Σχεδιασµός IIR Φίλτρων Φίλτρα «άπειρης» κρουστικής απόκρισης IIR - Infinite impulse response filters

Transcript

1 Σχεδιασµός IIR Φίλτρων Φίλτρα «άπειρης» κρουστικής απόκρισης IIR - Infinite impule repone filter Νοέµβριος 005 ΨΕΣ

2 Περιεχόµενα Εισαγωγικά χαρακτηριστικά των IIR φίλτρων, σχεδιασµός στο πεδίο- Συναρτήσεις αναλογικών φίλτρων- Butterworth, Chebyhev, Elliptic. Μετασχηµατισµοί µετασχηµατισµός κρουστικής αµεταβλητότητας, διγραµµικός µετασχηµατισµός. Σχεδιασµός µε τον ιγραµµικό µετασχηµατισµό Μετατροπή αναλογικού βαθυπερατού σε κάθε µορφής ψηφιακό φίλτρο, εύρεση των προδιαγραφών του αναλογικού βαθυπερατού. Σχεδιασµός ψηφιακών φίλτρων ας τάξεως Νοέµβριος 005 ΨΕΣ

3 Μερικά χαρακτηριστικά των IIR φίλτρων Ηέξοδος y(n), εξαρτάται από την είσοδο x(n)και από προηγούµενες τιµές της εξόδου η εξίσωση διαφορών έχει την µορφή: a o y(n)+a y(n-)+... +a N y(n-n)b o x(n)+b x(n-)+... +b M x(n-m) Αντίστοιχα η συνάρτηση µεταφοράς H() έχει την µορφή: M H() k 0 N k 0 b a k k k k Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 3

4 Απαιτούν µικρό αριθµό συντελεστών (συγκριτικά µε αντίστοιχα FIR φίλτρα) x(n) Z - b o y(n) x(n) Z - Z - Z - h o h h h h h h h 0 -a -a Z - b H() b h h 9 h h H() k 0 Αριθµός πολλαπλασιασµών προσθέσεις Θέσεις αποθήκευσης FIR 4 h k k y(n) IIR h h 7 h h 6 Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 4

5 Η(ω) db 0 εν έχουν γραµµική φάση Φάση (Βαθµοί) 0.8 Καθυστέρηση φάσεως n-θ/ω Συχνότητα x(n)co(π/8 π/8n) y(n).5co(π/8 π/8n-π/3) π/3) Καθυστέρηση φάσεως n Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 5

6 IIR φίλτρα: σχεδιασµός στο πεδίο- Από τους πόλους και µηδενισµούς - Παράδειγµα Να σχεδιασθεί ΙΙR φίλτρο µε τιςεξής προδιαγραφές : πλήρης απόρριψη για f0 και f50 H (f /) κεντρική συχνότητα f ο 5 H 3dB εύρος ζώνης διέλευσης f 0 Η συχνότητα δειγµατοληψίας f 500H Im Re ω ο π5/500π/ Πόλος: r - f/f π-0/500 π ( )( + ) () ( 0.937j)( j) H Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 6

7 Συναρτήσεις αναλογικών φίλτρων - Butterworth, Chebyhev, Elliptic Προδιαγραφές αναλογικού φίλτρου -δ p ή + ήα p ε p H() + ε 0 p r/ δ ή ή Α Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 7

8 Συναρτήσεις Butterworth H() + C N / Για 0 η απόκριση είναι για όλα τα Ν Για C (εδώ C ) η απόκριση είναι / ή 3dB εξασθένηση (για όλα τα Ν) για Ν οι συναρτήσεις αυτές πλησιάζουν το ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο. Η() για 0 είναι "maximally flat" διότι οι παράγωγοι κάθε τάξεως είναι 0 και η Η() είναι µονότονα φθίνουσα συνάρτηση.. Butterworth H() Filter N30 N N (rad/ec) Συναρτήσεις Butterworth τάξεως Ν, Ν, Ν30. Η συχνότητα αποκοπής C Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 8

9 Συναρτήσεις Butterworth-υπολογισµοί Η()Η() j H() Οι συναρτήσεις Η() N / είναι συνήθως + κανονικοποιηµένες C δηλ. C τάξη Συνάρτηση H() Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 9

10 Συναρτήσεις Butterworth-υπολογισµοί H() + C N / Στις συναρτήσεις Βutterworth Η() οι παράµετροι που πρέπει να βρεθούν είναι: Η τάξηνκαιησυχνότητααποκοπής C. Βρίσκονται από τις προδιαγραφές του φίλτρου (στον αναλογικό χώρο): α) p,a p συχνότητα - εξασθένηση στη ζώνη διέλευσης β), A συχνότητα - εξασθένηση στη ζώνη αποκοπής.. H() A p A p.5 (r/) για -0log 0 H(j) Α για p -0log 0 H(j) A p Από τις δύο αυτές σχέσεις βρίσκεται η τάξη του φίλτρου N και η συχνότητα αποκοπής C. Ap 0 log 0 A 0 N log ( / ) Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 0 0 p /0 /0

11 Συναρτήσεις Butterworth-υπολογισµοί- Παράδειγµα H() + C N / Να σχεδιασθεί ένα βαθυπερατό Butterworth φίλτρο µε τιςεξής προδιαγραφές: γωνιακήσυχνότητα στηζώνηδιέλευσης p 0.π εξασθένηση7db γωνιακήσυχνότητα στηζώνηαποκοπής 0.3π εξασθένηση6db 0log H( 0log H( 0log{+ N.79 3 και C ( ) 0.π Ν 0.3π ( ) } 7 0log{+ ( ) C p ) 7 0log ) 6 0log ή C + + p C C N N C Ν } 6 0 Η() db Νοέµβριος 005 ΨΕΣ

12 Συναρτήσεις Chebyhev Οι συναρτήσεις Chebyhev που προσεγγίζουν βαθυπερατά φίλτρα έχουν κυµάτωση είτε στη ζώνη διέλευσης (ChebyhevΙ) είτε στη ζώνη αποκοπής (ChebyhevΙΙ ή invere Chebyhev). Τα φίλτρα Chebyhev έχουν για τις ίδιες προδιαγραφές µικρότερη τάξη Ν από τα αντίστοιχα Butterworth για / C µεταξύ 0 και εµφανίζoυν την κυµάτωση-ταλάντωση µεταξύ και +ε + ε Για /, Η() Ενώ για / µεγαλύτερο του C C τείνουν µονότονα στο. Υπάρχουν δύο βασικά σχήµατα για την απόκριση: ένα για άρτια Ν και ένα για περιττά. Νοέµβριος 005 ΨΕΣ

13 Συναρτήσεις Chebyhev - Συνέχεια + ε p 0.8 CHEBYSHEV 0.7 H() Α ε N3 N5 N C Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 3

14 H(j) Συναρτήσεις Chebyhev - υπολογισµοί + ε Τ N C / co(n co TN (x) coh coh όπου x ( (x)) < x < C Ν είναι η τάξη του φίλτρου, ε ο συντελεστής κυµάτωσης που σχετίζεται µε την εξασθένηση Α p και Τ Ν (x) είναι το πολυώνυµο Chebyhev Ν ης τάξεως (x)) 0 x τάξη Συνάρτησεις Chebyhev µε κυµάτωση 0.5dB και C /(+.868).434/( ) / ) /( ) /( ) Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 4

15 + H() + ε p ε Ητάξη Ν των Chebyhev φίλτρων Α p N3 Α CHEBYSHEV p ίνεται από τον τύπο: N όπου : coh coh ln(e + ln(w και + e w e w e w ) ε ε p ) p Εδώ pc Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 5

16 Συναρτήσεις ChebyhevΙΙ (invere Chebyhev) 0.8 CHEBYSHEV II H(j) N3 N / C Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 6

17 Ελλειπτικές Συναρτήσεις (Elliptic - Cauer) H(j) + ε U N C / Η(). 0.8 Ελλειπτικό φίλτρο Α p ή + ε 0.6 Ελλειπτικό φίλτρο 5ης τάξεως µε 0.5dB κυµάτωση στη ζώνη διέλευσης και 30 db εξασθένηση στη ζώνη αποκοπής Α N5 N3 N H() Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 7

18 Μέθοδοι υλοποίησης ψηφιακών φίλτρων από αντίστοιχα αναλογικά Στις µεθόδους αυτές υποθέτουµε ότι είναι γνωστό το αναλογικό (συνεχούς χρόνου) βαθυπερατό φίλτρο και καταλήγουµε στο αντίστοιχο ψηφιακό µε µία σειρά µετασχηµατισµών. Αυτό είναι το αντικείµενο των επόµενων παραγράφων Στην πραγµατικότητα οι προδιαγραφές των φίλτρων δίνονται στον ψηφιακό χώρο και εποµένως πρέπει να βρούµε µε κατάλληλο µετασχηµατισµό το αναλογικό βαθυπερατό φίλτρο για να «ξεκινήσουµε» την διαδικασία υλοποίησης. Θα ασχοληθούµε µε την διαδικασία αυτή στο τέλος. Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 8

19 Μέθοδοι υλοποίησης ψηφιακών φίλτρων από αντίστοιχα αναλογικά Α µέθοδος - συνέχεια Σχεδιασµός αναλογικού βαθυπερατού φίλτρου Τ() Εφαρµογή µετασχηµατισµού Εφαρµογή µετασχηµατισµού Ψηφιακό Φίλτρο H() Β µέθοδος Σχεδιασµός αναλογικού βαθυπερατού φίλτρου Τ() Εφαρµογή µετασχηµατισµού Εφαρµογή µετασχηµατισµού Ψηφιακό Φίλτρο H() Οι µετασχηµατισµοί είναιοιεξής: Ο µετασχηµατισµός κρουστικής αµεταβλητότητας (impule invariance) και Ο ιγραµµικός (bilinear) µετασχηµατισµός. Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 9

20 Σχεδιασµός αναλογικού βαθυπερατού φίλτρου Τ() Εφαρµογή µετασχηµατισµού Εφαρµογή µετασχηµατισµού Ψηφιακό Φίλτρο H() Μετασχηµατισµός Μετασχηµατισµός Βαθυπερατό βαθυπερατό Βαθυπερατό υψιπερατό Βαθυπερατό ζωνοδιαβατό Βαθυπερατό απόρριψης ζώνης + ( ) ( ) + Η συχνότητα συνήθως είναι (κανονικοποιηµένη( κανονικοποιηµένη) Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 0

21 Μετασχηµατισµός - συνέχεια Παράδειγµα: βαθυπερατό βαθυπερατό ίνεται η αναλογική συνάρτηση Η()/( + +) Nα βρεθεί η αντίστοιχη αναλογική συνάρτηση µε συχνότητα αποκοπής p H() + + p Η() db 0 Α p p Νοέµβριος 005 ΨΕΣ

22 Μετασχηµατισµός - συνέχεια Παράδειγµα: βαθυπερατό υψιπερατό ίνεται η βαθυπερατή αναλογική συνάρτηση ης τάξεως H()/(+) Ζητείται ο σχεδιασµός του υψιπερατού αναλογικού φίλτρου µε συχνότητα αποκοπής C.7 H () Η() σε db 0 Α p 0.7 Νοέµβριος 005 ΨΕΣ

23 Μετασχηµατισµός - συνέχεια Παράδειγµα: βαθυπερατό ζωνοδιαβατό ίνεται η βαθυπερατή αναλογική συνάρτηση ης τάξεως H() Ζητείται ο σχεδιασµόςτουζωνοδιαβατούαναλογικούφίλτρουµε συχνότητες αποκοπής 3.5 και 4.5. Εφαρµόζουµε τον µετασχηµατισµό βαθυπερατό ζωνοδιαβατό: Εδώ, 4.5 και 3.5. Αρα H () ( ) ( ) ( ) Παρατήρηση: Η τάξη του φίλτρου διπλασιάζεται Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 3

24 Μετασχηµατισµός - συνέχεια Η() 0.7 H() rad/ec ω rad/ec H() Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 4

25 Σχεδιασµός αναλογικού βαθυπερατού φίλτρου Τ() Εφαρµογή µετασχηµατισµού Εφαρµογή µετασχηµατισµού Ψηφιακό Φίλτρο H() Μετασχηµατισµοί Μέθοδος κρουστικής αµεταβλητότητας (Impule Invariance Method) ιγραµµικός µετασχηµατισµός (bilinear tranformation) Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 5

26 Σχεδιασµός αναλογικού βαθυπερατού φίλτρου Τ() Εφαρµογή µετασχηµατισµού Εφαρµογή µετασχηµατισµού Ψηφιακό Φίλτρο H() Μέθοδος κρουστικής αµεταβλητότητας (Impule Invariance Method) h a (t) (α) h(n) )h a (nt ) Πεδίο χρόνου h(n) h(n) (β) (γ) Πεδίο συχνότητας Η κρουστική απόκριση(α) δειγµατοληπτείται µε διαφορετικές συχνότητες (β και γ). Στην απόκριση συχνότητας (δεξιά) εµφνίζονται τα φαινόµενα επικάλυψης (aliaing ) τα οποία γίνονται πιο έντονα µε την ελάττωση της δειγµατοληψίας (γ) Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 6

27 Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 7 Μέθοδος κρουστικής αµεταβλητότητας - συνέχεια t p i i i i i K e (t) h p K... p K p K H() + + np i T i i e K (n) h T p i n 0 n T p i 0 n n T np i i e K ) (e K e K () H i i pt i i e K p K e T

28 Μέθοδος κρουστικής αµεταβλητότητας - συνέχεια j π j Τ e πτ j Τ e jτ e jω Im() j 3π/Τ Μοναδιαίος κύκλος π/τ σ Re() -π/τ -3π/Τ επίπεδο - επίπεδο - Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 8

29 Μέθοδος κρουστικής αµεταβλητότητας ιαδικασία σχεδιασµού Οσχεδιασµός αρχίζει µε τις προδιαγραφές του ψηφιακού φίλτρου ω p, R p, ω, A. Από τις προδιαγραφές αυτές υπολογίζεται το αντίστοιχο αναλογικό φίλτρο και στη συνέχεια γίνεται ο µετασχηµατισµός. Τα βήµατα που ακολουθούνται συνήθως είναι τα εξής:. Εύρεση των αντίστοιχων αναλογικών συχνοτήτων (σε rad/ec) p ω p /Τ και ω /Τ όπου Τ ηπερίοδοςδειγµατοληψίας.. Σχεδιασµός του αντίστοιχου αναλογικού φίλτρου Η a () µε επιλογήµίας από τις συναρτήσεις Butterworth, Chebyhev, Elliptic. 3. Ανάλυση της Η a () σε µερικά κλάσµατα: N Ki Ha() k pi 4. Μετασχηµατισµός των πόλων p i στους αντίστοιχους ψηφιακούς και δηµιουργία του ψηφιακού φίλτρου Η(): N Ki H() pit e k Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 9

30 ίνεται η αναλογική συνάρτηση Η()/( )/( + +) ηοποία αντιστοιχεί σε βαθυπερατό φίλτρο µε συχνότητα αποκοπής (3dB) C. Zητείται η αντίστοιχη ψηφιακή συνάρτηση Η() µε συχνότητα αποκοπής f p 50H. H συχνότητα δειγµατοληψίας f S.8 KH υπολογίζουµε την αναλογική συχνότητα αποκοπής p π και αποκανονικοποιούµε: p Ĥ() H() + αναλύουµε σεµερικά κλάσµατα: j 666.4j Ĥ() + ( j) ( j) Ki Ki Εφαρµόζουµε τονµετασχηµατισµό pt και έχουµε: p e H() H() Παρατήρηση j e ( j) / p j + e p i p ( j) / 80 Η ψηφιακή συχνότητα ω δίνεται ως γνωστό σε rad/δείγµα και η αναλογική σε rad/ec και συνδέονται µε τηναπλήσχέσηω/τ. Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 30

31 .4. απόκριση f 640H H(ω) H() Συχνότητα H Η απόκριση του ψηφιακού φίλτρου Η(ω) και η αντίστοιχη του αναλογικού Η() για συχνότητες µέχρι f 80H ιακρίνεται η απόκλιση όσο η συχνότητα πλησιάζει την f / Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 3

32 Να µετασχηµατισθεί η συνάρτηση : σε ψηφιακή χρησιµοποιώντας την µέθοδο κρουστικής αµεταβλητότητας και περίοδο δειγµατοληψίας Τ 0.ec Ha () Επειδή δεν δίνονται άλλες προδιαγραφές όπως συχνότητα αποκοπής, προχωράµε στη διαδικασία µετασχηµατισµού + Ha() H() e e H() Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 3

33 Σχεδιασµός αναλογικού βαθυπερατού φίλτρου Τ() Εφαρµογή µετασχηµατισµού Εφαρµογή µετασχηµατισµού Ψηφιακό Φίλτρο H() ιγραµµικός µετασχηµατισµός Ορισµός: f() k k + για j και e jω ω k tan ω + k ή kf π ω Ηαπεικόνισητων«αναλογικών» συχνοτήτων στις «ψηφιακές» ω. Είναιφανερήησυµπίεση (στρέβλωση) της περιοχής στην αντίστοιχη ω -π Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 33

34 ιγραµµικός µετασχηµατισµός - απεικόνιση To αριστερό ηµιεπίπεδο απεικονίζεται στο εσωτερικό του µοναδιαίουκύκλουστοεπίπεδο συναρτήσεις Η() ευσταθείς στο επίπεδο αντιστοιχούν σε επίσης ευσταθείς συναρτήσεις Η() στο επίπεδο. O άξονας j απεικονίζεται στη περιφέρεια του µοναδιαίου κύκλου δηλ. e jω επίπεδο- Im e jω Im επίπεδο- j Re Re µοναδιαίος κύκλος αριστερό ηµιεπίπεδο - Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 34

35 ιγραµµικός µετασχηµατισµός διαδικασία σχεδιασµού Προδιαγραφές Ψηφιακού φίλτρου Μετασχηµατισµός g(ω) Προδιαγραφές Αναλογικού φίλτρου Ψηφιακό φίλτρο Η() Μετασχηµατισµός f() Αναλογικό φίλτρο Η() Η διαδικασία σχεδιασµού αρχίζει µε τις προδιαγραφές των φίλτρων (ω p,a p ) και (ω,a ) όπως δίνονται στο ψηφιακό χώρο Μετατρέπουµε τις προδιαγραφές αυτές στις αντίστοιχες αναλογικές (διαδικασία αποστρέβλωσης -prewarping- στις συχνότητες ω p ω ) Από τις προδιαγραφές αυτές βρίσκεται η κατάλληλη αναλογική συνάρτηση Η() Eφαρµόζουµε τονδιγραµµικό µετασχηµατισµό καιβρίσκουµε την Η() Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 35

36 Αναλογικό φίλτρο Η() Μετασχηµατισµός f() Ψηφιακό φίλτρο Η() Από το αναλογικό φίλτρο Η() βρίσκουµε άµεσα το ψηφιακό Η(): H() H() f + ίδεται η συνάρτηση H () Ζητείται η αντίστοιχη ψηφιακή Η() για συχνότητα δειγµατοληψίας f 500H H() H() (+ 0. ) Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 36

37 ίνεται η αναλογική συνάρτηση(butterworth) Η()/( + +) Με χρήση του διγραµµικού µετασχηµατισµού να βρεθεί η αντίστοιχη ψηφιακή συνάρτηση Η() που αντιστοιχεί σε (βαθυπερατό)φίλτρο µε συχνότητα αποκοπής f C 50H και συχνότητα δειγµατοληψίας f S.8 ΚH. Η κανονικοποιηµένη (ψηφιακή) συχνότητα είναι: ω C π50/ π Η αντίστοιχη αναλογική συχνότητα είναι : C tan(ω/) Αποκανονικοποιούµε και έχουµε : H () Εφαρµόζουµε διγραµµικό µετασχηµατισµό: H() H() (+ ( ) ( ) ( + ) (+ ) ) συχνότητα H Νοέµβριος 005 ΨΕΣ Απόκριση Η(ω)

38 Πλήρης σχεδιασµός βαθυπερατού φίλτρου µε το ιγραµµικό µετασχηµατισµό Προδιαγραφές Ψηφιακού φίλτρου Μετασχηµατισµός g(ω) Προδιαγραφές Αναλογικού φίλτρου Συνοπτικά: Από τις προδιαγραφές του ψηφιακού βρίσκουµε τις αντίστοιχες προδιαγραφές του αναλογικού βαθυπερατού φίλτρου και στη συνέχεια την συνάρτηση Η() Μετατρέπουµε το αναλογικό βαθυπερατό στο αντίστοιχο αναλογικό υψιπερατό ή ζωνοδιαβατό ή απόρριψης ζώνης. Εφαρµόζουµε τον διγραµµικό µετασχηµατισµό Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 38

39 Πλήρης σχεδιασµός βαθυπερατού φίλτρου µε το ιγραµµικό µετασχηµατισµό -Συνέχεια Για την εύρεση των συχνοτήτων του αναλογικού βαθυπερατού φίλτρου από τις αντίστοιχες ω του ψηφιακού χρησιµοποιούµε τον εξής πίνακα: g(ω) f() παράµετροι βαθυπερατό ηψιπερατό tan(ω/) -cot(ω/) + + ζωνοδιαβατό απόρριψης ζώνης c coω inω inω coω c c + c + c c in(ωa + ωb) inω + inω a in(ω a + ωb) inω + inω a b b Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 39

40 ΝαβρεθείητάξηΝτουβαθυπερατούButterworth φίλτρου µε τις εξής προδιαγραφές (στον ψηφιακό χώρο) ζώνη διέλευσης ω p 0.π, εξασθένηση A p 3dB ζώνη αποκοπής ω 0.4π, εξασθένηση A 30dB H() + C N / H(0.4π) + tan0.π tan0.π Ν / Ν ) / (.36 + Επειδή 0log 0 H(0.4π) -30 log0 Ν / (+.36 ) 30 / 0 0. (+.36 ) 036 Ν Ν / H() Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 40

41 Να σχεδιασθεί βαθυπερατό ψηφιακό Βutterworth φίλτρο µε τις εξής προδιαγραφές: ζώνη διέλευσης 0-60Η (εξασθένηση 3dB) ζώνη αποκοπής >85 H εξασθένηση>5db συχνότητα δειγµατοληψίας f 56H βρίσκουµε τις ψηφιακές (κανονικοποιηµένες) συχνότητες : ω π60/56 π και ω π85/56π βρίσκουµε τις αποστρεβλωµένες (prewarped) αναλογικές συχνότητες: tan(ω /)0.906 και tan(ω /).758 N.758 βρίσκουµε την τάξη του φίλτρου 0log + 5 N.468 N ηλ η ζητούµενη κανονικοποιηµένη () συνάρτηση Butterworth είναι: Η()/{ } Aποκανονικοποιούµε τηνη() ώστε c ηλ Η'()H(/0.906) και εφαρµόζουµε τον διγραµµικό µετασχηµατισµό: Τα δύο τελευταία στάδια γίνονται (σε ένα βήµα) ως ακολούθως: H() H'() H() Νοέµβριος 005 ΨΕΣ

42 για για + + Να σχεδιασθεί βαθυπερατό ψηφιακό Βutterworth φίλτρο µε συχνότητα δειγµατοληψίας f 0kH και τις εξής προδιαγραφές: ζώνη διέλευσης 0-4kH εξασθένηση 0.5dB ζώνη αποκοπής >5 kh εξασθένηση>0db ψηφιακές συχνότητες: ωπ4/00.4π και ωπ5/00.5π αναλογικές συχνότητες : p tan(0.4π/)0.765 Από την σχέση: H() έχουµε: N + / p N ( ) 0 c N 0 / 0 ( ) 0 H( H( p ) ) + [ ( ) ] p ( ) c N N [ ( ) ] + c c / / 0log H( 0log H( p tan(0.5π/) ) 0log + ) 0log 0.5 / / 0 N c N και c N p ( ) 0. 5 c [ ( ) ] N + 0 c Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 4

43 T() ( + )( )( )(.809 ) Αποκανονικοποιούµε για c και µε εφαρµογή του διγραµµικού µετασχηµατισµού λαµβάνουµε για τον ο όρο: H() ( Επαναλαµβάνοντας και για τούς υπόλοιπους όρους λαµαβάνουµε: ) H H H 3 4 () () () 0.34( + ) (+ ) (+ ) Η() db 0 Α p A 0 p H()H ()H ()H 3 ()H 4 () Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 43

44 οθείσης της βαθυπερατής συνάρτησης Η()/(+) να σχεδιασθεί ψηφιακό υψιπερατό φίλτρο µε συχνότητα αποκοπής f c 30 H και συχνότητα δειγµατοληψίας f 50 H Για την συχνότητα ω C και την αντίστοιχη αναλογική C έχουµε π30 C tan H () H() H() H () Παρατήρηση Εδώ δίνεται η βαθυπερατή συνάρτηση και εποµένως τα στάδια σχεδιασµού και που περιγράφονται στο διάγραµµα δεν χρειάζονται Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 44

45 Να γίνει σχεδιασµός ηψιπερατού φίλτρου µε τις εξής προδιαγραφές : συχνότητα δειγµατοληψίας f0kh, ζώνη διέλευσης: f c 5kH, εξασθένηση A p 0.5dB ζώνης αποκοπής: f 4kH, εξασθένηση A 0dB Βρίσκουµε ω p 0.5π, ω 0.4π, p,.3764 Για την εύρεση της τάξεως Ν (Butterworth) έχουµε : Ap / 0 A / 0 [( 0 ) /( 0 ) ] log0 N log0( p / ) Αρα H() p Για την συχνότητα C έχουµε: C....6 N Ap / 0 0 H() + C Αποκανονικοποιούµε για την συχνότητα C.6 και εφαρµόζουµε τον διγραµµικό µετασχηµατισµό: N / H () και H() Η().6 H () + Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 45

46 Να σχεδιασθεί µε τονδιγραµµικό µετασχηµατισµό και το αντίστοιχο βαθυπερατό φίλτρο τύπου Butterworth ένα ψηφιακό ζωνοδιαβατό φίλτρο µε τις εξής προδιαγραφές: συχνότητα δειγµατοληψίας f 0 kh, ζώνη διέλευσης έως 4kH µε µέγιστη εξασθένηση 0.5dB, ζώνες αποκοπής 0-.5 kh και 4.5kH έως 0kH µε ελάχιστη εξασθένηση 0dB Η(f) H() Α p A 0 f a f pa f pb f b f / 0 p Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 46

47 Ζώνη διέλευσης:ω pa πf pa /f 0.π καιω pb πf pb /f 0.4π Υπολογίζουµε την παράµετρο c και τις αντίστοιχες συχνότητες του βαθυπερατού φίλτρου. c in(ωa + ωb)... inω + inω a b 0.68 c coω p... inω ζώνη αποκοπής:ω a πf a /f 0.5π καιω b πf b /f 0.45π λαµβάνουµε: a και b min( a, b ) Εποµένως οι προδιαγραφές τού βαθυπερατού αναλογικού φίλτρου είναι: p Α p 0.5dB και µε Α 0dB Από αυτές βρίσκουµε την τάξη του φίλτρου Butterworth Ν5.9 6 και ο T() ( )( )( Αποκανονικοποιούµε για ο : ) T '() T() και εφαρµόζουµε τον µετασχηµατισµό c Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 47 +

48 Ψηφιακά ζωνοδιαβατά φίλτρα ας τάξεως Η αναλογική συνάρτηση έχει την µορφή: Η απόκριση H a () χαρακτηρίζεται: H a () + α α + ο από τη µέγιστη τιµή πουλαµβάνει στη συχνότητα ο και από τις δύο συχνότητες αποκοπής και που ορίζονται σαν οι συχνότητες που η απόκριση "πέφτει" στο / του µεγίστου 0 ο Η() Αποδεικνύεται ότι : ο και α - Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 48

49 Ψηφιακά ζωνοδιαβατά φίλτρα ας τάξεως Εύρεση της συνάρτησης Η(). οθέντων των ω,ω βρίσκονται τα, : Κtan( tan(ω/). Από αυτά βρίσκονται τα α και ο Από το ο και το ω βρίσκεται το και από αυτά η Η() και η Η(): α (+ ο ) tan ω H() H() + + α α + ο + Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 49

50 Ψηφιακά ζωνοδιαβατά φίλτρα ας τάξεως Να σχεδιασθεί ψηφιακό φίλτρο ας τάξεως µε ζώνη διέλευσης H και συχνότητα δειγµατοληψίας f kh ω tan 00 π tan ω tan 300 π tan ο x και α H() H() H α και () Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 50

51 Ψηφιακά ζωνοδιαβατά φίλτρα ας τάξεως Να σχεδιασθεί ψηφιακό ζωνοδιαβατό φίλτρο ας τάξεως µε: συχνότητα δειγµατοληψίας f 0kH κεντρική συχνότητα f o.75 kh και εύρος ζώνης f 500 H Ψηφιακές συχνότητες: ω ο π.75/00.35π, ωπ0.5/00.π Αναλογικές συχνότητες: ο tan (ω ο /)0.6, H() (+ ο )tan( ω/) ( ) Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 5

52 Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 5