ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι Ενότητα #9: Σύστημα ης τάξης: Χρονική Απόκριση και Χαρακτηριστικά Μεγέθη (Φυσικοί Συντελεστές) Δημήτριος Δημογιαννόπουλος Τμήματος Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε.
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Σκοποί Ενότητας Χρήση μετ/μού Laplace για υπολογισμό τυπικών αποκρίσεων συστημάτων ου βαθμού. Χαρακτηριστικά μοναδιαίας βηματικής απόκρισης συστημάτων ου βαθμού. Σύνδεση χαρακτηριστικών απόκρισης και δομικών ιδιοτήτων συστημάτων ου βαθμού. 4
Περιεχόμενα Ενότητας (1) Αποκρίσεις Συστημάτων σε τυπικές εισόδους: Σύστημα ου βαθμού με βηματική είσοδο Απόκριση συστήματος με συντελεστή απόσβεσης ζ >1 Απόκριση συστήματος με συντελεστή απόσβεσης ζ =1 Απόκριση συστήματος με συντελεστή απόσβεσης ζ <1 Χαρακτηριστικά μεγέθη βηματικής απόκρισης συστήματος όταν ζ <1 Παράδειγμα 5
Περιεχόμενα Ενότητας () Χρήση των υπολογισμών στην απόκριση συστημάτων για μελέτη συστημάτων Παράδειγμα 1: Μηχανικό σύστημα Παράδειγμα : Ηλεκτρικό κύκλωμα RLC Παράδειγμα 3: Ηλεκτροκινητήρας Συνεχούς ρεύματος με διέγερση δρομέα 6
Αποκρίσεις Συστημάτων σε τυπικές Εισόδους Σύστημα ου βαθμού με βηματική είσοδο 7
Αποκρίσεις Συστημάτων σε τυπικές Εισόδους: Σύστημα ου βαθμού με βηματική είσοδο Δ.Ε. dd ddtt yy tt + αα 1 dd dddd yy tt + αα 0yy tt = bb 0 uu tt 1 1 dd ddtt yy tt + ζ dd yy tt + yy tt = AAAA tt () dddd ΑΑ = bb 0 ζ = 1 : Φυσική συχνότητα, αα 0 αα 1 αα 0 : Κέρδος (ενίσχυση), : Συντελεστής απόσβεσης 8
Αποκρίσεις Συστημάτων σε τυπικές Εισόδους: Σύστημα ου βαθμού με βηματική είσοδο Δ.Ε. dd ddtt yy tt + αα 1 dd dddd yy tt + αα 0yy tt = bb 0 uu tt 1 1 dd ddtt yy tt + ζ dd yy tt + yy tt = AAAA tt () dddd : Φυσική συχνότητα, ΑΑ = bb 0 : Κέρδος (ενίσχυση), ζ = 1 αα 0 αα 1 αα 0 Απόκριση σε βηματική u(t)=u 0 : L 1 ss YY ss : Συντελεστής απόσβεσης + ζ ssss ss + YY ss = AAAA ss YY ss = H ss + ζ ss + = 0 με ΔΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑ Δ=4 (ζ 1) έχει: AA ss +ζ ss+ UU 0 ss (3) 9
Αποκρίσεις Συστημάτων σε τυπικές Εισόδους: Σύστημα ου βαθμού με βηματική είσοδο Απόκριση σε βηματική u(t)=u 0 : L 1 ss YY ss + ζ ssss ss + YY ss = AAAA ss YY ss = AA ss +ζ ss+ UU 0 ss (3) H ss + ζ ss + = 0 με ΔΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑ Δ = 4 (ζ 1) έχει: I. πόλους πραγματικούς αν Δ > 0 => ζ > 1 II. πόλους ίσους αν Δ = 0 => ζ = 1 III. μιγαδικούς πόλους (συζυγείς) αν Δ < 0 => ζ < 1 10
Απόκριση συστήματος Συντελεστής απόσβεσης ζ > 1 11
Συντελεστής Απόσβεσης ζ > 1 I. ζζ > 1 οπότε Δ > 0 => ss + ζζ ss + = ss σσ 1 ss σσ σσ 1 = ζζ + ζζ 1 < 0 και σσ = ζζ ζζ 1 < 0 Τότε με ανάλυση σε απλά κλάσματα: YY ss = AA ss σσ 1 ss σσ UU 0 ss = AA 0 ss + AA 1 ss σσ 1 + AA ss σσ 1
Συντελεστής Απόσβεσης ζ > 1 I. ζζ > 1 οπότε Δ > 0 => ss + ζζ ss + = ss σσ 1 ss σσ σσ 1 = ζζ + ζζ 1 < 0 και σσ = ζζ ζζ 1 < 0 Τότε με ανάλυση σε απλά κλάσματα: YY ss = AA ss σσ 1 ss σσ UU 0 ss = AA 0 ss + AA 1 ss σσ 1 + AA ss σσ AA 0 = ΑΑUU 0, AA 1 = ΑΑUU 0 ζζ 1 ζζ + ζζ 1 < 0, AA = (Παρατηρήσατε ότι, κάνοντας πράξεις, AA 1 + AA = ΑΑUU 0 ) ΑΑUU 0 ζζ 1(ζζ + ζζ 1) > 0 13
Συντελεστής Απόσβεσης ζ > 1 Άρα yy tt = L 1 AA 0 ss + AA 1 ss σσ 1 + AA ss σσ = ΑΑUU 0 + AA 1 ee (ζζ ζζ 1)tt + AA ee (ζζ+ ζζ 1)tt AA 1+AA = ΑΑUU 0 yy tt = AAUU 0 1 ee ζζ ζζ 1 tt + AA ( ee ζζ ζζ 1 tt + ee ζζ+ ζζ 1 tt ) 14
Συντελεστής Απόσβεσης ζ > 1 Άρα yy tt = L 1 AA 0 ss + AA 1 ss σσ 1 + AA ss σσ = ΑΑUU 0 + AA 1 ee (ζζ ζζ 1)tt + AA ee (ζζ+ ζζ 1)tt AA 1+AA = ΑΑUU 0 yy tt = AAUU 0 1 ee ζζ ζζ 1 tt + AA ( ee ζζ ζζ 1 tt + ee ζζ+ ζζ 1 tt ) A U 0 A U 0 t A = + «αργά» + «απότομα» t t -A t 15
Απόκριση συστήματος Συντελεστής απόσβεσης ζ = 1 16
Συντελεστής Απόσβεσης ζ = 1 II. ζ=1 οπότε Δ=0 => ss + ζζ ss + = ss σσ Τότε σσ = ζζ ζζ=1 σσ = ωωnn YY ss = AA UU 0 ss σσ ss ΑΠΛΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ YY ss = AAUU0 ωω AA 1 nn [ (ss σσ) + AA ss σσ + AA 3 ss ] AA 1 = 1, AA = 1, AA 3 = 1 και με αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace: yy tt = ΑΑUU 0 [- tt ee tt 1 ee tt + 1 ] = ΑΑUU 0[1 + 1 tt ee tt ] 17
Συντελεστής Απόσβεσης ζ = 1 το οποίο και αντιστοιχεί στην ακόλουθη μορφή απόκρισης: ΑΑUU 0 [- tt ee tt 1 ee tt + 1 ] = ΑΑUU 0[1 + 1 tt ee tt ]= yy tt A U 1 t 1 0 + * = -1 t t t 18
Απόκριση συστήματος Συντελεστής απόσβεσης ζ < 1 19
Συντελεστής Απόσβεσης ζ < 1 ΙΙΙ. ζζ < 1 οπότε Δ < 0 => ss + ζζ ss + = (ss ss 1 )(ss ss ) ss 1 = ζζ σσ Τότε YY ss = + jj 1 ζζ ωω, ss = ζζ σσ jj 1 ζζ ωω => ss 1, = σσ ± jjωω AA UU 0 ΑΠΛΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ AAUU0 ss σσ + ωω ωω ss nn [ AA 1ωω + AA (ss σσ) (ss σσ) +ωω + AA 3 ss ] 0
Συντελεστής Απόσβεσης ζ < 1 ΙΙΙ. ζζ < 1 οπότε Δ < 0 => ss + ζζ ss + = (ss ss 1 )(ss ss ) ss 1 = ζζ σσ + jj 1 ζζ ωω, ss = ζζ σσ jj 1 ζζ ωω => ss 1, = σσ ± jjωω Τότε YY ss = AA UU 0 ΑΠΛΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ AAUU0 ss σσ + ωω ωω ss nn [ AA 1ωω + AA (ss σσ) (ss σσ) +ωω + AA 3 ss ] AA = 1 ωω AA 3 = 1 = 1 1 = ss ss=σσ+jjωω 1 ζζ ss ss= ζζ +jj 1 ζζ 1 (ss σσ) +ωω ss=0 = 1 ζζ 1 ζζ AA 1 + jj 1 AA 1
Συντελεστής Απόσβεσης ζ < 1 Με αντίστροφο Laplace λοιπόν: yy tt = ΑΑUU 0 ζζ 1 ζζ sin 1 ζζ tt ee ζζtt 1 cos 1 ζζ tt ee ζζtt + 1 = = ΑΑUU 0 [ 1 MMsin 1 ζζ tt + φφ ee ζζtt ] με, όπως πριν, AA = 1 1 ωω ss ss=σσ+jjωω ΜΜ = AA = = 1 1 ζζ, φφ = ωω tttttt 1 nn 1 ζζ ζζ 1 1 ζζ 1 ss ss= ζζ +jj 1 ζζ = ζζ 1 ζζ Ποια η φόρμα της απόκρισης αυτής; (σχεδιασμός στον πίνακα!!) AA 1 + jj 1 AA
Χαρακτηριστικά μεγέθη βηματικής απόκρισης συστήματος όταν ζ <1 3
Χαρακτηριστικά μεγέθη βηματικής απόκρισης συστήματος όταν ζ <1 Εύρεση χαρακτηριστικών μεγεθών της παραπάνω βηματικής απόκρισης: y max όταν dd yy tt = dddd 0 AAUU 0 MMcos 1 ζζ tt + φφ ee ζζtt 1 ζζ + ζζ MMsin 1 ζζ tt + φφ ee ζζtt = 0 4
Χαρακτηριστικά μεγέθη βηματικής απόκρισης συστήματος όταν ζ <1 => 1 ζζ tt = ππ => tt v = ππ 1 ζζ και αντικαθιστώντας στο yy(tt) ζζππ yy tt v = yy mmmmmm = AAUU 0 (1 + ee 1 ζζ ). Ορίζουμε την υπερύψωση V (ΓΙΑΤΙ;) ζζππ VV = yy mmmmmm yy = AAUU 0 1 + ee 1 ζζ AAUU 0 yy AAUU 0 = ee ζζππ 1 ζζ 5
Χαρακτηριστικά μεγέθη βηματικής απόκρισης συστήματος όταν ζ <1 Ορίζουμε ως χρόνο αποκατάστασης tt ss την είσοδο της απόκρισης y(t) σε ζώνη ± % του y (ή ±5% του y, σπανιότερα). Από την έκφραση της απόκρισης y(t), εξισώνοντας με την αναμενόμενη τιμή (1.0 AAUU 0 ή 0.98 AAUU 0 ): tt ss = 4 ζζ για ± % yy ή tt ss = 3 ζζ για ± 5% yy Ορίζουμε ως χρόνο ανόδου tt rr την πρώτη χρονική στιγμή που y(t) = y. Από την έκφραση y(t), εξισώνοντας με την τιμή yy : tt rr = 1 +.5ζζ 6
Παράδειγμα Να βρεθεί η απόκριση του συστήματος G(s) για u(t)=1 και να γίνει προσεγγιστική χάραξη του διαγράμματος y(t)~t : GG ss = 13 ss + 4ss + 13 Το παράδειγμα λύνεται στον ΠΙΝΑΚΑ και η απάντηση είναι στην επόμενη διαφάνεια. 7
Λύση παραδείγματος Η απάντηση θα είναι: yy tt = 1 3 sin 3tt + cos 3tt ee tt = 1 1.sin(3tt + 56 )ee tt και V = 0.131 tt v = ππ 1 ζζ = ππ ssssss = 1.0467ssssss 3 8
Χρήση των υπολογισμών στην απόκριση συστημάτων για μελέτη συστημάτων Παραδείγματα 9
Χρήση των υπολογισμών στην απόκριση συστημάτων για μελέτη συστημάτων Έχοντας υπολογίσει αποκρίσεις για συστήματα 1 ου και ου βαθμού, μπορούμε να μελετάμε εφαρμογές χωρίς επανάληψη των υπολογισμών. ΠΩΣ; Γράφοντας την συνάρτηση μεταφοράς τους στην κατάλληλη μορφή (τυπικού πρώτο/δευτεροβάθμιου) και χρησιμοποιώντας τους υπάρχοντες τύπους. 30
Χρήση των υπολογισμών στην απόκριση συστημάτων για μελέτη συστημάτων Έχοντας υπολογίσει αποκρίσεις για συστήματα 1 ου και ου βαθμού, μπορούμε να μελετάμε εφαρμογές χωρίς επανάληψη των υπολογισμών. ΠΩΣ; Γράφοντας την συνάρτηση μεταφοράς τους στην κατάλληλη μορφή (τυπικού πρώτο/δευτεροβάθμιου) και χρησιμοποιώντας τους υπάρχοντες τύπους. Παράδειγμα 1: Μηχανικό Σύστημα Δ.Ε.: mm dd yy tt + BB dd yy tt + kkkk tt = ddtt dddd ff(tt) LLLLLLLLLLLLLL: mmss YY ss + BBBBBB ss + kkkk ss = FF(ss) 31
Χρήση των υπολογισμών στην απόκριση συστημάτων για μελέτη συστημάτων Συν. Μεταφοράς: YY(ss) = 1 FF(ss) mmss +BBBB+kk ΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓ ΣΣΣΣ ΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤ ΜΜΜΜΜΜΜΜΜΜ YY(ss) FF(ss) = 1 κκ mm κκ ss + BB mm ss + kk mm Άρα = KK mm, ζζ = BB mm => ζζ = 1 BB KKKK, AA = 1 KK 3
Χρήση των υπολογισμών στην απόκριση συστημάτων για μελέτη συστημάτων Παράδειγμα : Ηλεκτρικό κύκλωμα RLC Δ.Ε.: LLLL dd ddtt uu cc tt + RRRR dd dddd uu cc tt + uu cc tt ee tt = 0 Laplace: LLLLss UU cc ss + RRRRRRUU cc ss + UU cc ss = EE ss Συν. Μεταφοράς: UU cc ss EE ss = 1 ΓΓΡΡΡΡΡΡΡΡ ΣΣΣΣ ΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤ ΜΜΜΜΜΜΜΜΜΜ UUcc ss LLLLss +RRRRRR+1 EE ss = 1 LLLL ss + RR LL ss+ 1 LLLL Άρα = 1 LLLL, ζζ = RR LL => ζζ = RR CC LL, AA = 1 33
Χρήση των υπολογισμών στην απόκριση συστημάτων για μελέτη συστημάτων Παράδειγμα 3: Ηλεκτροκινητήρας συνεχούς ρεύματος με διέγερση δρομέα Δ.Ε.: uu tt dd KK αα ωω(tt) = ii tt RR + LL ii dddd (tt) MM tt = kkii (tt) JJ dd dddd ωω tt + BBωω tt = MM(tt) 34
Χρήση των υπολογισμών στην απόκριση συστημάτων για μελέτη συστημάτων Παράδειγμα 3: Ηλεκτροκινητήρας συνεχούς ρεύματος με διέγερση δρομέα Laplace: UU ss KK aa ΩΩ ss = ΙΙ ss RR + LL ssii (ss) MM ss = kkii (ss) JJJJΩΩ ss + BBΩΩ ss = MM(ss) 35
Χρήση των υπολογισμών στην απόκριση συστημάτων για μελέτη συστημάτων Συν. Μεταφοράς: ΩΩ ss = KK = UU ss JJLL ss + BBLL +RR JJ ss+kkkk aa +RR BB KK KKKK aa + RR BB ss + BBLL + RR JJ JJLL KKKK aa + RR BB JJLL ss + KKKK aa + RR BB JJLL Άρα = KKKK aa+rr BB JJLL, ζζ = BBLL +RR JJ JJLL => ζζ = 1 JJLL BBLL +RR JJ KKKK aa +RR BB, AA = ΚΚ KKKK aa +RR BB 36
Τέλος Ενότητας