ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιμοποιώντας τανυστικά γινόμενα και εφαρμόζοντας το θεώρημα των Wedderbur-Art ( 33) θα αποδείξουμε δύο θεμελιώδη θεωρήματα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες * θεώρημα Solem-Noether * θεώρημα του διπλού κεντροποιητή Αμέσως μετά θα εφαρμόσουμε τα αποτελέσματα αυτά για να πάρουμε άλλα δύο φημισμένα θεωρήματα: την ταξινόμηση των πραγματικών αλγεβρών διαίρεσης που έχουν πεπερασμένη διάσταση (Frobeus), και το γεγονός ότι κάθε πεπερασμένος δακτύλιος διαίρεσης είναι μεταθετικός (Wedderbur) 6 Θεώρημα των Solem-Noether Έστω ένα σώμα και μια -άλγεβρα Το κέντρο της είναι C( ) { x rx xr r } Είναι μια μεταθετική υποάλγεβρα της που περιέχει το Η άλγεβρα λέγεται κεντρική αν C( ) δηλαδή αν το κέντρο είναι το μικρότερο δυνατό Υπενθυμίζουμε ότι μια άλγεβρα λέγεται απλή αν δεν έχει γνήσια μη τετριμμένα αμφίπλευρα ιδεώδη Παραδείγματα Η ( ) M είναι κεντρική -άλγεβρα αφού το κέντρο της είναι C M ( ) ai a Η M ( ) είναι απλή H -άλγεβρα M ( ) M ( ) δεν είναι κεντρική, αφού το κέντρο της είναι ( ai, bi) a, b ( ai, ai) a Η άλγεβρα των quateros (Παράδειγμα 5) είναι κεντρική απλή -άλγεβρα 3 Η ως -άλγεβρα είναι απλή αλλά όχι κεντρική ενώ ως -άλγεβρα είναι απλή και κεντρική 4 Η πολυωνυμική άλγεβρα [ x ] δεν είναι ούτε κεντρική ούτε απλή Έστω μια -άλγεβρα Υπενθυμίζουμε ότι μια υποάλγεβρα A του είναι ένας υποδακτύλιος του (και άρα περιέχει το σύμφωνα με τις παραδοχές μας) που είναι και -υπόχωρος του Επίσης, ένας ομομορφισμός -αλγεβρών είναι ομομορφισμός δακτυλίων που είναι και ομομορφισμός -διανυσματικών χώρων Ένας ομομορφισμός -αλγεβρών που είναι - και επί θα λέγεται -αυτομορφισμός της ή απλά αυτομορφισμός της, αν είναι σαφές πιο θεωρούμε 6 Θεώρημα (Solem-Noether) Έστω μια κεντρική απλή -άλγεβρα πεπερασμένης διάστασης και Α απλή υποάλγεβρα της Αν f : A είναι ομομορφισμός -αλγεβρών, τότε υπάρχει αντιστρέψιμο c με την ιδιότητα f ( a) cac για κάθε a A () 6 Πόρισμα Κάθε αυτομορφισμός μιας κεντρικής απλής άλγεβρας πεπερασμένης διάστασης είναι της μορφής () μορφής Ο ομομορφισμός στην () δύναται να οριστεί σε όλο το (με τον ίδιο τύπο) Ένας αυτομορφισμός της a cac,, λέγεται εσωτερικός αυτομορφισμός Το θεώρημα των Solem Noether λέει ότι κάθε ομομορφισμός f : A είναι ο περιορισμός κάποιου εσωτερικού αυτομορφισμού της Παρατηρήσεις Η υπόθεση στο πόρισμα ότι η άλγεβρα είναι κεντρική είναι απαραίτητη Για παράδειγμα ο αυτομορφισμός, z z (συζυγής του z) της -άλγεβρας δεν είναι της μορφής () O αυτομορφισμός, ( a, b) ( b, a), δεν είναι εσωτερικός

5 3 To πόρισμα μας πληροφορεί ότι η ομάδα των αυτομορφισμών της -άλγεβρας M ( ) είναι ισόμορφη με τη ( ) / GL N, όπου N ai M ( ), 0 a a (άσκηση) Στην απόδειξη του Θεωρήματος 6 υπεισέρχεται με ουσιαστικό τρόπο η έννοια του τανυστικού γινομένου Υπενθυμίζουμε ότι αν Α, Β είναι -άλγεβρες, ο διανυσματικός χώρος A B καθίσταται - άλγεβρα αν θέσουμε ( a b)( a b) aa bb Το ταυτοτικό στοιχείο του A B είναι το Στα παρακάτω θα γράφουμε A B στη θέση του A B A B 63 Λήμμα Έστω δακτύλιος και πρότυπα M και F όπου το F είναι ελεύθερο με βάση Χ Τότε κάθε u M F γράφεται κατά μοναδικό τρόπο ως όπου m όροι 0 x ) M M και τα x, u m x X είναι ανά δύο διάφορα(σημ Στη μοναδικότητα δεν λαμβάνονται υπόψη μηδενικοί Απόδειξη: To ότι το u έχει μία έκφραση της ζητούμενης μορφής προκύπτει άμεσα από το γεγονός ότι το Χ παράγει το F ως -πρότυπο και ότι το τανυστικό γινόμενο M F είναι πάνω από το Για τη μοναδικότητα, αν x X γράφουμε x και M x M Τότε υπάρχει ισομορφισμός αβελιανών ομάδων x x x xx xx xx : M F M x M F M M M, όπου οι δύο τελευταίοι ισομορφισμοί είναι από την παράγραφο 5 Ισχύει ( m y) ( m), m M, y X,, όπου : M M είναι η εμφύτευση στην y y xx y y x xx συντεταγμένη Από τον ορισμό του ευθέως αθροίσματος κάθε στοιχείο του μορφή xx x ( m ) x ( m ) ( ) ( ) m x m x m x, x M γράφεται μοναδικά στη όπου τα x είναι ανά δύο διάφορα στοιχεία του Χ Η μοναδικότητα προκύπτει από το γεγονός ότι ο είναι μονομορφισμός Το παρακάτω αποτέλεσμα θα χρησιμοποιηθεί πολλές φορές 64 Θεώρημα Έστω Α, Β απλές -άλγεβρες Αν η Α είναι κεντρική τότε η A B είναι απλή -άλγεβρα Απόδειξη: Έστω I 0 αμφίπλευρο ιδεώδες του A B Θα δείξουμε ότι I A B Ισχυρισμός v I {0} της μορφής v b, b B A Έστω προς στιγμή ότι ισχύει ο ισχυρισμός Το BbB { bbb bbb B 0, b, b B} είναι μη μηδενικό αμφίπλευρο ιδεώδες του Β Άρα B BbB Έχουμε B BbB ( B)( b)( B) ( B) v( B), και συνεπώς A B I Επίσης A A A A A A A

και συνεπώς A B I A B ( A )( B) ( A ) I I, B A B 5 Απόδειξη του Ισχυρισμού Έστω Υ μια βάση του Β Έστω u I, u 0, () u a y όπου a A {0}, y Y και τα y είναι ανά δύο διάφορα Επιλέγουμε μια έκφραση () με ελάχιστο (καθώς το u 0 διατρέχει το Ι) Λόγω της υπόθεσης της απλότητας έχουμε Aa A A Άρα για κάποια r, s A Θέτουμε Εκτελώντας πράξεις έχουμε A r as, v ( r B ) u( s B ) I, v ( r )( a y )( s ), r a s B B y r a s y r a s y () A y r a s y Έστω a η ποσότητα στην τελευταία παρένθεση Για να δείξουμε τον ισχυρισμό αρκεί να δείξουμε ότι a γιατί τότε θα έχουμε από την () οπότε θέτουμε b y a y Επειδή η Α είναι κεντρική, αρκεί να δείξουμε ότι: Ισχυρισμός a C( A) Απόδειξη: Έστω a A Θέτουμε Αντικαθιστώντας το ν από τη () παίρνουμε v y a y A A y A a y A y a y, (3) w ( a ) v v( a ) I B w a y a a y a y aa y ( a a aa) y B

53 Από το ελάχιστο στον ορισμό του ν παίρνουμε w 0 Από το Λήμμα 63 έπεται ότι a a a a 0, δηλαδή a C( A) 65 Σημείωση Αποδεικνύεται ότι αν στις υποθέσεις του θεωρήματος 64 προσθέσουμε την υπόθεση ότι η B είναι απλή, τότε το συμπέρασμα είναι ότι η A B είναι απλή και κεντρική Αυτό δεν θα χρησιμοποιηθεί στις σημειώσεις αυτές Στην απόδειξη του θεωρήματoς των Solem-Noether θα χρησιμοιποιήσουμε τo εξής πόρισμα του θεωρήματος Wedderbur-Art 66 Λήμμα Έστω Α απλή -άλγεβρα πεπερασμένης διάστασης Αν Μ και Ν είναι Α-πρότυπα με dm M dm N, τότε M N ως Α-πρότυπα Απόδειξη: Η Α είναι του Art, αφού dm A Είναι και απλή Από το θεώρημα Wedderbur-Art ( 33), το Α έχει μοναδικό απλό πρότυπο (με προσέγγιση ισομορφισμού εννοείται), έστω L Έχουμε m M L και N L, (που είναι ισομορφισμοί Α-προτύπων) Από τη σχέση dm M dm N παίρνουμε m (αφού dm L, γιατί το L είναι πηλίκο του Α) Άρα M N ως Α-πρότυπα Απόδειξη του θεωρήματος Solem-Noether op Έστω E A Η E είναι πεπερασμένης διάστασης -άλγεβρα και, σύμφωνα με το Θεώρημα 64, απλή Συνεπώς κάθε δύο E -πρότυπα με ίσες πεπερασμένες διαστάσεις ως -διανυσματικοί χώροι είναι ισόμορφα (Λήμμα 66) Καθιστούμε την αβελιανή ομάδα ένα E -πρότυπο με δύο διαφορετικούς τρόπους: (*) ( r a) x rxa, (**) ( r a) x rxf ( a), όπου r, a A, x Συνεπώς υπάρχει ισομορφισμός αβελιανών ομάδων ( r a) h( x) h(( r a) x), δηλαδή για κάθε r, x, a A Για a x παίρνουμε h έτσι ώστε rh( x) a h( rxf ( a)) (3) rh() h( r) για κάθε r Από αυτό έπεται ότι το c h() είναι αντιστρέψιμο Πράγματι, επειδή η απεικόνιση h είναι επί, υπάρχει y με yc Παρατηρούμε ότι η σχέση cy ισοδυναμεί με τη h( cy) h(), δηλαδή με τη cyc c που προφανώς αληθεύει Από την (3) έχουμε h() a h( f ( a)) f ( a) h() και επομένως f ( a) cac για κάθε a 6 Θεώρημα Διπλού Κεντροποιητή Έστω μια -άλγεβρα και S ένα υποσύνολο του Ο κεντροποιητής του S στο είναι η υποάλγεβρα C ( ) ( ) { S C S r rs sr για κάθε s S} Ισχύει S C( C( S)) Το επόμενο θεώρημα περιγράφει μια κατάσταση όπου ισχύει ισότητα

54 6 Θεώρημα (Διπλού κεντροποιητή) Έστω κεντρική απλή -άλγεβρα πεπερασμένης διάστασης και S απλή υποάλγεβρα Τότε ) C( S ) είναι απλή -άλγεβρα, ) dm (dm S)(dm C( S)), ) C( C( S)) S Απόδειξη: Δίνουμε πρώτα ένα χαρακτηρισμό του C( S ) Η είναι απλή -άλγεβρα του Art Συνεπώς (θεώρημα Wedderbur-Art και Σημείωση 33) -πρότυπο, -άλγεβρα διαίρεσης Το V γίνεται S πρότυπο με δράση ( d s) v d( s( v)) Ισχυριζόμαστε ότι EdSV C( S) Πράγματι, έχουμε Ed V, όπου το V είναι πεπερασμένης διάστασης EdS ( v) { f EdV f (( d s) v) ( d s) f ( v), v V, d, s S} Αλλά για κάθε v V, d, s S, f (( d s) v) ( d s) f ( v) f ( d( s( v)) d( s( f ( v))) df ( s( v)) d( s( f ( v)) f ( s( v)) sf ( v) fs sf f C( S) Ερχόμαστε τώρα στην απόδειξη των )-) ) Επειδή η S είναι απλή και η είναι απλή και κεντρική, από το θεώρημα 64 η S είναι απλή Είναι και του Art (αφού dm και dm S καθώς dm ) Από το θεώρημα Wedderbur-Art S Ed ( V ), όπου V είναι ένα -πρότυπο, -άλγεβρα διαίρεσης Επιπλέον γνωρίζουμε ότι το V είναι το μοναδικό απλό S -πρότυπο Έτσι για κάποιο m Έχουμε V ( V ) m m C( S) EdS ( V ) EdS (( V ) ) M m( Ed S ( V )) M m( ), (4) όπου ο τελευταίος ισομορφισμός της (4) προέρχεται από την άσκηση 9 ) ) Από την (4) έχουμε και από V ( V ) m dm ( ) dm C S m (5) m dm V / dm V (6) Επειδή το V είναι ελεύθερο -πρότυπο και το είναι ελεύθερο -πρότυπο έχουμε (άσκηση) dm V dm V dm (7) Αντικαθιστώντας τις (7) και (6) στην (5) παίρνουμε C S V V dm ( ) (dm ) / (dm ) dm Ο παρονομαστής είναι dm Ed ( V ) dm S (dm )(dm S) και ο αριθμητής είναι ((dm )(dm )) V Άρα dm ( ) (dm ) dm / dm dm C S V S Ed ( V ) / dm S dm / dm S ) Έχουμε dm dm Sdm C( S) από το ) Γράφοντας την ίδια σχέση για C( S ) στη θέση του S (επιτρεπτό αφού η C( S ) είναι απλή από το )) παίρνουμε dm (dm C( S))(dm C( C( S))) Από τις δύο

55 σχέσεις προκύπτει dm S dm C( C( S)) Εφόσον ισχύει S C( C( S)) και οι διαστάσεις είναι πεπερασμένες, προκύπτει το ζητούμενο 63 Εφαρμογές Θα αποδείξουμε εδώ δύο φημισμένα αποτελέσματα 63 Θεώρημα (Frobeus) Κάθε πραγματική άλγεβρα διαίρεσης πεπερασμένης διάστασης είναι ισόμορφη με μία από τις,, 63 Θεώρημα (Wedderbur) Κάθε πεπερασμένος δακτύλιος διαίρεσης είναι μεταθετικός (δηλαδή σώμα) Ξεκινάμε με προκαταρκτικά που αφορούν δακτύλιους διαίρεσης 633 Λήμμα Έστω δακτύλιος διαίρεσης Τότε ) Υπάρχει μέγιστο υπόσωμα του (δηλ σώμα που δεν περιέχεται γνήσια σε υπόσωμα του ) ) Κάθε μέγιστο υπόσωμα Κ περιέχει το κέντρο C( ) ) Για κάθε μέγιστο υπόσωμα Κ ισχύει C( K) Απόδειξη: ) Τυπική εφαρμογή του λήμματος του Zor ) Αν υπάρχει d C( ), d K, τότε το σύνολο K, όπου C( K ) είναι ο κεντροποιητής του Κ στο f ( d) K( d) f ( x), g( x) K[ x], g( d) 0 g( d) είναι σώμα που περιέχει γνήσια το Κ, άτοπο ) Αφού το Κ είναι μεταθετικό σύνολο, ισχύει K C( K) Αν υπάρχει d C( K), d K, τότε το σύνολο είναι σώμα που περιέχει γνήσια το Κ, άτοπο Το προηγούμενο λήμμα μαζί με το θεώρημα του διπλού κεντροποιητή δίνει αμέσως τo εξής κομψό αριθμητικό αποτέλεσμα 634 Πρόταση Έστω κεντρική -άλγεβρα διαίρεσης πεπερασμένης διάστασης και Κ μέγιστο υπόσωμα του Τότε dm (dm K) Απόδειξη του θεωρήματος 63 Έστω Κ μέγιστο υπόσωμα του Επειδή dm K dm, η επέκταση σωμάτων K / είναι αλγεβρική Άρα dm K ή η περίπτωση dm K Έχουμε K και K C( ) οπότε C( ) K Η πρόταση 634 δίνει dm (dm K), και άρα η περίπτωση dm K Άρα K Θα ταυτίζουμε τα σώματα K, Καθώς C( ), διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

( ) C( ), ( ) C( ) 56 Ας παρακολουθήσουμε το συλλογισμό στο διάγραμμα (α) C( ) K C( ) Ισχύει K C( ) και άρα (πρόταση 634) dm (dm K) C( ) (β) C( ) Θεωρούμε τον -ισομορφισμό C ( ) C( ) f : K a b a b K Από το θεώρημα Solem-Noether, υπάρχει x με την ιδιότητα Ισχυριζόμαστε ότι που σημαίνει ότι Τέλος η σχέση Αν x x( a b) x a b για κάθε a, b (9) x Πράγματι, έχουμε x C( K) Έτσι f ( x ) x δίνει 0, τότε x x x ( a b) x x( a b) x a b x K (Λήμμα 633) x y, y Θέτουμε : x / y και : Εύκολα ελέγχουμε ότι Ακόμα, η πρόταση 634 δίνει r, r x r, άτοπο λόγω της (9) Άρα,, dm (dm K) 4 x 0 Γράφουμε Εύκολα επαληθεύεται ότι τα στοιχεία,,, είναι γραμμικά ανεξάρτητα πάνω από το (άσκηση) και άρα αποτελούν βάση του ως -διανυσματικός χώρος Άρα ως -άλγεβρες (γιατί;) Αποδεικνύουμε στη συνέχεια το θεώρημα 63 635 Λήμμα Έστω G πεπερασμένη ομάδα και Η γνήσια υποομάδα της G Τότε G ghg gg Απόδειξη: Έστω Χ το σύνολο των υποομάδων της G Θεωρούμε τη δράση της G το Χ που δίνεται από τη σχέση G X ( g, H ) ghg X Από γνωστό θεώρημα για δράσεις, ο πληθάριθμος της τροχιάς του H X είναι ο δείκτης [ G : G ], όπου G είναι ο σταθεροποιητής G { g G g H H} Ο ορισμός της δράσης δίνει H H H

GH όπου N( H ) είναι ο κανονικοποιητής της Η στη G, N( H ) 57 N( H ) { g G ghg H} Συμπέρασμα: για σταθερό Η, το πλήθος των διακεκριμένων υποομάδων της G της μορφής ghg, g G, είναι [ G : N( H )] Μετράμε τώρα τα στοιχεία του συνόλου ghg που είναι διάφορα από το μοναδιαίο στοιχείο Το πλήθος τους είναι Άρα G ghg gg gg [ G : N( H )]( H ) [ G : H ]( H ) (γιατί H N( H ) ) G [ G : H ] (θεώρημα Lagrage) G (γιατί H G ) Παρατήρηση: Κάθε d, όπου είναι δακτύλιος διαίρεσης περιέχεται σε κάποιο μέγιστο υπόσωμα f ( d) του Πράγματι το d περιέχεται στο σώμα ( d) f ( x), g( x) [ x], g( d) 0, όπου C( ) g( d) Τώρα το ζητούμενο προκύπτει από μια τυπική εφαρμογή του λήμματος του Zor Aπόδειξη του θεωρήματος 63 Έστω Κ μέγιστο υπόσωμα του Θα δείξουμε ότι K Έστω d Από την προηγούμενη παρατήρηση το d περιέχεται σε κάποιο σώμα Άρα ισχύει K, Κ μέγιστο υπόσωμα K Ισχυρισμός: Κάθε δύο μέγιστα υποσώματα του έχουν τον ίδιο πληθάριθμο Πράγματι, έστω το κέντρο του οπότε το είναι σώμα που περιέχεται στο Κ (λήμμα 633) Ως -άλγεβρα η έχει προφανώς πεπερασμένη τάξη Η πρόταση 634 δίνει dm, όπου dm K Άρα K q, όπου q και dm δεν εξαρτώνται από το Κ Τώρα από τη θεωρία Galos, υπενθυμίζουμε ότι κάθε δύο πεπερασμένα σώματα της ίδιας τάξης είναι ισόμορφα και επιπλέον αν είναι επεκτάσεις του υπάρχει ισομορφισμός που είναι ταυτοτικός στο Από το θεώρημα Solem-Noether συμπεραίνουμε ότι κάθε δύο μέγιστα υποσώματα του συνδέονται με μια σχέση της μορφής Συμπέρασμα: K xk x, x Λαμβάνοντας τις πολλαπλασιαστικές ομάδες έχουμε Από το λήμμα 635 αυτό είναι άτοπο εκτός αν xkx * x xk x * * K * x Αλλά τότε K * *

Ασκήσεις 58 Στα παρακάτω, είναι σώμα Επίσης (χωρίς δείκτη) = Αληθεύει ότι υπάρχει πεπερασμένη ομάδα G ώστε η άλγεβρα [G] να είναι κεντρική; Υπάρχει ισομορφισμός -αλγεβρών M ( ) 4 3 Δείξτε ότι η ομάδα των αυτομορφισμών της -άλγεβρας M ( ) είναι ισόμορφη με τη GL ( ) / N, όπου N ai M ( ), 0 a a Ποια είναι η ομάδα των -αυτομορφισμών της ; 4 Έστω Α κεντρική απλή -άλγεβρα και Β -άλγεβρα Δείξτε τα εξής a Kάθε αμφίπλευρο ιδεώδες του A B έχει τη μορφή A I, όπου το Ι είναι αμφίπλευρο ιδεώδες του Β b C( A B) C( B) A 5 Ποιο είναι το κέντρο της πραγματικής άλγεβρας M ( ); 6 Ποιο είναι το πλήθος των απεικονίσεων M ( ) M ( ) και πόσες από αυτές είναι ομομορφισμοί -αλγεβρών; 7 Έστω A μια -άλγεβρα Τότε η A είναι κεντρική -άλγεβρα αν και μόνο αν η M ( A ) είναι κεντρική -άλγεβρα για κάποιο Ακολουθούν δύο κομψές εφαρμογές του Θεωρήματος Solem-Noether 8 Έστω κεντρική -άλγεβρα διαίρεσης πεπερασμένης διάστασης και a, b Αν οι -γραμμικές απεικονίσεις :, x xa a :, x xb b έχουν το ίδιο ελάχιστο πολυώνυμο, τότε a cbc για κάποιο αντιστρέψιμο c 9 Ακολουθεί μια κομψή εφαρμογή του Θεωρήματος Solem-Noether Έστω δακτύλιος Μια προσθετική απεικόνιση d : λέγεται παραγώγιση αν 0 d( ab) ad( b) d( a) b για κάθε a, b Μια παραγώγιση d λέγεται εσωτερική αν είναι της μορφής d( x) xc cx για κάποιο c Αποδείξετε ότι κάθε -γραμμική παραγώγιση μιας πεπερασμένης διάστασης κεντρικής απλής -άλγεβρας είναι εσωτερική Υπόδειξη: Solem-Noether στην απεικόνιση f : A M ( ) όπου r 0 A r 0 r και r 0 r d( r) f : 0 r 0 r a Αληθεύει ότι το τανυστικό γινόμενο δύο -αλγεβρών διαίρεσης είναι πάντοτε -άλγεβρα διαίρεσης; b Έστω, δύο -άλγεβρες διαίρεσης πεπερασμένης διάστασης Αν η είναι κεντρική και επιπλέον μκδ (dm, dm ), τότε η είναι -άλγεβρα διαίρεσης Έστω A M ( ) Δείξτε ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα a Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο και το ελάχιστο πολυώνυμο του A έχουν τον ίδιο βαθμό b Τα στοιχεία του M ( ) που αντιμετατίθενται με το A είναι ακριβώς τα πολυώνυμα του A Ταξινομήστε τους ημιαπλούς δακτυλίους που έχουν 06 στοιχεία op 3 Έστω απλή -άλγεβρα Δώστε στο τη δομή προτύπου έτσι ώστε C ( ) Ed ( ) 4 Έστω Είναι δυνατόν η -άλγεβρα M ( ) να περιέχει υπόσωμα Κ με K και C( K) K ; 5 Αν είναι κεντρική απλή -άλγεβρα πεπερασμένης διάστασης και S απλή κεντρική υποάλγεβρα της op

, τότε S C( S) 6 Έστω -αλγεβρα του Art και S πεπερασμένης διάστασης -άλγεβρα Εξετάστε ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις αληθεύουν a S είναι δακτύλιος του Art b C( S) είναι κεντρική -άλγεβρα c Κάθε αυτομορφισμός της S είναι εσωτερικός d Κάθε αυτομορφισμός της S M ( ) είναι εσωτερικός 59