! = wr = mg(l/2)"µ# (1)

Οµογενής ράβδος µάζας m και µήκους L, µπορεί να στρέφεται χωρίς τριβή περί σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της Ο. Εκτρέπουµε τη ράβδο από τη θέση ευσταθούς ισορ ροπίας της κατα γωνία φ και την αφήνουµε ελεύθερη. Να µελετη θεί η κίνησή της. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και η ρο πή αδράνειας Ι=mL /3 της ράβδου περί άξονα που διέρχεται από το άκρο της Ο και είναι κάθετος στη ράβδο. ΛΥΣΗ: Θεωρούµε τη ράβδο σε µια τυχαία θέση (τ), όπου η γωνιακή εκτρο πή της από την κατακόρυφη διεύθυνση Οz (θέση ευσταθούς ισορροπίας) είναι φ. Στη θέση αυτή η ράβδος δέχεται το βάρος της w και τη δύναµη δεσµού από τον άξονα περιστροφής της. Η συνολική ροπή των δύο αυτών δυνάµεων περί τον άξονά της ράβδου αποτελεί ροπή επαναφοράς µε µέτρο: = wr = mg(l/)"µ# (1) Εφαρµόζοντας για τη ράβδο στη θέση αυτή τον θεµελιώδη νόµο της στρο φικής κίνησης, µε θετική φορά περιστροφής την φορά κατά την οποία η γω νιακή εκτροπή φ αυξανεται, παίρνουµε τη σχέση: I d = -" (1) ml 3 d = -mg L "µ d + 3g L "µ = d + k "µ = () µε k =3g/L. H () αποτελεί την διαφορική εξίσωση της στροφικής κίνησης της ράβδου, η λύση της οποίας είναι εξαιρετικά περίπλοκη, λόγω της παρου

σίας του όρου ηµφ. Πράγµατι αν αναπτύξουµε το ηµφ σε σειρά Maclau rin η () γράφεται: d + " k - 3 3 + 5 5-7 $ # 7 +... % ' = (3) & δηλαδή έχουµε να αντιµετωπίσουµε µια µη γραµµική διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως, της οποίας η λύση κάτω από δεδοµένες αρχικές συνθήκες δεν επιτυγχάνεται αναλύτικά, αλλά µόνο µε γραφικό τρόπο µέσω κατάλλη λου προγράµµατος ηλεκτρονικού υπολογιστή (λόγου χάρη του προγράµµα τος Mathematika) και µάλιστα η γραφική αυτή λύση προσεγγίζει εξαιρετικά την πραγµατικότητα. Στην ειδική περίπτωση που η γωνιακή εκτροπή φ παίρνει µικρές τιµές που µας επιτρέπουν να γράψουµε την προσεγγιστική σχέση ηµφ φ(rad), τότε η πιο πάνω εξίσωση παίρνει τη µορφή: d + k = (4) η οποία αναφέρεται στον στροφικό αρµονικό ταλαντωτή και δέχεται λύ ση της µορφής: = " #µ (kt + $) (5) όπου οι σταθερές Φ και θ θα προκύψουν από τις αρχικές συνθήκες (φ) t= και (dφ/) t= της ράβδου κατα τρόπο ανάλογο µε εκείνο του µονοδιάστατου αρµονικού ταλαντωτή. Υπολογισµός της περιόδου κίνησης της ράβδου. Εφαρµόζοντας για τη ράβδο την αρχή διατήρησης της µηχανικής ενέργειας κατά την µετάβασή της από την αρχική της θέση (α) όπου αφήνεται ελεύ θερη, µέχρι την τυχαία θέση (τ) παίρνουµε τη σχέση: ( ) + I + = -mg L "#$ - "#$ % d$ ( ' * & ) ml " d % $ ' 3 # & = mgl (()* - ()* ) d = ± 3g ( L "#$ - "#$ ) = ± 3g & L %µ - %µ ) ( ' + * = ± L 3g d "µ ( / ) - "µ ( / ) (6)

Ολόκληρώνοντας την (6) µε όρια ολοκλήρωσης για την γωνία φ τα φ και παίρνουµε την ποσότητα Τ/4, όπου Τ η περίοδος της περιοδικής στροφικής ταλάντωσης της ράβδου. Έτσι θα έχουµε τη σχέση: T 4 = L 3g d # (7) "µ ( / ) - "µ ( / ) Θέτοντας ηµ(φ /)=α µε <α<1 και ηµ(φ/)=αz µε <z <1 η (7) γράφεται: T = 4 L 3g d # (8) " 1 - z Όµως ισχύουν και οι σχέσεις: 1 "# % $ ( ' * d$ = +dz 1 & ) 1 - µ " d" = #dz d = "dz 1 - #µ ( / ) = "dz 1 - " z µε αποτέλεσµα η σχέση (8) να γράφεται: T = 8 L 3g 1 dz " (9) (1 - z )(1 - z ) To ολοκλήρωµα που εµφανίζεται στο δέυτερο µέλος της (9) αποτελεί το λεγόµενο ελλειπτικό ολοκλήρωµα πρώτου είδους και δεν υπολογίζε ται συµβατικά, αλλά µόνο αν η ολοκληρωτέα συνάρτηση αναπτυχθεί σε σει ρά Maclaurin. O τελικός υπολογισµός καταλήγει στη σχέση: T = L * 3g 1 + " 1 %, $ ' # & +, ) (µ + " 1.3 % $ ' #.4& ) (µ 4 + " 1.3.5 % $ ' #.4.6& ) - (µ 6 +... /. / Mε το πρόγραµµα Mathematika µπορεί να επαληθευθεί µε µεγάλη προσέγγι ση η τελευταία σχέση. P.M. fysikos Mια λεπτή τροχαλία ακτίνας R έχει στερεωθεί σε οριζόντιο λείο τραπέζι, ώστε να µη µπορεί να περιστρέφεται. Στο αυλάκι της τρο χαλίας έχει στερεωθεί το άκρο αβαρούς και µη εκτατού νήµατος

µήκους α στο άλλο άκρο του οποίου έχει δεθεί µικρό σφαιρίδιο µάζας m που ακουµπάει στο τραπέζι. Την χρονική στιγµή t= το σφαιρίδιο ωθείται απότοµα µε αποτέλεσµα να αποκτά ταχύτητα v της οποίας ο φορέας είναι κάθετος προς το τεντωµένο νήµα και τότε αυτό αρχίζει να τυλίγεται στο αυλάκι της τροχαλίας. i) Να εκφράσετε σε συνάρτηση µε το χρόνο τo µήκος του νήµατος. ii) Nα δείξετε ότι τα κέντρα καµπυλότητας της τροχιάς που διαγρά φει το σφαιρίδιο βρίσκονται στο αυλάκι της τροχαλίας. iii) Eάν η αντοχή θραύσεως του νήµατος είναι T =mg, όπου g το µέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας, να βρεθεί η χρονική στιγµή που σπάει το νήµα. ΛΥΣΗ: i) Kαθώς το νήµα τυλίγεται στο αυλάκι της τροχαλίας δεν συµβαί νει ανταλλαγή ενέργειας µεταξύ του σφαιριδίου και της τροχαλίας που συνε χώς παραµένει ακίνητη. Αυτό σηµαίνει ότι η κινητική ενέργεια του σφαιρι δίου δεν µεταβάλλεται στην διάρκεια της κίνησής του, δηλαδή δεν µεταβάλ λεται το µέτρο της ταχύτητάς του. Άρα η τάση T του νήµατος επί του σφαιριδίου είναι συνεχώς κάθετη στο διάνυσµα της ταχύτητάς του, δηλαδή αποτελεί για το σφαιρίδιο κεντροµόλο δύναµη. Ας εξετάσουµε το σφαιρίδιο σε µια τυχαία θέση της τροχιάς του της οποίας η επιβατική ακτίνα ως προς το Ο είναι r. Aναλύουµε την ταχύτητα v του σφαιριδίου στην ακτινική συνιστώσα v r και στην κάθετη προς την ακτίνα συνιστώσα v K και επειδή η v r είναι αντίρροπη της επιβατικής ακτίνας θα ισχύει η σχέση: dr = -v dr r = -vµ" = -v R r rdr = -v R (1) όπου φ η γωνία του νήµατος µε την επιβατική ακτίνα r στη θέση όπου εξε τάζουµε το σφαιρίδιο. Ολοκληρώνοντας τη σχέση (1) παίρνουµε: r / = - v Rt + όπου σταθερά ολοκλήρωσης που θα βρεθεί από την αρχική συνθήκη ότι για t= είναι r =α +R. Έτσι η προηγούµενη σχέση για t= δίνει = (α +R )/ δηλαδή θα ισχύει:

r = -v Rt + + R r = -v Rt + + R r - R = -v Rt + L = -v Rt + () όπου L το µήκος του νήµατος στην θέση που εξετάζουµε το σφαιρίδιο. H () αποτελεί την ζητούµενη σχέση. ii) Εξάλλου εφαρµόζοντας για το σφαιρίδιο το νόµο της στροφορµής περί το σηµείο Ο, µε θετική φορά εκείνη κατά την οποία στρέφεται το σφαιρίδιο, παίρνουµε τη σχέση: dl = -TR d(mrv ) K = -TR d(mrv"#$) = -TR d(mrvl/ r) = -TR d(mv L) = -TR mv dl = -TR (3) όπου Τ το µέτρο της τάσεως του νήµατος. Διαφορίζοντας τη σχέση () παίρ νουµε: LdL = -v R dl = -v R (4) L Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουµε: R$ mv # -v " L% & = -TR T = mv L (5) Επειδή η τάση του νήµατος σε κάθε θέση του σφαιριδίου λειτουργεί ως κεν τροµόλος δύναµη, από την (5) προκύπτει ότι η ακτίνα καµπυλότητας της τροχιάς του σφαιριδίου είναι σε κάθε σηµείο της ίση µε το αντίστοιχο µήκος του νήµατος. Το γεγονός αυτό σηµαίνει ότι τα κέντρα καµυλότητας της τρο χιάς του σφαιριδίου βρίσκονται στο αυλάκι της τροχαλίας. iii) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και () παίρνουµε: T = m v 4 L - v Rt H πιο πάνω σχέση εφαρµοζόµενη τη στιγµή t * που επίκειται η θραύση του νήµατος δίνει: m g = m 4 v L L - v Rt * = v 4 - v Rt * g

v Rt * = L - v 4 g t * = L g 4 - v v Rg P.M. fysikos Ένας λεπτός κυκλικός δίσκος ακτίνας R, εκτοξεύεται κατά τέτοιο τρόπο, ώστε τη στιγµή που έρχεται σε επαφή µε το οριζόντιο έδα φος να έχει µόνο µεταφορική ταχύτητα v παράλληλη προς αυτό. i) Λαµβάνοντας επί του επιπέδου κίνησης του δίσκου ένα ορθογώ νιο σύστηµα αξόνων Οxy, όπου Ο το σηµείο επαφής του δίσκου µε το οριζόντιο έδαφος τη στιγµή t=, να δείξετε ότι το διάνυσµα θέσε ως r K του στιγµιαίου κέντρου περιστροφής του δίσκου ως προς το Ο, ικανοποιεί τη διανυσµατική σχέση: r K = r + ( " v ) όπου r, v το διάνυσµα θέσεως και η ταχύτητα αντιστοίχως του κέντρου µάζας του δίσκου και η γωνιακή ταχύτητα περιστρο φής του περί το κέντρο µάζας. ii) Χρησιµοποιώντας την παραπάνω σχέση να βρείτε σε συνάρτηση µε τον χρόνο τις συντεταγµένες του στιγµιαίου κέντρου περιστρο φής του δίσκου στο σύστηµα Οxy. Δίνονται ο συντελεστής τριβής ολίσθησης n µεταξύ του δίσκου και του εδάφους, η επιτάχυνση g της βαρύτητας και η ροπή αδράνειας Ι=mR / δίσκου ως προς άξο να που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. ΛΥΣΗ: i) Από τη στιγµή που ο δίσκος έρχεται σ επαφή µε το οριζόντιο έδαφος δέχεται το βάρος του w και τη δύναµη επαφής από το έδαφος, η οποία αναλύεται στην κάθετη αντίδραση N που είναι κατακόρυφη και την τριβή ολίσθησης T που είναι αντίρροπη της αρχικής ταχύτητας v του κέντρου του δίσκου. Ο δίσκος εκτελεί υπό την επίδραση των δυνάµεων αυτών επίπεδη κίνηση που αποτελείται από µια µεταφορική ολίσθηση που έχει κατεύθυνση ίδια µε την κατεύθυνση της v και µια δεξιόστροφη περισ τροφή περί άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επί πεδό του. Η επίπεδη αυτή κίνηση µπορεί να θεωρηθεί ως γνήσια περιστρο φή περί άξονα που διέρχεται από το στιγµιαίο κέντρο περιστροφής Κ και είναι κάθετος στο επίπεδο του δίσκου. Aς επιχειρήσουµε να καθορίσουµε κάποια στιγµή την θέση του στιγµιαίου κέντρου περιστροφής Κ του δίσκου ως προς την αρχή Ο του αδρανειακού συστήµατος αναφοράς Οxy. H ταχύ τητα v K του K κατά την θεωρoύµενη χρονική στιγµή είναι µηδενική και θα ισχύει η σχέση:

= v + ( " r ) ( " r ) = - v (1) όπου r το διάνυσµα θέσεως του Κ ως προς το κέντρο µάζας του δίσκου. Πολ λαπλασιάζοντας εξωτερικά και τα δύο µέλη της (1) µε το διάνυσµα παίρ νουµε τη σχέση: [ " ( " r )] = -( " v ) Σχήµα α Σχήµα β η οποία µε βάση την διανυσµατική ταυτότητα: γράφεται: [ " (# " $ )] = ( % $ )# - ( %# ) $ ( " r ) - ( " ) r = -( # v ) ( " r ) - r = -( # v ) () Όµως τα διανύσµατα και r είναι µεταξύ τους κάθετα, που σηµαίνει ότι το εσωτερικό τους γινόµενο είναι µηδενικό, οπότε η σχέση () γράφεται: - r = -( " v ) r = ( " v ) (3) Aπό το σχήµα (α) προκύπτει r + r = r K, οπότε η (3) γράφεται: ( r K - r ) = ( " v ) r K = r + ( " v ) (4) ii) Eάν x K, y K είναι οι συντεταγµένες του στιγµιαίου κέντρου περιστρο φής Κ του δίσκου. ύστερα από χρόνο t αφότου ήλθε σε επαφή µε το ορι ζόντιο έδαφος και i, j τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων Ox, Oy αντι στοίχως, θα έχουµε τις σχέσεις: r K = x K i + y K j και ( " v ) = -v j οπότε η (4) γράφεται: x K i + y K j = x i + R j + -v j

" x K i + y K j = x i + R - v $ # % ' & j x K = x " # y K = R - v / $ (5) όπου x η τετµηµένη του κέντρου µάζας του δίσκου την στιγµή που το εξετάζουµε. Εξάλλου εφαρµόζοντας για την µεταφορική κίνηση του δίσ κου τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα παίρνουµε τη σχέση: T = ma nmg = ma a = ng (6) Aπό την (6) παρατηρούµε ότι η το µέτρο της επιβράδυνσης a του κέντρου µάζας είναι σταθερή, οπότε το µέτρο της ταχύτητάς του την χρονική στιγµή t θα είναι: v = v - ngt (7) ενώ την ίδια στιγµή η τετµηµένη του κέντρου µάζας θα είναι: x = v t - ngt / (8) Εφαρµόζοντας για την περιστροφική κίνηση του δίσκου τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε: TR = I' nmgr = (mr / )' '= ng / R δηλαδή η γωνιακή επιτάχυνση ' του δίσκου είναι σταθερή, που σηµαί νει ότι το µέτρο της γωνιακής του ταχύτητας την χρονική στιγµή t θα είναι: = 't = ngt / R (9) Όµως το µέτρο της v µειώνεται µε τον χρόνο, ενώ το µέτρο της αυξάνεται και κάποια στιγµή t * θα συµβεί ωr=v. Tη στιγµή αυτή θα µηδενιστεί η ταχύτητα των σηµείων επαφής του δίσκου µε το οριζόντιο έδαφος, δηλαδή δεν θα υπάρχει σχετική κίνηση των σηµείων αυτών µε το έδαφος, µε αποτέλεσµα να µηδενιστεί η στατική τριβή. O χρόνος t * θα προκύψει από τη σχέση: v - ngt * = ngt * t * = v /3ng (1) Έτσι από την στιγµή t * και µετά ο δίσκος θα κυλίεται ισοταχώς πάνω στο οριζόντιο έδαφος και τo µέτρο της ταχύτητας v * του κέντρου µάζας θα δίνεται από τη σχέση: (1) v * = v - ngt * v * = v - ngv /3ng = v /3 (11) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5), (7), (8) και (9) παίρνουµε:

x K = v t - ngt / " y K =(3ngRt - v R)/ ngt# µε t v /3ng Τη στιγµή t * που αρχίζει η κύλιση οι σχέσεις (1) δίνουν x =5v /18ng και y K =, ενώ για t * > το σηµείο επαφής του δίσκου µε το οριζόντιο έδαφος θα αποτελει το στιγµιαίο κέντρο περιστροφής του δίσκου. P.M. fysikos Ένα ελαστικό και οµογενές σώµα σχήµατος ορθογωνίου παραλ ληλεπιπέδου ύψους h και µάζας m, προσκρούει σε τραχύ οριζόν τιο έδαφος µε ταχύτητα v και υπό γωνία προσπτώσεως φ. Την στιγµή της κρούσεως η επαφή του σώµατος µε το έδαφος γίνεται µέσω της ευρύτερης έδρας του, που έχει µήκος α. i) Να βρείτε την απαιτούµενη συνθήκη, ώστε τη στιγµή που τό σώµα εγκαταλείπει το έδαφος να κινείται κατακόρυφα; Σε ποιο ύψος θα φθάσει το σώµα στην περίπτωση αυτή; ii) Εάν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης του σώµατος είναι ο µισός του µέγιστου επιτρεπόµενου για ασφαλή ολίσθησή του, τότε παρα τηρούµε ότι το σώµα εγκαταλείπει το έδαφος υπό γωνία ανακλά σεως θ<φ. Να βρεθεί στην περίπτωση αυτή σε ποιο ύψος ανέρχεται το σώµα υπεράνω του εδάφους. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύ τητας. ΛΥΣΗ: i) Yποθέτουµε ότι το σώµα κατά τον χρόνο συµπίεσής του και αποσυµπίεσής του ολισθαίνει πάνω στο οριζόντιο έδαφος χωρίς να ανατρέ πεται. Οι δυνάµεις που δέχεται είναι το βάρος του w και η πλάγια αντίδρα ση του εδάφους, που αναλύεται στην τριβή ολίσθησης T, αντίρροπη της οριζόντιας συνιστώσας v x της ταχύτητας πρόσπτωσης v και την κάθετη Σχήµα α. Σχήµα β. αντίδραση, της οποίας το µέτρο µεταβάλλεται λόγω της ελαστικής παραµόρ φωσης του σώµατος (σχ. β). Εάν N είναι η µέση τιµή της κάθετης αντίδρα

σης κατά τον χρόνο Δt της επαφής του σώµατος µε το έδαφος µπορούµε να ισχυριστούµε ότι η N είναι σταθερή και ότι ο φορέας της είναι µετατο πισµένος κατα x σε σχέση µε το κέντρο µάζας του σώµατος (σχήµα β). Εφαρµόζοντας για το κέντρο µάζας και κατά την οριζόντια διευθυνση τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε τη σχέση: T = ma nn = ma a = nn/ m (1) όπου a η επιβράδυνση του σώµατος και n o συντελεστής τριβής ολίσθησης µεταξύ αυτού και του οριζοντίου επιπέδου. Όµως το σώµα δεν έχει περιστρο φή περί το κέντρο µάζας του, οπότε ισχύει η σχέση: Th / - Nx = nnh / = Nx x = nh / () Αλλά η απόσταση x ωφείλει να ικανοποιεί τη σχέση x α/, η οποία µε βάση την () γράφεται: nh / " / n " / h (3) H (3) εκφράζει ότι η µεγαλύτερη τιµή που επιτρέπεται να λάβει ο συντελε στής τριβής, ώστε το σώµα να ολισθαίνει χωρίς να ανατρέπεται είναι α/h. Επειδή θέλουµε το σώµα να εγκαταλείπει το έδαφος µε κατακόρυφη ταχύ τητα, αυτό σηµαίνει ότι κατά τον χρόνο Δt που επιβραδύνεται ολισθαίνον τας η οριζόντια συνιστώσα της ταχύτητάς του µηδενίζεται, οπότε θα ισχύει η σχέση: (1) v µ" - a#t = t = v "µ# /a t = mv "µ# /nn Nt = mv "µ# /n (4) Εξάλλου την στιγµή που το σώµα εγκαταλείπει το έδαφος έχει κατακόρυφή ταχύτητα v ', της οπoίας το µέτρο υπολογίζεται από το γεγονός ότι µέσω του έργου της τριβής T το σώµα απώλεσε κινητική ενεργεια ίση µε mv x /, οπότε θα ισχύει: mv' = mv - mv x v' = v - v "µ # v' = v "#$ % v' = v "#$% (5) Εφαρµόζοντας για το σώµα το θεώρηµα ώθησης ορµής κατά τον κατακόρυφο άξονα και για τον χρόνο Δt παίρνουµε τη σχέση: (5) mv' - (-mv ) = N"t - mg"t mv "#$ = N%t - mg%t (6) Θεωρώντας αµελήτέα την ώθηση του βάρους του σώµατος σε σχέση µε την ώθηση της δύναµης N, η σχέση (5) γράφεται:

(4) mv "#$ = N%t mv "#$ = mv %µ$ /n (3) n = "" / "" / # $ /h (7) H (7) αποτελεί την ζητούµενη συνθηκη. Aν Η είναι το ύψος στο οποίο ανέρ χεται το σώµα αφού εγκαταλείψει το έδαφος, θα ισχυει: mv' = mgh H = v' (5) g H = v "# $ g (6) ii) Eάν αλλάξουµε τον συντελεστή τριβής ολίσθησης είναι δυνατόν το σώµα να εγκαταλείψει το έδαφος πριν µηδενιστεί η οριζόντια συνιστώσα της ταχύ τητάς του, που σηµαίνει ότι την στιγµή του αποχωρισµού το σώµα έχει οριζόντια ταχύτητα v ' x της οποίας το µέτρο υπολογίζεται από τη σχέση: v' x = v µ" - a'#t'= v µ" - nn'#t' m v' x = v µ" - #N'$t' hm (7) Σχήµα γ. όπου Δt ο νέος χρόνος επαφής του σώµατος µε το έδαφος, a ' η νέα επιβρά δυνση του σώµατος και N ' η νέα µέση κάθετη αντίδραση του εδάφους. Eξάλλου εάν v ' είναι η κατακόρυφη συνιστώσα της ταχύτητας ανάκλασης του σώµατος θα ισχύει, σύµφωνα µε το θεώρηµα ώθησης-ορµής κατά τον κατακόρυφο άξονα, η σχέση: m(v' +v ) = N'"t' (8) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (7) και (8) παίρνουµε: v' x = v µ" - #(v' $ +v $ ) h v' x + v' " h = v #µ$ - v " h v' "#$ + %v' h = v &µ# - % v '()# h

& v' "#$ + % ) & ( + = v ' h,µ# - % -./# ) * "µ# - $ %&'# / h- ( + v' * ' h = v, / (9) * + (#) + $ / h. Όµως την στιγµή που το σώµα εγκαταλείπει το έδαφος έχει µεταφορική µό νο κίνηση, διότι η τιµή του συντελεστού τριβής αποκλείει την περιστροφή του περί το κέντρο µάζας του, οπότε όταν το κέντρο µάζας βρεθεί στην ανώ τατη θέση της παραβολικής τροχιάς που διαγράφει θα έχει ταχύτητα v ' x και σύµφωνα µε την αρχή διατήρησης της µηχανικής ενέργειας θα ισχύει η σχέ ση: mv' + mv' x = mgh + mv' x mv' (9) = mgh ) µ" - # $%&" / h, gh = v +. * '"( + # / h - H = v g ) µ" - # $%&" / h, +. * '"( + # / h - P.M. fysikos H τροχιά ενός υλικού σηµείου είναι µια κυκλοειδής καµπύλη (βλέ πε σχήµα), µε παραµετρικές εξισώσεις της µορφής: x = (" - #µ") ' ( y = (1 - $%&") ) µε " # και α θετική σταθερή ποσότητα. Να δείξετε ότι η ακτίνα καµπυλό τητας R της κυκλοειδούς καµπύλης σ ένα σηµείο της δίνεται από τη σχέση: R = 4"µ (# / ) όπου θ η τιµή της παραµέτρου που αντιστοιχεί στο σηµείο αυτό. ΛΥΣΗ: Εξετάζουµε το υλικό σηµείο σε µια τυχαία θέση Μ της κυκλοειδούς τροχιάς του, µε συντεταγµένες x και y ως προς το ορθογώνιο σύστηµα αξόνων Οxy. Εάν v είναι η ταχύτητα του υλικού σηµείου στην θέση αυτή, a η κεντροµόλος επιτάχυνσή του και R η ακτίνα καµπυλότητας της τροχι άς, θα ισχύει η σχέση: a = v /R R = v /a (1)

Εξάλλου για τις προβολές v x, v y της ταχύτητας v στους άξονες Οx, Oy αντιστοίχως, έχουµε τις σχέσεις: v x v y = dx = dx d d = " d ( d - #µ ) d = " ( 1 - $%& ) () = dy = dy d d = " d ( d 1 - #$% ) d = "&µ (3) Σχήµα α. όπου ο ρυθµός µεταβολής της παραµέτρου θ. Για το µέτρο της v ισχύει η σχέση: v = v x + v y (),(3) v = ( 1 - "#$%) + "µ v = ( 1 + "#$ % - "#$% + &µ %) v = ( 1 - "#$%) v = 4 "µ (# / ) (4) Εάν a x, a y είναι οι προβολές της επιτάχυνσης a του υλικού σηµείου, θα έχουµε τις σχέσεις: a x = dv x = dv x d d () και a x = d ( "- "#$%" ) = d "- "#$%" - " d(#$%") $ # " & % a x = " (1-"#$)+%µ # $ (5) a y = dv y (3) a y = d ( "µ# # ) = ( $%&# # +"µ# #) (6) Οι προβολές a κx, a κy των a x και a y αντιστοίχως στη διεύθυνση της ακτίνας καµπυλότητας ΜΚ (σχήµα α) δίνουν το µέτρο της κεντροµόλου επιτάχυν σης του υλικού σηµείου, µέσω της σχέσεως:

v a = a x - a y = a x "µ# - a y $%&# = a y x v - a v x y v = 1 v a v - a v (7) x y y x Η σχέση (1) µε βάση την (7) παίρνει τη µορφή: R = v 3 (4) a x v y - a y v x R = [4 "µ (# / )] 3 / a x v y - a y v x 3 (8) Εξάλλου µε βάση τις σχέσεις (), (3), (5) και (6) µπορούµε να υπολογίσουµε την ποσότητα a x v y -a y v x, δηλαδή θα έχουµε: a x v y - a y v x = " -#$%" " + &µ"" ( ) &µ"" - - ( "#$% % +&µ% %)( 1-"#$% ) % = (&µ%% %-&µ%"#$% % % + +µ " " 3 - #$%" " 3 - µ" " " +#$%" " 3 µ"#$%" " ") = = ( "µ ## 3 - $%&# # 3 + $%& ## ) 3 = ( 1-$%&# )# 3 (9) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (8) και (9) παίρνουµε: R = [4 "µ (# / )] 3 / 1 - $%&# = 8 3 "µ (# / )] 3 / "µ (# / ) = 4"µ (# / ) P.M. fysikos Ένας παρατηρητής ακίνητος επί οριζοντίου εδάφους (αδρανειακός παρατηρητής) καταγράφει την κίνηση ενός σηµείου της περιφέρει ας στεφάνης, η οποία κυλίεται ισοταχώς στο οριζόντιο έδαφος. i) Να βρείτε τις παραµετρικές εξισώσεις της επίπεδης τροχιάς που διαγράφει το σηµείο, αν κατά την αρχή του χρόνου (t=) βρίσκεται στην αρχή του συστήµατος συντεταγµένων. ii) Nα δείξετε ότι κάθε στιγµή η επιτάχυνση του σηµείου κατευθύ νεται προς το κέντρο της στεφάνης, η δε κεντροµόλος επιτάχυν σή του κατευθύνεται προς το σηµείο επαφής Α της στεφάνης µε το οριζόντιο έδαφος και να υπολογίσετε το µέτρο της σε συνάρτηση µε το χρόνο. iii) Nα βρείτε τις παραµετρικές εξισώσεις της γραµµής που διαγρά φει το κέντρο καµπυλότητας της τροχιάς του θεωρούµενου σηµείου της στεφάνης. Δίνεται η ακτίνα r της στεφάνης και η γωνιακή τα χύτητα της περιστροφικής της κίνησης περί το κέντρο της. ΛΥΣΗ: i) Ο αδρανειακός επί του εδάφους παρατηρητής, θεωρώντας την κύλιση της στεφάνης διαπιστώνει ότι ένα οποιοδήποτε σηµείο της M διαγρά

φει επίπεδη καµπύλη τροχιά, η δε ταχύτητά του v είναι κάθε στιγµή εφαπτόµενη της τροχιάς αυτής και προκύπτει ως συνισταµένη της οριζόν τιας ταχύτητάς του v που οφείλεται στην µεταφορική κίνηση της στεφάνης Σχήµα b. και της ταχύτητάς του ( " M), που οφείλεται στην περιστροφή της, η οποία είναι εφαπτοµένη της στεφάνης στο θεωρούµενο σηµείο, όπου η σταθερή γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της στεφάνης και M το διάνυσµα θέσεως του σηµείου Μ ως προς το κέντρο. Eπειδή τη χρονική στιγµή t= το σηµείο αυτό βρίσκεται στην αρχή Ο του αδρανειακού συστήµατος αναφο ράς Οxψ, η γωνιακή µετατόπιση του διανύσµατος M σε χρόνο t θα είναι ωt, η δε αντίστοιχη x-συντεταγµένη του σηµείου Μ θα είναι: x = OM x = OA - M x A (1) Όµως λόγω της κύλισης της στεφάνης το σηµείο επαφής Α της µε το έδαφος δεν ολισθαίνει πάνω σ αυτό και έτσι το µήκος του τόξου ΜΑ είναι ίσο µε το µήκος OΑ, δηλαδή θα ισχύει ΟΑ=τόξο(ΜΑ)=rωt οπότε η σχέση (1) γράφεται: x = rt - M x A () Eξάλλου από το σχήµα για το µήκος Μ x Α έχουµε: $ M x A = (AM)µ" = rµ #t ' $ & ) µ * % ( - #t ' & ) % ( # M x A = rµ "t & # % ( )*+ "t & % ( = rµ"t (3) $ ' $ ' Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και (3) παίρνουµε: x = rt - r"µt = r(t - "µt) (4)

H αντίστοιχη ψ-συντεταγµένη του Μ είναι: ( = MM = (AM)"#$% = r&µ 't + ( * - "#$. ), - 't + * - ), $ #t' = r"µ & ) = r(1 - *+,#t) (5) % ( Οι σχέσεις (4) και (5) αποτελούν τις έξισώσεις κίνησης του σηµείου Μ, ή το ίδιο τις παραµετρικές εξισώσεις της τροχιάς του, η οποία ονοµάζεται κυκλο ειδής καµπύλη. ii) Η επιτάχυνση a του Μ ως προς το σύστηµα αναφοράς του εδάφους κάθε στιγµή δίνεται από τη σχέση: # ( ) + % a = a # + d % $ " M & # ( + " d(m) & % ' $ ( = + " M ' " d(m) & $ ( ' # a = " d(m) & % $ ( (6) ' Όµως το δεύτερο µέλος της (6) αποτελεί την κεντροµόλο επιτάχυνση του σηµείου Μ την οφειλόµενη µόνο στην περιστροφική κίνηση της στεφάνης, που σηµαίνει ότι η επιτάχυνση a κατευθύνεται προς το κέντρο της στεφά νης. H κεντροµόλος επιτάχυνση a K της σύνθετης κίνησης του σηµεί ου Μ επί της κυκλοειδούς τροχιάς του είναι η συνιστώσα της a σε διεύθυνση κάθετη προς την ταχύτητα v, που σηµαίνει ότι αυτή κατευθύνεται προς το στιγµιαίο κέντρο περιστροφής της στεφάνης, που δεν είναι άλλο από το σηµείο επαφής Α της στεφάνης µε το οριζόντιο έδαφος. Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι η ΑΜ είναι κάθετη στο διάνυσµα της ταχύτητας v. Εξάλλου το µέτρο της a K θα είναι: & a K = a"# $ - %t ) & ( + = % r,µ %t ) ( + (7) ' * ' * iii) Eάν ρ είναι η ακτίνα της κυκλοειδούς τροχιάς στό σηµείο Μ θα ισχύει: a K = v (7) # r"µ t & % ( = v $ ' ) Για το µέτρο της v ισχύει η σχέση: (8) v = dx $ # & " % + d' $ # & " % (4),(5) v = ( r - r"#$t) + r %µ t v = r + r "#$ t - r "#$t + r %µ t

v = r - r "#$t = r (1 - "#$t) = 4r %µ (t / ) (9) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (8) και (9) παίρνουµε: ( ) # r"µ t & % $ ' ( = 4r "µ t / ) $ = 4r"µ #t ' & ) (1) % ( Aπό την (1) παρατηρούµε ότι η ακτίνα καµπυλότητας ρ είναι διπλάσια της απόστασης ΑΜ, δηλαδή το κέντρο καµπυλότητας Κ της κυκλοειδούς σε κάθε σηµείο της είναι συµµετρικό του εν λόγω σηµείου, ως προς το σηµείο επαφής Α της στεφάνης µε το έδαφος. Εάν x K, ψ Κ είναι οι συντεταγµένες του Κ, τότε από το σχήµα (β) θα έχουµε: $ x K = OA + AB = rt + AK"µ # - t ' & ) % ( και # x K = rt + r"µ t & # % ( )*+ t & % ( = r(t + "µt) (11) $ ' $ ' ' K = -KB = -(AM)"#$ % - &t * ' &t* ), t = -r-µ ), ( + ( + K = -r(1 - "µ#t) (1) Οι σχέσεις (11) και (1) αποτελούν τις παραµετρικές εξισώσεις της γραµµής K που διαγράφει το κέντρο καµπυλότητας της τροχιάς του σηµείου Μ. P.M. Φυσικός