Λύσεις των θεμάτων επαναληπτικών πανελλαδικών εξετάσεων 04, Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Ημερησίων ΓΕ.Λ. Λύσεις θεμάτων επαναληπτικών πανελληνίων εξετάσεων 04 Στο μάθημα: «Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής» Γενικής Παιδείας ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΓΕ.Λ. Γ Λυκείου, Παρασκευή, 0 Ιουνίου 04 ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία -απόδειξη σελίδα σχολικό βιβλίο. Α. Θεωρία-ορισμός σελίδα 4 σχολικό βιβλίο. Α3. Θεωρία-ορισμός σελίδα 6 σχολικό βιβλίο. Α4. α) Λάθος, β) Λάθος, γ) Σωστό, δ) Σωστό, ε) Λάθος 3 ΘΕΜΑ Β Β. Κλάσεις Κεντρικές τιμές x Σχετική f % Αθροιστική N [0,) 6 0 6 0 [,4) 3 0 8 30 [4,6) 4 40 4 70 [6,8) 7 0 4 90 [8, 0) 9 6 0 60 00 ΣΥΝΟΛΟ 60 00 Αθροιστική Σχετική Η η στήλη των κλάσεων: Επειδή οι κλάσεις είναι ισοπλατείς θα έχουμε ότι η κάθε μία θα έχει εύρος 0 0, και άρα θα είναι κάθε φορά με προσθεση στο αριστερό άκρο κατά. Η η στήλη : συμπληρώνεται από την περιγραφή των δεδομένων ( η η κλάση και η η κλάση περιγράφονται άμεσα, ενώ η η και η 4 η κλάση συμπεραίνονται με αφαίρεση της Βρίσκεται στο ( x 3 s, x 3 s)...είναι πάντοτε ίσο με το άθροισμα των συχνοτήτων δηλαδή το μέγεθοςτου δείγματος ν. 3 Είναι μέτρο θέσης. F %
Λύσεις των θεμάτων επαναληπτικών πανελλαδικών εξετάσεων 04, Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Ημερησίων ΓΕ.Λ. προηγούμενης και της επόμενης αντίστοιχα, από αυτά που περιγράφονται 8-6=).Η κλάση [4,6) είναι το υπόλοιπο της αφαίρεσης 60-8-8=4) Η 3 η στήλη: f % 00,,,3, 4, Η 4 η και η στήλη: από τον ορισμό της Αθροιστικής ς και της Αθροιστικής Σχετικής ς. Β. x 900 Η μέση βαθμολογία των μαθητών είναι: x ( ή x x f ) 60 Για την διάμεσο 4 : Η διάμεσος δ έχει την ιδιότητα: να έχει το 0% των παρατηρήσεων με τιμές μεγαλύτερη ή ίσες από αυτήν και το άλλο 0% των παρατηρήσεων να έχει τιμές μικρότερες ή ίσες από αυτήν. Άρα, από την στήλη των f % (και επειδή οι τιμές των κλάσεων είναι ομοιόμορφα κατανεμημενές), προκύπτει ότι δηλαδή το μέσο της 3 ης κλάσης [4,6). Β3. Αφού οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης θεωρούνται ομοιόμορφα κατανεμημένες, θα έχουμε ότι στην τελευταία κλάση [8,0) που περιέχει το 0% θα είναι % στο [8,9) και % στο[9,0). Άρα θα δοθεί έπαινος σε αυτούς που είχαν βαθμολογία 9. ΘΕΜΑ Γ Γ. Έχουμε:,0,, P( ),, με 0 4 Μπορεί να γίνει και με την κατασκευή του πολυγώνου σχετικών συχνοτήτων, σε συνδυασμό με την χρήση της ομοιότητας των τριγώνων. Κανονικά συμπεριλαμβάνεται και η βαθμολογία 0
Λύσεις των θεμάτων επαναληπτικών πανελλαδικών εξετάσεων 04, Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Ημερησίων ΓΕ.Λ. P( ) P(0) P() P() Πρέπει να ισχύει: P( ) P( ) P(0) P() P() 0 Και έτσι οι ζητούμενες πιθανότητες είναι: P( ) P(0) P() P() Γ 6. Το ενδεχόμενο Α είναι : A διότι: ή 0 P( A) P() Το ενδεχόμενο Β είναι : B,, διότι ή 0 ή 4 0 ή ή 6 P( B) P( ) P() P() Για τα ενδεχόμενα Γ και Δ, όπως περιγράφονται στην εκφώνηση της άσκησης, έχουμε: 6 Η εύρεση τωνπιθανοτήτων σε αυτό το ερώτημα μπορεί να γίνει και με την εύρεση των αντίστοιχων ενδεχομένων με αναγραφή.
Λύσεις των θεμάτων επαναληπτικών πανελλαδικών εξετάσεων 04, Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Ημερησίων ΓΕ.Λ. ( ) με A B 6 P( A B) P() και έτσι έχουμε: P( ) P( B A) P( B) P( ) 0 και P( ) P(( ) P( A B) Γ3. 9 f ( x) x x, x, 3 4 Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (ως πολυωνυμική) με παράγωγο: f ( x) x x, x, 4 Για να πραγματοποιείται το ενδεχόμενο Ε θα πρέπει: 9 f ( x) 0x x 0, x, και 9 0, με,0,, 4 ά f ( x) 0 ά x ή f ( x) ί 9 ί ύ έ ό ί ά, ά ί έ ό ΘΕΜΑ Δ Δ. ) Το ζητούμενο εμβαδόν είναι : Άρα A ( ) 00 0000, (0,00). E x x x x E( x) E x (00 x) x 0000 00x x ) H συνάρτηση E( x) x 00x 0000, x (0,00) είναι παραγωγίσιμη (ως πολυωνυμική) με παράγωγο: E ( x) 4x 00, x (0,00) E ( x) 04x 00 0 x 0 Έχουμε: 0 x 0 E ( x) 0 E( x) ί φθίνουσα (0,0] 0 x 00 E ( x) 0 E( x) ί ύ [0,00) Άρα η συνάρτηση E( x) έχει ελάχιστο στο x 0
Λύσεις των θεμάτων επαναληπτικών πανελλαδικών εξετάσεων 04, Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Ημερησίων ΓΕ.Λ. Δ. x 0 x x x Δ3. ( 0) Τα εμβαδά των τετραγώνων που κατασκευάζονται με πλευρές τα διαδοχικά τμήματα l με αντίστοιχα μήκη x (,,... ), είναι αντίστοιχα E x,,,.... Η μέση τιμή z των E,,,... είναι : z x í. Τώρα έχουμε: x s ( x) s z ( x) (0, ) z 4 z 4,04 m Δ4. Έχουμε : N( ) και έτσι ( ). Για το ενδεχόμενο Λ έχουμε: l, 3, 4, 6,8,9,,,6,8, 0,, 4 Άρα, αφού η επιλογή είναι τυχαία (δηλαδή τα P( ) ( ) N( ) l,,... είναι ισοπίθανα), θα έχουμε: Επιμέλεια λύσεων: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών