h(t) δ(t+3) ( ) h(t)*δ(t)

Transcript

1 f()* δ ( ) = f( ) x () = δ ( + 3) = 3 h () = u () u ( ) h()* δ ( + 3) = h ( + 3) = u ( + 3) u ( + 1) 1 h() * -3 δ(+3) ( ) h()*δ()

2 MY : Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #6 Μοντέλα διαφορικών εξισώσεων για ΓΧΑ Συστήματα Επίλυση Διαφορικών Εξισώσεων Η γραμμική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης Παράδειγματα

3 Μοντέλα διαφορικών εξισώσεων (Differeial equaio models) Πολύ συχνά τα ΓΧΑ μοντελοποιούνται με συνήθεις γραμμικές διαφορικές εξισώσεις (liear ordiary differeial equaios) με σταθερούς συντελεστές Παράδειγμα: x() y() S dy () d ay () = bx () Συνήθης: όχι μερικές παράγωγοι Γραμμική: όχι εξάρτηση η από (dy()/d) ) κλπ. Πρώτης τάξης: Διαφορικά πρώτης τάξης μόνο Σταθεροί συντελεστές

4 Μοντέλα διαφορικών εξισώσεων (Differeial equaio models) Ερώτηση: Η αναπαράσταση αυτή είναι γραμμική και χρονικά αμετάβλητη; dy1() dy() ay1() bx1(), ay() bx() d = d = x () = ax() + ax() Γραμμική: 1 1 d ( a1 y1 ( ) + a y ( )) a ( a1 y1 ( ) + a y ( )) = b ( a1 x1 ( ) + a x ( )) d dy1() dy() a 1 ( ay 1 ( ) bx 1 ( )) + a ( ay ( ) bx ( )) = d d Χρονικά αμετάβλητη: ->- dy( ) d ay( ) = bx( )

5 Μοντέλα διαφορικών εξισώσεων Παραδείγματα: Κύκλωμα RC Va() x(), vc() y() x() = Ri() + y() dy() i () = C d i() dy() RC + y() = x() d Γραμμική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης

6 Μοντέλα διαφορικών εξισώσεων Κύκλωμα RLC V () x (),() i y() dy () 1 Ry () + L + y ( τ ) d τ = x () d C () () 1 () L d y + R dy + y() = dx d d C d Γραμμική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης

7 Μοντέλα διαφορικών εξισώσεων Μηχανικό σύστημα f () x(), y() d y () Fo () = m d dy () d y () x () r ky () M d = d d y() dy() M + r + ky() = x() d d

8 Μοντέλα διαφορικών εξισώσεων Γενική μορφή: Συνήθης γραμμική διαφορική εξίσωση τάξης με σταθερούς συντελεστές m d y() dy() d x() dx() a a1 + ay( ) = bm b1 + bx( ) m d d d d k m k d y () d x () ak = b k k k k= d k= d 1 dy d y d y με αρχικές συνθήκες: y(), (), (),..., () 1 d d d Γενικά για τη λύση μιας διαφορικής εξίσωσης τάξης απαιτούνται αρχικές συνθήκες

9 Εξισώσεις διαφορών (Differece equaios) Σε διακριτό χρόνο: a y [ k ] + a y [ k + 1] a y [ k ] = b x [ k m ] b 1 m a y[ k l] = b x[ k l] m k l= l= k με αρχικές συνθήκες y[-1],y[-], y[-]. Για την επίλυση μιας εξίσωσης διαφορών τάξης απαιτούνται επίσης αρχικές συνθήκες.

10 Επίλυση διαφορικών εξισώσεων Η Η γενική λύση της m d y() dy() d x() dx() a... a1 ay( ) bm... b1 bx( ) m d + + d + = d + + d + έχει τη μορφή: y () = y () + y () y () ZS k d y - Λύση ομογενούς διαφορικής εξίσωσης k k k = d (homogeeous soluio) με αρχικές συνθήκες y() - Φυσική απόκριση (aural respose) - Απόκριση μηδενικής εισόδου (zero-ipu respose) a () = yzs () - Μερική λύση (paricular soluio) της εξίσωσης με αρχικές συνθήκες y()= - Απόκριση μηδενικής κατάστασης (zero-sae respose) - Βεβιασμένη απόκριση (Forced respose)

11 Επίλυση διαφορικών εξισώσεων a k m k d y() d x() = bk k d k k k= d k= Ισοδύναμα x () y () y () = y () + y () 1 dy d y d y 1 d d d () y(), (), (),..., () ΓΧΑ x() = P ΓΧΑ y () y() y () x() + ΓΧΑ yzs () y () =

12 Η γραμμική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης d y () dy () 1 a + a + a y() = x() d d dy με αρχικές συνθήκες y(), () d Ομογενής εξίσωση: d y() dy() a + a1 + ay() = d d Θα αναζητήσουμε λύσεις της μορφής: y = Ce λ () Αντικαθιστώντας: Ca ( λ + a1λ+ a) e λ = Επομένως: Χαρακτηριστική εξίσωση ή aλ + a1λ+ a = Χαρακτηριστικό πολυώνυμο Διακρίνουσα: Δ= a 4a a 1

13 Η γραμμική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης d y () dy () d 1 () y dy a + a + a y = (), () d d d a λ + a λ + a = 1 Ρίζες χαρακηριστικού πολυωνύμου Λύση ομογενούς εξίσωσης Δ> Δύο πραγματικές άνισες ρίζες ρζ λ 1, λ a1 ± Δ λ1, = a Δ= Μια πραγματική ρίζα πολλαπλότητας a1 λ1 = λ = λ = a Δ<, Δύο άνισες μιγαδικές ρίζες λ 1, λ α 1 a1 ± j Δ λ1, = = σ ± jω a y () = Ce + C e λ 1 λ 1 y () = Ce + C e λ 1 λ σ y () = e [ C cos( ω ) + C si( ω)] 1 Δ<, α 1 = Δύο φανταστικές ρίζες ± j Δ λ1, = =± jω a y () = C cos( ω ) + C si( ω ) 1

14 .5 Η γραμμική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης 1 σ < e - cos(1) e - -e - σ y () = e cos( ω ) 3 1 e cos(1) e -e σ > με απόσβεση (uderdamped) σ = cos(1) ασταθές (overdamped). λ1 ω. λ χωρίς απόσβεση (criically damped). λ λ σ< σ>. λ σ

15 Η γραμμική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης d y () dy () 1 a + a + a y() = d d dy Οι σταθερές C 1 και C υπολογίζονται από τις αρχικές συνθήκες y (), () π.χ. για πραγματικές ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης: d y () Ce C e λ 1 λ = + 1 C1+ C = y() C dy d 1λ1+ Cλ = () Η εύρεση της μερικής λύσης yp () μπορεί να γίνει με διάφορους τρόπους, από τους οποίους ο πιο απλός είναι η μέθοδος των προδιοριστέων συντελεστών (mehod of udeermied coefficies). Η ειδική λύση μπορεί να προσδιοριστεί ανάλογα με τη μορφή της συνάρτησης εξαναγκασμού/ εισόδου x(): Π.χ. για x()=k, ψάχνουμε επίσης για μερικές λύσεις της μορφής y P ()=C 3

16 Η γραμμική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης d y () dy () 1 a + a + a y () = x () d d Μορφή εισόδου Μορφή μερικής λύσης x()=k y P ()=C 3 x()=βe α x()=βcos(ω) y P ()=C 3 e α y P ()=C 3 cos(ω)+c 4 si(ω) x()=β k k +β k 1 k 1 + +β y P ()=C k+ k +C k+1 k 1 + +C 3 όταν α μη μηδενικό, αλλιώς y ()=(C k +C k 1 P (C k+ k+1 + +C C 3 ) x()=(β k k +β k 1 k 1 + +β )e α x()=(β k k +β k 1 k 1 + +β ) cos(ω) y P ()=(C k+ k +C k+1 k 1 + +C 3 )e α όταν α μη μηδενικό αλλιώς y P()=(C k+ k +C k+1 k 1 + +C 3)e α y P ()=(C k+ k +C k+1 k 1 + +C 3 )cos(ω) όταν α μη μηδενικό αλλιώς y P ()=(C k+ k +C k+1 k 1 + +C 3 ) cos(ω)

17 Παράδειγμα i() Κύκλωμα RC dy() RC + y() = x(), d R= 1 Ω, C = 1 F, x () = cos( () ), y () = V V () x (), v () y () dy() Ομογενής εξίσωση: + y () = d Χαρακτηριστικό πολυώνυμο: λ + 1= Λύση ομογενούς εξίσωσης: y () = Ce y () = C = Μερική λύση: = P = 1 + Αντικαθιστώντας: C C + C = 1 = = x () cos() y Ccos() C si() a dy P () = C1 si( ) + C cos( ) d C si( ) + C cos( ) + C cos( ) + C si( ) = cos( ) 1 1 ( C + C )cos( () + ( C C )si() = cos( () C1 C ZS C1 = y () = cos() + si() + De C

18 1 1 yzs () = + D= D= y () = y() + yzs() = e + cos() + si() e y () y () P y() >> =:.1:; >> y_h=*exp(-); >> y_p=.5*cos()+.5*si()-.5*exp(-); >> plo (,y_h,'b',,y_p,'r',,y_h+y_p,'k'); >> leged ('y_()','y_p()','y()');