ΑΣΚΗΣΗ 9 - ΧΩΡΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ

ΑΣΚΗΣΗ 9 - ΧΩΡΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ Να γίνει στατική επίλυση τoυ χωρικού πλαισίου από οπλισμένο σκυρόδεμα κατηγορίας C/, κάτοψη του οποίου φαίνεται στο σχήμα (α). Δίνονται: φορτίο επικάλυψης πλάκας gεπικ. KN/, κινητό φορτίο πλάκας q KN/, επικόμβια δύναμη Fx KN λόγω σεισμικής φόρτισης. Θεωρείται ότι τα φορτία της πλάκας κατανέμονται στις δύο δοκούς όπως φαίνεται στο σχήμα (β). Οι δοκοί να θεωρηθούν χωρίς συνεργαζόμενα πλάτη, για λόγους απλότητας. Οι στηρίξεις είναι πακτώσεις. Για το υλικό να θεωρηθεί E KN/, ν. και ειδικό βάρος γc KN/. Παραδοχές: (α) Η επίλυση να γίνει θεωρώντας τα θεωρητικά μήκη των γραμμικών μελών. (β) λόγω ρηγμάτωσης του σκυροδέματος να θεωρηθεί ότι η δυσκαμψίες ΕΙ μόνο των δοκών για κάμψη περί οριζόντιο άξονα μειώνονται στο %, ενώ η δυστρεψία J όλων των γραμμικών μελών μειώνεται στο %. (γ) Να συνυπολογιστούν οι διατμητικές παραμορφώσεις. Φορτίσεις: Για τη στατική επίλυση να θεωρηθούν οι εξής συνδυασμοί φόρτισης: (α). +. (β) +. + Εx όπου ως ορίζεται το σύνολο των κατακορύφων μονίμων δράσεων (ίδια βάρη σύν επικαλύψεις), ως τα οι κατακόρυφες δράσεις λόγω του κινητού φορτίου της πλάκας και ως Ex η δράση σεισμού κατά τη διεύθυνση του απόλυτου άξονα Χ. (α) (β) Επίλυση: Στο σχήμα (γ) φαίνεται το τρισδιάστατο μαθηματικό προσομοίωμα του πλαισίου με αρίθμηση κόμβων και μελών και εμφάνιση των τοπικών συστημάτων συντεταγμένων των τελευταίων. Η ονοματοδοσία των τοπικών αξόνων των μελών ως (,,) χρησιμοποιείται από το πρόγραμμα SAP, κατ αντιστοιχία με την ( x,, ) των σημειώσεων του μαθήματος. Η αρίθμηση των

βαθμών ελευθερίας δίνεται στο απόλυτο σύστημα συντεταγμένων (κόκκινο χρώμα) και στα τοπικά συστήματα των μελών (μπλέ χρώμα). c Δ / c c Κ / c (γ)

Οι διατομές των δύο δοκών και του υποστυλώματος είναι ορθογωνικές, οπότε οι τοπικοί άξονες (, ) (,) εκτός από κεντροβαρικοί θα είναι και κύριοι, καθ όσον κατ ελάχιστο ο ένας εκ των δύο (εδώ και οι δύο) είναι άξονας συμμετρίας, άρα I I da dd. Στα επόμενα οι δείκτες και χωρίς παύλα θα αναφέρονται στους τοπικούς άξονες (, ). Για το σχηματισμό των μητρώων δυσκαμψίας των μελών στα τοπικά συστήματα συντεταγμένων με βάση το μητρώο της σχέσης (7.) υπολογίζονται οι ακόλουθοι όροι. Υποστύλωμα Μέλος Μητρώα δυσκαμψίας και μετασχηματισμού Α..., As As A/..8, J 8.88 -, I I. /.8 -, 7., E 7 KN/, AE. 7.7 7 KN, E. KN/,. ( + ν ) ( + ) J.. 8.88 -. KN, 7.8-9.9 KN, As As..8 KN, 9.9 Φ Φ.8 A s As 7. Bάσει των παραπάνω οι διαφορετικοί όροι που απαντώνται στο μητρώο δυσκαμψίας K βάσει της σχέσης (7.) έχουν ως ακολούθως. EA, KN/ J 7. KN, ( +Φ ) ( +Φ) ( Φ) ( +Φ ) ( +Φ) 88.7 KN/, ( +Φ ) ( +Φ ) +Φ ( +Φ) ( +Φ ) ( +Φ) ( ) 8.9 KN,.9 KN, ( Φ ) 87.7 KN,, Αρα θα είναι:

7 K 8 9 88.7.9 88.7.9 88.7.9 88.7.9 7. 7..9 8.9.9 87.7.9 8.9.9 87.7 88.7.9 88.7. 88.7.9 88.7. 7. 7..9 87.7. 8..9 87.7. 8. 7 8 9 ( ϕ π ) ( ϕ π ) ( ϕ ) l n cos Xx / cos Yx / cos Zx Λ l n cos( ϕx ) cos ( ϕy π / ) cos ( ϕz π / ), l n cos ( ϕ / ) cos( ) cos ( / ) X π ϕy ϕz π Επομένως: Λ Λ Λ Λ K K... 7 8 9 88.7.9 88.7.9 88.7.9 88.7.9.9 8.9.9 87.7.9 8.9.9 87.7 7. 7. K 88.7.9 88.7.9 88.7.9 88.7.9.9 87.7.9 8.9.9 87.7.9 8.9 7. 7. K, Δοκοί Μέλη & Μητρώα δυσκαμψίας και μετασχηματισμών Α..., As As A/.., J.788 -, I../. -, I.. /. -,., AE. 7.7 7 KN, J...788 -. KN, 7. - 9. KN,. 7. - 9. KN, 7 8 9

As As.. KN, 78.8 Φ. A. s 9. Φ.7, As. Bάσει των παραπάνω οι διαφορετικοί όροι που απαντώνται στα μητρώα δυσκαμψίας K και K βάσει της σχέσης (7.) έχουν ως ακολούθως. EA 7 KN/, 8.9 KN/, ( +Φ ) J 7. KN,, ( +Φ) ( +Φ) 97. KN, 9.89 KN, ( +Φ) ( Φ) ( +Φ) 9. KN 9.77 KN/,, ( +Φ) ( +Φ) ( +Φ ). KN, ( +Φ) ( Φ) ( +Φ ).98 KN, 778.7 KN, Αρα θα είναι: K K 7 8 9 7 7 9.77 9.89 9.7 9.89 8.9.98 8.9.98 7. 7..98..98 778.7 9.89 97. 9.89 9. 7 7 9.77 9.89 9.77 9.89 8.9 97.97 8.9.98 7. 7..98 778.7.98. 9.89 9. 9.89 97. 7 8 9 ( ϕ π) ( ϕ π ) ( ϕ π ) l n cos Xx cos Yx / cos Zx / Λ l n cos ( ϕx π / ) cos ( ϕy π / ) cos( ϕz ), l n cos ( ϕ / ) cos( ) cos ( / ) X π ϕy ϕz π ( ϕ π ) ( ϕ ) ( ϕ π ) l n cos Xx / cos Yx cos Zx / Λ l n cos ( ϕx π / ) cos ( ϕy π / ) cos( ϕ ) Z, l n cos( ϕ ) cos ( / ) cos ( / ) X ϕy π ϕz π

Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Επομένως: K K... K K, 7 8 7 7 8.9.98 8.9.98 9.77 9.89 9.77 9.89 7. 7. 9.89 97. 9.89 9..98..98 778.7 7 7 8.9.98 8.9.98 9.77 9.89 9.77 9.89 7. 7. 9.89 9. 9.89 97..98 778.7.98. 7 8 και: K K... K K, 9 8.9.98 8.9.98 7 7 9.77 9.89 9.77 9.89 9.89 97. 9.89 9. 7. 7..98..98 778.7 8.9.98 8.9.98 7 7 9.77 9.89 9.77 9.89 9.89 9. 9.89 97. 7. 7..98 778.7.98. 9 Αρα: 79.8..9.98 79.8.9.98 79. 9.89 9.89 K K, + K, + K, K.9 9.89 97..9 9.89 97..98.98 9.7

Μητρώα μετακινήσεων & s s [ u u u u u u ] 7 8 9 7 8 9 [ ] Μητρώα εξωτερικών επικόμβιων φορτίων P & Ps P P,, s [ ] [ ] για μή σεισμική φόρτιση ή σχετ. συνδυασμό για σεισμική φόρτιση ή σχετ. συνδυασμό [ R R R R R R R R ] P R R R R R R R R R R 7 8 9 7 8 9 Μητρώα επικόμβιων φορτίων αμφίπακτων μελών λόγω εσωτερικών φορτίων, P F & Ps F Ομοιόμορφο φορτίο δοκών λόγω ιδίου βάρους: g γc A.. KN/ ριγωνικό φορτίο δοκών λόγω ιδίου βάρους πλάκας: g γc h. 8.7 KN/ στο ένα άκρο (πάκτωση δοκού) έως μηδενική τιμή στο άλλο (ελεύθερος κόμβος ). ριγωνικό φορτίο δοκών λόγω επικάλυψης πλάκας: g gεπικ.. 7. KN/ στο ένα άκρο (πάκτωση δοκού) έως μηδενική τιμή στο άλλο (ελεύθερος κόμβος ). ριγωνικό φορτίο δοκών λόγω κινητών φορτίων πλάκας: qκιν. q KN/ στο ένα άκρο (πάκτωση δοκού) έως μηδενική τιμή στο άλλο (ελεύθερος κόμβος ). Aρα συνολικά η δοκός φέρει: Τραπεζοειδές μόνιμο φορτίο με τιμές: ga g + g + g. + 8.7 + 7. 9.7 KN/ στο πακτωμένο άκρο. gβ g + +. + +. KN/ στον ελεύθερο κόμβο. Τριγωνικό κινητό φορτίο με τιμές: qa qκιν. KN/ στο πακτωμένο άκρο. qβ KN/ στον ελεύθερο κόμβο. Ομοιόμορφο φορτίο υποστυλώματος λόγω ιδίου βάρους: gυ γc A.. KN/ δρών κατά την αξονική κατακόρυφη διεύθυνση του ποστυλώματος. Από το Παράρτημα Α των σημειώσεων λαμβάνονται οι ακόλουθες περιπτώσεις φόρτισης αμφίπακτων μελών, οι οποίες απαντώνται στα μέλη του παρόντος πλαισίου. Για ίδιο βάρος υποστυλώματος. Για μόνιμα ή κινητά κατανεμημένα φορτία δοκών.

Οι παραπάνω σχέσεις εφαρμόζονται για: Υποστύλωμα: w gυ, l l και 7. Μόνιμα φορτία δοκών:, p ga, p gb Kινητά φορτία δοκών:, p qa, p qb Από την εφαρμογήτων αριθμητικών τιμών προκύπτουν τα εντατικά μεγάθη του παρακάτω πίνακα Α, στα τοπικά συστήματα συντεταγμένων των τριών μελών. Πίνακας Α. Aντιδράσεις αμφίπακτων μελών,, Τοπικά συστήματα x Μέλη Ν M M Κόμβος Φόρτιση.7 Αρχή.7 Τέλος.7-9. Τέλος 7. 8.8 Αρχή & 7. -. Τέλος 7. 8. Αρχή O μετασχηματισμός των παραπάνω εντατικών μεγεθών στο απόλυτο σύστημα συνταταγμένων ΧΥΖ μπορεί να γίνει απλά λόγω του ότι τα τρία μέλη είναι σε ορθογωνική διάταξη στο χώρο, το ίδιο και τα φορτία τους. Ετσι προκύπτει ο παρακάτω πίνακας Β. Πίνακας Β. Aντιδράσεις αμφίπακτων μελών,, Απόλυτο σύστημα ΧΥΖ Μέλη PX PY PZ MX MY MZ Κόμβος Φόρτιση.7 Αρχή.7 Τέλος.7-9. Τέλος 7. 8.8 Αρχή 7. -. Τέλος 7. 8. Αρχή.7-9. Τέλος 7. 8.8 Αρχή 7. -. Τέλος 7. 8. Αρχή Οι τιμές στα ιδίου χρώματος κελιά, προστίθενται, καθ όσον αφορούν εντατικά μεγέθη μελών στον κοινό κόμβο συμβολής τους κατά την ίδια διεύθυνση-άξονα. Ετσι προκύπτουν τα μητρώα P F i Ps F, ως ακολούθως.

Για τα φορτία : P F, F,.7 + 8.8 8.8 P 78.7 8.8 8.8 + 7. Για τα φορτία : [ ] F, F, P ( 7.) 8. 8. [ 8. 8. ] P Για τα φορτία : 7 8 9 7 8 9 F, s [.7.7 9.. 7 9. ] P Για τα φορτία : F, s 7 8 9 7 8 9 P [ 7.. 7.. ] Eύρεση αγνώστων μετακινήσεων λόγω φόρτισης -.98 -.98 F,.788 K ( P, P ).... rd. rd rd Eύρεση αγνώστων μετακινήσεων λόγω φόρτισης -.79 -.79 F,. K ( P, P )....7 rd.7 rd rd Eύρεση αγνώστων μετακινήσεων λόγω φόρτισης Ex. Ex Ex K P,... rd -.889 rd -.79998 rd

Eως εδώ η εύρεση των μετακινήσεων έγινε ξεχωριστά για κάθε βασική φόρτιση, και Ex. Η αρχή της επαλληλίας ισχύει τόσο για την παραμορφωσιακή κατάσταση της κατασκευής όσο και για την εντατική της. Ετσι, οι μετακινήσεις για τους ζητούμενους συνδυασμούς φόρτισης (α) και (β) θα δίνονται από τον ακόλουθο γραμμικό συνδυασμό των επί μέρους αποτελεσμάτων. ψ + ψ + ψ Συνδ. Ex E όπου: συνδυασμός (α). +. ψ., ψ., ψe. συνδυασμός (β) +. + Εx ψ., ψ., ψe. Βάσει αυτών προκύπτουν οι τιμές: - 9.7-9.7 (α).9,.779 rd.779 rd rd (β).8-7.98 -..77 rd.7879 rd -.79998 rd Αντιδράσεις και διαγράμματα εντατικών μεγεθών Φόρτιση Μέλος Αντιδράσεις-Εσωτερικά εντατικά μεγέθη άκρων Στο απόλυτο σύστημα συντεταγμένων ΧΥΖ είναι: F, 7 8 9 Από πίνακα Β.7. 7 P [ ] Από 7 8 9 - - - - -.98.98 7.88.. Αρα: P K + P F, 7 8 9 [.99.99 9.89 9.88 9.88.99.99 9.99.. ] P Η προκύπτουσα ένταση μπορεί να εκφρασθεί στο τοπικό σύστημα ως P P, ή κατόπιν αντιστοίχισης των μεγεθών από το απόλυτο σύστημα συντεταγμένων στο τοπικό του μέλους λόγω της ορθογωνικότητας των δύο συστημάτων μεταξύ τους. Ετσι, προκύπτει: P 7 8 9 [ 9.89.99.99 9.88 9.88 9.99.99.99..]

Στο σχήμα που ακολουθεί απεικονίζονται οι πραγματικές φορές των εντάσεων του μέλους αναφορικά με τα δύο συστήματα συντεταγμένων (απόλυτο και τοπικό). Μέλος Διαγράμματα εσωτερικών εντατικών μεγεθών Εφαρμόζονται οι σχέσεις (7.) με αναφορά στο τοπικό σύστημα συντεταγμένων του μέλους. Για τις σχέσεις αυτές είναι: N q ( x) g υ. KN/, q ( ) M ( ) x q x q ( x), N M Αρα: N x, x N i ( ) N, x,, i,, x,, i,, x, ( ) i ( ) ( ) KN, M x, M ( ) + M ( ), i + M q M x dx + ( ) i, x, x, x q ( ) ( ) x dx q x xdx +,, ( 9.88).99 x M ( x) 9.88 +. 99 x, M x, ( ) M ( ), i M ( ) i, x, x, + x q ( ) ( ) x dx q x xdx,, ( 9.88) (.99) x M ( x) 9.88.99 x, N ( x) N N q ( x) dx 9.89. dx N ( x) 9.89 +. x KN ( x ) q ( x ) dx (.99) ( x ).99 KN ( x ) q ( x ) dx.99 ( x ).99 KN x q x dx x M x + x+ x + + + M x M M q x dx + x + x + +

Προσοχή: Για τον υπολογισμό της ροπής M ( x) η εφαρμογή της σχέσης M(x) των σχέσεων, (7.) για κάμψη εντός του επιπέδου x, οι πρώτοι όροι που αφορούν ροπές (επικόμβια ροπή Mi και συγκεντρωμένες ή κατανεμημένες ροπές εντός του μήκους του μέλους, δηλ. M και M q αντίστοιχα) και σημειώνονται με κόκκινο χρώμα, έχουν τεθεί με αντίθετο πρόσημο. Αυτό προκύπτει από το ότι στο τοπικό επίπεδο-σύστημα x μία θετική τέμνουσα δύναμη δημιουργεί αρνητική ροπή τέμνουσα δύναμη M. Αντίθετα, στο τοπικό επίπεδο-σύστημα x μία θετική δημιουργεί θετική ροπή M. Βάσει των παραπάνω σχέσεων έχουν παραχθεί τα ακόλουθα διαγράμματα εσωτερικών εντατικών μεγεθών του υποστυλώματος για τη φόρτιση. α εν λόγω διαγράμματα προέρχονται από το πρόγραμμα SAP. Οι μικρές αποκλίσεις επί των αναφερόμενων αριθμητικών τιμών αφορούν την ακρίβεια δεκαδικών ψηφίων στους υπολογισμούς που προηγήθηκαν. [Ν] [] [] [] [M] [M] Οι σχέσεις υπολογισμού των διαγραμμάτων εσωτερικών εντατικών μεγεθών για τις λοιπές φορτίσεις και Εx, καθώς και των συνδυασμών τους, όπως και η επαλήθευσή τους με τα αποτελέσματα του προγράμματος SAP αφήνoνται στον αναγνώστη. Οι τελικές σχέσεις που δίνουν τα διαγράμματα των συνδυασμών φόρτισης θα προκύψουν ως άθροισμα των σχέσεων των αντίστοιχων βασικών φορτίσεων,, και Ex.