Aplicatii ale marimilor medii in practica

Aplicatii ale marimilor medii i practica October 5, 2012 Aplicatii ale marimilor medii i practica

Calculul marimilor medii Exemplu: u grup de 40, 20, 60 elevi au primit ca premiu la olimpiada de matematica respectiv 300, 200, 100 lei Se cere suma de bai medie care revie ecarui elev Cosideram o serie de marimi idividuale x 1,, x care caracterizeaza evolutia uui feome ecoomic, tehic sau de orice alta atura Cu ajutorul acestor marimi putem calcula mai multe tipuri de marimi medii, de exemplu: media aritmetica simpla: m a = x 1 + x 2 + + x Exemplu: i cici ai cosecutivi o rma a vadut respectiv 1500, 1900, 2400, 3200 si 4000 calculatoare Se cere umarul mediu aual de calculatoare vadute media aritmetica poderata se foloseste i cazul i care i seria de marimi date uele ditre ele se repeta de mai multe ori (poderea m i arata ca marimea x i se repeta de m i ori): m ap = m 1x 1 + m 2 x 2 + + m x, m i > 0, i 1, m 1 + + m

Poderarea se poate face si cu raportul procetual al ecarei poderi fata de suma lor: Exemplu: Pretul de cost al uui produs similar la trei fabrici diferite a fost de 400, 500, respectiv 600 lei pe bucata (El difera de la o itrepridere la alta deoarece depide de modul de orgaizare al productiei, de gradul de mecaizare al productiei, de radametul masiilor folosite, de gradul de calicare al mucitorilor, etc) Totalul cheltuielilor efectuate petru realizarea acelei productii la ecare di cele trei fabrici a fost acelasi Care este pretul de cost mediu al acelui produs la cele trei fabrici? m ap = x P m 1 1 i=1 m i Numerele p k = 100 + x 2 m 2 P i=1 m i 100 + + x m P i=1 m i 100 P mm i 100 se umesc poderi procetuale si ele sut i =1 m i geeral umere de doua, trei cifre media armoica simpla m h = 1 x 1 + 1 x 2 + + 1 x 100

Exemplu: La o ferma agricola productia de grau la hectar a fost realizata astfel: pe 60% di suprafata cultivata, productia a fost depasita cu 20% fata de pla, pe 30,5% di suprafata productia a fost depasita cu 25%, iar pe restul suprafetei cultivate productia a fost realizata cu 5% sub pla Care este procetul mediu cu care a fost depasita productia de grau la hectar la acea ferma agricola? media armoica poderata (poderile m i > 0,i 1, ) m hp = m 1 + m 2 + + m + m m 1 x 1 + m 2 x 2 x Exemplu: Retributia medie luara a uei categorii de agajati ai uei rme pe cele trei trimestre ale uui a a fost 2400, 2580 si respectiv 2700 lei pe lua Fodul de retributii efectiv pe cele trei trimestre a fost de 600000, 720000, respectiv 900000 lei pe trimestru Care a fost salariul mediu luar al uui agajat de la acea rma i cursul acelui a? poderarea se poate face si cu raportul procetual al ecarei poderi fata de suma lor: p k = P 100m k : i=1 m i m hp = p 1 x 1 + p 2 x 2 100 + p x

media geometrica simpla se calculeaza atuci cad se dau o serie de marimi pozitive a i, i 0, ecare di ele reprezetad i geeral o majorare sau o reducere fata de marimea precedeta (i uele cazuri uele ditre aceste marimi pot egale itre ele) Notam cu x i = a i a i 1, i 1, raportul ditre o marime si cea precedeta Obtiem x 1 x 2 x = a a 0 Presupuem ca variatia acestor marimi este uiforma si egala cu x (marime umita coecietul mediu de variatie) Atuci x = a a 0 Notam cu m g = x = x 1 x 2 x Deci coecietul mediu de variatie a marimilor a 0,, a este egal cu media geometrica a coecietilor de variatie a ecarei marimi fata de cea precedeta Petru calculul efectiv al mediei geometrice se folosesc logaritmii: l m g = (l x 1 + l x ) :

Exemplu: Productia de imprimate pe o perioada de cici ai este data i tabelul de mai jos Aul I II III IV V Nr bucati 4000 6000 7500 9000 11700 Coecietul de variatie 1 1,5 1,25 1,20 1,30 Care este procetul mediu de crestere a umarului de imprimate i acest iterval de timp? media geometrica poderata (poderile r i > 0, i 1,, r = r 1 + + r ) m gp = r x r 1 1 x r 2 2 x r

media simpla de ordiul r N : m r = r x r 1 + x r media poderata de ordiul r: m 1 x1 r + m x r m rp= r m 1 + m Petru r = 2 obtiem media patratica (simpla, respectiv poderata): m p = x 2 1 + x 2, m pp = m 1 x 2 1 + m x 2 m 1 + m

Media patratica este utilizata i statistica O colectivitate statistica reprezita o multime de obiecte, ite, feomee, etc care poseda uele caracteristici comue Fie x 1,, x elemetele uei colectivitati statistice si x media lor aritmetica Atuci diferetele x 1 x,, x x ditre ecare elemet si media lor aritmetica se umesc abateri de la media lor aritmetica Deoarece media aritmetica a acestor abateri este ula, petru a calcula media abaterilor se foloseste media aritmetica a patratelor abaterilor, umita dispersie: D( x) = (x 1 x) 2 + (x 2 x) 2 + + (x x) 2 Abaterea medie patratica este egala cu radacia patrata a dispersiei (x1 x) σ = 2 + (x 2 x) 2 + + (x x) 2 Ea arata oscilatia sau diversitatea distributiei elemetelor x i di colectivitatea statistica pe care o studiem (Daca abaterile x i x sut mici, iseama ca marimile x i difera puti de la media lor aritmetica I acest caz si dispersia cat si abaterea medie patratica vor mici Daca abaterile x i x sut mari, atuci si D si σ vor mari)

Criteriu petru aplicarea i practica a marimilor medii Cum e dam seama ce tip de medie vom folosi itr-o aumita problema? Teoria Chissii-Boiarschi : o colectivitate statistica poate avea diferite proprietati, o parte ditre ele putad exprimate umeric; o proprietate se umeste determiata petru o colectivitate statistica daca ea ramae eschimbata cad variabila x ia toate valorile posibile x 1,, x ; proprietatea determiata se exprima ca o fuctie de variabilele x i ; F (x 1,, x ); se umeste valoare medie a variabilei x, dupa proprietatea determiata, acea valoare x care, pri substitutia x i = x, i 1,, u modica proprietatea determiata: F ( x,, x) = F (x 1,, x ) Exemplicam i cotiuare aplicarea aceastei teorii

Problema 1 Titlul uui aliaj reprezita catitatea de aur pur cotiut itr-u gram de aliaj Se topesc impreua aliaje de aur A 1, A 2,, A care au respectiv titlurile t 1, t 2,, t si masele m 1, m 2,, m Se cere titlul oului aliaj Solutie Proprietatea determiata a tuturor aliajelor este catitatea de aur pur cotiuta i itregul aliaj Catitatea de aur G i cotiuta i aliajul A i este G i = m i t i, i 1, Deci catitatea de aur pur cotiuta i itregul aliaj se calculeaza pri F (t 1,, t ) = m 1 t 1 + m 2 t 2 + m t Notam cu t valoarea medie a titlului oului aliaj rezultat dupa topirea celor aliaje iitiale Atuci F ( t, t,, t) = F (t1,, t ), deci t = m 1 t 1 + m t m 1 + m, deci i acest exemplu folosim media aritmetica poderata

Problema 2 Preturile de cost ale uui produs similar la fabrici sut respectiv c 1, c 2,, c lei/uitate de produs Totalul cheltuielolor efective petru realizarea productiei la ecare di cele fabrici a fost acelasi, C lei Se cere pretul de cost mediu al acelui produs la cele fabrici Solutie Proprietatea determiata este catitatea totala a productiei realizata la cele fabrici Productia realizata la fabrica i, i 1, se calculeaza pri C c i Fuctia determiata va egala cu F (c 1,, c ) = C c 1 + C c 2 + + C c Fie c pretul de cost mediu realizat la cele fabrici Rezulta F ( c, c) = F (c 1,, c ), deci c = 1 c 1 + 1 c 2 + + 1 c I aceasta problema se foloseste media armoica simpla

Problema 3 I perioade de timp cosecutive pretul de cost al uui produs la o itrepridere idustriala a fost de c 1,, c lei/uitate de produs Stiid ca totalul cheltuielilor efective realizate pe cele perioade de timp a fost respectiv de S 1,, S lei, se cere pretul de cost mediu al acelui produs pe itreaga perioada de timp luata i cosiderare Solutie Ca si i problema aterioara proprietatea determiata este itreaga catitate de produse realizata i cele perioade de timp si se calculeaza pri F (c 1,, c ) = S 1 c 1 + S 2 c 2 c = S 1 + S 2 + S, S 1 c 1 + S 2 c 2 + + S c deci folosim media armoica poderata + + S c Se obtie

Folosim asadar media geometrica simpla Problema 4 Pretul de cost al uui produs oarecare i valoare de C 0 lei a suferit variatii cu procetele p 1,, p i perioade de timp cosecutive Se cere procetul mediu de variatie a pretului de cost la acel produs si costul al C al produsului, dupa cele variatii succesive Solutie Fuctia determiata este pretul de cost al produsului dupa cele variatii, adica F (p 1,, p ) = C 0 (1 + p 1 p ) (1 + ) Notam cu 100 100 p procetul mediu de variatie a pretului de cost Atuci F ( p,, p) = F (p 1,, p ) si rezulta deci C 0 (1 + p p ) (1 + 100 100 ) = C 0(1 + p 1 100 ) (1 + p 100 ), p = 100 [ (1 + p 1 100 ) (1 + p 100 ) 1 ] Notam cu c = 1 + p 100 si c i = 1 + p i, i 1, Atuci 100 c = c 1 c 2 c

Problema 5 Folosim astfel media patratica poderata Cosumul de bezia al uei masii pe ora este proportioal cu patratul vitezei acelei masii Notam cu t i itervalele de timp i care a mers masia, v i vitezele (costate) corespuzatoare acestor itervale, i 1, Se cere viteza medie v cu care va trebui sa mearga masia petru ca sa cosume i total aceeasi catitate de bezia Solutie Proprietatea determiata este catitatea totala de bezia cosumata de masia pe itreaga perioada de timp: F (v 1,, v ) = kt 1 v 2 1 + kt v 2, ude k este costata de proportioalitate Di F ( v,, v) = F (v 1,, v ) rezulta v = t 1 v 2 1 + t v 2 t 1 + t

Teme semiar Stabiliti relatiile itre marimile medii si iterpretarea lor geometrica Teoreme de maxim si miim bazate pe relatiile itre marimile medii Probleme practice de maxim si miim i care folosim marimile medii Bibliograe: M Cerchez, T Daet, Probleme petru aplicarea matematicii i practica, EDP, Bucuresti 1982 C Udriste, E Taasescu, Miime si maxime ale fuctiilor reale de variabile reale, Ed Tehica, Bucuresti 1980