Filter Design - Part I. Νοέµβριος 2005 ΨΕΣ 1

Transcript

1 Filter Deign - Part I Νοέµβριος 005 ΨΕΣ

2 >> t 0:00; >> x co(*pi*t*3/0); >> x 0.5*co(*pi*t*55/0); >> xxx; >> x_f fft(x); Νοέµβριος 005 ΨΕΣ

3 Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 3

4 Deign of a Low-Pa filter >> [B,A]butter(4, 0.) % 4 order, 0. norm. frequency B A Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 4

5 >> yfiltfilt(b,a,x); Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 5

6 Deigning a filter : define H(ω) & tranlate it into Difference Equation Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 6

7 H(Ω) ) Y(Ω) ) / X(Ω) H() Y() / X() ampling H(ω) ) Y(ω) ) / X(ω) H() Y() / X() Ω ω/τ (Ω πf) Αναλογικός χώρος H(Ω) : απόκριση συχνότητας H(S) :συνάρτηση µεταφοράς S-plane (Laplace) ampling Ψηφιακός χώρος H(ω) : απόκριση συχνότητας H() :συνάρτηση µεταφοράς -domain Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 7

8 Εισαγωγικά: Γενικά χαρακτηριστικά των φίλτρων Τα 4 βασικά είδη φίλτρων είναι: Η. Βαθυπερατό ή κατωπερατό (Low-pa). Υψιπερατό ή ανωπερατό Η Η 0 (α) (β) (High-pa) 3. Ζωνοδιαβατό (Band-pa) και 4. Απόρριψης ζώνης ή ζωνοφρακτικό (band-reject) ω0 π π (γ) (δ) Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 8

9 πραγµατικές προδιαγραφές Η(ω) Στη ζώνη διέλευσης (0-ω p ) φαίνεται η κυµάτωση µεταξύ των τιµών δ και -δ. Στη ζώνη αποκοπής (ω>ω ) ηκυµάτωση είναι µικρότερη του δ δ -δ δ 0 Ζώνη διέλευσης Ζώνη µετάβασης Ζώνη αποκοπής 0 ω p ω ω Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 9

10 Η(ω) σε db 0 Προδιαγραφές σε λογαριθµική κλίµακα db (decibel) δ R p 0log και Α 0log 0logδ δ δ δ R p Ζώνη µετάβασης A 0 ω p ω ω Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 0

11 Σχεδιασµός IIR Φίλτρων Φίλτρα «άπειρης» κρουστικής απόκρισης IIR - Infinite impule repone filter Νοέµβριος 005 ΨΕΣ

12 Νοέµβριος 005 ΨΕΣ Μερικά χαρακτηριστικά των IIR φίλτρων η εξίσωση διαφορών έχει την µορφή: a o y(n) a y(n-)... a N y(n-n) b o x(n) b x(n-).....b M x(n-m) ησυνάρτησηµεταφοράς H() έχει την µορφή: N N 0 M M 0 N 0 k k k M 0 k k k a... a a a b... b b b a b H()

13 I. Σχεδιασµός στο -domain II. Μετατροπή Αναλογικής Σχεδίασης σε Ψηφιακή Η() H() Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 3

14 I. Σχεδιασµός στο -domain ( π.x. Ζωνοδιαβατό ας τάξης ) H ( ) Rcoω ο R p Re jωο - Πόλοι συζυγείς µιγαδικοί H ( ω ) ο ω ο -ω ο X X H ( ω ) ο ω 0 0 π ω p Re -jωο ω(-r) Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 4

15 ΙΙ.. Μετατροπή Αναλογικής Σχεδίασης σε Ψηφιακή α) Επιλογή συνάρτησης βαθυπερατού αναλογικού φίλτρου - Butterworth, Chebyhev, Elliptic β) Καθορισµός της τάξης Ν του φίλτρου και της συχνότητας αποκοπής Ω c από τις προδιαγραφές γ) Μετατροπή σε Ψηφιακό (οποιουδήποτε τύπου) Η() H() Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 5

16 α) π.χ. Επιλογή Butterworth συνάρτησης Η(Ω)Η() jω H(Ω) Ω Ω C N / τάξη Συνάρτηση H() Οι συναρτήσεις Η() είναι συνήθως κανονικοποιηµένες δηλ. Ω C Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 6

17 . H(Ω) A p A β) Χρήση των προδιαγραφών για προσδιορισµό τάξης και Συχν. Αποκοπής προδιαγραφές: α) Ω p,a p συχνότητα - εξασθένησηστηζώνηδιέλευσης β) Ω, A συχνότητα - εξασθένηση στη ζώνη αποκοπής Ω(r/) Ω p Ω H(Ω) για Ω Ω -0log 0 H(jΩ) Α για Ω Ω p -0log 0 H(jΩ) A p ( Ω / Ω ) Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 7 N Ω Ω C N / A p / log 0 0 A / 0 log 0 p 0 0

18 γ) Μετατροπή αναλογικού βαθυπερατού φίλτρου σε ψηφιακό (οποιουδήποτε τύπου) Σχεδιασµός αναλογικού βαθυπερατού φίλτρου Η() Εφαρµογή µετασχηµατισµού Εφαρµογή µετασχηµατισµού Ψηφιακό Φίλτρο H() Οι µετασχηµατισµοί είναιοιεξής: Ο µετασχηµατισµός κρουστικής αµεταβλητότητας (impule invariance) και Ο ιγραµµικός (bilinear) µετασχηµατισµός. Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 8

19 Σχεδιασµός αναλογικού βαθυπερατού φίλτρου H() Εφαρµογή µετασχηµατισµού Εφαρµογή µετασχηµατισµού Ψηφιακό Φίλτρο H() Μετασχηµατισµός Μετασχηµατισµός Βαθυπερατό βαθυπερατό Βαθυπερατό υψιπερατό Ω Ω ΩΩ Βαθυπερατό ζωνοδιαβατό Ω Ω Ω ( Ω Ω ) Βαθυπερατό απόρριψης ζώνης Ω ( Ω Ω ) Ω Ω Η συχνότητα Ω συνήθως είναι (κανονικοποιηµένη( κανονικοποιηµένη) Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 9

20 Παράδειγµα: βαθυπερατό υψιπερατό Η βαθυπερατή αναλογική συνάρτηση ης τάξεως H()/() µετατρέπεται σε υψιπερατό αναλογικό φίλτρο µε συχνότητα αποκοπής Ω C.7 H ().7. 7 Η(Ω) σε db 0 Α p 0.7 Ω Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 0

21 Σχεδιασµός αναλογικού βαθυπερατού φίλτρου Η() Εφαρµογή µετασχηµατισµού Εφαρµογή µετασχηµατισµού Ψηφιακό Φίλτρο H() Μετασχηµατισµοί Μέθοδος κρουστικής αµεταβλητότητας (Impule Invariance Method) ιγραµµικός µετασχηµατισµός (Βilinear tranformation) Νοέµβριος 005 ΨΕΣ

22 Σχεδιασµός αναλογικού βαθυπερατού φίλτρου Τ() Εφαρµογή µετασχηµατισµού Εφαρµογή µετασχηµατισµού Ψηφιακό Φίλτρο H() Μέθοδος κρουστικής αµεταβλητότητας (Impule Invariance Method) h a (t) (α) h(n) )h a (nt ) Πεδίο χρόνου h(n) h(n) (β) (γ) Πεδίο συχνότητας Η κρουστική απόκριση(α) δειγµατοληπτείται µε διαφορετικές συχνότητες (β και γ). Στην απόκριση συχνότητας (δεξιά) εµφνίζονται τα φαινόµενα επικάλυψης (aliaing ) τα οποία γίνονται πιο έντονα µε την ελάττωση της δειγµατοληψίας (γ) Νοέµβριος 005 ΨΕΣ

23 Quetion : i direct ampling a valid olution? IIR infinite duration Difference Equation i needed Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 3

24 Αναλύουµε την Η() σε απλά κλάσµατα H() K p K p... Για κάθε πόλο στο -domain αντιστοιχούµε έναν πόλο στο -domain H ( K K ) pt pt e e... Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 4

25 Μέθοδος κρουστικής αµεταβλητότητας η απεικόνιση Από την αντιστοιχία πόλων στο S και πεδίο K i p K e i pt e T jω j π Τ e πτ j Τ e jωτ e jω Im() jω 3π/Τ Μοναδιαίος κύκλος π/τ σ Re() -π/τ επίπεδο - -3π/Τ επίπεδο - Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 5

26 Λόγω της απεικόνισης, ο άξονας jω προβάλλεται στο µοναδιαίο κύκλο υπάρχει πολλαπλή προβολή αναλογικών συχνοτήτων Ω στην ίδια ψηφιακή συχνότητα Ω.Τ ω.4 Aliaing-effect. απόκριση f 640H H(ω) H(Ω) Συχνότητα H Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 6

27 Σχεδιασµός αναλογικού βαθυπερατού φίλτρου Τ() Εφαρµογή µετασχηµατισµού Εφαρµογή µετασχηµατισµού Ψηφιακό Φίλτρο H() Ορισµός: ιγραµµικός µετασχηµατισµός ω π ω -π f() k Ω k Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 7 k ή kf ω για jω και e jω Ω k tan Ω Ηαπεικόνισητων«αναλογικών» συχνοτήτων Ω στις «ψηφιακές» ω. Είναιφανερήησυµπίεση (στρέβλωση) της περιοχής Ω στην αντίστοιχη ω Frequency warping

28 ιγραµµικός µετασχηµατισµός - απεικόνιση To αριστερό ηµιεπίπεδο απεικονίζεται στο εσωτερικό του µοναδιαίου κύκλου στο επίπεδο συναρτήσεις Η() ευσταθείς στο επίπεδο αντιστοιχούν σε επίσης ευσταθείς συναρτήσεις Η() στο επίπεδο. O άξονας jω απεικονίζεται στη περιφέρεια του µοναδιαίου κύκλου δηλ. e jω επίπεδο- Im e jω Im jω επίπεδο- Re Re µοναδιαίος κύκλος αριστερό ηµιεπίπεδο - Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 8

29 ιγραµµικός µετασχηµατισµός -διαδικασία σχεδιασµού Προδιαγραφές Ψηφιακού φίλτρου Μετασχηµατισµός Ωg(ω) Προδιαγραφές Αναλογικού φίλτρου Ψηφιακό φίλτρο Η() Μετασχηµατισµός f() Αναλογικό φίλτρο Η() Η διαδικασία σχεδιασµού αρχίζει µε τις προδιαγραφές των φίλτρων ω p,a p ) και (ω,a ) όπως δίνονται στο ψηφιακό χώρο Μετατρέπουµε τις προδιαγραφές αυτές στις αντίστοιχες αναλογικές διαδικασία αποστρέβλωσης -prewarping- στις συχνότητες ω p ω ) Από τις προδιαγραφές αυτές βρίσκεται η κατάλληλη αναλογική υνάρτηση Η() Eφαρµόζουµετονδιγραµµικό µετασχηµατισµό καιβρίσκουµε τηνη() Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 9

30 Αναλογικό φίλτρο Η() Μετασχηµατισµός f() Ψηφιακό φίλτρο Η() Από το αναλογικό φίλτρο Η() βρίσκουµε άµεσα το ψηφιακό Η(): H() H() f Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 30

31 Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 3 ίδεται η συνάρτηση. Ζητείται η αντίστοιχη ψηφιακή Η() για συχνότητα δειγµατοληψίας f 500H () H H H. ) (. ) ( ) ( f y(n)-0.y(n-) 0.4( x(n)x(n-) )

32 ιγραµµικός µετασχηµατισµός the complication!!! Εξ αιτίας της στρέβλωσης κατά τη διάρκεια της µετατροπής του αναλογικού φίλτρου σε ψηφιακό πρέπει οι αρχικές προδιαγραφές να µεταφραστούν κατάλληλα Ω ω tan Πριν την αναλογική σχεδίαση Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 3

33 ίνεται η αναλογική συνάρτηση (Butterworth) Η()/( ) Με χρήση του διγραµµικού µετασχηµατισµού να βρεθεί η αντίστοιχη ψηφιακή συνάρτηση Η() που αντιστοιχεί σε (βαθυπερατό) φίλτρο µε συχνότητα αποκοπής f C 50H και συχνότητα δειγµατοληψίας f S.8 ΚH. Note : We cannot ue in the Analog-deign the relation Ωπ.f and etimate a Ω c π. f C Prewraping i neceary Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 33

34 συχνότητα αποκοπής f C 50H συχνότητα δειγµατοληψίας f S 80 H. ιαδικασία αποστρέβλωσης αποστρέβλωσης Step : compute the digital frequency for each of the deign parameter Η κανονικοποιηµένη (ψηφιακή) συχνότητα είναι: (ω π f/f ) ω C π 50 / π Step : tranlate thi to analog deign frequency Η αντίστοιχη αναλογική συχνότητα είναι : Ω C tan(ω c /) Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 34

35 Αναλογικό φίλτρο Η() Μετασχηµατισµός f() Ψηφιακό φίλτρο Η() Βαθυπερατό βαθυπερατό H () ιγραµµικό µετασχηµατισµό: H() H() 0.488( ( ) ( ) 0.488( ) ( ) ) Απόκριση Η(ω) συχνότητα H Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 35

36 Πλήρης σχεδιασµός βαθυπερατού φίλτρου µε το ιγραµµικό µετασχηµατισµό Προδιαγραφές Ψηφιακού φίλτρου Μετασχηµατισµός Ωg(ω) Προδιαγραφές Αναλογικού φίλτρου Συνοπτικά: Από τις προδιαγραφές του ψηφιακού βρίσκουµε τις αντίστοιχες προδιαγραφές του αναλογικού βαθυπερατού φίλτρου και στη συνέχεια την συνάρτηση Η() Μετατρέπουµε το αναλογικό βαθυπερατό στο αντίστοιχο αναλογικό υψιπερατό ή ζωνοδιαβατό ή απόρριψης ζώνης. Εφαρµόζουµε τον διγραµµικό µετασχηµατισµό Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 36

37 Πλήρης σχεδιασµός βαθυπερατού φίλτρου µε το ιγραµµικό µετασχηµατισµό -Συνέχεια Για την εύρεση των συχνοτήτων Ω του αναλογικού βαθυπερατού φίλτρου από τις αντίστοιχες ω του ψηφιακού χρησιµοποιούµε τον εξής πίνακα: Ωg(ω) f() παράµετροι βαθυπερατό ηψιπερατό Ωtan(ω/) Ω -cot(ω/) ζωνοδιαβατό απόρριψης ζώνης c coω Ω inω inω Ω coω c c c c c in(ωa ωb) inω inω a in(ω a ωb) inω inω a b b Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 37

38 ΝαβρεθείητάξηΝτουβαθυπερατούButterworth φίλτρου µε τις εξής προδιαγραφές (στον ψηφιακό χώρο) ζώνη διέλευσης ω p 0.π, εξασθένηση A p 3dB ζώνη αποκοπής ω 0.4π, εξασθένηση A 30dB H(Ω) Ω Ω C N / H(0.4π) tan0.π tan0.π Ν / Ν ) / (.36 Επειδή 0log 0 H(0.4π) -30 log0 Ν / (.36 ) 30 / 0 0. (.36 ) 036 Ν Ν / H() Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 38

39 Να σχεδιασθεί βαθυπερατό ψηφιακό Βutterworth φίλτρο µε τις εξής προδιαγραφές: ζώνη διέλευσης 0-60Η (εξασθένηση 3dB) ζώνη αποκοπής >85 H εξασθένηση>5db συχνότητα δειγµατοληψίας f 56H βρίσκουµε τις ψηφιακές (κανονικοποιηµένες) συχνότητες : ω π60/56 π και ω π85/56π βρίσκουµε τις αποστρεβλωµένες (prewarped) αναλογικές συχνότητες: Ω tan(ω /)0.906 και Ω tan(ω /).758 N.758 βρίσκουµε την τάξη του φίλτρου 0log 5 N.468 N ηλ η ζητούµενη κανονικοποιηµένη (Ω) συνάρτηση Butterworth είναι: Η()/{ 3 } Aποκανονικοποιούµε τηνη() ώστε Ω c Ω ηλ Η'()H(/0.906) και εφαρµόζουµε τον διγραµµικό µετασχηµατισµό: Τα δύο τελευταία στάδια γίνονται (σε ένα βήµα) ως ακολούθως: H() H'() H() Νοέµβριος 005 ΨΕΣ

40 για για Να σχεδιασθεί βαθυπερατό ψηφιακό Βutterworth φίλτρο µε συχνότητα δειγµατοληψίας f 0kH και τις εξής προδιαγραφές: ζώνη διέλευσης 0-4kH εξασθένηση 0.5dB ζώνη αποκοπής >5 kh εξασθένηση>0db ψηφιακές συχνότητες: ωπ4/00.4π και ωπ5/00.5π αναλογικές συχνότητες :Ω p tan(0.4π/)0.765 Από την σχέση: H(Ω) έχουµε: Ω N / Ω Ω p Ω Ω N ( ) 0 c N 0 / 0 ( ) 0 Ω H(Ω H(Ω p ) ) [ ( ) ] Ωp ( ) Ω c N N [ ( ) ] Ω Ω c Ω c / / 0log H(Ω 0log H(Ω p Ω tan(0.5π/) ) 0log ) 0log 0.5 / / 0 Ω N c N και Ω c Ω N p ( ) 0. 5 Ω c [ ( ) ] Ω N Ω 0 c Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 40

41 T() ( )( )(.47 )(.809 ) Αποκανονικοποιούµε γιαω c και µε εφαρµογή του διγραµµικού µετασχηµατισµού λαµβάνουµε για τον ο όρο: H() ( Επαναλαµβάνοντας και για τούς υπόλοιπους όρους λαµαβάνουµε: ) H H H 3 4 () () () 0.34( ) ( ) ( ) Η(Ω) db 0 Α p A 0 Ω p Ω Ω H()H ()H ()H 3 ()H 4 () Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 4

42 Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 4 οθείσης της βαθυπερατής συνάρτησης Η()/() να σχεδιασθεί ψηφιακό υψιπερατό φίλτρο µε συχνότητα αποκοπής f c 30 H και συχνότητα δειγµατοληψίας f 50 H Για την συχνότητα ω C και την αντίστοιχη αναλογική Ω C έχουµε tan Ω π C H H H H... ) ( ) (. ) ( ) ( 0.765

43 Ψηφιακά ζωνοδιαβατά φίλτρα ας τάξεως Η αναλογική συνάρτηση έχει την µορφή: H a () α α Ω ο Η απόκριση H a (Ω) χαρακτηρίζεται: από τη µέγιστη τιµή που λαµβάνει στη συχνότητα ΩΩ ο και Η(Ω) από τις δύο συχνότητες αποκοπής Ω και Ω που ορίζονται σαν οι συχνότητες που η απόκριση "πέφτει" στο / του µεγίστου 0 Ω Ω ο Ω Αποδεικνύεται ότι : Ω ο και α ΩΩ -Ω Ω Ω Ω Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 43

44 Ψηφιακά ζωνοδιαβατά φίλτρα ας τάξεως Εύρεση της συνάρτησης Η(). οθέντων των ω,ω βρίσκονται τα Ω,Ω : ΩΚtan( tan(ω/). Από αυτά βρίσκονται τα α και Ω ο Από το Ω ο και το ω βρίσκεται το και από αυτά η Η() και η Η(): α Ω ( Ω ο ) tan ω H() H() α α Ω ο Ηλεκτρονικη και Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 44 Επεξεργασία της Πληροφορίας

45 Να σχεδιασθεί ψηφιακό φίλτρο ας τάξεως µε ζώνη διέλευσης H και συχνότητα δειγµατοληψίας f kh ω tan 00 π tan 000 Ω ω tan 300 π tan 000 Ω Ω ο x και αω -Ω H() H() H α και () Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 45

46 Exam Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 46