Αλγεβρικές παραστάσεις

Αλγεβρικές παραστάσεις Κώστας Γλυκός Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ κεφάλαιο 1 197 ασκήσεις και τεχνικές σε 19 σελίδες ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 8 / 9 / 0 1 6 εκδόσεις Καλό πήξιμο

τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 Επιλεγμένες ασκήσεις στις αλγεβρικές παραστάσεις Ασκήσεις για Γ Γυμνασίου Πράξεις Να λυθούν οι ασκήσεις : 1. Δίνονται οι αριθμοί 1,,,,,,,,, να γράψεις ποιοι αριθμοί είναι φυσικοί, ακέραιοι, ρητοί, άρρητοι. Ποιοι είναι άρτιοι και ποιοι περιττοί, v : v,v 1,v 1,6v, vv 1. Να γίνουν οι πράξεις : 5 6 : 4 10 : 7 5 4 5 : 7 6 : 4 144 4. Αν a b 4, cd 1, να βρεις : A a b B adc bcd G a cd c d b 5. Αν 4 a, b, c, a b, b 16 c, c, να αποδείξεις ότι 5 18 a b 5 a 5c Είναι αντίστροφοι οι αριθμοί :, b 1 Να βρεις τα α,β 6. Αν a b c 016, b c 10, να βρεις : 1

τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 A a b c B a b 5c 7. Να υπολογίσεις : 6 9... 150 5 10 15... 50 8. Να υπολογίσεις : a b c c a b a b c 017 b a a c b c b 016 9. Αν α,β είναι αντίθετοι αριθμοί, ν.δ.ο. το ίδιο ισχύει για τους αριθμούς a b 4, y 7b 4 a 1 10. Να υπολογίσεις την παράσταση A y y 1 y 7 y 11. Αν a, b, c, d, a b 5, b c 7, c d 5, d 1 0 a b c d ; 1. Να βρεις την τιμή του a ώστε να είναι ακέραιος, ο αριθμός A a 1 Δυνάμεις Να λυθούν οι ασκήσεις : 1. Να συγκρίνεις με το μηδέν τους αριθμούς : 1 0 8, 7,,,, 017 14. Να υπολογίσεις τις δυνάμεις : 15. 16. 4 5 4 5 : y : y 7 7 Υπολόγισε τις δυνάμεις : 6 4 A 5 7 64 1 1 1 1 A 16 4 A y z 7 y z 5y 17. 18. 1 4 5 1 1 10 4 A yz y z y Ιδιότητες Δυνάμεων : a a a a y y y a b a b a y a a y ab a b a y

τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 19. 0. 1. A 16 15 5 6 14 4 y 15 5 14 y A 10 4 6 6 A y y y 1. 1 A y : 5 y 1. A 4 y y : y 1 1 4. y A 4 1 y 5. Να υπολογίσεις : 4 1 1 1 A 105 104 10 B C 9 99 48 D 6. Να λύσεις τις εξισώσεις : 8 1 1 1 4 19 54 85 00 6 1 7. Να συμπληρώσεις με το κατάλληλο σύμβολο (<ή>) : 8...... 5 4 1...7 15 4... 5...7 487 5 19 19 5 1 8. Να λύσεις την εξίσωση : 9. Να υπολογίσεις : 4 v4 A 6 Το νου σου : a b 0 a 0ήb 0 a b 0 a 0b 0 015 016 017 και να υπολογίσεις : A 4 A : 7 7 : 11 5 9 0. Ν.δ.ο. είναι πολλαπλάσιο του 10 ο αριθμός : v

τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 1. Ν.δ.ο. είναι πολλαπλάσιο του 6 ο αριθμός : A 6v 6v 4 10 4 18 1 017 016. Να υπολογίσεις : 1 5 5 1 1 A 0 1 4 1 19. Να υπολογίσεις : A 4. Να υπολογίσεις : 1 1 5 :5 0 5 4 A v v v1 v1 v 4 5. Να υπολογίσεις τον αντίστροφο του : v A v1 v1 v Ρίζες Να υπολογισθούν οι παραστάσεις : 6. A 50 7 4 4 7. A 0, 5,5, 6 0 0 10 8. A 11 15 4 9. Πότε ορίζονται οι παραστάσεις : A 1, B 9, C 4 40. Να απλοποιήσεις : A 5 16 0 5 64 B 10 15 5 5 C 4 41. Να απλοποιήσεις τις παραστάσεις : A 5 1 5 Το νου σου : (ρίζες) Ιδιότητες a 0, b 0 a b ab a b a a a b a a 1 B 4 4 6 6 4. Να γράψεις με ρητό παρονομαστή τα κλάσματα : 1 8 4,,,, 8 8 1 4,, 4. Να αποδείξεις ότι : 1& 6 5 1 5 4

τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 44. Να λύσεις τις εξισώσεις : 1 7 1 45. Ν.δ.ο. είναι αντίστροφοι οι αριθμοί : 4 5 4 5 & 11 46. Σε ορθογώνιο με πλευρές a 5, b 5, να υπολογίσεις περίμετρο και εμβαδό Να απλοποιήσεις τις παραστάσεις : 47. 5 5 48. 10 10 49. 4 6 50. 18 8 1 1 51. 4 54 6 150 96 5. 5. 54. 55. 56. 7 175 8 11 1 6 5 0 5 5 7 5 7 6 5 5 57. 1 5 1 45 18 58. y y y, ; Πολυώνυμα 59. Να γίνουν οι πράξεις : 8 4 7 y y y 5

τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 1 5 y 10y y 60. Υπολόγισε τα γινόμενα : y y 4 y y 1 1 y y 1 y y y 61. Να υπολογίσεις τα πηλίκα : : 1 4 y : y 4 y : y yz 6. Να υπολογίσεις : : yz 4 4 4 1 1 1 1 1 6. Δίνεται πολυώνυμο 64. Aν 1 0 P a P P P () 4 P() 1,() Q, να βρεις το α ώστε P, να βρεις τα πολυώνυμα : ()() A P Q B() () P () Q C() ()() P Q D()()() P Q E() () P 1() Q 65. Aν 66. Αν 4 P(),() Q a 1 b c 1 τα πολυώνυμα P 6 1 a και να λύσεις την εξίσωση :, να βρεις τα α,β,γ ώστε να είναι ίσα () 1, να βρεις το βαθμό του πολυωνύμου :

τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 Q()() P Q() P P 1 67. Δίνεται πολυώνυμο : P a b () 68. Να βρεις τον πραγματικό αριθμό α ώστε το, να βρεις τα a, b :()() P 8 P, 1 10 P Q() a 9 69. Δίνονται τα πολυώνυμα P() 9 8 7 να παίρνει τη μορφή του,() P () Q; P() 5,() Q 1()() ; P Q P()() Q ;,() P ; P()(),() Q 5 11 P 19,() Q a 5,, ; 70. Αν 71. Να γράψεις το P() 11 6 στη μορφή a( 1)( )( 1) a 1(),, ; 7. Αν 7. Να βρεις τα α,β,γ,δ ώστε : 4 1 a P() :() P 4 1 9 74. Να βρεις το 75. Δίνονται τα πολυώνυμα Μηδενικό πολυώνυμο το P() 0 Μηδενικού βαθμού ή σταθερό : P() a, a 0 P(),() Q 1()() ;()() P ;,()() Q ;.() P; Q P Q P 76. Να βρεις τις τιμές των a, b, c :()() P a,()() a b 4 c b Q c a a b να είναι ίσα 77. Να βρεις το πολυώνυμο 5 4 P() : 1() P 78. Δίνεται το P() 5,( P 1) a 1 a; Ταυτότητες 79. Να βρεθούν τα αναπτύγματα : 1 y y 80. Να βρεις τα αναπτύγματα : 7 Αξιοσημείωτες ταυτότητες : a b a ab b a b a b a b a b a ab ab b a b a b a ab b a b c a b c ab ac bc

τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 y y 81. Να βρεις τα αναπτύγματα : y y y y y y y y y z y z 8. Να γίνουν οι πράξεις : 8. Δίνεται y y y y 4y y y y P () 5 1, να υπολογίσεις : P 1, P 1, P 84. Να υπολογίσεις : P() 1 1 1 1 85. Αν y, y 4, υπολόγισε : 86. Αν y, y y y y y 6, 6 ;, ; 87. 1 1 1 Αν, να υπολογίσεις :, 88. 1 1 1 Αν, 0, να υπολογίσεις :, 89. Να αποδείξεις ότι : 1 1 1 4 1 8 1 y y 4y 90. Να βρεις τα, y : 8

τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 y y 4 4 1 0 y y 6 4 1 4 4 y y 91. Να γίνουν οι πράξεις : & 9. Να γράψεις ως μία δύναμη τις παραστάσεις : 7 7 y 9y y y y y y 9. Αν 1, y 1, να υπολογίσεις : 94. Αν, y, να υπολογίσεις : 95. Να συμπληρώσεις τις ταυτότητες : 96. 97......................... 4....16y......... 4 1........................ y.................. 8............ Να αποδείξεις τις ταυτότητες που ακολουθούν : 1 1 a a a a a, 0 a b a b ab 98. y y y y 016 014018 y, y, y 99. a by b ay a ba b y y 100. Ν.δ.ο. y y y 1 101. Αν ισχύει, να υπολογίσεις : 1 1 y, y, y 9

τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 4 1 4 Το νου σου : (αναλογία) Να βρεις τα αναπτύγματα 10. y,, y, y 10. 5 4 y, 7 y, y, 5y 104. 1 1 1 1 1,, y, 4 105. y,,, a by 106. y, 4, y, y 107. 5 4 y, 5 10 y, y, 4y a c... m b d n a c m... k b d n a kb c kd... m kn τότε θέτω 108. 1 1 1 6 1,, y, 5 4 109.,,, a by 110., 5 4, 5, 1 1 1, 7, 5, 1 4 111. 11. y, 4 y, y y, 1 11. y,, y, y 114. 5 4 y, 7 y, y, 5y 115. 1 1 1 1 1,, y, 4 116. y,,, a by 117. y, 4, y, y 118. 1 1 1 6 1 5 4 y,,, y, 5 4 119. 5 10 y, y, 4y 10.,,, a by 11. Να βρεις τα αναπτύγματα : y z 10

τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 y z y z y z 1. Να βρεις τα αναπτύγματα : y 1 1 1 y z 1. Να γίνουν οι πράξεις : y y y y y y y 1 1 y y y y y 14. Να υπολογίσεις : y z y z Να αποδείξεις τις σχέσεις που ακολουθούν : 15. 4 5 16. y y y y 8 0 17. y y y y 1 4 1 7 18. 1 1 1 19. 10. 11. 9 4 7 7 11

τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 y y 4 y 1 1. Αν 1. Αν 14. Αν 1 1 1 15. Αν 1 y 1 y y 6 y y y y y y y y 16. Αν 17. Αν 18. Αν 4 1 1, y 0 & y 4 y y y z 0 y z y 1 1 1, y, z 0 & y z 4 & 0, να αποδείξεις ότι : y z y yz z 0 y z 16 y 19. Αν, y 0 & y y y 140. 141. Να αποδείξεις τις ταυτότητες που ακολουθούν : 1 1 a a a a a, 0 a b a b ab 14. y y y y 14. a by b ay a ba b y y 144. 4 y 1 y y 145. y y 8 8y 146. y y y y y y 147. 148. 149. 150. Να βρεις πότε ορίζονται και μετά να απλοποιήσεις τις παραστάσεις : 6 9 4 5 1 4 4 8 4 9 1

τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 Να αποδείξεις τις παρακάτω σχέσεις : 151. Αν 0 15. Αν a b c a b b c a c a b c c a b a b c 0 abc 15. Ν.δ.ο. y y y 1 154. Αν ισχύει, να υπολογίσεις : 1 1 4 1 4 1 1 155. Αν ; 7 156. Αν y, y, να υπολογίσεις : 157. Αν 158. Αν y y 1 1 y 1 1 y y y y y 4, 9, να υπολογίσεις : y y y, 18, να υπολογίσεις : y y y y y Παραγοντοποίηση 1

τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 159. Να γράψεις με τα μορφή γινομένου : 6 6 4 4 y 4 y 4 8 4 y y y 160. Να γράψεις με τη μορφή γινομένου : 4 16 y 8 1 y 4 1 1 1 1 1 y y 6 9 161. Να γράψεις με τη μορφή γινομένου : 1 1 6 9 4 1 9 6 1 9y y 9 y y 1 1 y 16. Να παραγοντοποιήσεις : y 1 1 y z y z zy 9 z y y 5 4 8 8 7 6 14

τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 16. Να παραγοντοποιήσεις : 5 6 4 10 1 164. Να λύσεις τις εξισώσεις : 49 0 9 0 16 1 1 0 5 15 0 165. Να παραγοντοποιήσεις : 4y 4y 16 4 4 4y y 4y 8y Διαίρεση πολυωνύμων P() a 1 5 a 6 a 1 166. Να βρεις το α ώστε το χ+1 να είναι παράγοντας του : P() a 4 a ( ) a είναι πρώτου βαθμού, να βρεις το α 167. Αν το 168. Αν P()( a4)()( ) a 8 a a είναι σταθερό, να βρεις το α. P() a 1 a a a 1, να βρεις το βαθμό του 169. Αν 170. Αν P() a 6,() Q a 6,()() a P ; Q a 171. Αν 6 4 1() P 5 8() ; P 17. Να βρεις το πολυώνυμο όπου όταν διαιρεθεί με 1, δίνει πηλίκο χ-1 και υπόλοιπο χ+5 4 17. Να βρεις τα a, b :() P 1,() Q a b και η διαίρεσή τους αφήνει υπόλοιπο 0 174. Να κάνεις τις διαιρέσεις : 5 9 : 1, 4 7 15 : 5 175. Αν () : 1 f έχει πηλίκο 5χ-1 και υπόλοιπο χ+, να βρεις τη συνάρτηση 176. Αν P() a b 4 διαιρείται με χ+1 και για χ= έχει τιμή 8, να βρεις τα α,β 177. Αν P() a 1 b διαιρείται με 6, να βρεις τα α,β 15

τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 Ε.Κ.Π. και Μ.Κ.Δ. 178. Να βρεις το ΕΚΠ και ΜΚΔ των παραστάσεων : y z,8 y z,6y z y y, 4 y z,y 4 4 yz,8 y,1yz 179. Να βρεις το ΕΚΠ και ΜΚΔ των παραστάσεων : 4 y, y, y, 1,, 4, 4 180. Να βρεις ΕΚΠ και ΜΚΔ των παραστάσεων :, 4, 5 6 4 4, 6, 4 1 1, 1 1, 1 1 Ρητές αλγεβρικές παραστάσεις 181. Να βρεις τις τιμές του χ για τις οποίες ορίζονται οι παραστάσεις : 5 1 016 4 9 017 1 18. Να απλοποιήσεις τις παραστάσεις : 16

τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 y y 1 1 8 1 z 9z 6 9 6 18. Να απλοποιήσεις τις παραστάσεις : 5 6 9 6 9 y y y 184. Να απλοποιήσεις τις παραστάσεις : : 4 4 1 6 8 5 6 4 4 4 y y y y : y y y 185. Να γίνουν οι πράξεις : 5 10 5 5 5 : 5 5y 5 5y 9 : 4 8 10 5 5 : 4 4 8 17

τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 186. 187. 188. 189. 190. 191. 19. 19. 194. 195. 196. 197. 6 : : 1 1 9 : 8 4 4 1 1 : 4 Να βρεις πότε ορίζονται και μετά να απλοποιήσεις τις παραστάσεις : 6 9 4 5 1 4 4 8 4 9 Να μετατρέψεις σε γινόμενο τις παραστάσεις : 8 4 7 1 y y ay a 4 y y y 5 5 y y y 4y y 6y Να απλοποιήσεις τις παραστάσεις : 4 4 a a a a b a a b y y y 1 y 18

τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 19