TEMA 1: FUNCȚII LINIARE. Obiective:

Transcript

1 TEMA : FUNCȚII LINIARE TEMA : FUNCȚII LINIARE Obiective: Defiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale fucţiei, ecuaţiei şi iecuaţiei de gradul Cuoaşterea uor elemete de geometrie aalitică a dreptei Aaliza metodelor de rezolvare a sistemelor liiare de ecuaţii şi iecuaţii de gradul cu două ecuoscute Aaliza metodei regresiei liiare Aplicaţii ecoomice ale modelelor liiare: o Fucţiile liiare de veit, cost, profit o Fucţiile de cerere şi de ofertă o Fucţia de cosum; o Aaliza pragului de retabilitate o Aaliza puctului de echilibru de piaţă Coțiut:. Fucţia şi ecuaţia de gradul. Sisteme liiare 4.3 Iecuaţii liiare 5.4 Metoda regresiei liiare 6.5 Aplicaţii ecoomice ale fucţiilor liiare 7.6 Cocepte cheie 0

2 MODULUL : MODELE LINIARE. Fucția şi ecuația de gradul Fucţia de gradul (fucţia liiară) este o fucţie defiită pe mulţimea umerelor reale R (sau pe submulţimi sau itervale ale acesteia), cu valori reale, f : R R, defiită pri: ude ( ) = a b a, b R, a 0. Graficul fucţiei de gradul este mulţimea: y = f +, (.) {( y) R y = a + R} R R G f =,, b, (.) care se reprezită î plaul aelor de coordoate pritr-o dreaptă. Dacă a > 0 fucţia de gradul este crescătoare, iar dacă a < 0 fucţia este descrescătoare. Ecuaţia de gradul este o ecuaţie de forma: a + b = 0, a, b R, a 0, (.3) cu soluţia petru a 0 : b = R. (.4) a Petru a reprezeta grafic fucţia de gradul sut suficiete pucte, de obicei utilizâdu-se puctele de itersecţie cu aele de coordoate: y = 0 G f I O : b, = a = 0 G f I Oy :. (.5) y = b Graficul fucţiei de gradul, care trece pri puctele de itersecţie cu aele de coordoate, este reprezetat î Figura.. Să remarcăm faptul că = a este ecuaţia uei drepte verticale, paralele cu aa Oy, iar y = b este ecuaţia uei drepte orizotale, paralele cu O. y (0,b) y=a+b O (-b/a,0) Figura.: Graficul fucţiei de gradul

3 TEMA : FUNCȚII LINIARE 3 Î practică sut umeroase situaţiile î care fucţia liiară este defiită pe k itervale ale mulţimii umerelor reale I, I, K, I k R, de forma: f ( ) f f = M f ( ), ( ), ( ) I I, k I k De eemplu, fucţia modul (sau valoare absolută), este defiită pri: f ( ) =,, dacă 0 =., dacă < 0. (.6) Î multe situaţii practice, dispuem umai de aumite valori cuoscute şi trebuie să determiăm fucţia care trece pri aceste valori. Petru aceasta vom discuta î cotiuare câteva elemete de geometrie aalitică a dreptei, pe care le vom aplica petru determiarea elemetelor modelelor liiare. Cosiderăm î plaul aelor de coordoate puctele P (, y ) şi P (, y ), reprezetate î Figura.4. Atuci pata sau coeficietul ughiular al dreptei cu ecuaţia geerală y = m + care trece pri puctele P şi P este: ecuaţia: m tg y y = α =. (.7) Petru a scrie ecuaţia dreptei care trece pritr-u puct ( ) (d) y y0 = m ( 0 ) Ecuaţia dreptei care trece pri puctele P ( ) şi ( ) P şi are pata m, avem 0 0, y0. (.8), y (d) y y = ( ) P este dată de:, y y y. (.9) Referitor la poziţiile relative a drepte î pla, (d ) y = m + şi (d ) y = m +, dacă dreptele sut paralele avem proprietatea: d =, (.0) d m m iar dacă dreptele sut perpediculare, avem proprietatea: P d d m m =. (.) De asemeea, di Figura. se poate deduce uşor şi distaţa ditre puctele (, y ) ( ), ca fiid:, y d ( P P ) ( ) + ( y ), y P şi =. (.)

4 4 MODULUL : MODELE LINIARE y ( ) P, y y y ( ) P, y α y y O Figura.: Coordoatele a pucte î pla. Sisteme liiare Sistemele liiare sut sistemele de ecuaţii de forma: a + a + K+ a = b a + a + K+ a = b, (.3) K am + am + K+ am = bm î care ecuoscutele,, K, apar la puterea îtâi. Valorile a ij, i, j m, sut coeficieţii sistemului, iar valorile b j, j m, sut termeii liberi. Sistemul de mai sus este u sistem liiar de forma m, adică u sistem cu m ecuaţii şi ecuoscute. Vom aaliza î cadrul acestei secţiui metodele clasice de rezolvare ale sistemelor, petru rezolvarea sistemelor liiare de dimesiui mai mari urmâd să reveim la studiul metodelor matriceale. Forma geerală a uui sistem liiar de ecuaţii cu ecuoscute de tip este: a + a = b, (.4) a + a = b care se poate rezolva pri metoda substituţiei, pri metoda reducerii sau pri metoda grafică. Pri metoda substituţiei, eplicităm o ecuoscută di ua di ecuaţiile sistemului, pe care o îlocuim (substituim) î cealaltă ecuaţie, rezolvâd o ecuaţie cu o sigură ecuoscută. De eemplu, dacă eplicităm pe di prima ecuaţie a sistemului (.4), obţiem: a b a + a = b a = b a =. a Îlocuid pe î a doua ecuaţie a sistemului rezultă, succesiv, de forma: a b a a b a b + a = b =. a aa aa

5 TEMA : FUNCȚII LINIARE 5 Petru determiarea lui, putem îlocui valoarea găsită petru îtr-ua di ecuaţiile sistemului sau chiar î epresia lui calculată mai sus. Metoda reducerii, costă di elimiarea (reducerea) uei ecuoscute aplicâd proprietăţile de echivaleţă ale ecuaţiilor şi apoi rezolvâd ecuaţia cu o sigură ecuoscută obţiută. De eemplu, dacă reducem pe ître ecuaţiile sistemului (.4), rezultă, succesiv: a a + a + a = b = b a ( a a a a ) ( a ) aa + aa = ab aa aa = ab b a b = ab ab =. aa aa Petru cealaltă ecuoscută putem aplica îcă o dată metoda reducerii sau putem aplica metoda substituţiei. Am obţiut astfel soluţiile sistemului liiar (.4) de forma: ab ab = aa aa ab ab = aa aa a. (.5) O alterativă practică petru rezolvarea sistemelor liiare de tip este metoda grafică de rezolvare, care costă di reprezetarea grafică a dreptelor care sut ecuaţiile sistemului. Coordoatele puctului de itersecţie reprezită de fapt soluţia sistemului. Dacă sistemul are o soluţie uică spuem că sistemul este compatibil determiat. Î cazul î care sistemul are o ifiitate de soluţii, spuem că sistemul este compatibil edetermiat, iar î cazul î care sistemul u are ici o soluţie, sistemul este icompatibil. Î cazul metodei grafice de rezolvare a sistemului, dacă cele două drepte se itersectează, atuci avem soluţie uică şi sistemul este compatibil determiat. Dacă cele două drepte se suprapu (acesta se îtâmplă atuci câd ecuaţiile celor două drepte au coeficieţii egali sau proporţioali) sistemul are o ifiitate de soluţii (o ifiitate de pucte situate pe cele două drepte satisfac ecuaţiile sistemului). Dacă cele două drepte sut paralele, atuci sistemul este icompatibil, adică u eistă ici u puct care să satisfacă ecuaţiile date. Metodele de substituţie şi de reducere sut aplicabile şi petru sistemele 3 3 şi de dimesiui mai mari, dar petru rezolvarea acestora sut mai eficace metodele matriceale, pe care le vom aborda ulterior..3 Iecuații liiare Forma geerală a uei iecuaţii liiare cu o sigură ecuoscută este: a + b 0, a, b R, a 0, (.6) î care iegalitatea poate fi ua di relaţiile,, >, <. Soluţia iecuaţiei liiare cu o ecuoscută, dacă eistă, este u iterval, respectiv o submulţime a mulţimii umerelor reale R.

6 6 MODULUL : MODELE LINIARE Petru rezolvarea iecuaţiei liiare se aplică proprietăţile de echivaleţă şi se ţie cot de regula de schimbare a sesului iegalităţii, atuci câd termeii acesteia se multiplică cu u umăr egativ. Î geeral, dacă D este domeiul de eisteţă al iecuaţiei, iar S este mulţimea soluţiilor iecuaţiei obţiută după rezolvarea acesteia, atuci soluţia fială a iecuaţiei va fi dată de mulţimea S I D. Să cosiderăm acum forma geerală a uei iecuaţii liiare cu două ecuoscute: a + by + c 0, a, b, c R, a 0, b 0, (.7) î care iegalitatea poate fi ua di relaţiile,, >, <. Soluţia uei asemeea ecuaţii este mulţimea puctelor di pla care satisfac iegalitatea dată. Ua di metodele practice de rezolvare a iecuaţiilor liiare cu două ecuoscute este metoda grafică. Petru aceasta ecuaţia se aduce la forma y m + (î care iegalitatea poate fi ua di relaţiile,, >, < ), se reprezită grafic dreapta de ecuaţie y = m +, iar soluţia este dată de submulţimea plaului aelor de coordoate situate deasupra (sau dedesubtul) dreptei respective. Să mai remarcăm faptul că dacă iegalitatea este strictă, atuci puctele u aparţi dreptei respective (vom figura aceasta pritr-o liie puctată), iar dacă iegalitatea u este strictă, aparţi dreptei (liie cotiuă). Atuci câd avem două sau mai multe iecuaţii cu două ecuoscute, avem de fapt u sistem de iecuaţii simultae, a cărui soluţie trebuie să satisfacă fiecare iecuaţie a sistemului. Soluţia sistemului se obţie deci di itersecţia soluţiilor fiecărei iecuaţii. Di ou metoda grafică este utilă petru rezolvarea sistemului, aşa cum vom vedea î eemplul următor. Să remarcăm faptul că vom aplica sistemele de iecuaţii liiare la rezolvarea problemelor de programare liiară pe care le vom discuta î modulul dedicat modelelor de optimizare liiară..4 Metoda regresiei liiare Î multe aplicaţii practice, atuci câd aalizăm variabile, e iteresează ecuaţia dreptei care modelează cel mai bie relaţia de depedeţă ditre cele două variabile. Metoda care e furizează forma aalitică a acestei dreptei (umită dreaptă de regresie) este metoda regresiei liiare.,, i, şi fie ŷ = α + β ecuaţia dreptei care se situează (trece) î apropierea a cât mai multe pucte. Petru fiecare valoare i avem ŷ i = α i + β, care reprezită valoarea estimată a lui y i. Coeficieţii α şi β se determiă, coform metodei celor mai mici pătrate, astfel îcât suma pătratelor abaterilor valorilor estimate de la valorile date să fie miimă: Fie î pla puctele de coordoate ( ) i y i ( y i y i ) i= ˆ. (.8) Metoda celor mai mici pătrate coduce la ecuaţia dreptei de regresie: ŷ = α + β, (.9) ude coeficieţii α şi β sut daţi de relaţiile:

7 TEMA : FUNCȚII LINIARE 7 i i i i i= i= i= α =, (.0) i i i= i= y y yi α i i= i= β =. (.).5 Aplicații ecoomice ale fucțiilor liiare Vom aaliza î cotiuare o serie ditre pricipalele aplicaţii ecoomice ale fucţiilor liiare, cum sut: fucţiile liiare de veit, de cost şi de profit; fucţiile de cerere şi de ofertă liiare; fucţia de cosum; pragul de profitabilitate..5. Veitul total, costul total, profitul Fucţia de veit total reprezită suma îcasată de firmă î fiecare luă di vâzarea produselor sale. Dacă produse sut vâdute luar, veitul total di vâzarea acestora cu preţul p este p şi deci fucţia de veit total petru eemplul dat are forma: V = V ( ) = p. Î epresia de mai sus, este variabila idepedetă, iar V este variabila depedetă. Să otăm că domeiul de defiiţie al acestei fucţii este pe mulţimea umerelor reale şi pozitive R +, deoarece u au ses catităţi egative. Fucţia de cost total reprezită suma ce trebuie cheltuită de firmă petru a produce şi a vide produsele sale. Costurile totale C T sut alcătuite di: C F Costurile fie: costurile care rămâ costate, idiferet de catitatea de produse fabricate şi vâdute; C V Costurile variabile: costurile care depid direct de producţia realizată şi vâdută. Ţiâd cot că di defiiţie, fucţia de cost total este: Fucţia de cost fi este o costată: C() =C T () = C F () + C V (). C F ( ) = cf. Fucţia de cost variabil este, petru catitatea de produse şi costul cv pe uitatea de produs (pe bucată): C V ( ) cv =.

8 8 MODULUL : MODELE LINIARE Rezultă fucţia de cost total de forma: ( ) cv cf C = +. Fucţia de profit reprezită difereţa ditre fucţia de veit şi fucţia de cost total şi are epresia: P( ) = V ( ) C( ). Îlocuid epresiile de mai sus, rezultă fucţia de profit de forma: P ( ) V ( ) C( ) = p cv cf = ( p cv) cf =..5. Fucții de cerere şi de ofertă Dacă aalizăm relaţia ître preţul produselor şi catitatea pe care u cliet sau u cosumator le va achiziţioa îtr-o aumită perioadă de timp, fucţia care rezultă se umeşte fucţie de cerere. Legea cererii ecoomice arată că pe măsură ce preţul creşte, catitatea de produse cerute va scădea şi ivers, dacă preţul scade, cererea de produse va creşte. Relaţia ditre preţul uui produs şi catitatea cerută este o relaţie fucţioală, respectiv catitatea cerută q este î fucţie de preţul p, adică q = f ( p). Fucţia de ofertă reprezită catitatea de produse pe care u producător o oferă, la diferite preţuri. Legea ofertei ecoomice arată că pe măsură ce preţul creşte, catitatea de produse oferite spre vâzare va creşte de asemeea. Relaţia fucţioală ditre ofertă şi preţ u este îtotdeaua liiară, oferta putâd să fie eliiară sau costată..5.3 Fucția de cosum Fucţia de cosum este uul di elemetele de bază petru aaliza situaţiilor de criză ecoomică, atuci câd se maifestă perioade de recesiue ecoomică, cu rate mari ale şomajului sau ale iflaţiei. Această aaliză ecoomică a fost itrodusă de Joh Mayard Keyes, fodatorul macroecoomiei modere. Î timpul marii crize ecoomice di aii 30, pricipiile lui Keyes au fost utilizate de admiistraţia americaă. Fucţia de cosum poate fi eprimată ca: ( ) = a b C = f +, ude este veitul dispoibil, iar C este cosumul, ambele variabile fiid eprimate de obicei 9 î uităţi de ordiul a 0 u.m., atuci câd este vorba de cosumul la ivel macroecoomic, respectiv cosumul aţioal. Petru perioade scurte de timp, fucţia de cosum se cosideră a fi liiară, î timp ce petru perioade mai lugi de timp, se cosideră petru fucţia de cosum o formă eliiară..5.4 Aaliza pragului de profitabilitate Profitul realizat de o firmă este difereţa ditre veiturile totale (valoarea totală obţiută di vâzări sau di alte surse) şi costurile totale (fie şi variabile). Valoarea petru care veitul total este egal cu costul total se umeşte prag de profitabilitate sau prag de retabilitate (î egleză break-eve poit).

9 TEMA : FUNCȚII LINIARE 9 Î Figura.3, V reprezită dreapta veiturilor, iar C este dreapta costurilor totale. Atuci puctul de itersecţie al lor costituie puctul sau pragul de profitabilitate. Zoa situată ître dreptele de veit şi de cost la stâga şi dedesubtul puctului de itersecţie este zoa de pierdere, î timp ce zoa situată la dreapta şi deasupra puctului de itersecţie este zoa de profit. y Pragul de profitabilitate Zoa de profit V C Valoare O Zoa de pierdere Catitate Figura.3: Pragul de profitabilitate.5.5 Echilibrul de piață Atuci câd catitatea cerută este egală cu catitatea oferită ditr-u aumit produs, spuem că avem echilibru de piaţă. Puctul de echilibru de piaţă se obţie la itersecţia graficelor fucţiilor de cerere şi de ofertă, aşa cu se observă di Figura.4. Echilibrul de piaţă este dat de catitatea de echilibru şi de preţul de echilibru. p Echilibrul de piaţă Oferta Preţ de echilibru O Cererea Catitate de echilibru q Figura.4: Echilibrul de piaţă

10 0 MODULUL : MODELE LINIARE.6 Cocepte cheie Fucţie liiară (de gradul ) Ecuaţie de gradul Iecuaţie de gradul Sistem de ecuaţii liiare Metoda reducerii Metoda substituţiei Metoda grafică Sistem de iecuaţii liiare Metoda regresiei liiare Fucţie liiară de veit Fucţie liiară de cost Fucţie liiară de profit Fucţie liiară de cerere Fucţie liiară de ofertă Prag de profitabilitate (retabilitate) Puct de echilibru de piaţă Dreaptă de regresie