ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ. Ιωάννης Βανδουλάκης Χαράλαμπος Καλλιγάς Νικηφόρος Μαρκάκης Σπύρος Φερεντίνος

ΥΠΥΡΕΙ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΙ ΕΙΣ ΚΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΤΩΝ ΠΙ ΩΙΚ ΙΝΣΤΙΤΥΤ Ιωάννης ανδουλάκης Χαράλαμπος Καλλιγάς Νικηφόρος Μαρκάκης Σπύρος Φρντίνος ΜΘΗΜΤΙΚ υμνασίου ΜΕΡΣ ωμτρία Τόμος 2ος

Μαθηματικά ΥΜΝΣΙΥ ΜΕΡΣ ωμτρία Τόμος 2ος

ΣΥΡΦΕΙΣ Ιωάννης ανδουλάκης, Μαθηματικός Χαράλαμπος Καλλιγάς, Μαθημ/κός-Πληροφορικός, Εκπ. Ιδιωτ. Εκπ/σης Νικηφόρος Μαρκάκης, Μαθημ/κός-Πληροφορικός, Εκπ. Ιδιωτ. Εκπ/σης Σπύρος Φρντίνος, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΚΡΙΤΕΣ-ΞΙΛΗΤΕΣ Χαράλαμπος Τσίτουρας, ν. Καθηγητής ΤΕΙ-Χαλκίδας ώργιος Μπαραλός, Σχολικός Σύμβουλος Μαθ/κών Χαρίκλια Κωνσταντακοπούλου, Μαθ/κός Εκπ/κός /θμιας Εκπ/σης ΕΙΚΝΡΦΗΣΗ Κλιώ κιζλή, Ζωγράφος Ιόλη Κυρούση, ραφίστρια ΦΙΛΛΙΚΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙ αρβάρα ρνλή, Φιλόλογος Εκπ/κός /θμιας Εκπ/σης ΥΠΕΥΘΥΝΣ ΤΥ ΜΘΗΜΤΣ ΚΙ ΤΥ ΥΠΕΡΥ ΚΤ ΤΗ ΣΥΡΦΗ θανάσιος Σκούρας, Σύμβουλος Παιδαγωγ. Ινστιτούτου ΕΞΩΦΥΛΛ Μανώλης Χάρος, Ζωγράφος ΠΡΕΚΤΥΠΩΤΙΚΕΣ ΕΡΣΙΕΣ ΕΚ ΣΕΙΣ ΠΤΚΗ Στη συγγραφή του πρώτου μέρους (1/3) έλαβ μέρος και η Θοδώρα στέρη, Eκπ/κός /θμιας Εκπ/σης

ΥΠΥΡΕΙ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΙ ΕΙΣ ΚΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΤΩΝ ΠΙ ΩΙΚ ΙΝΣΤΙΤΥΤ Ιωάννης ανδουλάκης Χαράλαμπος Καλλιγάς Νικηφόρος Μαρκάκης Σπύρος Φρντίνος Μαθηματικά ΥΜΝΣΙΥ ΜΕΡΣ ωμτρία Τόμος 2ος

Κ.Π.Σ. / ΕΠΕΕΚ ΙΙ / Ενέργια 2.2.1 / Κατηγορία Πράξων 2.2.1.α: «ναμόρφωση των προγραμμάτων σπουδών και συγγραφή νέων κπαιδυτικών πακέτων» ΠΙ ΩΙΚ ΙΝΣΤΙΤΥΤ ημήτριος. λάχος μότιμος Καθηγητής του.π.θ Πρόδρος του Παιδαγωγ. Ινστιτούτου Πράξη µ τίτλο: «Συγγραφή νέων βιβλίων και παραγωγή υποστηρικτικού κπαιδυτικού υλικού µ βάση το ΕΠΠΣ και τα ΠΣ για το υμνάσιο» Επιστηµονικός Υπύθυνος Έργου ντώνιος Σ. Μπομπέτσης Σύμβουλος του Παιδαγωγ. Ινστιτούτου ναπληρωτής Επιστηµ. Υπύθ. Έργου ώργιος Κ. Παληός Σύμβουλος του Παιδαγωγ. Ινστιτούτου Ιγνάτιος Ε. Χατζηυστρατίου Μόνιμος Πάρδρος του Παιδαγ. Ινστιτ. Έργο συγχρηµατοδοτούµνο 75% από το Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμίο και 25% από θνικούς πόρους. ΠΡΣΡΜΗ ΤΥ ΙΛΙΥ Ι ΜΘΗΤΕΣ ΜΕ ΜΕΙΩΜΕΝΗ ΡΣΗ μάδα Εργασίας ποφ. 16158/6-11-06 και 75142/6/11-7-07 ΥΠΕΠΘ

.1.12. Επίκντρη γωνία Σχέση πίκντρης γωνίας και του αντίστοιχου τόξου Μέτρηση τόξου ΡΣΤΗΡΙΤΗΤ 1η Στο διπλανό σχήμα φαίνονται τα ποσοστά που πήραν τέσσρα κόμματα στις κλογές. Μπορίς να 45% 40% βρις σ πόσς μοίρς αντιστοι- 10% χί κάθ φέτα της πίτας; 5% Θυμόμαστ - Μαθαίνουμ Κατασκυάζουμ έναν κύκλο (, ρ) και μια γωνία, xoy της οποίας η O κορυφή συμπίπτι μ το κέντρο του κύκλου. Η γωνία αυτή λέγται πίκντρη B γωνία. A y x ν η πλυρά x της γωνίας xoy τέμνι τον κύκλο στο σημίο και η πλυρά y στο σημίο, τότ: Το τόξο που βρίσκται στο σωτρικό της κυρτής γωνίας xoy λέγται αντίστοιχο τόξο της πίκντρης γωνίας xoy. Το τόξο Δ που βρίσκται στο σωτρικό της μη κυρτής γωνίας O xoy ίναι κι αυτό αντίστοιχο τόξο B της μη κυρτής πίκντρης γωνίας xoy. A x y 5 / 190

Ως μέτρο νός τόξου ορίζται το μέτρο της αντίστοιχης πίκντρης γωνίας, δηλαδή το μέτρο νός τόξου το μτράμ σ μοίρς. Σ έναν κύκλο ή σ ίσους κύκλους, δυο ίσς πίκντρς γωνίς έχουν ίσα αντίστοιχα τόξα. Και αντίστροφα Σ έναν κύκλο ή σ ίσους κύκλους, δυο ίσα τόξα έχουν ίσς τις πίκντρς γωνίς. O A x y B x A B y A O x B y O y B x A ΠΡ ΕΙΜΤ - ΕΦΡΜΕΣ 1. Να κατασκυαστί γωνία ίση μ 30 ο. Λύση 1 x 6 / 191

2 90 x 0 180 0 180 3 4 x x ω = 30 ο 5 x ω ια να κατασκυάσουμ μία γωνία χρησιμοποιούμ το μοιρογνωμόνιο. Το μοιρογνωμόνιο ίναι ένα όργανο μ το οποίο μπορούμ να μτρήσουμ το μέτρο νός τόξου ή μιας γωνίας. Κάθ μοιρογνωμόνιο αντιστοιχί σ ημικύκλιο που έχι βαθμολογηθί έτσι, ώστ να δίχνι 7 / 191

τα μέτρα των τόξων από 0 ο έως 180 ο. τρόπος που μπορούμ να κατασκυάσουμ τη ζητούμνη γωνία 30 ο φαίνται στα διαδοχικά παραπάνω σχήματα. 2. Να κατασκυαστί τρίγωνο, για το οποίο γνωρίζουμ ότι έχι δύο πλυρές 3 cm και 4 cm και των οποίων η πριχόμνη γωνία ίναι 55 ο. 1 55 ο 180 ο 2 55 ο 3 4 3. Να κατασκυαστί τρίγωνο, για το οποίο γνωρίζουμ ότι έχι μία πλυρά 3 cm και τις προσκίμνς γωνίς 40 ο και 100 ο. 8 / 191-192

3 cm 1 100 180 ο 2 140 ο 40 ο 100 ο 100 40 ο 180 ο 3 ο 4 ΣΚΗΣΕΙΣ ΚΙ ΠΡΛΗΜΤ 1. Να βρις πόσς μοίρς έχι: α) ένας κύκλος, β) ένα ημικύκλιο και γ) καθένα από τα τόξα στα οποία χωρίζται ένας κύκλος από δύο κάθτς διαμέτρους. 2. ύο διάμτροι νός κύκλου σχηματίζουν γωνία 60. Να βρις πόσς μοίρς ίναι κάθ ένα από τα τόξα στα οποία χωρίζται ο κύκλος από αυτές τις διαμέτρους του. 3. Σχδίασ δύο κύκλους (, 3 cm) και (O, 4 cm). Να ορίσις στον κάθ κύκλο από ένα τόξο 45 ο και να ξτάσις άν τα τόξα αυτά ίναι ίσα. Να δικαιολογήσις την απάντησή σου. 9 / 192

4. Τρις διάμτροι χωρίζουν έναν κύκλο σ έξι ίσα τόξα. Πόσων μοιρών ίναι καθμιά από τις έξι πίκντρς γωνίς που αντιστοιχούν στα τόξα αυτά; 5. Σ έναν κύκλο (, ρ) να χαράξις μία χορδή ίση μ την ακτίνα του κύκλου. Να υπολογίσις σ μοίρς την πίκντρη γωνία και να βρις σ ποιο κλάσμα του κύκλου αντιστοιχί το τόξο. 7. Να σχδιάσις ένα τμήμα = 2,8 cm και τους κύκλους (, 4 cm) και (, 4 cm). Να ονομάσις το ένα από τα δύο σημία στα οποία τέμνονται οι κύκλοι και να μτρήσις τις γωνίς του τριγώνου. ΡΣΤΗΡΙΤΗΤ Ι Τ ΣΠΙΤΙ Το παρακάτω ημικυκλικό διάγραμμα έχι κάποιο λάθος! ιατί; Μπορίς να το διορθώσις; 40% 15% 15% 30% 10 / 192

.1.13. Θέσις υθίας και κύκλου ς ξτάσουμ τώρα τις σχτικές θέσις που μπορί να έχουν σ ένα πίπδο ένας κύκλος και μια υθία; Θυμόμαστ - Μαθαίνουμ Όταν υθία και κύκλος δν έχουν κανένα κοινό σημίο λέμ ότι η υθία ίναι ξωτρική του κύκλου. Όταν η απόσταση Μ του κέντρου από την υθία ίναι μγαλύτρη από την ακτίνα ρ (Μ > ρ), η υθία ίναι ξωτρική του κύκλου. Όταν υθία και κύκλος έχουν ένα ρ Μ μόνο κοινό σημίο Μ, η υθία λέγται φαπτόμνη του κύκλου στο σημίο Μ. Όταν η απόσταση Μ του κέντρου ρ Μ από την υθία ίναι ίση μ την ακτίνα ρ (Μ = ρ), η υθία ίναι φαπτομένη του κύκλου στο Μ. Όταν υθία και κύκλος έχουν δύο κοινά σημία και, η υθία λέγται τέμνουσα του κύκλου ή λέμ ότι η ρ υθία τέμνι τον κύκλο στα και Όταν η απόσταση Μ του κέντρου από την υθία ίναι μικρότρη από την ακτίνα ρ (Μ < ρ), η υθία ίναι τέμνουσα του κύκλου. Μ 11 / 193

ΠΡ ΕΙΜΤ - ΕΦΡΜΕΣ 1. Να σχδιαστί κύκλος που να φάπτται σ σημίο μιας υθίας. Λύση Παίρνουμ μια υθία και το σημίο της. Σχδιάζουμ την υθία που ίναι κάθτη στην στο σημίο. Μ κέντρο ένα οποιοδήποτ σημίο Κ της κάθτης αυτής και ακτίνα το τμήμα Κ γράφουμ κύκλο. κύκλος που φέραμ θα φάπτται στην υθία, διότι αυτή ίναι κάθτη στην ακτίνα Κ του κύκλου στο άκρο της. Κ 2. Να σχδιαστί υθία που να φάπτται σ σημίο νός κύκλου. Λύση Παίρνουμ ένα κύκλο (, ρ) και το σημίο του. Σχδιάζουμ την υθία, που ίναι κάθτη στην ακτίνα στο σημίο. Η υθία θα φάπτται στον κύκλο στο σημίο, διότι ίναι κάθτη στην ακτίνα στο άκρο της. 3. Να σχδιαστούν φαπτόμνς νός κύκλου (, ρ) στα άκρα και μιας χορδής του. Λύση Σχδιάζουμ τις ακτίνς και. Στο σημίο της ακτίνας φέρνουμ την υθία 1 κάθτη στην ακτίνα 12 / 193

αυτή. Η υθία 1 ίναι φαπτομένη του κύκλου στο σημίο. Στο σημίο της ακτίνας φέρνουμ την υθία 2 κάθτη στην ακτίνα αυτή. Η υθία 2 ίναι φαπτομένη του κύκλου στο σημίο. 1 2 Μ ν ίναι Μ το σημίο που τέμνονται οι φαπτόμνς, τα υθύγραμμα τμήματα Μ και Μ λέγονται φαπτόμνα τμήματα του κύκλου ΣΚΗΣΕΙΣ ΚΙ ΠΡΛΗΜΤ 1. Να σχδιάσις δύο παράλληλς υθίς 1 και 2 που να απέχουν μταξύ τους 2,5 cm. Να πάρις ένα σημίο Μ της 1 και να βρις σημία της 2 που απέχουν 3,6 cm από το Μ. 2. Να σχδιάσις ένα υθύγραμμο τμήμα = 3,6 cm και έναν κύκλο μ διάμτρο την. Να χαράξις τις φαπτόμνς του κύκλου που διέρχονται από τα και. Να δικαιολογήσις γιατί οι φαπτόμνς αυτές ίναι υθίς παράλληλς. 3. Παίρνουμ έναν κύκλο (, ρ) και μια υθία. νομάζουμ δ την απόσταση του κέντρου από την υθία. Να βρις τον αριθμό των κοινών σημίων του κύκλου και της υθίας, στις πριπτώσις: (α) ν ρ = 5 cm και δ = 4 cm, (β) αν ρ = 2,5 cm και δ = 2,5 cm και (γ) αν ρ = 3 cm και δ = 6 cm. 4. Να σχδιάσις δύο κάθτς υθίς 1 και 2 και να ονομάσις το σημίο τομής τους. Να πάρις ένα 13 / 193-194

σημίο Κ της 1 ώστ να ίναι Κ = 3,1 cm. Να φέρις τους κύκλους (Κ, 2,1cm), (Κ, 3,1cm) και (Κ, 36 cm). Να βρις ποια ίναι η θέση της 2 ως προς τους κύκλους αυτούς. 5. Να σχδιάσις ένα υθύγραμμο τμήμα = 40 mm. Να πάρις ένα σημίο Μ του, ώστ να ίναι Μ = 18 mm. Να φέρις τους κύκλους (, 18 mm) και (, 22 mm). Να χαράξις υθία που να διέρχται από το Μ και να ίναι κάθτη στην. Ποια ίναι η θέση της ως προς τον καθένα από τους κύκλους; Να δικαιολογήσις την απάντησή σου. ΡΣΤΗΡΙΤΗΤΕΣ Ι Τ ΣΠΙΤΙ 1. Μια πιχίρηση αποφάσισ να κατασκυάσι ένα ργοστάσιο σ μια αγροτική πριοχή που πιλέγι για το σκοπό αυτό. Η πλυρά κάθ ττραγώνου του σχήματος της πόμνης σλίδας, αντιπροσωπύι απόσταση 100 m. Τ ργοστάσιο πρέπι να βρίσκται τουλάχιστον σ ακτίνα 600 m μακριά από τα σπίτια (Σ). Επίσης πρέπι να απέχι το λιγότρο 300 m από την άκρη του δρόμου. Να αντιγράψις σ ττραγωνισμένο χαρτί το σχήμα και να χρωματίσις τις πριοχές όπου μπορί να κατασκυαστί το ργοστάσιο. 14 / 194

Σπίτι Σπίτι δρόμος Σπίτι Σπίτι Σπίτι Σπίτι Σπίτι 2. Η συμφωνία μταξύ των χωριών, και για την κατασκυή μιας γώτρησης σ μια θέση Μ πριλαμβάνι τους ξής τρις όρους: α) Μ > 2 km, β) Μ = 3 km και γ) Μ = 4 km. Να αντιγράψις το παρακάτω σχήμα και να βρις τη θέση του σημίου Μ, καθώς και την απόσταση της θέσης αυτής από το δρόμο. 6 km 15 / 194

νακφαλαίωση ΣΗΜΕΙ ΕΥΘΥΡΜΜ ΤΜΗΜ σημίο άπιρς υθίς από υθύγραμμο τμήμα παράλληλα υθύγραμμα τμήματα ΕΥΘΕΙ ΗΜΙΕΥΘΕΙ x x υθία υθία x x x ημιυθία x το σημίο χωρίζι μια υθία σ δύο ημιυθίς x και x 16 / 195

τμνόμνς κάθτς υθίς παράλληλς υθίς υθίς 1 1 2 2 1 ο από το μία μόνο κάθτη στην 2 από το μία μόνο παράλληλη στην ΕΠΙΠΕ ΗΜΙΕΠΙΠΕ Π τρία σημία ορίζουν ένα πίπδο Π Η υθία ανήκι ολόκληρη στο πίπδο Π Π 2 Π Η υθία τέμνι το πίπδο Π Π 1 Η υθία χωρίζι ένα πίπδο σ δύο ημιπίπδα 17 / 195

ΠΣΤΣΗ απόσταση δύο σημίων 1 απόσταση σημίου από υθία 2 απόσταση δύο παράλληλων υθιών κορυφή πλυρά ω O ΩΝΙ y y διχοτόμος z πλυρά x x γωνία διχοτόμος γωνίας x y y x κατακορυφήν γωνίς φξής γωνίς 18 / 195-196

y διαδοχικές γωνίς x φ ω z 0 ο 180 ο παραπληρωματικές γωνίς x 90 ο y β α x 0 ο συμπληρωματικές γωνίς y 90 x 0 180 οξία γωνία 0 180 19 / 196

y 90 x 0 180 ορθή γωνία 0 180 90 y x 0 180 αμβλία γωνία 0 180 90 x 0 180 υθία γωνία 0 180 y 20 / 196

Κύκλος ρ χορδή διάμτρος κύκλος(, ρ) και χορδή η διάμτρος κυκλικός δίσκος χωρίζι τον κύκλο σ 2 ημικύκλια ρ Μ 1 Μ 2 Μ 3 τόξο δύο σημία και Μ1 σωτρικό του (, ρ) του κύκλου ορίζουν Μ2 σημίο του (, ρ) δύο τόξα του κύκλου Μ3 ξωτρικό του (, ρ) A x O B y Επίκντρη γωνία 21 / 196

ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΘΕΣΕΙΣ ΕΥΘΕΙΣ ΚΙ ΚΥΚΛΥ ρ Μ ρ Μ ξωτρική φαπτόμνη ρ Μ τέμνουσα 1 2 φαπτόμνα τμήματα Μ 22 / 196

ΣΧΕ Ι ΕΡΣΙΣ Πολύ συχνά, σ αυτά που διαβάζουμ, σ ό,τι ακούμ, αλλά και σ κίνα που γράφουμ ή λέμ, υπάρχουν λέξις που την αρχική τους προέλυση ή τη βασική τους σημασία την αντλούν από τη γωμτρία ή γνικότρα από τα μαθηματικά. Είναι λέξις που τις χρησιμοποιούμ μ την ίδια πρίπου έννοια όπως και στα μαθηματικά, π.χ. στο μέσο της διαδρομής ή το μισό του προϋπολογισμού κ.λπ. Σ αρκτές όμως πριπτώσις, μ αυτές τις λέξις κφραζόμαστ μταφορικά, αποδίδοντάς τους ένα υρύτρο νόημα. Λέμ πχ. Όλς οι χώρς της Ευρώπης δ βρίσκονται στο ίδιο οικονομικό πίπδο ή το φστιβάλ συνχίστηκ μ παράλληλς κδηλώσις. Στο κίμνο που ακολουθί, υπάρχουν πολλές τέτοις λέξις. Προσπάθησ να τις ντοπίσις και να τις υπογραμμίσις μ την πρώτη ανάγνωση. Το κρίσιμο σημίο Η μπάλα έχι τοποθτηθί στο σημίο του πέναλτι. ι φίλαθλοι στις κρκίδς έχουν παγώσι. ι παίκτς των δύο ομάδων βρίσκονται, ήδη, έξω από τις γραμμές της μγάλης πριοχής. τρματοφύλακας, στο μέσον ακριβώς της στίας του, κοιτάζι κατυθίαν στα μάτια τον αντίπαλο του, που τοιμάζται να κτλέσι την σχάτην των ποινών αυτού του αγώνα. ια ένα κλάσμα του δυτρολέπτου οι δύο παίκτς και η μπάλα βρίσκονται ακριβώς στην ίδια υθία και αμέσως μτά η σφαιρική μάγισσα διαγράφι μια καμπύλη τροχιά και 23 / 197

καρφώνται στη δξιά γωνία της στίας, τη στιγμή που ο τρματοφύλακας πέφτι προς την αντίθτη πλυρά. κοοοοοοόλ, φωνάζι μ όλη τη δύναμη του ο Μιχάλης, τρέχοντας προς το κέντρο του κατάφωτου από τους προβολίς γηπέδου, νώ οι οπαδοί της ομάδας του τον αποθώνουν αφού έδωσ λύση στο πιο κρίσιμο σημίο του αγώνα. Ταυτόχρονα, ανοίγι η πόρτα του δωματίου και η μητέρα του Μιχάλη, μισοξυπνημένη, τρέχι ανήσυχη να δι τι συμβαίνι στον ύπνο του γιού της. υτό το παιδί, μουρμουρίζι, δ θα μάθι ποτέ να σβήνι το φως πριν κοιμηθί Μπορίς στα νολληνικά κίμνα, αλλά και στα άλλα μαθήματα π.χ. στην ιστορία, τη ωγραφία, τη ιολογία κ.λπ., να ντοπίσις τέτοις λέξις; Να λέγξις σ ποις πριπτώσις έχουν σημασία κυριολκτική και σ ποις μταφορική. Προσπάθησ να συλλέξις φράσις, από λογοτχνικά κίμνα, όπου οι λέξις χρησιμοποιούνται κυρίως μ μταφορική σημασία, όπως π.χ. βίοι παράλληλοι, του κύκλου τα γυρίσματα κ.λπ. Τέλος, προσπάθησ να γράψις κι σύ ένα κίμνο ή μια ιστορία, στην οποία να χρησιμοποιήσις τέτοις λέξις ή κφράσις, μ κυριολκτική ή και μταφορική σημασία. 24 / 197

Επαναληπτικές Ερωτήσις υτοαξιολόγησης σκήσις Σωστού ή Λάθους ράψ Σ μπροστά από κάθ σωστή πρόταση και Λ μπροστά από κάθ λάθος 1. ντικίμνς ημιυθίς λέγονται δύο ημιυθίς που έχουν κοινή αρχή. 2. Παράλληλς λέγονται δύο υθίς του ιδίου πιπέδου, που δν έχουν κοινό σημίο. 3. πόσταση δύο παράλληλων υθιών λέγται το μήκος κάθ υθύγραμμου τμήματος που έχι τα άκρα του σ αυτές. 4. ντίστοιχα στοιχία των ίσων σχημάτων λέμ αυτά που συμπίπτουν όταν τοποθτήσουμ τα σχήματα το ένα πάνω στο άλλο μ κατάλληλο τρόπο. 5. Μέσο νός υθύγραμμου τμήματος ονομάζουμ το σημίο Μ του τμήματος, που απέχι ξίσου από τα άκρα του. 6. Τόξο λέγται το υθύγραμμο τμήμα, που συνδέι δύο σημία και του κύκλου. 7. ιάμτρος του κύκλου λέγται η χορδή που πρνάι από το κέντρο του κύκλου. 8. Παραπληρωματικές γωνίς ονομάζονται δύο γωνίς, μ άθροισμα 90. 9. Συμπληρωματικές γωνίς ονομάζονται δύο γωνίς μ άθροισμα 180. 25 / 198

10. Κατακορυφήν γωνίς λέγονται δύο γωνίς που έχουν την κορυφή τους κοινή. 11. πό ένα σημίο διέρχται μία μόνο υθία. 12. πό δύο σημία μπορούν να πράσουν άπιρς υθίς. 13. Μια υθία πκτίνται απριόριστα. 14. Ένα πίπδο πκτίνται απριόριστα. 15. Κάθ υθία νός πιπέδου το χωρίζι σ άπιρα ημιπίπδα. 16. ύο υθίς που βρίσκονται στο πίπδο ίναι πάντα παράλληλς. 17. πό ένα σημίο μπορούμ να φέρουμ άπιρς υθίς κάθτς σ μια υθία. 18. ύο υθίς του πιπέδου κάθτς σ μια τρίτη υθία ίναι μταξύ τους κάθτς. 19. ι τθλασμένς γραμμές διακρίνονται σ κλιστές ή μη κυρτές. 20. Η τθλασμένη γραμμή έχι μήκος το άθροισμα των μηκών των υθύγραμμων τμημάτων, από τα οποία αποτλίται. 21. Το υθύγραμμο τμήμα ίναι μγαλύτρο από κάθ τθλασμένη γραμμή μ τα ίδια άκρα και. 22. Κάθ υθύγραμμο τμήμα που νώνι ένα σημίο του κύκλου μ το κέντρο του ίναι διάμτρος του κύκλου. 26 / 198

23. ύο κύκλοι μ ακτίνς άνισς ίναι ίσοι. 24. Η διάμτρος ίναι τριπλάσια από την ακτίνα του κύκλου. 25. Όλα τα σημία του κυκλικού δίσκου απέχουν από το κέντρο απόσταση μικρότρη ή ίση μ την ακτίνα ρ. 26. ι προσκίμνς στη βάση ισοσκλούς τριγώνου γωνίς ίναι ίσς. 27. ύο κατακορυφήν γωνίς ίναι συμπληρωματικές. 28. Ημικύκλιο λέγται ένα από τα δύο τόξα, στα οποία διαιρίται ένας κύκλος από μια διάμτρό του. 27 / 198

Συμμτρία ΜΕΡΣ 2ο Κ Ε Φ Λ Ι ΘΛΗΣ ΜΙΛΗΣΙΣ 640 546 π.χ.

2.1 Συμμτρία ως προς άξονα νωρίζω πότ δύο σημία ίναι συμμτρικά ως προς υθία νωρίζω πότ δύο σχήματα ίναι συμμτρικά ως προς υθία και ότι τα συμμτρικά ως προς υθία σχήματα ίναι ίσα ρίσκω το συμμτρικό σημίο υθυγράμμου τμήματος, υθίας, τριγώνου, γωνίας και κύκλου ως προς μία υθία και γνωρίζω τις γωμτρικές ιδιότητς που απορρέουν από την συμμτρία αυτή 2.2 Άξονας συμμτρίας ναγνωρίζω σχήματα μ άξονα ή άξονς συμμτρίας 2.3 Μσοκάθτος υθυγράμμου τμήματος Χαράσσω τη μσοκάθτο νός υθυγράμμου τμήματος μ τη βοήθια βαθμολογημένου κανόνα και γνώμονα νωρίζω τη χαρακτηριστική ιδιότητα της μσοκαθέτου υθυγράμμου τμήματος Χαράσσω τη μσοκάθτο νός υθυγράμμου τμήματος μ κανόνα και διαβήτη 2.4 Συμμτρία ως προς σημίο νωρίζω ότι η συμμτρία ως προς κέντρο ίναι μια στροφή γύρω από το κατά γωνία 180 νωρίζω πότ δύο σημία ίναι συμμτρικά ως προς σημίο νωρίζω πότ δύο σχήματα ίναι συμμτρικά ως προς σημίο και ότι αυτά τα συμμτρικά σχήματα ίναι ίσα Κατασκυάζω το συμμτρικό σημίου, υθυγράμμου τμήματος, υθίας, γωνίας, τριγώνου, πολυγώνου και κύκλου ως προς σημίο 29 / 199

2.5 Κέντρο συμμτρίας ναγνωρίζω σχήματα μ κέντρο συμμτρίας νωρίζω τα βασικά γωμτρικά σχήματα μ κέντρο συμμτρίας και τις γωμτρικές ιδιότητς που απορρέουν από τη συμμτρία αυτή 2.6 Παράλληλς υθίς που τέμνονται από μία άλλη υθία νωρίζω πώς ονομάζονται τα ζύγη των γωνιών που σχηματίζονται από την τομή δύο παραλλήλων μ μία τέμνουσά τους. ιαπιστώνω ότι όλς οι οξίς (ή οι αμβλίς) γωνίς, που σχηματίζουν δύο παράλληλς οι οποίς τέμνονται από τρίτη υθία, ίναι ίσς ιαπιστώνω ότι μία οξία και μία αμβλία γωνία από τις γωνίς που σχηματίζονται από την τομή δύο παραλλήλων από την τρίτη υθία ίναι παραπληρωματικές 30 / 199

.2.1. Συμμτρία ως προς άξονα Τι ίναι συμμτρία; ποιητής θα έλγ: ό,τι φοριέται από την ανάποδη. Ότι διπλώνι και ταιριάζι, ότι στρίβι και «συμπίπτι». Μόνο η φαντασία δν έχι καθόλου συμμτρία. ι αυτό η συμμτρία χριάζται και λίγη φαντασία. ν αυτή ακριβώς τη φαντασία τη φορέσουμ ανάποδα, θα μας βγι όλη η ωμτρία. ΡΣΤΗΡΙΤΗΤ Κατασκύασ ένα ισοσκλές τρίγωνο μ = = 5 cm και = 4 cm και τη διάμσό του. ίπλωσ το σχήμα κατά μήκος της υθίας που ανήκι η. Τι παρατηρίς; Σκφτόμαστ Παρατηρούμ ότι τα τρίγωνα Δ και Δ συμπίπτουν. υτό σημαίνι, ότι κάθ σημίο του 5 cm Μ Κ 5 cm Μ νός τριγώνου συμπίπτι μ ένα σημίο του άλλου τριγώνου. ια 4 cm παράδιγμα, το συμπίπτι μ το. Τα σημία αυτά λέγονται συμμτρικά ως προς άξονα συμμτρίας την υθία. Μ τη δίπλωση κατά μήκος της υθίας, κάθ σημίο της συμπίπτι μ τον αυτό του. Επομένως συμμτρικό του ίναι το, του Δ το Δ και νός οποιουδήποτ σημίου Κ της το ίδιο το Κ. 31 / 200

Θυμόμαστ - Μαθαίνουμ Συμμτρικό σημίου ως προς υθία, ίναι το σημίο μ το οποίο συμπίπτι το, αν διπλώσουμ το φύλλο κατά μήκος της υθίας. Κάθ σημίο μιας υθίας ίναι συμμτρικό του αυτού του ως προς την. Όπως ίδαμ, μ τη δίπλωση κατά μήκος της υθίας κάθ σημίο του τριγώνου Δ συμπίπτι μ ένα σημίο του τριγώνου Δ. υτό σημαίνι ότι καθένα από τα τρίγωνα αυτά αποτλίται από τα συμμτρικά όλων των σημίων του άλλου τριγώνου ως προς την υθία. ι αυτό λέμ ότι: Τα τρίγωνα Δ και Δ ίναι συμμτρικά ως προς την υθία. νικότρα: ύο σχήματα (Σ 1 ) και (Σ 2 ) λέγονται συμμτρικά ως προς μία υθία, όταν καθένα αποτλίται από τα συμμτρικά σημία του άλλου ως προς την. (Σ 1 ) (Σ 2 ) Επιδή μ δίπλωση κατά μήκος της συμπίπτι το (Σ 1,) μ το (Σ 2 ), γνωρίζουμ ότι αυτά θα ίναι ίσα. Επομένως: Μ Μ Τα συμμτρικά ως προς υθία σχήματα ίναι ίσα. 32 / 200

ΠΡ ΕΙΜΤ - ΕΦΡΜΕΣ 1. Μια γραμμή γ τέμνι την υθία στα σημία, και. Να βρθί ο λόγος για τον οποίο και η συμμτρική γ της γ, ως προς την υθία, θα πρνάι από τα ίδια σημία. γ Λύση Η συμμτρική γραμμή A γ της γ ως προς την γ, αποτλίται από τα συμμτρικά όλων των σημίων της γ. Επομένως στη γ ανήκουν και τα συμμτρικά σημία των, και. Επιδή όμως τα, και ίναι σημία της τα συμμτρικά τους ίναι τα ίδια τα σημία. Άρα τα, και ανήκουν και στη γ. 2. Να κατασκυαστί το συμμτρικό σημίου ως προς μια υθία. Λύση A ιακρίνουμ δύο πριπτώσις: Το σημίο ανήκι στην υθία. Τότ, όπως ίδαμ, το συμμτρικό του ίναι το ίδιο το σημίο. A Το σημίο δν ανήκι στην υθία. Τότ, για να βρούμ το συμμτρικό του, ακολουθούμ την παρακάτω διαδικασία: Φέρνουμ το κάθτο τμήμα από το σημίο προς την υθία και το προκτίνουμ κατά ίσο τμήμα, ώστ να ίναι =. Το σημίο ίναι το συμμτρικό του ως προς την υθία. 33 / 201

3. Να κατασκυαστί η συμμτρική ως προς υθία : (α) υθίας δ και (β) ημιυθίας χ. Λύση (α) Παίρνουμ δύο σημία και πάνω στην υθία δ και βρίσκουμ, όπως πριγράφται στην φαρμογή 2, τα συμμτρικά τους και, ως προς την. Η υθία δ που ορίζουν τα και ίναι η συμμτρική της υθίας δ. (β) Παρόμοια παίρνουμ, κτός του, ένα δύτρο σημίο πάνω στην ημιυθία x και βρίσκουμ, όπως πριν, τα συμμτρικά τους και ως προς την. Η ημιυθία x που ορίζουν τα και ίναι η συμμτρική της ημιυθίας x. δ A δ A A A B B x x 4. Να κατασκυαστί το συμμτρικό νός υθύγραμμου τμήματος, ως προς μια υθία. Λύση A A A 1 B 2 B A 3 ρίσκουμ μ τον τρόπο που ίδαμ στην φαρμογή 3, τα συμμτρικά και, ως προς την, των και 34 / 201

αντίστοιχα. Τότ το υθύγραμμο τμήμα θα ίναι το συμμτρικό του, ως προς την υθία. Τα συμμτρικά υθύγραμμα τμήματα θα ίναι μταξύ τους ίσα, δηλαδή: = 5. Να κατασκυαστί η συμμτρική γωνίας xay ως προς μία υθία. Λύση A ια να κατασκυάσουμ τη γωνία xay αρκί να βρούμ το συμμτρικό της κορυφής x καθώς και τα συμμτρικά και y y δύο ακόμα σημίων και, που ανήκουν το καθένα σ μια από τις πλυρές της αντίστοιχα. νωρίζουμ ότι θα ίναι: x Ay = xay x 6. Να κατασκυαστί το συμμτρικό νός τριγώνου ως προς μία υθία, η οποία (α) δν τέμνι τις πλυρές του, (β) διέρχται από δύο κορυφές του και (γ) τέμνι τις πλυρές του. Λύση Σ κάθ πρίπτωση βρίσκουμ τα συμμτρικά,,, ως προς την, των κορυφών,, του τριγώνου. Τότ το τρίγωνο έχι συμμτρικό το τρίγωνο, που ίναι ίσο μ το. A (H δν τέμνι τις πλυρές) 35 / 201-202

A A (Η διέρχται από (H τέμνι τις πλυρές) τα και ) 7. Να κατασκυαστί το συμμτρικό κύκλου (, ρ) ως προς υθία. Λύση Το συμμτρικό του κύκλου (, ρ) ως προς την ίναι κύκλος (, ρ) ίσος μ τον (, ρ), μ συμμτρικό του ως προς την. Όπως όλα τα συμμτρικά σχήματα, οι κύκλοι (, ρ) και (, ρ) ίναι ίσοι, δηλαδή έχουν ίσς ακτίνς. 8. Να χαραχθί η πορία των ακτίνων του φωτός, που κπέμπονται από ένα φωτινό σημίο και ανακλώνται σ έναν πίπδο καθρέφτη (ο οποίος στο σχήμα φαίνται ως μία υθία ). A Λύση ρ ρ ρίσκουμ το συμμτρικό του σημίου ως προς την υθία. ι ακτίνς ανακλώνται στον καθρέφτη και ακολουθούν την πορία, που θα ίχαν, αν η 36 / 202 A

πηγή του φωτός ήταν το σημίο. Επιδή οι γωνίς που σχηματίζουν οι ακτίνς μ την ίναι συμμτρικές, θα ίναι και ίσς. Άρα, η γωνία μ την οποία μια ακτίνα πέφτι στον καθρέφτη ίναι ίση μ τη γωνία μ την οποία ανακλάται. 9. Στο σχήμα τα σημία και ' ίναι συμμτρικά ως προς την υθία. Να βρθί μ τη βοήθια μόνο του χάρακα το συμμτρικό του ως προς την υθία. Λύση Επιδή μ το χάρακα μπορούμ να φέρουμ μόνο υθίς γραμμές, ακολουθούμ τα παρακάτω βήματα, όπως φαίνονται στο διπλανό σχήμα: Φέρνουμ την υθία και την προκτίνουμ μέχρι να τμήσι τον άξονα στο σημίο Κ. Φέρνουμ την υθία Κ, η οποία ίναι συμμτρική της Κ, αφού νώνι δύο συμμτρικά σημία αυτής, τα Κ και. Κ Κ Κ 1 2 3 37 / 202-203

Φέρνουμ την, που τέμνι την στο. Τέλος, φέρνουμ την, που η συμμτρική της ίναι η. ι υθίς Κ και ίναι συμμτρικές των Κ και αντίστοιχα και οι τομές τους θα ίναι συμμτρικά σημία, τα και. Κ Κ 4 5 ΣΚΗΣΕΙΣ ΚΙ ΠΡΛΗΜΤ 1. Να βρις τη συμμτρική της γωνίας xy ως προς την υθία, σ καθμιά από τις δυο πριπτώσις. x y y x 2. Να βρις το συμμτρικό του κύκλου (, ρ) ως προς την υθία σ καθμιά από τις δυο πριπτώσις. ρ 38 / 203

3. Να βρις το συμμτρικό του σχήματος ως προς την υθία και το συμμτρικό του νέου σχήματος ως προς την υθία, η οποία ίναι παράλληλη μ την. Τι σχέση έχουν το αρχικό και το τλυταίο σχήμα; Να παναλάβις το ίδιο και μ μια τρίτη παράλληλη. Τι παρατηρίς; ΡΣΤΗΡΙΤΗΤΕΣ Ι Τ ΣΠΙΤΙ 1. ρς το συμμτρικό νός τριγώνου ως προς μια υθία και το συμμτρικό του νέου τριγώνου ως προς μία άλλη υθία ζ. Τι σχέση έχουν το αρχικό και το τλυταίο τρίγωνο; Να παναλάβις το ίδιο και μ τρίτη υθία. 2. Προσπάθησ να δίξις, ότι το συμμτρικό σχήμα ως προς άξονα δ μιας υθίας παράλληλης προς τη δ, ίναι υθία παράλληλη προς την υθία. 39 / 203

.2.2. Άξονας συμμτρίας ΡΣΤΗΡΙΤΗΤ 1η Σχδίασ σ ένα διαφανές χαρτί μια υθία. Τοποθέτησ το διαφανές αυτό χαρτί πάνω σ καθένα από τα παρακάτω σχήματα. Εξέτασ αν υπάρχι θέση τέτοια που τα δύο μέρη, στα οποία η υθία χωρίζι το σχήμα, συμπίπτουν, όταν το διπλώσις κατά μήκος της υθίας, ακριβώς στη θέση αυτή. Προσπάθησ να βρις αν υπάρχι και άλλη θέση στην οποία μπορίς να παρατηρήσις το ίδιο φαινόμνο για το ίδιο σχήμα. 40 / 204

Θυμόμαστ - Μαθαίνουμ Άξονας συμμτρίας σχήματος ονομάζται η υθία που χωρίζι το σχήμα σ δύο μέρη, τα οποία συμπίπτουν όταν διπλωθί το σχήμα κατά μήκος της υθίας. Στην πρίπτωση αυτή λέμ ότι το σχήμα έχι άξονα συμμτρίας την υθία αυτή. Όταν ένα σχήμα έχι άξονα συμμτρίας, το συμμτρικό του ως προς τον άξονα αυτόν ίναι το ίδιο το σχήμα. ΠΡ ΕΙΜ - ΕΦΡΜΗ Να βρθούν οι άξονς συμμτρίας του κύκλου και του αντίστοιχου κυκλικού δίσκου (, ρ). Λύση Μ δίπλωση διαπιστώνουμ ότι η υθία πάνω στην οποία βρίσκται μια οποιαδήποτ διάμτρος του κύκλου (, ρ) ίναι άξονας συμμτρίας του κύκλου και του αντίστοιχου κυκλικού δίσκου. Επομένως: ποιαδήποτ διάμτρος κύκλου ίναι άξονας συμμτρίας του κύκλου και του αντίστοιχου κυκλικού δίσκου. ΣΚΗΣΕΙΣ ΚΙ ΠΡΛΗΜΤ 1. Να πιλέξις τη σωστή απάντηση: Κάθ κύκλος και ο αντίστοιχος κυκλικός δίσκος έχουν: Ένα άξονα συμμτρίας 41 / 204-205 ρ

Άπιρους άξονς συμμτρίας Κανένα άξονα συμμτρίας. 2. Εξέτασ αν τα κφαλαία γράμματα του αλφαβήτου, Ι, και Θ έχουν: (α) κανένα, (β) ένα, (γ) πρισσότρους από ένα άξονς συμμτρίας. 3. Σχδίασ τους άξονς συμμτρίας των παρακάτω γωμτρικών σχημάτων. 4. Σχδίασ τους άξονς συμμτρίας του σχήματος που δημιουργίται από δύο ίσους τμνόμνους κύκλους. 5. ρς τους άξονς συμμτρίας του σχήματος που δημιουργίται από δύο κύκλους μ διαφορτικές ακτίνς, όταν: (α) έχουν το ίδιο κέντρο και (β) έχουν διαφορτικά κέντρα. 42 / 205

.2.3. Μσοκάθτος υθυγράμμου τμήματος ΡΣΤΗΡΙΤΗΤ καπτάνιος του πλοίου προσπαθί να κρατήσι την πορία του πλοίου το ίδιο μακριά από τις βάσις και της γέφυρας, πιδή η στνότητα του πράσματος, ο αέρας και η γνωστή παλίρροια του Ευβοϊκού κόλπου πιδρούν στην πορία των καραβιών και κάνουν τη διέλυση πικίνδυνη. Μπορίς να υποδίξις την πορία που πρέπι να έχι ένα πλοίο για να πράσι μ ασφάλια το στνό του Ευρίππου; Μ Κ 5 Κ 4 Κ 3 Κ 2 Κ 1 Κ Τι ίναι η πορία του πλοίου σ σχέση μ το υθύγραμμο τμήμα ; Τι ίναι τα σημία και μταξύ τους σ σχέση μ την πορία του πλοίου; Ποια σημαντική ιδιότητα πρέπι να έχουν τα σημία της πορίας αυτής; Θυμόμαστ - Μαθαίνουμ Μσοκάθτος υθυγράμμου τμήματος λέγται η υθία που ίναι κάθτη προς αυτό και διέρχται από το μέσον του. Κάθ σημίο της μσοκαθέτου νός υθυγράμμου τμήματος έχι ίσς αποστάσις (ισαπέχι) από τα άκρα του. 43 / 206

Κάθ σημίο που ισαπέχι από τα άκρα νός υθυγράμμου τμήματος βρίσκται πάνω στη μσοκάθτό του. Η μσοκάθτος νός υθυγράμμου τμήματος ίναι άξονας συμμτρίας του. Κατά τον Ευκλίδη οι Κατασκυές, στηρίζονται σ τρις κανόνς ( αιτήματα ) πό δύο σημία να διέρχται μία μόνο υθία. Ένα υθύγραμμο τμήμα προκτίνται απριόριστα κύκλος ορίζται μ ένα σημίο (κέντρο) και ένα υθύγραμμο τμήμα (ακτίνα) Μ βάση τους παραπάνω κανόνς («αιτήματα») μπορούν να γίνουν οι κατασκυές όλων των γωμτρικών σχημάτων μ την χρήση «του κανόνα και του διαβήτη». («Κανόνας» ίναι ένας χάρακας χωρίς υποδιαιρέσις για να χαράζουμ υθίς και όχι για να κάνουμ μτρήσις μηκών). ι κατασκυές αυτές απαιτούν μγαλύτρη πιδξιότητα και γνώση, δίνουν όμως ακριβέστρα αποτλέσματα και βοηθούν να αποφύγονται λάθη, που οφίλονται σ ατέλις των οργάνων που χρησιμοποιούμ στην πράξη. 44 / 206

ΠΡ ΕΙΜΤ - ΕΦΡΜΕΣ 1. Να σχδιαστί η μσοκάθτος νός υθυγράμμου τμήματος, μ τη βοήθια του υποδκάμτρου και του γνώμονα. Λύση Προσδιορίζουμ το μέσον Μ του υθυγράμμου τμήματος μ το υποδκάμτρο και στη συνέχια μ το γνώμονα σχδιάζουμ την υθία, που διέρχται από το Μ και ίναι κάθτη στο. 1 2 Μ Μ 1,5 3 4 Μ Μ 2. Να σχδιαστί η μσοκάθτος νός υθυγράμμου τμήματος, χωρίς τη βοήθια του υποδκάμτρου και του γνώμονα, άλλα μονό μ τη χρήση του κανόνα και του διαβήτη. 45 / 207

Λύση νωρίζουμ ότι η μσοκάθτος, όπως κάθ υθία, ορίζται από δύο σημία και ότι κάθ σημίο της μσοκαθέτου νός υθυγράμμου τμήματος ισαπέχι από τα άκρα του. ια να σχδιάσουμ τη μσοκάθτο του υθυγράμμου τμήματος πρέπι να βρούμ δύο σημία που να ισαπέχουν από τα και. ράφουμ, λοιπόν, δύο ίσους κύκλους μ κέντρα τα άκρα και του υθυγράμμου τμήματος και μ ακτίνα ρ (μγαλύτρη από το μισό μήκος του, για να τέμνονται). Τα σημία και Δ, στα οποία τέμνονται οι δύο κύκλοι ορίζουν την υθία που ίναι μσοκάθτος του υθυγράμμου τμήματος, διότι δύο σημία της, τα και Δ, απέχουν ξίσου από τα άκρα και, αφού ίναι = = ρ και Δ = Δ = ρ. 1 2 3 ρ ρ ρ ρ Μ Μ την κατασκυή της μσοκαθέτου του υθυγράμμου τμήματος, βρήκαμ μ ακρίβια και το μέσο Μ, χωρίς να χρησιμοποιήσουμ υποδκάμτρο. 46 / 207

3. Να κατασκυαστί υθία δ κάθτη σ υθία στο σημίο της. Λύση ράφουμ κύκλο μ κέντρο το και τυχαία ακτίνα, που τέμνι την σ δύο σημία και Δ. Επιδή το ίναι μέσο του Δ, αρκί να φέρουμ τη μσοκάθτο του Δ που διέρχται από το μέσο του και ίναι κάθτη στην. 1 2 Ε Ζ δ Ε 3 Ζ 4 δ 4. Να κατασκυαστί η κάθτη δ μιας υθίας από σημίο κτός αυτής. Λύση ράφουμ κύκλο μ κέντρο το και ακτίνα τέτοια ώστ να τέμνι την σ δύο σημία και Δ. Επιδή το ισαπέχι από τα και Δ, θα ίναι σημίο της μσοκαθέτου του τμήματος Δ. Επομένως, αρκί να φέρουμ, μ τον τρόπο που μάθαμ στην φαρμογή 2, τη μσοκάθτο του Δ που διέρχται από το. 47 / 208

1 2 3 δ 4 δ 5. Να κατασκυαστί ένα ισόπλυρο τρίγωνο πλυράς α. Λύση ράφουμ ένα υθύγραμμο τμήμα = α. Μ κέντρα τα άκρα και και ακτίνα ίση μ α γράφουμ δύο κύκλους. Έστω το ένα σημίο από τα δύο που τέμνονται οι κύκλοι αυτοί. Το τρίγωνο α α ίναι το ζητούμνο ισόπλυρο, α διότι έχι όλς τις πλυρές του ίσς μ α, ως ακτίνς ίσων κύκλων ακτίνας α. ΣΚΗΣΕΙΣ ΚΙ ΠΡΛΗΜΤ 1. Συμπλήρωσ τα παρακάτω κνά: (α) Κάθ σημίο που ισαπέχι από τα άκρα υθυγράμμου τμήματος βρίσκται πάνω στη 48 / 208-209

(β) Μ την κατασκυή της μσοκαθέτου του υθυγράμμου τμήματος, βρήκαμ μ ακρίβια και το του, χωρίς να χρησιμοποιήσουμ υποδκάμτρο. (γ) ύο σημία Μ και Μ ίναι συμμτρικά ως προς υθία, όταν η ίναι του τμήματος ΜΜ. 2. Να χαράξις ένα υθύγραμμο τμήμα και μ τη χρήση του κανόνα και του διαβήτη να το χωρίσις σ δυο ίσα τμήματα και στη συνέχια σ τέσσρα ίσα τμήματα. 3. Σχδίασ έναν κύκλο και μια ακτίνα του Κ. ρς δυο σημία του κύκλου, που το καθένα να ισαπέχι από τα Κ και. 4. Στο παρακάτω σχήμα η καμπύλη γραμμή γ παριστά τμήμα της διαδρομής του αστικού λωφορίου. ι κάτοικοι των οικισμών και αποφάσισαν να κατασκυάσουν μια στάση, που να απέχι ξίσου από τους δύο οικισμούς. ρς το κατάλληλο σημίο της διαδρομής και δικαιολόγησ τη λύση που θα δώσις. 5. Να βρις το σημίο της όχθης νός ποταμού το οποίο ισαπέχι από δύο χωριά και. 6. Σχδίασ ένα τρίγωνο και βρς μ ακρίβια τα μέσα των πλυρών του. 7. Σχδίασ έναν κύκλο μ κέντρο Κ και μια χορδή του. Να κατασκυάσις τη μσοκάθτο της χορδής 49 / 209 γ

και να ονομάσις Μ και Ν τα σημία στα οποία τέμνι τον κύκλο. (α) Σύγκριν τις χορδές Μ και Μ και δικαιολόγησ το αποτέλσμα της σύγκρισης, (β) κάν το ίδιο και για τις χορδές Ν και Ν, (γ) βρς άν το κέντρο Κ του κύκλου ίναι σημίο της μσοκαθέτου και δικαιολόγησ την απάντησή σου. 8. Σχδίασ τις μσοκάθτς τριών χορδών νός κύκλου και ξέτασ αν υπάρχι σημίο στο σχήμα σου, από το οποίο να διέρχονται και οι τρις μσοκάθτς. 9. Στο διπλανό σχήμα βρς κίνο το σημίο της, που να ισαπέχι από τα σημία και. ΡΣΤΗΡΙΤΗΤΕΣ Ι Τ ΣΠΙΤΙ 1. Σχδίασ έναν κύκλο μ ένα νόμισμα. Πώς μπορίς να βρις το κέντρο του; 2. Τρις οικογένις κατασκήνωσαν σ ένα κάμπινγκ και τοποθέτησαν τις σκηνές τους Σ 1, Σ 2 και Σ 3 έτσι ώστ: Σ 1 Σ 2 = 3,8 m, Σ 1 Σ 3 = 2 m και Σ 2 Σ 3 = 3,5 m. Να σχδιάσις τη διάταξη των σκηνών σ σχέδιο μ κλίμακα 1:100 και να βρις το σημίο Ν, που πρέπι να τοποθτηθί ένα ντους, ώστ και οι τρις σκηνές να απέχουν ξίσου απ αυτό. Υπάρχουν πολλές τέτοις θέσις; Να δικαιολογήσις την απάντησή σου. 50 / 209

.2.4. Συμμτρία ως προς σημίο ΡΣΤΗΡΙΤΗΤ ν πριστραφί το σχήμα, γύρω από το σημίο κατά 180 ο,παίρνι μια νέα θέση την. A O Τι συμπραίνις για τα σχήματα και ; Σκφτόμαστ Παρατηρούμ ότι όταν ολοκληρωθί η στροφή αυτή, κάθ σημίο του συμπίπτι μ ένα σημίο του. ια παράδιγμα, θα συμπέσουν τα σημία και. Τα σημία αυτά λέγονται συμμτρικά, ως προς κέντρο. ηλαδή: Συμμτρικό σημίου ως προς κέντρο, ίναι το σημίο, μ το οποίο το, αν πριστραφί πρί το κατά 180 ο. Ισχύι ότι: ύο σημία Μ και Μ ίναι συμμτρικά ως προς σημίο, όταν το ίναι μέσο του τμήματος ΜΜ. ύο σχήματα λέγονται συμμτρικά ως προς σημίο, όταν κάθ σημίο του νός ίναι συμμτρικό νός σημίου του άλλου ως προς το. Μ Τα συμμτρικά ως προς Μ σημίο σχήματα ίναι ίσα. 51 / 210

ΠΡ ΕΙΜΤ - ΕΦΡΜΕΣ 1. Να βρθί το συμμτρικό του σημίου, ως προς σημίο. Λύση ια να κατασκυάσουμ το συμμτρικό νός σημίου ως προς σημίο, φέρνουμ το υθύγραμμο τμήμα και στην προέκτασή του (μ το υποδκάμτρο ή μ το διαβήτη) παίρνουμ ίσο τμήμα, όπως δίχνουν οι παρακάτω ικόνς. 1 2 3 2. Να κατασκυαστί το συμμτρικό νός υθυγράμμου τμήματος ως προς σημίο. Λύση Το συμμτρικό νός υθυγράμμου τμήματος ως προς σημίο, ίναι υθύγραμμο τμήμα. ια να το κατασκυάσουμ αρκί να βρούμ τα σημία και, που ίναι τα συμμτρικά των και ως προς. Παρατηρούμ ότι ίναι: = και //. 52 / 210

3. Να κατασκυαστί το συμμτρικό ως προς σημίο : (α) μιας υθίας και (β) μιας ημιυθίας x. Λύση Παίρνουμ δύο σημία και πάνω στην υθία ή την ημιυθία χ και βρίσκουμ, όπως παραπάνω, τα συμμτρικά ως προς το. Η προέκταση του υθύγραμμου τμήματος ίναι η ή η x, που ίναι συμμτρική της υθίας ή της ημιυθίας x αντίστοιχα. (α) 1 2 3 // (β) x x 1 2 x 4. Να κατασκυαστί το συμμτρικό σχήμα μιας γωνίας xy ως προς σημίο. Λύση ρίσκουμ το συμμτρικό της κορυφής και τις συμμτρικές ημιυθίς x και y των δύο πλυρών της x και y 53 / 211 x y A y x

αντίστοιχα ως προς το, όπως μάθαμ προηγουμένως. Τότ, η γωνία x y ίναι συμμτρική της xy και ίναι ίση μ αυτή. 5. Να κατασκυαστί το συμμτρικό νός τριγώνου ως προς σημίο, το οποίο (α) ίναι κτός τριγώνου, (β) βρίσκται ντός του τριγώνου και (γ) ίναι μία κορυφή του. Λύση Και στις τρις πριπτώσις, βρίσκουμ τα συμμτρικά,,, ως προς το, των κορυφών,, του τριγώνου. Τότ το τρίγωνο έχι συμμτρικό το τρίγωνο, που ίναι ίσο μ το. (α) (β) (γ) 6. Να κατασκυαστί το συμμτρικό σχήμα νός κύκλου (Κ, ρ) ως προς σημίο. Λύση ρίσκουμ το συμμτρικό ως ρ Κ Κ προς το του κέντρου Κ και ρ νός σημίου του κύκλου, που ίναι τα σημία Κ και αντίστοιχα. ράφουμ τον κύκλο (Κ, ρ = Κ ) που ίναι ο ζητούμνος. ι δύο κύκλοι ίναι ίσοι διότι έχουν ίσς ακτίνς. 54 / 211

ΣΚΗΣΕΙΣ ΚΙ ΠΡΛΗΜΤ 1. Να κατασκυάσις τα συμμτρικά, Μ και των, Μ και αντίστοιχα ως προς το και να δικαιολογήσις ότι το Μ ίναι μέσο του. (Το Μ ίναι το μέσο της ). Μ 2. Να σχδιάσις τρίγωνο και το συμμτρικό της κορυφής του ως προς το μέσον της πλυράς. Πώς μπορίς να χαρακτηρίσις το ττράπλυρο ; 55 / 211

.2.5. Κέντρο συμμτρίας ΡΣΤΗΡΙΤΗΤ ρς ένα σημίο, σ κάθ ένα από τα παρακάτω σχήματα, γύρω από το οποίο προσπάθησ να πριστρέψις το σχήμα αυτό κατά 180 ο και να παρατηρήσις άν συμπίπτι ή όχι μ τον αυτό του, μτά την ολοκλήρωση της πριστροφής αυτής. Θυμόμαστ - Μαθαίνουμ Κέντρο συμμτρίας σχήματος ονομάζται ένα σημίο του, γύρω από το οποίο αν πριστραφί το σχήμα κατά 180 ο, συμπίπτι μ το αρχικό. Στην πρίπτωση που υπάρχι τέτοιο σημίο, λέμ ότι το σχήμα έχι κέντρο συμμτρίας το σημίο. 56 / 212

Όταν ένα σχήμα έχι κέντρο συμμτρίας, το συμμτρικό του ως προς το κέντρο αυτό ίναι το ίδιο το σχήμα. ΠΡ ΕΙΜΤ - ΕΦΡΜΕΣ 1. Το συμμτρικό παραλληλογράμμου, ως προς κέντρο συμμτρίας το σημίο τομής των διαγωνίων του, ίναι το ίδιο το παραλληλόγραμμο. Λύση Παρατηρούμ, ότι ένα σημίο Ε του παραλληλογράμμου, μ στροφή κατά 180 ο γύρω από το, θα συμπέσι μ ένα άλλο σημίο Ε του ίδιου του παραλληλογράμμου. υτό συμβαίνι για όλα τα σημία του Δ, πομένως το συμμτρικό του ως προς το ίναι πάλι το ίδιο το παραλληλόγραμμο Δ. 2. Ποιο ίναι το κέντρο συμμτρίας νός κύκλου; Λύση Μ στροφή κατά 180 ο γύρω από το κέντρο του κύκλου, διαπιστώνουμ ότι αυτός συμπίπτι μ τον αυτό του. Επομένως: Το κέντρο του κύκλου ίναι κέντρο συμμτρίας του καθώς και του αντίστοιχου κυκλικού δίσκου. 57 / 212-213

3. Να αποδιχθί ότι το συμμτρικό σχήμα μιας υθίας, ως προς κέντρο, ίναι υθία //. Λύση Φέρνουμ την απόσταση του από την. Έστω ένα άλλο σημίο της. ρίσκουμ τα συμμτρικά και των σημίων και ως προς το και ονομάζουμ την υθία που διέρχται από τα και. Η υθία ίναι συμμτρική της ως προς κέντρο συμμτρίας το. Η γωνία θα ίναι συμμτρική της γωνίας. Επιδή οι συμμτρικές γωνίς ίναι ίσς, θα ίναι: = = 90 ο. Άρα, οι υθίς και ίναι κάθτς στην ίδια υθία, συνπώς μταξύ τους παράλληλς. ι συμμτρικές ως προς σημίο υθίς, ίναι μταξύ τους παράλληλς. ΣΚΗΣΕΙΣ ΚΙ ΠΡΛΗΜΤ 1. φού γράψις τα κφαλαία γράμματα του αλφαβήτου, ξέτασ αν έχουν κέντρο συμμτρίας. 2. Να βρις στα παρακάτω σχήματα το κέντρο συμμτρίας, αν υπάρχι. 58 / 213

3. Τοποθέτησ ένα Χ στις κατάλληλς θέσις, για τη θτική σου απάντηση. Άξονς συμμτρίας Κανένα Ένα ύο Τρις Τέσσρις Πρισσότρους Έχι Κέντρο Συμμτρίας Ευθύγραμμο τμήμα Ισοσκλές τρίγωνο Ισόπλυρο τρίγωνο Παραλληλόγραμμο ρθογώνιο Ρόμβος Ττράγωνο Κύκλος 59 / 213

.2.6. Παράλληλς υθίς που τέμνονται από μια άλλη υθία ΡΣΤΗΡΙΤΗΤ Στη διπλανή ικόνα βλέπουμ ένα δημόσιο δρόμο να διασχίζι δύο αγροκτήματα. ι παράλληλς υθίς 1, και 2 ορίζουν τα όρια του δρόμου αυτού και χωρίζουν τη γη σ τρις ζώνς. ώσ μια συγκκριμένη κοινή ονομασία για όλα τα σημία που βρίσκονται στην άσφαλτο του δρόμου, δηλαδή στη ζώνη ανάμσα στις υθίς 1, και 2, καθώς και μία άλλη κοινή ονομασία γιά όλα τα σημία που βρίσκονται έξω απ αυτή, δηλαδή στα χωράφια. Στην ίδια ικόνα υπάρχι ένας χωματόδρομος που χωρίζι τα δύο αγροκτήματα και ορίζι μια υθία δ που ίναι το σύνορο μταξύ τους. Πώς μπορίς να δώσις μια κοινή ονομασία σ όλα τα σημία που ανήκουν στο ίδιο και μόνο αγρόκτημα; 1 2 πί τα αυτά δ πί τα αυτά 60 / 214

1 φ ω 4 Θυμόμαστ - Μαθαίνουμ 1 3 φ 2 ω 4 ω φ δ 1 ω 2 3 φ 3, 4, 1, 2 ίναι ντός και 1, 2, 3, 4 ίναι κτός ι γωνίς που βρίσκονται ανάμσα στις υθίς 1, και 2 ονομάζονται «ντός» (των υθιών) και όλς οι άλλς «κτός». ι γωνίς που βρίσκονται προς το ίδιο μέρος της υθίας δ ονομάζονται πί τα αυτά (μέρη της υθίας) 2, 3, 2, 3 ίναι πί τα αυτά και 1, 4, 1, 4 ίναι πί τα αυτά ύο γωνίς που βρίσκονται η μία στο ένα κι η άλλη στο άλλο ημιπίπδο της υθίας δ, λέγονται μταξύ τους ναλλάξ. π.χ. η 4 μ τη 2 ίναι ναλλάξ αλλά και η 2 μ τη 1 ίναι ναλλάξ κ.ο.κ. πό τον συνδυασμό των παραπάνω προκύπτι ότι θα έχουμ τις παρακάτω έξι ονομασίς για τα 16 διαφορτικά ζυγάρια των γωνιών. (α) ντός ναλλάξ και (β) κτός ναλλάξ (γ) ντός και πί τα αυτά και (δ) κτός και πί τα αυτά () ντός-κτός ναλλάξ και (στ) ντός-κτός πί τα αυτά. 61 / 214

ΠΡ ΕΙΜΤ - ΕΦΡΜΕΣ 1. Να συγκριθούν μταξύ τους οι γωνίς, που σχηματίζονται στα σημία και, στα οποία τέμνι μια υθία δ δύο παράλληλς υθίς 1 και 2 αντίστοιχα. Λύση φ δ ω Μπορούμ να διαπιστώσουμ (μτρώντας μ το μοιρογνωμόνιο) ότι οι γωνίς που σχηματίζονται και στα δύο σημία τομής και, ίναι δύο ιδών: ω 4 ι οξίς γωνίς ω, που ίναι μταξύ τους ίσς και ι αμβλίς γωνίς φ, που ίναι κι αυτές μταξύ τους ίσς. Τα τέσσρα ζυγάρια των γωνιών, που ίναι όλς οξίς και ίσς μταξύ τους ίναι: 1 2 πό τις ντός ναλλάξ : 4 = 2 φ 1 3 φ 2 ω 4 ω 1 2 3 φ πό τις κτός ναλλάξ : 2 = 4 πό τις ντός - κτός πί τα αυτά : 2 = 2 και 4 = 4. 62 / 215

Τα τέσσρα ζυγάρια των γωνιών, που ίναι όλς αμβλίς και ίσς μταξύ τους ίναι: πό τις ντός ναλλάξ : 3 = 1 πό τις κτός ναλλάξ : 1 = 3 πό τις ντός - κτός πί τα αυτά : 1 = 1 και 3 = 3 Επιδή όμως οι γωνίς 1 και 2 ίναι παραπληρωματικές, θα ισχύι γνικά: ω + φ = 180 ο. πότ συμπραίνουμ ότι τα υπόλοιπα ζυγάρια των γωνιών ίναι ζυγάρια παραπληρωματικών γωνιών, τα οποία και ίναι τα ξής: ι ντός πί τα αυτά : 3 + 2 = 180 ο και 4 + 1 = 180 ο ι κτός πί τα αυτά : 1 + 4 = 180 ο και 4 + 3 = 180 ο ι ντός- κτός ναλλάξ : 1 + 2 = 180 ο και 2 + 1 = 180 ο 3 + 4 = 180 ο και 4 + 3 = 180 ο και 63 / 215

2. Στο παρακάτω σχήμα ίναι 1 // 2. Να υπολογίστ όλς τις γωνίς, που ίναι σημιωμένς, αν ίναι α = 40 ο. 1 2 Λύση ι γωνίς α και γ ίναι κατακορυφήν, άρα θα ίναι: α = γ = 40 ο ι γωνίς α και γ ίναι παραπληρωματικές, άρα θα ίναι: α + β = 180 ο από τη σχέση αυτή συμπραίνουμ ότι: β = 180 ο α = 180 ο 40 ο = 140 ο. ι γωνίς β και δ ίναι κατακορυφήν, άρα θα ίναι: β = δ = 140 ο λλά πιδή 1 // 2 και η 3 τέμνουσα των δύο παραλλήλων υθιών θα ίναι: = α, ως ντός κτός πί τα αυτά, άρα = 40 ο. ζ + α = 180 ο ως ντός πί τα αυτά, άρα ζ = 180 ο α = 180 ο 40 ο = 140 ο. β α γ δ η = α, ως ντός ναλλάξ, πομένως: η = 40 ο και θ = δ, ως ντός κτός πί τα αυτά, άρα: θ = 140 ο. ζ η θ 3 64 / 216

ΣΚΗΣΕΙΣ ΚΙ ΠΡΛΗΜΤ 1. Σχδίασ δυο παράλληλς υθίς 1 και 2, οι οποίς να απέχουν 4 cm. Φέρ μία υθία που να σχηματίζι μ την 1 γωνία 12 ο και υπολόγισ τις υπόλοιπς γωνίς. 2. Στο παρακάτω σχήμα ίναι 1 // 2 και 3 // 4. Να υπολογίσις τις σημιωμένς γωνίς του σχήματος, αν ίναι α = β = 70 ο. ζ α 1 β γ δ 2 3 4 3. Να σχηματίσις μια γωνία xay = 63 ο. Να πάρις ένα σημίο της πλυράς x, ώστ να ίναι = 5 cm και ένα σημίο της y, ώστ να ίναι = 2,9 cm. Να φέρις από το την παράλληλη προς την y και από το την παράλληλη προς την x. Να ονομάσις το σημίο τομής των παράλληλων αυτών. Να υπολογίσις τις γωνίς του ττραπλύρου. 4. Στο διπλανό σχήμα οι υθίς 1 και 2 ίναι 1 παράλληλς και η ημιυθία δ 2 ίναι διχοτόμος της γωνίας. Να υπολογίσις τις γωνίς α, β και γ 2 του σχήματος. 65 / 216 56 φ φ δ δ 1 2 β γ α

5. Στο διπλανό σχήμα ίναι 1 // 2 και 3 // 4. Να υπολογίσις τις γωνίς α και β. 1 2 116 φ α β 3 4 6. Στο ττράπλυρο του παρακάτω σχήματος ίναι: // και //. Να υπολογίσις όλς τις σημιωμένς γωνίς. γ α 30 ω φ 105 θ 66 / 216

Τρίγωνα Παραλληλόγραμμα Τραπέζια ΜΕΡΣ 3ο Κ Ε Φ Λ Ι ΠΛΤΩΝ ΘΗΝΙΣ (427-347 π.χ.)

3.1 Στοιχία τριγώνου Είδη τριγώνων νωρίζω τα στοιχία του τριγώνου νωρίζω τα ίδη των τριγώνων 3.2 Άθροισμα γωνιών τριγώνου Ιδιότητς ισοσκλούς τριγώνου νωρίζω ότι το άθροισμα των γωνιών νός τριγώνου ίναι 180 ο νωρίζω τις ιδιότητς του ισοσκλούς τριγώνου και του ισοπλύρου τριγώνου 3.3 Παραλληλόγραμμο ρθογώνιο Ρόμβος Ττράγωνο Τραπέζιο Ισοσκλές τραπέζιο νωρίζω ποιο ττράπλυρο ονομάζται παραλληλόγραμμο, ποιο ορθογώνιο, ποιο ρόμβος, ποιο ττράγωνο και ποιο τραπέζιο Χαράσσω τα ύψη του παραλληλογράμμου και του τραπζίου 3.4 Ιδιότητς Παραλληλογράμμου ρθογωνίου Ρόμβου Ττράγωνου Τραπζίου Ισοσκλούς τραπζίου νωρίζω τις ιδιότητς του παραλληλογράμμου, του ορθογωνίου, του ρόμβου και του ισοσκλούς τραπζίου 68 / 217

.3.1. Στοιχία τριγώνου - Είδη τριγώνων Θυμόμαστ - Μαθαίνουμ Κύρια στοιχία τριγώνου Κάθ τρίγωνο έχι τρις κορυφές,,, τρις πλυρές,, και τρις γωνίς,,. κορυφή πλυρά πλυρά κορυφή πλυρά κορυφή Τα,,, κτός από τις πλυρές, συμβολίζουν και τα μήκη των αντίστοιχων υθυγράμμων τμημάτων. ΡΣΤΗΡΙΤΗΤ Παρακάτω βλέπουμ την κατάταξη των τριγώνων μ βάση δύο συγκκριμένα κριτήρια. Μπορίς να κφράσις μ λόγια τα κριτήρια μ τα οποία έγιν αυτή η κατάταξη; Σκφτόμαστ Μ βάση το 1ο κριτήριο διακρίνουμ τρις πριπτώσις: 69 / 218

Πλυρές κάθτς Μία γωνία ορθή Μία γωνία μγαλύτρη της ορθής Όχι κάθτς πλυρές Όλς οι γωνίς μικρότρς της ορθής ρθογώνιο μβλυγώνιο ξυγώνιο Μ βάση το 2ο κριτήριο διακρίνουμ τρις πριπτώσις: Ισότητα πλυρών Τρις πλυρές ύο πλυρές ίσς ίσς νισότητα πλυρών Όλς οι πλυρές άνισς Ισόπλυρο Ισοσκλές Σκαληνό υτρύοντα στοιχία τριγώνου Το υθύγραμμο τμήμα που νώνι την κορυφή νός τριγώνου μ το μέσο της απέναντι πλυράς, λέγται διάμσος. 70 / 218-219 Μ

Το υθύγραμμο τμήμα που φέρνουμ από μία κορυφή νός τριγώνου κάθτο στην υθία της απέναντι πλυράς, λέγται ύψος του τριγώνου. Το υθύγραμμο τμήμα της διχοτόμου μιας γωνίας νός τριγώνου που φέρνουμ από μια κορυφή και καταλήγι στην απέναντι πλυρά, λέγται διχοτόμος του τριγώνου. ΠΡ ΕΙΜ - ΕΦΡΜΗ ω ω Να σχδιαστούν τα ύψη σ τρίγωνο που ίναι: (α) οξυγώνιο, (β) αμβλυγώνιο και (γ) ορθογώνιο. Λύση πό την κορυφή π.χ. την του τριγώνου φέρνουμ την κάθτο στην απέναντι πλυρά του. Τότ η απόσταση του από την πλυρά ίναι το ύψος του τριγώνου. υτήν τη διαδικασία την παναλαμβάνουμ και από τις άλλς δύο κορυφές του τριγώνου για να βρούμ και τα τρία ύψη του, τα οποία παρατηρούμ ότι διέρχονται από το ίδιο σημίο Η, που λέγται ορθόκντρο. (α) 1 2 Ε 3 Ζ 4 Ζ Ε Η B B B B 71 / 219

(β) 1 2 Ζ 3 Ε Ζ 4 Η Ε Ζ (γ) 1 2 3 4 ΣΚΗΣΕΙΣ ΚΙ ΠΡΛΗΜΤ 1. ράψ Σ μπροστά από κάθ σωστή πρόταση και Λ μπροστά από κάθ λάθος. (α) Κάθ ορθογώνιο τρίγωνο έχι μια ορθή γωνία. (β) Το αμβλυγώνιο τρίγωνο έχι δύο αμβλίς γωνίς. (γ) Το ισόπλυρο τρίγωνο έχι όλς τις πλυρές του ίσς. (δ) Το ισοσκλές τρίγωνο μπορί να ίναι και αμβλυγώνιο. () Το ορθογώνιο τρίγωνο μπορί να ίναι και ισόπλυρο. (στ) Το ορθογώνιο τρίγωνο μπορί να ίναι και ισοσκλές. (ζ) Το ισόπλυρο τρίγωνο ίναι πάντα οξυγώνιο. (η) Ένα σκαληνό τρίγωνο δν μπορί να ίναι ορθογώνιο. 72 / 219-220

2. Σ ένα τρίγωνο, μ πλυρά = 4,4 cm, φέρ τη διάμσο Μ. Μτά φέρ τις διάμσους Κ και Λ των τριγώνων Μ και Μ και βρς το μήκος των ΚΜ και. 3. Σχδίασ ένα ισόπλυρο τρίγωνο και τις διάμσους του, Ε και Ζ. ικαιολόγησ γιατί οι διάμσοι του ισόπλυρου ίναι διχοτόμοι και ύψη του. 4. Σχδίασ ένα τρίγωνο. (α) ρς το μέσο της πλυράς, το μέσο Ε της πλυράς και το μέσο Ζ της πλυράς. (β) Σχδίασ τη διάμσο Ε του τριγώνου που τέμνι τη Ζ στο σημίο Μ. Σύγκριν μ το διαβήτη τα τμήματα Μ και ΜΖ. Τι παρατηρίς; 5. ίνται τρίγωνο. (α) Φέρ τις διάμσους Μ και Ν και ονόμασ μ το γράμμα Θ το σημίο στο οποίο τέμνονται, (β) Μτά σχδίασ την υθία Θ και ονόμασ μ το γράμμα Ρ το σημίο στο οποίο η υθία Θ τέμνι την πλυρά. (γ) Σύγκριν μ το διαβήτη τα υθύγραμμα τμήματα Ρ και Ρ. Τι παρατηρίς; 6. Σχδίασ ένα τρίγωνο, πάρ το μέσο Μ της πλυράς και χάραξ από το σημίο Μ μια υθία παράλληλη προς την πλυρά του τριγώνου. ν το σημίο στο οποίο τέμνι την πλυρά το ονομάσις Ν, να συγκρίνις μ το διαβήτη τα τμήματα Ν και N. Τι παρατηρίς; 73 / 220

ΡΣΤΗΡΙΤΗΤ Ι Τ ΣΠΙΤΙ Να συμπληρώσις τον παρακάτω πίνακα μ τα σχήματα των αντίστοιχων τριγώνων. ΤΡΙΩΝ ξυγώνιο ρθογώνιο μβλυγώνιο Σκαληνό Ισοσκλές Ισόπλυρο 74 / 220

.3.2. Άθροισμα γωνιών τριγώνου Ιδιότητς ισοσκλούς τριγώνου ΡΣΤΗΡΙΤΗΤ 1η Σχδίασ διάφορα τυχαία ορθογώνια, αμβλυγώνια και οξυγώνια τρίγωνα, όπως π.χ. αυτά που φαίνονται πιο κάτω. Μέτρησ τις γωνίς τους μ το μοιρογνωμόνιο και υπολόγισ το άθροισμά τους. Μπορίς να διατυπώσις κάποιο συμπέρασμα; ΡΣΤΗΡΙΤΗΤ 2η Προσπάθησ να διαπιστώσις ποια διάμσος νός ισοσκλούς τριγώνου ίναι άξονας συμμτρίας του και γιατί. ΡΣΤΗΡΙΤΗΤ 3η Προσπάθησ να διρυνήσις πόσους άξονς συμμτρίας έχι ένα ισόπλυρο τρίγωνο και γιατί. Θυμόμαστ - Μαθαίνουμ Σ κάθ τρίγωνο ισχύι: + + = 180 ο 75 / 221

Σ κάθ ισοσκλές τρίγωνο ισχύι ότι: Η υθία της διαμέσου, που αντιστοιχί στη βάση ίναι άξονας συμμτρίας του ισοσκλούς τριγώνου. Η διάμσος, που αντιστοιχί στη βάση ίναι ύψος και διχοτόμος. B ι προσκίμνς γωνίς στη βάση του ισοσκλούς ίναι ίσς. βάση Σ κάθ ισόπλυρο τρίγωνο ισχύι ότι: ι υθίς των διαμέσων ίναι άξονς συμμτρίας του ισοπλύρου τριγώνου. Κάθ διάμσος ίναι ύψος και διχοτόμος. Όλς οι πλυρές και όλς οι γωνίς του ισοπλύρου τριγώνου ίναι ίσς. ΠΡ ΕΙΜΤ - ΕΦΡΜΕΣ 1. Να δικαιολογηθί μ λογικά πιχιρήματα ότι το άθροισμα των τριών γωνιών κάθ τριγώνου ίναι 180. 1 2 1 2 Λύση Σχδιάζουμ το τρίγωνο και μία υθία xy, που διέρχται από το και ίναι παράλληλη προς B την υθία. 76 / 221-222 x ω ω θ A θ y

Παρατηρούμ ότι: xb = ω = γιατί ίναι γωνίς ντός ναλλάξ, των παράλληλων υθιών xy και, που τέμνονται από την. ya = θ = γιατί ίναι γωνίς ντός ναλλάξ των παράλληλων υθιών xy και, που τέμνονται από την. ι γωνίς ω, και θ σχηματίζουν μια υθία γωνία. Επομένως θα ίναι: ω + + θ = 180 ο. Επιδή όμως ίναι: ω = και θ = θα έχουμ: + + = 180 ο. 2. Σ κάθ ορθογώνιο τρίγωνο οι οξίς γωνίς ίναι συμπληρωματικές. Λύση Σχδιάζουμ το ορθογώνιο τρίγωνο μ = 90 ο. Επιδή ίναι: + + = 180 ο θα έχουμ: + = 180 ο 90 ο = 90 ο νωρίζουμ, ότι δύο γωνίς που έχουν άθροισμα 90 ο λέγονται συμπληρωματικές. Άρα, σ κάθ ορθογώνιο τρίγωνο οι οξίς γωνίς του ίναι συμπληρωματικές. 3. Το άθροισμα δύο γωνιών νός τριγώνου ισούται μ την ξωτρική της τρίτης γωνίας. (Στο τρίγωνο η 77 / 222

γωνία x, που σχηματίζται από την και την προέκταση της προς το μέρος του, ονομάζται ξωτρική γωνία της ). Λύση Η ξωτρική γωνία φ ίναι παραπληρωματική της σωτρικής γωνίας του τριγώνου, δηλαδή θα ίναι φ = 180 ο. φ Επιδή σ κάθ τρίγωνο ίναι + + = 180 ο, άρα + = 180 ο δηλαδή + = φ Άρα, η ξωτρική γωνία ισούται μ το άθροισμα των δύο άλλων γωνιών του τριγώνου. 4. ι γωνίς νός ισόπλυρου τριγώνου ίναι όλς ίσς μ 60 ο. Λύση νωρίζουμ ότι στο ισόπλυρο τρίγωνο ίναι: = =. Επιδή σ κάθ τρίγωνο ίναι + + = 180 ο, θα ίναι + + = 180 ο, άρα 3 = 180 ο, 60 ο 2 60 ο 60 ο συνπώς: = 180 ο : 3 = 60 ο. Άρα, όλς οι γωνίς του ισόπλυρου τριγώνου ίναι ίσς μ 60 ο. 5. Να υπολογιστούν οι γωνίς νός ορθογωνίου και ισοσκλούς τριγώνου. 78 / 222-223 45 ο 45 ο

Λύση Σ κάθ τρίγωνο ισχύι + + = 180 ο. Επιδή στο ορθογώνιο τρίγωνο η γωνία ίναι ορθή, δηλαδή = 90 ο, θα ίναι: + = 90 ο. Επιδή το τρίγωνο ίναι και ισοσκλές θα ίναι = άρα θα ίναι, + = 90 ο, από την οποία προκύπτι ότι: 2 = 90 ο δηλαδή θα έχουμ = 90 ο : 2 = 45 ο και πομένως και = 45 ο. 6. Να βρθούν τα μέτρα των γωνιών νός ισοσκλούς τριγώνου, αν ίναι γνωστό μόνο ότι το μέτρο μιας γωνίας του ίναι 40 ο. Λύση Έστω ένα ισοσκλές τρίγωνο μ =. Τότ θα ίναι =. Επιδή ίναι + + = 180 ο, διακρίνουμ τις ξής δύο πριπτώσις: 40 ο (α) ν ίναι = 40 ο. Συνπώς θα ίναι 40 ο + + = 180 ο, πομένως + = 180 ο 40 ο. Επομένως θα ίναι: + = 140 ο, από την οποία προκύπτι ότι: 2 = 140 ο, δηλαδή = 140 ο : 2 = 70 ο άρα και = 70 ο. 79 / 223

(β) ν ίναι = = 40 ο. Θα ίναι + 40 ο + 40 ο = 180 ο, δηλαδή + 80 ο = 180 ο, συνπώς 40 ο 40 ο θα έχουμ: = 180 ο 80 ο = 100 ο. Παρατηρούμ ότι μ τα ίδια ακριβώς δδομένα προκύπτουν δύο τλίως διαφορτικά ισοσκλή τρίγωνα, τα οποία όμως ικανοποιούν αυτά τα δδομένα. ΣΚΗΣΕΙΣ ΚΙ ΠΡΛΗΜΤ 1. ράψ Σ μπροστά από κάθ σωστή πρόταση και Λ μπροστά από κάθ λάθος. (α) ι προσκίμνς γωνίς στη βάση ισοσκλούς τριγώνου ίναι ίσς. (β) Σ κάθ τρίγωνο ισχύι: + + = 90 ο. (γ) Κάθ ισόπλυρο τρίγωνο έχι όλς τις γωνίς ίσς μ 30 ο. (δ) Σ κάθ ισοσκλές τρίγωνο η υθία μιας διαμέσου ίναι άξονας συμμτρίας. () Σ κάθ ισοσκλές τρίγωνο η διάμσος, που αντιστοιχί στη βάση, ίναι και διχοτόμος. (στ) Σ κάθ ισόπλυρο τρίγωνο οι υθίς των πλυρών ίναι άξονς συμμτρίας. (ζ) Σ κάθ ισόπλυρο τρίγωνο οι υθίς των υψών ίναι άξονς συμμτρίας. 80 / 223-224

(η) Σ κάθ ισόπλυρο τρίγωνο κάθ διάμσος ίναι και ύψος. (θ) Σ κάθ ορθογώνιο και ισοσκλές τρίγωνο οι προσκίμνς γωνίς στη βάση ίναι 60 ο. 2. Σχδίασ ένα τρίγωνο ώστ να ίναι = 75 ο και = 35 ο και υπολόγισ τη γωνία. 3. Σχδίασ ένα ορθογώνιο τρίγωνο, στο οποίο να ίναι = 90 ο, = 60 ο και = 4,2 cm. (α) Υπολόγισ τη γωνία. (β) Μέτρησ την πλυρά και σύγκριν το μήκος της μ το μήκος της πλυράς. δ 1 δ 2 4. Στο διπλανό σχήμα ίναι 48 ο β 1 // 2. Να υπολογίσις γ τις γωνίς α, β, γ και δ. α δ 52 ο 1 2 5. Στα παρακάτω σχήματα ίναι 1 // 2. Να υπολογίσις τη γωνία φ. φ 1 35 ο 1 35 ο 72 ο 2 102 ο φ 2 81 / 224

6. Στο διπλανό σχήμα ίναι //. Υπολόγισ τη γωνία ω. 40 ο Ε ω 42 ο 7. Σ ένα ισοσκλές τρίγωνο, η γωνία που ίναι απέναντι από τη βάση ίναι 74 ο. Να υπολογίσις τις υπόλοιπς γωνίς. 8. Σ ένα τρίγωνο ίναι = 36 ο και η γωνία ίναι διπλάσια από τη. Υπολόγισ τις γωνίς και. 9. Σ ένα τρίγωνο η γωνία ίναι διπλάσια από τη και η τριπλάσια από τη. Να υπολογίσις τις γωνίς του τριγώνου. 10. Να σχδιάσις ένα ττράπλυρο, να πάρις ένα σημίο στο σωτρικό του και να φέρις τις,, και. Να υπολογίσις το άθροισμα των γωνιών,, και και στη συνέχια το άθροισμα των γωνιών του. 82 / 224

.3.3. Παραλληλόγραμμο ρθογώνιο Ρόμβος Ττράγωνο Τραπέζιο Ισοσκλές τραπέζιο ΡΣΤΗΡΙΤΗΤ 1η Η υπηρσία οδικής ασφάλιας αποφάσισ να βάψι το οδόστρωμα σ όλς τις διασταυρώσις μ έντονο κίτρινο χρώμα. ια να κάνι τους υπολογισμούς της, πρέπι να βρθί το ακριβές σχήμα του οδοστρώματος στο κοινό μέρος δύο δρόμων, σ κάθ διασταύρωση. Μ την προϋπόθση ότι οι δρόμοι που διασταυρώνονται ίναι υθίς, προσπάθησ να βρις όλς τις πριπτώσις των ττραπλύρων που σχηματίζουν οι δρόμοι: (α) όταν έχουν το ίδιο πλάτος και τέμνονται καθέτως. (β) όταν έχουν διαφορτικό πλάτος και τέμνονται καθέτως. (γ) όταν έχουν το ίδιο πλάτος και τέμνονται πλαγίως. (δ)όταν έχουν διαφορτικό πλάτος και τέμνονται πλαγίως. Θυμόμαστ - Μαθαίνουμ Παραλληλόγραμμο λέγται το ττράπλυρο Δ που έχι τις απέναντι πλυρές του παράλληλς, δηλαδή // Δ και Δ //. 83 / 225

Κάθ πλυρά του παραλληλογράμμου μπορί να ονομαστί βάση του παραλληλογράμμου. Η απόσταση της βάσης από την απέναντι πλυρά λέγται ύψος του παραλληλογράμμου. Ε Η Ζ υ 1 ια τις βάσις και Δ ύψος ίναι το ΕΖ, νώ για τις βάσις Δ και ύψος ίναι το ΗΘ. υ 2 Θ Ειδικές πριπτώσις παραλληλογράμμων Ένα παραλληλόγραμμο που έχι όλς τις γωνίς του ορθές λέγται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ή απλά ορθογώνιο. B B Ένα παραλληλόγραμμο που έχι όλς τις πλυρές του ίσς λέγται ρόμβος. Ένα παραλληλόγραμμο που έχι όλς τις γωνίς του ορθές και όλς τις πλυρές του ίσς λέγται ττράγωνο. B 84 / 225-226

Τραπέζιο Το ττράπλυρο Δ του οποίου μόνο δύο πλυρές ίναι παράλληλς λέγται τραπέζιο. ι παράλληλς πλυρές, ( // ) του τραπζίου λέγονται βάσις του τραπζίου. Η απόσταση των βάσων λέγται ύψος του τραπζίου. Ε B υ Η απόσταση των βάσων και ίναι το ύψος ΕΖ. Ζ ν ένα τραπέζιο έχι τις μη παράλληλς πλυρές του ίσς λέγται ισοσκλές τραπέζιο. Είναι = ΠΡ ΕΙΜΤ - ΕΦΡΜΕΣ 1. Να ξηγήστ γιατί οι πλυρές του ορθογωνίου ίναι και ύψη. Λύση Επιδή όλς οι γωνίς του ορθογωνίου ίναι ορθές, οι διαδοχικές πλυρές του θα ίναι κάθτς μταξύ τους. Επομένως οι πλυρές του ορθογωνίου ίναι και ύψη. 85 / 226-227

2. Να συγκριθούν τα ύψη του ρόμβου που άγονται από μία κορυφή. Λύση Συγκρίνουμ μ το διαβήτη ή μ διαφανές χαρτί τα ύψη Ε και Ζ του ρόμβου και διαπιστώνουμ ότι ίναι ίσα, δηλαδή: Ε = Ζ. 3. Να σχδιαστούν τα ύψη του παραλληλογράμμου που άγονται από μια κορυφή. Λύση Τα ύψη του παραλληλογράμμου Δ που φέρνουμ από την κορυφή στις πλυρές Δ και ίναι τα Ε και Ζ αντίστοιχα. ΣΚΗΣΕΙΣ ΚΙ ΠΡΛΗΜΤ 1. ράψ Σ μπροστά από κάθ σωστή πρόταση και Λ μπροστά από κάθ λάθος. (α) Ένα ττράγωνο ίναι και ρόμβος. (β) Ένας ρόμβος ίναι ττράγωνο. (γ) Κάθ διαγώνιος ορθογωνίου παραλληλογράμμου το χωρίζι σ δύο ορθογώνια τρίγωνα. (δ) Κάθ διαγώνιος ρόμβου τον χωρίζι σ δύο ισόπλυρα τρίγωνα. () Κάθ διαγώνιος ισοσκλούς τραπζίου το χωρίζι σ δύο ισοσκλή τρίγωνα. 86 / 227 Ε υ 1 Ε υ 2 Ζ Ζ

2. Πόσα ισοσκλή τρίγωνα σχηματίζονται σ ένα ισοσκλές τραπέζιο, που έχι τρις πλυρές ίσς, όταν φέρουμ τις δύο διαγώνις του; ικαιολόγησ την απάντησή σου. 3. Μ τέσσρα σπίρτα (ολόκληρα και ίσα) ποια ττράπλυρα μπορίς να κατασκυάσις; ικαιολόγησ την απάντηση σου. 4. Μ δύο ολόκληρα και δύο μισά σπίρτα μπορίς να κατασκυάσις παραλληλόγραμμα και ποια; ικαιολόγησ την απάντησή σου. ΡΣΤΗΡΙΤΗΤ Ι Τ ΣΠΙΤΙ Προσπάθησ να χωρίσις τα πιο κάτω ττράπλυρα σ ομάδς. ώσ από ένα όνομα στο καθένα. Προσπάθησ να δικαιολογήσις το χωρισμό σ ομάδς που έκανς. 87 / 227-228

ΙΣΤΡΙΚΗ Ν ΡΜΗ Ευκλίδης στα Στοιχία του προτίνι μια ταξινόμηση ( ιάγραμμα 1), που δν χρησιμοποιί ως κριτήριο την παραλληλία, την οποία ισάγι αργότρα. Τραπέζιο ονομάζι, όχι κίνο που λέμ μίς σήμρα, δηλαδή το ττράπλυρο μ δύο μόνο πλυρές παράλληλς, αλλά οποιοδήποτ ττράπλυρο. Τον όρο τραπέζιο, μ τη σύγχρονη έννοια, τον συναντάμ αργότρα στον ρχιμήδη. Επίσης το ττράπλυρο που ονομάζι ρομβοιδές κφράζι το σημρινό παραλληλόγραμμο. ΤΕΤΡΠΛΕΥΡ ΤΕΤΡΩΝ Ισόπλυρο και ορθογώνιο ΤΡΠΕΖΙ ΕΤΕΡΜΗΚΕΣ ορθογώνιο και όχι ισόπλυρο ΡΜΣ ισόπλυρο και όχι ορθογώνιο ΡΜΕΙ ΕΣ απέναντι πλυρές και απέναντι γωνίς ίσς ιάγραμμα 1 Η Ευκλίδια ταξινόμηση 88 / 228

Μια προσπάθια διόρθωσης της Ευκλίδιας ταξινόμησης απαντάται τον 16ο αιώνα στη ωμτρία (1569) του Petrus Ramus ή Pierre de la Ramée. ΤΕΤΡΠΛΕΥΡ ΠΡΛΛΗΛΡΜΜ ΤΡΠΕΖΙ ΠΛΙ ΠΡΛΛΗΛ- ΡΜΜ ΡΜΣ ΡΜΕΙ ΕΣ ΡΘΩΝΙ ΠΡΛΛΗΛ- ΡΜΜ ΤΕΤΡΩΝ ΕΤΕΡΜΗΚΕΣ ιάγραμμα 2 Η ταξινόμηση του Ramus 89 / 228

.3.4. Ιδιότητς Παραλληλογράμμου - ρθογωνίου - Ρόμβου -Ττραγώνου Τραπζίου - Ισοσκλούς τραπζίου ΡΣΤΗΡΙΤΗΤ 1η Προσπάθησ να διαπιστώσις άν το παραλληλόγραμμο κέντρο συμμτρίας. ΡΣΤΗΡΙΤΗΤ 2η Προσπάθησ να βρις τους άξονς συμμτρίας: (α) του ορθογωνίου, (β) του ρόμβου, (γ) του ττραγώνου και (δ) του ισοσκλούς τραπζίου. Θυμόμαστ - Μαθαίνουμ Ιδιότητς του ορθογώνιου και πλάγιου παραλληλογράμμου Σ κάθ παραλληλόγραμμο το σημίο τομής των διαγωνίων του ίναι κέντρο συμμτρίας του. ι διαγώνιές του διχοτομούνται (κάθ μία πρνάι από το μέσον της άλλης). 90 / 229

ι απέναντι πλυρές ίναι ίσς. ι απέναντι γωνίς ίναι ίσς. Στο ορθογώνιο: ι μσοκάθτοι των πλυρών του ίναι άξονς συμμτρίας. ι διαγώνιές του ίναι ίσς και διχοτομούνται. 1 Ιδιότητς του ρόμβου Εκτός των ιδιοτήτων του παραλληλογράμμου έχι ακόμα και τις ξής: ι υθίς των διαγωνίων ίναι άξονς συμμτρίας. ι διαγώνις ίναι κάθτς (και διχοτομούνται). 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 ι διαγώνιές του ίναι και διχοτόμοι των γωνιών του. Ιδιότητς του ττραγώνου Εκτός των ιδιοτήτων του παραλληλογράμμου έχι ακόμα και τις ξής: ι υθίς των διαγωνίων του και οι μσοκάθτοι των πλυρών του ίναι άξονς συμμτρίας. ι διαγώνιές του ίναι ίσς, κάθτς (και διχοτομούνται) ι διαγώνιές του ίναι και διχοτόμοι των γωνιών του. 91 / 229-230 45 ο

Ιδιότητς του ισοσκλούς τραπζίου Η υθία που διέρχται από τα μέσα των βάσων ίναι άξονας συμμτρίας και μσοκάθτος στις βάσις του. ι προσκίμνς σ κάθ βάση γωνίς του ίναι ίσς. ΠΡ ΕΙΜ - ΕΦΡΜΗ Ν 1 2 1 2 Μ Να βρθί το κέντρο συμμτρίας: (α) του ρόμβου, (β) του ορθογωνίου και (γ) του ττραγώνου. Λύση (α) Επιδή ο ρόμβος ίναι και παραλληλόγραμμο, το σημίο τομής των διαγωνίων του θα ίναι και κέντρο συμμτρίας του. (β) Επιδή το ορθογώνιο ίναι και παραλληλόγραμμο, το σημίο τομής των διαγωνίων του θα ίναι και κέντρο συμμτρίας του. (γ) Επιδή το ττράγωνο ίναι και ορθογώνιο παραλληλόγραμμο το σημίο τομής των διαγωνίων του θα ίναι και κέντρο συμμτρίας του. 92 / 230

ΣΚΗΣΕΙΣ ΚΙ ΠΡΛΗΜΤ 1. Σχδίασ ένα ορθογώνιο, ένα ρόμβο και ένα ττράγωνο μ τις διαγώνιές τους και ξέτασ άν τα τρίγωνα στα οποία χωρίζται το καθένα από τις διαγώνις ίναι ίσα. 2. Σχδίασ ένα ορθογώνιο και μ διάμτρο τη διαγώνιο του γράψ ένα κύκλο. ικαιολόγησ το γγονός ότι ο κύκλος αυτός πρνάι από όλς τις κορυφές του ορθογωνίου. 3. Σ ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο φέρ τη διαγώνιο και μτά σύγκριν τις αποστάσις των κορυφών και απ αυτή. 4. Σχδίασ ένα παραλληλόγραμμο και από τις κορυφές του φέρ παράλληλς υθίς προς τις διαγωνίους του. Τι παρατηρίς; 5. Σχδίασ τις διχοτόμους των γωνιών νός πλαγίου παραλληλογράμμου. Τι παρατηρίς για το σχήμα που δημιουργίται απ αυτές, άν προκταθούν; 6. Σχδίασ τις διχοτόμους των γωνιών νός ορθογωνίου παραλληλογράμμου. Τι παρατηρίς για το σχήμα που δημιουργίται απ αυτές άν προκταθούν; Επίσης, τις διχοτόμους των γωνιών (α) νός ττραγώνου και (β) νός ρόμβου. Τι παρατηρίς; 7. Σχδίασ τα ύψη των τριγώνων και, τα οποία σχηματίζονται, όταν φέρις τη διαγώνιο του τραπζίου. Μέτρησ τα ύψη των δύο αυτών 93 / 231

τριγώνων μ το υποδκάμτρο. Τι παρατηρίς; ( ικαιολόγησ την απάντησή σου). 8. Πάνω σ δύο μη αντικίμνς ημιυθίς x και y, πάρ τα σημία και αντίστοιχα έτσι, ώστ =. πό το φέρ y // y και από το την x // x. νόμασ Κ το σημίο τομής των y και x. Φέρ τις διαγώνις του Κ και διαπίστωσ τη σχτική τους θέση. Επίσης, σύγκριν μταξύ τους τις αποστάσις του από τις υθίς y και x και του Κ από τις x και y. 9. Σχδίασ ένα ττράπλυρο έτσι, ώστ ανά δύο οι διαδοχικές πλυρές του να ίναι κάθτς. ν = 3 cm και = 4 cm. Να βρις: (α) το μήκος των και και (β) το μήκος των και, μ τη βοήθια του υποδκάμτρου. Τι παρατηρίς; 94 / 231

Επαναληπτικές Ερωτήσις υτοαξιολόγησης. Τοποθέτησ ένα x στην θέση που αντιστοιχί στη σωστή απάντηση ΝΜΣΙ ΖΕΥΥΣ ΩΝΙΩΝ ΠΡΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΤΕΜΝΜΕΝΕΣ Π ΕΥΘΕΙ ΕΝΤΣ ΕΝΛΛΞ ΕΚΤΣ ΕΝΛΛΞ ΕΝΤΣ ΕΠΙ Τ ΥΤ ΕΚΤΣ ΕΠΙ Τ ΥΤ ΕΝΤΣ - ΕΚΤΣ ΕΝΛΛΞ ΕΝΤΣ - ΕΚΤΣ ΕΠΙ Τ ΥΤ ΙΣΕΣ ΣΧΕΣΗ ΠΡΠΛΗΡΩ- ΜΤΙΚΕΣ. Τοποθέτησ ένα «x» στην θέση που αντιστοιχί στη σωστή απάντηση. (Υπάρχουν και πριπτώσις που πρισσότρς από μία απαντήσις ίναι σωστές). 1. Το άθροισμα των γωνιών νός τριγώνου ίναι: 270 ο 180 ο 90 ο 2. Σ κάθ ισοσκλές τρίγωνο η διάμσος, που αντιστοιχί στη βάση, ίναι και: Άξονας συμμτρίας Ύψος ιχοτόμος 3. Σ κάθ ισόπλυρο τρίγωνο όλς οι ξωτρικές του γωνίς ίναι ίσς μ: 145 ο 270 ο 120 ο 95 / 232

4. Σ κάθ ισοσκλές τραπέζιο ίναι ίσς οι: ι προσκίμνς σ κάθ βάση γωνίς του Όλς οι πλυρές του ι διαγώνιοι του. 5. Σ κάθ ρόμβο οι διαγώνις του ίναι: Άξονς συμμτρίας Κάθτς και διχοτομούνται ιχοτόμοι των γωνιών του. 6. Σ κάθ ορθογώνιο παραλληλόγραμμο άξονς συμμτρίας ίναι: ι διαγώνιές του ι μσοκάθτοι των πλυρών του ι πλυρές του. 7. Σ κάθ ττράγωνο οι υθίς των διαγωνίων του ίναι: ιχοτόμοι των γωνιών του Μσοκάθτοι των πλυρών του Άξονς συμμτρίας. 96 / 232

8. Σ κάθ παραλληλόγραμμο ίναι: Κέντρο συμμτρίας το σημίο τομής των διαγωνίων του. ι διαγώνιές του άξονς συμμτρίας ι διαγώνιές του διχοτομούνται. 97 / 232

. Τοποθέτησ ένα «x» στην θέση που αντιστοιχί στη σωστή απάντηση. ΕΥΘΥ- ΡΜΜ ΣΧΗΜΤ ΕΥΘΥ- ΡΜΜ ΤΜΗΜ ΩΝΙ ΚΤ- ΚΡΥΦΗΝ ΩΝΙΕΣ ΕΝΤΣ ΕΝΛΛΞ ΩΝΙΕΣ ΤΥΧΙ ΤΡΙΩΝ ΙΣΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΩΝ ΙΣΠΛΕΥΡ ΤΡΙΩΝ ΡΙΘΜΣ ΞΝΩΝ ΣΥΜΜΕΤΡΙΣ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ΚΕΝΤΡ ΣΥΜΜΕΤΡΙΣ 98 / 232

ΕΥΘΥ- ΡΜΜ ΣΧΗΜΤ ΤΡΠΕΖΙ ΙΣΣΚΕΛΕΣ ΤΡΠΕΖΙ ΤΥΧΙ ΤΕΤΡ- ΠΛΕΥΡ ΠΡΛΛΗ- ΛΡΜΜ ΡΘΩΝΙ ΤΕΤΡΩΝ ΡΜΣ ΡΙΘΜΣ ΞΝΩΝ ΣΥΜΜΕΤΡΙΣ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ΚΕΝΤΡ ΣΥΜΜΕΤΡΙΣ 99 / 232

ΠΕΡΙΕΧΜΕΝ ΜΕΡΣ B ΕΩΜΕΤΡΙ ΚΕΦΛΙ 1ο ασικές γωμτρικές έννοις (συνέχια από 1ο τόμο) 1.12. Επίκντρη γωνία Σχέση πίκντρης γωνίας και του αντίστοιχου τόξου Μέτρηση τόξου...5 1.13. Θέσις υθίας και κύκλου...11 νακφαλαίωση...16 Επαναληπτικές Ερωτήσις υτοαξιολόγησης...25 ΚΕΦΛΙ 2ο Συμμτρία 28-29 2.1 Συμμτρία ως προς άξονα...31 2.2 Άξονας συμμτρίας...40 2.3 Μσοκάθτος υθυγράμμου τμήματος...43 2.4 Συμμτρία ως προς σημίο...51 2.5 Κέντρο συμμτρίας...56 2.6 Παράλληλς υθίς που τέμνονται από μία άλλη υθία...60 ΚΕΦΛΙ 3ο Τρίγωνα Παραλληλόγραμμα Τραπέζια 67-68 3.1 Στοιχία τριγώνου Είδη τριγώνων...69 3.2 Άθροισμα γωνιών τριγώνου Ιδιότητς ισοσκλούς τριγώνου...75 3.3 Παραλληλόγραμμο ρθογώνιο Ρόμβος Ττράγωνο Τραπέζιο Ισοσκλές τραπέζιο...83 3.4 Ιδιότητς Παραλληλογράμμου ρθογωνίου Ρόμβου Ττράγωνου Τραπζίου Ισοσκλούς τραπζίου...90 Επαναληπτικές Ερωτήσις υτοαξιολόγησης...95 100

Μ απόφαση της Ελληνικής Κυβέρνησης τα διδακτικά βιβλία του ημοτικού, του υμνασίου και του Λυκίου τυπώνονται από τον ργανισμό Εκδόσως ιδακτικών ιβλίων και διανέμονται δωράν στα ημόσια Σχολία. Τα βιβλία μπορί να διατίθνται προς πώληση, όταν φέρουν βιβλιόσημο προς απόδιξη της γνησιότητάς τους. Κάθ αντίτυπο που διατίθται προς πώληση και δ φέρι βιβλιόσημο, θωρίται κλψίτυπο και ο παραβάτης διώκται σύμφωνα µ τις διατάξις του άρθρου 7, του Νόμου 1129 της 15/21 Μαρτίου 1946 (ΦEK 1946, 108, A ). παγορύται η αναπαραγωγή οποιουδήποτ τμήματος αυτού του βιβλίου, που καλύπτται από δικαιώματα (copyright), ή η χρήση του σ οποιαδήποτ μορφή, χωρίς τη γραπτή άδια του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου.