1 GRAMMIKES DIAFORIKES EXISWSEIS DEUTERAS TAXHS

1 GRAMMIKES DIAFORIKES EXISWSEIS DEUTERAS TAXHS Γραμμικές μη ομογενείς διαφορικές εξισώσεις δευτέρας τάξης λέγονται οι εξισώσεις τύπου y + p(x)y + g(x)y = f(x) (1.1) Οταν f(x) = 0 η εξίσωση y + p(x)y + g(x)y = 0 (1.2) ονομάζεται ομογενής γραμμική Δ.Ε. δευτέρας τάξης. Εστω ότι c 1, c 2 είναι δυο αυθαίρετες σταθερές, τότε μια συνάρτηση y = ϕ(x, c 1, c 2 ) ( αντιστ. ψ(x, y, c1, c 2 ) = 0 ) που επαληθεύει τη Δ.Ε.: F (x, y, y, y ) = 0, λέγεται Γενική λύση Γ.Λ. ( αντιστ. Γενικό Ολοκλήρωμα Γ.Ο.) αυτής της Δ.Ε. Η λύση που προκύπτει απ τη γενική λύση για συκγεκριμένες τιμές των σταθερών ονομάζεται μερική λύση. Αν y 0 είναι η γενική λύση της ομογενούς εξίσωσης (1.2) και y µ μια μερική λύση της (1.1) τότε η γενική λύση y γ της (1.1) είναι: y γ = y 0 + y µ. (1.3) Αν y 1 (x), y 2 (x) είναι δυο γραμμικά ανεξάρτητες μερικές λύσεις της ομογενούς Δ.Ε. (1.2), τότε γενική λύση της ομογενούς Δ.Ε. είναι y 0 = c 1 y 1 + c 2 y 2, (1.4) όπου c 1, c 2 είναι δυο αυθαίρετες σταθερές. y 1 (x) y 2 (x) Η ορίζουσα W (x) = W (y 1 (x), y 2 (x)) = y 1(x) y 2(x) λέγεται ορίζουσα Wronsky των συναρτήσεων y 1 (x), y 2 (x). Δυο λύσεις της (1.2) λέγονται γραμμικά ανεξάρτητες και αποτελούν θεμελιώδες σύστημα λύσεων όταν W (y 1 (x), y 2 (x)) 0. Η ορίζουσα Wronsky ικανοποιεί τη Δ.Ε. W (x) + p(x)w (x) = 0 όπου p(x) είναι ο συντελεστής του y στην (1.1). Οι εξισώσεις τύπου (1.1) λύνονται με υποβιβασμό τάξης Δ.Ε. και με τη Μεθοδο Μεταβολής των Σταθερών Συντελεστών (Lagrange), που δίνονται παρακάτω. 1

2 GRAMMIKES DIAFORIKES EXISWSEIS DEUTERAS TAXHS ME STAJEROUS SUNTELESTES. Είναι οι εξισώσεις της μορφής y + a 1 y + a 2 y = f(x) (2.1) όπου a 1, a 2 είναι σταθερές. Η αντίστοιχη ομογενής είναι η εξίσωση Η χαρακτηριστική εξίσωση (χ.ε.) της (2.2) είναι y + a 1 y + a 2 y = 0 (2.2) λ 2 + a 1 λ + a 2 = 0 Οι γραμμικά ανεξάρτητες μερικές λύσεις της ομογενούς Δ.Ε. (2.2) εξαρτώνται από τις ρίζες της χ.ε. και βρίσκονται από τον Πίνακα: Πίνακας (2.3) Ρίζες της χ.ε. Μερικές γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της (2.2) 1. λ 1, λ 2 R, λ 1 λ 2 y 1 (x) = e λ1x, y 2 (x) = e λ2x 2. λ 1, λ 2 R, λ 1 = λ 2 = λ y 1 (x) = e λx, y 2 (x) = xe λx 3. λ 1, λ 2 C, λ 1,2 = α ± iβ, α, β R y 1 (x) = e αx cos βx, y 2 (x) = e αx sin βx Για την εύρεση της μερικής λύσης της μη ομογενούς Δ.Ε.(2.1) εφαρμόζουμε τη μέθοδο Απροσδιόριστων συντελεστών. Οι Δ.Ε. τύπου (2.1) λύνονται και με τη Μέθοδο μεταβολής των σταθερών συντελεστών (Lagrange). ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ. Ανάλογα με τη μορφή της f(x) στην Δ.Ε. (2.1) ψάχνουμε τη μερική λύση της: y µ από τον παρακάτω Πίνακα (2.4) και μετά κάνουμε την αντικατάσταση της y µ και των παραγώγων της στην (2.1) για να βρούμε τους απροσδιόριστους συντελεστές στα πολυώνυμα P m (x) = A 0 x m + A 1 x m 1 +... + A m 1 x + A m. 2

Πίνακας (2.4) f(x) Ρίζες της χ.ε. y µ Μερικές λύσεις 1. P m (x) Ο αριθμός 0 δεν είναι ρίζα της χ.ε. Pm (x) Ο αριθμός 0 είναι ρίζα της χ.ε. πολλαπλότητας k x k Pm (x) 2. P m (x)e αx Ο αριθμός α δεν είναι ρίζα της χ.ε. Pm (x)e αx α R Ο αριθμός α είναι ρίζα της χ.ε. πολλαπλότητας k x k Pm (x)e αx 3. P m (x) cos βx Ο αριθμός ±β δεν είναι ρίζα της χ.ε. Pl (x) cos βx +Q n (x) sin βx + Q l (x) sin βx β R Ο αριθμός ±β είναι ρίζα της χ.ε. πολλαπλότητας k x k [ P l (x) cos βx + Q l (x) sin βx] 4. [P m (x) cos βx Ο αριθμός α ± β δεν είναι ρίζα της χ.ε. [ P l (x) cos βx +Q n (x) sin βx]e αx + Q l (x) sin βx]e αx Ο αριθμός α ± β είναι ρίζα της χ.ε. πολλαπλότητας k x k [ P l (x) cos βx α, β R + Q l (x) sin βx]e αx όπου k = 1, 2, P m (x), Q n (x), είναι πολυώνυμα βαθμού m, n αντίστοιχα, l = max(m, n). Η περισπωμένη πάνω από το πολυώνυμο δείχνει πως το πολυώνυμο αυτό είναι του ίδιοιυ βαθμού αλλά με απροσδιόριστους συντελεστές π.χ. αν P m (x) = x 2 3x + 5 ή P m (x) = x 2 τότε P m (x) = Ax 2 + Bx + C. ΑΣΚΗΣΗ 1. Να βρεθεί η γενική λύση της Δ.Ε. y + 4y 5y = x, (2.5) Λύση: Η f(x) = x και η αντίστοιχη ομογενής είναι η Δ.Ε. y + 4y 5y = 0, (2.6) Η χαρακτηριστική εξίσωση (χ.ε.) της (2.6) είναι λ 2 +4λ 5 = 0 λ 1 = 5, λ 2 = 1. Εχουμε την πρώτη περίπτωση του Πίνακα (2.3). Άρα y 1 = e λ1x = e 5x, y 2 = e λ2x = e x. Τότε η γενική λύση της ομογενούς Δ.Ε. (2.6) λόγω της (1.4) είναι y 0 = c 1 e 5x + c 2 e x. Τώρα θα βρούμε τη μερική λύση της (2.5). Επειδή f(x) = x και ο αριθμός 0 δεν είναι ρίζα της χ.ε., έχουμε την πρώτη περίπτωση του Πίνακα (2.4). Άρα y µ = Ax + B y µ = A, y µ = 0. Αντικαθιστώντας τις τιμές αυτές στην (2.5), θα έχουμε 4A 5(Ax+B) = x 5Ax+(4A 5B) = x. Εξισώνουμε τους συντελεστές των ομοιοβάθμιων όρων: 5A = 1 και 4A 5B = 0 A = 1/5, B = 4/(25). Τότε y µ = 1 5 x 4 25 και η γενική λύση y γ της (2.5) λόγω της (1.3) είναι 3

y γ = y 0 + y µ = c 1 e 5x + c 2 e x 1 5 x 4 25. ΑΣΚΗΣΗ 2. Να βρεθεί η γενική λύση της Δ.Ε. y 3y = 6x + 1 (2.7) Λύση: Η f(x) = 6x + 1 και η αντίστοιχη ομογενής είναι η Δ.Ε. y 3y = 0, (2.8) Η χαρακτηριστική εξίσωση (χ.ε.) της (2.8) είναι λ 2 3λ = 0 λ(λ 3) = 0 λ 1 = 0, λ 2 = 3. Εχουμε την πρώτη περίπτωση του Πίνακα (2.3). Άρα y 1 = e λ1x = e 0 = 1, y 2 = e λ2x = e 3x. Τότε η γενική λύση της ομογενούς Δ.Ε. (2.8) λόγω της (1.4) είναι y 0 = c 1 + c 2 e 3x. Επειδή f(x) = 6x + 1 και ο αριθμός 0 είναι ρίζα της χ.ε. πολλαπλότητας 1, έχουμε την πρώτη περίπτωση του Πίνακα (2.4). Άρα y µ = x(ax + B) = Ax 2 + Bx y µ = 2Ax + B, y µ = 2A. Αντικαθιστώντας τις τιμές αυτές στην (2.7), θα έχουμε 2A 3(2Ax + B) = 6x + 1 6Ax + (2A 3B) = 6x + 1. Εξισώνουμε τους συντελεστές των ομοιοβάθμιων όρων: 6A = 6 και 2A 3B = 1 A = 1, B = 1. Τότε y µ = x 2 x και η γενική λύση y γ της (2.7) λόγω της (1.3) είναι y γ = y 0 + y µ = c 1 + c 2 e 3x x 2 x. ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρεθούν οι γενικές λύσεις των Δ.Ε. με τη μέθοδο Απροσδιόριστων συντελεστών. 1. y + 2y 3y = 1 2. 3y 4y + y = 5 3. y + 2y + y = x 4. y 2y + y = 3x + 4 5. y 4y + 4y = 4x 2 + 4x + 2 6. y + 2y 3y = 4e x 7. y 9y = 12x e 3x 8. y + 10y + 25y = e 5x 9. y + 4y = 8 sin 2x 4

10. y + y = sin x + cos x 11. y + 36y = 2 sin 6x 12. y + 4y = cos 2x, y(0) = y(π/4) = 0 Οι εξισώσεις τύπου (1.1) λύνονται με τη μέθοδο Lagrange. ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΤΩΝ ΣΤΑΘΕΡΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ (Lagrange). Για τη μη ομογενή εξίσωση η αντίστοιχη ομογενής είναι y + p(x)y + g(x)y = f(x) (2.9) y + p(x)y + g(x)y = 0 (2.10) Εστω ότι y 1 (x), y 2 (x) είναι δυο μερικές γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της (2.10). Τότε y 0 = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) είναι η γενική λύση της ομογενούς Δ.Ε. (2.10). Τη γενική λύση της (2.9) ψάχνουμε σε μορφή: όπου y γ (x) = C 1 (x)y 1 (x) + C 2 (x)y 2 (x), (2.11) C 1 (x) = C 2 (x) = y 2 (x)f(x) W [y 1 (x), y 2 (x)] dx + C 1, (2.12) y 1 (x)f(x) W [y 1 (x), y 2 (x)] dx + C 2, (2.13) όπου W [y 1 (x), y 2 (x)] ορίζουσα Wronsky και C1, C 2 είναι αυθαίρετες σταθερές. ΑΣΚΗΣΗ 1. Να βρεθεί η γενική λύση της Δ.Ε. y 2y + y = e x /x 5 (2.14) Λύση: Η f(x) = e x /x 5 και η αντίστοιχη ομογενής είναι η Δ.Ε. y 2y + y = 0, (2.15) Η χαρακτηριστική εξίσωση (χ.ε.) της (2.15) είναι λ 2 2λ + 1 = 0 (λ 1) 2 = 0 λ 1 = λ 2 = 1. Άρα λ = 1 είναι ρίζα πολλαπλότητας 2. Εχουμε τη δεύτερη περίπτωση του Πίνακα (2.3). Τότε y 1 = 5

e λ1x = e x, y 2 = xe λ1x = xe x και η γενική λύση της ομογενούς Δ.Ε. (2.10) λόγω της (1.4) είναι y 0 = c 1 e x + c 2 xe x. Η ορίζουσα Wronsky είναι y 1 (x) y 2 (x) W [y 1 (x), y 2 (x)] = y 1(x) y 2(x) = e x xe x e x (x + 1)e x = (x + 1)e2x xe 2x = e 2x. Από την (2.12) βρίσκουμε xe x e x C 1 (x) = x 5 e 2x dx + C dx 1 = x 4 + C 1 C 1 (x) = x 3 3 + C 1 Από την (2.13) βρίσκουμε C 2 (x) = e x e x x 5 e 2x dx + C dx 2 = x 5 + C 2 C 2 (x) = x 4 4 + C 2. Τότε η γενική λύση της (2.14) λόγω της (2.11) είναι y γ (x) = C 1 (x)y 1 (x) + C 2 (x)y 2 (x) = y γ (x) = [ x 3 3 + C ] [ 1 e x + x 4 4 + C ] 2 xe x ( C1 + C ) 2 x + x 3 e x 12 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρεθούν οι γενικές λύσεις των παρακάτω Δ.Ε. με τη μέθοδο Lagrange. 1. y y 2y = e 3x 2. y 2y + y = ex x 3. y + y = 1 cos x 4. 9y + y = 1 cos(x/3) 5. y + 4y = tan 2x 6. y + 36y = 4 cos 6x 7. 16y + y = 1 sin(x/4) 8. y + 25y = 2 tan 5x 9. y + y = cot x 10. y 2y + 2y = e x sin x 6

3 GRAMMIKES DIAFORIKES EXISWSEIS ANWTERHS TAXHS ME STAJEROUS SUNTELESTES. Γραμμικές μη ομογενείς διαφορικές εξισώσεις ανώτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές λέγονται οι εξισώσεις τύπου a 0 y (n) + a 1 y (n 1) +... + a n 1 y + a n y = f(x) (3.1) όπου a 0, a 1, a 2,..., a n είναι σταθερές. Οταν f(x) = 0 η εξίσωση a 0 y (n) + a 1 y (n 1) +... + a n 1 y + a n y = 0 (3.2) ονομάζεται ομογενής γραμμική Δ.Ε. ανώτερης τάξης. Εστω ότι c 1, c 2,..., c n είναι n αυθαίρετες σταθερές, τότε μια συνάρτηση y = ϕ(x, c 1, c 2,..., c n ) ( αντιστ. ψ(x, y, c 1, c 2,..., c n ) = 0 ) που επαληθεύει τη Δ.Ε. (3.1) λέγεται Γενική λύση Γ.Λ. ( αντιστ. Γενικό Ολοκλήρωμα Γ.Ο.) αυτής της Δ.Ε. Ως συνήθως ορίζεται η μερική λύση. Αν y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x) είναι n γραμμικά ανεξάρτητες μερικές λύσεις της ομογενούς Δ.Ε. (3.2), τότε γενική λύση της ομογενούς Δ.Ε. είναι y 0 = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) +... + c n y n (x), (3.3) όπου c 1, c 2,..., c n είναι n αυθαίρετες σταθερές. Αν y 0 είναι η γενική λύση της ομογενούς εξίσωσης (3.2) και y µ μια μερική λύση της (3.1) τότε η γενική λύση y γ της (3.1) είναι: Η ορίζουσα W (x) = W ( y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x) ) = y γ = y 0 + y µ. (3.4) y 1 (x) y 2 (x)...y n (x) y 1(x) y 2(x)...y n(x)......... 1 (x) y (n 1) 2 (x)...y n (n 1) (x) y (n 1) λέγεται ορίζουσα Wronsky των συναρτήσεων y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x). n λύσεις y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x) της (3.2) λέγονται γραμμικά ανεξάρτητες και αποτελούν θεμελιώδες σύστημα λύσεων όταν W ( y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x) ) 0. Η χαρακτηριστική εξίσωση (χ.ε.) της (3.2) είναι a 0 λ n + a 1 λ n 1 +...a n 1 λ + a n = 0 7

Η εξίσωση αυτή έχει συνολικά n πραγματικές και μιγαδικές ρίζες: λ 1, λ 2,..., λ n. Οι γραμμικά ανεξάρτητες μερικές λύσεις y 1, y 2,..., y n της ομογενούς Δ.Ε. (3.2) εξαρτώνται από τις ρίζες της χ.ε. και βρίσκονται από τον παρακάτω Πίνακα: Πίνακας (3.5) Ρίζες της χ.ε. Μερικές γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της (3.2) 1. λ R και είναι απλή ρίζα y = e λx 2. λ R, είναι ρίζα πολλαπλότητας s y 1 = e λx, y 2 = xe λx,..., y s = x s 1 e λx 3. λ 1, λ 2 C, α, β R, λ 1,2 = α ± iβ, y 1 = e αx cos βx, y 2 = xe αx cos βx,..., y s = x s 1 e αx cos βx λ 1,2 είναι ρίζα πολλαπλότητας s y s+1 = e αx sin βx, y s+2 = xe αx sin βx,..., y 2s = x s 1 e αx sin βx Για την εύρεση της μερικής λύσης της μη ομογενούς Δ.Ε.(3.1) εφαρμόζουμε τη μέθοδο Απροσδιόριστων συντελεστών όπως περιγράφθηκε παραπάνω στον Πίνακα (2.4) για Δ.Ε. 2-ας τάξης όπου η πολλαπλότητα της ρίζας s n. ΑΣΚΗΣΗ 1. Να βρεθεί η γενική λύση της Δ.Ε. y y + y y = 2x + 3, (3.6) Λύση: Η f(x) = 2x + 3 και η αντίστοιχη ομογενής είναι η Δ.Ε. y y + y y = 0, (3.7) Η χαρακτηριστική εξίσωση (χ.ε.) της (3.7) είναι λ 3 λ 2 +λ 1 = 0 λ 2 (λ 1)+ λ 1 = 0 (λ 1)(λ 2 + 1) = 0 λ 1 = 1 ή λ 2 = 1 λ 2,3 = ±i = 0 ± 1i. Εχουμε την πρώτη και την τρίτη περίπτωση του Πίνακα (3.5) όπου α = 0, β = 1. Άρα y 1 = e λ1x = e x, y 2 = e αx cos βx = cos x, y 3 = e αx sin βx = sin x. Τότε η γενική λύση της ομογενούς Δ.Ε. (3.7) λόγω της (3.3) είναι y 0 = c 1 e x + c 2 cos x + c 3 sin x. Τώρα θα βρούμε τη μερική λύση της (3.6). Επειδή f(x) = 2x + 3 και ο αριθμός 0 δεν είναι ρίζα της χ.ε., έχουμε την πρώτη περίπτωση του Πίνακα (2.4). Άρα y µ = Ax + B y µ = A, y µ = y µ = 0. Αντικαθιστώντας τις τιμές αυτές στην (3.6), θα έχουμε A (Ax + B) = 2x + 3 Ax + (A B) = 2x + 3. Εξισώνουμε τους συντελεστές των ομοιοβάθμιων όρων: A = 2 και A B = 3 A = 2, B = 5. Τότε y µ = 2x 5 και η γενική λύση y γ της (3.6) λόγω της (3.4) είναι y γ = y 0 + y µ = c 1 e x + c 2 cos x + c 3 sin x 2x 5. Να βρεθούν οι γενικές λύσεις των παρακάτω Δ.Ε.. 1. y 2y y + 2y = 4x + 2 8

2. y 3y + 2y = e 2x 3. y y = cos x 4. y (4) y = 5 5. y 8y = 7e x 6. y 3y + 3y y = 8 9