ΣΧΟΛΗ. Ν. ΟΚΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΙΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ Σ.Α.Ε. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ.Ε. ΜΕ ΚΡΟΥΣΤΙΚΕΣ ΙΕΓΕΡΣΕΙΣ ρ. Α. Μαγουλάς Οκτώβριος 4
Η συνάρτηση δ ( και η παράγωγός της Ορίζεται ως εξής: δ ( ανωµαλο σηµειο για για συµβολισµός της δ ( δ ( βασική ιδιότητα ε δ ( d ή ε δ ( d ( ε > Το ολοκλήρωµα αυτό λέγεται και «ισχύς» της κρουστικής συναρτήσεως Πρακτική προσέγγιση της δ ( : p ( A τ A τ A τ Έχουµε ένα στενό παλµό στον οποίο αυξάνει το ύψος Α και µειώνεται η διάρκεια τ. Ο παλµός αυτός οριακά τείνει στην δ ( η οποία έχει: - Μηδενική διάρκεια τ - Άπειρο ύψος Α - Ισχύει πάντα Ατ
Η παράγωγος της δ ( λέγεται κρουστικό ζεύγος Συµβολισµός της D δ ( Dδ ( Πρακτική προσέγγιση της D δ ( p ( Είναι δύο διαδοχικοί στενοί παλµοί - ένας προς τα επάνω - ένας προς τα κάτω.
Παράγωγος ασυνεχούς συναρτήσεως Ας θεωρήσουµε µια πραγµατική συνάρτηση f ( η οποία όµως είναι ασυνεχής σε ένα σηµείο f δηλ. ισχύει ( f ( και έστω ότι η διαφορά αυτή είναι πεπερασµένη f ( f ( o f ( o η παράγωγος της συναρτήσεως αυτής στο σηµείο ασυνέχειας ορίζεται ως εξής: df ( d ( f ( f ( δ ( ηλαδή η παράγωγος στο σηµείο ασυνέχειας, περιέχει µια κρουστική συνάρτηση µε «ισχύ» ίση µε το άλµα της ασυνέχειας ( f ( f ( α, όπου α ένας πραγµατικός αριθµός Η πρόταση αυτή θα µας χρησιµεύσει πολύ στα επόµενα!
4 Επίλυση γραµµικής. Ε. ης Τάξεως µε κρουστική διέγερση Έχουµε το πρόβληµα: D y ( y ( y ( δ ( Προσοχή! Εδώ θα µπορούσε να υπάρχει και ο όρος Dδ ( για > έχουµε: D y ( y ( y (... αγνωστο ιότι η κρουστική συνάρτηση δ ( Επίσης αποκλείεται να έχουµε y ( γιατί τότε ΕΝ υπάρχει απόκριση y (, δηλαδή y ( για κάθε. Άρα οπωσδήποτε y ( y ( -. Έχουµε τον ακόλουθο πίνακα: για ΑΚΡΙΒΩΣ.Ε.: D y ( y ( δ ( α µέλος ( τι υπάρχει ; β µέλος ( τι υπάρχει ; D y ( y ( δ ( Οι συντελεστές,, δεν έχουν ιδιαίτερη σηµασία εδώ. Υπόθεση Έστω y ( k δ ( ( k R τότε D y ( k D δ (. αλλά η συνάρτηση D δ ( ΕΝ υπάρχει στο β µέλος Εποµένως η υπόθεση y ( k δ ( δεν ευσταθεί Υπόθεση Έστω D y ( k δ ( ( k R η υπόθεση αυτή ευσταθεί διότι δεν καταλήγει σε κάτι άτοπο.
Στη συνέχεια αντικαθιστούµε στην.ε. D y ( y ( δ ( µόνον τους όρους που περιέχουν κρουστική συνάρτηση δ (. ηλαδή: D y ( k δ ( y ( δεν περιέχει δ ( και στο β µέλος υπάρχει ο όρος δ ( άρα για ακριβώς: k δ ( δ ( Συνεπώς καταλήγουµε ότι: D y ( δ ( ηλαδή: η παράγωγος της y ( ( για είναι µια κρουστική συνάρτηση. Αυτό σηµαίνει ότι η y ( θα είναι ασυνεχής ( για και θα ισχύει: d y ( d ( y ( y ( k δ ( δ ( άρα: y ( y ( ( σύµφωνα µε την πρόταση που έχει διατυπωθεί σχετικά µε την παράγωγο ασυνεχούς συναρτήσεως και επειδή: y ( προκύπτει η ζητούµενη Αρχική Συνθήκη: Συνοψίζουµε λοιπόν για > D y ( y ( Η οµογενής αυτή.ε. επιλύεται εύκολα: χαρακτ. εξίσωση: s άρα και από Α.Σ. άρα τελικά: y ( C y ( y ( s ( ρίζα y ( C yκρουστικη (
6 Επίλυση γραµµικής. Ε. ας Τάξεως µε κρουστική διέγερση Έχουµε το πρόβληµα: D y ( D y ( y ( y (, D y ( δ ( Προσοχή! Εδώ θα µπορούσαν να υπάρχουν και οι όροι Dδ ( και D δ ( για > έχουµε: D y ( D y ( y ( y (... αγνωστο, D y (... αγνωστο Αποκλείεται να έχουν τα y (, D y (, και τα δύο, την τιµή. Είναι όµως δυνατό το ένα από τα δύο να είναι ίσο µε το ( ποιο; Ακολουθούµε την ίδια διαδικασία όπως προηγουµένως (.Ε. ης Τάξεως Έχουµε τον ακόλουθο πίνακα: για ΑΚΡΙΒΩΣ.Ε.: D y ( D y ( y ( δ ( α µέλος ( τι υπάρχει ; β µέλος ( τι υπάρχει ; D y ( D y ( δ ( y ( Οι συντελεστές,,, δεν έχουν ιδιαίτερη σηµασία εδώ. Υπόθεση Έστω y ( k δ ( ( k R τότε D y ( k D δ (, D y ( k D δ ( αλλά οι συναρτήσεις D δ (, D δ (, ΕΝ υπάρχουν στο β µέλος Εποµένως η υπόθεση y ( k δ ( δεν ευσταθεί Υπόθεση Έστω D y ( k δ ( ( k R τότε D y ( k D δ ( αλλά οι συνάρτηση D δ ( ΕΝ υπάρχει στο β µέλος Εποµένως η υπόθεση D y ( k δ ( δεν ευσταθεί
7 Υπόθεση Έστω D y ( k δ ( ( k R η υπόθεση αυτή ευσταθεί διότι δεν καταλήγει σε κάτι άτοπο. Αρα συνοψίζουµε: y ( δεν περιέχει δ ( D y ( δεν περιέχει δ ( D y ( περιέχει δ ( Η έκφραση D y ( δεν περιέχει δ ( µας εξασφαλίζει ότι: - Εφ όσον η παράγωγος της y (, για, δεν περιέχει δ (, αυτό σηµαίνει ότι η y ( είναι συνεχής συνάρτηση για. ηλαδή ισχύει: y ( y ( - ( η Αρχική Συνθήκη Στη συνέχεια αντικαθιστούµε στην.ε. D y ( D y ( y ( δ ( µόνον τους όρους που περιέχουν κρουστική συνάρτηση δ (. ηλαδή: D y ( k δ ( D y ( δεν περιέχει δ ( y ( δεν περιέχει δ ( και στο β µέλος υπάρχει ο όρος δ ( άρα για ακριβώς: D y ( δ ( ή k δ ( δ ( k Συνεπώς καταλήγουµε ότι: D y ( δ ( Η συνάρτηση D y (, η οποία προφανώς είναι παράγωγός της D y (, περιέχει κρουστικό όρο( για. Εποµένως η D y ( ( για θα είναι ασυνεχής και θα ισχύει: άρα: d y ( d ( D y ( D y ( δ ( D y ( D y ( δ (
8 και επειδή: D y ( Συνοψίζουµε λοιπόν για > προκύπτει και η η ζητούµενη Αρχική Συνθήκη: D y ( D y ( y (, D y ( D y ( y ( και προχωράµε κανονικά στην επίλυση της.ε. ανάλογα µε τις ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης. Ακολουθούν παραδείγµατα:
9 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Να λυθεί η.ε. ( D y ( δ ( y ( - Λύση: για > έχουµε: Προφανώς ( για άρα: ( D y ( y (? y ( δεν περιέχει δ ( Dy ( k δ ( D y ( y( δ( ή δεν περιέχει δ ( k δ ( δ ( k d y ( άρα: ( y ( y ( δ ( δ ( d συνεπώς y ( y ( και επειδή y ( - προκύπτει τελικά: Συνοψίζουµε για > y (.Ε. ( D y ( Α.Σ. y ( χαρακτ. εξίσωση s άρα: y ( και από Α.Σ. y ( προκύπτει αµέσως άρα η λύση ( κρουστική απόκριση είναι: C s y ( C y ( ακολουθεί γραφική παράσταση της λύσης
y ( y (.4 y ( y ( ΑΣΚΗΣΗ Να λυθούν οι.ε. i ( D y ( δ ( ii ( D y ( δ ( iii ( D 8 y ( δ ( Σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει y ( -
ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Να λυθεί η.ε. ( D D y ( δ ( y ( -, Dy ( - Λύση: για > έχουµε: Προφανώς ( για ( D D y ( y (?, Dy (? y ( δεν περιέχει δ ( D y ( δεν περιέχει δ ( άρα: y ( - y ( αντικαθιστώ στην.ε D y ( k δ ( D y ( D y( y ( δ ( δεν περιέχει δεν περιέχει δ ( δ ( η k δ ( δ ( k d y ( άρα: ( D y ( D y ( δ ( δ ( d συνεπώς D y ( D y ( και επειδή D y ( - προκύπτει τελικά: Συνοψίζουµε για > προχωρούµε κατά τα γνωστά στη επίλυση: χαρακτ. εξίσωση άρα: D y (. Ε. ( D D y ( Α.Σ. y (, Dy ( s s y ( C s C, s και από Α.Σ. y ( C C y ( C C D από την επίλυση του συστήµατος προκύπτουν οι τιµές: C, C - άρα η λύση ( κρουστική απόκριση είναι:
y ( ακολουθεί γραφική παράσταση της λύσης y ( y ( ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Να λυθεί η.ε. ( D D y ( δ ( y ( -, Dy ( - Λύση: για > έχουµε: ( D D y ( y (?, Dy (? Με όµοια συλλογιστική µε το προηγούµενο Παράδειγµα καταλήγουµε στα ακόλουθα: y ( y ( - D y ( D y ( ( γιατί; άρα για >. Ε. ( D D y ( Α.Σ. y (, Dy ( χαρακτ. εξίσωση s s j s, ± άρα: ( ( C cos C sin y
εφαρµόζουµε Α.Σ. y ( C άρα D y ( C C ( γιατί; C, C άρα η λύση ( κρουστική απόκριση είναι: y ( sin ακολουθεί γραφική παράσταση της λύσης y ( y ( sin