Σχεδιασµός IIR φίλτρων

Transcript

1 Σχεδιασµός IIR φίλτρων. Ένα αναλογικό ζωνοδιαβατό φίλτρο έχει συνάρτηση H(). Σχεδιάστε ( + )( + ) ένα IIR φίλτρο µε την µέθοδο της αµετάβλητης κρουστικής απόκρισης µε συχνότητα δειγµατοληψίας 0 H. Η απάντηση να δοθεί σαν εξίσωση διαφορών µεταξύ εισόδουεξόδου. Με τη χρήση της εντολής reidue του Matlab ή µε τη βοήθεια των ολοκληρωτικών υπολοίπων η συνάρτηση H() αναλύεται σε µερικά κλάσµατα ως εξής: H() p + p + + Μπορούµε τώρα να βρούµε την συνάρτηση του φίλτρου στο -domain: H() p T e e + p T Αντικαθιστώντας λαµβάνουµε : Η() 0. e όπου Τ περίοδος δειγµατοληψίας 0. ec e Θεωρούντες Η()Y()/X() Υ()-.73Y() Y() - X()-0.99X() -. Εφαρµόζουµε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό και έχουµε : y(n)-.73y(n-) y(n-)x(n)-0.99x(n-) y(n).73y(n-) y(n-)+x(n)-0.99x(n-).. Να σχεδιαστεί ένα Butterworth υψιπερατό ψηφιακό φίλτρο µε συχνότητα αποκοπής ω 0.7π. Η απόκριση πρέπει να είναι τουλάχιστον 30dB «κάτω» για ω 0.5π και 50dB «κάτω» για ω 0.3π. Ποιά είναι η ελάχιστη τάξη του φίλτρου; Ένα υψιπερατό φίλτρο Butterworth, έχει την γενική µορφή: H() + N Εδώ tan(0.7π/).966 rad Επίσης tan(0.5π/).0 rad και tan(0.3π/) rad

2 Για, Α30dB άρα: 300log N Ν5.7 ή Ν6. Οµοίως για , Α50dB. Ν4.686 ή Ν5. Εποµένως επιλέγουµε Ν6. 3. Ζητείται να υπολογισθεί ένα ζωνοδιαβατό φίλτρο ας τάξεως µε κεντρική συχνότητα f 0.5 KH και εύρος ζώνης f 0.5 KH. Η συχνότητα δειγµατοληψίας είναι 0 KH. Επειδή πρόκειται για ζωνοδιαβατό φίλτρο ας τάξεως, η συνάρτησή του είναι: Η() a + a + o Όπου α, και 0 είναι η κεντρική αναλογική συχνότητα. πf Η συχνότητα 0 αυτή θα υπολογιστεί από τον τύπο: 0 εφ f 0 0 rad/ec Για το a έχω : a (+ 0 ) εφ ω, a (+ 0 π f ) εφ f τελικά a π/ rad/ec Εποµένως η (αναλογική) συνάρτηση είναι η εξής : H() Εφαρµόζoντας τον διγραµµικό µετασχηµατισµό ( )( + ) H() ( 0.078) ( )( ) π / π / 40 + λαµβάνουµε: 4. Να σχεδιαστεί ένα υψιπερατό IIR φίλτρο ης τάξεως µε συχνότητα δειγµατοληψίας f 0kH και συχνότητα αποκοπής (3dB εξασθένηση), kh. Να επανασχεδιαστεί ώστε η συχνότητα kh να αντιστοιχεί σε εξασθένηση 0.46dB. (α) Ένα κανονικοποιηµένο () υψιπερατό φίλτρο ης τάξεως έχει τη µορφή: H(). + Μας δίνεται η συχνότητα δειγµατοληψίας f0kh και η συχνότητα αποκοπής (-3dB) fckh.

3 Αρα η αναλογική συχνότητα αποκοπής P tan(π f / f ) rad/ec. Η (αναλογική) συνάρτηση H() γίνεται: Από αυτή αντικαθιστώντας H() H() ( p + P λαµβάνουµε την αντίστοιχη ψηφιακή συνάρτηση Η(): H() ( + ) ) (β) Θα επανασχεδιάσουµε το φίλτρο ώστε η συχνότητα kh να αντιστοιχεί σε εξασθένηση 0.46dB. Στην περίπτωση αυτή η συχνότητα αποκοπής είναι άγνωστη, έστω c. Εποµένως έχουµε ότι: H() + + Με βάσει τα δεδοµένα, θα πρέπει για συχνότητα fkh να έχουµε εξασθένηση 0.46dB Η αντίστοιχη είναι tan(π f / f ) rad/ec και 0 log 0 (H() j A 0 log ) 0 log 0 ( 0 ( + ) + ) 0 A A Για την ζητούµενη ψηφιακή συνάρτηση έχουµε: H() H() + H() ( + )

4 5. Nα σχεδιασθεί ένα βαθυπερατό φίλτρο Butterworth µε τις εξής προδιαγραφές: ζώνη διέλευσης ω p 0.π (rad/ample) εξασθένηση R p db ζώνη αποκοπής ω 0.3π (rad/ample) εξασθένηση Α 5dB Συχνότητα δειγµατοληψίας kh H σχεδίαση να γίνει µε την impule invariant µέθοδο. α. Βρίσκουµε τις συχνότητες του αναλογικού φίλτρου: p 0.π π,.600π (rad/ec) H() β. Βρίσκουµε την τάξη Ν και την συχνότητα του Butterworth φίλτρου. + N 0logH() 0log + Για p 0log[+(400π/ ) N ] (400π/ ) N Nlog(400π/ ) Για 50log[+(600π/ ) N ] (600π/ ) N Nlog(600π/ ).486 Αφαιρώντας βρίσκουµε την τάξη Ν του φίλτρου: Nlog(4/6) N Για την συχνότητα αποκοπής έχουµε: log(400π/ ) /( 6) π/ rad/ec Βρίσκουµε από το Matlab τους συντελεστές του αναλογικού φίλτρου:[b,a]butter(6, 406.4,''); Και τους συντελεστές του αντίστοιχου ψηφιακού φίλτρου [b,a]impinvar(b,a,) ; b a N 0 H(ω) db Συχνότητα H 4

5 6. Ένα 5 ης τάξεως Butterworth φίλτρο έχει ζώνη διέλευσης 0-.3kH και ζώνη µετάβασης 600H. Ποία είναι η εξασθένηση στη ζώνη αποκοπής; Η συχνότητα δειγµατοληψίας είναι 0 kh. Eνα Butterworth αναλογικό φίλτρο 5 ης τάξεως έχει την µορφή: H() Θεωρούµε ότι ο σχεδιασµός γίνεται µε τον διγραµµικό + µετασχηµατισµό. Η (αναλογική)συχνότητα στη ζώνη διέλευσης (άκρο) είναι: 0 4 tan(π.3/0) rad/ H (ψηφιακή) συχνότητα αποκοπής είναι: ω kh Η (αναλογική) συχνότητα αποκοπής 0 4 tan(π/0.9)359 rad/ec Αρα: H( ) 0.04 ή 9.65 db Σχεδιάστε µε την µέθοδο "impule invariant" ένα 5ης τάξεως Butterworth βαθυπερατό φίλτρο µε συχνότητα αποκοπής 0.6 H. Η συχνότητα δειγµατοληψίας f H. (µε το Matlab). βρίσκουµε την ψηφιακή συχνότητα (rad/ample) ω p 0.6/*π0.6π r/ample. βρίσκουµε την αντίστοιχη αναλογική p ω p f 0.6π*.π r/ec 3. βρίσκουµε το αναλογικό φίλτρο butterworth 5ης τάξεως:[b,a]butter(5,.*pi,''); 4. βρίσκουµε το αντίστοιχο ψηφιακό µε την µέθοδο "impule invariant" [b,a]impinvar(b,a,); 5. Ελέγχουµε το αποτέλεσµα: freq(b,a) [b,a]butter(5,.*pi,''); [b,a]impinvar(b,a,); freq(b,a) 5