ΑΛΓΕΒΡΑ= = = = = = Α =ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΓΕΒΡΑ Α ΥΚΕΙΟΥ

ΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΚΗΕΙ

ΘΕΩΡΙΑ. Οι πράξεις και οι ιδιότητες τους Αν α, β, γ, δ πραγματικοί αριθμοί τότε ισχύουν οι ιδιότητες : α = β Û α + γ = β + γ Αν γ ¹ 0, α = β Û αγ = βγ αβ = 0 Û α =0 ή β = 0 αβ ¹ 0 Û α ¹ 0 και β ¹ 0 Αναλογία : ονομάζουμε την ισότητα δυο λόγων. Για παράδειγμα αναλογίες ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες : α γ =. τις β δ α γ = Û αδ = βγ ( χιαστί ) β δ α γ α β = Û = β δ γ δ α γ α + β γ + δ = Û = β δ β γ και α α + β = γ γ + δ α γ α γ α + γ = Û = = β δ β δ β + δ Παράδειγμα : Αν α γ α 5α - 7γ =, να αποδείξετε ότι : =,με [ βδ(5β-7δ) ] ¹ 0 β δ β 5β - 7δ α γ Θεωρούμε = = λ, οπότε α = λβ και γ = λδ. υνεπώς το 5α 7γ, γίνεται: 5α 7γ = 5 λβ 7 λδ = λ( 5β-7δ). Επομένως λ = = = β δ 5α - 7γ α γ 5β - 7δ β δ ΑΚΗΕΙ. Αν οι αριθμοί Α = χ-4ψ+5ω και Β = ψ-χ-3ω είναι αντίθετοι να αποδείξετε ότι ω = ψ Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού

. Αν α, β, γ ακέραιοι διαδοχικοί, να δειχθεί ότι α+β+γ είναι πολλαπλάσιο του 3. 3. Να βρεθεί το αποτέλεσμα της παράστασης: (+ )( + )( + )...( + ) 3 00 4. Να σημειωθεί η σωστή απάντηση σε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις. α) Αν α, β αντίστροφοι τότε: ι) α=β ιι) α+β=0 ιιι) αβ=0 ιν) αβ= ( + ) β) Το κλάσμα ορίζεται όταν: ( + ) ι) α ¹ - ιι) α ¹ 0 ιιι) α ¹ 0 ή α ¹ - ιν) α ¹ 0 και α ¹ - γ) Αν α, βî Ζ με β ¹ 0, τότε b είναι: ι) θετικός ιι) αρνητικός ιιι) ρητός ιν) ακέραιος 5. Έστω α γ γ 3γ - α =. Να αποδειχθεί ότι : =, βδ(3δ-β) ¹ 0 β δ δ 3δ - β 6. Αν x 3 =, να υπολογίσετε τις παραστάσεις : y x x - y Α = Β = x + y x Γ = 3x 5y 7. Αν x y z = = και 3x-y+z = 0, να βρεθούν τα x, y, z. 4 7. ΔΥΝΑΜΕΙ. α = α. α 0 = m 3. α m. α = α m+ m - 4. = 5. α β = (αβ) 6. = ( ) b b - - b 7. α = 8. ( ) = ( ) b 9.( α m ) = (α ) m = α m Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού

Παρατήρηση Προσοχή το αντίστρο- Έστω α, β πραγματικοί αριθμοί. Αν α = β Þ α κ = β κ φο δεν ισχύει. ΑΞΙΟΗΜΕΙΩΤΕ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕ. (-β)(+β)= - b. ( ± b ) = ± b + b 3 3 3 3. ( ± b ) = ± 3 b + 3b ± b 4. (+β+γ) = + b + g + b + bg + g 3 3 5. ± b = ( ± b )( m b + b ) 6. + b = ( + b ) - b 3 3 3 7. + b = ( + b) - 3b ( + b) 8. (x+).(x+β)= x + ( + b) x + b 3 3 3 9. + b + g - 3bg = ( + b + g )[( - b ) + ( b - g ) + ( g - ) ] 3 3 3 Αν +β+γ=0 ή =β=γ τότε : + b + g = 3bg - - - - 0. -b = ( - b )( + b +... + b + b ) Παρατήρηση Η ταυτότητα 9 είναι η ταυτότητα του Euler. Πολλές ασκήσεις λύνονται με τη βοήθεια της. Δείτε το επόμενο παράδειγμα. Παράδειγμα ( Άσκηση σελ 3 σχολικού βιβλίου ) Να αποδείξετε ότι : (χ-) 3 + (χ-4) 3 + (5-3χ) 3 = 3(χ-)(χ-4)(5-3χ) ύμφωνα με την ταυτότητα του Euler,αν θέσουμε α = χ-,β = χ-4,γ = 5-3χ Παρατηρούμε ότι : α + β + γ = χ-+χ-4+5-3χ = 0,οπότε : α 3 +β 3 +γ 3 = 3αβγÞ (χ-) 3 + (χ-4) 3 + (5-3χ) 3 = 3(χ-)(χ-4)(5-3χ) ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΕ ΜΕΘΟΔΟΙ ( ΥΝΕΠΑΓΩΓΗ ΙΟΔΥΝΑΜΙΕ ) Κάθε άσκηση ή πρόταση συνήθως διαχωρίζεται σε δυο ισχυρισμούς, την υ- πόθεση (Υ) και το συμπέρασμα (). Υπόθεση είναι τα δεδομένα της άσκησης, υμπέρασμα είναι μια πρόταση που προσπαθούμε να αποδείξουμε. Γενικά κάθε πρόταση που περιέχει υπόθεση και συμπέρασμα καλείται ΥΝΕΠΑΓΩ- ΓΗ. Η απόδειξη μιας συνεπαγωγής μπορεί να γίνει με διάφορες μεθόδους. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 3

η ΜΕΘΟΔΟ «ευθεία απόδειξη» Ξεκινάμε από την υπόθεση και με την βοήθεια γνωστών ιδιοτήτων και κανόνων προσπαθούμε να καταλήξουμε στο συμπέρασμα. Παράδειγμα : Να αποδείξετε ότι : αν + =, τότε α + =. α Υπόθεση εδώ είναι η : + =. Ξεκινώ λοιπόν από την υπόθεση και έχω : + = Þ ( α + ) = Þ α + α + α α = 4 Þ α α + + = 4 Þ α + =. Κατέληξα στο συμπέρασμα. α α η ΜΕΘΟΔΟ «απαγωγή σε άτοπο» Υποθέτουμε ότι δεν αληθεύει το συμπέρασμα (δηλαδή θεωρούμε ότι αληθεύει η άρνηση του συμπεράσματος ), και καταλήγουμε σε μια πρόταση που είτε δεν ισχύει είτε έρχεται σε αντίφαση με την υπόθεση. Παράδειγμα : Αν ρ ρητός και α άρρητος, να αποδείξετε ότι οι αριθμοί ρ+α, ρ-α είναι άρρητοι. Έστω ότι ρ +α ρητός. Δηλαδή ρ + α = ν μ, όπου μ, ν ακέραιοι, τότε α = ν μ - ρ, όμως έτσι προκύπτει ότι ο α είναι ρητός αφού είναι διαφορά δυο ρητών αριθμών. Άτοπο, αφού από υπόθεση ο α είναι άρρητος. Η υπόθεση μου ότι ο ρ + α είναι ρητός καταλήγει σε άτοπο άρα ρ + α άρρητος. ΑΚΗΕΙ 8. Να συμπληρωθούν τα παρακάτω. α. Αν α ¹ 0 τότε α 0 =. - β. Αν α ¹ 0 και νîν-{0} τότε α =.. γ. (α+β)(α-β)=. 3-8 δ. Αν α ¹ τότε : = +..+. - ε. 000 + 000 =.. + 00 στ. Αν νîν τότε (-) + (-) = Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 4

9. Να γίνουν οι πράξεις στις παραστάσεις: α) (χ-ψ)-3[5(χ-ψ)-(3χ-ψ)] β) (χ+ψ)(χ-ψ)+(ψ+ρ)(ψ-ρ)+(ρ-χ)(ρ+χ) γ) [χ (ψ - ρ ) 3 ] (χ ψ 4 ρ - ) -4 0. Να αναπτυχθούν οι ταυτότητες : α ) (α+β) β ) (α-β) γ ) (αβ-3) δ ) (α+3) 3 ε ) (α+β) 3 στ ) (α-β) 3 ζ ) (α-β)(α+β) η ) (χ -ψ )(χ +ψ ) θ ) 9κ -5. Με τη βοήθεια των ταυτοτήτων : α -β = (α-β)(α+β) και (α ± β), να υπολογίσετε τις παραστάσεις : α ) 98 0 β ) 00 γ ) 5,36 -,36 6,7. Αν α-β = να αποδείξετε ότι : α +β -αβ-4α+4β+3 = - 3. Αν α+β =, να αποδείξετε ότι : (α +β -) (αβ-) = 0 4. Αν α-β =, να αποδείξετε ότι : α 3 (-β)+β 3 (+α) = α+β 5. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις : α ) χ+6 β ) 8χ 3 +χ γ ) χ 5 +χ δ ) χ +χ ε ) χ 3 -χ στ ) 8χ -3χ 6. Ομοίως τις παραστάσεις : α ) 4χ -5 β ) χ 4 -ψ 4 γ ) 9β -6 δ ) α (3β+7) ε ) 9κ 00β στ ) χ +8χ+6 ζ ) 36χ +4χ+4 η ) χ +6χ+9 θ ) χ 4-4χ 3 +4χ 7. Να γίνει αντιστοίχηση των στοιχείων κάθε στήλης. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 5

τήλη Α τήλη Β. χ -ψ α.. x 3 -y 3 c -y β. χ -χ ψ+ ψ 3. 4. c 3 + y 3 γ. χ +χ ψ+ ψ c + y c -y 3 3 c -y c + y c + cy + y 4 4 c -y 5. c -y δ. χ +ψ ε. (χ-ψ) (χ+ψ) 8. Να γίνει γινόμενο η παράσταση α 4 +α +. 9. Να αποδείξετε τις σχέσεις: α) (α+) 3 -α(α+3) =3α+8 β) (α+ β) (α 3 -β 3 )-(α-β) (α 3 +β 3 )=αβ(α-β) (α+ β) γ) (α +β ) (γ +δ )=(α γ + β δ) (α δ -β γ) 0. Αν για τους α, β όπου α, β ¹ 0, ισχύει (α+ β) 3 =α 3 +β 3, τότε οι α, β είναι αντίθετοι.. Να αποδείξετε ότι: (χ-ψ) 3 +(ψ-κ) 3 +(κ-χ) 3 =3(χ-ψ)(ψ-κ)(κ-χ). Επίσης να λυθεί η εξίσωση (χ+) 3 +(3χ-5) 3 +(4-5χ) 3 =0. Έστω α ακέραιος. Αν ο α είναι περιττός, τότε να δείξετε ότι ο α είναι περιττός 3. Έστω α ακέραιος. Αν ο α 3 είναι περιττός, τότε να αποδείξετε ότι ο α είναι περιττός. 4. Να δειχθεί ότι ο 00 + είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του 7, δηλαδή ο 00 + είναι της μορφής 7κ όπου κîζ. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 6

.3 Η εξίσωση αχ+β = 0 Για να λύσουμε την εξίσωση ακολουθούμε το παρακάτω σχήμα : ì β ï α ¹ 0 Þ χ = - ï α αχ+β = 0 Þ í ï ìβ = 0 Þ Ταυτοτητα ïα = 0 Þ í î î β ¹ 0 Þ Αδυνατη Παράδειγμα Να λυθεί η παραμετρική εξίσωση : λ (χ-)+3λ = (χ+) ΒΗΜΑ Ο : την φέρνω στη μορφή αχ = β λ (χ-)+3λ = (χ+) Þ λ χ-λ +3λ = χ+ Þ λ χ χ = λ -3λ+ Þ (λ -)χ = λ -3λ+ ΒΗΜΑ Ο : διακρίνω περιπτώσεις για το α και το β. Αν λ λ - ¹ 0 Þ Η εξίσωση έχει λύση την :χ= Αν λ - = 0 Þ λ = ή λ = - - 3λ + λ - Για λ = Þ Η εξίσωση γίνεται : 0χ = 0 Ταυτότητα Για λ = - Þ Η εξίσωση γίνεται : 0χ = 6 Αδύνατη ΑΚΗΕΙ 5. Να λυθούν οι εξισώσεις: α. (χ+)(3χ-5)+-4χ =χ+ ε. (χ -6)(3χ-) = (χ+4)(3χ-) β. χ 3 +4χ +χ+4=0 στ. (χ-4) =3(χ-5) -(5χ-) γ. δ. 3 x + 8 3x - 6 +4χ=4 ζ. - + = 0 x + 4 - x x - x - 5x + 4 x + x + + = x + x - x - 4 Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 7

6. Ομοίως οι εξισώσεις α ) λ(λχ-)=(χ+) β ) (α -β )χ= α-β γ ) (λ 3 -)χ=λ- δ ) λχ = λ- ε ) λ χ-λ = 9χ +3λ στ ) λχ = λ +χ ζ ) (λ-)χ +(λ-)χ=0 η ) λ (χ-λ) =χ - θ ) λ -λ 3 χ = 4+8χ ι ) (λ+5)(λ-3)χ = λ-3 7. Να συμπληρωθούν τα παρακάτω: α. Αν (λ -4)χ-λ= έχει άπειρες λύσεις τότε λ= β. Αν η αχ+β=χ+3 έχει δυο τουλάχιστον λύσεις τότε α=.,β=. x - γ. Η = έχει λύση την χ=. x + 8. Να σημειωθεί η σωστή απάντηση σε κάθε πρόταση. α ) Αν η (λ -)χ= λ 3 - είναι αδύνατη, τότε ο λ είναι ίσος με: ι) ιι) - ιιι) ιν) τίποτα απ τα παραπάνω β ) Αν η εξίσωση αχ+β=0 είναι αδύνατη, τότε η βχ+α=4β είναι: ι) ταυτότητα ιι) αδύνατη ιιι) έχει λύση ιν) τίποτα απ τα παραπάνω γ ) Αν η λχ+=χ+λ έχει λύση διάφορη από το τότε είναι : ι) αδύνατη ιι) αόριστη ιιι) ο λ παίρνει κάθε πραγματική τιμή ιν) έχει ακριβώς μια λύση δ ) Αν η (α +β )χ+αβ=0 είναι ταυτότητα, τότε: ι) α ¹ 0 ή β ¹ 0 ιι) αβ ¹ 0 ιιι) α=0 ή β=0 ιν) α=0 και β=0. 9. ε μια συνάντηση υπάρχουν τριπλάσιοι άντρες από ότι γυναίκες. Κάποια στιγμή φεύγουν 4 άντρες με τις συζύγους τους και οι άντρες τώρα είναι τετραπλάσιοι από τις γυναίκες. Να βρείτε τον αριθμό των αντρών και των γυναικών πριν την αναχώρηση. 30. Το άθροισμα των ψηφίων ενός διψήφιου αριθμού είναι 8. Αν αντιστρέψουμε τη σειρά των ψηφίων προκύπτει διψήφιος αριθμός μικρότερος κατά 8. Να βρεθεί ο αρχικός διψήφιος. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 8

.4 ΔΙΑΤΑΞΗ Οι βασικές ιδιότητες των ανισοτήτων είναι :. α > β Û α-β >0. α > β και β > γ, τότε α > γ ( μεταβατική ) 3. α > β Û α + γ > β + γ 4. α > β Û ìg > 0 Û g > b g í îg < 0 Û g < b g ì + g > b + d 5. α > β και γ > δ τότε í î, b, g, d > 0 Þ g > b d 6. α, β >0 και νî À τότε 7. α, β ομόσημοι τότε : α<β Û ì = b Û í î > b Û > b = b > b ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΟΤΗΤΩΝ η ΜΕΘΟΔΟ «της διαφοράς» Μετασχηματίζουμε την αρχική σχέση Α > Β στην Α Β > 0 και με πράξεις φτάνουμε σε μια προφανή σχέση. Παράδειγμα : Να αποδειχθεί η ανισότητα : + b ³ b. Αρκεί να δείξω ότι : α +β -αβ είναι μεγαλύτερο ή ίσο του μηδέν. Έχουμε : α +β -αβ = (α-β) ³ 0, είναι ίσον με το μηδέν όταν α = β η ΜΕΘΟΔΟ «συνθετική» Παρατηρούμε ποιες απλές ανισότητες παρουσιάζονται στην ζητούμενη ανισότητα και συνθέτοντας την υπόθεση μας καταλήγουμε στην ζητούμενη σχέση. Παράδειγμα : Αν ισχύει α < β, να δείξετε ότι : 3α-4γ < 3β -4γ Ξεκινώ από την υπόθεση και συνεχίζω με τις ιδιότητες των ανισοτήτων. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 9

α < β Þ 3α < 3β (γιατί 3 > 0 ) Þ 3α + (- 4γ) < 3β + ( -4γ) Þ 3α 4γ < 3β 4γ Καταλήξαμε στο ζητούμενο. 3 η ΜΕΘΟΔΟ «γραμμικού μετασχηματισμού» Αν στην υπόθεση μας δίνονται μια ή περισσότερες σχέσεις, τότε τις μετασχηματίζουμε σε σχέσεις ισότητας και με πράξεις καταλήγουμε στην ζητούμενη σχέση. Παράδειγμα :Αν α + β =, να αποδείξετε ότι : α β. Μετασχηματίζω την αρχική σχέση : α = β. Αρκεί να δείξω ότι : αβ- 0. ύμφωνα με τη μέθοδο έχω : αβ = (-β)β = β-β - = - (β-) 0 Είναι ίσο με μηδέν όταν β =. ΑΚΗΕΙ 3. Να χαρακτηριστούν ως ωστές ή άθος οι παρακάτω προτάσεις: Αν ν ÎΝ-{0} τότε α=β Û α α>β και γ>δ τότε αγ>βδ αγ >βγ, τότε α>β α>β και γ>0 τότε αγ>βγ Αν α > τότε α> Αν α +β =0 τότε α=β=0 Αν α<β<0 τότε > Αν > τότε α>β b b Αν -<α<3 τότε 4<α <9 = b 3. Αν α > -, να αποδείξετε ότι : 4 + α > + α 33. Αν α > - > β, να αποδείξετε ότι : + α + β +αβ < 0 Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 0

α 3 34. Αν α -, να αποδείξετε ότι : + 4 α + α 35. Να αποδείξετε ότι ισχύει η σχέση: α +β +γ ³4(α-β+γ-6) 36. Να δειχθεί ότι: α) χ +ψ ³χψ, όπου η ισότητα ισχύει για χ =ψ β) (α +β )(β +γ )(γ +α ) ³8, όπου α, β, γ θετικοί και αβγ= 37. Να αποδειχθεί ότι (α+ β) ³4αβ, όπου το ίσον ισχύει όταν α =β. Από ό- λους τους αριθμούς α, β που έχουν άθροισμα 00, να βρεθούν εκείνοι που έχουν μέγιστο γινόμενο. 38. Αν α+β = 4, να αποδείξετε ότι : ι ) αβ 4 ιι ) α +β ³ 8 39. Αν - α και - β 0, να βρεθεί μεταξύ ποιών αριθμών περιέχονται οι τιμές των παραστάσεων: α) 3α- 4β β) α + β 40. Αν < α 3 και 3 < β 4, να βρείτε μεταξύ ποιών αριθμών περιέχεται η τιμή των παρακάτω παραστάσεων : ι ) α + β ιι ) α-β ιιι ) β α ιν ) α +β 4. Να λυθούν οι ανισώσεις: α) λχ > λ+χ β) χ+> x x x 0 + x 5 - x + + γ) - > 3 6 5 4 δ ) λχ < 5λ ε ) χ+6λ ³ 4λχ+ στ ) λ +χ -λχ 4. Να δειχθούν οι παρακάτω σχέσεις: α) 4α -4α+3>0 β) α +β +5 ³6α+8β 43. Να δειχθεί η σχέση: α +β +γ +α β+ β γ+ α γ³0 44. Αν α> και β>3, να δειχθεί ότι: αβ+6>3α+β Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού

45. Αν -<α<, να δειχθεί ότι α < 46. Αν α, β, γ, δ>0 με αβγδ=, τότε να δειχθεί : (α +β )(γ +δ ) ³4 47. Αν χ, ψ, κ >0, να δειχθεί ότι (χ+ψ+κ)( + + ) ³9. x y k 48. Αν για τους α, βîr ισχύει α +α β+ β =, να αποδειχθεί ότι - α β 3. 49. Να δειχθούν οι σχέσεις: α) Αν 0<α<, τότε α <α, για κάθε ν> β) 3 00 + 00 00 4 < 5 50. ε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ, να δειχθεί ότι : α +β +γ <αβ+βγ+αγ..6 ΑΠΟΥΤΑ Για τα απόλυτα ισχύουν τα παρακάτω :. ì, ³ 0 = í 7. x θ Û - θ x θ, θ >0 î-, < 0. ³0 για κάθε αî Â 8. x ³θ Û x ³θ ή x -θ, θ >0 3. - α 9. b = b 4. = α 0. = b b 5. x =θ και θ >0 Û x = ± θ. - b + b 6. x = Û x = ± α ΑΚΗΕΙ 5. Να γραφούν χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής : + b Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού

Α = x + Β = 3 - x + Γ = 4 x + Δ = - + α - α Ε = α + 3 5. Να γραφούν χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής : Α= +χ- x - Β = 4 - x - x + 4 Γ = x - + - x 53. Να χαρακτηριστούν ως ωστές ή άθος οι παρακάτω παραστάσεις :. Αν α =β, τότε = b. Αν =, τότε α= 3. Αν = -α, τότε - =α 4. Αν + b =0, τότε α=β=0 5. Αν = b, τότε α=β 6. Ισχύει - b = - b 7. x - = - x 8. Αν x <, τότε χ < ή χ > - 9. Αν x > 3, τότε χ >3 και χ < -3 0. 3 + x = x + 3. Αν χ <, τότε 3 - x = x - 3. Αν x - ψ = 0, τότε χ ψ = 0 54. Να λυθούν οι εξισώσεις : α) x - = 7 β) x +χ= γ ) 3 x + = 3x + δ ) 3 x - 4 = 5 ε ) - x = 4 στ ) - x +- x =3 5 - - 3x ζ ) x + 4 = - η ) = 0 6 55. Ομοίως : α ) x + = β ) x - 3 = 3 γ ) 3 - x = Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 3

56. Να λυθούν οι εξισώσεις : α ) 3 x + x - x + + = 3 3 β ) - x + - x + = 5 3 x - + 9-3 x - x - γ ) + + = - x - 4 3 57. Να λυθούν οι ανισώσεις: α) x 3 β) x - 3 γ) x + < 3 δ ) x - > 4 ε ) - x + 4 < 5 στ ) 3 x 5 ζ ) x ³-3 η ) < x - 4 58. Ομοίως : x + 3 ( x + ) α ) - x - 5 3 3 - x - 3 - x - 8 β ) - 3 - x > + 3 3 59. Ομοίως : α ) x - β ) x + - 4 < 3 γ ) + x - > δ ) - x ³ 4 60. Αν ισχύουν x,, b 3, να δειχθεί ότι α ) x - + 3b 4 β ) x - 3 γ ) x + 4 6. Αν x < 3 και y <, να αποδείξετε ότι : α ) x + y < 7 β ) 4 y - x - < 6 γ ) 3x - 8y - x + y < 65 6. Να αποδείξετε ότι : Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 4

i ) x + y = x + y, αν και μόνο αν xy ³ 0 ii ) x + y = x - y, αν και μόνο αν xy 0 iii ) x + y = x - y, αν και μόνο αν xy = 0 63. Να λύσετε τις εξισώσεις : α ) χ+3 x -0 = 0 β ) χ- x + = 0 64. Να λυθούν οι ανισώσεις : α ) 3 x - ³ x + β ) - x < x γ ) 3 x + > x - 65. Αν α, β, γ θετικοί πραγματικοί να βρεθεί η μεγαλύτερη τιμή της παράστασης b g Κ = + + b g 66. Αν ισχύουν α +β +γ =30 και αβ+βγ+γα=7, να δειχθεί ότι + b + g =8. 67. Αν α+β+γ=, να δειχθεί ότι - + - b + - g ³.7 ΙΔΙΟΤΗΤΕ ΡΙΖΩΝ Οι κυριότερες ιδιότητες των ριζών είναι :. = 4. = b b, α, β ³0. = α, β ³0 5. = α, α ³0 b b 3. =, α ³0 6. m m r m r = m, α³0 Η ΕΞΙΩΗ : x = Διακρίνουμε τις περιπτώσεις : Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 5

ν άρτιος και α >0 à x = Û x = ± ν άρτιος και α <0 à x = Û η εξίσωση είναι αδύνατη. ν περιττός και α >0 à x = ν περιττός και α <0 à x = Û x = Û x = - χόλιο : Θυμίζουμε επίσης την ιδιότητα : α m m =, μ, ν À Î. ΑΚΗΕΙ 68. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις : α ) ( x - ), όταν χ β ) ( 3 x - ), όταν χ > 3 γ ) ( x + ), όταν χ - δ ) ( - b) 69. Να χαρακτηριστούν ως ωστές ή άθος οι παρακάτω προτάσεις:. =α. 4 = 3. 4 =α 4. Οι 5 + και 5 - είναι αντίστροφοι 5. =α 6. Αν α³ 0, τότε 4 3 3 4 = 7. Η χ 0 = έχει μια πραγματική λύση 8. Η χ 0 = -, είναι αδύνατη. 9. Η χ 0 = -χ, έχει δυο πραγματικές ρίζες 70. Να συμπληρωθούν τα παρακάτω α) δ) ζ ) - 6 + β) 5 ε) 3 - η ) 3 3 3 - γ ) στ ) 5 3 - + Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 6

7. Να αποδείξετε ότι : α ) 4 4-5 5-4 + 5 = β ) (5-7) + (5 + 7) = 6 8 5 7. Αν χ = 5 - α ) χ + x, να υπολογίσετε τις παραστάσεις : β ) χ - x γ ) χ -( x ) 73. Να γίνουν οι αντιστοιχήσεις τήλη Α τήλη Β. 4 α.. 6 β. 3. 5 6 3 γ. 4. 6 3 64 δ. 3 5. 3 4 8 ε. 4 74. Να βρείτε τα εξαγόμενα : α ) 50 + 3-8 β ) (4+ 6) (3-5 3) β ) ( 50-8 00 + 7 450) 0 6 75. Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις με τη μορφή μιας ρίζας : α ) β ) 4 3 γ ) 3 4 δ ) 3 ε ) 4 3 4 8 b στ ) 3 4 ζ ) 3 3 3 4 3 76. Να βρείτε τα εξαγόμενα : 3 6 α ) β ) 3 4 γ ) 3 3 4 Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 7

77. Να δειχθεί ότι: 4 3 α) 4 < 3 β) + 3 < 0 78. Να συγκριθούν οι αριθμοί : α ) 5, 3 + 3 β ) - 5, 0-6 γ ) 3 4 5, 3 5 79. Να συγκριθούν οι αριθμοί + +, +,όπου α>. 80. Να βρεθεί ο χ ÎR, ώστε οι αριθμοί χ + 5, χ - 5 να είναι αντίστροφοι. 8. Αν για τους α, βîr και είναι θετικοί, ισχύει α+β=να δείξετε ότι : ( + b ) +( - b ) =5 8. Αν ισχύει χ+ ψ= + 4 και χ-ψ=, να δειχθεί ότι χψ=. 83. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: α) χ 4 =4χ β) 5 x =8χ γ ) χ 5 +3 =0 δ ) χ 4-6 =0 ε ) χ 3 +χ =0 στ ) χ 4 +χ =0 ζ ) χ 4 +8χ =0 η ) χ 0 +χ 3 =0 θ ) (4χ+χ 7 )(χ 8-56) = 0 ι ) (χ 3-343)(χ 8 +χ)=0 Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 8