ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις συναρτήσεις: i. 4 f () = + 8 + 6 g() = ln + 4 i. Το πεδίο ορισμού της f είναι το. Η f είναι συνεχής ως πολυωνυμική. f () = + 4 + ( ) = + + = + =. Άρα = ή = (διπλή). f () 4 f () > ( + ) >. Άρα >. Η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, + ) και γνησίως φθίνουσα στο (,] Έχει ολικό ελάχιστο για = το f () =. Το πεδίο ορισμού της g είναι το (, + )..
Η g είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. g () = ( ) ln + + = ( ) ln + + = ( ) ln. g () = ( ) ln = = ή =. Για το πρόσημο της g () και τη μονοτονία της g έχουμε τον πίνακα: ( > > και ln > > ) Η g είναι γνησίως αύξουσα στα (, ] και [, + ) και γνησίως φθίνουσα στο [, ]. Έχει τοπικό μέγιστο για = το g() = ln. 7 g() = και τοπικό ελάχιστο για = το 4
Άσκηση. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις συναρτήσεις: i. συν π π ϕ () =,, ηµ g() =, [, ] + i. Η ϕ είναι συνεχής ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων. συν ηµ συν ηµ ηµ ηµ + συν ϕ () = = = ηµ ηµ ( ηµ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ηµ π π = = >, για κάθε, ηµ. Άρα η ϕ είναι γνησίως αύξουσα. Η μονοτονία και τα ακρότατα της ϕ φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: π π Άρα η ϕ έχει ολικό ελάχιστο για = το ϕ =. Η g είναι συνεχής ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων. ( ) ( + ) ( + ) + 4 ( + ) ( + ) ( + ) g () = = =. g () = = = = ( + ) ή =.
Επειδή η g είναι συνεχής σε κλειστό διάστημα θα έχει μία μέγιστη και μια ελάχιστη τιμή. Υπολογίζουμε τις τιμές της g στα κρίσιμα σημεία = και = καθώς και στα άκρα του διαστήματος. Η μεγαλύτερη απ αυτές είναι το μέγιστο και η μικρότερη το ελάχιστο της συνάρτησης. 4 4 Έτσι έχουμε: g( ) =, g() =, g( ) =, g() =. 5 5 Άρα η g παίρνει το μέγιστο για = και είναι το g() = και το ελάχιστο για = και είναι το g( ) =. Επειδή ( ) είδος των ακροτάτων φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. g () > > > < <, η μονοτονία της g και το Οπότε, η g, εκτός από το ολικό ελάχιστο για =, το g( ) = και ολικό μέγιστο 4 για =, το g() =, παρουσιάζει τοπικό μέγιστο για =, το g( ) = και 5 4 τοπικό ελάχιστο για =, το g() =. 5 4
Άσκηση. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις συναρτήσεις: i. f() = 4, 6 + 8, >, < g() = + ( ) 4 4, i. Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το. Είναι συνεχής για < και για >, ως πολυωνυμική. Επίσης ισχύουν: = ( ) =, ( ) lim f () lim 4 συνεχής και στο =. lim f () = lim 6 + 8 = και f () =. Άρα είναι + + Για <, f () = και για >, f () = 6. Η συνάρτηση f δεν είναι παραγωγίσιμη στο =, διότι: f() f() 4 ( ) lim = lim = lim + = 4, ενώ f() f() 6 8 + + + ( ) ( 4) + lim = lim = lim =. Άρα, < f () =. 6, > f () = = = ή f () = 6 = =. f () > > < < και f () > 6 > >. Η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: 5
Παρατηρούμε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα (,] και [ ] γνησίως αύξουσα στα [, ] και [, + ) και έχει τοπικό ελάχιστο για = το f () = 4 και για = το f () = και τοπικό μέγιστο για = το f () =. Η συνάρτηση g έχει πεδίο ορισμού το.,, Είναι συνεχής για < ως ρητή και για >, ως πολυωνυμική. Επίσης ισχύει: lim g() = lim = + ( ). Άρα δεν είναι συνεχής στο =. Για <, g () = ( ) = > ( ) ( ) και για >, g () = 4 >. Άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στα (,) και [, + ). Το σύνολο τιμών της g στο (,) είναι το ( lim g(), lim g() ) (, ) σύνολο τιμών στο [, + ) είναι το g(), lim g() ) = [, + ) + = + και το Δηλαδή το σύνολο τιμών της g είναι το [, + ). Άρα είναι g() = g(), για κάθε. Οπότε η g έχει ελάχιστο το g() =.. 6
ΘΕΜΑ Γ Άσκηση. Δίνεται η συνάρτηση f () = ln +. i. Να δείξετε ότι έχει ελάχιστο. Να δείξετε ότι η εξίσωση = είναι αδύνατη για >. i. Το πεδίο ορισμού της f είναι το (, + ). Η f είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. f () = ln + = ln +. f () = ln + = ln = =. f () > ln + > >. Η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Η f έχει ελάχιστο για = το f = ln + = + = >. Είναι = ln( ) = ln ln + ln = ln + = ln + = f () = () Από το i) ερώτημα έχουμε ότι η f έχει για =, ελάχιστο το. Άρα ισχύει f( ) >. για κάθε >. Οπότε η εξίσωση f() = είναι αδύνατη, και λόγω της ισοδυναμίας (), το ίδιο ισχύει και για την αρχική εξίσωση. 7
Άσκηση. i. Να δείξετε ότι >, για κάθε. Να μελετήσετε το πρόσημο της συνάρτησης g() =. i. Είναι > >. Θεωρούμε τη συνάρτηση f() =,. Είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων f () = = = ln και f () =. f () > > > ln. Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται η μονοτονία και τα ακρότατα της f : Η f έχει ελάχιστο για = ln το ln f (ln ) = ln = ln. Άρα ισχύει f () f (ln ) = ln > αφού ln = ( ln ) = (ln ln ) = ln > γιατί >. Άρα >,για κάθε. Η g() = έχει πεδίο ορισμού το και είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. g () = = f() >, για κάθε, σύμφωνα με το (i) ερώτημα. Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα. Επίσης ισχύει g() =, οπότε η εξίσωση g() = έχει μοναδική ρίζα την =. Για το πρόσημο της g έχουμε : g: γν. αύξ. > g() > g() =. g: γν.αύξ. < g() < g() = και 8
Άσκηση. i. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση f () = ln +. Να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης ln g() = + ln +. i. Η συνάρτηση f () = ln + έχει πεδίο ορισμού το (, + ) και είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. f () = =. > f () = = = =. > f () > > > < <. Η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στο διπλανό πίνακα. Η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, ] και γνησίως φθίνουσα στο [, + ). Έχει μέγιστο για = το f () =. ln Η συνάρτηση g() ln ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. = + + έχει πεδίο ορισμού το ( ), + και είναι συνεχής ln ln + f () g () = ln ( ln ) + = + = = () f() > g () = = f() = = (αφού από το (i) ερώτημα η f έχει για =, μέγιστο το f () = προκύπτει ότι η εξίσωση f() = έχει μοναδική ρίζα το = ). Επίσης f() < f() =, για κάθε <. Τότε, g () <. Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο (, + ). 9
Για το πρόσημο της g έχουμε: g: γν. φθίν. < < g() > g() = και g: γν. φθίν. > g() < g() =.
Άσκηση 4. Να μελετήσετε το πρόσημο της συνάρτησης f() = ηµ +. Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το και είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. f () = συν + f () = ηµ + () f () = συν + >, για κάθε. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα. Επίσης f () =, οπότε η εξίσωση f () = έχει μοναδική ρίζα το =. Για το πρόσημο της f () έχουμε: f : γν.αύξ. < f () < f () = και f : γν. αύξ. > f () > f () =. Έτσι στον παρακάτω πίνακα φαίνονται η μονοτονία και τα ακρότατα της f. H f έχει ολικό ελάχιστο για =, το f () =. Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση f () = έχει μοναδική ρίζα το = και f () >, για κάθε. Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. Επίσης f () =, οπότε η εξίσωση f() = έχει μοναδική ρίζα το =. Για το πρόσημο της f έχουμε: f: γν. αύξ. < f() < f() = και f: γν. αύξ. > f() > f() =.
Άσκηση 5. Να δείξετε ότι η συνάρτηση διάστημα (, π ). f() = συν + έχει ακριβώς μία θέση ολικού ελαχίστου στο Η συνάρτηση f είναι συνεχής, ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων στο [, π ]. Η f () = ηµ + είναι συνεχής στο [, π ] ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. = ηµ + = < και ( ) f () Δηλαδή ( ) f () f π <. f π = ηµπ +π=π >. Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano, η εξίσωση f () =, έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (, π ). = συν + >, για κάθε (, ) Επίσης, f () Άρα η f () είναι γνησίως αύξουσα στο [ ] η ρίζα αυτή στο ( ) μοναδική και έστω Τότε έχουμε: f: γν. αύξ. π. < < f () < f ( ) f () < και f: γν. αύξ. < <π f () > f ( ) f () >., π. Οπότε η ρίζα της εξίσωσης f () = είναι, π. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η f έχει ακριβώς μία θέση ολικού ελαχίστου στο (, π ).
Άσκηση 6. Δίνεται η συνάρτηση f :, δύο φορές παραγωγίσιμη για την οποία ισχύουν f() = f() = και f () >, για κάθε. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένα στο οποίο η f παρουσιάζει ελάχιστο. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [, ] και παραγωγίσιμη στο ( ) παραγωγίσιμη. Επίσης, ισχύει f() = f() =. Σύμφωνα με το θεώρημα Roll, υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) f ( ) =.,, αφού είναι δύο φορές τέτοιο, ώστε Επειδή η f () >, για κάθε, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα. Άρα το είναι μοναδικό. Έχουμε, f: γν. αύξ. < f () < f ( ) = και f: γν. αύξ. > f () > f ( ) =. Άρα η συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο για =.
Άσκηση 7. i. Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα η συνάρτηση f() =. Να δείξετε ότι: ( ) 7, για κάθε. 7 h() = 6 6. i Nα μελετηθεί ως προς τα ακρότατα η συνάρτηση ( ) i. Η συνάρτηση f() = είναι συνεχής στο, ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων. ( ) f () = =. ( ) f () ( ) = = = = (διπλή) ή =. ( ) > f () ( ) > > > < και Η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Η f είναι γνησίως αύξουσα στο (,] και γνησίως φθίνουσα στο [, + ). Επίσης έχει 7 μέγιστο για = το f () =. 7 Αφού η f έχει μέγιστο για =, θα ισχύει f() f() =, για κάθε. Άρα 7 έχουμε, 7 ( ) 7, για κάθε. i Η h είναι συνεχής στο ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. 4
7 7 h () ( 6 6) ( 6 6) = + =, για κάθε, σύμφωνα με το προηγούμενο ερώτημα. Ισχύει h () = μόνο για =, από το (i) ερώτημα. Άρα η h είναι γνησίως φθίνουσα στο και δεν έχει ακρότατα. 5
Άσκηση 8. i. Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης Να βρεθεί η μικρότερη τιμή του λ>, ώστε f() =, λ>. λ λ +, για κάθε. λ λ λ i. Η συνάρτηση f() =, λ>, είναι συνεχής στο ως άθροισμα συνεχών λ συναρτήσεων. =λ. λ f () ln f () = λ = = λ = ln λ = λ λ. λ λ λ λ λ ln λ f () > λ > > λ > ln λ > λ λ. Άρα η συνάρτηση έχει ελάχιστο για ln λ =, το λ ln λ λ λ ln λ ln λ ln λ ln λ f = + = + = λ λ λ λ λ λ λ λ Πρέπει +, για κάθε. Από το (i) ερώτημα πρέπει λ λ f(), για κάθε, δηλαδή το ελάχιστο της f να είναι. Άρα πρέπει: ln λ λ λ> λ λ λ ln ln. Συνεπώς η μικρότερη τιμή του λ για να ισχύει η δοθείσα ανισότητα είναι το. 6
Άσκηση 9. Να δείξετε ότι ln ( ) +, για κάθε. + Η ανισότητα ισοδύναμα γράφεται ( ) Θεωρούμε τη συνάρτηση ( ) κάθε. ln +,. + f () = ln +,. Αρκεί να δείξουμε ότι f(), για + Είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. Επίσης ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + 4 + f () = = = > + + + + + + Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, + ). Οπότε έχει ελάχιστο για =, το f () =. Άρα ισχύει f() f() f(), για κάθε., για κάθε > 7
ΘΕΜΑ Δ Άσκηση. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : (, + ) (, + ) για την οποία ισχύουν f () = f() και f () =. i. Να δείξετε ότι f() =. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. i Να δείξετε ότι + ln + ln, για κάθε >. iv. Να δείξετε ότι η ευθεία ε : y = εφάπτεται στην γραφική παράσταση της συνάρτησης g() =, >. f (). f() f() i. Ισχύει f () = f() = ( lnf() ) = ( ln ) Άρα > ln f () = ln + c. Για =, γίνεται ln f () = ln+ c c =. Έτσι, είναι ln lnf() = ln f() = f() =. Η f είναι συνεχής ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων και ( ) f () = =. ( ) f (), = = = που ισχύει για ( ) f (), > > > που ισχύει για =, διότι >. >, διότι >. Η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: 8
Η f έχει ελάχιστο για = το f = =. i Από το (ii) ερώτημα η f έχει ελάχιστο το, άρα ισχύει ( ) ln: γν. αυξ. f () ln ln + ln + ln ln +, για κάθε >. iv. Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει > τέτοιο, ώστε g( ) = = = g ( ) = = = = = =. 9
Άσκηση. Δίνεται η συνάρτηση f :, για την οποία ισχύουν: f (4 ) = f( + ), για κάθε και f (), για κάθε. i. Να λυθεί η εξίσωση f () =. Αν, επιπλέον, η f είναι συνεχής στο [, 4 ] και f () > f (), να βρεθούν τα ολικά ακρότατα της f στο [, 4 ]. i. Αφού η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη, παραγωγίζουμε και τα δύο μέλη της f (4 ) 4 = f ( + ) + f (4 ) = f ( + ), για ισότητας και έχουμε: ( ) ( ) κάθε. Για =, προκύπτει f () = f () f () = f () =, δηλαδή το = είναι λύση της f () =. Έστω ότι η εξίσωση f () = έχει κι άλλη ρίζα ρ>. Τότε ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Roll για την f στο [,ρ ] και έτσι υπάρχει ξ (, ρ ) με f ( ξ ) = (άτοπο, διότι f (), για κάθε ). Ομοίως αν υποθέσουμε ότι έχει κι άλλη ρίζα ρ<. Άρα η εξίσωση f () = έχει μοναδική ρίζα την =. Επειδή η f () και συνεχής, θα διατηρεί σταθερό πρόσημο. Άρα η f είναι γνησίως μονότονη. Από Θ.Μ.Τ για την f στο [, ], προκύπτει ότι υπάρχει f () f () ξ (, ) τέτοιο, ώστε f( ξ ) = <. Από Θ.Μ.Τ για την f στο [ ξ, ], προκύπτει ότι υπάρχει ξ ξ (, ) τέτοιο, ώστε f() f( ξ) f( ξ) f ( ξ ) = = >. ξ ξ
Οπότε f () >, για κάθε. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα. Έτσι έχουμε: < < 4 f() > f() = και < < f() < f() =. Οπότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [, ] και γνησίως αύξουσα στο [, 4 ]. Συγκρίνουμε τις τιμές της f στα σημεία = (κρίσιμο σημείο) και =, = 4 (άκρα): f: γν. φθίν. < f() > f(), f: γν. αύξ. < 4 f() < f(4). Αν στην αρχική ισότητα θέσουμε =, προκύπτει f () = f (4). Επίσης, έχουμε f () > f (). Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι f() < f(4) < f(), οπότε η f έχει ελάχιστο στο =, το f () και μέγιστο στο =, το f ().
Άσκηση. A. Να δείξετε ότι η εξίσωση + = έχει μοναδική ρίζα στο (, ). B. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z = + i, < (). i. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο της εικόνας του z. Να δείξετε ότι υπάρχει μιγαδικός αριθμός z της μορφής () που έχει την ελάχιστη απόσταση από την αρχή των αξόνων. A. Έστω η συνάρτηση συναρτήσεων και f() = +, [, ] = = <, f () = >. f ( ). Είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών Από το θεώρημα Bolzano, προκύπτει ότι η εξίσωση f() = έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (, ). Όμως, = + >, για κάθε (, ) f () αύξουσα και η ρίζα της εξίσωσης f() = είναι μοναδική.. Άρα η f είναι γνησίως B. i. Έστω κ=, λ=, όπου M( κλ, ) η εικόνα του μιγαδικού αριθμού z. Τότε είναι λ κ= λ= ln κ, με λ= <. Άρα ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του z είναι η καμπύλη y = ln, με < < αφού ln <. Η απόσταση της εικόνας του z από την αρχή των αξόνων είναι z = ( OM) = +. Έστω g() = +, <. Η συνάρτηση g είναι συνεχής ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων και + + f () ( ) g () = + = = = + + + + f() g () = = f() = + σύμφωνα με το (i) ερώτημα. που έχει μοναδική ρίζα στο (, ) Έστω ότι είναι η μοναδική ρίζα της εξίσωσης, δηλαδή f( ) =. ()
Έχουμε: () f() g () > > f() > f() > f( ) >, διότι η f είναι + γνησίως αύξουσα. Η μονοτονία και τα ακρότατα της g φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Η g έχει ελάχιστο για =, άρα ο μιγαδικός με την ελάχιστη απόσταση από την αρχή των αξόνων είναι ο z= + i. Ημερομηνία τροποποίησης: /9/