y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB =

Σχετικά έγγραφα
Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Dreapta in plan. = y y 0

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc =

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează

CERCUL LUI EULER ŞI DREAPTA LUI SIMSON

Subiecte Clasa a VIII-a

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

Conice - Câteva proprietǎţi elementare

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

GA XI. 138 Să se calculeze produsul distanţelor unui punct oarecare al hiperbolei : d) ;

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.

Algebra si Geometrie Seminar 9

b = CA, c = AB, atunci concluzia rezultă din regula triunghiului de adunare a vectorilor:

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

LUCRARE DE DIPLOMĂ CENTRE REMARCABILE ÎN TRIUNGHI

Cercul lui Euler ( al celor nouă puncte și nu numai!)

TRIUNGHIUL. Profesor Alina Penciu, Școala Făgăraș, județul Brașov A. Definitii:

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

Capitolul 9. Geometrie analitică. 9.1 Repere

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a

GRADUL II 1995 CRAIOVA PROFESORI I

BACALAUREAT 2007 SESIUNEA IULIE M1-1

DEFINITIVAT 1993 PROFESORI I. sinx. 0, dacă x = 0

Aplicaţii ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra

π } R 4. ctg:r\{kπ} R FuncŃii trigonometrice 1. DefiniŃii în triunghiul dreptunghic 2. ProprietãŃile funcńiilor trigonometrice 1.

GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE. Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 20, 2009, Iaşi

29 Iunie Aplicaţii ale numerelor complexe în Geometrie. Absolvent: Haliţă Diana-Florina. Coordonator ştiinţific: Prof. Dr.

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.

GEOMETRIE PENTRU GIMNAZIU Partea I (cls. a V a, a VI a, a VII a) Geometrie pentru pregătirea Evaluării Naționale la Matematică

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

3. REPREZENTAREA PLANULUI

Vectori liberi-seminar 1

Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, noiembrie Subiecte clasa a VII-a

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Varianta 1. SUBIECTUL I Pe foaia de teză se trec numai rezultatele.

Lectia VII Dreapta si planul

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Testul nr. 1. Testul nr. 2

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4

Subiecte Clasa a VII-a

BREVIAR TEORETIC CU EXEMPLE CONCRETE, PENTRU PREGĂTIREA EXAMENULUI DE EVALUARE NAŢIONALĂ, clasa a VIII-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2018 Clasa a V-a. 1. Scriem numerele naturale nenule consecutive sub forma:

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2016 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ. Ediţia a XVII-a, 7 8 Aprilie CLASA a IV-a

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Curs 4 Serii de numere reale

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

GRADUL II n α+1 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Geometrie analitică şi. asist. Ciprian Deliu Universitatea Tehnică Gh. Asachi Iaşi Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1996 Clasa a V-a

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

BISECTOAREI GLISANTE

7. PROBLEME DE SINTEZĂ (punct, dreaptă, plan, metode)

, m ecuańii, n necunoscute;

Conice şi cercuri tangente

Dacă centrul cercului este în origine, atunci ecuaţia cercului va fi = 2

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan

Integrala nedefinită (primitive)

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Curs 1 Şiruri de numere reale

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

Capitole speciale de geometrie pentru profesori. Camelia Frigioiu

Introducere. ALGAD 2 - Geometrie analitica si diferentiala. Vectori liberi - produsul vectorial. Vectori liberi - produsul scalar

6.CONUL ŞI CILINDRUL. Fig Fig. 6.2 Fig. 6.3

4.Inversul lui z=a+bi este nr.complex, z cu proprietatea ca zz =1, rezulta z =a/(a 2 +b 2 ) (bi)/(a 2 +b 2 ) si notam z =z -1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1

1. Teorema lui Menelaus in plan Demonstratia teoremei in plan (clasa a VII-a). DC EC F B DB EA = 1.

2.3. Inegalităţi şi limite Convergenţă, monotonie, mărginire Limite remarcabile Limita unei funcţii...

Asemănarea triunghiurilor O selecție de probleme de geometrie elementară pentru gimnaziu Constantin Chirila Colegiul Naţional Garabet Ibrãileanu,

VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M1-1, 2007

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

Subiecte Clasa a VIII-a

DEFINITIVAT 1991 PROFESORI I. x 2 dacă x [ 2,2) f(x) =. 10 x 2, dacă x [2, 5] x+1, dacă x Q x 3 +2, dacă x / Q,

CAPITOLUL 2 VECTORI LIBERI. 2.1 Segment orientat. Vector liber

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R.

Transcript:

Elemente de geometrie analiticã. Segmente. DistanŃa dintre douã puncte A(, ), B(, ): AB = ) + ( ) (. Panta dreptei AB: m AB = +. Coordonatele (,) ale mijlocului segmentului AB: =, =. Coordonatele punctului M care împarte segmentul (AB) în raportul k: + k + k =, = + k. EcuaŃia dreptei. Drepte paralele cu aele de coordonate: (d): = a, (d O); (d): = b, (d O). Dreapta determinatã de punctul M o ( o, o ) şi vectorul nul a( u, v) : ( d ) : r = ro + ta, t R, ro -vectorul de pozińie a lui M o ; r-vectorul de pozińie a unui punct M al dreptei d. = o + ut ( d ) :, t R, ecuańiile parametrice; = o + vt. EcuaŃia eplicitã: =m + n (m R*, n R, m panta, n ordonata la origine);. EcuaŃia prin tãieturi: + = 0,( a, b R *); 5. EcuaŃia dreptei de pantã m, prin punctul M o ( o, o ): o = m( o ), (m 0); 6. EcuaŃia dreptei determinatã de punctele A(, ), B(, ): ( ), =,(, ) = = sau 0 7. EcuaŃia generalã: a + b + c = 0; 8. Aria triunghiului ABC (A(, ), B(, ), C(, )): A ABC =, unde =, dacã = 0 atunci A, B, C sunt colineare 9. PoziŃia relativã a dreptelor (d ) şi (d ): ( d) : a + b + c = 0 şi ( d ) : a + b + c = 0 +

c c d = d, dacã = = ; d d, dacã = ; c c d d şi d d, dacã 0. DistanŃa de la punctul M o ( o, o ) la dreapta (h): a + b + c = 0 a0 + b0 + c d( M, h) = a + b. Unghiul α determinat de dreptele: m m ( d) : = m + n şi ( d ) : = m + n tg α =,( m m ) + m m d d, dacã m m = -. Cercul Cercul C de centru M(a,b) şi razã r:. EcuaŃia cercului ( a) + ( b) = r ; dacã M(a,b) = O(0,0): + = r ;. EcuaŃia generalã: + + m + n + p = 0, unde r = (m + n ) p. m a =, b = n şi. Conice raportate la aele de simetrie. Elipsa E: F(c,0), F (-c,0), A(a,0), A (-a,0), B(0,b), B (0,-b), MF + MF = a, M E EcuaŃia elipsei: + = 0, b + c = a EcuaŃia tangentei în punctul M( o, o ), M E: o o + = 0. Hiperbola H: F(c,0), F (-c,0), A(a,0), A (-a,0), MF MF = a, M H. EcuaŃiea hiperbolei: = 0, c b = a EcuaŃia tangentei în M o ( o, o ), M o H: 0 0 = 0 b a. Parabola P: F( p,0), h: = - p (h dreapta directoare): d(m,h) = MF, M P. EcuaŃia parabolei P: = p EcuaŃia tangentei în M o ( o, o ), M o P: o = p( + o )

Probleme rezolvate. Se dă hiperbola H de ecuańie: = 0 9 a) Să se afle ecuańia tangentei la hiperbolă în punctul T(,). b) Să se calculeze aria triunghiului format de asimptotele hiperbolei H şi de dreapta de ecuańie 9+-=0. R. a) Verificăm dacă T0H: 8 9 9 = 0 EcuaŃia tangentei se obńine prin dedublarea ecuańiei hiperbolei: 0 0 = 0 Y t: = 0 6 = 0 9 b b) Asimptotele = ± a Calculăm coordonatele punctelor de intersecńie: = = A(;) = 9 + = 0 = = B(;-6) = 6 9 + = 0 0 0 S AOB = ( ), =, S AOB = = = 6. Se dă cercul de ecuańie + -+=0. Să se scrie ecuańia dreptei care trece prin centrul cercului dat şi este perpendiculară pe dreapta de ecuańie +-=0. R. C: -++ ++=5 (-) +(+) =5 Centrul cercului M 0 (,-) d: +-=0 Y = + Y m d =-/ m h =-/m d =/ h: - 0 =m h (- 0 ) Y + = ( ) h: --8=0. Să se determine aria triunghiului ABC determinat de dreptele de ecuańii: (AB): -+=0 (BC): ++=0 (AC): ++=0 6 0 0 = + = + = 5 6 7 R. ABBC={B} B: B, 0 0 7 + + = + + = 5 5 = 5 5 / + 6 = 0

ABAC={A} A: 8 = 0 = + = 0 8 A, 0 + + = = = + + = 0 = C, + + = 0 = BCAC={C} C: ( ) A ABC = 6 7 5 5 8 = = A ABC =. 5 0. Să se scrie ecuańia cercului circumscris triunghiului ABC, unde vârfurile triunghiului au coordonatele A(,5), B(5,) şi C(-,). R. Calculăm pantele dreptelor AB şi AC: m = 5 mab = = 5 mab = AB AC ABC este dreptunghic centrul cercului 5 m m AC AC = = circumscris este la mijlocul [BC]. M 0 : + 0, + = = 0 = = BC BC ( ) + ( ) (5 + ) + ( ) 50 r = r = = = = 50 C : ( 0 ) + ( 0) = r + =. 5. Paralelogramul ABCD are vârfurile consecutive A şi B de coordonate A(-,-) şi B(, ). Se ştie că punctul Q(, ) este intersecńia diagonalelor paralelogramului. Să se afle coordonatele vârfurilor C şi D şi ecuańia laturii BC. R. Coordonatele mijlocului unui segment sunt: + 0, + = 0 = + + Q -mijlocul segmentului AC Y = Y =9 şi = Y =0. Atunci C(9,0) + + Q -mijlocul segmentului BD Y = Y = şi = Y = 9. Atunci D(, 9 ) EcuaŃia dreptei CD: =

0 9 9 = = 0 = 9 8 CD: 9-0-8=0. 9 0 9 9 5 6. În sistemul cartezian de coordonate O se consideră punctele A ( 0, ), B(-,0), C(,0). a) Să se reprezinte punctele şi să se arate că triunghiul ABC este echilateral. b) Să se determine coordonatele punctului D, simetricul lui C fańă de dreapta AB. Să se scrie ecuańia cercului de centru D şi care trece prin A. R. a) Prin calcul BC==AB=ACY ABC echilateral. b) Fie D(u,v) simetricul lui C fańă de AB şi M mijlocul lui [AB]Y M(-, ) este mijlocul segmentului [DC]. Atunci u + v + 0 = ; =, de unde u = ; v = D(-, ). Cercul care trece prin A şi are centrul în D este C(D,r), unde ( ) ( ) r = AD = 0 + =. Deci C: (+) +(- ) =6. 7. În sistemul cartezian de coordonate O se consideră punctele A(0,) şi B(-6,0). a) ScrieŃi ecuańiile medianelor duse din A şi B, determinańi coordonatele lui G, centrul de greutate al triunghiului AOB. ReprezentaŃi punctele şi dreptele. b) Care este pozińia centrului cercului circumscris; dar a ortocentrului triunghiului AOB? DemonstraŃi că aceste două puncte şi G sunt coliniare. R. a) Fie AOB şi M, respectiv N mijloacele segmentelor [AO], respectiv [BO], atunci M 0, şi N (,0) şi BM: = ( + 6), iar AN: = ( + ) ecuańiile medianelor din B, respectiv A şi cum {G}=BM ANYG(-,). b) Cum A0O şi B0OY AOB e dreptunghic în O, deci centrul cercului circumscris e la mijlocul Q al ipotenuzei [AB]YQ(-, ) iar ortocentrul AOB e O(0,0) şi cum d = = = + = 0 deci punctele Q,O şi G sunt coliniare. 0 0 8. În sistemul cartezian de coordonate O se consideră punctele A(,0) şi B(0,). a) Să se determine coordonatele punctului D, mijlocul segmentului [AB]. ScrieŃi ecuańia mediatoarei d a segmentului [AB]. b) Să se determine coordonatele următoarelor puncte: {E}=dOB, {F}=dOA, M mijlocul segmentului [AE] şi N mijlocul segmentului [BF]. Să se verifice dacă dreptele MD şi ND sunt perpendiculare. Dar MO şi ON? 0 0 0 R. a) a) D +, +, deci D, şi m AB = = ; 0 5 d : = d : = 5 b) {E}=d ΟΒ, unde OB=OY E,0 6 ; {F}=d ΟΑ, unde OA=OY 5 F 0, 5

M mijlocul lui [AE]Y M,0 ; N mijlocul lui[bf]y N 0, 8. 5 5 m MD = =, iar m 8 ND = = = 5 şi mmd mnd Y MD şi ND nu sunt 0 8 perpendiculare. MO=O, iar ON=O şi cum O OYMO ON. 9. În sistemul cartezian de coordonate O se consideră elipsele de ecuańii: + = şi 6 9 + =. 6 Pentru fiecare elipsă să se scrie ecuańia tangentei în punctul de abscisă şi ordonata pozitivă. Să se arate că cele două tangente se intersectează într-un punct situat pe aa O. ReprezentaŃi grafic elipsele şi tangentele. R. a) Coordonatele punctelor: A, pentru E, B (, ) pentru E EcuaŃiile tangentelor: t : + =, pentru E, t : + =, pentru E 8 6 8 IntersecŃia tangentelor: T(8,0) Reprezentarea grafică: 0. În sistemul cartezian de coordonate O se consideră elipsele de ecuańii: + = şi 6 9 + =. 6 Pentru fiecare elipsă să se scrie ecuańia tangentei în punctul de abscisă şi ordonata negativă. Să se arate că cele două tangente se intersectează într-un punct situat pe aa O. ReprezentaŃi grafic elipsele şi tangentele. 9 R. a). Pentru = şi <0 se obńine + = =, adică A, E 5 9 5 5 8 De ecuańie + =, respectiv B, E de ecuańie + =. 5 9 5 5 Tangenta t în A la E are ecuańia t : =, 5 5 9 adică 9-0=75 8 Tangenta t în B la E are ecuańia t : =, 5 5 9 adică 7-0=5 5 t t ={C}, unde C,0 O.. În sistemul cartezian de coordonate O se consideră triunghiul care are laturile pe dreptele: (AB): +-7=0 (BC): -+=0 6

(AC): -5-=0 a) DeterminaŃi coordonatele vârfurilor triunghiului. ReprezentaŃi triunghiul ABC. b) ScrieŃi ecuańiile mediatoarelor segmentelor [AB] şi [BC]. DeterminaŃi coordonatele centrului cercului circumscris triunghiului ABC. + 7 = 0 = R.a) AB AC={A}, A: ; 5 = 0 = + 7 = 0 = AB BC={B}, B: ; + = 0 = + = 0 = 7 BC AC={C}, C:. 5 = 0 = 5 b) Centrul cercului se găseşte la intersecńia mediatoarelor laturilor [AB] şi [BC]. + = = M: =, N:. + = = = EcuaŃiile mediatoarelor: - 0 =m(- 0 ) Pantele: mab = = ; mbc = ; mmm ; 0 NM 0 = m m = = m = EcuaŃiile mediatoarelor: MM 0 : = ; NM 0 : = ( ) Coordonatele centrului cercului se obńine rezolvând sistemul format din cele două ecuańii: 59 = = M 0 :. 58 ( ) = =. În sistemul cartezian O se consideră cercul C de ecuańie: + =6 şi punctul A(,). a) DeterminaŃi centrul şi raza cercului. PrecizaŃi, prin calcul, pozińia punctului A fańă de cerc. ReprezentaŃi cercul. b) ScrieŃi ecuańia dreptei d care trece prin A şi centrul cercului. Fie M(a,b) un punct pe cerc. DeterminaŃi punctul M astfel încât tangenta la cerc în M să fie paralelă cu dreapta d. R.a) Din ecuańia C: (- 0 ) +(- 0 ) =r avem 0 =0, 0 =0, r= d( O, A) = ( ) + ( ) = + = 5 < YA0IntC. b) m OA =, ecuańia dreptei OA: - 0 =m(- 0 ) d: =. EcuaŃia tangentei la cerc: 0 + 0 =r şi din M(a,b) obńinem: a+b=6 care are panta a mt = egală cu m OA Y a=-b. b Din M0C Y a +b =6 Avem: b +b 5 8 5 =6 Y b = ± ; a =. 5 5. În sistemul de coordonate O se consideră punctele A(5,0), B(,) şi dreapta d de ecuańie +-=0. a) ReprezentaŃi dreapta şi punctele. ScrieŃi ecuańia mediatoarei segmentului [AB] şi determinańi intersecńia ei cu dreapta d. b) Să se stabilească ecuańia cercului care trece prin A, B şi are centrul pe dreapta d. + + R.a) M 0 : 0 = =, 0 = = ; m AB = =, m med = AB BC 7

med: - 0 =m(- 0 ) Y-=- IntersecŃia cu dreapta d este punctul C care se obńine rezolvând sistemul format din ecuańiile dreptei d şi a mediatoarei. + = 0 = C: = 0 = ( ) + = 0 b) Centrul cercului se află în punctul C(,), iar raza r=ca= ( ) EcuaŃia cercului C: (- 0 ) +(- 0 ) =r (-) +(-) =0 Y + ---5=0.. În sistemul cartezian de coordonate O se consideră dreapta d de ecuańie +-=0. a) DeterminaŃi coordonatele punctelor A şi B, intersecńiile dreptei d cu aele O, respectiv O. ReprezentaŃi dreapta. PrecizaŃi panta dreptei AB. 0 b) Ştiind că [AB] este latura unui trapez dreptunghic ABCD, cu m( A ˆ) = 90 şi BC**AD, având toate vârfurile pe aele de coordonate, scrieńi ecuańiile dreptelor BC şi CD. DeterminaŃi coordonatele punctelor C şi D. R. a) d O =0Y= A(,0) d Ο =0Y= B(0,), m AB = b) AD ABY m AD = YAD: - 0 =m(- 0 )Y = ( ) D: =0Y=- 9 D(0,- 9 ) BC ABY m BC = YBC: = 6 6 C: =0Y =,0 C 5. În sistemul cartezian de coordonate O se consideră punctul B(,) şi dreptele d, d de ecuańii d : +-5=0, d : --=0. a) Să se determine coordonatele lui A, punctul de intersecńie al celor două drepte. ReprezentaŃi dreptele şi calculańi lungimea segmentului [AB]. b) ScrieŃi ecuańia cercului de centru A şi care trece prin B. R. + 5 = 0 a) A: ; A(,) = 0 AB= ( ) + ( ) AB= b) r =8 C: (- 0 ) +(- 0 ) =r (-) +(-) =8 + -6-+5=0 6. În sistemul cartezian de coordonate O se consideră punctele A(0,), B(-,0) şi C(,0). a) ReprezentaŃi punctele şi calculańi distanńele BC şi AC. b) Să se scrie ecuańiile mediatoarelor segmentelor [AB] şi [BC]. DeterminaŃi centrul şi raza cercului circumscris triunghiului ABC. R. a) d(b,c)=5; d( A, C ) = + = 5 0 b) M(-,) e mijlocul lui [AB] şi m AB = =. 0 ( ) 8

EcuaŃia mediatoarei lui [AB] este a: = ( + ). N,0 e mijlocul lui [BC] şi m BC=0. EcuaŃia med. lui [BC] este b: =. Fie G centrul cercului circumscris ABC Y{G}=a b. = ( + ) 5 Din 5 5 5 G,, iar raza cercului circumscris e r = + =. = 7.. În sistemul cartezian de coordonate O se consideră punctul M(,) şi dreptele d,d de ecuańii d : +-=0 şi d : -+=0. Se notează cu A, punctul de intersecńie al dreptelor d şi d. a) Să se determine coordonatele punctului A. Să se reprezinte grafic dreptele d şi d. b) Să se scrie ecuańia dreptei AM. c) Să se scrie ecuańia dreptei care trece prin A şi este paralelă cu primisectoare. 7 R. a) {A}=d d Y A, 5 5 7 b) AM: = 5 ( ) Y 8-7+5=0. 5 c) Primisectoare: = cu m= 7 Dreapta d paralelă cu primisectoare ce trece prin A Y d : = sau 5-5+=0. 5 5 8. În sistemul cartezian de coordonate O se consideră punctul M(5,0) şi elipsa de ecuańie + =. 6 9 a) ReprezentaŃi elipsa şi precizańi, prin calcul, pozińia punctului M fańă de elipsă. b) Să se determine coordonatele punctelor P situate pe elipsă, astfel încât tangenta în P la elipsă să treacă prin M. ScrieŃi ecuańiile tangentelor la elipsă. DeterminaŃi pantele tangentelor. R. a) A(,0); A'(-,0); B(0,); B'(0,-), AA' aa mare şi BB' aa mică 5 0 5 Pentru M(5,0) avem: + = > M0eteriorului elipsei. 6 9 6 u v b) Fie P(u,v)0E Y + = (*) 6 9 u v Tangenta în P: + = care conńine pe M(0,5) de unde 5 u 0 v + = u = 6 şi apoi din (*) Y 6 9 6 9 5 9 9 6 9 6 9 v = şi v =, deci eistă două puncte cu proprietatea cerută: P, şi P, 5 5 5 5 5 5. z Tangenta în P e t : = cu panta m = 5 5 z Tangenta în P e t : + = cu panta m =-. 5 5 9. În sistemul cartezian de coordonate O se consideră punctele A(-,) şi B(,). a) Să se determine ecuańia cercului C de centru A şi care trece prin B. ReprezentaŃi cercul C. b) Să se scrie ecuańiile tangentelor la cerc în punctele care au abscisa =-. Să se arate că tangentele sunt paralele cu aa O. R. a) r = AB = + =, C: (+) +(-) =8 9

b) Dacă =- Y (-) =8 Y -= ± Y T (-,- ); T (-,+ ). EcuaŃia tangentei în T : (+)(-+)+(-)(- -)=8 Y =- EcuaŃia Tangentei în T : (+)(-+)+(-)(+ -)=8 Y =+. 0