Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά Η κλασική µέθοδος για το σχεδιασµό ψηφιακών φίλτρν βασίζεται στο µετασχηµατισµό ενός αναλογικού φίλτρου σε ψηφιακό το οοίο να ληροί ορισµένες ροδιαγραφές N M b X Y τ τ τ d h x y N M d X Y n h x n y M N d x d d d y d M N n x b n y Οι σχέσεις ου εριγράφουν ένα αναλογικό φίλτρο είναι Οι σχέσεις ου εριγράφουν ένα ψηφιακό φίλτρο είναι Αντικειµενικός σκοός κατά το µετασχηµατισµό του αναλογικού φίλτρου σε ψηφιακό φίλτροείναιουολογισµόςτης ήτης hn αότα α ή h α µετέτοιοτρόοώστεοι βασικέςροδιαγραφέςτου α j ναδιατηρούνταικαιστοφάσµα e j. Σεραφείµ Καραµογιάς
Μέθοδος Αµετάβλητης Κρουστικής Αόκρισης Στη µέθοδο αυτή η κρουστική αόκριση του ρος σχεδίαση ψηφιακού φίλτρου αοτελείται αό τα δείγµατα της κρουστικής αόκρισης του αναλογικού φίλτρου h n h n h, n n,,, όου Τ είναι η ερίοδος δειγµατοληψίας. Στη δειγµατοληψία αυτή η αναλογική και η ψηφιακή συχνότητα ικανοοιούν την j ή e Η αεικόνιση τν σηµείν αό το -είεδο στο -είεδο γίνεται µέσ της σχέσης Η συνάρτηση µεταφοράς του ψηφιακού φίλτρου, σχετίζεται µε την αντίστοιχη συνάρτηση του αναλογικού φίλτρου µε τη γνστή αό τη δειγµατοληψία και ανακατασκευή αναλογικών σηµάτν σχέση e e j j Impule invrine rnformion Σεραφείµ Καραµογιάς Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -
τότε η αόκριση συχνότητας του ψηφιακού φίλτρου είναι ανάλογη µε αυτή του αναλογικού h j e j, για Σεραφείµ Καραµογιάς Η αόκριση συχνότητας του ψηφιακού φίλτρου σχετίζεται µε την αντίστοιχη συνάρτηση του αναλογικού φίλτρου µε τη σχέση e j Γιατηνερίτσηγιατηνοοίαισχύειότι / j j j j για j j h hn j j e j j j j n 4 6 8 Γραφική αεικόνιση της µεθόδου της αµετάβλητης κρουστικής αόκρισης Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -
Η αόκριση συχνότητας του ψηφιακού φίλτρου σχετίζεται µε την αντίστοιχη συνάρτηση του αναλογικού φίλτρου µε τη σχέση Για την ερίτση κατά την οοία e j τότε θα αρουσιαστεί το φαινόµενο του ανεαρκούς ρυθµού δειγµατοληψίας liing. j j j j για Σεραφείµ Καραµογιάς h j j h hn j j e j j j j 4 6 8 n Γραφική αεικόνιση τν αοτελεσµάτν της αλλοίσης στη µέθοδο αµετάβλητης κρουστικής αόκρισης Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -4
Σεραφείµ Καραµογιάς Οµετασχηµατισµός e µετασχηµατίζειτιςηµιλουρίδεςάχους /Ττου -ειέδουστοεστερικό του µοναδιαίου κύκλου του -ειέδου j σ Im Μοναδιαίος κύκλος Re j Im Re σ Τελικάοµετασχηµατισµός e µετασχηµατίζειτιςλουρίδεςάχους /Ττου -ειέδουσεολόκληρο το -ειέδου. Συµεραίνεταιότιοµετασχηµατισµός e δενείναιαµφιµονοσήµαντος. Εειδή το αριστερό ηµιείεδο του -ειέδου µετασχηµατίζεται στο εστερικό του του -ειέδου οι ιδιότητες της αιτιότητας και της ευστάθειας του αναλογικού φίλτρου διατηρούνται και στο αντίστοιχο ψηφιακό φίλτρο. Θα ρέει να τονιστεί ότι η αντιστοιχία e ισχύει µόνο για αλούς όλους και δεν ισχύειγιαµηδενικάήγιασύνθετουςόλους. Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -5
ιαδικασία Σχεδίασης Σεραφείµ Καραµογιάς ίνονται οι ροδιαγραφές του χαµηλοερατού ψηφιακού φίλτρου p,, R p και Α και θέλουµε να ροσδιορίσουµε την αφού ρώτα σχεδιάσουµε ένα ισοδύναµο αναλογικό φίλτρο και στη συνέχεια αεικονίσουµε αυτό στο ψηφιακό φίλτρο. Ειλέγεται η συχνότητα δειγµατοληψίας και υολογίζονται οι αναλογικές συχνότητες p P Σχεδιάζεταιένααναλογικόφίλτρο α µεροδιαγραφές p,, R p καια. Αυτόγίνεται σχεδιάζονταςείτεέναφίλτρο Bueworhείτεέναφίλτρο Chebyhev. Ανατύσουµετην α σεάθροισµααλώνκλασµάτν. R p N 4 Μετασχηµατίζουµε τους αναλογικούς όλους {p } σε ψηφιακούς όλους { e ροσδιορίζουµε το ψηφιακό φίλτρο N e R p [R,p,] reidued,; p } και p expp*; [b,] reiduer,p,; Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -6
Παράδειγµα Να µετασχηµατιστεί το αναλογικό φίλτρο µε συνάρτηση µεταφοράς 5 6 σε ψηφιακό φίλτρο χρησιµοοιώντας τη µέθοδο της αµετάβλητης κρουστικής αόκρισης στην οοίατ, Λύση: Η συνάρτηση µεταφοράς του αναλογικού φίλτρου αναλύεται σε αλά κλάσµατα e 5 6 Υάρχουνδύοόλοιοι p - και p - έτσιέχουµετησυνάρτησηµεταφοράςτουψηφιακού φίλτρουαντικαθιστώντας τους αναλογικούς όλους p και p σε ψηφιακούς όλους e - και e -. e,8966,5595,665 Σεραφείµ Καραµογιάς Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -7
Άσκηση ίνεται το αναλογικό φίλτρο του σχήµατος. Να βρεθεί η συνάρτηση µεταφοράς του. Με τη µέθοδοςαµετάβλητηςκρουστικήςαόκρισηςναυολογιστείτοαντίστοιχοψηφιακό φίλτρο. Να ροσδιορισθεί ηεξίσσηδιαφορών και γίνειηυλοοίησήτουσεάµεσηµορφήι. Να γίνουν οι γραφικές αραστάσεις του µέτρου της αόκρισης συχνότητας του αναλογικού και του ψηφιακού φίλτρου. Σεραφείµ Καραµογιάς R i υ in C υ o Λύση: Η συνάρτηση µεταφοράς του αναλογικού φίλτρου είναι Η συνάρτηση µεταφοράς του ψηφιακού φίλτρου είναι Η εξίσση διαφορών του ψηφιακού φίλτρου είναι y e n e y n x n x n b e y n Η υλοοίησή του ψηφιακού φίλτρου σε άµεση µορφή Ι. Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -8
Σεραφείµ Καραµογιάς funion [b,] imp_invrd,, % Μέθοδος αµετάβλητης κρουστικής αόκρισης % b Πολυώνυµο αριθµητή σε ^- του ψηφιακού φίλτρου % Πολυώνυµο αρανοµαστή σε ^- του ψηφιακού φίλτρου % Πολυώνυµο αρανοµαστή σε του αναλογικού φίλτρου % d Πολυώνυµο αριθµητή σε του αναλογικού φίλτρου % Παράµετροςδειγµατοληψίας µετασχηµατισµού % [R,p,] reidued,; p expp*; [b,] reiduer,p,; b relb'; rel'; Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -9
Σεραφείµ Καραµογιάς j d [ ]; [ ]; wmx *pi; w [::]*wmx/; freq,d,w; mg b.^; ; [R,p,] reidue,d; p expp*; [b,] reiduer,p,; b relb'; rel'; j e [,w] FREQZb,,'whole'; mg b.^; e.5 4 5 6 7 Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -
Σεραφείµ Καραµογιάς h h in W in W W, W W, > W m e rd e h n h n h n 8 6 4 4 6 8 n rd e h h h n in n n, >, m e rd e Σχεδίαση ψηφιακών φίλτρν άειρης κρουστικής αόκρισης -
Σεραφείµ Καραµογιάς h h in W in W W, W W, > W m e rd e h n h n h n 4 n rd e h h h n in n n, >, m e rd e Σχεδίαση ψηφιακών φίλτρν άειρης κρουστικής αόκρισης -
Σεραφείµ Καραµογιάς Μέθοδος ιγραµµικού Μετασχηµατισµού Biliner rnformion Η µέθοδος της αµετάβλητης κρουστικής αόκρισης για τη σχεδίαση IIR είναι κατάλληλη για βαθυερατά και ορισµένα ζνοερατά ψηφιακά φίλτρα. Η µέθοδος του διγραµµικού µετασχηµατισµού δεν θέτει τέτοιους εριορισµούς Αό τη συνάρτηση µεταφοράς α του αναλογικού φίλτρου υολογίζουµε τη συνάρτηση µεταφοράς του ψηφιακού φίλτρου αντικαθιστώντας το µε ή Ησχέσηαυτήµορείναγραφείκαις Παρατηρούµεότιητελευταίασχέσηείναιγραµµικήςρος καιςρος ήδιγραµµικής ρος και. Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -
Σεραφείµ Καραµογιάς Ειδικότερα, στη µέθοδο αυτή θα ροσαθήσουµε να υολογίζουµε ένα ψηφιακό φίλτρο του οοίου η συµεριφορά στο εδίο του χρόνου θα ροσεγγίζει αυτή του αναλογικού. Θερούµε το αναλογικό φίλτρο ρώτης τάξης ου εριγράφεται αό τη διαφορική εξίσση και έχει συνάρτηση µεταφοράς Αό την ροφανή ταυτότητα dy y d x d y y y τ dτ y n n y τ dτ n y d µεαντικατάσταση nκαι n όουτείναιηερίοδοςδειγµατοληψίαςέχουµε n Προσεγγίζοντας το ολοκλήρµα µε τη µέθοδο του τραεζίου έχουµε y n y n dy d dy d n n θέτοντας yn y α n και xn x α n καιχρησιµοοιώνταςτηνδιαφορικήεξίσσηέχουµε y n y n n d y n y n x n x Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -4
αίρνοντας το µετασχηµατισµό- και στα δύο µέλη και λύνοντας ς ρος έχουµε d X Y ΣτοίδιοαοτέλεσµακαταλήγουµεκαιστηνερίτσηόουηδιαφορικήεξίσσηείναιΝ-στηςτάξης. Παρατηρούµε ότι ο µετασχηµατισµός είναι αντιστρετός _ Συγκρίνονταςτηνέκφρασητης µετηναντίστοιχητης α αρατηρούµε d Σεραφείµ Καραµογιάς -5 Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά
Χαρακτηριστικά του ιγραµµικού Μετασχηµατισµού σ σ o in o r r r j r r r e r e r j j j e r j Η σχέση αεικόνισης γράφεται ς Το αριστερό ηµιείεδο του αεικονίζεται στο εστερικό του µοναδιαίου κύκλου στο είεδο-. Εάν r <, τότεσ< j σ Το δεξιό ηµιείεδο του αεικονίζεται στο εξτερικό του µοναδιαίου κύκλου στο είεδο-. Εάν r >, τότεσ> Είσης ο µετασχηµατισµός αεικονίζει το φανταστικό άξονα του ειέδου- στο µοναδιαίο κύκλοτουειέδου-. Εάν r, τότεσ. Σεραφείµ Καραµογιάς -6 Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά
Σεραφείµ Καραµογιάς Παρατηρούµε ότι η ευστάθεια διατηρείται, δηλαδή αό ένα ευσταθές αναλογικό φίλτρο αίρνουµεέναευσταθέςψηφιακόφίλτρο. Αν βρίσκεταιστοµοναδιαίοκύκλοτότε σ καιοισυχνότητεςκαισυνδέονταιµε τη σχέση n n Μη γραµµική σχέση µεταξύ της αναλογικής και ψηφιακής συχνότητας στο διγραµµικό µετασχηµατισµό Παρατηρούµε ότι όλη η εριοχή συχνοτήτν αεικονίζεται µόνο µία φορά στην εριοχή. Είναι λοιόν για µία ένα-ρος-ένα αεικόνιση. Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -7
Σεραφείµ Καραµογιάς Η αεικόνιση είναι µη γραµµική. Παρατηρείται, δηλαδή, µία αραµόρφση ή στρέβλση τν συχνοτήτν, εξαιτίας της µη γραµµικότητας της συνάρτησης της εφατοµένης, η οοία ρέει να λαµβάνεται υόψη κατά την σχεδίαση. rn p e j j p p n p n p Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -8
Παράδειγµα Να µετασχηµατιστεί το αναλογικό φίλτρο µε συνάρτηση µεταφοράς 6 5 σε ψηφιακό φίλτρο χρησιµοοιώντας τη µέθοδο του διγραµµικού µετασχηµατισµού αόκρισης στην οοία Τ. Λύση: Η συνάρτηση µεταφοράς του ψηφιακού φίλτρου βρίσκεται ς,,5,,5 4 και µετά αό τις ράξεις έχουµε Στο ΜALAB υάρχει η συνάρτηση η οοία ραγµατοοιεί το αραάν µετασχηµατισµό F d,, biliner ] [b, 6 Σεραφείµ Καραµογιάς -9 Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά
ίνεται το αναλογικό φίλτρο του σχήµατος. Με τη µέθοδος του διγραµµικού µετα-σχηµατισµού, να σχεδιαστείτοαντίστοιχοψηφιακόφίλτρο, τουοοίουησυχνότητααοκοήςναείναι f, ότανη συχνότηταδειγµατοληψίαςείναι f 5 R i υ in C υ o Σεραφείµ Καραµογιάς Η συχνότητα αοκοής του ειθυµητού ψηφιακού φίλτρου είναι f, 4 f 5 Η συχνότητα αυτή του ειέδου- είναι αντίστοιχη της συχνότητας του ειέδου- n f n,4 n 9 Ο υολογισµός αυτός αοτελεί τη λεγοµένη αντιστάθµιση στρέβλσης. Στη συνέχεια θα σχεδιασθεί ένα αναλογικό φίλτρο βασικής ζώνης µε συχνότητα αοκοής Τορτότυο αναλογικόφίλτροβασικήςζώνηςτοοοίοαντιστοιχείστοαλό RC κύκλµα έχει συνάρτηση µεταφοράς p Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -
Τα αναλογικό φίλτρο βασικής ζώνης ου έχει συχνότητα αοκοής µεταφοράς LP p Η συνάρτηση µεταφοράς του ειθυµητού ψηφιακού φίλτρου είναι LP 9 9 9 9,7,7,4 ΗεξίσσηδιαφορώντουφίλτρουκαιοιυλοοιήσειςσεάµεσηδοµήΙκαιΙΙείναι y n,6 y n,4 x n,4 x n Σεραφείµ Καραµογιάς 9,6 έχει συνάρτηση x n,4 y n,4,6 x n,6,4,4 y n Παρατηρούµε ότι το ψηφιακό φίλτρο είναι ρώτης τάξης, ός και το αντίστοιχο αναλογικό. Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -
ιαδικασία Σχεδίασης Σεραφείµ Καραµογιάς ίνονται οι ροδιαγραφές του χαµηλοερατού ψηφιακού φίλτρου p,, R p και Α και θέλουµε να ροσδιορίσουµε την αφού ρώτα σχεδιάσουµε ένα ισοδύναµο αναλογικό φίλτρο και στη συνέχεια αεικονίσουµε αυτό στο ψηφιακό φίλτρο. Ειλέγεται η συχνότητα δειγµατοληψίας. Η ειλογή αυτή είναι αυθαίρετη, µορούµε για ευκολία να λάβουµε. Yολογίζονται οι αναλογικές συχνότητες p n p n Σχεδιάζεταιένααναλογικόφίλτρο α µεροδιαγραφές p,, R p καια. Αυτόγίνεται σχεδιάζονταςείτεέναφίλτρο Bueworhείτεέναφίλτρο Chebyhev. 4 Τέλος, ροσδιορίζουµε τη συνάρτηση µεταφοράς του ψηφιακού φίλτρου θέτουµε και ανατύσσουµε την συνάρτηση µεταφοράς του ψηφιακού φίλτρου σε άθροισµα αλών κλασµάτντου - Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -
Παράδειγµα Σεραφείµ Καραµογιάς Να σχεδιάσετε IIR φίλτρο βασικής ζώνης το οοίο να εξασθενίζει µονοτονικά τις συχνότητες. Η ζώνη διέλευσης του φίλτρου να εκτείνεται µέχρι τα 5, ενώ η εξασθένιση στη ζώνη αυτή να µην υερβαίνει το,5db. Η µέγιστη εξασθένιση στο όριο της ζώνης αοκοής να είναι 5 db, ενώ η συχνότητα στο όριο της ζώνης αοκοής να είναι 75. Το όλο σύστηµα λειτουργεί µε συχνότητα δειγµατοληψίας K. Η σχεδίαση να γίνει µε βάση το διγραµµικό µετασχηµατισµό. Λύση: Το φίλτρο βασικής ζώνης είναι τύου Buerworh, αφού ρέει να αρουσιάζει µονοτονική εξασθένηση για όλες τις συχνότητες. Υολογίζονται η αράµετρος ταλαντώσεν ζώνης διέλευσης και η αράµετρος εξασθένησης ζώνης αοκοής του αναλογικού φίλτρου R log,5 db ε, A 5 db A, 6 p log ε A Αότιςσυχνότητες p και τουειθυµητούφίλτρουροσδιορίζουµετιςαντίστοιχεςσυχνότητεςτου ειέδου- αντιστάθµισηστρέβλσης p p n n p,4 n n, 7 Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -
Σεραφείµ Καραµογιάς Ητάξητουφίλτρουείναι N log [ A / ε log p ],6 Η συνάρτηση µεταφοράς του ρτότυου φίλτρου Buerworh τρίτης τάξης είναι p Μετασχηµατίζουµε το ρτότυο φίλτρο σε φίλτρο ου έχει συχνότητα στο όριο της ζώνης διέλευσης ίση µε p, 4 LP p p p, 7, 7 5, 5,86,4 Εφαρµόζουµε το διγραµµικό µετασχηµατισµό και έχουµε τη συνάρτηση µεταφοράς του ζητούµενου IIR ψηφιακούφίλτρου. LP 5, 5,86,4 Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -4
Σεραφείµ Καραµογιάς Στο ΜALAB υάρχει οι συναρτήσεις BUER και CEBY οι οοίες σχεδιάζουν ψηφιακά φίλτρα [b, ] buern, BUER Buerworh digil nd nlog filer deign.[b,a] BUERN,Wn deign n Nh order lowp digil Buerworh filer nd reurn he filer oeffiien in lengh N veor B numeror nd A denominor. he oeffiien re lied in deending power of. he uoff frequeny Wn mu be. < Wn <., wih. orreponding o hlf he mple re. [b, ] hebyn, wn Rp, wn CEBY Chebyhev ype I digil nd nlog filer deign.[b,a] CEBYN,R,Wn deign n Nh order lowp digil Chebyhev filer wih R deibel of pe-o-pe ripple in hepbnd. CEBY reurn he filer oeffiien in lengh N veor B numeror nd A denominor. he uoff frequeny Wn mu be. < Wn <., wih. orreponding o hlf he mple re. Ue R.5 ring poin, if you re unure bou hooing R. Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -5