g(ξ ), ρεί η h() f() - g() ιοποιεί τις συθήες Bolzano στο [, ]. Θ. Εδιµέσω τιµώ f συεής στο [, ] ι f( ) f( ) τότε γι άθε άµεσ στ f(),f() υπάρει έ τουλάιστο ξ (, ) ώστε f(ξ) + 7
ΠΡΓΩΓΟΙ Ορισµός : f () f ( ) γι Π.Ο f το lim R τότε η f πργωγίζετι στο ι f () f ( ) f ( ) lim R ή f ( + h) f ( ) Γι h - o οπότε + h ι γι h τότε f ( ) lim h h ΠΙΝΚΣ ΒΣΙΚΩΝ ΠΡΓΩΓΩΝ f() Π.Ο.f Π.Ο.f f c R R R R Ν * R R - Ζ * R-{} R-{} - Q (,+ ) (,+ ) - [,+ ) (,+ ) R-{} R-{} ηµ R R συ συ R R - ηµ εφ π π R-{π+ } R-{π+ } συ σφ R-{π} R-{π} ηµ e R R e ln (,+ ) (,+ ) log (,+ ) (,+ ) ln > R R ln R ΚΝΟΝΕΣ ΠΡΓΩΓΙΣΗΣ Συάρτηση λ R,λf f+g f g f g πράγωγος λf f +g f g+f g f g - f g g 8
ΣΥΝΘΕΤΗ ΣΥΝΡΤΗΣΗ [f(g())] f (g()) g () Βσιή συάρτηση Σύθετη Πράγωγος σύθετης (f()) n n(f()) n- f () f() f () f() f() f () f () ηµ ηµf() συf() f () συ συf() - ηµf() f () e e f() e f() f () ln lnf() f () f() > f() f() ln f () Εξίσωση εφπτοµέης (ε ) της C f στο σηµείο A(, f( )) η f πργωγίζετι στο τότε η Εξίσωση εφπτοµέης (ε ) της C f σιο σηµείο A(, f( )) είι (ε) : y - f( ) f ( ) ( - ). ΒΣΙΚ ΘΕΩΡΗΜΤ ΠΡΟΤΣΕΙΣ. η f είι πργωγίσιµη στο τότε είι ι συεής στο ΠΡΟΣΟΧΗ: ε ισύει το τίστροφο π. η f() είι συεής στο λλά όι πργωγίσιµη στο. Θεώρηµ FERMAT i. f ορισµέη σε διάστηµ ι ii. f πργωγίσιµη σε εσωτεριό σηµείο του ι iii. η f προυσιάζει τοπιό ρόττο στο. τότε f ( ) 3. Θεώρηµ ROLLE i. f συεής σε λειστό διάστηµ [,] ι ii. f πργωγίσιµη στο οιτό διάστηµ (,) (τουλάιστο) ι iii. f( ) f( ) Τότε υπάρει έ τουλάιστο ξ (, ) ώστε f (ξ ) Γεωµετριή ερµηεί Θεωρήµτος ROLLE ισύου οι προϋποθέσεις του θεωρήµτος Rolle τότε υπάρει έ τουλάιστο σηµείο της C f, (ξ,f(ξ)) µε ξ (,) ώστε η εφπτόµεη στη C f στο (ξ,f(ξ)) είι πράλληλη στο άξο. 4. Θ.Μ.Τ (Lagrange) i. f συεής σε λειστό διάστηµ [,] ι ii. f πργωγίσιµη στο οιτό διάστηµ (,) (τουλάιστο) Τότε υπάρει έ τουλάιστο ξ (, ) ώστε f (ξ ) f ( ) f ( ) 9
Γεωµετριή ερµηεί Θ.Μ.Τ ισύου οι προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ τότε υπάρει έ τουλάιστο σηµείο της C f, (ξ,f(ξ)) µε ξ (,) ώστε η εφπτόµεη στη C f στο (ξ,f(ξ)) είι πράλληλη στη ορδή Β µε (,f()) ι Β(,f()). 5. f συεής στο διάστηµ ι γι άθε εσωτεριό σηµείο του είι f () τότε η f είι στθερή στο 6. f,g συεείς στο διάστηµ ι f () g () γι άθε εσωτεριό του τότε υπάρει στθερά c R ώστε f() g() + c γι άθε. 7. Έστω f, συεής στο [, ] τότε : f () > (, ) τότε f γησίως ύξουσ στο [, ] ή f () < (, ) τότε f γησίως φθίουσ στο [, ] 8. Έστω f πργωγίσιµη στο (, )U (,) ι συεής στο τότε : i. {f ()< (, ) ι f ()> (, ) }τότε η f προυσιάζει τοπιό ελάιστο στο το f( ) ii. {f ()> (, ) ι f ()< (, ) }τότε η f προυσιάζει τοπιό µέγιστο στο το f( ) iii. {f ()< (, ) ι f ()< (, ) }τότε η f είι γησίως φθίουσ σε όλο το (,) ι δε έει ρόττο στο iv. {f ()> (, ) ι f ()> (, ) }τότε η f είι γησίως ύξουσ σε όλο το (,) ι δε έει ρόττο στο ΣΧΟΛΙΟ ζητούµε τ ρόττ (ολιά ή τοπιά ) µις συάρτησης στο διάστηµ ) Στ εσωτεριά σηµεί του στ οποί η f () µηδείζετι ) Στ εσωτεριά σηµεί του στ οποί η f () δε ορίζετι 3)Στ λειστά άρ του ( ήου στο πεδίο ορισµού της ) 9. ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΟΙΛΩΝ η συάρτηση f είι συεής σε διάστηµ ι πργωγίσιµη στο εσωτεριό του τότε i) η f στρέφει τ οίλ άω (υρτή) στο, η f είι γησίως ύξουσ στο εσωτεριό του ii) η f στρέφει τ οίλ άτω (οίλη) στο, η f είι γησίως φθίουσ στο εσωτεριό του. Θεώρηµ οίλω Έστω f συεής στο διάστηµ ι δύο φορές πργωγίσιµη στο εσωτεριό του Τότε : (i) f () > γι άθε εσωτεριό του τότε η f στρέφει τ οίλ άω στο (ii) () < γι άθε εσωτεριό του τότε η f στρέφει τ οίλ άτω στο 3
ΣΗΜΕΙΟ ΚΜΠΗΣ η συάρτηση f i) έει εφπτόµεη στο ι ii) λλάζει οίλ ετέρωθε του τότε το σηµείο (,f( ))λέγετι σηµείο µπής της C f. Θεώρηµ το (,f( )) είι σηµείο µπής της C f ι η f είι δυο φορές πργωγίσιµη στο,τότε f ( ). ΣΥΜΠΤΩΤΕΣ i). Κτόρυφη σύµπτωτη : Έστω σηµείο συέεις ή οιτό άρο του Π.Ο f ι έ τουλάιστο πό τ lim f (), lim f () είι + ή -. Τότε η είι τόρυφη σύµπτωτη της C f + ii). Οριζότι - πλάγι σύµπτωτη Η ευθεί y +,, R είι σύµπτωτη της C f στο -,(+ )ότ : lim [f() - ( + )].,( + ) iii)θεώρηµ: η ευθεί y + είι σύµπτωτη της C f στο -,(+ ) τότε f () lim ι lim (f () ),( + ),( + ) ΟΡΙΣΜΟΣ ΡΧΙΚΗΣ ΣΥΝΡΤΗΣΗΣ ΠΡΓΟΥΣΣ ΤΗΣ f η συάρτηση f είι ορισµέη στο διάστηµ,τότε ριή της ή πράγουσά της οοµάζουµε τη F,που είι πργωγίσιµή στο ι ισύει F ()f(),γι άθε Θεώρηµ : η συάρτηση f είι ορισµέη στο διάστηµ ι F µι ριή της στο,τότε έει άπειρες ριές ι είι όλες της µορφής F()+c, c R. ΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜ ΤΗΣ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΡΤΗΣΗΣ f οοµάζουµε το σύολο όλω τω πείρω ριώ της f ι συµολίζετι µε f ()d, δηλ. F µι ριή της f στο τότε f ()d F() +c, c R. ΠΙΝΚΣ ΟΡΙΣΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΤΩΝ d c ηµ d συ + c εφ d ln συ + c d + c συ dηµ + c σφ d ln ηµ + c d + c d c εφ + συ ln d ln + c f '() d ln + c d σφ + c d ln f () c ηµ + f() + + d + c, - 3 d + c 3 e d e + c d + c ln f '()g()-f()g '() g () f () d + c g() (f ' ()g()+f()g ' ()) d f ()g() + c 3
Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΣΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΤΟΣ. (f () + g())d f ()d + g()d. λ f ()dλ f ()d, λ R-{} ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΚΤ ΠΡΓΟΝΤΕΣ Γι συρτήσεις f, g µε συεείς πργώγους σε διάστηµ ισύει : f ()g ' () d f ()g() f ' ()g() d Έτσι P() πολυώυµο τότε e e e i) P()e d P()( )'d P()( ) P'()( )d συ συ συ ii) P() ηµ ( ) d P()( )'d P()( ) P'()( )d ηµ ηµ ηµ iii) P() συ( ) d P()( )'d P()( ) P'()( )d iv) ( ) ( ) ( ) P()ln( ) d P() 'ln( )d P() 'ln( ) P() d e e e v) I() ηµ ( )e d ηµ ( )( )'d ηµ ( )( ) ( ηµ ( )'( )d... ι λύουµε ως εξίσωση του I(). e e e vi) I() συ( )e d συ( )( )'d συ( )( ) ( συ( )'( )d... λύουµε ως εξίσωση του I(). ι ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΝΤΙΚΤΣΤΣΗ g() u f(g())g'()d g'()d du f(u)du ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΚΛΣΜΤΟΣ ο θµός του ριθµητή f() είι του θµού προοµστή g() τότε άουµε διίρεση οπότε πό τη Ευλείδει διίρεση f()g()π()+y() ι f () Y() d Π ()d+ d g() g() Y() +λ µε -4γ> ι, οι ρίζες του τριωύµου, ρίσουµε,β ώστε g() + +γ Y() +λ B ( + ) οπότε g() + +γ +λ A Β d ( + )d ( ln + Bln ) + c + +γ, 3
ΟΡΙΣΜΟΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΤΟΣ η f είι συεής στο [,] θεωρούµε διµέριση του [,] < < <...< - < <...< (δηλ. ωρίζουµε το [,] σε ισοµήη υποδιστήµτ ) µε µήος το θέ - -. Στο άθε διάστηµ [ -, ]πίρουµε άποιο ξ.τότε το ορισµέο ολολήρωµ της f στο [,] είι ο ριθµός f ()d lim f ( ) + ξ i η f είι συεής στο διάστηµ [,] ι f() γι άθε [,] τότε το f ()d lim f ( ) + ξ Ε(Ω) i δηλ. είι το εµδό του ωρίου που περιλείετι πο τη C f,το,τις τόρυφες ευθείες ι. Προφώς f συεής στο [,] ι f() γι άθε [,] ι η f δε είι µηδέ σε όλο το [,], τότε f ()d> Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΤΟΣ f, g συεείς τότε. f ()d. f ()d f ()d 3. λ f ()dλ f ()d 4. (f () + g())d f ()d+ g()d ι γειά ( λ f () + g())dλ f ()d+ g()d λ, R 5. η f είι συεής στο διάστηµ στο διάστηµ ι,,γ,δ,ε,...ω τότε ισύει γ δ f ()d f ()d+ f ()d +... f ()d γ ω ΘΕΩΡΗΜ Έστω f ορισµέη ι συεής σε διάστηµ ι τότε η συάρτηση ' g(t)dt f () g(t)dt, είι µι πράγουσ της g,οπότε g() γι a h() ' Γειότερ στο πεδίο ορισµού της ισύει g(t)dt g(h()) h ' () 33
ΒΣΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜ Έστω F µι πράγουσ της συεούς στο [,] συάρτησης f. Τότε f ()d [F()] F( ) F( ) [ f ()d] ΤΥΠΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ ΚΤ ΠΡΓΟΝΤΕΣ στο ορισµέο ολολήρωµ Γι συρτήσεις f, g µε συεείς πργώγους στο [, ] ισύει : f '()g()d [f ()g()] f ()g '()d ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΝΤΙΚΤΣΤΣΗ στο ορισµέο ολολήρωµ f, g συεείς συρτήσεις τότε ΠΡΤΗΡΗΣΗ Ισύου τ εξής. ( f()d ) f(). f '()d f () +c ' 3. f ()d 4. f '()d f ( ) f ( ) 5. f ()d f (t)dt f (u)du [F( ) F( )] g( ) g() u g'()d du f (g())g '()d όπου F ριή της f όπου F ριή της f 6. f ()d f (t)dt f (u)du [F( ) F( )] g( ) f (u)du ΕΜΒ ΟΝ ΧΩΡΙΟΥ. Το εµδό ωρίου που περιλείετι πό τη C f,c g,τις τόρυφες ευθείες ι µε < δηλ Ε Cf, Cg,, f() g() d ι ρίσουµε το πρόσηµο της f()-g() στο[,] ι υπολογίζουµε το ολολήρωµ Πρτήρηση : i) Ο άξος είι συάρτηση η g() ii) Ο άξος ψ ψ είι τόρυφη ευθεί ι άρ όι συάρτηση λλά άρο του ολοληρώµτος. Το εµδό ωρίου που περιλείετι πό τη C f,c g, δηλ δε δίοτι οι τόρυφες ευθείες. Τότε λύουµε τη εξίσωση f()-g() ι η µιρότερη ρίζ της ι η µεγλύτερη ρίζ της τότε Ε Cf, Cg f() g() d ι ρίσουµε το πρόσηµο της f()-g() στο[,] ι υπολογίζουµε το ολολήρωµ 34
3. Το εµδό ωρίου που περιλείετι πό τη C f,c g, C h,τότε άουµε σήµ ι ρίσουµε το εµδό του ωρίου µε πρόσθεση τω ωρίω που σηµτίζοτι πό δυο συρτήσεις (δηλ ολοληρώµτ ) ι ποτελού το ωρίο του οποίου το εµδό ζητούµε. C f C h γ Ε Cf,Cg, Ch f() g()d+ γ h() g() d C g 35
ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΤΙΣΤΙΚΗΣ έουµε έ σττιστιό πληθυσµό ι πάρουµε πο υτό έ δείγµ τόµω προς µελέτη ως προς άποιο ρτηριστιό τους,λέµε ότι ουµε δειγµτοληψί.το ρτηριστιό ως προς το οποίο το µελετάµε λέγετι µετλητή ι έστω ότι το συµολίζουµε µε Χ.Όλες τις τιµές που πίρει η Χ λέγοτι πρτηρήσεις ι συµολίζοτι µε t i,i, ι όλες τις διφορετιές τιµές που πίρει η Χ συµολίζοτι µε i,i, ( ) Συότητ (πόλυτη) i είι ο ριθµός που δείει πόσες φορές εµφίζετι η τιµή i ι i i Σετιή συότητ f i i είι ο ριθµός που δείει πόσο συά εµφίζετι η τιµή i ι i f i Σετιή συότητ(επι τοις ετό) f i % i ι ισύει i i f % θροιστιή συότητ (πόλυτη) Ν i είι ο ριθµός που δείει το πλήθος τω πρτηρήσεω που είι µιρότερες ή ίσες της τιµής i ι ισύει Ν, Ν i + + 3 +...+ i,i,,.,ν Ν Γι τη θροιστιή σετιή συότητ F i ισύει F i i ι F f, F i f +f +f 3 +...+f i, i,,.,f Γι τη θροιστιή σετιή συότητ (επι τοις ετό) F i % ισύει F i % F % f, F i %(f +f +f 3 +...+f i ),i,,.,f % Ν i ι ΓΡΦΙΚΗ ΠΡΣΤΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΣΕ ΜΗ ΟΜ ΟΠΟΙΗΜΕΝΕΣ ΠΡΤΗΡΗΣΕΙΣ ΡΒ ΟΓΡΜΜ συοτήτω σετιώ συοτήτω ι επί τοις ετό σετιώ συοτήτω i f i f i % 3 f f 3 f f % f 3 % f % ΙΓΡΜΜ ΚΙ ΠΟΛΥΓΩΝΟ συοτήτω σετιώ συοτήτω ι επί τοις ετό σετιώ συοτήτω f i % i 3 f i f f 3 f f % f 3 % f % 36
ΚΥΚΛΙΚΟ ΙΓΡΜΜ i 36 i 36 f i,i,,3,., 3 ΣΕ ΟΜ ΟΠΟΙΗΜΕΝΕΣ ΠΡΤΗΡΗΣΕΙΣ ΙΣΤΟΓΡΜΜ ΚΙ ΠΟΛΥΓΩΝΟ συοτήτω σετιώ συοτήτω ι επί τοις ετό σετιώ συοτήτω i 3 f i f f 3 f f i % f % f 3 % f % t t+c t+c t+3c..t+kc t t+c t+c t+3c..t+kc t t+c t+c t+3c..t+kc Το άθροισµ τω εµδώ τω πρ/µω είι ίσο µε το,, τίστοι ΙΣΤΟΓΡΜΜ ΚΙ ΠΟΛΥΓΩΝΟ ΘΡΟΙΣΤΙΚΩΝ συοτήτω θροιστιώ σετιώ συοτήτω ι επί τοις ετό θροιστιώ σετιώ συοτήτω i f i f 3 f f f i % f 3 % f % f % t t+c t+c t+3c..t+kc t t+c t+c t+3c..t+kc t t+c t+c t+3c..t+kc ΜΕΤΡ ΘΕΣΗΣ. ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ( X ) X όπου t i οι τιµές όλω τω πρτηρήσεω ή X t i i i i i όπου i οι διφορετιές τιµές (ή τ έτρ τω λάσεω σε οµδοποιηµέες πρτηρήσεις ) της µετλητής ι i οι τίστοιες συότητες ή X i f i όπου i οι διφορετιές τιµές (ή τ έτρ τω λάσεω σε i 37
οµδοποιηµέες πρτηρήσεις ) της µετλητής ι f i οι τίστοιες σετιές συότητες. ΣΤΘΜΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ( w ) W i i i t W W i i όπου w i οι συτελεστές ρύτητς 3. ΙΆΜΕΣΟΣ (δ) i) οι πρτηρήσεις είι όι οµδοποιηµέες ι ) είι περιττού πλήθους (µ+) τότε δ t + η µεσί πρτήρηση t + t + ) είι ρτίου πλήθους µ τότε δ ο µέσος όρος τω δύο µεσίω πρτηρήσεω ii) οι πρτηρήσεις είι οµδοποιηµέες σηµτίζουµε το πολύγωο θροιστιώ επί τοις ετό συοτήτω ι ρίσουµε σε ποι τιµή επι του οριζότιου άξο τιστοιεί το 5% του τόρυφου άξο θροιστιή συότητ % % % 8% 6% 4% % % 5% Γ 58% B A 5% 8% 93% % 5 6 7 8 9 Β ι δ7+ Γ c 4. Επιρτούσ τιµή (Μ ):Είι η τιµή τω πρτηρήσεω µε τη µέγιστη συότητ Σε οµδοποιηµέες πρτηρήσεις ρίσετι πό τη τσευή του ιστογράµµτος συοτήτω 5. B Γ A Β Γ c ι Μ + 6 8 4 6 8 38
ΜΕΤΡ ΙΣΠΟΡΣ. ΕΥΡΟΣ(R ) : R η µιρότερη τιµή µείο η µεγλύτερη τιµή τω πρτηρήσεω ΙΣΠΟΡ ΙΚΥΜΝΣΗ S (t ) i i ή S t i i i ή S (i ) i ή S i πρτηρήσεω ι i οι συότητες ή S (i ) fi ή i ι f i οι σετιές συότητες ti όπου t i όλες οι τιµές τω πρτηρήσεω i i i i i όπου i οι διφορετιές τιµές τω i S i fi όπου i οι διφορετιές τιµές τω πρτηρήσεω i. ΤΥΠΙΚΗ ΠΟΚΛΙΣΗ (S): S S S 3. ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΜΕΤΒΟΛΗΣ (CV): CV ή επί τοις ετό X ΚΝΟΝΙΚΗ ΚΤΝΟΜΗ S CV% X X 3S X S X S X X+ S X+ S X+ 3S 68% 95% 99,7 λάσεις έτρο λσης συότητ i i i i i i i [8-9) 85 8 68 75 578 [9-) 95 9 855 95 85 39
[-) 5 7 785 5 8745 [-) 5 5 75 35 98375 [-3) 5 4 75 565 875 [3-4) 35 7 945 85 7575 Άθροισµ 7 774 875 Μέση τιµή X,57 4 ισπορά S 8,9598 Τυπιή πόλιση S4,7977 ΕΥΘΕΊ ΕΛΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΓΩΝΩΝ ή ΕΥΘΕΙ ΠΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ ψˆ ˆ + ˆ µε X Y -( X )( Y ) ˆ, i i i i i i i Xi -( X i ) i i ι ˆ ˆ ˆ i i ψ ψ i i 4