Γραμμικά και μη γραμμικά συστήματα Αριθμητική προσέγγιση k m F(t)=F o cos(ωt) c Θέση ισορροπίας x K=σταθερά ή όχι Ιδιοσυχνότητα του συστήματος ω 0 Συχνότητα εξωτερικής διέγερσης ω 1
Παραδείγματα (γραμμικά & μη γραμμικά)
Παραδείγματα (μη γραμμικά) Μετεωρολογία, Καρδιολογία, το πρόβλημα των τριών σωμάτων, κ.α 3
Eξισώσεις γραμμικών συστημάτων m dx c dx kx Ft dt + dt + = ( ) Εξωτερική διέγερση F(t), π.χ F(t)=Acos(ωt) Iδιοσυχνότητα συστήματος ~k/m Xαρακτηριστική απόσβεσης του συστήματος c/m 4
Απόκριση συστήματος αδρανειακών μαζών στροφικών ελατηρίων I d θ 1 ( ) 1 = k 1 θ θ1 dt d θ I = k 1 θ1 θ + k θ3 θ dt Γραμμικό δυναμικό σύστημα ( ) ( ) I d θ dt 3 3 = k θ3 ( θ ) 5
Αδιαστατοποίηση Ανεξάρτητες μεταβλητές: χρόνος t Εξαρτημένη μεταβλητή x d x dt ktn m T n = =1 m k ct dx kt n n Tn + [ ] + x = F(πωΤ m dt m mx0 d x dt ζ = k c Κλίμακα αδιαστατοποίησης χρόνου T n Κλίμακα αδιαστατοποίσης απόκλισης x 0 n t) dx Tn ω + ζ Τn + x = F( t) dt mx ω 0 n 6
Μέθοδοι επίλυσης Πεπερασμένες διαφορές - Runge Kutta ïoè ÒÔÈÙÁÚ. ƒ.. ÍflÌÁÛÁÚ È ÍÒÈÙÔðÔÈÔ ÌÙ È Ï ÍÒfl ÂÈ ÁÚ Ù ÓÁÚ: d x xi 1 xi + x dx x + i 1 i+ 1 x i 1 = Í È = dt Δ t dt Δt à Êfl Ï ÙÈÚ œ.. xí 0 =1 Í È (dxí/dtí) t=0 =(T n /x 0 ).(dx/dt) t=0 (1ÁÚ Ù ÓÁÚ È ÍÒ.) Á..ƒ. ÍflÌÁÛÁÚ ÂflÌ È: P x + Q x + R x = f[( i ) Δt] i+ 1 i i 1 È ÂΠËÂÒÁ Ù Î ÌÙ ÛÁ ÙÔ ƒ.ã. flìâù È 0. Ã Û œ.. ÂflÌ È Ì ÛÙ Ù x 1, x. MÂ Ì ÛÙfi ÙÁ ÛıÌ ÒÙÁÛÁ ÙÁÚ ÂÓ ÙÂÒÈÍfi Ì ÏÁÚ, ÏðÔÒÂfl Í ÌÂflÚ Ì ıðôîô flûâè ÎÂÚ ÙÈÚ ÎÎÂÚ ÙÈÏ Ú ÙÁÚ ÛıÌ ÒÙÁÛÁÚ x(t). 7
Μετασχηματισμός δ.ε. ης ΤΑΞΗΣ σε ισοδύναμο σύστημα δ.ε. 1ης ΤΑΞΗΣ Μεταβλητές αντικατάστασης: ισοδύναμο σύστημα δ.ε.: Οριακές συνθήκες: για g g f g = f 1 dg dt dg dt 1 =, 1 t g ζω 0 g + ω 0 g1 = = x + = 0 : g = 1, g 1 = = H ( t) 0 8
9 Διακριτοποίηση ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ RUNGE - KUTTA 4ης ΤΑΞΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ δ.ε. ( ) h k k k k 6 1 y y 4 3 1 i 1 i + + + + = + ), ( ) 1, 1 ( ) 1, 1 ( ), ( 3 4 3 1 1 k h y h x f k k h y h x f k k h y h x f k y x f k i i i i i i i i + + = + + = + + = = x i x i h = +1
Ταλάντωση εκκρεμούς y φ F R l φ x m G F l F = G*sin φ = m* g*sinφ a R = m l l d d dt dt φ φ = m g sinφ d φ + ω 0 sinφ = dt 0 ω ο = g l 10
Εξίσωση ταλάντωσης εκκρεμούς sin d dt φ = φ φ 3 3! + φ 3 5 ωο φ 5 5! φ + *( φ + φ...) = 0 3! 5!... Προσοχή: Μη γραμμικό δυναμικό σύστημα Γραμμικόςόροςω 0 φ Μη γραμμικός όρος ω 0 φ 3 Για μικρές αποκλίσεις φ, το δυναμικό σύστημα είναι γραμμικό...αλλά για μεγάλες αποκλίσεις φ, μη γραμμικό! 11
Χαρακτηριστικά δυναμικών συστημάτων Τα δυναμικά συστήματα εξελίσσονται στον χρόνο Διακρίνονται σε γραμμικά και μη γραμμικά Έχουν μια παράμετρο ελέγχου (π.χ εξωτερική συχνότητα διέγερσης, αριθμός Reynolds ροής, παράμετρος μη γραμμικότητας, κ.λπ) Η συνήθης μέχρι σήμερα διερεύνηση των ήταν «ως γραμμικά» Η κατάσταση ισορροπίας είναι μη συνήθης κατάσταση, ενώ η κατάσταση μακράν της ισορροπίας είναι ο κανόνας (Prigogine) 1
ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Ελεύθερη ταλάντωση χωρίς απόσβεση (ζ=0, Η(t)=0) 1,5 1 0,5 0-0,5-1 t -1,5 13
Εξαναγκασμένη ταλάντωση χωρίς απόσβεση (Η(t)=Hcos(ωt),ζ=0) 1,5 1 0,5 0-0,5-1 t -1,5 14
Εξαναγκασμένη ταλάντωση χωρίς απόσβεση - διακροτήματα (Η(t)=Hcos(ωt),ζ=0) 15 10 5 0-5 -10-15 0 50 100 150 00 50 300 15
Εξαναγκασμένη ταλάντωση χωρίς απόσβεση συντονισμός (Η(t)=Hcos(ωt),ζ=0,ω=ω0) 0 15 10 5 0-5 -10-15 -0 Φαινόμενο συντονισμού (ω=ω 0 ) 0 5 10 15 0 5 30 35 40 45 50 16
Ελεύθερη ταλάντωση με απόσβεση (Η(t)=0, ζ<1) (περίπτωση υποαπόσβεσης) 1, 1 0,8 0,6 0,4 0, 0-0, -0,4-0,6-0,8 ζ=0,5 ζ=0,15 17
Ελεύθερη ταλάντωση με απόσβεση (Η(t)=0, ζ>1) (περίπτωση υπεραπόσβεσης) 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, Ελεύθερη κίνηση εκρεμούς με απόσβεση για ζ>1 ζ=1 ζ= ζ=5 0,1 0 0 5 10 15 0 5 30 35 40 45 50 18
Χώρος φάσεων Ελεύθερη ταλάντωση με απόσβεση dx/dt 19
Μελέτη επίδρασης αριθμητικής παραμέτρου και για άλλες περιπτώσεις. π.χ. Εξαναγκασμένη ταλάντωση με απόσβεση(h(t)=hcost) 1, 1 0,8 0,6 0,4 0, 0-0, -0,4 Στο παραπάνω διάγραμμα εικονίζονται οι αριθμητικές λύσεις της εξίσωσης x``+x`+x=cos(3t). Η κίτρινη γραμμή αντιστοιχεί σε χρονικό βήμα dt=0.5sec,η ροζ σε χρονικό βήμα dt=0.1sec και η μπλε σε χρονικό βήμα dt=0.01sec.προφανώς και εδώ καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι η αριθμητική λύση της δ.ε. δεν επηρεάζεται από τι χρονικό βήμα όταν dt<0.1sec ενώ για dt>0.5sec μέθοδος δίνει αποτελέσματα εκτός πραγματικότητας 0
Εξαναγκασμένη (αρμονική διέγερση) ταλάντωση με απόσβεση (H(t)=Hcos(ωt),ω 0 =1,ω=3,Η=1,ζ=1) u(m/sec) διάγραμμα φάσεων x(m) Οριακόςκύκλοςισορροπίας 1
ΜΕΡΟΣ Β ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΧΑΟΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ ΤΩΝ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ m d dt x 1 3 + kx μkx 6 = 0 Εξίσωση Duffing μ παράμετρος μη γραμμικότητας
Χαοτική απόκριση-διάγραμμα φάσεων συστήματος Duffing (εξαναγκασμένη ταλάντωση με μη γραμμικό όρο) Αρχικές συνθήκες:x(0)=3,v(0)=4 4.00.00 0.00 -.00 8.00 4.00 0.00-4.00-4.00-8.00 0.00 10.00 0.00 30.00 40.00 50.00-4.00 -.00 0.00.00 4.00 3
Χαοτική απόκριση -διάγραμμα φάσεων συστήματος Duffing με εξίσωση: x``+ 0.1x`+ 0.5x + x 3 = 10cost + 5sint Αρχικές συνθήκες:x(0)=3,v(0)=4 4.00.00 0.00 -.00 8.00 4.00 0.00-4.00-4.00-8.00 0.00 10.00 0.00 30.00 40.00 50.00-4.00 -.00 0.00.00 4.00 4
Μεταβολή απόκρισης για μικρές αλλαγές των αρχικών συνθηκών σε χαοτική απόκριση συστήματος Duffing H μπλε γραμμή αντιστοιχεί σε αρχικές συνθήκες x(0)=3,v(0)=4 H ροζ γραμμή αντιστοιχεί σε αρχικές συνθήκες x(0)=3.01,v(0)=4.01 4 3 1 0-1 - -3-4 Αποκλιση τροχιών, Χαοτικός χρόνος Τ, Δε Τ =10 Δε 0 5
Ευαίσθητη εξάρτηση από αρχικές συνθήκες Τα μη γραμμικά συστήματα έχουν ευαίσθητη εξάρτηση από τις αρχικές συνθήκες Θετικούς εκθέτες Lyapunov δε=δε 0 e λt 6
Επίδραση μη γραμμικής δύναμης Όσο μεγαλύτερη η μη γραμμικότητα, τόσο μικρότερος ο χαοτικός χρόνος 7
Τάξη μέσα σε αταξία 8
Χώρος φάσεων μη γραμμικού συστήματος 9
Χώρος φάσεων - Παράξενος ελκυστής 30
Πόσο καλά γνωρίζουμε τις αρχικές συνθήκες του προβλήματος x x + 4x = ± 3 7 = 0 Με πόσο πλήθος δεκαδικών ψηφίων γνωρίζω τη λύση; Πόσο καλά γνωρίζω τις αρχικές συνθήκες ροής σε σωλήνα; Πόσο καλά γνωρίζω τις θέσεις των πλανητών; Πόσο καλά γνωρίζω τον καιρό τώρα; 31
Τομές Poincare Οι τομές Poincare είναι ένας τρόπος ποσοτικοποίησης της χαοτικής απόκρισης. Μια τομή Poincare αντιστοιχεί σε ένα διάγραμμα φάσεων μόνο που δεν εικονίζονται όλα τα σημεία των τροχιών σε αυτό,αλλά αυτά που αντιστοιχούν σε ακέραιο πολλαπλάσιο μιας χρονικής σταθεράς. Οι ελκυστές είναι είτε σημεία ισορροπίας είτε οριακοί κύκλοι στους οποίους συγκλίνουν οι τροχιές των αποκρίσεων των συστημάτων. Όταν,όμως,οι τροχιές ενός συστήματος δεν είναι περιοδικές όπως συμβαίνει στα χαοτικά συστήματα τότε οι ελκυστές δεν συγκλίνουν κάπου και εμφανίζονται να έχουν πιο σύνθετη γεωμετρική στροβοσκοπική παρουσίαση τροχιών. 3
Τομή Poincare 33
Αλεπούδες και Λαγοί Μη γραμμικό δυναμικό σύστημα Lotka - Volterra dr dt df dt = αr βrf = γ f + δrf ri + = ri + ( αri β 1 ri fi ) Δt f r i+1 i+1 r Δt Δt f i f = αr βr i i i i i f = γ f + δr + 1 = fi + ( γfi + δri fi ) Δt i i f i 34
Αποτελέσματα Πληθυσμός 500 450 400 350 300 50 00 150 100 Λαγοί Αλεπόυδες 50 0 0 5 10 15 0 5 t (έτη) 35
Διάγραμμα φάσεων Λαγοί 350 300 50 00 150 100 50 Διασπορά των Πληθυσμών για βήμα διακριτοποίησης DT=1./64. και διάφορες αρχικές συνθήκες για 100 Χρόνια 01 Αλεπούδες-199 Λαγοί 05 Αλεπούδες-195 Λαγοί 10 Αλεπούδες-190 Λαγοί 50 Αλεπούδες-150 Λαγοί 151 Αλεπούδες-99 Λαγοί 156 Αλεπούδες-318 Λαγοί 150 Αλεπούδες-150 Λαγοί 0 0 100 00 300 400 500 600 Αλεπούδες 36
Σύστημα πρόβλεψης καιρού -Lorenz (, ) ( x, z) ( Ψ, θ) ( x, z) Δ Η Ψ Ψ Ψ = t θ t 4 + ν Ψ + T Ψ = + + κ x gα θ x Ø = ñïúêþ óõíüñôçóç, è = äéáöïñü èåñìïêñáóßáò áðü ôç èåñìïêñáóßá ôïõ óõóôþìáôïò ãéá ôçí ðåñßðôùóç ìç óõíáãùãþò, g = åðéôüxõíóç ôçò âáñýôçôáò, á = óõíôåëåóôþò èåñìéêþò äéáóôïëþò, í = êéíçìáôéêþ óõíåêôéêüôçôá, ê = èåñìéêþ áãùãéìüôçôá. θ 37
Ανάπτυξη κατά Fourier - Aποκοπή όρων dx = σ X + σ Y dτ dy = X Z + r X Y dτ dz = X Y b Z dτ ô = ð Ç - (1+á )êt åßíáé ï áäéüóôáôïò χñüíïò, ó = ê -1 í åßíáé ï áñéèìüò Prandtl, r = Ra/R c êáé b = 4(1+á ) -1 Óå áõôýò ôéò åîéóþóåéò ôï X åßíáé áíüëïãï ðñïò ôçí Ýíôáóç ôçò óõíáãùãþò, ôï Y åßíáé áíüëïãï ðñïò ôçí äéáöïñü èåñìïêñáóßáò áíüìåóá óôá áíåñχüìåíá êáé êáôåñχüìåíá ñåýìáôá êáé ôï Z åßíáé áíüëïãï ðñïò ôçí äéáôáñáχþ ôïõ êüèåôïõ ðñïößë èåñìïêñáóéþí áðü ôç ãñáììéêüôçôá. Z > 0 óçìáßíåé üôé ïé éóχõñüôåñåò êëßóåéò èåñìïêñáóßáò ëáìâüíïõí χþñá êïíôü óôá óýíïñá. 38
Αποτελέσματα - Παράξενοι ελκυστές Τομές X-Y και X-Z 39
Ο παράξενος ελκυστής 40
Χαρακτηριστικά μη γραμμικών δυναμικών συστημάτων Åõáéóèçóßá óôéò Áñ éêýò ÓõíèÞêåò: Ôá áïôéêü óõóôþìáôá ìïëïíüôé íôåôåñìéíéóôéêü äåí åßíáé ðñïâëýøéìá, êáèþò ìéá ìçäáìéíþ äéáöïñïðïßçóç óôéò áñ éêýò óõíèþêåò ìðïñåß íá äþóåé åíôåëþò äéáöïñåôéêþ áðüêñéóç. Ôï ãåãïíüò áõôü ãßíåôáé áêüìá ðéï áéóèçôü óå óõóôþìáôá ìå ðïëëïýò â.å. (ð.. Ìåôåùñïëïãßá). Áíáöåñüìåíïò óôç áäõíáìßá ðëþñïõò ðñüâëåøçò ôùí êáéñéêþí óõíèçêþí ï Lorenz åßðå ïôι ôï ìç ãñáììéêü óýóôçìá ôïõ êáéñïý åßíáé ôüóï åõáßóèçôï óå áñ éêýò óõíèþêåò þóôå ôï öôåñïýãéóìá ìéáò ðåôáëïýäáò óôç Âñáæéëßá íá ðñïêáëåß êáôáéãßäá óôç Í. Õüñêç!! ÊñõììÝíç ÔÜîç: ÐáñÜ ôçí áêáíüíéóôç áðüêñéóç ôïõò, ïöåéëüìåíç óôï ìç ãñáììéêü áñáêôþñá ôïõò, ôá áïôéêü óõóôþìáôá ðáñïõóéüæïõí êüðïéá ïñãáíùìýíç äïìþ ç ïðïßá ãßíåôáé Ýêäçëç ìå ôç Üñáîç åëêõóôþí óôï ðåäßï ôùí öüóåùí, ôïí õðïëïãéóìü fractal äéáóôüóåùí, ôç ëþøç ôïìþí Poincare. 41
Τα πειράματα του Osborne Reynolds (Manchester, 1850) Ροή σε σωλήνα κυκλικής διατομής Παράλληλη ροή για Re μέχρι και 40000 Στατιστικά μετάβαση στρωτής ροής σε τυρβώδη σε Re 300 Μείωση του Re από τυρβώδη σε στρωτή 300 4
Ροή Couette Taylor Ροή μεταξύ δύο στρεφομένων κυλίνδρων 43
Ροή σε κοίλη επιφάνεια (στρόβιλοι Gotler) 44
Γραμμέςροήςσεαπότομηδιεύρυνση (διδιάστατος αγωγός) RE=75 RE=5 RE=300 RE=550 45
Διακλαδώσεις (παράμετρος ελέγχου Re) X X1 X3 X4 L 46
Θερμική συναγωγή 47
Αυτο-ομοιότητα Πόσο είναι το μήκος των ακτών της Ελλάδας; 48
Κλασματομορφή (fractal) Προέρχεται από το Λατινικό fractus που σημαίνει σπασμένο και προτάθηκε από τον Mandelbrot Εκφράζει εξαιρετικά ανώμαλες καμπύλες ή σχήματα που επαναλαμβάνουν τον εαυτό τους σε κάθε κλίμακα που εξετάζονται (αυτο-ομοιότητα σε όλες τις κλίμακες) Κάθε μορφή με διάσταση μη ακέραια τιμή (0,1,,3) αποτελεί κλασματομορφή. Η κλασματική διάσταση εισήχθη το 1918 από τον Μαθηματικό Hausdorf Tα βουνά, οι ποταμοί, οι βρόγχοι, οι πνεύμονες είναι κλασματομορφές 49
Αυτο-ομοιότητα 50
Πως υπολογίζεται η κλασματική διάσταση Ν=4 Ν=16 D=1 Ν=64 D= D=3 Ν=S^D D=logN/logS 51
Καμπύλη του Koch Ν=4, ε=1/3 Ν=16, ε=1/9 Ν n =4 n, ε n =1/3 n Aυτο-ομοιότητα Κλασματική διάσταση D=log(N n )/log(1/ε n ) D=-log4/log3=1,618 L=lim N n.ε n =άπειρο 5
Αυτο-ομοιότητα Τρίγωνα Seirpinski Ν=3, S= N=7, S=8 D=logN/logS D=1,58 53
Αυτο-ομοιότητα N=5,S=3 N=5, S=9 D=log5/log3=1,46 N=S^1,46 54
Εκθέτης Lyapunov ΟεκθέτηςLyapunov χαρακτηριστικός εκθέτης δυναμικών συστημάτων χαρακτηρίζει τον ρυθμό απομάκρυνσης δύο αρχικά απειροστά πλησίον τροχιών. Θετική τιμή δείχνει οτι υπάρχει ευαίσθητη εξάρτηση από αρχικές συνθήκες. Θετική τιμή του εκθέτη Lyapunov δείχνει αδυναμία να προβλέψουμε το δυναμικό σύστημα. Στα χαοτικά συστήματα, ποιοτικά δύο τροχιές με μικρή απόκλιση στο χώρο των φάσεων αποκλίνουν. Οι παράξενοι ελκυστές έχουν ένα τουλάχιστον θετικό εκθέτη Lyapunov. Δε=Δε 0 e λt 55
Ελκυστής Δυναμικά συστήματα γραμμικά με απόσβεση έχουν ελκυστές είτε σημείο (ισορροπία), είτε οριακό κύκλο. Χαοτικά δυναμικά συστήματα έχουν παράξενους ελκυστές στο χώρο των φάσεων, όπου τα σημεία δεν επαναλαμβάνονται (οι τροχιές δεν τέμνονται), αλλά παραμένουν στη ίδια περιοχή. Οι παράξενοι ελκυστές έχουν κλασματική διάσταση. 56
Χάος-Ι Ο αρχαιότερος των θεών Κατάσταση εξαιρετικής σύγχυσης και αταξίας Δυναμικό σύστημα που είναι εξαιρετικά ευαίσθητο στις αρχικές του συνθήκες Φαινομενική τυχαιότητα της οποίας η αρχή είναι εξ ολοκλήρου ντετερμινιστική. Κατάσταση αταξίας και ανωμαλίας της οποίας η εξέλιξη στον χρόνο αν και υπακούει σε απλούς νόμους είναι ιδιαίτερα ευαίσθητη στις αρχικές συνθήκες. Μικρή αλλαγή αρχικών συνθηκών δημιουργεί εξαιρετικά διαφορετικές καταστάσεις, έτσι ώστε η μακροχρόνια πρόβλεψη να μην είναι δυνατή. Προσπάθειες γίνονται για την ανακάλυψη της στατιστικής ομοιομορφίας που είναι κρυμμένη στο χάος Η χαοτική κίνηση είναι απεριοδική και προέρχεται από δυναμικά συστήματαντετερμινιστικά με ευαίσθητη εξάρτηση από τις αρχικές συνθήκες. 57
Χάος-ΙI Ο Νεύτωνας και η εποχή του, με τους νόμους τους, υπήρξαν οι θεμελιωτές του ντετερμινισμού, παρουσιάζοντας την εξέλιξη του κόσμου ως κινηματογραφική ταινία που παίζεται και μπρός και πίσω(συμμετρία ως προς τον χρόνο). Ο Prigogine έδειξε οτι σύνθετες καταστάσεις προκύπτουν ως εξέλιξη απλών, χωρίς αναστρεψιμότητα. Ο Poincare θεωρείται ο πατέρας του Χάους αν και απέτυχε να πάρει το βραβείο του King Oscar της Φιλανδίας αποδεικνύοντας το το ηλιακό σύστημα είναι ευσταθές!. Ευτυχώς γιατί δεν είναι!! Ο Lorenz (1960) είδε το χάος στη μετεωρολογία Τα δυναμικά συστήματα της φύσης είναι χαοτικά. Διαφέρουν στο μέγεθος του χαοτικού χρόνου, δηλαδή στη μη γραμμικότητά τους. 58
Χαρακτηριστικά δυναμικών συστημάτων Τα δυναμικά συστήματα εξελίσσονται στον χρόνο Διακρίνονται σε γραμμικά και μη γραμμικά Έχουν μια παράμετρο ελέγχου (π.χ εξωτερική συχνότητα διέγερσης, αριθμός Reynolds ροής, παράμετρος μη γραμμικότητας, κ.λπ) Η συνήθης μέχρι σήμερα διερεύνηση των ήταν «ως γραμμικά» Στη φύση ή τα μηχανικά συστήματα γενικά, η κατάσταση ισορροπίας είναι μη συνήθης κατάσταση, ενώ η κατάσταση μακράν της ισορροπίας είναι ο κανόνας (Prigogine) Τα χαοτικά συστήματα έχουν θετικούς εκθέτες Lyapunov, κλασματική διάσταση παράξενων ελκυστών και χαοτικούς χρόνους... μικρούς ή μεγάλους. Στόχος μας ο έλεγχος του χάους μέσω ανάδρασης 59