ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΣΙΜΟΥ

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΣΙΜΟΥ Παράδειγμα #1 Η Επενδυτικά Έργα Α.Ε., θέλει να επενδύσει τα διαθέσιμα κεφάλαια της που ανέρχονται σε 2 δις για να συμμετάσχει σε κοινοπραξίες που θα εκτελέσουν διάφορα έργα που αναμένεται να ξεκινήσουν σύντομα. Ο παρακάτω πίνακας δίνει την απόδοση των κεφαλαίων που θα επενδυθούν σε κάθε έργο, το ποσοστό κινδύνου για απώλεια κεφαλαίων, το ελάχιστο και μέγιστο ποσό που μπορεί να επενδυθεί σε κάθε έργο, καθώς και το πλήθος των ατόμων της εταιρεία που θα απασχοληθούν. Έργο Απόδοση (%) Κίνδυνος απώλειας κεφαλαίων Ελάχιστο Ποσό συμμετοχής Μέγιστο Ποσό Συμμετοχής Αριθμός ατόμων που θα συμμετάσχουν Α 10% 10% 100 εκ. 500 εκ. 4 Β 12% 15% 150 εκ. 500 εκ. 8 Γ 9% 8% 800εκ. - 2 Δ 11% 12% 120 εκ. 500 εκ. 7 Ε 10% 9% 180 εκ 500 εκ. 6 Η εταιρεία διαθέτει 20 άτομα που μπορούν να απασχοληθούν στα έργα στα οποία θα συμμετάσχει, ενώ έχει προσδιορίσει ότι το συνολικό ανεκτό επίπεδο κινδύνου απώλειας κεφαλαίων για όλα τα έργα δεν μπορεί να ξεπεράσει το 5% του συνολικού κεφαλαίου που θα επενδυθεί ή τα 100 εκ. Διαμορφώστε το μοντέλο μικτού ακέραιου προγραμματισμού το οποίο θα δίνει απάντηση στο τι ποσό θα επενδυθεί σε κάθε έργο. ΧΑ, ΧΒ, ΧΓ, ΧΔ, ΧΕ το ποσό που θα επενδυθεί σε κάθε έργο ΥΑ, ΥΒ, ΥΓ, ΥΔ, ΥΕ. μεταβλητές 0/1 που δηλώνουν την επιλογή του αντίστοιχου έργου Αντικειμενική συνάρτηση : Μεγιστοποίηση Απόδοσης: 0,1ΧΑ + 0,12ΧΒ + 0,09ΧΓ + 0,11ΧΔ + 0,1ΧΕ Περιορισμοί 1. Κεφάλαια (σε εκ.): ΧΑ + ΧΒ + ΧΓ + ΧΔ + ΧΕ <= 2000 2. Κίνδυνος (σε εκ.): 0,10ΧΑ + 0,15ΧΒ + 0,08ΧΓ + 0,12ΧΔ + 0,09ΧΕ <= 100 Ή πιο σωστά 0,10ΧΑ + 0,15ΧΒ + 0,08ΧΓ + 0,12ΧΔ + 0,09ΧΕ <= 0,05(ΧΑ + ΧΒ + ΧΓ + ΧΔ + ΧΕ) 3. Άτομα: 4ΥΑ + 8ΥΒ + 2ΥΓ + 7ΥΔ + 6ΥΕ <= 20 4. Σύνδεση Χ και Υ με ελάχιστο και μέγιστο ποσό συμμετοχής ΧΑ <= 500ΥΑ και ΧΑ >= 100ΥΑ Αντίστοιχα και για τα υπόλοιπα Στο Γ που δεν υπάρχει μέγιστο όριο βάζουμε το μέγιστο διαθέσιμο ποσό 2 δις Παράδειγμα #2 Μια οικογένεια διαθέτει 410 στρέμματα καλλιεργήσιμης γης στην περιοχή της Μακεδονίας στην οποία καλλιεργεί καπνό και ρύζι, αλλά ο τοπικός Αγροτικός Συνεταιρισμός περιορίζει το πλήθος των στρεμμάτων που μπορούν να καλλιεργηθούν με ρύζι το πολύ στα 100. Κάθε στρέμμα που καλλιεργείται με καπνό κοστίζει (σπορά, καλλιέργεια, συγκομιδή, κ.λ.π.) κατά μέσο όρο 105 χρηματικές μονάδες, και κάθε στρέμμα ρυζιού 210 χρηματικές μονάδες. Για την τρέχουσα χρονιά, υπάρχει διαθέσιμο ένα κεφάλαιο

της τάξης των 52500 ευρώ, και η εκτίμηση ότι το κάθε στρέμμα καπνού θα αφήσει κατά μέσο όρο καθαρό κέρδος 300 ευρώ, ενώ, το κάθε στρέμμα ρυζιού 520 ευρώ. a) Διαμορφώστε ένα μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού το οποίο να οδηγεί στην εύρεση του βέλτιστου σχεδίου καλλιέργειας. Εξηγήστε με σαφήνεια τα στοιχεία του. Μεταβλητές. ο αριθμός των στρεμμάτων x 1 που θα καλλιεργηθούν με καπνό, Στόχος (αντικειμενική συνάρτηση). To καθαρό κέρδος, δηλαδή: Περιορισμοί. Οι περιορισμοί προκύπτουν maximize Z = 300x 1 + 520x 2 x 2 που θα καλλιεργηθούν με ρύζι. από την υπάρχουσα συνολική έκταση προς καλλιέργεια: x 1 + x 2 410 από τον διαθέσιμο προϋπολογισμό: 105x 1 + 210x 2 52500 από την επιτρεπόμενη καλλιεργήσιμη έκταση για ρύζι: x 2 100 της μη αρνητικότητας των μεταβλητών: x 1, x 2 0 Μετά την επίλυση του μοντέλου από τον λύτη του Excel, δημιουργήθηκε η αναφορά ευαισθησίας (sensitivity) που φαίνεται στην παρακάτω εικόνα. Με βάση τα στοιχεία που περιέχει, απαντήστε στα ερωτήματα που ακολουθούν. b) Πόση έκταση πρέπει να καλλιεργηθεί από κάθε είδος και πόσο είναι το συνολικό καθαρό κέρδος; Θα μείνει έκταση ακαλλιέργητη και πόση; Θα καλλιεργηθούν όλα τα επιτρεπόμενα εκτάρια ρυζιού; 320 στρέμματα με καπνό και 90 στρέμματα με ρύζι. Το γεγονός αυτό θα έχει ως αποτέλεσμα συνολικά καθαρά κέρδη ύψους 300 320 + 520 90 = 142800 χρηματικών μονάδων. Δεν πρόκειται να μείνει καθόλου ακαλλιέργητη από τη διαθέσιμη γη, ενώ θα μπορούσαν να καλλιεργηθούν ακόμη 100 90 = 10 στρέμματα ρυζιού c) Ένας γείτονας προσπαθεί να πείσει την οικογένεια του προβλήματος να νοικιάσει τη δική του γη, έκτασης 10 στρεμμάτων, προς 100 χρηματικές μονάδες το στρέμμα. Πιστεύετε ότι πρέπει να δεχθούν; Όπως βλέπουμε στην ανάλυση ευαισθησίας των περιορισμών, η αύξηση της καλλιεργήσιμης γης κατά δέκα στρέμματα βρίσκεται μέσα στο επιτρεπόμενο εύρος αύξησης

(Επιτρεπόμενη αύξηση = 90 -δεύτερος περιορισμός-). Η αύξηση αυτή εξασφαλίζει στην οικογένεια του παραδείγματος 80 επιπλέον ευρώ ανά στρέμμα (Σκιώδης τιμή του δεύτερου περιορισμού). Μια και το ενοίκιο ανέρχεται στις 100 το στρέμμα, ΟΧΙ δεν πρέπει να δεχθούν την πρόταση του γείτονα. d) Υποθέστε ότι η οικογένεια του προβλήματος σκέφτεται να πάρει ένα δάνειο 1000 ευρώ ώστε να αυξηθεί το διαθέσιμο κεφάλαιο για τις ανωτέρω καλλιέργειες. Το επιτόκιο ανέρχεται στο 8%. Τι τους συμβουλεύετε; Όπως βλέπουμε στην ανάλυση ευαισθησίας των περιορισμών, η αύξηση του κεφαλαίου κατά 1000 χρηματικές μονάδες βρίσκεται μέσα στο επιτρεπόμενο εύρος αύξησης (Επιτρεπόμενη αύξηση = 1050 -πρώτος περιορισμός-).σύμφωνα με την ανάλυση ευαισθησίας του πρώτου περιορισμού, κάθε επιπλέον ευρώ στο διαθέσιμο κεφάλαιο, αυξάνει το συνολικό καθαρό κέρδος κατά 2,095. Κάθε ευρώ που δανείζεται κοστίζει μόλις 0,08 ευρώ (8%), άρα η οικογένεια του παραδείγματος ΠΡΕΠΕΙ να προχωρήσει στην προτεινόμενη δανειοδότηση. Παράδειγμα #3 Η εταιρεία GALAXY INDUSTRIES διαθέτει στην αγορά 2 είδη πλάκες πεζοδρομίου: τη Space Ray και τη Galaxy Ray. Τα 2 είδη κατασκευάζονται σε δωδεκάδες από την ίδια βασική πρώτη ύλη (μίγμα τσιμέντου). Το εργοτάξιο διαθέτει 1000 τόνους πρώτης ύλης και λειτουργεί για 40 ώρες εβδομαδιαίως. Οι απαιτήσεις σε πόρους (πρώτη ύλη, χρόνος παραγωγής) και τα κέρδη ανά είδος πλάκας παρατίθενται στον κατωτέρω πίνακα: Κέρδος (χρημ. μονάδες ανά δωδεκάδα) Πρώτη ύλη (σε κιλά) Χρόνος παραγωγής (σε λεπτά) Space Ray 8 2 3 Galaxy Ray 5 1 4 Ο διευθυντής παραγωγής πρέπει να προσδιορίσει το βέλτιστο πρόγραμμα παραγωγής που μεγιστοποιεί τα συνολικά κέρδη της GALAXY INDUSTRIES λαμβάνοντας επιπλέον υπόψη ότι η εβδομαδιαία παραγωγή και για τα δύο είδη δεν μπορεί να υπερβεί τις 700 πλάκες ενώ η εβδομαδιαία παραγωγή της Space Ray δεν μπορεί να υπερβεί την αντίστοιχη του Galaxy Ray περισσότερο από 350. Η διαμόρφωση του προβλήματος σε μορφή Γραμμικού Προγραμματισμού και η Γραφική απεικόνιση της περιοχής των εφικτών λύσεων δίνεται παρακάτω: Με βάση τον παρακάτω πίνακα Solver απαντήστε στα εξής ερωτήματα Μεταβλητά κελιά Τελικό Μειωμένο Στόχος Επιτρεπτό Επιτρεπτό Κελί Όνομα Τιμή Κόστος Συντελεστής Αύξηση Μείωση $C$4 Space Ray 320 0 8 2 4,25 $D$4 Galaxy Ray 360 0 5 5,67 1 Περιορισμοί Τελικό Σκιώδης Περιορισμός Επιτρεπτό Επιτρεπτό Κελί Όνομα Τιμή Τιμή Δεξιά πλευρά Αύξηση Μείωση $E$7 Πρώτη Ύλη Σύνολο 1000 3,4 1000 100 400 $E$8 Χρόνος παραγωγής 2400 0,4 2400 100 650 $E$9 Συνολική παραγωγή 680 0 700 1E+30 20 $E$10 Μίγμα παραγωγής -40 0 350 1E+30 390

a) Ποιες ποσότητες από κάθε είδος πρέπει να κατασκευασθούν ώστε να επιτευχθεί μεγιστοποίηση του κέρδους και ποιο θα είναι το μέγιστο κέρδος. Εξηγείστε την απάντηση σας αναλυτικά. Space 320 τεμάχια, Galaxy 360. Μέγιστο κέρδος 8(320) + 5(360) = 4360 b) Ποιοι περιορισμοί είναι δεσμευτικοί. Από τις σκιώδεις τιμές (μη μηδενικές) ή από σύγκριση τελικής τιμής περιορισμού με δεξιά πλευρά οι δεσμευτικοί είναι Πρώτη ύλη και Χρόνος Παραγωγής c) Υπάρχουν κάποιοι περιορισμοί που μπορεί να πλεονάζουν? Μπορεί να βρεθεί μόνο γραφικά d) Αν η Galaxy μπορούσε να λειτουργήσει το εργοτάξιο και το Σάββατο με ένα άτομο και με επιπλέον κόστος 100 ν.μ., θα το προτείνατε? Δικαιολογείστε την απάντηση σας. Εργασία το Σάββατο 8 ώρες χ 60 λεπτά = 480 λεπτά. Από την ανάλυση ευαισθησίας η σκιώδης τιμή για το χρόνο παραγωγής είναι 0,4 ανα λεπτό. Η αύξηση του χρόνου παραγωγής δεν μπορεί να υπερβεί τα 100 λεπτά. Επομένως μέγιστο όφελος 100 Χ 0,4 = 40. Κόστος = 100. Δεν συμφέρει e) Αν η τιμή των Galaxy και Space αυξάνονταν σε 7 και 13 ν.μ. αντίστοιχα, θα υπήρχε λόγος αναθεώρησης του προγράμματος παραγωγής? Εξηγείστε το σκεπτικό σας. Για συντελεστή κέρδους 5 στο Galaxy οι συντελεστές κέρδους του Space κυμαίνονται από ελάχιστο 8-4,25=3,75 έως 8+2=10 μέγιστο. Αν το κέρδος στο Galaxy αυξηθεί από 5 σε 7 αυτό είναι αύξηση 40%. Επομένως με 40% αύξηση το αντίστοιχο ανώτερο όριο διακύμανσης στους συντελεστές του Space θα ήταν 14. Η τιμή 13 είναι μέσα σε αυτό το όριο και επομένως δεν θα άλλαζε τίποτα στη λύση (ποσότητες παραγωγής). f) Αν υπήρχε περιορισμός στην παραγωγή της Space Ray με ανώτερο όριο τις 300 πλάκες, μπορείτε να προσδιορίσετε τη νέα βέλτιστη λύση. Αν όχι, είναι δυνατόν να δοθεί απάντηση στο αν το κέρδος θα Δεν μπορεί να προσδιορισθεί η λύση. Αλλά το κέρδος εφόσον τίθεται ένας νέος περιορισμός ο οποίος περιορίζει την λύση που βρήκαμε δεν είναι δυνατόν να αυξηθεί. Κάθε νέος περιορισμός αφήνει τη λύση αμετάβλητη (αν είναι πλεονάζων) ή δίνει μία λύση με χειρότερο αποτέλεσμα. g) Διατυπώστε το πρόβλημα σε μορφή γραμμικού προγραμματισμού αν υπήρχαν επιπλέον ώρες εργασίας με κόστος 18 ν.μ. την ώρα και επιπλέον πρώτες ύλες με κόστος 3 ν.μ. που θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν. Έστω Υ οι επι πλέον ώρες εργασίας και Ζ οι επιπλέον πρώτες ύλες Τότε θα είχαμε: Αντικειμενική συνάρτηση : 8Χ1 + 5Χ2 18Υ 3Ζ Περιορισμός (1) : Περιορισμός (2) : 2Χ1 + 1Χ2 1000 + Υ 3Χ1 + 4Χ2 2400 + Ζ Παράδειγμα #4 Η διαφημιστική εταιρεία Advertising S.A. ανέλαβε τη διαφήμιση των ξενοδοχείων των Ανατολικών ακτών του Νομού Λάρισας στην Κεντρική Γερμανία. Η ένωση των ξενοδόχων της περιοχής διαθέτει ένα προϋπολογισμό 80.000 ευρώ ανά εβδομάδα για διαφήμιση. Ο προϋπολογισμός θα καλύψει διαφήμιση στην τηλεόραση, σε εφημερίδες και σε δύο ζώνες ακρόασης στο ραδιόφωνο. Στόχος της Advertising S.A είναι να έχει τη μεγαλύτερη δυνατή διαφημιστική κάλυψη χρησιμοποιώντας όλα τα διαφημιστικά μέσα. Ο παρακάτω πίνακας περιλαμβάνει εκτίμηση για τον αριθμό των οικογενειών που θα λάβει το διαφημιστικό μήνυμα από κάθε μέσο, με βάση την ακροαματικότητα κάθε μέσου και την κυκλοφορία των εφημερίδων. Στον ίδιο πίνακα δίνεται το κόστος κάθε δράσης και ο μέγιστος αριθμός διαφημιστικών καταχωρήσεων ανά εβδομάδα σε κάθε μέσο.

Πίνακας 1 Κόστος και εμβέλεια διαφημιστικών μέσων Διαφημιστικό Μέσο Διαφημιστική κάλυψη ανά μήνυμα Κόστος ανά μήνυμα( ) Μέγιστος αριθμός μηνυμάτων ανά εβδομάδα Τηλεοπτικά Σποτ 5.000 4.000 20 Ημερήσιες Εφημερίδες 8.500 3.000 5 Ραδιοφωνικά Σποτ 30 Ζώνη Α 2.400 1.000 30 Ραδιοφωνικά Σποτ 60 Ζώνη Β 2.800 1.200 20 Προηγούμενες συμφωνίες της Advertising S.A. επιβάλουν τη χρήση τουλάχιστον 12 ραδιοφωνικών σποτ την εβδομάδα. Από την άλλη πλευρά επειδή η κάλυψη του ραδιοφώνου είναι πιο περιορισμένη γεωγραφικά, η Advertising S.A. δεν θέλει να δαπανήσει περισσότερο από 18.000 σε διαφημίσεις ραδιοφώνου κάθε εβδομάδα. a) Διαμορφώστε το μοντέλο ΓΠ με στόχο τη μεγιστοποίηση της διαφημιστικής κάλυψης Έστω Τ, Ε, Ρ30 και Ρ60 οι καταχωρήσεις σε τηλεοπτικά σποτ, εφημερίδες και ράδιο 30 και 60 αντίστοιχα Αντικειμενική συνάρτηση: Μεγιστοποίηση κάλυψης (σε χιλ) : 5Τ + 8,5Ε + 2,4Ρ30 + 2,8Ρ60 Περιορισμοί: Καταχωρήσεις Ραδιόφωνο: Ρ30 + Ρ60 >= 12 Προϋπολογισμός (σε χιλ.): 4Τ + 3Ε + Ρ30 + 1,2Ρ60 <= 80 Δαπάνες ραδιόφωνο: Ρ30 + 1,2Ρ60 <= 18 Τηλεόραση: Τ <= 20 Εφημερίδες: Ε <= 5 Ραδιόφωνο 30: Ρ30 <= 30 Ραδιόφωνο 60: Ρ60 <= 20 Τα αποτελέσματα επίλυσης του προβλήματος έχουν ως εξής: Microsoft Excel 16.0 Sensitivity Report Worksheet: [Book2]Sheet3 Report Created: 17/02/2017 10:04:15 Variable Cells Final Reduced Objective Allowable Allowable Cell Name Value Cost Coefficient Increase Decrease $B$10 Τηλεοπτικά Σποτ Διαφημιστικές Ενέργειες 11.75 0 5 4.6 5 $B$11 Ημερήσιες Εφημερίδες Διαφημιστικές Ενέργειες 5 0 8.5 1E+30 4.75 $B$12 Ραδιοφωνικά Σποτ 30 Ζώνη Α Διαφημιστικές Ενέργειες 18 0 2.4 1E+30 0.066666667 $B$13 Ραδιοφωνικά Σποτ 60 Ζώνη Β Διαφημιστικές Ενέργειες 0-0.08 2.8 0.08 1E+30 Constraints Final Shadow Constraint Allowable Allowable Cell Name Value Price R.H. Side Increase Decrease $B$16 12 Ραδιοφωνικά Διαφημιστικές Ενέργειες 18 0 12 6 1E+30 $B$17 Προυπολογισμός Διαφημιστικές Ενέργειες 80 1.25 80 33 47 $B$18 Δαπάνες ραδιοφώνου Διαφημιστικές Ενέργειες 18 1.15 18 12 6 $B$19 Τηλεοπτικά Σποτ Διαφημιστικές Ενέργειες 11.75 0 20 1E+30 8.25 $B$20 Ημερήσιες Εφημερίδες Διαφημιστικές Ενέργειες 5 4.75 5 15.66666667 5 $B$21 Ραδιοφωνικά Σποτ 30 Ζώνη Α Διαφημιστικές Ενέργειες 18 0 30 1E+30 12 $B$22 Ραδιοφωνικά Σποτ 60 Ζώνη Β Διαφημιστικές Ενέργειες 0 0 20 1E+30 20

b) Ποιο είναι το βέλτιστο μείγμα διαφημιστικών ενεργειών 11,75 τηλεόραση, 5 σε εφημερίδες, και 18 σε ραδιόφωνο ζώνη 30. Καμία σε ραδιόφωνο 60 Συνολική κάλυψη 5(11,75)Τ + 8,5(5) + 2,4(18) c) Ποιοι αποτελούν τους δεσμευτικούς περιορισμούς του προβλήματος. Από τις σκιώδεις τιμές (μη μηδενικές) ή από σύγκριση τελικής τιμής περιορισμού με δεξιά πλευρά οι δεσμευτικοί είναι Προϋπολογισμός, Δαπάνες ραδιοφώνου και μέγιστος αριθμός καταχωρήσεων σε εφημερίδες d) Εξετάστε τι θα συμβεί Α) με αύξηση του προϋπολογισμού. Για κάθε 1 μονάδα (χίλια ευρώ) αύξηση κάλυψης κατά 1,25 (1250άτομα). Αύξηση μέχρι 33 μονάδες (χιλιάδες ευρώ) Β) με αύξηση του ορίου για δαπάνες σε ραδιοφωνική διαφήμιση Για κάθε 1 μονάδα (χίλια ευρώ) αύξηση κάλυψης κατά 1,15 (1150άτομα). Αύξηση μέχρι 12 μονάδες (χιλιάδες ευρώ) Γ) με επιπλέον καταχωρήσεις σε εφημερίδες. Για κάθε 1 επιπλέον καταχώρηση αύξηση κάλυψης κατά 4,75 (4750άτομα). Αύξηση μέχρι 15.7 καταχωρήσεις e) Ποια είναι η σχέση μεταβολής της διαφημιστικής κάλυψης σε σχέση με τον προϋπολογισμό. Απαντήθηκε στο Α) Παράδειγμα #5 Εταιρεία δημοσκοπήσεων ανέλαβε μια δημοσκόπηση σχετικά με τη δημοτικότητα ενός υπουργού. Η έρευνα θα γίνει σε δείγμα νοικοκυριών απ όλη την Ελλάδα με τη μέθοδο της προσωπικής συνέντευξης με τον αρχηγό του νοικοκυριού. Οι στατιστικοί της εταιρείας χώρισαν τη χώρα σε δύο γεωγραφικές περιοχές (αστική και αγροτική) και στη συνέχεια τους ερωτηθέντες ανάλογα με την ηλικία τους (μέχρι και 30 ετών, από 31 έως 50 ετών και από 51 ετών και άνω). Επιπλέον για τη στατιστική εγκυρότητα του δείγματος εκτίμησαν ότι πρέπει: Τουλάχιστον 2300 νοικοκυριά να συμπεριληφθούν στο δείγμα Τουλάχιστον 1000 από τα νοικοκυριά να έχουν αρχηγό το πολύ 30 ετών Τουλάχιστον 600 από τα νοικοκυριά να έχουν αρχηγό μεταξύ 31 και 50 ετών Τουλάχιστον 15% των νοικοκυριών να προέρχονται από την αστική περιοχή της χώρας Το πολύ 20% των νοικοκυριών του δείγματος με αρχηγό ηλικίας μεγαλύτερης ή ίσης των 51 ετών να προέρχονται από την αστική περιοχή Ο πίνακας που ακολουθεί περιέχει το εκτιμώμενο κόστος ανά συνέντευξη ανάλογα με τις δύο περιοχές της χώρας και τις τρεις κατηγορίες ηλικίας. Κόστος ανά συνέντευξη( σε ) Ηλικία έως και 30 Ηλικία 31 έως και 50 Ηλικία 51 και άνω Αστική 7,5 6,8 5,5 Αγροτική 6,9 7,25 6,1 a) Δώστε το μοντέλο Γραμμικού Προγραμματισμού. που χρησιμοποίησε η εταιρεία μαζί με τη λύση του. Έστω Σ1, Σ2 και Σ3 το πλήθος των νοικοκυριών στις αστικές περιοχές για τις 3 ηλικιακές ομάδες και Α1,Α2, Α3 το αντίστοιχο για αγροτικές περιοχές. Ελαχιστοποίηση κόστους : 7,5Σ1 + 6,8Σ2 + 5,5Σ3 + 6,9Α1 + 7,25Α2 + 6,1Α3 Περιορισμοί Σ1 + Σ2 + Σ3 + Α1 + Α2 + Α3 >= 2300 Σ1 + Α1 >= 1000

Σ2 + Α2 >= 600 Σ1 + Σ2 + Σ3 >= 0,15(Σ1 + Σ2 + Σ3 + Α1 + Α2 + Α3) Σ3 <= 0,2(Α3 + Σ3) Microsoft Excel 16.0 Sensitivity Report Worksheet: [Book2]Sheet1 Report Created: 17/02/2017 09:43:28 Variable Cells Final Reduced Objective Allowable Allowable Cell Name Value Cost Coefficient Increase Decrease $B$9 Αστική Ηλικία έως και 30 0 0.6 7.5 1E+30 0.6 $C$9 Αστική Ηλικία 31 έως και 50 600 0 6.8 0.45 0.82 $D$9 Αστική Ηλικία 51 και άνω 140 0 5.5 0.6 29.9 $B$10 Αγροτική Ηλικία έως και 30 1000 0 6.9 0.6 0.92 $C$10 Αγροτική Ηλικία 31 έως και 50 0 0.45 7.25 1E+30 0.45 $D$10 Αγροτική Ηλικία 51 και άνω 560 0 6.1 1.025 0.6 Constraints Final Shadow Constraint Allowable Allowable Cell Name Value Price R.H. Side Increase Decrease $B$16 Συνολο νοικοκυριών Ηλικία έως και 30 2300 5.98 0 1E+30 700 $B$17 <=30 Ηλικία έως και 30 1000 0.92 0 700 1000 $B$18 <=50 & >=31 Ηλικία έως και 30 600 0.82 0 700 493.75 $B$19 15% Αστική Ηλικία έως και 30 740 0 0 395 1E+30 $B$20 20% >=51 Αστική Ηλικία έως και 30 140-0.6 0 560 140 b) Αν αποφασιστεί ότι πρέπει να αυξηθεί το μέγεθος του δείγματος κατά 200 νοικοκυριά, πόσο θα είναι το επιπρόσθετο κόστος της δειγματοληψίας; Τι είδους νοικοκυριά πιστεύετε ότι θα επιλέξει η μέθοδος Simplex για την αύξηση του μεγέθους του δείγματος και γιατί; Η σκιώδης τιμή του περιορισμού είναι 5,98, με επιτρεπόμενη αύξηση απεριόριστη. Άρα το κόστος αυξάνεται κατά 5,98 για κάθε επιπλέον νοικοκυριό στο δείγμα. Η αύξηση κατά 200 θα προκύψει από την αύξηση της τελευταίας ηλιακής ομάδας λόγω του χαμηλότερου κόστους με κατανομή 1/6 του 200 σε αστικές περιοχές και 5/6 του 200 σε αγροτικές περιοχές ώστε να διατηρηθεί ο τελευταίος περιορισμός c) Σχολιάστε τα αποτελέσματα για τον τέταρτο περιορισμό. Ο περιορισμός δεν είναι δεσμευτικός. Ο αριθμός των αστικών νοικοκυριών ανέρχεται σε 740 συνολικά και ξεπερνά το όριο του 15%(2300). Για αυτό και η σκιώδης τιμή είναι μηδενική. Παράδειγμα #6 Η ΣΑΡΩΘΡΟΝ Ο.Ε. είναι μια μικρή επιχείρηση που κατασκευάζει σκούπες από άχυρο. Η γραμμή παραγωγής της είναι οργανωμένη έτσι ώστε σε ημερήσια βάση να διαθέτει στην αγορά την απλή κλασσική σκούπα και την ενισχυμένη επαγγελματική. Υπάρχει απεριόριστη δυνατότητα διάθεσης και των δύο τύπων σκούπας στην αγορά. Για την παραγωγή τους χρησιμοποιεί άχυρο, το οποίο προμηθεύεται από ένα γειτονικό αγρόκτημα. Το αγρόκτημα μπορεί να προμηθεύει καθημερινά μέχρι και 350 κιλά άχυρο στην τιμή του 1,5 ανά κιλό.

Και στους δύο τύπους σκούπας η ΣΑΡΩΘΡΟΝ χρησιμοποιεί τυποποιημένο σκουπόξυλο, το οποίο το προμηθεύεται από ένα εργοστάσιο ξυλείας το οποίο απέχει 3 ώρες από την έδρα της επιχείρησης. Το εργοστάσιο ξυλείας εκτελεί καθημερινά ένα δρομολόγιο για την επιχείρηση με φορτηγό χωρητικότητας 30 δεμάτων. Κάθε δέμα περιέχει 10 σκουπόξυλα και το κόστος για τη ΣΑΡΩΘΡΟΝ ανέρχεται στο ποσό των 7,5 ανά δέμα. Το εργοστάσιο, αν χρειαστεί, μπορεί να στέλνει καθημερινά με ταχυδρομείο ένα ακόμα δέμα, το κόστος του οποίου όμως είναι 25. Η επιχείρηση διαθέτει 10 εργαζόμενους αποκλειστικής απασχόλησης και οι απαιτήσεις για την παραγωγή των δύο τύπων σκούπας δίνονται από τον παρακάτω πίνακα: ΑΧΥΡΟ ΣΚΟΥΠΟΞΥΛΟ ΧΡΟΝΟΣ ΤΙΜΗ ΠΩΛΗΣΗΣ ΤΥΠΟΣ (σε κιλά) (σε μέτρα) (σε ώρες) (σε ) απλή κλασσική 1 1 0,25 12,75 ενισχυμένη επαγγελματική 1,5 1,2 0,40 18,00 Η βέλτιστη λύση του προβλήματος που προέκυψε από τον Solver έχει ως εξής: Variable Cells Final Reduced Objective Allowable Allowable Cell Name Value Cost Coefficient Increase Decrease $H$5 απλή κλασσική Ποσότητες 266,6666667 0 10,5 4,5 1,125 $H$6 ενισχυμένη επαγγελματική Ποσότητες 33,33333333 0 15 1,8 4,5 Constraints Final Shadow Constraint Allowable Allowable Cell Name Value Price R.H. Side Increase Decrease $B$10 Απαιτούμενες Ποσότητες (σε κιλά) 316,6666667 0 350 1E+30 33,33333333 $C$10 Απαιτούμενες Ποσότητες (σε μέτρα) 300 3 300 20 100 $D$10 Απαιτούμενες Ποσότητες (σε ώρες) 80 30 80 10 5 Δεδομένου ότι το σταθερό ημερήσιο κόστος παραγωγής περιλαμβανόμενου και του εργασιακού κόστους ανέρχεται σε 2497,5 και η επιχείρηση ακολουθεί τη γραμμή παραγωγής με την οποία μεγιστοποιεί τα συνολικά της έσοδα, να υπολογίσετε: (α) το καθαρό ημερήσιο κέρδος της επιχείρησης και με πόσα κομμάτια κάθε τύπου σκούπας επιτυγχάνεται 266,7 απλής και 33,2 ενισχυμένης. Κέρδος : 266,7(10,5) + 33,3(15) 2497,5 (σταθερό κόστος (β) ποιο είναι το καθαρό κέρδος (ανά τεμάχιο) από τον κάθε τύπο σκούπας Βλέπε (α) (γ) αν ο ιδιοκτήτης για να αυξήσει το ημερήσιο καθαρό κέρδος του προβληματίζεται να επιλέξει μεταξύ μιας από τις παρακάτω λύσεις: i. Εξεύρεση επιπλέον ποσότητας άχυρου Δεν προσφέρει τίποτα υπάρχει ήδη περίσσευμα. Ο περιορισμός δεν είναι δεσμευτικός. ii. Παραγγελία επιπλέον δέματος σκουπόξυλων Ένα δέμα έχει 10 σκουπόξυλα. Ο περιορισμός είναι δεσμευτικός με σκιώδη τιμή 3 και επιτρεπόμενη αύξηση 20. Επομένως όφελος από ένα δέμα = 10 Χ 3 = 30. Το επιπλέον δέμα έχει κόστος 25 ενώ το κανονικό κόστος είναι 7,5, Επομένως προκύπτει επιβάρυνση 17,5. Άρα καθαρό κέρδος 30 17,5 = 12,5. iii. Πρόσληψη εργαζόμενου μερικής απασχόλησης (4ω/ημέρα) έναντι αμοιβής 50 την ημέρα. Ο περιορισμός είναι δεσμευτικός με επιτρεπόμενη αύξηση 10 και

σκιώδη τιμή 30. Επομένως για 4 ώρες το όφελος είναι 4 Χ 30 = 120 με κόστος 50. Καθαρο όφελος 120-50 =70. ποια λύση θα του προτείνατε, ποιες θα απορρίπτατε και γιατί. Η καλύτερη επιλογή είναι η iii.