5 Έστω Το θεώρηµα αντίστροφης απεικόνισης Ι R ανοικτό διάστηµα, : Ι R διαφορίσιµη της κλάσης a Ι : '( a) 0 Τότε από την συνέχεια της ' υπάρχει 0 ' 0 για κάθε ( a δ, a+ δ) δ > :( a δ, a δ) C και + Ι και Συνεπώς, είτε '( ) > 0 για κάθε ( a δ, a+ δ) αν '( a ) > 0 ή ' 0 κάθε ( a δ, a+ δ) αν '( a ) < 0 Έπεται ότι η είναι στο :( a δ, a+ δ) ( γνήσια µονότονη στο :( a δ, a+ δ) ) και ακόµη ότι η ( a δ, a δ) < για + είναι διαφορίσιµη συνάρτηση και '( ' για ( a δ, a+ δ ) και y ηλαδή η υπόθεση ότι η είναι C στο Ι και ότι '( a) 0 για κάποιο a Ι έπεται ότι η είναι τοπικά αντιστρέψιµη στο a, µε άλλα λόγια αν y «κοντά» στο ( a ) µπορούµε να λύσουµε µοναδικά την εξίσωση y για «κοντά» στο a Ο σκοπός µας είναι η παρουσίαση του αντίστοιχου αποτελέσµατος στις πολλές µεταβλητές 4 Θεώρηµα ( Αντίστροφης απεικόνισης ) Έστω : D R R C απεικόνιση Αν a D R ανοικτό και D ώστε det 0, τότε η είναι a τοπικά αντιστρέψιµη στο a, δηλαδή υπάρχουν ανοικτά σύνολα U, V R µε a U και b ( a) V, ώστε η U να είναι : να είναι της κλάσης V U ισχύει: ( ) για U p Αν η είναι της κλάσης C, p, τότε το ίδιο είναι και η Σηµείωση Έστω ( ), U V και η αντίστροφη απεικόνιση C Επί πλέον για τον πίνακα acob της U,,, το συµπέρασµα µε άλλα λόγια του θεωρήµατος είναι το ακόλουθο Αν y ( y,, είναι σηµείο «κοντά» στο b ( a) τότε το σύστηµα των εξισώσεων (,, ) (,, ) y y έχει ακριβώς µια λύση «κοντά» στο a Επί πλέον η (,, ) y y,, y,, y,, y ( ή (, εξάρτηση των λύσεων ( ) ( ) όπου και ( ) y y είναι,, ) από τα,, p C ( ή C ) Καθόσον αφορά τις µερικές παραγώγους, των λύσεων (,, y είναι, παρατηρούµε ότι επειδή ο πίνακας acob y
5 αντίστροφος του, όπου ( παράγωγοι, (,, j εξισώσεων µε j y j, j και j, j,οι µερικές υπολογίζονται λύνοντας ένα γραµµικό σύστηµα αγνώστους, το οποίο προκύπτει από την εξίσωση των πινάκων, [ Ι, y, U ] y 0 όπου Ι ο ταυτοτικός πίνακας 0 m Συµβολισµός: Έστω : U R R διαφορίσιµη συνάρτηση,,, m Αν a U τότε ο πίνακας acob ( a) της στο a µερικές φορές θα συµβολίζεται και µε ( a) Παραδείγµατα ) Η απεικόνιση (, ) ( cos, s ) (,, m) ( a ) ( ( a),, j m j ) : R R που ορίζεται από την, y e y e y, είναι τοπικά αντιστρέψιµη σε κάθε σηµείο του δεν είναι Λύση Θέτοµε R αλλά u e cos y και v e s y Ο πίνακας acob της είναι ο ( u, e cos y e s y και η ορίζουσά του είναι η (, e s y e cos y ( u, det e ( cos y+ s e > 0 για κάθε (, (, R Έπεται προφανώς από το θεώρηµα αντιστρόφου συναρτήσεως ότι η είναι τοπικά, y R Η δεν είναι, αφού αντιστρέψιµη σε κάθε σηµείο u(, y+ π) u(, και v(, y+ π) v(, για κάθε (, R Παρατηρούµε ότι, το παράδειγµα που εξετάσαµε µας δείχνει ότι το ακόλουθο αποτέλεσµα ( συνέπεια του θεωρήµατος Darbou) από τον Λογισµό της µίας µεταβλητής δεν ισχύει για συναρτήσεις δύο µεταβλητών: Έστω Ι R ανοικτό διάστηµα και : R ' 0 για κάθε Ι, τότε είτε ' 0 Ι διαφορίσιµη ώστε > για κάθε Ι ή ' 0 είναι γνήσια µονότονη και έτσι είναι < για κάθε Ι Εποµένως η Σηµείωση Οι µερικές παράγωγοι,,, σύστηµα: υπολογίζονται λύνοντας το
54 0,, 0 det det και, όπου det e det det cos y s y y s y y cos y Συνεπώς,,, και ( Θέτοµε e e e e οπότε, ( u, ( ( u,, y( u, ) και ), 4 4 + y Παράδειγµα Θεωρούµε τις εξισώσεις, u και s + cos y v y µπορούν να επιλυθούν ως προς, y αυτές οι εξισώσεις Κοντά σε ποια σηµεία (, ) ( εννοούµε να εκφράσουµε τα και y ως ( u, και y y( u, ); Λύση Εδώ έχουµε την απεικόνιση, : D R R : ( u, + y 4 4 (, ) και u y v, y s + cos y Το πεδίο ορισµού της είναι το σύνολο Ο πίνακας acob της στο (, ( u, (, {, : 0} µε D y R, που βέβαια είναι ανοικτό y 4y (, ) Σε εκείνα τα σηµεία (, ) cos 4 4 det cos s y, s y 4y ( y ) y D είναι, και η ορίζουσά του: y όπου αυτή η έκφραση ορίζεται και δεν µηδενίζεται µπορούµε να επιλύσουµε τις εξισώσεις ως προς και y Εποµένως µπορούµε να επιλύσουµε τις εξισώσεις κοντά σε εκείνα τα σηµεία (, y ) για τα οποία 0 και επί πλέον, s 4 cos y y y ( Τα σηµεία αυτά συνιστούν ένα ανοικτό υποσύνολο του R και άρα του D ) π π Για παράδειγµα, αν 0 και y0 τότε 4 4 4 π π π (, ) π det ( 0, y 0) 0 Εποµένως µπορούµε να (, π π 4 π π λύσουµε τις δοσµένες εξισώσεις ως προς και y κοντά στο,
55 Σηµείωση: Οι παράγωγοι των λύσεων,,,, υπολογίζονται σύµφωνα µε το θεώρηµα αντιστρόφου συναρτήσεως, αντιστρέφοντας τον πίνακα acob της Έτσι έχουµε:, v v ( Γράφουµε, u, v u, v, y u, v ) Άρα, και τότε, 0 0, det,, det det det Έτσι βρίσκουµε: 4y v s y y 4y cos s y u s y y 4y cos 4y s y y 4y cos Ανάλογα υπολογίζουµε και τις παραγώγους, v Παρατηρούµε ότι οι παράγωγοι που βρήκαµε εκφράζονται µέσω των και y και όχι των u και v Ο υπολογισµός αυτών των παραγώγων σε ένα σηµείο (, ) ( 0 0 0 0 ) τιµή της παραγώγου στο (, ), (, ) π u( 0, y0), v( 0, y0) Έτσι, 4 ( Θυµίζουµε ότι, ( u,, y y( u, y δίνει την 0 0 π u y v y Για παράδειγµα αν 0 y0 τότε π, 4 και η τοπική αντίστροφη της στο (, ) ( 0 s y0) s y y 4y cos y 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) 0, y0 ( 0, y 0), όπου π Παρατηρούµε ότι το θεώρηµα αντιστρόφου συναρτήσεως µας υποδεικνύει την ύπαρξη λύσεων σε εξισώσεις και µας λέει πώς να διαφορίσουµε τις λύσεις αν και ενδέχεται να µην είναι δυνατόν να καταγράψουµε τις λύσεις αυτών των εξισώσεων )Έστω : R R C συνάρτηση, ώστε Μ, R για κάποια σταθερά Μ> 0 Αν L : R R είναι γραµµικός ισοµορφισµός, τότε η συνάρτηση + L, R είναι τοπικά αντιστρέψιµη στο 0 Λύση Παρατηρούµε ότι αν T : R T για κάθε R η σταθερά συνάρτηση 0 ( 0 R ) τότε ( παρατηρώντας ότι ( 0) 0 ) ( 0) ( 0) T 0 Μ Μ για κάθε 0,
56 ( 0) ( 0) T Συνεπώς lm lm( Μ ) 0 0 0 0 Άρα για την ( 0) ( 0) ( 0) ( 0) D D + DL D + L L Έπεται ότι D ( 0) Τ 0 C συνάρτηση, + L έχουµε Επειδή L γραµµικός ισοµορφισµός ο πίνακας acob ( 0) ο οποίος ταυτίζεται µε τον πίνακα της γραµµικής L είναι αντιστρέψιµος, έτσι έχουµε το συµπέρασµα