σκήσεις σχ. ιβλίου σελίδας 6 7 ενικές ασκήσεις 5 ου Κεφαλαίου. ίνεται τρίγωνο (β γ) µε Â = 60 ο, τα ύψη του, και τα µέσα Μ, Ν των, αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι Μ = Ν. Τρ. ορθογώνιο µε Â = 60 ο M N ˆB 30 = Μ Τρ. ορθογώνιο µε Â = 60 ο 0 = = AB ˆ 30 0 = = A = Ν E Μ = Μ = A AB Ν = Ν = A AB () και () Μ = Ν () (). ίνονται δύο παράλληλες ευθείες ε, ε και σηµείο της ε. Φέρουµε Κ ε. ν σηµείο της ε και µια ευθεία, που διέρχεται από το, τέµνει τις Κ και ε στα και αντίστοιχα, ώστε =, να αποδείξετε ότι Κ ˆ = 3 Κ ˆ. ε ε K Θεωρούµε το µέσο Μ του τµήµατος. M Τότε Μ = Μ = και από το ορθογώνιο τρίγωνο έχουµε Μ = Άρα είναι Μ = Μ = Μ =. ˆΜ = ˆ + ˆ σαν εξωτερική του τριγώνου Μ αλλά τρίγωνο Μ ισοσκελές, άρα ˆ = ˆ. ίναι, λοιπόν, ˆΜ = ˆ πειδή όµως ˆ = ˆ (εντός εναλλάξ), θα έχουµε ˆΜ = ˆ () Τρίγωνο Μ ισοσκελές ˆΜ = ˆ () ˆ = ˆ Κ ˆ = 3 ˆ..
3. ίνεται τρίγωνο µε <, το µέσο της και σηµείο της ηµιευθείας, ώστε =. πό τα και φέρουµε κάθετες στη διχοτόµο της γωνίας ˆ, οι οποίες τέµνουν την στα και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: i) = ii) η ευθεία διέρχεται από το µέσο της. K Λ Έχουµε, λοιπόν, Έ = = = Έστω Κ, Λ τα σηµεία τοµής των, µε τη διχοτόµο της γωνίας ˆ. Κ διχοτόµος και ύψος του τριγώνου, άρα ισοσκελές µε =. Οµοίως = = i πειδή (κάθετες στη διχοτόµο), στο τρίγωνο αρκεί να αποδείξουµε ότι το είναι µέσο της, δηλαδή = ή αρκεί =. ίναι = = = ( + ) = = = = το οποίο, κατά το i), ισούται.
3 4. ίνεται παραλληλόγραµµο µε =, ˆ > 60 ο και το ύψος του προς τη ( ). ν, Η είναι τα µέσα των και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: i) το Η είναι ρόµβος, ii) η είναι διχοτόµος της Η 3 E ˆ Η, iii) το Η είναι ισοσκελές τραπέζιο, iv) ˆ = 3 ˆ. Η = Η παρ/µµο και επειδή Η = ρόµβος i ρκεί να δειχθεί ότι ˆ + ˆ = ˆ 3 πειδή όµως ˆ = ˆ (εντός-εναλλάξ), αρκεί να δειχθεί ότι ˆ + ˆ = ˆ, δηλαδή ότι τρ.η ισοσκελές µε Η = Η. 3 ίναι Η = = Η σα διάµεσος του ορθογωνίου τριγώνου και Η = =. Άρα Η = Η. iii) Η Η τραπέζιο. Η = = = άρα ισοσκελές τραπέζιο. iv) ρκεί να δειχθεί ότι ˆ + ˆ = 3 ˆ, επειδή όµως ˆ = ˆ, αρκεί να δειχθεί ότι ˆ = ˆ, επειδή όµως ˆ = ˆ (εντός εκτός επί τα αυτά), αρκεί να δειχθεί ότι ˆ = ˆ. Έχουµε Η ισοσκελές τραπέζιο ˆ = ˆ + ˆ + ˆ 3 λλά ˆ + ˆ = ˆ, άρα ˆ 3 = ˆ.
4 5. υθεία ε αφήνει τις κορυφές τριγώνου προς το ίδιο µέρος της. ν,,, Κ οι προβολές των,, και του βαρυκέντρου Κ αντίστοιχα στην ε, να αποδείξετε ότι + + = 3ΚΚ. Έστω η διάµεσος Μ, Λ το µέσο του τµήµατος Κ και Μ, Λ οι προβολές των Μ, Λ στην ευθεία ε. Μ ΜΜ διάµεσος του τραπεζίου K + Λ ΜΜ = () ΚΚ διάµεσος του τραπεζίου ΛΛ Μ Μ ε Μ ΜΜ +ΛΛ Λ Κ ΚΚ = () ΛΛ διάµεσος του τραπεζίου Κ Κ +ΚΚ ΛΛ = (3) παλοιφή των ΜΜ, ΛΛ µεταξύ των (), (), (3) () ΚΚ = ΜΜ +ΛΛ (),(3) + +ΚΚ ΚΚ = + 4ΚΚ = + + + ΚΚ 3ΚΚ = + +.
5 6. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ( = ) και το µέσο της. Φέρουµε. ν το µέσο του, να αποδείξετε ότι: i) ii) Η, όπου Η το µέσο του. Η Στο τρίγωνο, τα, είναι µέσα πλευρών του. i Φέρουµε την και την Η Λόγω του ii), αρκεί να αποδείξουµε ότι Η, δηλαδή ότι το Η είναι φορέας ύψους του τριγώνου. πειδή όµως, ύψος, αρκεί να αποδείξουµε ότι το Η είναι ορθόκεντρο του τριγώνου. Προς τούτο, αρκεί να αποδείξουµε ότι Η, το οποίο συµβαίνει διότι: Η (ενώνει τα µέσα δύο πλευρών του τριγώνου ) και (από το ισοσκελές ).
6 7. ίνεται τρίγωνο και Μ το µέσο της. Κατασκευάζουµε εξωτερικά του τριγώνου τα τετράγωνα και Η. ν Κ και Λ είναι τα κέντρα των και Η αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΚΜΛ είναι ισοσκελές και ορθογώνιο. Κ Σ Η Λ πειδή τα Μ, Κ είναι τα µέσα των,, φέρουµε τη, οπότε στο τρίγωνο έχουµε ΜΚ =. Η Οµοίως ΜΛ =. Οπότε, αρκεί να αποδείξουµε ότι = Η. Μ ίναι τρ. = τρ.η διότι =, = Η και τις περιεχόµενες γωνίες 90 ο + ˆ. Άρα = Η () και ˆ = ˆ () Έστω Σ η τοµή των, Η. Στο τρίγωνο Σ έχουµε ˆΣ = 80 ο ˆ ˆ ˆ () = 80 ο ˆ ˆ ˆ. τρ = ˆ = 90 ο.
7 8. ίνεται τετράγωνο πλευράς α και κέντρου Ο. Στη διαγώνιο παίρνουµε σηµείο Μ, ώστε Μ =. Φέρουµε τη Μ που τέµνει τη στο και ΟΗ κάθετη 4 στη, η οποία τέµνει τη στο. Να αποδείξετε ότι: α i) OZ = ii) το Ο είναι παραλληλόγραµµο. 3 O Z M H BM και OH είναι διάµεσοι του τριγώνου Ο, άρα το είναι κέντρο βάρους του Ο = 3 ΟΗ = α α = () και 3 3 Η = 3 ΟΗ = α α = 3 6 () i O µέσο της και ΟΗ µέσο της και Η µέσο της. () α α Στο τρίγωνο έχουµε Η = = = () = Ο. 6 3 ποδείξαµε, λοιπόν, ότι = Ο, άρα το Ο είναι παραλληλόγραµµο.
8 9. Οι µη παράλληλες πλευρές και τραπεζίου τέµνονται κάθετα στο Ο. ν Κ, Λ τα µέσα των βάσεων και, να αποδείξετε ότι: i) τα σηµεία Ο, Κ, Λ είναι συνευθειακά, ii) ΚΛ = (µε > ), iii) αν, είναι τα µέσα των διαγωνίων και αντίστοιχα, τότε το ΚΛ είναι ορθογώνιο. O K Λ Φέρουµε την ευθεία ΟΚ, που τέµνει τη σε σηµείο Λ. Θα αποδείξουµε ότι Λ µέσο της ΟΚ διάµεσος του ορθογωνίου τριγώνου Ο ΟΚ = = Κ, δηλαδή τρίγωνο ΚΟ ισοσκελές, άρα ˆΟ = ˆ, αλλά ˆ = ˆ άρα ˆΟ = ˆ, οπότε τρίγωνο ΛΟ ισοσκελές µε ΛΟ = Λ. Οµοίως ΛΟ = Λ, άρα Λ = Λ. i ΚΛ = ΟΛ ΟΚ = Λ Κ = ii Στο τρίγωνο έχουµε Κ = Στο τρίγωνο έχουµε Λ = Άρα Κ = Λ ΚΛ παρ/µµο. = Στο τρίγωνο έχουµε Κ Ο, είναι και Κ Ο και αφού Ο Ο θα είναι Κ Κ, οπότε το παρ/µµο ΚΛ είναι ορθογώνιο.
9 0. ίνεται τρίγωνο, οι διχοτόµοι του και και το µέσο Μ του. Να αποδείξετε ότι η απόσταση του Μ από τη είναι ίση µε το άθροισµα των αποστάσεών του από τις,. Έστω Μ, ΜΗ και ΜΘ οι αποστάσεις του Μ από τις, και αντίστοιχα. " Θ Μ " Η διχοτόµος της ˆ το ισαπέχει από τις πλευρές της, δηλαδή = () Οµοίως =. () Μ, Η µέσα πλευρών του τριγώνου ΜΗ = Μ, Θ µέσα πλευρών του τριγώνου ΜΘ = Μ διάµεσος του τραπεζίου, άρα Μ = EE + (3) πό τις (), (), (3), (4) και (5) Μ = ΜΗ + ΜΘ. (4) (5)