ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ (ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ) Εµµ. ρης Καθηγητής Φυσικής Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών ΕΜΠολυτεχνείο Αθήνα 004

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι Σηµειώσεις αυτές έχουν σκοπό να αποτελέσουν συνοπτικό βοήθηµα για το µάθηµα των Ηλεκτρονικών που διδάσκεται στη Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών της Κατεύθυνσης Φυσικού Εφαρµογών του ΕΜΠολυτεχνείου. Γίνεται επεξεργασία θεµάτων θεωρίας κυκλωµάτων, αναλογικών ηλεκτρονικών κυκλωµάτων µε τρανζίστορ και τελεστικούς ενισχυτές καθώς και ψηφιακών κυκλωµάτων. Υπάρχουν πολλά ελληνικά και ξενόγλωσσα βιβλία τα οποία διαπραγµατεύονται το σχετικό αντικείµενο σε µεγαλύτερη έκταση τα οποία πρέπει να συµβουλευτεί ο ενδιαφερόµενος για µεγαλύτερη εµβάθυνση. Εδώ δίνονται οι βασικές αρχές για µια πρώτη γεύση στο αντικείµενο. Αθήνα 9/8/004

it (). ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΑ Ένα στοιχείο κυκλώµατος φαίνεται στο Σχήµα.. Σύµφωνα µε τον παθητικό συµβολισµό του ρεύµατος και τάσης, που σηµειώνεται σε αυτό το Σχήµα, η ισχύς που ανταλλάσσει το στοιχείο κυκλώµατος είναι θετική, P = υ i > 0, όταν το στοιχείο απορροφά ισχύ ενώ είναι αρνητική, P < 0, όταν το στοιχείο παρέχει ισχύ. Πολλές φορές λέµε ότι έχουµε πτώση τάσης υ (t) στο στοιχείο κυκλώµατος που δηλώνεται µε βέλος όπως στο Σχήµα.. Το υ = υ (t) είναι η διαφορά δυναµικού (τάση) στα άκρα του στοιχείου που δηµιουργείται ένεκα συσσώρευσης φορτίων, πρόκειται δηλαδή για ηλεκτροστατική διαφορά δυναµικού. (Ακριβέστερα έχοµε ηµιστατική κατάσταση). υ() t it () Σχέσεις ορισµού για µονόθυρα παθητικά στοιχεία κυκλωµάτων. υ() t υ() t Σχήµα. it () R Σχήµα. it () C Σχήµα.3 α) Ωµική αντίσταση υ() t = Ri() t υ() t it () = = Yυ() t R Y = R R είναι η αντίσταση σε Ω (ohm), Υ είναι η αγωγιµότητα σε S (siemens) β) Χωρητικότητα υ() t = i() t dt C dυ() t it () = C dt C W = C υ υ = q Η χωρητικότητα, C, είναι σε F (farad), η ενέργεια W είναι σε J (joule, τζουλ) 3

it () γ) Αυτεπαγωγή di() t υ() t = L dt υ() t L Σχήµα.4 it () = () tdt L υ W = Li Το L είναι σε H (henry, χένρυ) Οι περιπτώσεις που συνήθως εξετάζουµε είναι µε R, L, C σταθερά. Μπορούµε να γράψουµε, υ() t = υ( t) + i( λ) dλ C ή t t όταν t = ο πυκνωτής είναι αφόρτιστος. Επίσης έχουµε, υ() t = υ(0) + i( λ) dλ C ή t 0 t υ() t = i( λ) dλ C όπου it () = it ( ) + ( ) d L υ λ λ ή t t t = - το ρεύµα στο πηνίο είναι µηδέν. it () = i(0) + ( ) d L υ λ λ ή t 0 t it () = ( ) d L υ λ λ, όπου όταν Αµοιβαία επαγωγή Η περίπτωση συζευγµένων πηνίων είναι περίπτωση δίθυρου στοιχείου κυκλώµατος. Λέµε ότι έχοµε αµοιβαία επαγωγή ή αλληλεπαγωγή. M > 0 i () t M i () t υ () t L L υ () t Σύζευξη των δύο πηνίων σηµαίνει ότι µαγνητική ροή από το ένα πηνίο πάει στο άλλο. Ισχύουν, i () t M i () t di di dt dt di di υ =± M + L dt dt υ = L ± M και υ () t L L υ () t Σχήµα.5 Για τις δυο περιπτώσεις του Σχ..5 ισχύουν τα πάνω και τα κάτω πρόσηµα αντιστοίχως. Το νόηµα των κουκίδων,, είναι το εξής. Τα τυλίγµατα του πρωτεύοντος και δευτερεύοντος (πηνίων) είναι έτσι που όταν τα ρεύµατα i, i κατευθύνονται προς τις αντίστοιχες κουκίδες (µε τα + και για τις τάσεις όπως στο Σχ..5), τότε οι τάσεις ένεκα αµοιβαίας επαγωγής προστίθενται στις τάσεις ένεκα αυτεπαγωγής και έχουµε ίδια πρόσηµα στους όρους των τάσεων που σχετίζονται µε τα L ή L και M. Αν δεν ισχύει αυτό έχουµε αντίθετα πρόσηµα. 4

Γενικά, για όλες τις περιπτώσεις στοιχείων κυκλωµάτων, αν αλλάξει κάποια φορά από την συµβατική που δείχνουµε στα διάφορα σχήµατα, τότε αλλάζει το πρόσηµο στο υ(t) ή i(t). Για την περίπτωση της αµοιβαίας επαγωγής τα πρόσηµα σχετίζονται µε την πρόσθεση ή την αφαίρεση των µαγνητικών ροών που οφείλονται στην αυτεπαγωγή και στη σύζευξη. Ολοκληρώνοντας τις σχέσεις για την αµοιβαία επαγωγή ως προς το χρόνο καταλήγουµε στις, L M i ( t) ( ) d ( ) d i (0) t t = υ λ λ υ λ λ+ LL 0 0 M LL M και M L i ( t) ( ) d ( ) d i (0) t t = υ λ λ+ υ λ λ+ LL 0 0 M LL M Έχουµε για την ισχύ, di di di di P() t = υ() t i() t + υ() t i() t = Li () t ± M[ i() t + i() t ] + Li() t ή dt dt dt dt d Pt () = Li Mii Li dt ± +. Ο χρόνος είναι από έως t. Αν για t = είναι i = 0, i = 0, όπως υποθέτουµε πάντα, τότε η ενέργεια που αποθηκεύεται στο κύκλωµα ισούται µε Wt () = Li ± Mii + Li. Από την πεδιακή θεωρία (ηλεκτροµαγνητική θεωρία ) έχουµε, 3 3 Wt () = B() tdx 0 µµ > όπου dx= το στοιχείο όγκου. 0 r Αν υποθέσουµε ότι i (t)/i (t) = x (αυθαίρετο), θα έχοµε W = i [ / L ± Mx +/ L x ] 0. Το i είναι αυθαίρετο, άρα µπορούµε να το πάροµε i 0 εποµένως ½ L ± M x + ½ L x 0 για κάθε t και για αυθαίρετο x. Αυτό το τριώνυµο δεν µπορεί να έχει δυο πραγµατικές ρίζες διότι η ενέργεια θα άλλαζε πρόσηµο και θα γίνονταν αρνητική, πράγµα άτοπο αφού W 0. Εποµένως το τριώνυµο έχει µόνο δυο (συζυγείς) µιγαδικές ρίζες ή µια πραγµατική ρίζα στην οποία µηδενίζεται και εποµένως εκεί είναι και το ελάχιστο της συνάρτησης. Οι ρίζες δίνονται από τις σχέσεις, x, = (-M ± M LL )/L για +Μ x, = (M ± M LL)/L για Μ Πρέπει εποµένως L L M 0. Ορίζεται το k = M / LL ως ο συντελεστής σύζευξης, 0 k. Αν Μ = L L και L, L ενώ L /L πεπερασµένο, τότε έχοµε την περίπτωση ιδανικού µετασχηµατιστή. L /L = (N /N ) = α όπου Ν, Ν οι σπείρες των 5

τυλιγµάτων πρωτεύοντος και δευτερεύοντος αντιστοίχως και α ο λόγος σπειρών που λέγεται λόγος µετασχηµατιστή. Εχοµε, υ / L = di /dt ± (M / L ) di /dt και υ /( ± M) = di /dt + [L /( ± M)] di /dt Εφόσον Μ L L =0 προκύπτει εύκολα ότι υ (t)/l = υ (t)/( ± M) ή υ = N / N υ = (/α) υ (εξετάζοντας µόνο το θετικό πρόσηµο) Εφόσον L έχοµε κατά προσέγγιση 0 = di /dt ± (M / L ) di /dt Ισχύουν M = k LL και M / L = k L / L = πεπερασµένο και τελικώς di /dt = - (L /M) di /dt (για θετικό πρόσηµο, +Μ). Ολοκληρώνοµε από - έως t οπότε i = - (L / M ) i Αφού Μ L = L L έχοµε L / M = M / L = L = α (λόγος µετασχηµατιστή). Αρα i = - α i = - (Ν /Ν ) i k είναι το ποσοστό της ολικής ροής του ενός πηνίου που διέρχεται από το άλλο πηνίο. Για πηνία µεγάλου µήκους σε σχέση µε τη διάµετρό τους έχοµε (βλ. Σχ..6), l α lβ 0 k =. lα l β l β Σχήµα.6 6

ΕΝΕΡΓΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ υ() t it () Υπάρχουν ανεξάρτητες (ιδανικές) πηγές τάσης και ανεξάρτητες (ιδανικές) πηγές ρεύµατος. it () υ() t Τα i(t) και υ(t) των πηγών που σηµειώνονται στο Σχ..7 δεν εξαρτώνται από το φόρτο (το φορτίο) που συνδέεται µε την πηγή. Σχήµα.7 Οι ελεγχόµενες πηγές τάσης και ρεύµατος αντιστοίχως φαίνονται στο Σχ..8. it ( ) υ() t Σχήµα.8 it () υ() t Στην περίπτωση ελεγχόµενων πηγών η τάση υ(t) και το ρεύµα i(t) στο Σχ..8 εξαρτώνται από κάποιο άλλο ρεύµα ή τάση, γι αυτό αυτές οι πηγές λέγονται εξαρτώµενες ή ελεγχόµενες. Παράδειγµα i b Σχήµα.9 βi υ() t b Ισοδύναµο κύκλωµα τρανζίστορ µε ελεγχόµενη από ρεύµα πηγή ρεύµατος. 7

ΙΣΟ ΥΝΑΜΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Αν δύο τµήµατα κυκλωµάτων έχουν ίδια τάση στα άκρα τους και διαρρέονται από το ίδιο ρεύµα, τότε λέγονται ισοδύναµα. Βλέπε Σχ..0. Σχήµα.0 ΚΑΝΟΝΕΣ (ΝΟΜΟΙ) ΤΟΥ KIRCHHOFF ) ΚΑΝΟΝΑΣ ΤΩΝ ΒΡΟΧΩΝ ( ΤΑΣΕΩΝ). Για κάθε (κλειστό) βρόχο κυκλώµατος ισχύει, υ k ( t) = 0 άπου υ k () t οι στιγµιαίες k τάσεις στα άκρα των στοιχείων του βρόχου. Αυτός ο νόµος σχετίζεται µε το γεγονός ότι το ηλεκτροστατικό πεδίο είναι αστρόβιλο οπότε Ε dl = 0. Επίσης σχετίζεται µε τη διατήρηση της ενέργειας. Το Σχ.. δείχνει µια εφαρµογή αυτού του νόµου. υ υ υ Α 5 υ Β + υ - υ 6 υ 7 + υ +4 - υ 3 + Σχήµα. Ας συγκεντρωθούµε στο βρόχο (L) µε τα στοιχεία 5, 7, 6. Ακολουθούµε τον εξής κανόνα: Λαµβάνονται µε πρόσηµο + οι τάσεις που αντιστοιχούν σε στοιχεία που διατρέχονται, κατά τη διαδροµή (διαγραφή) του βρόχου, έτσι που από το θετικό (+) άκρο τους πάµε στο αρνητικό (-). Μπορεί κάποιος να ακολουθήσει τον αντίθετο κανόνα αρκεί να το κάνει µε συνέπεια. Στην περίπτωσή µας έχουµε, υ7 υ5 + υ6 = 0. 8

Κατόπιν γράφοµε τις σχέσεις µεταξύ των υ k και των αντίστοιχων i k, όπου ακολουθούµε τους ορισµούς για τα στοιχεία κυκλώµατος που αναφέραµε για τα R, L, C, M. Τα υ k µπορεί επίσης να εκφραστούν ως διαφορές δυναµικών των άκρων του σχετικού στοιχείου κυκλώµατος ως προς κάποιο σηµείο αναφοράς το οποίο θεωρείται ότι έχει δυναµικό µηδέν, (κοµβικά δυναµικά), π.χ. υ5 = υa υb. ) ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ KIRCHHOFF ΤΩΝ ΚΟΜΒΩΝ ( ΤΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ). Για κάθε σηµείο, κόµβο, κυκλώµατος ισχύει, ik ( t ) = 0. k Θεωρούµε, συνήθως, τα ρεύµατα που πάνε προς τον κόµβο αρνητικά και αυτά που αποµακρύνονται θετικά. Για τον κόµβο Α στο Σχ.. έχουµε, i3 + i+ i 6 = 0. Σχήµα. Για τον κόµβο Γ στο Σχ.. έχουµε, i i i3 = 0. Για τον κόµβο Β έχουµε, i6 i4 i5 = 0. Μια άλλη µορφή αυτού του νόµου σχετίζεται µε κλειστή επιφάνεια, όπως αυτή µε τη διακεκοµµένη περίµετρο στο Σχ... Ισχύει, i5 i4 i6 = 0. Ο νόµος αυτός έχει να κάνει µε το γεγονός ότι κάθε χρονική στιγµή πουθενά στο κύκλωµα δεν γίνεται (πρακτικώς) συγκέντρωση φορτίου. Εδώ εξετάζουµε φαινόµενα ηµιστατικής όπου ο ρυθµός µεταβολής της έντασης ηλεκτρικού πεδίου στις ηλεκτροµαγνητικές εξισώσεις είναι αµελητέος σε σχέση µε τους άλλους όρους (σχετικά χαµηλές συχνότητες). Παραλείπεται ο όρος του ρεύµατος µετατόπισης. Τα ανωτέρω σηµαίνουν ότι δεν υπάρχουν φαινόµενα διάδοσης. Μπορούµε να πούµε και το εξής, στη θεωρία κυκλωµάτων οι διαστάσεις του κυκλώµατος είναι µικρές και µία ηλεκτροµαγνητική διαταραχή σε κάποιο σηµείο του κυκλώµατος διαδίδεται στιγµιαία σε όλα τα σηµεία του κυκλώµατος. Πολλές φορές ο κανόνας των τάσεων γράφεται στη µορφή, ε k = υl, όπου τα ε k παριστάνουν Η.Ε.. (ηλεκτρεγερτικές δυνάµεις). Για πηνίο 9 k l di ε = L dt di (ενώ η (πτώση) τάση(ς) είναι υ = L ). Η Η.Ε.. γράφεται στην άλλη πλευρά της dt σχέσης του νόµου των τάσεων. Ουσιαστικά µεταφέρεται η τάση, αλλάζει πρόσηµο και ισούται µε την Η.Ε.. Η Η.Ε.. ορίζεται κατά τέτοιο τρόπο που να εµφανίζεται

αυτό το πρόσηµο όταν ξεκινά κάποιος από βασικές έννοιες όπως η δύναµη ανά µονάδα φορτίου που ασκείται ένεκα Η.Ε.. στους φορείς του ρεύµατος. ΚΟΜΒΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Η κατάστρωση του συστήµατος των εξισώσεων µε τους αγνώστους που πρέπει να προσδιοριστούν, διευκολύνεται πολύ µε την εφαρµογή της µεθόδου των κόµβων (κοµβική ανάλυση). Η µέθοδος στην απλούστερη µορφή της, συνίσταται στη χρήση του κανόνα των ρευµάτων (των κόµβων) του Kirchhoff για κάθε κόµβο εκτός ενός ο οποίος είναι ο κόµβος αναφοράς (µε δυναµικό µηδέν). Προηγουµένως γράφονται οι σχέσεις των ρευµάτων των κλάδων συναρτήσει των δυναµικών των αντίστοιχων κόµβων (των διαφορών τους) και των εµπεδήσεων των κλάδων. Πρέπει να σηµειώσουµε ότι ο αριθµός των ανεξάρτητων εξισώσεων είναι ίσος µε το πλήθος όλων των κόµβων µείον ένα. Για το Σχήµα. έχουµε για τους κόµβους Α και Β τις δυο εξισώσεις αντιστοίχως,, υα 0 υα 0 υα υb + + = 0 R+ R + R3 R6 R5 υ υ 0 υ υ 0 0 Α Β Β Β + = R5 R7 R4 Από τη λύση του συστήµατος µπορεί να προσδιοριστούν τα άγνωστα στοιχεία. ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ THEVENIN Σχήµα.3 Το κύκλωµα στο Σχήµα.3 είναι ισοδύναµο µε το κύκλωµα στο Σχήµα.4 µε την έννοια ότι για τον ίδιο φόρτο το ρεύµα i (και η τάση στα άκρα του φόρτου) είναι ίδια. 0

φορτος Σχήµα.4 Ανενεργές ανεξάρτητες πηγές σηµαίνει ότι, αν είναι πηγές τάσης δεν έχουν τάση στα άκρα τους και άρα είναι βραχυκυκλωµένες, ενώ αν είναι πηγές ρεύµατος τότε δεν παρέχουν ρεύµα και άρα ο κλάδος τους είναι ανοιχτός (διακοπή στο κύκλωµα). Παράδειγµα υ R R Σχήµα.5 Το κύκλωµα του Σχ..5 είναι ισοδύναµο µε το κύκλωµα του Σχ..6,

Σχήµα.6 όπου το υ t βρίσκεται από το κύκλωµα του Σχ..7. R υ R υ t Σχήµα.7 R άρα, υt = υ R + R.

ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ NORTON Αυτό το θεώρηµα λέει ότι το κύκλωµα στο Σχ..8α είναι ισοδύναµο µε αυτό του Σχ..8β όπου το i n της πηγής ρεύµατος υπολογίζεται από το κύκλωµα του Σχ..8γ. Σχήµα.8 ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΠΑΛΛΗΛΙΑΣ Σε ένα κύκλωµα µπορεί κάποιος να θεωρήσει ότι κάποιες ανεξάρτητες πηγές είναι ανενεργές, να λύσει το πρόβληµα και στη συνέχεια να ενεργοποιήσει αυτές τις πηγές ενώ τις υπόλοιπες τις απενεργοποιεί, να λύσει το νέο πρόβληµα και να προσθέσει τα αποτελέσµατα. Τη διαδικασία αυτή µπορεί να την κάνει µε κατάλληλο τρόπο πολλές φορές. Αυτή η αρχή που είναι η αρχή της επαλληλίας στηρίζεται στη γραµµικότητα των σχέσεων που διέπουν τα κυκλώµατα. Ανάλογα ισχύουν στην κίνηση (στη δυναµική) όπου ισχύει η αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων διότι οι (διαφορικές) εξισώσεις κίνησης είναι γραµµικές. 3

ΜΗ Ι ΑΝΙΚΕΣ ΠΗΓΕΣ Η τάση υ t είναι η τάση στα άκρα της ιδανικής πηγής. Η υ λέγεται πολική τάση και όταν παρέχεται ρεύµα σε εξωτερικό κύκλωµα (φόρτο) η υ < υt. Αν i = 0 τότε υ = υt υ υ + ir υ = 0 i t Αν R = 0 υ = υ i t υ t υ = ir i υ Σχήµα.9 Στην περίπτωση µη ιδανικής πηγής ρεύµατος η εσωτερική αντίσταση της πηγής είναι παράλληλα µε την ιδανική πηγή ρεύµατος. Στην περίπτωση µη ιδανικής πηγής τάσης η εσωτερική αντίσταση είναι σε σειρά µε την ιδανική πηγή τάσης. Προφανώς σύµφωνα µε τα θεωρήµατα thevenin και norton µπορεί να δειχτεί ότι µη ιδανική πηγή τάσης υ t µε εσωτερική αντίσταση R i υt ισοδυναµεί µε πηγή ρεύµατος υt in = παράλληλα µε αντίσταση R i. Πηγή ρεύµατος i n µε εσωτερική αντίσταση R i Ri ισοδυναµεί µε πηγή τάσης υ t = ir n i σε σειρά µε αντίσταση R i. ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ MILLER i i υ υ Y i i υ υ Σχήµα.0 4

Το θεώρηµα του Miller λέει ότι τα κυκλώµατα των Σχηµάτων.0α και.0β είναι ισοδύναµα µε την έννοια ότι τα ρεύµατα i,i προς τα εξωτερικά κυκλώµατα (παριστάνονται µε Χ,X) είναι ίδια. Πράγµατι, έστω υ = k υ και ότι το k είναι γνωστό. Έχουµε τα Y, Y (που πρέπει να προσδιορίσουµε ώστε το κύκλωµα του Σχ..0β να είναι ισοδύναµο µε αυτό του Σχ..0α όπου το Y είναι δεδοµένο. Έχοµε υ i = Y( υ υ) = Yυ( ) = Yυ( k). Για να είναι ισοδύναµα τα δύο κυκλώµατα υ (άρα τα i, i ίδια όπως στο πρώτο κύκλωµα), πρέπει η Y να είναι τέτοια ώστε i =Y υ άρα Y = Y(- k ). Για τον κόµβο στο Σχ..0α έχουµε i = i και υ υ i = Y( υ υ) = Yυ( ) ή i = Y( ) υ. Άρα πρέπει για την ισοδυναµία τους υ υ να ισχύει Yυ = i ή Y= Y( ). k ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΚΥΚΛΩΜΑΤΟΣ ΣΕ ΑΝΩΜΑΛΕΣ ΙΕΓΕΡΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΛΛΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ Όταν οι τάσεις και τα ρεύµατα σε κάποιο κύκλωµα είναι πεπερασµένα, τότε η τάση στα άκρα πυκνωτή του κυκλώµατος και το ρεύµα που διέρχεται από πηνίο του κυκλώµατος είναι συνεχείς συναρτήσεις του χρόνου. Πράγµατι, α) για πυκνωτή ισχύει, dυ() t it () = C. Αν το υ () t µεταβληθεί απότοµα οπότε δεν dt είναι συνεχής συνάρτηση του χρόνου αλλά έχει συµπεριφορά βηµατικής συνάρτησης, συνάρτησης heaviside, θ(t), τότε υ = υ α θ (t) και i(t) = C υ α δ(t-t 0 ), όπου δ(t-t 0 ) συνάρτηση δέλτα, κρουστική συνάρτηση. Αυτό σηµαίνει ότι το i(t) θα γίνει στιγµιαία άπειρο, πράγµα άτοπο σύµφωνα µε την υπόθεσή µας ότι το ρεύµα είναι πεπερασµένο. Άρα το υ(t) δεν µπορεί να µεταβληθεί απότοµα αλλά πρέπει να είναι συνεχής συνάρτηση του χρόνου. di() t β) Για αυτεπαγωγή έχουµε, υ () t = L. Αν το i(t) µεταβληθεί απότοµα και δεν dt είναι εποµένως συνεχής συνάρτηση του χρόνου, τότε το υ(t) είναι ανάλογο του δ(t-t 0 ) άρα στιγµιαία άπειρο πράγµα άτοπο γιατί είπαµε ότι το υ(t) είναι πεπερασµένο. Άρα το i(t) είναι συνεχής συνάρτηση του χρόνου. Λέµε ότι το πηνίο παρουσιάζει αδράνεια στις µεταβολές ρεύµατος και ο πυκνωτής στις µεταβολές τάσης. Αφού W = Cυ και W = Li, εννοείται ότι η τάση σε πυκνωτή και το ρεύµα σε πηνίο πρέπει να είναι πεπερασµένα (κάθε πεπερασµένη χρονική στιγµή) γιατί αλλιώς η αποθηκευµένη ενέργεια θα ήταν άπειρη. Κυκλώµατα που δεν ικανοποιούν αυτή την απαίτηση δεν είναι «καλά» µοντέλα πραγµατικών κυκλωµάτων. 5

Παράδειγµα i L υ L L υ R υ R Σχήµα. V = 00 V, R = 0 Ω, R = 5,0 Ω, L = 0 H. Ο διακόπτης ανοίγει τη χρονική στιγµή t = 0. Να βρεθούν α) Το di L dt t= 0+ β) Το υ =V -V για t = 0 + (τάση στα άκρα του διακόπτη) γ) Ο ρυθµός µείωσης της ενέργειας του πηνίου για t = 0 +. Λύση V α) il = ( t 0). Το i L είναι συνεχής συνάρτηση του χρόνου άρα: R V 00 V il(0 ) = = il(0 + ) = = 0 Α= I0. R 5 Ω dil Έχουµε το νόµο του Kirchhoff για τις τάσεις, L ilr ilr 0 dt + + =. Η διαφορική t εξίσωση είναι οµογενής και άρα έχει λύση της µορφής, ke ρ όπου προφανώς R+ R R R+ R t + R t L L ρ =. Άρα, il () t = ke. Αφού il(0 + ) = I0 έχουµε il () t = I0e. Άρα, L 6

R+ R di t L R+ R di L = I0 e. Για t = 0 + έχουµε L(0 ) R R + = I + 0 άρα dt L dt L d i L (0 + ) 5+ 0 A A = 0 = 50. dt 0 s s β) Το ρεύµα της R είναι από κάτω προς τα πάνω άρα η V =υ είναι αρνητική, R+ R e t 0 L V = υ = ir L = IR, για t = 0 + υ (0 + ) = V = 0 0 V = 400 V, άρα υ = (00 ( 400)) V = 500 V. γ) Προφανώς ο ρυθµός απώλειας ενέργειας του πηνίου βρίσκεται εύκολα αφού, dwl dil dwl(0 + ) dil(0 + ) WL () t = Li () t. Έχουµε = LiL άρα = LIo dt dt dt dt dw L /dt (0 + ) = 0 0 50 J / s = 0 000 J / s ΜΙΓΑ ΙΚΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΕΓΕΘΩΝ ΑΡΜΟΝΙΚΩΝ ΜΕ ΤΟ ΧΡΟΝΟ (ΦΑΣΟΡΕΣ) j( ) Έστω ότι σε κάποιο κύκλωµα έχουµε διέγερση της µορφής xe ωt+ ϕ (µόνιµο φαινόµενο). Η διαφορική εξίσωση είναι γραµµική µε σταθερούς συντελεστές άρα η j( ) απόκριση είναι της µορφής, ye ωt+ ϕ όπου τα x, y, ω, φ, φ πραγµατικά. Προφανώς j( ωt+ ϕ ) j( ω ) οι διεγέρσεις Re xe = xcos( ωt+ ϕ) και Im xe t + ϕ = xsin( ωt+ ϕ) j( ωt+ ϕ ) οδηγούν στις αποκρίσεις Re ye = ycos( ωt+ ϕ) και j( ωt+ ϕ Im ye ) = ysin( ωt+ ϕ), αντιστοίχως. Αυτό σηµαίνει ότι µπορούµε να αντιστοιχίσουµε σε ένα (πραγµατικό) αρµονικό µε το χρόνο φυσικό µέγεθος (τάση, ρεύµα), ένα µιγαδικό µέγεθος του οποίου το πραγµατικό (ή το φανταστικό) µέρος είναι το µέγεθος που µας ενδιαφέρει. Ορίζονται µιγαδικές αντιστάσεις και άλλα φυσικά µεγέθη χαρακτηριστικά των στοιχείων κυκλωµάτων για τα µιγαδικά µεγέθη και αυτό διευκολύνει, όπως θα δούµε, την ανάλυση των κυκλωµάτων. Θεώρηµα A ω B ω j Αν έχουµε δύο µιγαδικούς e t j και e t όπου ω πραγµατικός και Α, Β γενικώς jωt jωt µιγαδικά, τότε αν Re( Ae ) = Re( Be ) για κάθε t, θα ισχύει και Α = Β. Ισχύει και το αντίστροφο. Το Re µπορεί να αντικατασταθεί µε το Im (δυϊκότητα). Απόδειξη. ω j Για t = 0 έχουµε Re(A) = Re(B). Αν θεωρήσουµε ότι t =, τότε e ω t = j άρα π Re(Α j) = Re(B j). Έστω A = A + j A, Β = Β + j Β όπου Α, Α, Β, Β πραγµατικά τότε Re(j A - A ) = ( j B B ) άρα Α = Β δηλαδή Im(A) = Im(B) άρα Α = Β. Το αντίστροφο είναι προφανές. Ανάλογα δείχνεται και η περίπτωση όπου ισχύει jωt jωt Im( Ae ) = Im( Be ). 7

Θεώρηµα A ωt j Αν α = Re( e ) τότε dα dt A jω = Re(jω e t ). Απόδειξη Από τη σχέση Bt = B t + B t = A ω, (Β, Β πραγµατικοί) έχουµε db db db j Aj e dt dt dt db jωt Re = Re( jω Ae ). dt j () () j () e t jωt = + = ω. Άρα σύµφωνα µε το Θεώρηµα dα =. dt Εποµένως αν α=re(a e jωt jωt ) έπεται ότι Re( jω Ae ) ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΕΩΝ (ΕΜΠΕ ΗΣΕΩΝ) α) Ωµική αντίσταση (αντίσταση) Για αρµονική τάση και ρεύµα έστω ότι jϕ jωt υ = Re( ˆ υe e ) = ˆ υcos( ωt + ϕ). Επίσης jϕ jωt jωt i= Re( îe e ) = îcos( ωt+ ϕ ). υ=re( V e ) όπου j V =υˆe ϕ jω.και i Re( e t j = I ) όπου I = îe ϕ, ˆυ, ˆi πραγµατικά. Τα V, I λέγονται φάσορες ή παραστατικοί µιγαδικοί και παριστάνονται µε βέλη στο Σχήµα. µιγαδικό επίπεδο και συµβολίζονται, όπως τα διανύσµατα, µε παχιά (bold) γράµµατα. Αφού ισχύει j j j υ = Ri έχουµε, Re( Ve ωt ) = R Re( Ie ωt ) = Re( RI e ωt ), άρα σύµφωνα µε τα προηγούµενα (Θεώρηµα ) V=R I. Ορίζοµε τη µιγαδική αντίσταση (ωµική) ως, Z R = R =V / I. V I = RI V φ Οι φάσεις (ορίσµατα) των µιγαδικών µεγεθών, σε j αυτή τη περίπτωση είναι ίδιες. V =υˆe ϕ j, I = îe ϕ. Σχήµα.3 8

β) Χωρητική αντίδραση (αντίσταση) it () υ() t i dυ j Έστω τα αρµονικά µεγέθη υ = Re( V e ωt jω = C ), i = Re( I e t ) d t j µε φάσορες V =υˆe ϕ jϕ και I = îe. Από τη σχέση j υ = Re( V e ωt ) προκύπτει σύµφωνα µε το Θεώρηµα ότι Σχήµα.4 dυ jω dυ = Re( V jωe t ). Όµως i= C άρα dt dt jωt jωt Re( Ie ) = Re( V jωce ). Εποµένως (Θεώρηµα ) I = jωcv. Ορίζουµε τη µιγαδική χωρητική αντίδραση (αντίσταση) Z C j = V = = I jωc ωc j V=- I ωc I Όπως φαίνεται στο Σχ..5 η τάση ακολουθεί το ρεύµα µε καθυστέρηση 90 o. V Σχήµα.5 γ) Επαγωγική αντίδραση (αντίσταση) di j Έχουµε υ = L. Έστω υ = Re( V e ωt ), dt i jω = Re( I e t ). Από το Θεώρηµα έχουµε di jωt jωt jωt = Re(jω I e ). Άρα Re( Ve ) = Re(jωL I e ) εποµένως V = jωl I. Ορίζουµε dt ως µιγαδική επαγωγική αντίδραση την ποσότητα Z L = V / I = jωl. V= jωli I Το ρεύµα ακολουθεί την τάση µε καθυστέρηση 90 ο. V Σχήµα.6 9

δ) Αµοιβαία επαγωγή Ισχύουν υ = di di L M dt ± dt και υ =± di di M L dt + dt. Θέτουµε, j υ = Re( V e ωt ), j Re( e ωt jω υ = V ), i Re( e t jω = I ) και i = Re( I e t ). Με ανάλογη διαδικασία όπως προηγουµένως βρίσκουµε: V = jωli± jωmiκαι V = ± jωmi+ jωli. Είναι εύκολο να δει κάποιος ότι ισχύει για τη σύνθεση µιγαδικών αντιστάσεων ότι ισχύει και για τις συνήθεις πραγµατικές αντιστάσεις. (Για σύνθεση σε σειρά, παράλληλα κ.τ.λ.) Παράδειγµα L R υ() t it () Σχήµα.7 Να βρεθεί το ρεύµα στο κύκλωµα του Σχ..7, αν υ() t = ˆ υcos( ωt+ φ). Λύση j Ο φάσορας της τάσης είναι V =υˆe ϕ jω ( υ () t = Re( V e t )). Η ολική µιγαδική εµπέδηση είναι Z = jωl+ R+ (Z L = jωl, Z R = R, Z jωc = C jωc ). Άρα jθ Z = R+ (j ωl ) = Z e όπου Z = R + ( ωl ) και jωc ωc θ = arctan ωl R ωc. Ο φάσορας του ρεύµατος είναι V ˆ υ e j( ϕ θ ) I = = Z Z ϕ θ = ϕ R ωl ωc Οι γωνίες είναι θετικές όταν µετριόνται κατά την αντίθετη φορά των δεικτών του ρολογιού και αρνητικές αν µετριούνται κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού. Σχήµα.8 0

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Ο µετασχηµατισµός laplace ορίζεται από τη σχέση όπου s µιγαδικός ( s = σ + j ω ) και λέγεται µιγαδική συχνότητα. Ο αντίστροφος µετασχηµατισµός laplace ορίζεται από τη σχέση: st F() s = f() t e dt = L[ f()] t 0 def σ+ jω st () = () = [ ()] f t F s e ds L F s π j. σ jω Η συνάρτηση f (t) θεωρείται για t > 0. Όλη η προϊστορία (για t < 0) εισάγεται στην αρχική τιµή για t = 0 -. Για να υπάρχει ο µετασχηµατισµός πρέπει το s να πληροί κάποιες προϋποθέσεις για να υπολογίζεται το ολοκλήρωµα. Οµως µε τη µέθοδο της αναλυτικής επέκτασης ο µετασχηµατισµός επεκτείνεται παντού όπου η συνάρτηση που ορίζει είναι αναλυτική. Αυτή είναι η αιτία που δεν δίνεται στους τύπους η περιοχή του s. To t = 0 - προτιµάται αντί του t= 0 από πολλούς ώστε να µην χρειάζεται να κάνει κάποιος κάτι ιδιαίτερο για τις ανώµαλες στο µηδέν συναρτήσεις δ (t) και θ (t). Ιδιότητες του µετασχηµατισµού laplace L[f (t)] = F(s) L[α f (t)] = α L[f (t)] = α F (s) L[c f (t) + c f (t)] = c F (s) + c F (s) L[e -αt f (t)] = F (s+α) L[f (t-α) θ(t-α)] = e -αs F (s) s L[f (αt)] = F α α n n n d n n n df d f d f L[ f()] t = s F() s s f(0) (0)... (0) (0) n s s n n dt dt dt dt t Fs () L[ f( λ)d λ ] = s 0 α st L[ f( t) ] = e f( t)dt αs e όπου f (t) = f (t+α), α > 0 (περιοδικές συναρτήσεις). 0 Με το µετασχηµατισµό laplace διαφορικές εξισώσεις µετατρέπονται σε αλγεβρικές, οπότε διευκολύνεται η λύση προβληµάτων.

Μετασχηµατισµός laplace κάποιων συναρτήσεων f (t) F (s) δ(t) θ (t) /s t n µε n =,,3 n! n s + e -αt s+ a cos (β t) s s + β sin (β t) β s + β n d δ( t) n dt n s t e -at at e sin( βt) ( s+ a) β ( s+ a) +β n -at t e at e cos( βt) tsin( t) tcos( β t) n! ( s+ a) n+ s+ a ( s+ a) + β β s ( s + β ) s β ( s + β ) β sin( βt ϕ) cos( βt ϕ) s sin( ϕ)+ βcos( ϕ) s + β + s cos( ϕ)-βsin( ϕ) s + β + -at e [sin( βt) βt cos( βt)] 3 β [( s+ a) +β ] -at e sin( β t) t s+ a β [( s+ a ) + β ] -at e cos( β t) t ( s+ a) β [( s+ a) + β ]

Έστω ότι για κάποιο κύκλωµα έχουµε τη διαφορική εξίσωση (η οποία είναι τυπική για περιπτώσεις κυκλωµάτων). n m d y dy d x dx αn +... α + α0y = bm +... b + b0x dt dt dt dt Από τη σχέση: l l l d l l d f d f L[ f( t)] = s F( s) s f(0 )... (0 ) (0 ) l s l l και αν δεν υπάρχει dt dt dt αρχική ενέργεια στα στοιχεία του κυκλώµατος τότε οι όροι µε τις αρχικές συνθήκες l d l είναι µηδέν, οπότε L[ f( t)] = s F( s). l dt Άρα ο µετασχηµατισµός laplace για τη διαφορική εξίσωση δίνει: n m ( as n +... + as + a0) Y( s) = ( bs m +... + bs + b0) X( s) ή Y() s = H() s X() s. m ( bs m +... + bs + b0) Η H() s = είναι η συνάρτηση του κυκλώµατος. Χ(s) είναι η n ( as n +... + as + a0) διέγερση και Y(s) είναι η απόκριση. Αν ξέρουµε τη διέγερση (ως συνάρτηση του χρόνου) x(t) και την H(s) τότε βρίσκουµε την X(s) και την Y(s). Στη συνέχεια µε χρήση του αντίστροφου µετασχηµατισµού laplace της Y(s) υπολογίζουµε την απόκριση y(t). Σηµασία της απόκρισης σε κρουστική διέγερση, δ(t), και σε βηµατική διέγερση, θ(t) Έχουµε Y() s = H() s X() s, (αν δεν υπάρχει αρχική ενέργεια στο κύκλωµα). α) Αν x (t) = δ (t) η X () s = h() t = L [ H() s X()] s = L [ H()] s. H() s β) Αν x(t) = θ (t) η X () s = / s άρα rt () = L [ HsX () ()] s = L [ ] s Συνέλιξη (συγκερασµός) συναρτήσεων. Σε πολλές περιπτώσεις είναι χρήσιµη η έννοια της συνέλιξης (ή συγκερασµού) συναρτήσεων. Ο ορισµός της συνέλιξης για δυο συναρτήσεις είναι, + yt () = h f= ht ( τ ) f( τ)dτ Παρόλο που χρησιµοποιήσαµε για τη µεταβλητή το σύµβολο t, επειδή στην περίπτωσή µας η µεταβλητή είναι πράγµατι ο χρόνος, όµως η διαδικασία της συνέλιξης αναφέρεται γενικώς σε συναρτήσεις κάποιας οποιασδήποτε µεταβλητής. Εύκολα προκύπτουν οι ιδιότητες, h f = f h (µεταθετική) h ( f g) = ( h f) g (προσεταιριστική) h ( f + g) = h f + h g (επιµεριστική) 3

Συνέλιξη και µετασχηµατισµός laplace. Ας υποθέσοµε ότι έχοµε τις συναρτήσεις του χρόνου ht (), f() t, για τις οποίες υποθέτοµε ότι είναι f() t = 0, h() t = 0για t < 0. Εύκολα δείχνεται ότι ισχύει, Lht [() f()] t = H() sf() s όπου H() s = L[()], h t F() s = L[ f()] t Έστω ht (),( H()) s η απόκριση κάποιου συστήµατος σε κρουστική διέγερση δ( t ). Προφανώς αν το σύστηµα δεν έχει αρχική ενέργεια τότε για διέγερση x(), t ( X()) s η απόκριση του συστήµατος είναι yt (),( Y( s )) και ισχύουν Y() s = H() s X() s yt () = ht () xt () Ο µετασχηµατισµός laplace µετατρέπει το ολοκλήρωµα της συνέλιξης στο χώρο του χρόνου, σε σύνηθες γινόµενο στο χώρο των µιγαδικών συχνοτήτων. Ανάλογα ισχύουν για το µετασχηµατισµό fourier ο οποίος για δυο συναρτήσεις του t ορίζεται ως εξής, + -jω ( ω) ( ( )) ( )e t d G = F f t = f t t (ευθύς µετασχηµατισµός fourier) Ισχύει επίσης + jωt () G( ω)e d f t = π ω Έστω G ( ω), G ( ω ) οι µετασχηµατισµοί fourier της εισόδου x() t και της εξόδου x y yt () αντιστοίχως. Έστω H (j ω ) η συνάρτηση του συστήµατος στο φανταστικό πεδίο συχνοτήτων. Εύκολα βρίσκοµε ότι G ( ω) = G ( ω) H(j ω) y x ΕΜΠΕ ΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΤΗ ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ ΣΤΟ ΜΙΓΑ ΙΚΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ α) Αντίσταση (ωµική) Εχοµε τη σχέση υ(t) = R i(t). V() s Αρα ο µετασχηµατισµός laplace δίνει V(s) = R I(s) ή ZR () s = R=. I() s Z R (s) είναι η µιγαδική ωµική αντίδραση (αντίσταση) που συµπίπτει µε τη συνήθη πραγµατική αντίσταση R. I( s) Η YR () s = = = είναι η (µιγαδική) αγωγιµότητα. R Z () s V() s R 4

β) Χωρητική (µιγαδική αντίδραση ή απλώς αντίσταση) dυ i = C. Άρα dt st dυ st I() s = i() t e dt = C e dt dt ή Is () CsVs () Cυ (0) 0 0 =. Αν υποθέσουµε ότι υ(0 - ) = 0, δηλαδή ότι δεν υπάρχει αρχική ενέργεια στον πυκνωτή, V() s τότε έχουµε: I() s = C sv() s ή ZC () s = I() s = sc. Αυτή είναι η µιγαδική χωρητική Is ( ) αντίδραση (αντίσταση). YC () s = = = sc. Y C είναι η µιγαδική χωρητική ZC () s V() s αγωγιµότητα. γ) Αυτεπαγωγή di υ = L. V() s = sl I() s Li(0). Αν δεν υπάρχει αρχική ενέργεια στο πηνίο, dt i(0 ) = 0. V() s Άρα ZL() s = = sl. Αυτή είναι η µιγαδική επαγωγική αντίδραση και Is () YL () s = = είναι η µιγαδική επαγωγική αγωγιµότητα. Z () s sl L δ) Αµοιβαία επαγωγή di dt di dt di υ =± + dt di dt υ = L ± M και M L άρα V s sl I s sm I s Li Mi () = () ± () (0) (0) και V () s =± sm I () s + sl I () s Mi (0) L i (0) Αν δεν υπάρχει αρχική ενέργεια i (0 ) = i (0 ) = 0 άρα V() s = sl I() s ± sm I() s και V() s = ± sm I() s + sl I() s. Iσχύουν οι συνήθεις κανόνες για τη σύνθεση των µιγαδικών αντιδράσεων (αντιστάσεων) που ισχύουν για τις συνήθεις πραγµατικές αντιδράσεις (αντιστάσεις). Σύνθεση σε σειρά, παράλληλα κλπ. 5

Παράδειγµα Βρείτε την έξοδο, υ o (t) για είσοδο υ (t) = V 0 θ (t), t>0 όπου θ(t) η συνάρτηση heavyside. εν υπάρχει αρχική ενέργεια στο κύκλωµα. Σχήµα.9 Λύση Η ολική µιγαδική (σύνθετη) αντίδραση (εµπέδηση) είναι, V() s V() s Z = + R+ R άρα Is () = =. V() s = V0 L[θ( t)] = V0 άρα sc Z + ( R+ R) s sc V0 V0 R VC 0 R+ R R+ R Is () = = V0() s= IsR () =. + ( R + R) Cs s+ s+ ( R+ R) C ( R+ R) C Από πίνακες βρίσκουµε ότι ο µετασχηµατισµός laplace της e -αt είναι άρα s + α V0 ( ) 0() e t R + t R R υ = C R + R 6

ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΑ ΣΕ ΕΠΙΜΕΡΟΥΣ ΚΛΑΣΜΑΤΑ Με τη χρήση πινάκων που δίνουν τους µετασχηµατισµούς laplace διαφόρων συναρτήσεων και µε τη χρήση της µεθόδου αναπτυγµάτων σε επιµέρους κλάσµατα µπορούµε να αναγάγουµε το πρόβληµα εύρεσης του αντιστρόφου µετασχηµατισµού laplace σε απλούστερο πρόβληµα. Έστω ότι η F(s) είναι ρητή συνάρτηση της µορφής, m m as m + am s +... + as + a0 Fs () = έστω ότι m < n. Αν αυτό δεν συµβαίνει τότε n n s + bn s +... bs + b0 διαιρούµε τον αριθµητή δια του παρονοµαστή και καταλήγουµε σε κάποιο πολυώνυµο που αναστρέφεται εύκολα µε µετασχηµατισµό laplace και ένα κλάσµα πολυωνύµων µε m<n. m m as m + am s +... + as + a0 Έχουµε Fs () = όπου s r k, k =,...n είναι οι ρίζες ( s sn)( s sn )...( s sr+ )...( s s) του πολυωνύµου του παρονοµαστή που λέγονται πόλοι της F(s) και η ρίζα s έχει πολλαπλότητα r. Αν υπάρχει στον αριθµητή και στον παρονοµαστή ο ίδιος παράγοντας προφανώς πρέπει να απαλειφθεί. Έτσι µπορούµε να γράψουµε, kn kr+ kr kr k Fs ( ) = +... + + + +... +. Τα k r r i είναι σταθερές που s sn s sr+ ( s s) ( s s) s s προσδιορίζονται. Η σταθερά k ρ για πολλαπλή ρίζα πολλαπλότητας r, βρίσκεται από τη σχέση, ρ d r kr ρ = lim [( s s ) F( s)] s s ρ για ρ = 0,, (r-). ρ!ds H µηδενική παράγωγος συνάρτησης ορίζεται ίση µε τη συνάρτηση. Πρέπει πρώτα να απλοποιηθεί ο παράγοντας ( s s ) ρ και µετά να γίνει η παραγώγιση. Για την απλή ρίζα s l έχουµε, k = lim[( s s ) F( s)] l s sl Για πολλαπλή ρίζα σχετικά µικρής πολλαπλότητας, αφού βρεθούν οι συντελεστές των απλών ριζών, µπορεί να εφαρµοστεί απλή αλγεβρική µέθοδος όπου στο ανωτέρω ανάπτυγµα της Fs, () δίνονται τιµές στο s διαφορετικές από την πολλαπλή ρίζα και λύνεται το σύστηµα που προκύπτει ως προς τους άγνωστους συντελεστές. Παράδειγµα Να βρεθεί η f (t) για Fs () = παρονοµαστή και βρίσκουµε, 4s + 9s+ ( ss+ ) l. ιαιρούµε τον αριθµητή δια του 4s 9s [ s( s )] ( s ) + + = + + + άρα 4s + 9s+ s+ Fs () = = + ss ( + ) ss ( + ) ( s + ) () k k = + = + + = + Fs () ss ( + ) s+ s ή Fs 7

s + k = lim[( s+ ) F( s)] = k = και 4 s s s= s ( s+ ) s + k = lim[ s ] = k =. Άρα F () s = + και τελικά s 0 ss ( + ) s+ s= 0 4 4 s+ 4 s () t Fs= + + από πίνακες βρίσκουµε, f () t = δ( t) + e + θ( t), t > 0 ή 4 s+ 4 s 4 4 t f () t = δ( t) + (+ e ), t > 0 4 Παράδειγµα Να βρεθεί η απόκριση σε κρουστική διέγερση του παρακάτω κυκλώµατος. (R = R =,0 Ω, L =,0 H, C =,0 F) C L υ () t R R υ ( t) ο Σχήµα.30 Λύση V () s sl V () s R R V () o s Σχήµα.3 8

V() s V() s V() s V() s + + = 0 / sc R sl + R (κανόνας των κόµβων του Kirchhoff). sc V(s)= V () s. Από το διαιρέτη τάσης προκύπτει, sc+ + R sl R + R scr V0() s = V() s = V() s ή R + sl ( sl + R )( sc + ) + R V0 () s scr = ( )= s Hs. Άρα από τα δεδοµένα H() s = ή V () s ( + )( + ) + s + s+ sl R sc R s H() s = όπου s = - + j και s = - j ( s s)( s s) Οταν τα µεγέθη εισόδου εξόδου αναφέρονται σε διαφορετικές θύρες τότε η συνάρτηση του κυκλώµατος H λέγεται συνάρτηση µεταφοράς. s = k + k ( s s )( s s ) s s s s s k = lim[( s s) F( s)] =. s s s s. s= s s k = lim[( s s) F( s)] = και s s s s s + j + j Άρα, k = = = = ( + j) και s s + j ( j) j s j j k = = = = ( j). s s j ( + j) j 9 s= s + j j Άρα H() s = + και s s s s ht ( ) = L [ H( s)] = (+ j) L [ ] + ( j) L [ ] s s s s st s t ( + j) t ( j) t ht ( ) = (+ j)e + ( j)e = ( + j)e + ( j)e = t jt t jt = (+ j)e e + ( j)e e = t t e e = (cost+ jsin t+ jcost sin t+ cost jsin t cost sin t) = (cost sin t) t ht () = e (cost sin t) ΣΤΑΘΜΕΣ (LEVELS) Πολλές φορές για να δείξουµε πόσο διαφέρουν µεταξύ τους δυο όµοια φυσικά µεγέθη χρησιµοποιούµε το λογάριθµο του λόγου τους (στάθµη). Την ενίσχυση ισχύος την ορίζουµε ως στάθµη µε τον εξής τρόπο, G B = lg G =log 0 G το αποτέλεσµα είναι σε bel (B). Προφανώς η ενίσχυση ισχύος είναι ο λόγος της ισχύος εξόδου προς την ισχύ εισόδου, G = P o / P i Υπάρχει και στάθµη που βασίζεται στο φυσικό λογάριθµο, συγκεκριµένα,

G N = ln G = log e G το αποτέλεσµα είναι σε neper (Np). εν θα ασχοληθούµε µε τέτοιες στάθµες. Αντί για το bel χρησιµοποιείται το υποπολλαπλάσιό του, το decibel (db), δηλαδή το /0 του bel. Η αρχική σχέση γίνεται, G db = 0 lg G ( σε db). Αν G= τότε G db = 0 αν G = 00 τότε G db = 0 db G = G db 3 db. Tο ολικό G ενισχυτών σε σειρά είναι προφανώς, G = G G G 3 Προφανές είναι ότι ισχύει για τις αντίστοιχες στάθµες, G = G db +G db +G 3dB + Αν έχοµε ενισχυτή µε αντίσταση εισόδου R i και αντίσταση φόρτου R L τότε προφανώς η ενίσχυση ισχύος είναι G = (υ o / R L )/(υ i /R i ) ή G = (υ o /υ i ) (R i /R L ) Αφού η ενίσχυση τάσης είναι A υ = υ o /υ i προκύπτει ότι G = A υ (R i /R L ). Αν R i / R L = τότε G = A υ. Εχουµε, G db = 0 lg G = 0 lg A υ = 0 lg A υ Aυτό οδηγεί στο να οριστεί η στάθµη για την ενίσχυση τάσης ως, Α υdb = 0 lg A υ Το ίδιο ισχύει προφανώς για ενίσχυση ρεύµατος. Αν Α υ = 0 τότε Α υdβ = 0 db αν A υ = τότε Α υdb 6 db αν A υ = / 0,707 τότε A υdb - 3 db Στάθµες αναφοράς Αν πάροµε ως στάθµη αναφοράς για τάσεις το V τότε µπορούµε να πούµε ότι η τάση V µπορεί να θεωρηθεί ως στάθµη σε σχέση µε το V και να µετρηθεί ως εξής, 0 lg (V / V) και µετριέται σε dbv για παράδειγµα, για τα 5 V έχουµε 0 lg (5 V/ V) 4 dbv Αν η στάθµη αναφοράς ισχύος είναι το mw τότε η ισχύς των 5 mw οδηγεί σε 0 lg ( 5 mw / mw) 6,99 dbmw Για στάθµη αναφοράς ισχύος W η ισχύς των 5 mw οδηγεί στο 0 lg (5 0-3 W / W) -3 dbw 30

ΥΨΙΠΕΡΑΤΟ ΦΙΛΤΡΟ CR Σχήµα.3 Έχοµε τους φάσορες V = ˆυ, ˆ e j ϕ V V R = υr, V R = R, + R jωc Για τη συνάρτηση µεταφοράς (ή απολαβή, ή ενίσχυση, ή κέρδος) Τ=Τ(jω) ισχύει, VR R T = = = και V j + R jωc ωcr ˆ υ R T = = ˆ υ + ω CR j + VR T ωcr ˆ υ jϕ = = εποµένως V R = e, V + + ω CR ω CR όπου tan ϕ = ϕ arctan ωcr = ωcr. Αν φ = 45 ο τότε tan φ =. = ωb = η ω b λέγεται κυκλική κρίσιµη συχνότητα ή κυκλική συχνότητα ωbcr CR καµπής ή κυκλική συχνότητα γόνατος. Προφανώς T = και Τ = ωb j ω Εχοµε T ω = ω b b + ω ω b ( ) = = = 0,707. Όµως AdB = 0lg T άρα ω b + ( ) ω AdB( ωb) 3 db. Εύκολα βρίσκουµε ότι, 3

ω ˆ υr ωb T = = = ˆ υ ωb ω + ( ) + ( ) ω ω T ω ω = 0lg. + ( ) ωb b db ω b και εποµένως A Σχήµα.33 ωb ωb π ω tanϕ = = ή ϕ arctan arctan ω CR = ω ω = ω. Ισχύει b ω lim AdB 0lg = 0lgω 0lgωb ω ωb ωb dadb ΑdB db εποµένως η κλίση (= )=0 dlgω lgω δεκαπλασιασµο συχνοτητας προφανώς το τελευταίο ισχύει διότι lgω = σηµαίνει δεκαπλασιασµός συχνότητας. Εύκολα προκύπτει ότι η κλίση είναι (περίπου) db 6 οκταβα (διπλασιασµο συχνοτητας) Στην περίπτωση που η συνάρτηση µεταφοράς είναι της µορφής K T (j ω ) = όπου Κ πραγµατική σταθερά (ίση µε την απολαβή για ω=0), ωb j ω τότε µελετούµε τη συνάρτηση Τ = T K. 3

ΒΑΘΥΠΕΡΑΤΟ ΦΙΛΤΡΟ RC Σχήµα.34 Για τους φάσορες έχουµε V = ˆυ, ˆ e j ϕ V V C = υc, V C = + R jωc jωc Για τη συνάρτηση µεταφοράς T = T(j ω) έχουµε VC jωcr ˆ υc Τ = = = άρα Τ = = V + jωcr + ω C R ˆ υ + ω CR jϕ ˆ υ ˆ C = υ e. + ω CR άρα Ισχύει tanϕ = ωcr, άρα ϕ = arctan( ωcr), οπότε όταν φ = -45 ο ισχύει ω bcr =, εποµένως ω b = (κρίσιµη κυκλική συχνότητα ή κυκλική συχνότητα CR καµπής ή γόνατος). Προφανώς, Τ =, ω + j ω b Τ ˆ υc = = ˆ υ ω + ( ) ω b και ω tanϕ = οπότε φ=arctan(- ω/ω b ) ω b 33

Σχήµα.35 AdB = 0lg( ). Οταν ω = ω b τότε T (j ω b) = 0,707. Προφανώς ω + ( ) ω b αυτό σηµαίνει µεταβολή κατά -3dB, δηλαδή µείωση. ωb Αν ω >> ω b, τότε A db 0 lg. Έχουµε ανάλογα µε τα προηγούµενα, κλίση ω -0 db/δεκάδα ή (περίπου) -6 db/οκτάβα. K Στην περίπτωση που η συνάρτηση µεταφοράς είναι T = όπου Κ ω + j ωb T πραγµατική σταθερά, τότε εξετάζοµε τη συνάρτηση T =. K 34

. ΤΕΛΕΣΤΙΚΟΙ ΕΝΙΣΧΥΤΕΣ (OPERATIONAL AMPLIFIERS) υ ο υ υ Σχήµα. υo = Adυid + Acmυicm υ+ υ υid = υ υ, υicm =. d = (differential) διαφορικού τύπου. cm = (common mode) κοινού τύπου. Ο ιδανικός τελεστικός ενισχυτής έχει: Άπειρη αντίσταση εισόδου, R i. Άπειρη ενίσχυση ( απολαβή, κέρδος) (ανοιχτού βρόχου), A OL ή Α 0, για διαφορικό σήµα εισόδου. Ενίσχυση µηδέν για σήµα κοινού τύπου, cm. Μηδέν αντίσταση εξόδου, R o. Άπειρο εύρος ζώνης συχνοτήτων. 35

Ισοδύναµο κύκλωµα για ιδανικό τελεστικό ενισχυτή υid = υ υ υ υ A υ OL id υ ο Σχήµα. Ισοδύναµο κύκλωµα για µη ιδανικό τελεστικό ενισχυτή υ id υ υ A υ OL id υ ο Σχήµα.3 ΚΑΝΟΝΕΣ ΓΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΤΕΛΕΣΤΙΚΟΥ ΕΝΙΣΧΥΤΗ (ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΩΣ ΕΝΙΣΧΥΤΗ) Για να ισχύει το ότι οι δύο είσοδοι είναι στην ίδια τάση (εικονικό βραχυκύκλωµα), πρέπει ο τελεστικός ενισχυτής να ΜΗΝ βρίσκεται σε κόρο. Όταν βρίσκεται σε κόρο η έξοδός του φτάνει περίπου στην τάση τροφοδοσίας του, θετική ή αρνητική. Στην κανονική λειτουργία ο τελεστικός ενισχυτής κάνει ό,τι χρειάζεται να γίνει, ώστ,ε η διαφορά δυναµικού στην είσοδό του να είναι πρακτικώς µηδέν. Τότε και τα ρεύµατα εισόδου είναι πρακτικώς µηδέν. Στον κόρο δεν ισχύουν αυτά. Για «καλή» λειτουργία η ανασύζευξη πρέπει να είναι αρνητική. Πρέπει να υπάρχει ανασύζευξη στο dc, µε κάποια αντίσταση µεγάλης τιµής, για να αποφεύγεται η µετάβαση στον κόρο. Η διαφορά δυναµικού µεταξύ των εισόδων πρέπει να µην υπερβαίνει κάποια τιµή, διαφορετικά ο ενισχυτής θα καταστραφεί διότι θα δηµιουργηθούν µεγάλα ρεύµατα στην είσοδό του. 36

Ο όρος τελεστικός ενισχυτής προέρχεται από το γεγονός ότι στην αρχή χρησιµοποιήθηκε για πράξεις σε αναλογικά κυκλώµατα. Σήµερα η χρήση του είναι πολύ πιο εκτεταµένη. Α. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΜΕ ΤΕΛΕΣΤΙΚΟΥΣ (Κανονική λειτουργία). Έστω ότι η ενίσχυση χωρίς αναστροφή ανοιχτού βρόχου, δηλαδή χωρίς ανασύζευξη (feedback), του τελεστικού ενισχυτή είναι: A0 A= A( ω) = όπου τα A0(>0), ω, ωbείναι πραγµατικά. ω + j ωb Προφανώς ω b είναι η κυκλική συχνότητα 3 db ή συχνότητα καµπής ή συχνότητα µισής ισχύος. A 0 είναι η ενίσχυση για ω = 0 και για σχετικά χαµηλές συχνότητες. Η εξάρτηση αυτή από τη συχνότητα για την ενίσχυση ανοιχτού βρόχου, είναι τύπου βαθυπερατού φίλτρου και αντιστοιχεί στο µοντέλο µοναδικού πόλου (single pole) ή κυρίαρχου πόλου (dominant pole). Συγκεκριµένα, οι λεγόµενοι εσωτερικά αντισταθµισµένοι (internally compensated) τελεστικοί ενισχυτές, περιλαµβάνουν κυκλώµατα τα οποία οδηγούν σε αυτή τη συµπεριφορά (µια µόνο σταθερά χρόνου). Αυτό λέγεται αντιστάθµιση συχνότητας και έχει ως στόχο να εξασφαλιστεί ότι τα κυκλώµατα που χρησιµοποιούν τον τελεστικό ενισχυτή είναι ευσταθή, δηλαδή χωρίς ταλαντώσεις ένεκα ανασύζευξης σε υψηλές συχνότητες. Στην παραγωγή ταλαντώσεων συµβάλλει το γεγονός ότι το A 0 είναι πολύ µεγάλο, της τάξης 00 000 και περισσότερο. Αναστρέφων τελεστικός ενισχυτής µε ανασύζευξη. Έστω ο αναστρέφων τελεστικός ενισχυτής µε ανασύζευξη του Σχήµατος.4, i R i R υ + υ ο υ i Σχήµα.4 37

α) Ιδανική περίπτωση, Α άπειρο. υo Αν ο τελεστικός ενισχυτής είναι ιδανικός τότε A = και υ + = = 0 (αφού το υ o A είναι πεπερασµένο). Αυτό λέγεται συνθήκη εικονικού βραχυκυκλώµατος ή εικονικής γείωσης. Επίσης το ρεύµα µέσα στην είσοδο του τελεστικού ενισχυτή, είναι µηδέν αφού η αντίσταση εισόδου του είναι άπειρη. υi υo υ i υ Έχουµε εποµένως i = i, i =, i = άρα = o εποµένως η ενίσχυση A f, R R R R µε ανασύζευξη (ενίσχυση κλειστού βρόχου), είναι: υo R Af = = = A 0, A 0 > 0 υ R i β) Μη ιδανική περίπτωση, Α πεπερασµένο. υo υo υi ( ) υi + υi υ Αν το Α δεν είναι άπειρο τότε: i A A = + = = και R R R υo υo υ υi + o υo = υ + ir = ir άρα υ A o = R τελικώς A A R υo R R Af = = υ R i + ( + ) A R A0 Όµως A= A( ω) = άρα ω + j ωb R R Af ( ω) = ή ( + R R) ω + (+ j ) A0 ωb R R Af ( ω) = R R jω + ( + )/ A0 + ( + )( ) R R ωba0 Στην πράξη ισχύει A0 >> + R, εποµένως R R R A 0 R Af ( ω) = = προφανώς το A 0 = jω jω + + R R R ωba0 ( + ) ωba0 ( + ) R R ισούται µε το αρνητικό της ενίσχυσης κλειστού βρόχου για ω=0. Αν το Α 0 τείνει στο άπειρο καταλήγουµε στην προηγούµενη ιδανική περίπτωση. 38

Έστω A0ω b = ωt, το ω t λέγεται γινόµενο ενίσχυσης-εύρους ζώνης (συχνοτήτων) (gain-bandwidth product) και είναι κατασκευαστικό στοιχείο του τελεστικού A 0 ενισχυτή. Μπορούµε να γράψοµε Af ( ω) = jω + R ωt ( + ) R ωt A 0 Αν θέσουµε ω b = + R βρίσκουµε τη σχέση Af ( ω) = ω + j R ω b Αυτή η µορφή είναι ίδια µε αυτήν του ανοιχτού βρόχου (βαθυπερατό φίλτρο) αλλά µε συχνότητα καµπής την ω b. Προφανώς ισχύει ω = ω (+ A ) t b 0 Μη αναστρέφων τελεστικός ενισχυτής µε ανασύζευξη. Έχοµε το κύκλωµα του Σχήµατος.5. i R i R υ + +- - + + υ ο o - υ i i + - Σχήµα.5 α) Ιδανική περίπτωση, Α άπειρο. Η ενίσχυση ανοιχτού βρόχου είναι άπειρη, η εσωτερική αντίσταση είναι επίσης άπειρη και έχοµε εικονικό βραχυκύκλωµα στην είσοδο. Έχουµε εποµένως, ανάλογα υo µε τα προηγούµενα, υ = + Α =0, i υi υ υ =i,, i =, i = i ο R R Εποµένως η σχέση για την ενίσχυση κλειστού βρόχου είναι υi υi υο άρα = R R 39

υ R A = = + = A ο f 0 υi R β) Μη ιδανική περίπτωση, Α πεπερασµένο. Εφόσον το A είναι πεπερασµένο έχουµε + υ ( υ υ ) i = = άρα αφού i =i θα έχουµε υi υ ο i +, i R R + υ ( υ υ ) = εποµένως R R υi υ ο i + υ υ υ υ Α = R R ο ο i ο ( i ) υ Α Από την τελευταία σχέση προκύπτει για την ενίσχυση η σχέση R + υο R A 0 Αf = = =. υ R i R + (+ )/ A + (+ )/ A R R Παρατηρούµε ότι αν το Α είναι άπειρο τότε καταλήγουµε στη σχέση για την ιδανική περίπτωση. Όπως πριν, αντικαθιστούµε το Α µε το Α(ω) και λαβαίνουµε υπόψη ότι Α 0 >> + R /R οπότε καταλήγουµε στη σχέση A 0 A 0 Af = = (βαθυπερατό φίλτρο). jω ω + + j ωt / (+ R / R) ω b ' Προφανώς το A 0 ισούται µε την ενίσχυση κλειστού βρόχου για ω = 0. Παρατηρούµε ότι ω b = ωt / (+ R / R) όπως και στον αναστρέφοντα ενισχυτή. ωt Ειδικά για τον µη αναστρέφοντα ενισχυτή έχουµε ω b = ωt / (+ R / R) =. A0 Παρατηρούµε ότι στην περίπτωση του µη αναστρέφοντα ενισχυτή έχουµε ω = Aω = A ω =σταθερό ανεξάρτητο από την ανασύζευξη. t 0 b 0 b Τέτοια σχέση ισχύει και για τον αναστρέφοντα ενισχυτή µόνον αν A 0 = R / R >>. Για τον αναστρέφοντα, όπως προαναφέραµε, ισχύει γενικώς ω b(+ A 0)= ωt = ωba0. Για τον µη αναστρέφοντα και τον αναστρέφοντα ενισχυτή, όταν ω >> ω b ισχύει A 0ω b Af οπότε προφανώς για τον µη αντιστρέφοντα, όταν A f =, έχοµε ότι jω ω = ω t. Για τον αναστρέφοντα αυτό ισχύει µόνον κατά προσέγγιση όταν 40

A 0 = R / R >>. Γιαυτό η ω t λέγεται εύρος ζώνης συχνοτήτων µοναδιαίας ενίσχυσης, (unity-gain bandwidth). Υποτίθεται ότι ο ενισχυτής ενισχύει συχνότητες που φτάνουν πολύ κοντά στο µηδέν και αυτός είναι ο λόγος που το εύρος συµπίπτει µε την ω t, δηλαδή δεν υπάρχει, πρακτικώς, κατώτερο όριο συχνοτήτων. A 0ω b Προφανώς για ω >> ω b έχουµε Af άρα ω AfdB = 0 lg Af 0 lg f + 0lg( Aω 0 b / π) ( ωb = π fb ). Εχουµε εποµένως, dafdb AfdB db κλίση = ( = ) = 0 προφανώς το dlg f lg f δεκαπλασιασµο συχνοτητας τελευταίο ισχύει διότι το lg f = αντιστοιχεί σε 0-πλασιασµό συχνότητας. Η κλίση είναι ίδια στην περίπτωση του αναστρέφοντα και του µη αναστρέφοντα ενισχυτή. Στην περίπτωση όµως του µη αναστρέφοντα (όπως και στην περίπτωση του αναστρέφοντα µε µεγάλη ενίσχυση), ο όρος 0lg( A 0ω b / π) γίνεται 0lg( ω t / π), δηλαδή είναι σταθερός ανεξάρτητος της ενίσχυσης. Εποµένως η σχέση ενίσχυσης σε db ως προς το λογάριθµο της συχνότητας είναι ίδια για µεγάλες συχνότητες ανεξάρτητα από την ενίσχυση του µη αναστρέφοντα ενισχυτή. Για αυτή την περίπτωση έχουµε το Σχήµα.6, µε λογαριθµικές κλίµακες. Σχήµα.6 (Καλύτερα να αναφερόµαστε σε λογαριθµικές κλίµακες αξόνων αντί να παίρνουµε λογαρίθµους µεγεθών µε διαστάσεις συχνότητας!!) Εύκολα διαπιστώνουµε ότι η κλίση είναι (περίπου) db 6. οκταβα ( διπλασιασµο συχνοτητας ) 4

Ακολουθητής (ακόλουθος) τάσης. υ + = 0 υ ο υ i Σχήµα.7 Αφού υ + = 0, έχουµε υi = υo, δηλαδή η έξοδος ακολουθεί την είσοδο, από όπου προκύπτει και το όνοµα του κυκλώµατος. Προφανώς η αντίσταση εισόδου είναι πρακτικώς άπειρη (πολύ µεγάλη), ενώ η αντίσταση εξόδου είναι πολύ µικρή. ιαφοριστής υ i υ C υ o Σχήµα.8 dqc Στον κόµβο εισόδου (-) έχουµε i i = i R. Επίσης C = ή dqc = CdυC ή dυc d q dυ i C C i = = C. dt dt Ο κανόνας του Kirchhoff των τάσεων δίνει -υ i + υ c = 0 άρα υ i = υ c εποµένως dυi υo dυi ii = C και υ o = ir R = ir i = C ή d t R dt dυi υ o = RC d t Συνεπώς το παραπάνω κύκλωµα πράγµατι κάνει διαφόριση. 4

Ολοκληρωτής υ C υ i υ o Σχήµα.9 υi t Έχουµε i i =, αν υποθέσουµε ότι για t=0 έχουµε υ c =0, τότευc () i( ) R t = C i λ d λ. 0 Όµως υo () t = υc () t (αφού υc + υo = 0 ). t Άρα υo() t = υi( λ) dλ RC. 0 ηλαδή πράγµατι το παραπάνω κύκλωµα κάνει ολοκλήρωση της υ () t i. Β. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Απλός ανορθωτής µε δίοδο. υ D υ i D υ R Σχήµα.0 Για το κύκλωµα του Σχήµατος.0, να βρεθούν το ρεύµα ι D και οι τάσεις υ R και υ D αν είναι δεδοµένα τα υ i, η δίοδος και το R. Υποτίθεται ότι ξέρουµε τη χαρακτηριστική της διόδου D, δηλαδή τη σχέση i D = i( υ D ), Σχήµα.. 43

υ i R i = i() υ ( i, υ ) D D υd Σχήµα. υr υi υ Ουσιαστικά έχουµε να λύσουµε το σύστηµα εξισώσεων, i = i( υd),( ir = υr ). Προφανώς υ i = υ D +υ R. υi = υd + ir Για δεδοµένο υ i η δεύτερη εξίσωση παριστάνει ευθεία µε µεταβλητές τα i, υ D. υi i = υd + R R Η γραφική παράσταση αυτής της σχέσης (ευθείας) φαίνεται στο Σχήµα.. Είναι προφανές ότι η λύση που αντιστοιχεί βρίσκεται γραφικά από το σηµείο τοµής της χαρακτηριστικής της διόδου και της ευθείας που λέγεται ευθεία φόρτου. Είναι προφανές ότι τα υ D, ι D ικανοποιούν τις δύο σχέσεις του συστήµατος, δηλαδή τη σχέση της χαρακτηριστικής της διόδου και τη σχέση της ευθείας φόρτου. Ισχύει υ i = υ D + υ R. Αν υποθέσουµε για απλότητα ότι η χαρακτηριστική της διόδου είναι όπως στο Σχήµα. και η είσοδος είναι αρµονική µε το χρόνο τότε έχουµε διάφορες ευθείες φόρτου όπως φαίνονται στο ίδιο σχήµα. υ i R υ i Σχήµα. υ Είναι εύκολο να συµπεράνουµε ότι αν υ ˆ i = υcos( ωt) τότε η έξοδος θα είναι υ ˆ R υcos( ωt) V τέτοιο που ˆ υ cos( ωt) V < 0, Σχήµα.3. = γ για χρόνους τέτοιους που t Vγ γ ˆ υ cos( ω ) 0. Επίσης υ R = 0 για t 44

υ i ˆ υ υ R ˆυ V γ T Σχήµα.3 Παρατηρούµε ότι η ηµιανόρθωση δεν είναι ιδανική αφού αν το αρµονικό σήµα έχει πλάτος µικρότερο από V γ = 0,7 V, τότε η έξοδος, υ R, είναι συνεχώς µηδέν. Ανορθωτής µε τελεστικό ενισχυτή. Η διάταξη φαίνεται στο Σχήµα.4. Σχήµα.4 Οι τάσεις φαίνονται στο Σχήµα.5. 45

υ i υ ο Σχήµα.5 Αν υ i > 0 τότε υ Α > υ i > 0 επειδή το σήµα υ i είναι στη µη αναστρέφουσα είσοδο (+) και η δίοδος άγει άρα ένεκα αρνητικής ανασύζευξης η τάση στην είσοδο ( ) θα είναι, πράγµατι, σχεδόν (διαφορά mv) ίση µε αυτή του ακροδέκτη (+). Έχουµε εποµένως ότι όταν υ i > 0, υ ο = υ i Αν υ i < 0 η έξοδος υ A θα είναι αρνητική και θα ισχύει: υ A <υ i άρα η δίοδος θα είναι ανάστροφα πολωµένη, δεν θα άγει και το ρεύµα δια της R θα είναι µηδέν, άρα υ ο = ir = 0. Εποµένως, όταν υ i < 0, υ o = 0 Παρατηρούµε ότι µε αυτό το κύκλωµα πράγµατι επιτυγχάνεται ιδανική (ηµι)ανόρθωση. Θετική ανασύζευξη-ταλαντώσεις. Σχήµα.6 Υπάρχουν διάφοροι τρόποι σχεδιασµού κυκλωµάτων ταλαντωτών. Εδώ θα θεωρήσουµε την περίπτωση που χρησιµοποιείται κύκλωµα ανασύζευξης που επιλέγει (σχεδόν) µία µοναδική συχνότητα, επιστρέφει µέρος του σήµατος εξόδου στην είσοδο και αυτό οδηγεί στο κύκλωµα του γραµµικού ταλαντωτή που παράγει περίπου αρµονική έξοδο. 46

Κριτήριο του Barkhausen. Στο Σχήµα.6 θεωρούµε ότι υπάρχει κάποιο σήµα X i n στην είσοδο. (Θεωρούµε µιγαδικά µεγέθη, φάσορες). Η έξοδος είναι X out. Τα Α και β εξαρτώνται γενικώς από τη συχνότητα, f. Ισχύει προφανώς: A( f) Xout = A( f)[ Xin + β ( f) Xout ] άρα X out = X in. Αν δεν υπάρχει σήµα A( f) β ( f) στην είσοδο, δηλαδή X in = 0, και θέλουµε να υπάρχει X out 0 τότε αναγκαία συνθήκη είναι να ισχύει - Α(f) β(f) = 0. Άρα για αυθόρµητες ταλαντώσεις πρέπει A(f) β(f) =. Αυτό λέγεται κριτήριο Barkhausen. Το γινόµενο A(f) β(f) λέγεται ενίσχυση βρόχου διότι ο ενισχυτής και η διαδροµή της ανασύζευξης σχηµατίζουν βρόχο. Ουσιαστικά αυτό το κριτήριο λέει ότι, η γωνία (φάση) της ενίσχυσης βρόχου είναι µηδέν, δηλαδή φάση [A(f) β(f)] = 0 και επίσης το µέτρο της ενίσχυσης βρόχου είναι ίσο µε τη µονάδα A( f) β ( f) =. Οι ταλαντωτές αυτού του τύπου σχεδιάζονται έτσι ώστε να έχουν µέτρο ενίσχυσης βρόχου λίγο µεγαλύτερο της µονάδας και αυτό, ενώ δεν φαίνεται από το κριτήριο του Barkhausen, µπορεί να αποδειχτεί ότι οδηγεί σε ταλαντώσεις µε αυξανόµενο µε το χρόνο πλάτος. Η αύξηση όµως δεν γίνεται επ άπειρον διότι το σύστηµα φτάνει στα µη γραµµικά µέρη του ενισχυτή όπου αλλάζουν οι παράµετροί του έτσι που οι ταλαντώσεις γίνονται σταθερού πλάτους µε µηδαµινή παραµόρφωση. Αν ήταν ακριβώς τότε µικρή µείωση της ενίσχυσης θα οδηγούσε σε απόσβεση της ταλάντωσης. Το ότι ξεκινά ο ταλαντωτής χωρίς φαινοµενικά αρχικό σήµα στην είσοδο, οφείλεται στο γεγονός ότι πάντα υπάρχει θόρυβος στην είσοδο που αρκεί για να ξεκινήσει το σύστηµα. Ας σηµειωθεί ότι «ο θόρυβος» επιδρά σε όλα τα συστήµατα που βρίσκονται σε ασταθή ισορροπία και τα κάνει να φύγουν από αυτή τη κατάσταση, π.χ. αντεστραµµένο εκκρεµές κ.τ.λ. 47

Ταλαντωτής γέφυρας του Wien. R R Vβ Vα Σχήµα.7 Η ενίσχυση τάσης του τελεστικού ενισχυτή µε τους αντιστάτες R, R είναι A = + R υ. Ας υπολογίσουµε το β(f). R R Vβ jωc R β( f) = = β( f) =. V α R 3R+ j( ωr C ) jωc ωc R + + jωc R + jωc AR υ Το κριτήριο barkhausen δίνει Α υ β = = ή 3R+ j( ωr C ) ωc R(3 Aυ ) + j( ωr C ) = 0 άρα ωc R(3 Α υ ) = 0 ωrc = 0 ωc Εποµένως η ενίσχυση που χρειάζεται είναι: A υmin = 3 (όπως αποδεικνύεται αυτή είναι η ελάχιστη) και η συχνότητα ταλάντωσης είναι ( ω = πf ): f =. Από τη σχέση πrc R Aυ Α υmin = 3 Aυ = + 3 ή R R R. 48

Αν το R είναι αρκετά µεγαλύτερο του R έχουµε µεγάλη παραµόρφωση, δηλαδή µεγάλο ψαλιδισµό της εξόδου, δηλαδή των ταλαντώσεων. ιαλέγουµε το R λίγο µεγαλύτερο του R αυτό οδηγεί σε A υ β λίγο µεγαλύτερο της µονάδας οπότε και ταλαντώσεις παράγονται και δεν έχουν ουσιαστική παραµόρφωση. 49

3. ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ Ψηφιακή λογική Λογικές πύλες Στον Πίνακα 3. έχουµε τις αντιστοιχίες µεταξύ µαθηµατικής δυαδικής αναπαράστασης λογικής αναπαράστασης ηλεκτρικής αναπαράστασης και αναπαράστασης µε διακόπτες. Πίνακας 3. (Θετική λογική) υαδική 0 Λογική FALSE (ΨΕΥ ΕΣ) TRUE (ΑΛΗΘΕΣ) Ηλεκτρική τάση LOW HIGH ιακόπτης OFF (ΕΚΤΟΣ) ON (ΕΝΤΟΣ) Πίνακας 3. (Στάθµες τάσεων διαφόρων προτύπων) Ηλεκτρική τάση LOW HIGH Πρότυπο TTL 0... 0,8 V 5 V Πρότυπο CMOS 0 0,3 V CC 0,6 V CC V CC Πρότυπο RS3 (Σειριακή θύρα) + V - V V CC είναι η τάση τροφοδοσίας του ολοκληρωµένου Όταν το HIGH σηµαίνει TRUE όπως στον Πίνακα 3., τότε λέµε ότι έχουµε θετική λογική, όταν το HIGH σηµαίνει FALSE έχουµε αρνητική λογική. Θα περιοριστούµε στη θετική λογική. Στην Αµερικάνικη βιβλιογραφία τα σύµβολα H και L σηµαίνουν HIGH και LOW αντιστοίχως. Μερικές φορές, στην ευρωπαϊκή βιβλιογραφία L σηµαίνει HIGH και 0 LOW. Στα ψηφιακά κυκλώµατα σε αντίθεση µε τα αναλογικά τα σήµατα εισόδου και εξόδου δεν µεταβάλλονται κατά συνεχή τρόπο αλλά µπορεί να βρίσκονται µόνο σε µία από δύο καταστάσεις. 50

AΛΓΕΒΡΑ ΤΟΥ BOOLE α) Βασικοί ορισµοί (έννοιες).. Κλειστότητα (Closure). Ένα σύνολο, S, είναι κλειστό ως προς έναν δυαδικό τελεστή (δηλαδή τελεστή που δρα µεταξύ δύο στοιχείων του συνόλου), αν σε κάθε ζευγάρι στοιχείων του S ο τελεστής αντιστοιχίζει ένα µοναδικό στοιχείo που ανήκει στο S.. Προσεταιριστικός νόµος (Associative law). Ο δυαδικός τελεστής, γενικώς σύµβολο *, (εδώ θα έχουµε τα ειδικά σύµβολα και +) είναι προσεταιριστικός αν ( x* y)* z = x*( y* z), x, y, z S 3. Αντιµεταθετικός νόµος (Commutative law). Ο δυαδικός τελεστής * είναι αντιµεταθετικός αν x* y = y* x x, y S 4. Ουδέτερο στοιχείο (ή Στοιχείο ταυτότητας) (Identity Element). Ουδέτερο είναι το στοιχείο, e, του S για το οποίο ισχύει: e* x= x* e= x x S 5. Αντίστροφο στοιχείο (Inverse). Το y Sείναι αντίστροφο του x S αν x* y = e (Προφανώς αντίστροφο του y είναι το x). 6. Επιµεριστικός νόµος (Distributive law) Αν * και δύο δυαδικοί τελεστές στο σύνολο S, ο τελεστής * λέγεται επιµεριστικός ως προς το τελεστή αν x*( y z) = ( x* y) ( x* z) ΑΞΙΩΜΑΤΑ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΤΟΥ BOOLE ή ΑΞΙΩΜΑΤΑ ΤΟΥ HUNTINGTON Ορισµός: Η άλγεβρα του Boole είναι ένα σύστηµα Σ = (B, +,, -, 0, ), όπου B είναι ένα σύνολο βασικών (τουλάχιστο δύο) στοιχείων (a, b, c, x, y, z, ) τα 0 και είναι οι τιµές του καθενός στοιχείου του B (µεταβλητές του Βoole). Τα σύµβολα + (πρόσθεση, OR, ή), (επί, AND, και), (συµπλήρωµα, αντιστροφή, άρνηση), αντιπροσωπεύουν βασικές λειτουργίες ενός συνόλου αξιωµάτων που καθορίζουν τις σχέσεις µεταξύ των βασικών στοιχείων. Το σύµβολο = χρησιµοποιείται για να δείξει ισότητα. Με τον κατάλληλο συνδυασµό των βασικών στοιχείων και σύµφωνα µε τα αξιώµατα της άλγεβρας του Βoole, φτιάχνονται νέα µέλη του συνόλου και αυτή η αντιστοίχιση λέγεται συνάρτηση του Βoole ή λογική συνάρτηση. ΑΞΙΩΜΑΤΑ ΤΟΥ BOOLE Η άλγεβρα του Βoole:. (α) Είναι κλειστή ως προς τον τελεστή + (β) Είναι κλειστή ως προς τον τελεστή. (α) Έχει ένα ουδέτερο στοιχείο ως προς τον +, το 0. 0+ x = x+ 0= x x S (β) Έχει ένα ουδέτερο στοιχείο ως προς τον τελεστή, το. x = x = x x S 5