GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile importante duse pe bază coincid într-un triunghi dreptunghic, mediana din vârful unghiului drept este jumătate din ipotenuză într-un triunghi dreptunghic care are un unghi de º, cateta opusă acestui unghi este jumătate din ipotenuză dacă ΔBC dreptunghic teorema înălţimii: D = BD DC dacă ΔBC dreptunghic formula înălţimii: D B C BC dacă ΔBC dreptunghic teorema catetei: B = BD BC dacă ΔBC dreptunghic teorema lui Pitagora: B²+C²=BC² reciproca teoremei lui Pitagora: dacă pătratul unei laturi este egal cu suma pătratelor celorlalte două atunci Δ este dreptunghic numere Pitagorice: numerele naturale care verifică teorema lui Pitagora de exemplu tripletul (,4,) sau (,,), teorema lui Thales: dacă EF BC E F EB FC E teorema fundamentală a asemănării: dacă EF BC, atunci ΔEF~ΔBC, adică F EF B C BC raportul ariilor a două triunghiuri asemenea este egal cu pătratul raportului de asemănare B teorema bisectoarei în orice Δ, dacă D este bisectoare C BD DC teoremei lui Pitagora generalizată: a b c ab cos b c a teorema cosinusului: cos ab teorema sinusurilor: a b c R c m a sin sin B sin C b c a teorema medianei: m a a 4 Mediana determină triunghiuri echivalente (de aceeaşi arie) B M C RII b TRIUNGHI bh lh h l absinu p( pa)( pb)( pc), p abc 4R formula înălţimii abc de unde scoatem formula pentru raza cercului circumscris triunghiului p r de unde scoatem formula pentru raza cercului înscris în triunghi r p triunghiul echilateral abc R 4 a a a a înălţimea triunghiului echilateral h, R, r 4 6
triunghiul dreptunghic PTRULTERE c c Paralelogram: înălţimea triunghiului dreptunghic lh, l l sin u Dreptunghi: Ll D d Romb:, l l sin u l sin u Pătrat: Trapez: h c c, d l, diagonala pătratului d l ( Bb) h Bb, l h, l m m d sin d u, u unghiul dintre diagonale Patrulater oarecare: TRIGONOMETRIE ip ip R, c c ip r Valorile funcţiilor trigonometrice în primul cadran : x 6 4 sinx cosx tgx ctgx / / Pentru unghiurile obtuze aplicăm formulele ( x) ( x) ( ) ( ) sin x= sin, exemple: sin = sin 6, sin = sin 4 cos x= cos, exemple: cos = cos 4, cos = cos tgx = tg x, exemple: tg = tg6, tg = tg4 ctgx = ctg x, exemple: ctg = tg6, ctg = tg4 Reţinem: un unghi este obtuz dacă şi numai dacă cosu PROBLEME Se consideră triunghiul BC având aria egală cu Să se calculeze sin ştiind că B=6 şi C=
Se consideră triunghiul BC cu B=4, C= 7 şi BC= Să se calculeze cos B Să se calculeze aria triunghiul BC ştiind că C=, m( BC ) = şi B=4 4 Să se calculeze aria triunghiul BC ştiind că B = C = m =, ( ) Să se afle raza cercului circumcris triunghiul BC ştiind că B= şi m( C ) = 6 Fie triunghiul dreptunghic BC şi D mijlocul ipotenuzei BC Să se calculeze lungimea laturii B ştiind că C=6 şi D= 7 Se consideră triunghiul BC cu B=, C= şi BC= Să se calculeze cos B 8 Se consideră triunghiul BC cu B=, C=6 şi BC=7 Să se calculeze cos 9 Să se calculeze aria triunghiul BC ştiind că B=, C= şi m( BC ) = 6 Să se calculeze lungimea laturii BC a triunghiului BC ştiind că B=6, C= şi m( BC ) = 6 Să se afle raza cercului circumcris triunghiul BC ştiind că BC=8 şi m( ) = 4 Se consideră triunghiul BC de arie egală cu 6, cu B= şi BC=8 Să se calculeze sin B Se consideră triunghiul BC de arie egală cu 7 Să se calculeze lungimea laturii B ştiind că C= şi că m( ) = 4 Să se calculeze perimetrul triunghiului BC, ştiind că B=, BC=4 şi m( B ) = 6 Să se calculeze perimetrul triunghiului BC, ştiind că B=, C=4 şi m( ) = 6 6 Să se calculeze lungimea înăţimii din în triunghiul BC ştiind că B=, C=4 şi BC= 7 Raza cercului circumscris triunghiului BC este, iar BC= Să se calculeze sin 8 Să se determine numărul real x pentru care x, x+7 şi x+8 sunt lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic 9 Să se calculeze aria triunghiului BC ştiind că B=6, C=8 şi BC= Să se calculeze sin, ştiind că în triunghiul BC se cunosc B=4, BC= şi m( C ) = 6 Să se calculeze aria triunghiului BC ştiind că B=, C=6 şi m ( ˆ) = Să se demonstreze că în orice triunghi dreptunghic de arie S şi ipotenuza de lungime a este adevărată identitatea a sin BsinC = S Să se calculeze aria triunghiului MNP dacă MN=6, NP=4 şi m( MNP ) = 4 Să se verifice că într-un triunghi dreptunghic BC În triunghiul MNP se cunosc MN=4, NP=6 şi are loc relaţia sin B + sin C = ( m( ) = 9 ) 6 Să se determine aria unui triunghi BC în care B=, C=6 şi m( MNP ) = 4 Să se calculeze aria triunghiului MNP m( ) = 6 7 În triunghiul MNP se cunosc MN=, MP= şi m( M ) = 6 Să se calculeze lungimea laturii NP 8 Un triunghi dreptunghic are ipotenuza de lungime 6 Să se determine lungimea medianei corespunzătoare ipotenuzei 9 În triunghiul BC se cunosc B=C=6 şi BC= 6 Să se calculeze cos B Să se calculeze aria unui triunghi dreptunghic care are un unghi cu măsura de 6 şi ipotenuza de lungime 8 Se consideră triunghiul BC în care B=8, C=4 şi m( ) = 4 Să se calculeze aria triunghiului Să se calculeze aria trunghiului MNP ştiind că MN=, NP=4 şi m( MNP ) = 6 Să se calculeze aria unui triunghi echilateral care are lungimea înălţimii egală cu 4 Se consideră triunghiul BC în care B=8, C=8 şi m( ) Să se calculeze aria triunghiului BC Să se calculeze perimetrul unui triunghi echilateral care are aria egală cu
6 Triunghiul BC are B=BC= şi C= Să se determine cos 7 Să se calculeze lungimea laturii C a triunghiului BC ştiind că BC=, m( BC ) = m( BC ) = 4 8 Să se calculeze cosinusul unghiului, în triunghiul BC, ştiind că B=, C= şi BC=6 9 Să se calculeze cos B, ştiind că lungimile laturilor triunghiului BC sunt B=6, C=8 şi BC= 4 Să se arate că într-un triunghi BC dreptunghic în are loc relaţia cos B + cos C = 4 Să se calculeze aria triunghiului BC, ştiind că B=C=4 şi m( ) = 6 4 Să se calculeze lungimea laturii BC a triunghiului BC ştiind că m( ) = 9 m( B ) = şi B= 4 4 Să se determine lungimile catetelor unui triunghi dreptunghic ştiind că suma acestora este şi produsul lor este 44 Să se calculeze lungimea laturii C a triunghiului BC ştiind că B=, BC= şi m( B ) = 6 4 Să se calculeze aria triunghiului BC ştiind că B=C= şi m( ) = 46 Să se calculeze lungimea razei cercului circumscris triunghiului BC, ştiind că BC= şi m( ) = 47 Să se calculeze aria triunghiului BC ştiind că C=, BC=6 şi m( C ) = 6 48 Să se calculeze lungimea laturii B a triunghiului BC ştiind că BC=6, C= m( C) 4 49 Să se calculeze lungimile catetelor triunghiului BC, ştiind că m( ) 9, m( B) 6 şi că lungimea ipotenuzei este egală cu 8 Să se calculeze lungimea laturii C a triunghiului BC, ştiind că m( B) 4 m( C) şi că B= Să se calculeze lungimile catetelor unui triunghi dreptunghic ştiind că aria acestuia este 8, iar măsura unui unghi este egală cu 4 Să se calculeze aria paralelogramului BCD, ştiind că B=8, BC= şi m( BCD) Să se calculeze cosinusul unghiului ascuţit format de diagonalele dreptunghiului BCD ştiind că B=6 şi BC= 4 Să se determine lungimile catetelor B şi C ale triunghiului dreptunghic BC, ştiind că sin B = şi BC= Să se calculeze aria dreptunghiului BCD ştiind că C= şi m( BC) 6 Triunghiul BC este dreptunghic în C, iar raza cercului circumscris triunghiului este R= Să se calculeze lungimea laturii B 7 Să se calculeze lungimea laturii BC a triunghiului BC, ştiind că sin = şi că lungimea razei cercului şi circumscris triunghiului este egală cu 4 8 Să se calculeze cos în triunghiul BC, ştiind că B=, BC= şi C=4 9 Se consideră triunghiul dreptunghic BC în şi cos B = Să se calculeze sin C 6 Ştiind că triunghiul are BC=, C= şi B=, să se calculeze cos 6 Să se calculeze raza cercului circumscris triunghiului BC, ştiind că BC=4 şi că măsura unghiului este de 6 Să se calculeze aria triunghiului MNP dacă MN=NP=6 şi m( MNP) 6 Să se demonstreze că, dacă triunghiul BC este dreptunghic în, atunci are loc relaţia B + C sin B + cos B = BC 4
64 Să se determine aria triunghiului BC, în care B=4, c=6 şi m( BC) 4 6 Să se determine sin( BC) în hexagonul regulat BCDEF 66 Să se determine aria triunghiului BC, ştiind că B=C= şi m( BC) 67 Să se calculeze sin în triunghiul BC, ştiind că BC=, iar lungimea razei cercului circumscris triunghiului este egală cu 68 Să se calculeze aria paralelogramului BCD, ştiind că B=8, BC= şi m( BCD) 69 Să se calculeze cosinusul unghiului ascuţit format de diagonalele dreptunghiului BCD ştiind că B=6 şi BC= 7 Să se determine lungimile catetelor B şi C ale triunghiului dreptunghic BC, ştiind că sin B = şi BC= 7 Să se calculeze aria dreptunghiului BCD ştiind că C= şi m( BC) 7 Triunghiul BC este dreptunghic în C, iar raza cercului circumscris triunghiului este R= Să se calculeze lungimea laturii B 7 Să se calculeze lungimea laturii BC a triunghiului ascuţitunghic BC ştiind că B=6, C= şi că aria triunghiului BC este egală cu V4 74 Triunghiul BC are B = şi lungimea razei cercului circumscris egală cu Să se calculeze lungimea laturii C V 7 Să se calculeze lungimea razei cercului circumscris triunghiului BC ştiind că C = şi B = 6 V6 6 76 Să se calculeze lungimea razei cercului înscris în triunghiul BC care are lungimile laturilor egale cu, 4 şi V7 77 Fie triunghiul BC Să se calculeze lungimea înălţimii corespunzătoare laturii BC ştiind că B=, C=4 şi BC= V8 78 Să se calculeze lungimea razei cercului circumscris triunghiului BC dacă =, B= şi 4 6 B = 6 V m B = m C V 79 Triunghiul BC are B=4, BC= şi C=6 Să se arate că ( ) ( ) 8 Triunghiul BC ascuţitunghic are C = şi lungimea razei cercului circumscris egală cu Să se determine măsura unghiului B V4 8 Să se calculeze perimetrul triunghiului BC ştiind că B = 6, B= şi C = V7 4 6 8 În triunghiul BC punctele M, N, P sunt mijloacele laturilor Fie H ortocentrul triunghiului MNP Să se demonstreze că H=BH=CH V 8 Să se calculeze aria unui paralelogram BCD cu B=6, D=8 şi m( DC ) = o V 84 Fie BC un triunghi care are B=, C= şi BC=7 Să se calculeze cos V6 8 Să se calculeze perimetrul triunghiului BC ştiind că B = 4, C = şi m( BC ) = 6 o V8 86 Să se calculeze lungimea razei cercului înscris în triunghiul care are lungimile laturilor 4, şi 7 V4 87 Să se calculeze lungimea medianei duse din în triunghiul BC, ştiind că B=, C= şi BC=4 V46 88 Triunghiul BC are lungimile laturilor B=, BC=7 şi C=8 Să se calculeze m( ) V 89 Să se calculeze lungimea razei cercului circumscris în triunghiul care are lungimile laturilor, 7 şi 8 V
9 Să se calculeze lungimea razei cercului circumscris triunghiului BC ştiind că BC = şi cos = V4 9 Să se calculeze lungimea razei cercului circumscris unui triunghi dreptunghic care are catetele de şi V6 9 Triunghiul BC are B=, C=4 şi m( ) = 6 o Să se calculeze lungimea medianei duse din V7 9 Fie triunghiul BC care are B=C= şi BC=6 Să se calculeze distanţa de la centrul de greutate al triunghiului BC la dreapta BC V8 94 Să se determine numerele naturale a pentru care numerele a, a+ şi a+ sunt laturile unui triunghi obtuzunghic V6 9 Să se calculeze aria triunghiului BC în care M=BC=4, unde M este mijlocul lui (BC), iar m( MC ) = O V7 96 Triunghiul BC are lungimile laturilor B=, BC= şi C=7 Să se calculeze lungimea razei cercului înscris în triunghiul BC V87 97 Fie BC un triunghi cu = sin B = şi BC = 4 sin, Să se calculeze aria triunghiului BC V96 98 Fie BC un triunghi care are BC=8 şi cos = Să se calculeze lungimea razei cercului circumscris triunghiului BC V97 99 Triunghiul BC are lungimile laturilor B=6, BC= şi C= Să se calculeze lungimea înălţimii D Bac 6