.. Ν ΚΟ ΕΠ : ΜΕΛ Η ΤΗΡfΟ ΕλλΑΔΑΣ

.. Ν ΚΟ ΕΠ : ΜΕΛ Η ΤΗΡfΟ ΕλλΑΔΑΣ : i-'/ Φ ΕΙΟ ΤΕΚΜΗΡΙΩΣΗΣ Δ ΥΝΑΜΙΚΗ ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗ ΕΔΑΦΟΥΣ-ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑ ΤΩΝ ΥΠΟΓΕΙΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Αθ. Α. Στάμς, Ε.Μ. Υ., Τμ. Πλ. Μηχ. Παν/μίυ Πατρών Δημ. Ε. Μπέσκς, Καθηγητής, Τμ. Πλ. Μηχ., Παν/μίυ Πατρών Περίληψη Δυναμική ανάλυση τρισδιαστάτων υπγείων κατασκευών επιτυγχάνεται αριθμητικά με χρήση της Μεθόδυ Συνριακών Στιχείων (ΜΣΣ) στ πεδί συχντήτων. Η ΜΣΣ χρησιμπιείται τόσν για την κατασκευή όσν και για τ έδαφς, τα πία υπτίθενται ότι συμπεριφέρνται σαν γραμμικά ελαστικά ή {3ισκελαστικά σώματα. Θεωρύνται τόσν εξωτερικά δυναμικά φρτία όσν και σεισμικά κύματα με αρμνικό ή παρδικό χαρακτήρα. Η περίπτωση παρδικών δυνάμεων αντιμετωπίζεται με τη {3ήθεια τυ αριθμητικύ μετασχηματισμύ Laptace ως πρς τ χρόν. Παρυσιάζνταί αριθμητικά παραδείγματα για να περιγράψυν την μέθδ και διαδηλώσυν τα πλενεκτήματά της. DYNAMIC SOIL - 3-0 UNOERGROUNO STRUCTURE INTERACTION Α.Α. Stamos, Grad. Stud., Oept. of Cίνίl Engng., Unίν. of Patras Ο. Ε. Beskos, Prof., Oept. of Cίνίl Engng., Unίν. of Patras Abstract Oynamίc analysίs of 3-0 underground structures ίs accomplished numerίcally by the frequency domaίn Boundary Element Method (ΒΕΜ). The ΒΕΜ ίs used to model both the structure and the soίl medίum, whίch are assumed to behaνe as linear elastίc or νίscoelastίc bodίes. Both external dynamic forces and seίsmίc waνes of a harmonίc or transίent nature are consίdered. The transίent case is treated wίth the aίd of numerίcal Laplace transform wίth respect to tίme. Numerίcal examples are presented to ίllustrate the method and demonstrate its adνantages. 183

Εισαγωγή Υπόγειες κατασκευές, όπως σιδηρδρμικές ή δικές σήραγγες, διάφρα συστήματαγραμμών ζωής (ύδρευσης, απχέτευσης, φωταερίυ, ηλεκτρικύ, κλπ.), μεγάλες υπόγειες απθήκες καυσίμων, πυρηνικά καταφύγια και υπόγεια πυρηνικά εργστάσια παραγωγής ηλεκτρικής ενέργειας παίζυν ένα πλύ σπυδαί ρόλ στην ανάπτυξη μιάς χώρας. Αυτές ι κατασκευές πρέπει να σχεδιάζνται κατάλληλα ώστε να μπρύν να βαστάξυν με ασφάλεια εξωτερικά δυναμικά ή σεισμικά φρτία. Ενώ η υπάρχυσα βιβλιγραφία στ θέμα της δυναμικής ανάλυσης και σχεδιασμύ υπεργείων κατασκευών είναι πλύ πλύσια, η αντίστιχη υπγείων κατασκευών και μάλιστα τρισδιαστάτων είναι σχετικά περιωρισμένη. Γενικές και ειδικές πληρφρίες καθώς και εκτενής βιβλιγραφία πάνω στ θέμα της δυναμικής υπγείων κατασκευών μπρύν να ευρεθύν στα άρθρα τω ν Manolίs [1] και νn Estorff et al [2}, την τεχνική αναφρά των Owen and Scholl [3} και τ βιβλί των Manolίs and Beskos {4). Τ πρόβλημα της δυναμικής ανάλυσης υπγείων κατασκευών είναι πρόβλημα δυναμικής αλληλεπίδρασης εδάφυς-κατασκευής. Είναι γνωστό ότι τέτια πρβλήματα είναι πλύπλκα και μπρεί να επιλυθύν κατά τρόπν ικνμικό και με υψηλή ακρίβεια μόν με αριθμητικές μεθόδυς, όπως η Μέθδς Πεπερασμένων Στιχείων (ΜΠΣ) ή η Μέθδς Πεπερασμένων Διαφρών (ΜΠΔ). Χρήση όμως είτε της ΜΠΣ είτε της ΜΠΔ, εκτός της ανάγκης εσωτερικής διακεκριμενπίησης, δημιυργείτεχνητά σύνρα για τν άπειρ ή ημιάπειρ ελαστικό εδαφικό χώρ και απαιτεί είτε εκτεταμένη και πλυέξδη διακεκριμενπίηση είτε αντιικνμικά ειδικά σύνρα απρρόφησης κυμάτων. Η Μέθδς Συνριακών Στιχείων (ΜΣΣ) όμως απαιτεί μόνν επιφανειακή διακεκριμενπίηση και λαμβάνει υπόψη της αυτόματα την συνθήκη ακτινβλίας των κυμάτων στ άπειρ. ' Ετσι χρήση της ΜΣΣ καταλήγει σε μητρωϊκές εξισώσεις πλύ μικρτέρυ μεγέθυς από αυτές της ΜΠΣ, αλλά με μητρώα γεμάτα και μη συμμετρικά. Τις περισσότερες φρές δυναμικά πρβλήματα αλληλεπίδρασης εδάφυςκατασκευής επιλύνται με συνδυασμό της ΜΠΣ (για την κατασκευή) και της ΜΣΣ (για τ έδαφς) [4}. Ένας τέτις συνδυασμός συνδυάζει τα πλενεκτήματα και των δύ μεθόδων, αλλά παρυσιάζει αφενός μεν πρβλήματα ακριβείας στη διεπιφάνεια των δύ χωρίων λόγω της μη πλήρυς σύζευξής τυς, αφετέρυ δε δημιυργεί μή συμμετρ ικά λικά μητρώα. Τα τελευταία χρόνια έχυν καταβληθε ί πρσπάθειες για την υπερπήδηση των δυσκλιών αυτών με την βήθεια τυ 184

λγισμύ των μετα8λών αλλά δεν έχυν ακόμη λκληρωθεί, τυλάχιστν για δυναμικά πρ8λήματα {5). Στη παρύσα εργασία χρησιμπιείται η ΜΣΣ τόσν για την κατασκευή όσ και για τ έδαφς. 'Ετσι επιτυγχάνεται, αφενός μεν ακρι8ής σύζευξη των δύ χωρίων στη διεπιφάνειά τυς, αφετέρυ δε η δημιυργία λικών μητρώων μικρτέρυ μεγέθυς από αυτά πυ πρκύπτυν με συνδυασμό τω ν ΜΠΣ και ΜΣΣ, αν και τα μητρώα αυτά παραμένυν μη συμμετρικά. Πι συγκεκριμένα στην παρύσα εργασία γίνεται χρήση της ΜΣΣ στ πεδί συχντήτων τόσν για την κατασκευή όσ και για τ έδαφς, τα πία υπτίθενται ότι είναι γραμμικά ελαστικά ή 8ισκελαστικά σώματα, για τν πρσδιρισμό της δυναμικής απόκρισης μεγάλων υπγείων κατασκευών σε εξωτερικά δυναμικά φρτία ή σεισμικές επιδράσεις πιασδήπτε χρνικής μετα8λής. Η σύζευξη των δύ σωμάτων επιτυγχάνεται στη διεπιφάνειά τυς με την εφαρμγή ισρρπίας και συνεχείας. Όταν η φόρτιση μετα8άλλεται αρμνικά με τ χρόν τ πρό8λημα επιλύεται απλώς στ πεδί των πραγματικών συχντήτων, ενώ όταν έχει πιαδήπτε (παρδική) μετα8λή με τ χρόν στ πεδί των μιγαδικών συχντήτων ή πεδί μετασχηματισμύ Laplace. Ετσι στη δεύτερη περίπτωση απαιτείται μία αριθμητική αντιστρφή της μετασχηματισμένης λύσης για την απόκτηση της απόκρισης στ πεδί τυ χρόνυ. Ας σημειωθεί ακόμα ότι η παρύσα ΜΣΣ χρησιμπιεί τη δυναμική θεμελιώδη λύση πυ αντιστιχεί στν άπειρ ελαστικό χώρ και αυτό δημιυργεί την ανάγκη διακεκριμενπίησης της ελεύθερης εδαφικής επιφάνειας. Στη πράξη όμως αυτή η διακεκριμενπίηση περιρίζεται σε μία πεπερασμέ νη έκταση γύρω από την περιχή τυ ενδιαφέρντς. Αριθμητικά παραδείγματα είχνυν πως εφαρμόζεται η πρτεινόμενη μέθδς σε πρ8λήματα δυναμικής ανάλυσης υπγείων κατασκευών και πιά είναι τα πλενεκτήματά της σε ακρί8εια και απδτικότητα έ ναντι άλλων μεθόδων. Μέθδς Συνριακών Στιχείων Στ εδάφι αυτό δίνεται μία σύντμη περιγραφή της ΜΣΣ στ πεδί μετασχηματισμύ Laplace για την αριθμητική επίλυση τρισδιαστάτω ν ελαστδυναμικών πρ8λημάτων. Για περισσότερες λεπτμέρειες μπρεί κανείς να συμ8υλευθεί τ 8ι8λί των Manolίs and Beskos {4 ). Θεωρείται τρισδιάστατ, μγενές, ισότρπ και γραμμικά ελαστικό σώμα 8, πυ έχει όγκ V και συνριακή επιφάνεια S. Οι εξισώσεις κίνηση ς τυ σώματς αυτύ για μηδενικές σωματικές δυνάμεις έχυν τη μρφή 185

(λ+μ) u... +μu... 1,lJ J,11 t 1) όπυ υί = υ;(~, t) είναι η μετατόπιση κατά τη διεύθυνση ί, ~είναι ένα χωρικό σημεί, t δηλώνει χρόν, λ και μ είναι ι ελαστικές σταθερές Lame, ρ η πυκνότητα, κόμματα υπνύν δι αφόριση χωρική και άνω τελείες διαφόριση χρνική, ι δείκτες ί, j λαμβάνυν τις τιμές 1, 2 και 3 πυ αντιστιχύν στις τρεις Καρτεσιανές συντεταγμένες χ, y and z, αντίστιχα, και επαναλαμβανόμενι δείκτες δηλώνυν άθριση. Οι παραπάνω εξισώσεις συνδεύνται σε ένα καλά τπθετημέν πρόβλημα από τις αρχικές u.( x, Ο) = 1,., χ ε ν t2) "' και τις συνριακές u 1 (~, t) ( 3) συνθήκες, όπυ S 1 U S 2 = S, t; είναι τ διάνυσμα τάσης κατά τη διεύθυνση ί, σίj είναι τανυστής τάσεων, nίείναι τ πρς τα έξω μναδιαί διάνυσμα κάθετ στην επιφάνεια S και u; και ~ δηλώνυν δσμένες τιμές μετατπίσεων και τάσεων. Εφαρμγή τυ μετασχηματισμύ Laplace ως πρς τν χρόν πάνω στη εξίσωση (1), υπθέτντας μηδενικές αρχικές συνθήκες για απλότητα στην παρυσίαση, καταλήγει στην εξίσωση (λ+μ)u... +μu... l,l J J,11 (4) όπυ Ο;ί!: s ) [ -st u.( x, t) e 1 - dt t5) παριστάνει την μετασχηματισμένη μετατόπιση και s είναι η παράμετρς τυ μετασχηματισμύ Laplace. Χρ ησιμπιώντας τ θεώρημα αμι{3αιότητς ή τη μέθδ των σταθμισμένων υπλίπων, μπρεί εύκλα κανείς να επιτύχει την λκληρωτική αναπαράσταση της λύσης της (1 ) υπό τη μρφή 186

c( ) u;(~. s) =1 [ ϋij t;ι~. s) - fij u;(~. s)] cts(~) (6). s όπυ Dij είναι η θεμελιώδης λύση της (4) και Tij τ αντίστιχ διάνυσμα τάσεων πυ πρκύπτει από την ϋ1i με χρήση τυ νόμυ τυ Hooke, τ σημεί ~ e: S και συντελεστής c = 1 αν f ε V ή c = 1 / 2 αν f ε S και είναι μαλό σημεί. Τ θεμελιώδες ζεύγς U;j και 'f;j είναι συνάρτηση της μεταβλητής r = Ι ~ - f / και παρυσιάζει για τις τρεις διαστάσεις ιδιμρφία τυ τύπυ Ο (1 / r) και Ο (1 /r2) για τα D;j και f;j αντίστιχα. πλήρεις εκφράσεις των πίων μπρύν να ευρεθύν, π.χ. στ ΒιΒλί {4 ]. Η επίλυση της συνριακής λκληρωτικής εξίσωσης (6) για f ε S και c = 1 / 2 επιτυγχάνεται αρθμητικά με τη ΜΣΣ. Διακεκριμενπίηση της επιφάνειας S σε ένd πεπερασμέν αριθμό συνριακών στιχείων (τετραπλεύρων δευτέρυ Βαθμύ) τελικά μετατρέπει την (6) στην μητρωι"κή εξίσωση [ ϋ ]{t} = [f]{ u} (7) όπυ {ϋ} και {t} είναι τα μετασχηματισμένα κατά Laplace διανύσματα μετατπίσεων και τάσεων στην επιφάνεια S και [U] και rtj είναι μητρώα επιρρής με στιχεία πυ είναι λκληρώματα των συνιστωσών της θεμελιώδυς λύσης πάνω στα συνριακά στιχεία. Λεπτμέρειε ς για τν υπλγισμό των ιδιμόρφω ν λκληρωμάτων Uίί και Τίί μπρύν να ευρεθύν πχ, στ ΒιΒλί των Manolίs and Beskos {4}. Χρήση των συνριακών συνθηκών (3) στ μετασχηματισμέν κατά Laplace πεδί και διαχωρισμός των γνωστών από τα άγνωστα στιχεία τω ν διανυσμάτων {u} και {t} μετατρέπει την (7) στη μρφή LA1 {ψ } = {b} ι s) όπυ [ψ} και {b} είναι διανύσματα των αγνώστων και γνωστών πστή των, αντίστιχα. τυ πρβλήματς. Ας σημειωθεί εδώ ότι τ μητρώ [Α] είναι πλήρες και μη συμμετρικό αλλά πλύ μικρότερυ μεγέθυς από αυτό πυ πρκύπτει από χρήση της ΜΠΣ ή της ΜΠΔ για τ ίδι πρ όβλημα. Μετά τη ν αρ ιθμητική επίλ υση τη ς εξίσωσης (8), όλες ι μετασχηματισμένες μετατπίσε ις και τάσεις στ σύνρ S καθίστανται γνωστές. 'Ετσι με χρήση της (6) σε διακεκριμενπιημένη μρφή και για f e V και c = 1 μπρεί εύκλα κανείς να υπλγίσε ι μετασχηματισμέ νες μετατπίσεις σε πιδήπτε εσωτερικό σημεί τυ σώματς και από εκεί με τη Βήθεια τυ νόμυ τυ Hooke τις αντίστιχες τάσεις. Μία αριθμητική αντιστρ φή της μετασχηματισμένης κατά Laplace λ ύσης πρσφέρει την λύση τυ πρβλ ήματ ς 187

στ πεδί τυ χρόνυ. Η αριθμητική αυτή αντιστρφή γίνεται με τν αλγόριθμ τυ Durbίn {6) πίς εργάζεται με μιγαδικές τιμές της παραμέτρυ s αλλά διακρίνεται για την υψηλή τυ ακρίβεια {7). Ας σημειωθεί ότι, αν τα δσμένα φρτία ή σεισμικά κύματα έχυν πλύπλκη χρνική μεταβλή, μετασχηματισμός τυς κατά Laplace πρέπει να γίνει επίσης αριθμητικά. Αυτό επιτυγχάνεται επίσης με τη βήθεια τυ αλγόριθμυ Durbίn {6), όπως περιγράφεται στην αναφρά [7]. Στην περίπτωση πυ η δυναμική διέγερση μεταβάλλεται αρμνικά με τ χρόν συμφέρει η κατάστρωση τυ πρβλήματς να γίνει στν πεδί των πραγματικών συχντήτων ω, πότε δεν χρειάζεται να γίνει και κσμμία αντιστρφή. Με την απλή αντικατάσταση τυ s με ίω, όπυ ί = Γ-1, μπρε ί κανείς να μεταπηδήσει από τ ένα πεδί στ άλλ {4). Τέλς ας σημειωθεί ότι η παραπάνω μέθδς κατάστρωσης τυ πρβλήματς στ πεδί συχντήτων (πραγματικών ή μιγαδικών - μετασχηματισμός Laplace) επιτρέπει με τη βήθεια της αρχής της αντιστιχίας να ληφθεί υπόψη η βισκελαστική συμπεριφρά τυ υλικύ. Αυτό γίνεται με απλή αντικατάσταση των ελαστικών σταθερών λ και μ με τις συναρτήσεις sλ(s) και s'jj(s), αντίστιχα. όπυ λ{t) και μ(t) είναι ι δσμένες συναρτήσεις τυ βισκελαστικύ υλικύ {4). Εφαρμγή της ΜΣΣ σε Υπόγειες Κατασκευές Θεωρείται υπόγεια ελαστική κατασκευή τυχόντς τρισδιάστατυ σχήματς μέσα στν εδαφικό ελαστικό ημίχωρ η πία υπόκειται είτε σε τυχόντα εξωτερικά ~χήμn 1: Τpισδιάστατ η υπόγεια κ α τασκευή υπό τη ν επίδpαση εξωτεpι κώ ν δυναμικών ιηpτίwν και σεισμ ι κώ ν κυμάτων 188

δυναμικά φρτία F 1 και F 3 είτε σε σεισμικά κύματα Ρ, SV, SH και R πιασδήπτε διεύθυνσης και χρνικής μεταβλής, όπως φαίνεται στ σχήμα 1. Για τν υπλγισμό της δυναμικής απόκρισης της κατασκευής αυτής γίνεται χρήση της ΜΣΣ τόσν για τ έδαφς όσ και για την κατασκευή. ' Ετσι η εξίσωση (1) λαμβάνει τη μρφή (9) για τν εδαφικό χώρ, όπυ δείκτης ε σημαίνει έδαφς και ι δείκτες 1 και 2 αναφέρνται στις επιφάνειες S (ελεύθερη επιφάνεια εδάφυς, η πία πρακτικά 1 περιρίζεται σε μία πεπερασμένη επιφάνεια γύρω από την περιχή ενδιαφέρντς) και S 2 (διεπιφάνεια εδάφυς-κατασκευής) και την μρφή ( 10) για την κατασκευή, όπυ δείκτης κ σημαίνει κατασκευή και ι δείκτες 2 και 3 αναφέρνται στην εξωτερική επιφάνεια S 2 (διεπιφάνεια εδάφυς-κατασκευής) και εσωτερική επιφάνεια S 3 της κατασκευής. Σύζευξη των δύ εξισώσεων (9) και (10) επιτυγχάνεται με τη βήθεια των συνθηκών συνεχείας και ισρρπίας στη διεπιφάνεια εδάφυς-κατασκευής, δηλαδή, ( 11) Κατ' αρχάς επιλύνται ι (9) και (10) ως πρς τα διανύσματα τάσεων και παίρνυν την μρφή ( 12) ( 13) 189

Οι παραπάνω δύ εξισώσεις τελικά συμπτύσσνται με τrr Βήθεια των (11) καl παίρνυν τη μρφή - ε - ε Gll Gl2 ul - - ε - ε - κ - κ - G21 G22+G22 G23 u2 ( 14) tl - κ - κ G32 G33 U3 t3 Η παραπάνω εξίσωση μπρεί εύκλα να επιλυθεί ως πρς τις μετατπίσεις για δσμένα φρτία πυ δρυν στις επιφάνειες S 1 και S 3. Στην περίπτωση πυ η δυναμική φόρτιση πρέρχε ται από την δράση σεισμικών κυμάτων τ δημιυργύμεν πρό8λημα σκέδασης επιλύεται με τρόπ παρόμι με αυτό πυ περιγράφτηκε για την περίπτωση εξωτερικών φρτίων αλλά τώρα τα λικά διανύσματα παραμόρφωσης!! και τάσης,!, τυ εδάφυς ή της κατασκευής εκφράζνται σαν τα αθρίσματα - -f - S u =u + u,...,...,... ι is > όπυ ι δείκτες f και s αναφέρνται στ ελεύθερ (Χωρίς την κατασκευή) και στ σκεδασμέν κυματικό πεδί. Τ ελεύθερ κυματικό πεδί στν ημιάπειρ ελαστικό χώρ για διάφρα είδη κυμάτων (Ρ, SV, SH και R) με αρμνική χρνική μεταβλή δίνεται με αναλυτικές εκφράσεις {4). Για περισσότερες πληρφρίες μπρεί κανείς να συμβυλευθεί τ βιβλί των Manolίs and Beskos {4} ή τ άρθρ των Manolίs and Beskos {8} για την περίπτωση των δύ διαστάσεων. Αριθμητικά παραδείγματα Θεωρείται σφαιρική κιλότητα μέσα στν ημιάπειρ ελαστικό χώρ (έδαφς) και σε βάθς 8 ft, η πία είναι επενδεδυμένη με κέλυφς πλισμένυ σκυρδέματς πάχυς h = 5 ft και εσωτερικής ακτίνας 25 ft, όπως φαίνεται στ χήμα 2α. ελαστικές σταθερές τυ εδάφυς είναι Ε 5 = 4.5 χ 1α6 ρsf και ν 5 = 0.33 ενώ αυτές τυ κελύφυς είναι αντίστιχα Ec = 4.5 χ 1d3 ρsf και νc = 0.15. Οι αντίστιχες πυκνότητες είναι ρ 5 = 3.23 lb.s 2. ff 4 και ρc = 4.66 lb.s2.tr 4. Η επιφάνεια τυ εδάφυς φρτίζεται αξνσυμμετρικά με φρτί πυ έχει χωρική και χρνική Οι κατανμή αυτή τυ σχήματς 2α. Τ πρόβλημα επιλύθηκε με την παρύσα μέθδ κάνντας χρήση συμμετρίας ως πρς δύ επίπεδα. ' Ετσι τ 1 /4 της κάθε επιφάνειας τυ κελύφυς διακριτπιήθηκε σε 28 συνριακά στιχεία και η 190

επιφάνεια τυ ημιχώρυ σε 56 συνριακά στιχεία σε μία περιχή τμέα με ακτίνα 427 ft. Η αριθμητική αντιστρφή τυ μετασχηματισμύ Laρface έγινε για 20 τιμές της παραμέτρυ s. Στ σχήμα 2β δίνεται η ιστρία της κατακόρυφης μετατόπισης τυ σημείυ Α η πία συγκρίνεται με την αριθμητική λύση των Wang and Banerjee {9] πυ εχρησιμπίησαν ειδική αξνσυμμετρική ΜΣΣ και αυτή τυ πργράμματς SAP IV {10] πυ χρησιμπιεί αξνσυ/.!μετρική ΜΠΣ. Η συμφωνία των τριών απτελεσμάτων είναι λίαν ικανπιητική. Θεωρείται σφαιρική κιλότητα μέσα στν άπειρ ελαστικό, εδαφικό χώρ (δηλαδή σε βάθς πλύ μεγάλ). η πία είναι επενδεδυμένη με κέλυφς πάχυς h = Ο.01α και εσωτερικής ακτίνας α, όπως φαίνεται στ σχήμα 3α. Οι ελαστικές σταθερές τυ εδάφυς είναι Em και νm = 0.25 και αυτές τυ κελύφυς Ε 5 = 2.5χ Em και ν 5 == 0.20, αντίστιχα. Οι αντίστιχες πυκνότητες είναι ρm και ρ 5 == 1.156χ ρm. 'Ενα επίπεδ, διαμήκες παρδικό κύμα της μρφής f u (V 0 / c 1 )(c 1 t - χ - α ) H(c 1 t - χ - α ) (16) διαδίδεται κατά την διεύθυνση χ μέσα στ έδαφς και σκεδάζεται από τ κέλυφς, όπως φαίνεται στ σχήμα 3α. Στην εξίσωση (15) V 0 είναι τ πήδημα ταχύτητας, c 1 είναι η ταχύτητα τυ διαμήκυς (Ρ) κύματς στ έδαφς, Η είναι τελεστής τυ Heaνίsίde και -α είναι τ σημεί στν άξνα χ όπυ ευρίσκεται τ μέτωπ τυ κύματς για t = Ο. 'Ετσι τ κύμα φθάνει στ κέλυφς τη στιγμή t = Ο και διαρκεί χρόν t 0, έτσι ώστε c 1 t 0 == 10α. Για την ανάλυση τυ πρβλήματ ς με την παρύσα μέθδ έγινε διακριτπίηση τυ 1 / 4 της κάθε επιφανείας τυ κελύφυς σε 6 συνριακά στιχεία και έγινε επίλυση για 20 τιμές της παραμέτρυ s. Στ σχήμα 3β δίννται ι κατά χ μετατπίσεις των τριών σημείων F, Τ και Ε τυ κελύφυς συναρτήσε ι τυ χρόνυ και συγκρίννται με τις αναλυτικές λύσεις των Mathews and Geers {11] ι πίι πρώτι έλυσαν τ πρόβλημα αυτό αναλυτικά και αριθμητικά. Η συμφωνία των απτελεσμάτων είναι εξαιρετική. Συμπεράσματα Στην παρύσα εργασία πρτείνεται μία αριθμητική μέθδς υπλγισμύ της δυναμικής απόκρισης τρισδιαστάτων υπγείων κατασκευών. Η μέθδς αυτή χρησιμπιεί την ΜΣΣ στ πεδί μετασχηματισμύ Lapface τόσν για τ έδαφς όσ και για την κατασκευή και αντιμετωπίζει και εξωτερικά φρτία και σεισμικά κύματα πυ δρυν πάνω στ σύστημα έδαφς-κατασκευή. Η μέθδς αυτή διακρίνεται από υψηλή ακρίβεια και απδτικότητα και επι πλέν μπρεί να λάβει 191

_.. <Ο 1\) U Υ [ml 10 ~ -8 8 ~--~--- 1 --- --------'-- -- ----- - - present - 1- SAP ~~- Wang and Baner jee \ 6 ~t ι-5) 1>111 4,_ 2 ι~;ι~ -.i ff..:l_~ Α! ""\! HoUo \ S/Ι!,~ 1 --; ~ Ρ(ι) 1 P,t.. A!/! \ 0.00QS "'C (α) ' ~. "'\.~λ; 1 Cr>) \~ "'\: ~1 - [. _., 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 ΤΙΜΕ [sec] Σχήμα 2: Υπόγει σφαιρικό κέλυφς υπό επlδραση δυναμικύ φρτίυ: (α) vεωμετplα κατασκευής, (β) κατακόρυφη μετατόπιση σημεlυ Α κελύφυς συναρτήσει χρόνυ.

~ Ux Ι (Vo " to) 15 ι- 1 ι- -1 * Mathews & Geers Ο Mathews & Geer s Ο Mathew,s & Geers F (presen t ) ------ Τ (present} Ε (present } - '~ /,.Et--- ": ( 1!( β )..::: ψ -~ kβ /~ 1 /;~~ ' () 5 ι - / φ, Γ 1 ---.. -. - ~---... (y 11, J ' _., 1 ~ 1 i 1! - [ 1 ' ' --- 1 (> ' ((F Tj 1 " 1 1 1 J_ - ---1 1 -- -- 1-0.5 1 1.5 2 2.5 3 ΤΙΜΕ lsec] j ' ' (α) Σχήμα 3: Υπόγει σφαιpικό κέλυφς υπό επίδpαση διαμήκυς κύματς : ( α } γεωμετρί α κατασ κε υής, (β) ριζόντια μετατό π ιση σ ημείων F, Τ και Ε κελύmu ς αυναpτήσει χpόνυ. <D ω

πλύ εύκλα υπόψη τις αρχικές συνθήκες και την 8ισκελαστική συμπεριφρά τυ υλικύ (εδάφυς ή/και κατασκευή ς). ' Ετσι μπρεί να χρησιμπιηθεί σαν τ κατάλληλ εργαλεί για την εκτέλεσ η σειράς παραμετρικών μελετών με σκπό τν πρσδιρισμό της δυναμικής συμπεριφράς και τρωτότητας διαφόρων υπγείων κατασκευών. Ευχαριστίες Εκφρά ζν ται ευχαριστίες πρς την Γ.Γ.Ε. Τ. για την υπστήριξη αυτής τη ς εργασίας μέσω τυ ερευνητικύ πργράμματς 7821 / 13.5.88 και τυ πργράμμα τς Ελλην Γερμανικής επιστημ νικής συνεργασίας. Ευχαρισ τίες επίση ς εκφράζνται και πρς την κ. Ελένη Αλεξανδρίδη-Μπαλή για την επιμελημένη δακτυλόγραφηση τυ παρόντ ς άρθρυ. Βι8λιγραφία (1). G.D. Manolis, Dynamfc behaνίor of underground structures, Shock and Vίbratίon Dίgest, 15, 7-18, 1983. (2). Ο. νn Es torff, Α.Α. Stamos, D.E. Beskos and Η. Antes, Dynamίc ίntera ctίon effects in underground traffic systems, Engineering Analysis with Boundary Elements,!l,, 167-175, 1991. (3). G.N. Owen and R.E. Scho/I, Earthquake engineering of large underground structures, Report Ν FHWA/ RD-80/ 195 prepared by URS/ J.A. Blume & Associates, Engineers, for the Federal Highway Administration, Washington Ο. C., January 1981. (4). G.D. Manolis and D.E. Beskos, Boundary Element Methods in Elastodynamics, Unwin Hyman, London, 1988. (5). Υ. Υ. Lυ, Τ. Belytschko and W.K. Lίυ, Α νariationally coupled FE-BE method for elasticity and fracture mechanics, Computer Methods ίn Mechanics and Engineering, ~. 21-37, 1991. Aρplied {6}. F. Durbin, Numerical inνersion ot Laplace transforms: an efficient improνement to Dubner and Abate's method, The Computer Journal, 1Ζ, 37 1-376, 1974. {7]. G. V. Narayanan and D.E. Beskos, Numerical operational methods for timedependent linear problems, lnternational Journal for Numerical Methods in Engineering, 18, 1829-1854, 1982. 194

[8). G.D. Manolis and D.E. Beskos, Dynamic response of lined tunnels by an isoparametric boundary element method, Computer Methods in Applied Mechanlcs and Engineering, JQ, 291-307, 1983. [9). H.C. Wang and Ρ. Κ. Banerjee, Axisymmetric transient elastodynamic ana/ysis by boundary element method, lnternation.al Journal of Solids and Structures, 26, 401-415, 1990. [10). Κ.J. Bathe, E.L. Wilson and F.E. Peterson, SAP IV, a structural analysis program for static and dynamic response of linear systems. Report Ν. EERC 73-11, University of California, Berkeley, 1973. {11 ). l.c. Mathews and T.L. Geers, Α doubly asymptotic, nonreflecting boundary for ground-shock analysis, Journal of Applied Mechanics, 54, 489-497, 1987. 195