ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΑΕΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗ Διδάσκων: Δρ. Ριζιώτης Βασίλης Ροή με στροβιλότητα Αστρόβιλη ροή
Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. ια εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναφέρεται ρητώς.
Ορισμός της στροβιλότητας Ω= ur (;t) πεδίο στροβιλότητας = uds = un ds= Ωn ds C S S συσχέτιση στροβιλότητας κυκλοφορίας d = uds = un ds= Ωn ds C n
Ω ds = 0 γραμμή στροβιλότητας πεδιακή γραμμή του πεδίου στροβιλότητας (vortex line) Ω επιφάνεια στροβιλότητας (vortex surface) σωλήνας στροβιλότητας (vortex tube)
Το πεδίο στροβιλότητας είναι div free Ω= ( u) = 0 S Ωn ds = Ω dr = 0 R Η παροχή στροβιλότητας διαμέσω κλειστής επιφάνειας είναι μηδέν
Το πεδίο στροβιλότητας είναι div free Ω dr = Ω n ds + Ω n ds + Ω n ds = R S S S S 1 2 1 2 w Ωn ds + Ωn ds = 0 1 2 S 14243 0 γιατί Ω παράλληλο στην επφάνειακαι άρα κάθετο στοn n επομένως: S 1 n=-n n 1 1 R S 2 n=n 2 S Ωn ds = Ωn ds 1 2 S 1 2 S w Η παροχή στροβιλότας από οποιαδήποτε τομή ενός σωλήνα στροβιλότητας είναι σταθερή Ωn ds = const. S κατά μήκος σωλήνα στροβιλότητας
Ωn ds = const. = S S 1 n S 2 n Η κυκλοφορία γύρω από οποιαδήποτε καμπύλη περιβάλλει το σωλήνα παραμένει σταθερή
σωλήνας στροβιλότητας (vortex tube) νήμα στροβιλότητας (vortex filament) r s S 1 n S 2 n ds Ω n r dl = Ωn ds s Δεδομένου ότι η κατεύθυνση κάθετου διανύσματος και στροβιλότητας συμπίπτουν = Ω ds
Μια/ένας γραμμή/σωλήνας/νήμα στροβιλότητας δεν μπορούν να ξεκινουν η να διακόπτονται απότομα σε κάποια θέση του πεδίου ροής. Είτε διαμορφώνουν κλειστούς δακτυλίους είτε εκτείνονται στο άπειρο. Η κυκλοφορία γύρω από μια/ένα γραμμή/σωλήνας/νήμα στροβιλότητας ονομάζεται ένταση του.
Ρυθμός μεταβολής της Κυκλοφορίας D D D = ds 0 Dt Dt uds = = Dt Ωn C S θεώρημα Kelvin Η κυκλοφορία διατηρείται υλικά Η κυκλοφορία γύρω από ένα σωλήνα στροβιλότητας παραμένει σταθερή σε όλους του χρόνους καθώς ο σωλήνας κινείται μέσα στη ροή
Φυσική ερμηνεία θεωρήματος Kelvin Η κυκλοφορία διατηρείται υλικά D = Dt 0 α w Αεροτομή που ξεκινά από ακινησία (=0) παράγει στρόβιλο (στρόβιλος εκκίνησης) ίσης έντασης με την κυκλοφορία που αναπτύσσεται γύρω της και αντίθετης φοράς. Ο στροβιλος ταξιδεύει κατάντι της ροής και όταν απομακρυνθεί αρκετά από την αεροτομή τότε η κυκλοφορία γύρω από την αεροτομή σταθεροποιείται
Πηγή: Principles of ideal-fluid aerodynamics - Karamcheti K., Wiley Αστρόβιλη Ροή
Το πρόβλημα της εκκίνησης Αστρόβιλη Ροή
n Ροή με στροβιλότητα Ω D Dt D = ( Ωn ds) = 0 Dt n Ω n = 0 Μια επιφάνεια η οποία αποτελεί φύλλο στροβιλότητας κάποια στιγμή, παραμένει φύλλο στροβιλότητας κάθε στιγμή Τα στοιχεία του ρευστού που συνιστούν ένα φύλλο στροβιλότητας, συνιστούν πάντα ένα φύλλο στροβιλότητας Ω
Ω = u πεδίο στροβιλότητας - ορισμός u =0 εξίσωση συνέχειας ασυμπίεστης ροής u = Α ορισμός διανυσματικού δυναμικού ( ) ( ) 2 Ω = u= Α = Α Α 14 2 43 0 Α εξ ορισμού div free 2 Α = Ω Με χρήση 2 ης ταυτότητας Green αποδεικνύεται 1 (,t Αr (,t) = dr 4 Ωs ) π r s R u 1 (,t = Α = dr 4 Ωs ) π r s R
για vortex filament 1 Ωs (,t) δ u = ( n ds d l) 4π r s 14243 dr ds r s Ω n r δu Ω n ds = ( ) 1 dl dl r s = = 3 4π r s 4π r s dl s u ( ) d l r s 3 l r s = 4 π Νόμος Biot-Savart
για vortex filament d e u= e άπειρος 2πd u u = ( cosβ cosβ ) e 4πd 12 1 2 πεπερασμένος
για vortex filament r 0 2 r 2 1 r 1 e u 12 r 0 r1 r2 r0 r1 r0 r2 = 4π r1 r2 r1 r2 r0 r1 r0 r2 123 123 { { e cosβ1 cosβ2 1 d u 12
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα» του ΕΜΠ έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.